三角恒等变换专题复习(教师版)

三角恒等变换专题复习
一．要点精讲
1．两角和与差的三角函数
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； β
αβαβαsin sin cos cos )cos( =±；
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=。

2．二倍角公式
αααcos sin 22sin =；
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；
22tan tan 21tan ααα
=
-。

3．半角公式
2
cos 12
sin
αα
-±
=
2
cos 12
cos
αα
+±
=
α
αα
cos 1cos 12
tan
+-±
=
（α
α
ααα
sin cos 1cos 1sin 2
tan
-=
+=
）
4.（1）降幂公式
ααα2sin 21cos sin =
；2
2cos 1sin 2α
α-=；2
2cos 1cos
2
α
α+=。

（αα2cos 1sin
22
-= αα2cos 1cos 22+=）
（2）辅助角公式
()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，
sin cos ϕϕ=
=
其中
5．三角函数式的化简、求值、证明
（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

（2）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（3）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

二．典例解析
题型1：巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβ
αβ++=⋅
，
(
)()
2
2
2αβ
β
ααβ+=-
--
等），
例1：（1）已知2tan()5αβ+=
，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：3
22）； （2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2
23
sin()αβ-=，求cos()αβ+的值
（答：490729
）；
（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3
cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______
（
答：43
(1)55
y x x =<<）
题型2：三角函数名互化(切化弦)
例2（1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）； （2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：1
8
）
题型3：公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

例3：（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan
1A B A B =++，则cos()A B + ＝____
_
（答：2
-
）； (2)设ABC ∆
中，tan A tan B Atan B ++=，4
sin Acos A =，则此三角形是____三角形（答：等边）
题型4：三角函数次数的降升(降幂公式：2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin
-=)。

例4：(1)若3
2
(,)αππ∈
为_____（答：
sin 2α）； （2）函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________
（答：51212
[k ,k ](k Z )ππ
ππ-+∈）
题型5：式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

例5：（1）求证：
2
1tan 1sin 212sin 1tan 2
2
ααα
α
++=--；
（2）化简：
4221
2cos 2cos 22tan()sin ()44
x x x x ππ-+
-+（答：1cos 22x ）
题型6：常值变换主要指“1”的变换（22
1sin cos x x =+tan sin 42ππ===
等）。

例6：已知tan 2α=，求22
sin sin cos 3cos αααα+-（答：35
）.
题型7：正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”。

例7：（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __（答：212
t -±)，特别提醒：这里[t ∈；
（2）若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。

（答：43
+-）；
（3）已知2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42
ππ
α<<，试用k 表示sin cos αα-的值。

题型8：求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

例8：（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2
560x x -+=的两根，则求αβ+的值______（答：
34
π
）； （2）ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______（答：
3
π）； （3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值
（答：23
π）.
《三角恒等变换》课时作业
一、选择题
1、sin105cos105的值为 （ ）
Ａ．
14
Ｂ．－
1
4
Ｃ．4 Ｄ．－4
2、已知2tan()5αβ+=
，1
tan()44
πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ．16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13
18
3、 sin
12
12
π
π
的值为 ( )
.0
..2A B C D -4、 若()()11
sin ,sin 23
αβαβ+=
-=，则
tan tan αβ为 （ ） A.5 B .1- C.6 1
D.6
5、 已知锐角αβ、满足sin αβ==
αβ+等于 （ ） 3A.
4
π
3B.4
4
ππ或
C.
4
π ()3D.24
k k ππ+
∈Z
二、填空题 6. 已知cos α=
35,且α∈3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 7. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 .
8 设00sin14cos14a =+，00
sin16cos16b =+，c =
则,,a b c 大小关系
9 已知sin
cos
2
2
θ
θ
+=
那么sin θ的值为 ,cos2θ 三、解答题
10. 已知α，β为锐角，1
tan 7
α=，sin β=，求2αβ+.
11 已知1
tan 3
α
=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；
（2）求函数())cos()f x x x αβ=
-++的最大值．
12. 已知函数2
()5sin cos f x x x x =-+（其中x ∈R ）
，求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间;
(3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心．
《三角恒等变换》课时作业参考答案
一、选择题
二、填空题
6.
7. 8. a<c<b 9.
1739
、 三、解答题
10.
4
π
； 11.（1） 1；（212. (1)π ； (2)增区间：5,1212k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
，减区间：511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，其中k ∈Z ； (3)对称轴方程：5,212k x ππ=+ 对称中心：,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，其中k ∈Z 。