现代控制理论
现代控制理论
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
现代控制理论(绝对经典)
定义输出变量
y (t ) x1 (t )
整理得一阶微分方程组为
duc (t) 1 i(t) dt C di(t) 1 R 1 uc (t ) i (t ) u (t ) dt L L L
di(t) Ri(t ) L uc u (t ) dt duc i (t ) C dt
n 1 状态向量
向量形式：x(t ) f (x(t ), u(t ), t ) x (tk 1 ) f [ x (tk ), u(tk ), tk ]
r 1 输入向量
•输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出变量与 状态变量、输入变量之间的m个代数方程，称为系统的 输出方程。
y1 (t ) g1 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u 2 , u r , t ) y2 (t ) g 2 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u 2 , u r , t ) ym (t ) g m ( x1 , x2 , , xn , u1 , u 2 , u r , t )
矩阵 相乘
x1 (t ) 0 1 x2 (t ) L
x1 (t ) y 1 0 x 2 (t )
•状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对 一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间 表达式。 图1所示电路,若 uc (t )为输出,取 x1 (t ) uc (t ), x2 (t ) i(t ) 作为状态变量,则其状态空间表达式为
1 x1 (t ) x2 (t ) C 1 R 1 2 (t ) x1 (t ) x2 (t ) u (t ) x L L L
现代控制理论的概念、方法
THANKS FOR WATCHING和优化控制，注重系统的全局性、 最优性和鲁棒性。
现代控制理论的重要性
工业自动化
现代控制理论为工业自动化提供了理论基础和技 术支持，提高了生产效率和产品质量。
航天与航空
在航天和航空领域，现代控制理论的应用对于飞 行器的稳定性和安全性至关重要。
能源与环境
在能源和环境领域，现代控制理论有助于实现能 源的高效利用和环境的可持续发展。
VS
详细描述
线性二次型最优控制基于最优控制理论， 通过最小化系统状态和控制输入的二次型 代价函数来寻找最优的控制策略。这种方 法能够有效地优化系统的性能，提高系统 的稳定性和动态响应能力。
预测控制
总结词
预测控制是一种基于模型预测和滚动优化的 控制方法。
详细描述
预测控制通过建立系统的预测模型，对未来 的系统行为进行预测，并滚动优化控制策略 以减小预测误差。这种方法具有较好的鲁棒 性和适应性，广泛应用于工业过程控制和智 能控制等领域。
现代控制理论的历史与发展
历史
现代控制理论起源于20世纪50年代，随着计算机技术和数学理论的不断发展而 逐步完善。
发展
现代控制理论的发展涉及多个学科领域，如线性系统理论、最优控制、鲁棒控 制、自适应控制等，为复杂系统的控制提供了更广泛和深入的理论基础。
02 现代控制理论的基本概念
系统建模
总结词
系统建模是现代控制理论的基础，它通过数学模型描述系统的动态行为。
详细描述
性能指标是用来评估控制系统性能的关键因素，包括稳定性、准确性、快速性和鲁棒性 等。稳定性表示系统在受到扰动后恢复平衡的能力；准确性表示系统输出与理想输出之 间的误差大小；快速性表示系统达到稳定状态所需的时间；鲁棒性表示系统在存在不确
现代控制理论-第1章
i，得到二阶微分方程为：
（5） 其相应的传递函数为：
（6） 回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个状态变量，
即令
则一阶微分方程为：
（7）
关于状态变量的选取： 理论上，不要求物理上一定可测； 工程上，以选取易测的量为宜，因为有时需要反馈状态变量。
简记为：
设系统2为：
简记为：
1．并联连接
所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系
统输出的代数和，结构简图如下图所示。
由式(72)和式(73)，并考虑 间表达式：
得系统的状态空
从而系统的传递函数阵为：
故子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的代数和。
2．串联连接
串联连接下如图所示。读者可自己证明，其串联连接传递函数阵为：
其中各元素
都是标量函数，它表征第 个输入对第 个输出的传递关系。
当
时 ，意味着不同标号的插入与输出有相互关联，称为有耦合关系，
这正是多变量系统的特点。
式(69)还可以表示为：
可以看出，
的分母，就是系统矩阵A的特征多项式，
的分子是
一个多项式矩阵。
应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而
（66） 式中， 为r×1输入列矢量； 为m×1输出列矢量；B为n×r控制矩阵；
C为m×n输出矩阵；D为m×r直接传递阵；X，A为同单变量系统。
同前，对式(66)作拉氏变换并认为初始条件为零，得：
（67）
故
间的传递函数为
（68）
它是一个 n×r 矩阵函数。 故 间的传递函数为： （69） 它是一个m×r矩阵函数，即
现代控制理论 王孝武
建立方程：
L
di(t dt
)
Ri(t
)
uC
(t
)
u(t
)
i C duC (t) dt
初始条件：
i(t) t t0
i(t0 )
uC (t) tt0 uC (t0 )
i(t) 和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态
变量
9
1.1.2 状态空间表达式
前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
本章内容为：
1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换 6、组合系统的数学描述 7、利用MATLAB进行模型之间的变换
7
1.1 状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间 状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。 这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
（一）待定系数法 首先考察三阶系统，其微分方程为
y a2 y a1 y a0 y b3u b2u b1u b0u
选择状态变量： x1 y 0u x2 y 0u 1u x1 1u x3 y 0u 1u 2u x2 2u
其中，待定系数为： 0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21 2 b0 a00 a11 a22
) 2
( sin
)
线性化：当 和 较小时 ，有 sin cos 1 2 0
化简后，得
(M m)y ml u
my ml mg
求解得： y mg 1 u MM
(M m)g 1 u
Ml
Ml
21
选择状态变量 x1 y ，x2 x1 y ，x3 ，x4 x3
(完整版)现代控制理论
第一章线性离散系统第一节概述随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。
通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。
一、举例自动测温，控温系统图;加热气体图解：1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R∆，电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为)e；(t2. 检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。
当凸轮转动使指针）,接触时间为τ秒；与电位器相接触（凸轮每转的时间为T3. 当炉温h 连续变化时，电位器的输出是一串宽度为τ的脉冲信号e *τ(t);4.e *τ(t)为常值。
加热气体控制阀门角度调速器电动机放大器h →→→→→→ϕ 二、相关定义说明（通过上例来说明） 1. 信号采样偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。
连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。
实现采样的装置成为采样器。
To —采样周期，f s =--To1采样频率，W s =2πf s —采样角频率 2．信号复现因接触时间很小，τo T 〈〈τ，故可把采样器的输出信号）（t e *近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离散信号）（t e *恢复到原信号)(t e 。
实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。
作用：是把）（t e *脉冲信号变成阶梯信号e h (t)3.采样系统结构图r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e *为离散信号)(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。
(t)r4.采样系统工作过程⇒由保持器5. 采样控制方式采样周期To ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⇒相位不同步采样常数常数6. 采样系统的研究方法（或称使用的数字工具）因运算过程中出现s 的超越函数，故不用拉式变换法，二采用z 变换方法，状态空间法。
现代控制理论
1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵,特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。
答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数.互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。
2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。
答:系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造,一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。
原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；(2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；(3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4)有尽可能低的维数，以便于物理实现。
3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。
答:基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。
（1)如果系统受扰后,其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时,能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定:(2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定.方法步骤：定义一个正定的标量函数V(x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x)/dt的符号特征来判别系统的稳定性。
局限性：李雅普诺夫函数V(x）的选取需要一定的经验和技巧.4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。
答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定,但输出稳定不一定状态稳定;（2)系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。
举例：A的特征值=—1 =1 所以状态不是渐进稳点的,W（s)的极点S=—1，所以输出稳点。
5、什么是实现问题？什么是最小实现？说明实现存在的条件.答:（1）由系统的运动方程或传递函数建立SS表达式的问题叫做实现问题;（2）维数最小的实现方式时最小实现;(3）存在条件是m小于等于n.6、从反馈属性、功能和工程实现说明状态反馈和输出反馈的优缺点。
现代控制理论
现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。
空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。
这类控制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。
1958年，苏联科学家Л.С.庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。
在这之前，美国学者R.贝尔曼于1954年创立了动态规划，并在1956年应用于控制过程。
他们的研究成果解决了空间技术中出现的复杂控制问题，并开拓了控制理论中最优控制理论这一新的领域。
1960～1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论，因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究范围扩大，包括了更为复杂的控制问题。
几乎在同一时期内，贝尔曼、卡尔曼等人把状态空间法系统地引入控制理论中。
状态空间法对揭示和认识控制系统的许多重要特性具有关键的作用。
其中能控性和能观测性尤为重要，成为控制理论两个最基本的概念。
到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立，这标志着现代控制理论的形成。
学科内容现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要的方面有：线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。
线性系统理论它是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。
按所采用的数学工具，线性系统理论通常分成为三个学派：基于几何概念和方法的几何理论，代表人物是W.M.旺纳姆；基于抽象代数方法的代数理论，代表人物是R.E.卡尔曼；基于复变量方法的频域理论，代表人物是H.H.罗森布罗克。
非线性系统理论非线性系统的分析和综合理论尚不完善。
研究领域主要还限于系统的运动稳定性、双线性系统的控制和观测问题、非线性反馈问题等。
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五.发展与应用
“工业4.0”三大主题
“智能工厂”，智能化生产系统及过程，网络化 分布式生产设施的实现；
“智能生产”，主要涉及整个企业的生产物流 管理、人机互动以及3D技术在工业生产过程 中的应用等。
“智能物流”，主要通过互联网、物联网、务 联网，整合物流资源，充分发挥现有物流资源 供应方的效率，而需求方，则能够快速获得服 务匹配，得到物流支持
温度计
加热电阻丝
调压器
~220V
人工控制的恒温箱
期望
温度
大脑
手
调压器
恒温箱
实际 温度
人工控制过程 的实质：检测 偏差再纠正偏 差。
眼睛
温度计
人工控制恒温箱系统功能框图
扰动
给定 信号
u1 u
电压 功率
u2 放大器
ua 控制 电机
n
减 速
器
v
调 压 器
u
恒温箱 (控制
温度t (被控量)
对象)
热电偶
恒温箱自动控制系统功能框图
反馈
反馈是指将输出信号部分或全部返回到输入端
反馈是控制系统的灵魂、思想和立足点
内在反馈、外部反馈、开环与闭环
反馈作用：减少给定环节与被控对象之间的偏差
组成：给定环节、比较环节、放大环节、执行环节、
被控对象、测量反馈环节
扰动
温度t
给定ห้องสมุดไป่ตู้信号
u1 u
u2
电压 功率 放大器
ua 控制 电机
n
应用
六.现代控制理论
1.研究方法 用状态空间法描述系统，研究多输入-多输出
系统及非线性系统的性能，控制方法主要是 状态反馈、极点配置、最优控制等。
2.研究内容
建模、系统分析（运动分析、能观性和能控 性分析、稳定性分析）、系统设计（状态观 测器、极点配置、二次型最优控制）
3.数学基础 拉普拉斯变换、线性代数
x1(0 )
1 s n 1
x2(0)
1 s
xn (0)
3.(典1)型单时位间脉函冲函数数的拉普拉斯变换
L[ t]
t
estdt est
1
0
t 0
(2)单位脉冲函数
L[l t ]
l
t
estdt
estdt 1 est 1
0
0
s 0s
(3)单位斜坡函数
L[ f
B(s)
kj
(s A(s)
pj )
s pj
n
x t L1[ X s] k je pjt j 1
（2）函数X(s)中含多重极点时
X (s)
B(s) A(s)
bms bm1s b1s b0 ansn an1sn1 a1s a0
k(s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1) (s p2 ) (s pn )
X (s) B(s) bms bm1s b1s b0 k(s z1)(s z2 ) (s zm )
A(s)
an s n
an
s n 1
1
a1s
a0
(s p1)(s p2 ) (s pn )
式中z1，z2，…，zm称为函数X(s)的零点，而p1，p2，…，pn称
一、工程控制论的研究对象
工程控制论研究的是工程技术中的广义系统，在 一定的外界条件作用下，从系统的初态出发，所 经历的由其内部固有属性所决定的整个动态过程， 研究该过程中输入、输出与系统的关系。
1.广义系统：由相互联系、相互作用的若干部分 构成，达到一定目的或实现一定运动规律的一个 整体。可繁可简、可虚可实。
2.外界条件
3.固有属性
4.动态过程
二.研究内容
1.系统分析：已知系统和输入，求输出 2.最优控制：已知系统，求输入使输出最优 3.最优设计：已知输入，求系统使输出最优 4.滤波预测：已知输出，确定系统，识别输
入或输入中的信息 5.系统辨识：已知输入和输出，求系统
三.控制原理
例1 恒温箱控制原理
减 速 器
v
调 压 器
u
恒温箱 (控制
(被控量)
对象)
热电偶
恒温箱自动控制系统功能框图
例2 水位自动控制系统
1.浮球开关来控制水位
例3.电子式开关来控制水位
给定环节、放大器、执行环节、 被控对象、测量环节
例4 大门自动开关控制系统
例5 仿形铣床系统
四、控制系统的分类及要求
分类： 按有无反馈分：开环、闭环 按控制量变化规律分：自动控制系统、程序
拉普拉斯变换的数学方法
1.定义
设函数x (t)在t≥0时有定义，且积分0 xtestdt
在复平面s的某一域内收敛，则由此积分确定的
复x(变t)的函拉数普可拉记斯为变换X，s记 0 xtestdt ，称X(s)为
X s L[xt ] xt estdt 0
2. 拉普拉斯变换的性质
（1）微分性质
函数X(s)可以展成如下形式：
X (s)
B(s) A(s)
(s
k11 p1)
(s
k 12 p1)
为函数X(s)的极点，且n≥m，根据极点的情况拉氏反变换可
以分两类情况求解。
（1）函数X(s)中无相同极点时
函数X(s)可展成：
X (s) B(s) k1 k 2 kn
n
kj
A(s) s p1 s p2
s pn j1 s p j
B(s)
k1
(s A(s)
p1 )
s p1
设：L[x(t)] X (s) ，xi (0)
分
表示 x(t) 的 i 重积
在t=0时的值。则：
L[ x(t)dt] 1 X (s) 1 x1(0)
s
s
L[
x(t)dtdt]
1 s2
X (s)
1 s2
x1(0 )
1 s
x2 (0)
L[
x(t)(dt)n ]
1 sn
X (s)
1 sn
设L[x(t)]=X(s)，x(n)(t)表示x(t)的n阶导数，
则：
L[xt ] sX s x 0
L[xt ] s2 X s sx0 x0
L[x(n) (t)] sn X (s) sn1x(0) sn2x' (0) sx(n2) (0) x(n1) (0)
（2）积分性质
t ]
f
0
t
estdt
testdt 1
t est
0
s
0
est dt
0
1 s2
(4)指数函数
f
t
0, eat ,
t0 t0
L[ f
t ]
f
t estdt
eat est dt
east dt
1
east
1
0
0
0
as
0 sa
4 拉普拉斯反变换
对于函数X(s)，常可以写成如下的多项式形式