求解泊松方程的高精度紧致差分方法
泊松方程的有限差分方法及快速实现
收稿日期：2021-04-09作者简介：刘昊（1995-），男，宁夏吴忠人，硕士研究生。
泊松方程的有限差分方法及快速实现刘昊，张荣培，霍俊蓉（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110136）摘要：针对d 维（d =1,2,3）带有Dirichlet 边界的泊松方程，设计一类快速求解方法。
首先采用有限差分方法将方程离散，利用Kronecker 积的性质将离散后的方程进行矩阵分解，进而应用快速离散正弦变换（DST ）方法进行有效求解。
数值实验结果表明，该方法可快速求解d 维泊松方程，并验证了其准确性和有效性。
关键词：泊松方程；有限差分；Crank -Nicolson 方法；离散正弦变换中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）04-0091-06DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.04.018第17卷第4期2021年10月Vol.17No.4Oct.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）泊松方程是常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，在无引力源的情况下，ΔΦ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，ΔΦ=f （f 为引力场的质量分布）。
该方程通常用格林函数法求解，也可以采用分离变量法和特征线法求解［1］。
带有规则区域Dirichlet 边界条件的泊松方程：ìíîïï-Δu =f (x )u|∂Ω=g (x )（1）式中，Δ表示拉普拉斯算子；x ∈Ω；Ω⊂R d ；当d =1时，Δu =u xx ；当d =2时，Δu =u xx +u yy ；当d =3时，Δu =u xx +u yy +u zz 。
由于带有Dirichlet 边界的泊松方程的解析解不容易求出，一般情况下采用有限差分法、有限元法和有限体积方法的数值方法进行求解［2-4］。
三维泊松方程的七点差分格式
三维泊松方程的七点差分格式
豆桂芳;吴振远;杜艳林
【期刊名称】《工程地球物理学报》
【年(卷),期】2009(006)006
【摘要】泊松方程在地球物理中的应用非常广泛,随着三维勘探的展开,三维泊松方程的快速、精确求解变得越来越重要.本文用有限差分方法推导出长方体域的三维泊松方程的七点差分格式,及其边界条件的差分格式,并对满足第一类边界条件的七点差分格式进行求解,详细推导了七点差分格式的求解过程.
【总页数】4页(P802-805)
【作者】豆桂芳;吴振远;杜艳林
【作者单位】中国地质大学,数学与物理学院,武汉,430074;中国地质大学,数学与物理学院,武汉,430074;中国地质大学,数学与物理学院,武汉,430074
【正文语种】中文
【中图分类】P631
【相关文献】
1.五点差分格式求解泊松方程并行算法的研究 [J], 廖臣;祝大军;刘盛纲
2.二维泊松方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式 [J], 郭锐;黄雪芳;葛永斌
3.解抛物型方程的七点半显差分格式 [J], 陈泽龙;张大凯
4.求解薛定谔–泊松方程组的时间分裂紧致差分格式 [J], 姜珊;刘荣华;马秀;王汉权;
5.半导体器件非线性泊松方程的一种新差分格式 [J], 王国彬;严荣良;任迪远
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二维泊松方程的差分格式有限差分法
)0
3
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
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1 3!
h3
(
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)0
（4） （5）
由（4）–（5）
( x )xx0
1 3
2h
由（4）+ （5）
同理
2
( x2 )xx0
1
20
h2
3
( y ) y y0
求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的
问题。
1. 二维泊松方程的差分格式
二维静电场边值问题：
2 2
x 2
y 2
F
(1)
f (s)
(2)
L
通常将场域分成足够小的正方形网格， 网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上
的电位分别用0 ,1,和2 ,表3 示。4
(k)
(k)
2
(k)
i1, j
i, j 1
i1, j
i, j1
i, j
式中： ——加速收敛因子 (1 2)
• 迭代收敛的速度与 有明显关系：
收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
最佳收敛因子的经验公式：
0
2
1 sin(
)
p
0 2
2
1 p2
三维泊松方程的高精度求解方法
三维泊松方程的高精度求解方法三维泊松方程是一种常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学与工程领域的建模和计算。
解决三维泊松方程的高精度方法是很有挑战性的，因为它涉及到大规模的计算和内存需求。
本文将介绍几种常见的高精度求解三维泊松方程的方法。
一、直接方法直接方法是通过离散化三维泊松方程，并利用线性代数方法求解线性方程组。
其中最常用的方法是基于有限差分法的离散化方法。
具体而言，我们可以将泊松方程转化为一个线性方程组Ax=b的形式，其中A是一个稀疏矩阵，x是未知量，b是常数向量。
对于高精度求解，可以使用稀疏矩阵的特殊性质进行优化，如共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）、预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient Method）等。
这些方法可以充分利用矩阵的稀疏性，减少计算复杂度和存储空间。
二、迭代方法迭代方法是通过迭代更新解的数值，直到达到预设的收敛条件。
常见的迭代方法包括雅可比迭代法（Jacobi Method）、高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Method）和多重网格法（Multigrid Method）等。
对于高精度求解，可以选择迭代方法的高阶或者加速版本，如SOR迭代法（Successive Over-Relaxation Method）、MGCG迭代法（Multigrid Conjugate Gradient Method）等。
这些方法可以加快收敛速度，提高数值精度。
三、谱方法谱方法是基于函数的全局性质进行求解的方法。
将输入函数在一组合适的基函数上展开，并选择合适的权重，然后通过将展开系数带入泊松方程，得到一组线性方程，进而求解出解。
对于高精度求解，可以选择具有较高收敛阶的基函数，如拉格朗日插值基函数和切比雪夫基函数等。
此外，合理地选择基函数的数量和位置，可以进一步提高数值精度。
四、混合方法混合方法是将上述不同的方法结合在一起，以充分发挥各自的优点。
五点差分格式求解poisson方程
五点差分格式求解poisson方程Poisson方程是数学物理中的一个重要方程，广泛应用于电场、热传导、流体力学等领域。
求解Poisson方程的方法有很多，其中五点差分格式是一种常用的数值求解方法。
五点差分格式是一种离散化的方法，将Poisson方程中的二阶导数用差分近似表示。
具体来说，我们将求解区域划分为网格，每个网格点上的解值用一个未知数表示。
然后，根据Poisson方程的离散形式，我们可以得到一个线性方程组，通过求解这个方程组，即可得到Poisson方程的数值解。
在五点差分格式中，我们使用中心差分来近似二阶导数。
对于一个二维的求解区域，我们可以将其划分为若干个网格点，每个网格点的坐标为(i,j)，其中i表示横向的网格编号，j表示纵向的网格编号。
假设网格的步长为h，则(i,j)点的解值为u(i,j)。
根据中心差分的定义，我们可以得到(i,j)点的二阶导数近似为：(u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j))/h^2 + (u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1))/h^2将上述近似代入Poisson方程中，我们可以得到：(u(i+1,j) + u(i-1,j) + u(i,j+1) + u(i,j-1) - 4u(i,j))/h^2 = f(i,j)其中f(i,j)为Poisson方程中的源项。
根据上述离散形式，我们可以得到每个网格点上的线性方程，将所有的线性方程组合起来，即可得到一个大的线性方程组。
通过求解这个线性方程组，我们可以得到Poisson方程的数值解。
在实际求解中，我们可以使用迭代法来求解这个线性方程组。
常用的迭代方法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
这些迭代方法的基本思想是通过不断迭代更新未知数的值，直到收敛为止。
除了迭代法，我们还可以使用直接法来求解线性方程组。
常用的直接法有LU分解法、Cholesky分解法等。
这些直接法的基本思想是通过将线性方程组转化为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，从而求解出未知数的值。
泊松方程有限差分
泊松方程有限差分在这篇文章中，我们将探讨泊松方程的有限差分方法。
有限差分是一种数值解微分方程的方法，它将方程中的微分算子用差分算子来近似表示，从而将连续空间中的问题转化为离散空间中的问题。
首先，我们先来回顾一下泊松方程的一般形式。
泊松方程通常可以写为：∇^2φ = -ρ其中，∇^2表示拉普拉斯算子，φ是待求解的标量场，ρ是源项。
在物理学中，φ通常代表电势、温度或者密度等物理量，而ρ则表示外部的电荷密度、热源或质量密度等。
对于一个给定的区域Ω上的泊松方程问题，我们要求解φ满足泊松方程以及边界条件。
边界条件通常给出了φ在Ω的边界上的数值或者导数信息。
在有限差分方法中，我们首先需要将问题的空间离散化。
设Ω是一个二维区域，我们用一个网格来离散Ω。
假设Ω上有N个网格点，我们用(i,j)来表示第i行第j列的网格点，并假设Ω被水平方向和竖直方向的线段分别分成了M+1和N+1个小区间。
接下来，我们需要定义泊松方程的差分格式。
对于一个给定的网格点(i,j)，我们可以用中心差分来近似拉普拉斯算子∇^2：∇^2φ(i,j) ≈ (φ(i+1,j) - 2φ(i,j) + φ(i-1,j))/Δx^2 + (φ(i,j+1) - 2φ(i,j) + φ(i,j-1))/Δy^2其中Δx和Δy分别是水平和竖直方向上的网格间距。
通过这样的近似，我们可以得到φ在点(i,j)的近似解。
然后，我们将泊松方程中的微分算子用差分算子来替代，得到离散的泊松方程格式：(φ(i+1,j) - 2φ(i,j) + φ(i-1,j))/Δx^2 + (φ(i,j+1) - 2φ(i,j) + φ(i,j-1))/Δy^2 = -ρ(i,j)这就是泊松方程的有限差分格式。
通过对所有网格点应用这样的格式，我们可以得到一个关于φ(i,j)的代数方程组。
通过求解这个方程组，我们就可以得到φ在整个Ω上的近似解。
在实际计算中，我们通常采用迭代方法来求解这个代数方程组。
求解薛定谔–泊松方程组的时间分裂紧致差分格式
关键词
非线性薛定谔–泊松方程组，四阶紧致差分，Sine变换，时间分裂法
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云南财经大学统计与数学学院，云南 昆明
收稿日期：2018年12月11日；录用日期：2019年1月2日；发布日期：2019年1月9日
文章引用: 姜珊, 刘荣华, 马秀, 王汉权. 求解薛定谔–泊松方程组的时间分裂紧致差分格式[J]. 应用数学进展, 2019, 8(1): 7-25. DOI: 10.12677/aam.2019.81002
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Abstract
In this paper, we have introduced fourth-order compact finite difference, the time splitting method and the Crank-Nicolson method to solve the nonlinear Schrödinger-Poisson equations. Based on fast Sine transform, we construct a fast solver for the fully discretized system. The presented numerical algorithm has been used to solve one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional nonlinear Schrödinger-Poisson equations. We provide specific numerical examples. Through the MATLAB software, we write matlab programs based on the presented numerical algorithm, calculate approximated error and draw the approximated numerical solution. The numerical results prove that the presented algorithm has spectral accuracy in space direction. They also confirm its efficiency and stability.
泊松方程的高效求解方法研究与实现
泊松方程的高效求解方法研究与实现泊松方程是物理学和工程学中非常重要的方程之一。
它描述了许多现象，如流体力学、电势、重力势和热传导等。
在工程领域，泊松方程的解决在很多电子、光学、医学等领域具有广泛的应用。
但是，由于其解析解十分困难，因此研究泊松方程的高效求解方法成为了相当重要的课题。
一、背景泊松方程是一个二阶偏微分方程，由于其数值解比解析解更为适用，因此我们通常使用离散化方法来求解。
离散化方法将连续问题转化为有限数量的离散点问题，然后应用数值计算方法来求解。
在离散化的过程中，我们使用有限差分法或有限元方法来逼近连续的泊松方程，进而可用计算机求解。
二、问题及挑战针对泊松方程，在形式上看，其只涉及二维的空间位置而不涉及时间。
泊松方程不仅解析解困难，而且求解效率也很低。
在高精度计算时，泊松方程的求解难度会明显增加，这就为计算的最终结果质量带来了挑战。
针对这个问题，许多研究者极力探索一些高效求解方法，以了解泊松方程的数值解，以便在各种不同的应用中使用。
三、高效求解方法1.有限差分法有限差分法是一种数值求解方法，它将求解区域离散化为一个网格，并使用近似方式逼近泊松方程。
有限差分法是求解偏微分方程的常用技术，它可以通过发现微分方程的近似解来得到真实解。
然而，有限差分法需要相对更大的计算量来处理问题，因此，该方法通常需要相对更长的时间才能完成计算。
2.快速傅立叶变换（FFT）FFT是一种用于解决线性DFT的优化算法。
由于傅里叶变换是泊松方程的线性算子，因此使用FFT来解决泊松方程是可行的。
但是，FFT的缺点是它需要用到的网格大小通常是2的幂。
因此，在确定网格大小时，需要注意网络的大小和计算所需的时间。
3.并行算法并行算法可提高计算机求解的速度，减少泊松方程的求解时间。
并行算法将问题分成多个部分使得多个处理器可以同时工作。
这为提高计算速度提供了途径。
并行算法可以加速求解大型泊松方程，特别是在处理更大的数据集时，这种算法的优势更加明显。