2020-2021成都七中(高新校区)高一数学下期中第一次模拟试题含答案
解析：C 【解析】 【分析】 根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】 A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基 本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可 知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点 确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项 D,空间 四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选 C. 【点睛】 本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.
D．四边形确定一个平面
4．已知定义在 R 上的函数 f (x) 2 xm 1(m为实数) 为偶函数,记
a f (log0.5 3), b f (log2 5), c f (2m) ,则 a,b, c ,的大小关系为（ ）
A． a b c
B． c a b
C． a c b
D． c b a
由题意，根据圆的方程 x2 y2 2x 2 y a 1 0 ，即 (x 1)2 ( y 1)2 2 a ，
则圆心坐标为 (1,1) ，半径 r 1 a ，
11 2
又由圆心到直线的距离为 d
2，
2
所以由圆的弦长公式可得 2 ( 1 a)2 ( 2)2 4 ，解得 a 3，故选 A.
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左右焦点分别是 F1 、 F2 ，以 F2 为圆心的圆过椭圆的中
心，且与椭圆交于点 P，若直线 PF1 恰好与圆 F2 相切于点 P，则椭圆的离心率为（ ）
A． 3 1 2
B． 3 1
C． 2 2
D． 5 1 2
9．已知点
1,
2
和
3 3
,
0
在直线
l
:
ax
y
为_______.
18．如图，在 ABC 中， AB BC ， SA 平面 ABC ， DE 垂直平分 SC ，且分别交 AC ， SC 于点 D ， E ，又 SA AB ， SB BC ，则二面角 E BD C 的大小为
_______________.
19．直线 x y 1 0与直线 x ay 2 0 互相垂直，则 a __________． 20．如图，已知圆锥的高是底面半径的 2 倍，侧面积为 ，若正方形 ABCD 内接于底面圆 O ，则四棱锥 P ABCD 侧面积为__________．
（Ⅰ）求直线 AC1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角 A A1B C 的余弦值． 23．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x y 2 2 1 0 与圆 C 相切，圆心 C 的坐标为
2, 1
（1）求圆 C 的方程； （2）设直线 y=x+m 与圆 C 交于 M、N 两点.
①若 MN 2 2 ，求 m 的取值范围；
②若 OM⊥ON，求 m 的值.
24．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1 平面 ABC , AC BC, AC BC CC1 2 ，点 D, E, F 分别为棱 A1C1, B1C1, BB1 的中点．
（1）求证： AB / / 平面 DEF ；
（2）求证：平面 ACB1 平面 DEF ；
（3）求三棱锥 E ACB1 的体积.
25．已知圆
C
:
x
12
y2
4
内有一点
P
1 2
,1
，过点
P
作直线
l
交圆
C
于
A,
B
两点．
（1）当点 P 为 AB 中点时，求直线 l 的方程；
（2）当直线 l 的倾斜角为 45 时，求弦 AB 的长．
26．已知圆 C 的方程： x2 y2 2x 4 y m 0 ．
故选：A 【点睛】 此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间 想象能力.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
首先确定三角形 ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定
球的表面积． 【详解】 解：如图所示：
三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，AP 2, AB 2 ，
2．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 根据题意作出图形： 设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1⊥平面 ABC，
延长 CO1 交球于点 D，则 SD⊥平面 ABC．∵CO1= 2 3 3 ， 32 3
∴ OO1
1 1 3
6， 3
∴高 SD=2OO1= 2 6 ，∵△ABC 是边长为 1 的正三角形，∴S△ABC= 3 ，
在 ABC 中，设外接圆的直径为 2r 2 3 4 ， sin120
则： r 2 ，
所以：外接球的半径 R
22
2 2 2
9， 2
则： S 4 9 18 ， 2
故选：C． 【点睛】 本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．
8．B
解析：B 【解析】
【分析】
4．B
解析：B 【解析】
由 f x 为偶函数得 m 0,所以
a 2log0,5 3 1 2log2 3 1 3 1 2, b 2log2 5 1 5 1 4 , c 20 1 0 ,所以 c a b ,
故选 B. 考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】
四个结论：
①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线；
③直线 BN 与 MB1 是异面直线；
④直线 AM 与 DD1 是异面直线．
其中正确的结论的序号为________． 14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方形，则此圆柱的体积为 .
15．已知直线 Ax By 4A 0 与圆 O： x2 y2 36 交于 M，N 两点，则线段 MN 中点
2020-2021 成都七中(高新校区)高一数学下期中第一次模拟试题含答案
一、选择题 1．已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 m / /, n / /, 则 m // n
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m n ，则 n / /
D．若 m / / ， m n ，则 n
5．直线 x y 2 0 截圆 x2 y2 2x 2 y a 1 0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值
பைடு நூலகம்
是（ ）
A．－3
B．－4
C．－6
D． 3 6
6．已知正四面体 ABCD 中， M 为棱 AD 的中点，设 P 是 BCM （含边界）内的点，若
点 P 到平面 ABC ，平面 ACD ，平面 ABD 的距离相等，则符合条件的点 P （ ）
【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程， 求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推 理与运算能力.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据正四面体的对称性分析到平面 ABC ，平面 ACD ，平面 ABD 的距离相等的点的轨 迹，与 BCM 所在平面的公共部分即符合条件的点 P .
A．仅有一个
B．有有限多个
C．有无限多个
D．不存在
7．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，BAC 120，AP 2, AB 2 ，M 是线
段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积是
（）
A． 9 2
B． 9 2
C．18
D． 40
8．椭圆
点， G 是线段 BD 的动点，则( )
A．存在点 G ，使 PG EF 成立
B．存在点 G ，使 FG EP 成立
C．不存在点 G ，使平面 EFG 平面 ACD 成立
D．不存在点 G ，使平面 EFG
平面 ABD 成立
二、填空题
13．如图，在正方体 ABCD — A1B1C1D1 中， M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下
1
0
a
0
的两侧，则直线
l
的倾斜角的
取值范围是 ( )
A．
4
,
3
B．
3
,
2 3
C．
2 3
,
5 6
D．
0,
3
3 4
,
10．已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长都相等， M 为 A1C1 的中点，则 AM 与 BC1
所成角的余弦值为( )
A． 15 3
B． 5 3
2．已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为1的正三角形，
SC 为球 O 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（ ）
A． 2 6
B． 3 6
C． 2 3
D． 2 2
3．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【详解】
在正四面体 ABCD 中，取正三角形 BCD 中心 O ，连接 AO ，根据正四面体的对称性，线 段 AO 上任一点到平面 ABC ，平面 ACD ，平面 ABD 的距离相等，到平面 ABC ，平面 ACD ，平面 ABD 的距离相等的点都在 AO 所在直线上， AO 与 BCM 所在平面相交且 交于 BCM 内部，所以符合题意的点 P 只有唯一一个.
G 的轨迹方程为______．
2020-2021学年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．数列1，0，1，0，的一个通项公式为（ ）A ．*(1)(1,)n n n N -≥∈B ．*(1)1(1,)n n n N -+≥∈C ．2*sin(1,)2n n n N π≥∈ D ．*1cos (1,)n n n N π+≥∈【答案】C【分析】分别写出每个选项的数列的前四项，对比即可.【详解】对于A ，*(1)(1,)n n n N -≥∈的前4项为-1,1，-1,1，不符合条件； 对于B ，*(1)1(1,)n n n N -+≥∈的前4项为0,2，0,2，不符合条件； 对于C ，2*sin(1,)2n n n N π≥∈的前4项为1,0，1,0，符合条件； 对于D ，*1cos (1,)n n n N π+≥∈的前4项为0,2，0,2，不符合条件； 故选：C2．ABC 中，AB =4，BC =3，CA =2，则其最大内角的余弦值为（ ） A ．14B ．1116 C ．14-D ．78【答案】C【分析】由三角形中大边对大角，知ACB ∠最大，结合余弦定理即可得到正确选项. 【详解】由题意知，ABC 中，ACB ∠最大，故由余弦定理得：22294161cos 22324BC AC AB ACB BC AC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故选：C.3．若11tan ,tan 23==αβ，则tan()αβ+=（ ）A ．1-B ．1C ．17-D ．17【答案】B【分析】直接代入正切的两角和公式即可得解.【详解】115tan tan 236tan()11151tan tan 1236+++====-⋅-⋅αβαβαβ，故选：B.4．若α∈R ，则sin cos cos sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．12C ．32- D ．32 【答案】C【分析】根据两角差的恒等变换公式求解即可.【详解】3sin cos cos sin sin[]sin()33332ππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C5．矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 为BC 的中点，点F 满足2DF FC =，则AE AF ⋅=（ ） A ．8 B ．4C ．4-D ．8-【答案】A【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得AE AF ⋅.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为3AB =，2BC =，2DF FC =，则3,1E 、()2,2F ，()3,1AE =，()2,2AF =， 故32128AE AF ⋅=⨯+⨯=. 故选：A.6．函数()sin 2sin ,,2f x x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的零点为0x ，则tan20x 的值为（ ）A 3B ．3C ．3D 3【答案】D【分析】()sin 2sin sin (2cos 1)0f x x x x x =+=+=，根据,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得0x ，从而计算得到0tan 2x 的值.【详解】()sin 2sin sin (2cos 1)0f x x x x x =+=+=，又,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则01cos 2x =-，023x π=，故tan204tan 33x π== 故选：D7．如图，正六边形ABCDEF ，则以下向量的数量积的值中最大的为（ ）A ．AB FC ⋅ B ．AB AD ⋅ C ．AB AE ⋅ D ．AB AC ⋅【答案】A【分析】连接CF ，以线段CF 的中点O 为坐标原点，FC 为x 轴建立平面直角坐标系，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，计算出各选项中向量的数量积，由此可得出合适的选项.【详解】连接CF ，以线段CF 的中点O 为坐标原点，FC 为x 轴建立平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF 的边长为a ，则3,22a A a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭、3,22a B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、(),0C a 、3,22a D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、3,22a E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、(),0F a -.对于A 选项，(),0AB a =，()2,0FC a =，则22AB FC a ⋅=； 对于B 选项，(),3AD a a =，2A D a B A =⋅； 对于C 选项，()0,3AE a =，则0AB AE =⋅；对于D选项，32AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则232AB AC a ⋅=. 故选：A.8．若-1-22133232322n n n n n S -=+⨯+⨯++⨯+，则S =（ ）A ．134n +-B ．1132n n ++-C ．2132n n --D ．2-132n n -【答案】B【分析】根据题意可得S 为数列123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭前1n +项和，利用等比数列前n 项和公式即可得解.【详解】根据题意-1-22133232322n n n n n -+⨯+⨯++⨯+为数列123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭前1n +项和，而123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭为等比数列， 所以11123(1())332213n n n n S +++-==--， 故选：B.9．ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且3cos 3cos 2a B b A c -=，则tan tan A B的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】由正弦定理将条件展开，3sin cos 3sin cos 2sin 2sin()A B B A C A B -==+，从而求得tan tan AB的值. 【详解】由正弦定理知，3sin cos 3sin cos 2sin 2sin()A B B A C A B -==+， 即3sin cos 3sin cos 2sin cos 2sin cos A B B A A B B A -=+， 故sin cos 5sin cos A B B A =， 故tan 5tan AB= 故选：D10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23332m m S S =，2457m m a m a m -=+，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【分析】当1q =时，22mmS S =，可知1q ≠；利用等比数列通项公式和求和公式分别表示出已知等式，可构造方程求得m ，并得到5132q =，由此可解得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ， 若1q =，则21122m m S ma S ma ==，不合题意，1q ∴≠； 2457m m m m m a a q m a a m -==+，457mm q m -∴=+；()()2122111331113211m m mm m m m a q S q q q S qa q q---===+=---，415732m m -∴=+，解得：5m =， 5132q ∴=，解得：12q =.故选：C.11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D 的测得点A 的在东偏南30方向上过一分钟后测得点B 处在山顶地的东偏南60方向上，俯角为45，则该车的行驶速度为（ ）A ．15米/秒B ．3/秒C ．20米/秒D ．3/秒【答案】A【分析】根据题意可得900AB =，再除以时间即可得解. 【详解】根据题意900CD =，由B 处在山顶俯角为45， 所以900BC =，由A 东偏南30，B 东偏南60，所以30,603030BAC ACB ∠=∠=-=， 所以ABC 为等腰三角形，所以900AB =， 由9001560=，所以速度为15米/秒， 故选：A12．如图，点C 是半径为6的扇形圆弧AB 上的一点，18OA OB →→⋅=-，若OC xOA y OB →→→=+，则3x +2y 的最大值为（ ）A ．2513B ．573C ．2573D ．513【答案】C【分析】根据18OA OB →→⋅=-，则120AOB ∠=，建立以O 点为原点的坐标系，设(6cos ,6sin )C αα，写出向量的坐标表示形式，用α的三角函数表示出x ，y ，从而求得32x y +的三角函数表达式，利用辅助角公式求得最大值.【详解】由66cos 18OA OB AOB →→⋅=⨯∠=-，则1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∠=，建立如图所示坐标系，则(6,0)A ，(3,33)B -，设(6cos ,6sin )C αα，2[0,]3απ∈，由OC xOA y OB →→→=+知，(6cos ,6sin )(6,0)(3,33)(63,33)x y x y αα=+-=-， 化简得：3cos x αα=+，23y α=， 则32373323(cos )23cos x y ααααα+=++=+ 257)αϕ+，其中33tan ϕ=则当sin()1αϕ+=时，32x y +故选：C二、填空题13．函数()sin cos ,f x x x x R =+∈的最大值为__________.【分析】利用辅助角公式化简()f x ，由正弦型函数值域可求得结果.【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴当sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max f x14．若1cos 2(cos sin ),24k k Z πααααπ⎛⎫=-≠+∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=_________.【答案】12【分析】根据余弦的二倍角公式并对其因式分解可得cos 2(cos sin )(cos sin )ααααα=-+，又,4k k Z παπ≠+∈，所以cos sin 0αα-≠，根据已知条件，即可求出结果.【详解】因为22cos2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=-+ 又1cos 2(cos sin )2ααα=-，且,4k k Z παπ≠+∈所以1(cos sin )(cos sin )(cos sin )2αααααα-=-+，且cos sin 0αα-≠所以1cos sin 2αα+=. 故答案为：12.15．《九章算术》是中国古代张苍、耿首昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第5节容量是 _________________升.(结果保留分数) 【答案】6766【分析】记从下部算起第n 节的容量为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于1,a d 的方程组，解方程组求得1,a d 后，利用通项公式可求得5a . 【详解】记从下部算起第n 节的容量为n a ，由题意可知：数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ， 则1231678913344263a a a a d a a a a a d ++=+=⎧⎨+++=+=⎩，解得：19566766a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，5167466a a d ∴=+=，即从下部算起第5节容量是6766升.故答案为：6766. 16．已知ABC 中，AC =1，BCABCAB 上存在点D ，使3BDC π∠=，则CD = _________.【答案】1【分析】由已知利用三角形面积公式可求1sin 2ACB ∠=，从而可求6ACB π∠=或56π，在ABC 中，由余弦定理可得AB ，进而可求B ，在BCD △中，由正弦定理可得CD 的值．【详解】解：AC =1，BCABC11sin 1sin 22AC BC ACB ACB=⋅∠=⨯∠，1sin 2ACB ∴∠=，6ACB π∴∠=或56π， 若56ACB π∠=，在ABC中，由余弦定理可得：AB利用正弦定理sin sin AB AC C B =，得sin sin AC C B AB ⨯==∴在BCD △中，由正弦定理可得：sin s in BC BCD BDC⋅=∠ 当6ACB π∠=时，∴在ABC中，由余弦定理可得：cos 1AB AC BC ACB ∠， ∵AB AC = 6B π∴∠=，∴在BCD △中，由正弦定理可得：1sin 1sin BC BCD BDC==∠．故答案为：1三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2n r =+，其中r 为常数. （1）求r 的值； （2）设1(1)2n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）0r =；（2）1nn +. 【分析】（1）求出前三项为1,3,5r +，利用等差中项的性质即可得解； （2）由（1）可得n b n =，11111n n b b n n +=-+，利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）先求前三项，111a S r ==+，2213a S S =-=，3325a S S =-=， 由{}n a 为等差数列，所以2132a a a =+， 所以66r =+，即0r =；（2） 由（1）知2n ≥，121n n n a S S n -=-=-， 11a =也满足，所以21n a n =-，所以n b n =，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 18．已知向量()cos ,sin a αα=，()sin ,cos b αα=-，设3m a b =+，3n a b =+. （1）求a b +的值； （2）求,m n 夹角的大小. 【答案】（1（2）6π.【分析】（1）由平面向量模长的坐标运算可直接求解得到结果；（2）利用平面向量坐标运算求得a b ⋅，a 和b ；利用平面向量数量积的运算律可求得m n ⋅，m 和n ，由向量夹角公式可求得结果.【详解】（1）()cos sin ,sin cos a b αααα+=-+，(cos a b α∴+==（2）由题意得：sin cos sin cos 0a b αααα⋅=-+=，1a =，1=b ，()()223334323m n a b a b a a b b ∴⋅=+⋅+=+⋅+=，()22233232m a ba ab b =+=+⋅+=，()22232332n a ba ab b =+=+⋅+=，3cos ,2m n m n m n ⋅∴<>==⋅，又[],0,m n π<>∈，,6m n π∴<>=.19．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，满足：111a b ==，221a b =+，331a b =+.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n C a b =⋅，数列{}n C 的前n 项和为n S ，求满足()131002,n n S n n N a *-->≥∈的最小正整数n 的值.【答案】（1）21n a n =-；12n n b -=；（2）7.【分析】（1）利用等差数列和等比数列通项公式可构造方程组求得,d q ，由此可得所求通项公式；（2）利用错位相减法可求得n S ，将不等式化为2100n >，结合n *∈N 可求得所求最小值.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由223311a b a b =+⎧⎨=+⎩得：211121d q d q +=+⎧⎨+=+⎩，解得：22d q =⎧⎨=⎩， ()12121n a n n ∴=+-=-；12n n b -=；（2）由（1）知：()1212n n C n -=-⋅，()()01221123252232212n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ()()12312123252232212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，()()()()21232121212222121212n n n n n S n n --∴-=--⋅+++⋅⋅⋅+=--⋅+-()1121224n n n +=--⋅+-()3223n n =-⋅-，()2323nn S n ∴=-⋅+，()12323210023n n n n n S a n --⋅-∴==>-， 又n *∈N ，6264=，72128=，∴最小正整数n 的值为7.20．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a =，29a =，4312n n n a a a ++=⋅.（1）若313log log n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列()()1411n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<. 【答案】（1）证明见解析；13123n n a -+=；（2）证明见解析.【分析】（1）对已知递推关系式左右取对数，结合对数运算法则可整理得到13n n b b +=，由此可证得数列{}n b 为等比数列；由等比数列通项公式求得n b ，利用累加法可求得3log n a ，由此可求得n a ；（2）由（1）可整理得到()()114112113131n n n n n b b b -+⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭，采用裂项相消法可求得n S ，由33n ≥，结合不等式性质可证得结论.【详解】（1）4312n n n a a a ++=⋅且0n a >，313324log 3log log n n n a a a ++∴=+，()3231313log log 3log log n n n n a a a a +++∴-=-，即13n n b b +=，又13231log log 1b a a =-=，∴数列{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，13n n b -∴=；2331log log 3n n n a a --∴-=，33132log log 3n n n a a ----=，…，03231log log 3a a -=， 各式相加可得：()10121331131log log 33331132n n n n a a -----=++⋅⋅⋅+==--， ()131log 312n n a -∴=+，13123n n a -+∴=；（2）由（1）知：13n n b -=， ()()()()11114431121131313131n n n n n n n n b b b ---+⋅⎛⎫∴==- ⎪++++++⎝⎭， 11111111111222441010283131231n n n n S -⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， n N *∈，33n ∴≥，110314n ∴<≤+，111142312n ∴≤-<+，112n S ∴≤<. 21．已知ABC 为锐角三角形，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，ABC 满足：222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤.（1）求角A 的取值范围；（2）当角A取最大值时，若AB =ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）+⎝. 【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑得到cos A 的取值范围，根据ABC 为锐角三角形可求得A 的取值范围；（2）利用正弦定理和三角形内角和性质可将所求周长表示为3cos 12sin C L C +=⋅，根据ABC 为锐角三角形可求得C 的范围，令()cos 1sin x f x x +=，利用导数可求得单调性，从而确定cos 1sin C C+的范围，代入即可得到所求周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可得：222a b c bc +-≤，即222b c a bc +-≥，2221cos 22b c a A bc +-∴=≥，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， A ∴的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦； （2）由（1）知：3A π=； 由正弦定理sin sin sin BC AC AB A BC ==sin AC B =， 32sin BC C ∴=，AC =ABC ∴周长L =233cos 132sin 2sin C C L C Cπ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭∴===⋅， ABC 为锐角三角形，0202B C ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，即203202C C πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得：62C ππ<<， 令()cos 1sin x f x x +=，则()()222sin cos cos 11cos sin sin x x x x f x x x--+--'==， 当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x ∴在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，cos 112sin C C +∴<<，3L <<+ 即ABC周长的取值范围为+⎝. 22．如图在小岛的正北方向上10n mile 的C 处有一艘货轮，为了躲避礁石，该货轮沿南偏西()3045θθ<<的方向航行，小岛B 有一艘快艇沿北偏西()90θ-角方向行驶给货轮运送补给，双方无线电约定在点P 处完成补给.货轮得到补给后将原航行方向顺时针旋转30向A 地运送物资.（1）如图，若A 地恰好在小岛B 的正西方向上，满足3AB BC ，求AC 两地的距离和θ的正切值；（2）如图2，若A 地恰好在小岛B 的西偏南5方向上，记()AP f θ=，令()()53sin 20f g θθθ=，计算当35θ=时，()g θ的值； （3）如图2，设PBC 的面积为()h θ，计算当36θ=时，()h θ的值.【答案】（1）AC 两地的距离为20 n mile ；3tan θ=；（2）() 5.14g θ≈-；（3）()23.78h θ≈. 【分析】（1）利用勾股定理可直接求得AC ；在ABP △中，利用正弦定理可构造关于sin ,cos θθ的齐次式，化简整理可得tan θ； （2）在ABP △中，利用正弦定理可得到()f θ，代入即可得到()g θ，将35θ=代入整理可求得结果；（3）根据90CPB ∠=可知12BPC SBP CP =⋅，整理得到()h θ，代入36θ=即可求得结果.【详解】（1）由题意知：10BC =，103AB =BCP θ∠=，90CPB ABC ∠=∠=， 10sin BP θ∴=，2220AC BC AB +=，即AC 两地的距离为20 n mile ； 在ABP △中，120APB ∠=，ABP θ∠=，60PAB θ∴∠=-，由正弦定理sin sin BP AB PAB APB =∠∠得：()10sin 103sin 603θθ=- 即()sin 2sin 603sin θθθθ=-=-，2sin 3θθ∴， sin 3tan cos θθθ∴==（2）由题意知：10sin BP θ=，120APB ∠=，5ABP θ∠=+，55PAB θ∴∠=-， 在ABP △中，由正弦定理sin sin BP AP PAB ABP =∠∠得：()()10sin sin 55sin 5AP θθθ=-+， ()()()10sin sin 5sin 55f AP θθθθ+∴==-，()()()10sin 5sin 55320g θθθ+∴=-；当35θ=时，()53cos 53cos 20cos 10sin 40202020sin 2020sin 20g θ=-=-，()200.94 5.14g θ∴≈⨯≈-. （3）由题意知：10sin BP θ=，10cos CP θ=， ()150sin cos 25sin 22BPC h S BP CP θθθθ∴==⋅==， 当36θ=时，()25sin7223.78h θ=≈.。
2020年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前2020年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒=（ ） A ．0B ．12C ．12-D 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222a b c tanB -+=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 3．已知110a b <<，给出下列三个结论：①22a b <；②2b a a b+>；③2lg lg a ab >.中所有的正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ） A ．12B ．11C ．10D ．95．如图，点A 、B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与x 正半轴的交点是C ，点B 的坐标为(45,−35)，∠AOC =α，若|AB |=1, 则sinα的值为（ ）………○………………○……※※请※………○………………○……A ．−3+4√310B ．3+4√310C ．4+3√310D ．−4+3√3106．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3B ．4C ．5D ．67．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，M 是BC 的中点，4AM =，则BC 等于（ ）A B C D 8．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅-=有一个根为1，则此三角形为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2010210S S -=，则3020S S -的最小值为（ ） A ．40B ．30C ．20D ．1010．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，则且当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为32，则m 的值为（ ）A ．58B ．12C ．58和12D ．58和12-11．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42xg x =-，若对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是（ ） A ．10,⎛⎫ ⎪B ．1,⎛⎫-∞ ⎪ C ．7,0⎛⎫-⎪ D ．7,⎛⎫-∞-⎪12．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦L ，求整数n 的值是（ ）A ．120B ．121C ．122D ．123第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是(1,m )，则m = ． 14．已知正数a ，b 满足a b >，且1ab =，则12aba a a b-+-的最小值为______. 15．已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos 3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则39S =______.16．定义11222n nn a a a H n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“均值”,已知数列{}n b 的“均值”12n n H +=，记数列{}n b kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意正整数n 恒成立，则实数k 的范围为__________． 三、解答题17．已知函数2()cos cos 444x x x f x =+． （1）若()1f x =，求2πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B 的取值范围．18．ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4csinC =(b +a)(sinB −sinA). （1）试问a ，b ，c 是否可能依次成等差数列？为什么？ （2）当cosC 取得最小值时，求ca .○…………装…………请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………19．已知等差数列{}n a 满足：42a =-，253a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =，12n n nnb b a +-=，求数列{}n b 的通项公式. 20．已知等比数列{}n a 的公比(1,)q ∈+∞，前n 项和为n S ，若3248S a +=，且223a -是1a 与3a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，记数列{}n a 的前n 项和n T ，若存在*n N ∈使1n nT m a <+成立，求实数m 的取值范围. 21．如图，某机械厂欲从2AB =米，AD =ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的面积为()f θ（单位：平方米）.（1）求()fθ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11221n n n S a ++=-+（*n N ∈），且25a =.（1）证明n na +12⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()nn 3n b =log a +2，且n 2222123n1111T =++++b b b b L 证明2n T <； （3）在（2）小问的条件下，若对任意的*n N ∈，不等式参考答案1．B 【解析】 【分析】由两角差余弦公式计算． 【详解】原式=1cos(7515)cos602︒-︒=︒=． 故选：B. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理及同角基本关系式即可得出． 【详解】∵()222a b c tanB -+=，∴222a c b ac tanB+-=．∴cos B 22222a c b ac tanB+-==，∴sin B =B ∈（0，π）． ∴B 3π=或23π． 故选D ． 【点睛】本题考查了三角函数求值、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】代入,a b 的特殊值，对错误序号进行排除，由此得到正确选项.【详解】不妨设2,1-=-=b a ，满足110a b<<.代入验证①()()2212-<-成立，代入②2152122--+=>--成立，代入③()2lg 10lg 2-=<错误，由此排除B,C,D 三个选项，本小题选A. 【点睛】本小题主要考查利用特殊值进行实数比较大小，还考查对数的运算，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列，只是公比不同，然后由等比数列前n 项和公式计算可得． 【详解】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{},{}n n a b ，它们都是等比数列，111a b ==，数列{}n a 的公比为12q =，数列{}n b 的公比为212q =，设需要n 天能打穿墙， 则1212()()n n a a a b b b +++++++L L 111()121221112212nnn n ---=+=+---， 10n =时，19112110251025120022n n -+-=-≈<，11n =时，110112120492049120022n n -+-=-≈>，因此需要11天才能打穿． 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的应用，掌握等比数列的前n 项和公式是解题关键． 5．A 【解析】 【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A 的坐标,由A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合sin 2α+cos 2α=1，即可解得sinα的值． 【详解】半径r ＝|OB |=√(45)2+(−35)2=1，由三角函数定义知，点A 的坐标为（cosα，sinα）； ∵点B 的坐标为（45，−35），|BC |=1， ∴1=√(45−cosα)2+(−35−sinα)2，∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又sin 2α+cos 2α=1，∴解得sin α=−3+4√310或−3−4√310，又点A 位于第一象限，∴0<α<π2，∴sin α=−3+4√310， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 6．C 【解析】 【分析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果.【详解】{}n a Q 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7．B 【解析】设2BC m = ，则2222224746022424m m m BC m m m +-+-+=⇒===⨯⨯选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 8．A 【解析】 【分析】把1x =代入方程，由降幂公式降幂后由诱导公式及两角和的余弦公式变形后可得． 【详解】由题意21cos cos cos02C A B --=，21cos cos cos sin 22C CA B -==， 2cos cos 1cos 1cos()1cos cos sin sin A B C A B A B A B =-=++=+-，∴cos()1A B -=，因为,A B 是三角形内角，∴0A B -=，即A B =． 因此ABC ∆是等腰三角形． 故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断．利用降幂公式，诱导公式，两角和与差的余弦公式变形即可得． 9．A 【解析】 【分析】由等比数列性质把和式用10S 和q 表示，求比值302020102S S S S --后用基本不等式可得最小值．【详解】∵{}n a 是正项等比数列，∴302020102S S S S --20201010101010(1)21q S q q S S q ==+--20101010111111q q q q -+==++--10101121q q =-++-24≥=，当且仅当1010111q q -=-，即102q =时等号成立． ∴3020S S -的最小值为41040⨯=．故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查基本不等式求最值，解题时可把10S 作为一个整体，表示出302020102S S S S --后容易观察到用基本不等式求最小值．10．B 【解析】 由图可知，143124T πππ=-=，解得πT =,于是2πT πω==，得2ω=.因为22?sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 所以2π2k π,k Z 32πϕ+=+∈，又2πϕ<，故6πϕ=-. 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.()()22sin 44m?sin 2cos 44m?sin 212266366g x mf x x x x x sin x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222[2]216sin x m m π⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭.因为5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是220,?63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 20,16x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.①当0m <时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符； ②当01m ≤≤时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221m +， 由已知得23212m +=，解得12m =. ③当1m >时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值4m 1-. 由已知得34m 12-=，解得58m =,矛盾. 综上所述：12m =. 故选B.点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ 11．C 【解析】 【分析】先求得()0<g x 的解集12x <，接着用分类讨论方法解不等式()0f x <，只要12x ≥时，()0f x <即可．【详解】由()420xg x =-<得12x <， 因此对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，只要12x ≥时，()0f x <即可， ()()()23f x m x m x m =-++，∴0m <，()0f x =2x m ⇒=或3x m =--，由23m m =--得1m =-，当10m -≤<时，23m m ≥--，()0f x <⇒2x m >或3x m <+，∴122m <，14m <，∴10m -≤<满足题意，当1m <-时，23m m <--，()0f x <⇒2x m <或3x m >--，∴132m --<，72m >-，∴712m -<<-， 综上，702m -<<． 故选：C. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查含参数的一元二次不等式的解集问题．分类讨论是解决含参数的一元二次不等式的基本方法． 12．C 【解析】 【分析】由已知得210n n n a a a +-=>，确定数列{}n a 是递增数列，1{}n a 是递减数列，且10na >，已知式变为11111n n n a a a +=-+，即11111n n n a a a +=-+，1111n n n a a a =-++，求和得1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--，利用单调性估值1111n a a +-，2n ≥时，1311a a -≤1111n a a +-11a <，然后可求得1212[]111n n a a a a a a ++++++L ． 【详解】∵()11n n n a a a +=+2n n a a =+，∴210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，从而数列1{}n a 是递减数列，且10na >， 又由()11n n n a a a +=+得11111n n n a a a +=-+， 即11111n n n a a a +=-+，1111111n n n n n a a a a a +-==-+++，∴1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--， ∴1212[]111n n a a a a a a ++++++L 1111[()]n n a a +=--，又1111112n a a a +-<=， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，2n ≥时，111311112621n a a a a +-≥-=，此时1212[]111n n a a a a a a ++++++L 2n =-， 由2120n -=，得122n =． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的递推关系式，考查裂项相消法求和、数列的单调性，考查学生的创新意识． 13．2 【解析】试题分析：x=1时，a-6+2a =0（1）1a =-3，-32x -6x+9<0,得x<-3,或x>1,与题不合。
2020-2021学年成都七中高一下期半期考试数学试卷及答案(1)
( A)AB FC(B)AB AD (C )AB AE(D)AB AC
8.若S 3n 3n1 2 3n2 22 3 2n1 2n ,则S ( A)3n1 4(B)3n1 2n1(C )3n 22n1(D)32n1 2n
9.ABC的内角A, B,C所对的边长分别为a, b, c,且3a cos B 3b cos A 2c, 则tan A的值为
又
m
3a b
2
2
3a b 2
3a b 2,同理 n 2.
设m, n夹角为，则
cos m n 2 3 3 , m n 22 2
4分 10分 11分
m, n的夹角 =30 .
12分
第1页
19.(本小题满分 12 分)
解：(1)设数列an的公差为d ,数列bn的公比为q 0,
则1 1
满足 : a1 b1 1, a2 b2 1, a3 b3 1.
(1)求数列an , bn 的通项公式;
(2)设cn
an
bn ,数列cn的前n项和为Sn ,求满足
Sn 3 an1
100(n
2, n
N
)的最小正整数n的值.
3
20.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列an满足：a1
( A) 1(B) 11
4
16
(C ) 1(D) 7
4
8
3.若tan 1 , tan 1 ,则tan( )
2
3
( A) 1(B)1(C) 1(D) 1
7
7
4.若 R,则sin cos( ) cos sin( )的值为
3
3
( A) 1(B) 1(C ) 3(D) 3
2
2020-2021成都七中高一数学下期中第一次模拟试卷(附答案)
一、选择题 1．已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 m / /, n / /, 则 m // n
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m n ，则 n / /
D．若 m / / ， m n ，则 n
直线 l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点 P(0,−1).
kPA
1 2
0 1
1, kPB
1 0 0 3
3.
3
∵点(1,−2)和( 3 ,0)在直线 l:ax−y−1=0(a≠0)的两侧， 3
∴kPA<a<kPB,∴−1<tanθ< 3 ，tanθ≠0.
解得 0 , 3 . 34
(3 a)x 3, x 7
2．若函数 f (x) ax6, x 7
单调递增,则实数 a 的取值范围是( )
A．
9 4
,
3
3．对于平面
B．
9 4
,
3
C． 1,3
D． 2, 3
、 、 和直线 a 、 b 、 m 、 n ,下列命题中真命题是( )
A．若 a m, a n, m , n , ,则 a
13．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点 利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵ 一个直三棱柱的
每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴ 设此直三棱柱两底面的中心分别
解析： 21
【解析】
【分析】
设此直三棱柱两底面的中心分别为 O1, O2 ，则球心 O 为线段 O1O2 的中点，利用勾股定理 求出球 O 的半径 R2 ，由此能求出球 O 的表面积．
2020-2021成都七中实验学校高一数学下期中模拟试卷含答案
2020-2021成都七中实验学校高一数学下期中模拟试卷含答案一、选择题1．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．642．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π4．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在5．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．8 6．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离8．已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．69．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm10．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 12．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题13．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________. 14．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.15．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.16．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.17．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______18．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．三、解答题21．已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.22．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．24．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ； （Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．25．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ．(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则22a OA =,1PO ⊥ 平面ABCD . 则22211OO O A OA +=,即()222233a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯= . 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．A解析：A 【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球， 外接球的直径等于长方体的对角线， 即24116R =++=，所以外接球的表面积为：246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.5．C解析：C 【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 所以22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．7．B解析：B 【解析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B8．B解析：B 【解析】 【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，22121216162S AC BD d d =⋅=-⋅-，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.222222121211222161622S AC BD r d r d d d =⋅=⨯-⋅-=-⋅- 2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.10．C解析：C 【解析】 【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11．A解析：A 【解析】 【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径. 【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E， 因为AB ＝AD ＝1，BD由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径2DE =2432S ππ== 故选A 【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：28 【解析】 【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可. 【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()1211416832833V S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=.故答案为：28． 【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=【解析】 【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.15．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN ＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 16．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心解析：523π 【解析】【分析】 如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，由O 是CD 的中点得221322232D ABC O ABC V V --==⨯⨯=， 解得3d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心， 所以123CO =， 所以22223133)33R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=【解析】【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解.【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ， 1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠V V ， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--u u u r u u u r ，解得55,33a b ==， 55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=. 故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题. 18．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题解析：1-【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可.【详解】因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，所以110a ⨯+=解得1a =-.故填1-.【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.19．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥I 平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析：【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方可得CD 的长．【详解】 Q 二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， 且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r 2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==u u u r ．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题21．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l 的距离为23221k kd k +-==+，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m 的距离222321521k AB d r k +-⎛⎫==-= ⎪+⎝⎭ 22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <Q ，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.22．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，k ≤≤或34k =±． 【解析】【分析】 （1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴11⋅=-C M AB k k 即13y y x x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且525,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，525,3F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L 223402321k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±，又20235554DE DF k k ⎛- ⎝⎭=-=-=-332525,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点．考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）取PD 中点G ，连接AG 、FG ，由题意结合中位线性质可得//FG AE 且FG AE =，即可得四边形FGAE 为平行四边形，进而可得//FE AG ，再由线面平行的判定即可得证；（Ⅱ）由线面垂直的性质和正方形的性质可得DO ⊥平面PAC ，进而可得DO AF ⊥，由平面几何知识可得AF PO ⊥，再由线面垂直的判定即可得证.【详解】（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接AG 、FG ，Q E ，F 分别为AB ，PC 的中点，底面ABCD 为正方形∴//FG CD 且12FG CD =，//AE CD 且12AE CD =， ∴//FG AE 且FG AE =，∴四边形FGAE 为平行四边形，∴//FE AG ,又FE ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，∴//EF 平面PAD .（Ⅱ）证明：Q 底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，∴PA DO ⊥，AC DO ⊥，Q PA AC A =I ，∴DO ⊥平面PAC ，∴DO AF ⊥，在PAC V 中，设PO AF H =I ，如图，由题知90PAC ∠=o ， O ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴AF FC =即CAFFCA ??， 设PA a =，则2AC a =，2AO =， ∴APO ACP V V ∽，∴APOPCA ??，∴90AHP ∠=o 即AF PO ⊥， 又PO OD O =I ，∴AF ⊥平面POD .【点睛】本题考查了线面平行和线面垂直的判定，考查了空间思维能力，属于中档题.24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）23. 【解析】【分析】（Ⅰ）连接PF ，由题意可得//PE AF ，由面面垂直的性质和等腰三角形的性质可得DC ⊥平面ABC ，AF BC ⊥，进而可得AF ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BCD ，由面面垂直的判定即可得证；（Ⅱ）由（1）知PE ⊥平面BDF ，计算出2PE BF ==2BDF S =V 三棱锥体积公式即可得解.【详解】（Ⅰ）证明：连接PF ，Q F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，∴//PF CD 且12PF CD =，Q //AE CD 且2DC AE =，∴//PF AE 且PF AE =，∴四边形AEPF 为平行四边形，∴//PE AF ，Q 平面AEDC ⊥平面ABC ，平面AEDC I 平面ABC AC =，90ACD ∠=︒， ∴DC ⊥平面ABC ，∴DC AF ⊥，又AC AB =，∴AF BC ⊥，Q BC DC C =I ，∴AF ⊥平面BCD ，∴PE ⊥平面BCD ，又PE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得PE ⊥平面BCD 即PE ⊥平面BDF ，Q 22DC AC AB AE ====，90ACD BAC ∠=∠=︒ ∴221122222PE AF BF BC ====+= ∴122BDF S BF DC =⋅=V ， ∴11332223BDF E BDF S PE V -⋅===V . 【点睛】本题考查了面面垂直的判定和三棱锥体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.25．（1）4x =或3480x y +-=（2）22【解析】【分析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心C 与直线l 的距离,由弦长公式即可得出答案.【详解】解: (1)由题意可得()2,3C ,直线l 与圆C 相切当斜率不存在时，直线l 的方程为4x =,满足题意当斜率存在时，设直线l 的方程为14y k x +=-,即410kx y k ---=∴2234121k k k ---=+,解得34k =- ∴直线的方程为3480x y +-=∴直线l 的方程为4x =或3480x y +-=(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，直线l 的方程为30x y +-=圆心()2,3C 到直线l 的距离为23322+-=∴弦长为2222(2)22-=【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.26．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论.【详解】（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==， 所以四边形ABCM 是平行四边形，所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，所以//NQ PA ，因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，所以//PA 平面MNB ；（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥，因为//MD BC ，MD BC =，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥，因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ，所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PMB ．【点睛】本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.。
2020-2021成都七中初中学校高一数学下期末一模试卷含答案
A． 1 2
B． 1 2 2
C． 1 10 2
D． 3 2 2 2
3．已知 f x sin x cosx ,＞0， ＜ ， f x 是奇函数，直线
2
y 2 与函数 f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 ，则（ ）
2
A．
f
x
在
8
,
3 8
上单调递减
B．
f
x
在
【详解】 根据题意知：
OM OPcos x cos x
M 到直线 OP 的距离为： OM sin x cos xsin x
f (x) cos x sin x 1 sin 2x 2
对应图像为 B 故答案选 B 【点睛】 本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.
6．C
解析：C 【解析】 试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之
增加多少尺布？”若一个月按 30 天算，则每天增加量为
A． 1 尺 2
B． 8 尺 15
C． 16 尺 29
D． 16 尺 31
10．要得到函数 y 2 3 cos2 x sin 2x 3 的图象，只需将函数 y 2sin 2x 的图象
（）
A．向左平移 个单位 3
C．向左平移 个单位 6
24．已知平面向量 a 3, 4 ， b 9, x ， c 4, y ，且 a//b ， a c .
（1）求 b 和 c ；
（2）若 m 2a b ， n a c ，求向量 m 与向量 n 的夹角的大小.
25．已知数列
an
满足 a1
1，an1
2an ，n an 2
N*
，bn
2021学年四川省成都市高一(下)期中数学试卷(文科)(有答案)
2021学年四川省成都市高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. cos45∘cos15∘−sin45∘sin15∘＝（）A.1 2B.√32C.−12D.−√322. 已知数列{a n}是等差数列，且a1+a4+a7＝9，则a4的值为（）A.3B.6C.8D.93. 若m<n<0，则下列不等式中不成立的是（）A.|m|>|n|B.m2>n2C.1m >1nD.m3>n34. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A＝45∘，B＝15∘，c＝3√3，则a ＝（）A.√2B.2√2C.3√2D.4√25. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=−3，2a4+3a7=9，则S7的值等于( )A.21B.1C.−42D.06. 已知等比数列{a n}中，a1＝1，a2a12＝2a7+3，则a13＝（）A.36B.9C.12D.187. 已知x，y∈R，且满足1x +3y=1，则x+3y的最小值为( )A.9B.10C.12D.168. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b=2c，a=√6，A=π3，则△ABC的面积为（）A.1B.3C.2√3D.√39. 已知tanα＝3，则sin2α+12sin2α＝（）A.6 5B.45C.−65D.−4510. 已知函数f(x)＝sin x+sin(x+π3)，则f(x)的最小值为（）A.−√3B.0C.−√32D.1211. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且a n≠1，若S2020＝1010，f(x)=3xx−1，则f(a1)×f(a2)×...×f(a2020)＝（）A.34040B.31010C.32020D.112. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足3a1+32a2+……+3n a n＝n(n∈N∗)，若对于任意的x∈R，n∈N∗，不等式S n<x2+ax+1恒成立，则实数a的取值范围为（）A.[−√2, √2] B.(−√2, √2)C.(−∞, −√2]∪[√2, +∞)D.(−∞, −√2)∪(√2, +∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.不等式x−x2≥0的解集是________．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b sin B+c sin C+12c sin B−a sin A＝0，则cos A＝________已知正项等比数列{a n}，其前n项和为S n，S2＝6，S3＝7，则a n＝________．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若c＝3b cos A．则a cos A+b cos Ba cos B的最小值为________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，且3a2+2a5＝27，a1+S4＝17．（1）求d和a n；（2）求数列{1S n+n}的前n项和M n．已知α为锐角，cos(α+π4)=513．（1）求sinα和cosα的值；（2）求tan(2α+π4)的值．已知数列{a n}满足：a1＝2，当n≥2时，a n−a n−1＝2n；数列{b n}满足：b1=13a2，b n+1＝2b n．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝nb n，求数列{c n}的前n项和S n．为了更好地维护我国海洋权益，近年来我国在一些海岛上修建飞机场．在我国某海域有一海岛，该岛的顶部为平地，大致形状由一个直角三角形和一个半圆构成．如图，AB=√3km，BC＝2km，∠ABC=π2．现计划修建一条飞机跑道AP（不考虑宽度），点P在半圆弧上（不含B点），设∠PBC＝θ．（1）用θ表示AP的长度，并写出θ的取值范围；（2）求AP的最大值．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的三边依次为a，b，c，且√2a−c=√2b⋅cos C．（1）求角B；（2）若△ABC的面积为2√2，求b2+3c2+√2ac的最小值及取最小值时a，c的值．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n−2n+1．（1）求a n和S n；（2）设数列{S n}的前n项和为T n，若不等式T n−t⋅2n≥0对于n∈N∗恒成立，求t的取值范围．参考答案与试题解析2021学年四川省成都市高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】cos45∘cos15∘−sin45∘sin15∘＝cos(45∘+15∘)＝cos60∘=1．22.【答案】A【考点】等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解．【解答】因为数列{a n}是等差数列，由等差数列的性质可知a1+a4+a7＝3a4＝9，则a4＝3．3.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】根据条件，取m＝−2，n＝−1，可知D不成立．【解答】因为m<n<0，故取m＝−2，n＝−1，(−2)3<(−1)3，故选项D不成立．故选：D．4.【答案】C【考点】正弦定理【解析】先利用三角形内角和求出角C，再利用正弦定理即可算出结果．【解答】∵A＝45∘，B＝15∘，∴C＝120∘，又∵A＝45∘，c＝3√3，由正弦定理asin A =csiinC，得√22=√3√32，解得：a＝3√2，5.【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列{a n}的通项公式求出d＝1，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=−3，2a4+3a7=9，∴2(−3+3d)+3(−3+6d)=9，解得：d=1.∴S7=7×(−3)+7×62×1=0．故选D.6.【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列通项公式解得q6＝3，由此能求出a13．【解答】∵等比数列{a n}中，a1＝1，a2a12＝2a7+3，∴q⋅q11＝2q6+3，解得q6＝3，∴a13＝q12＝9．7.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵1x +3y=1，∴x+3y=(x+3y)(1x +3y)=10+3yx +3xy≥10+2√3yx⋅3xy=16，当且仅当3yx =3xy且1x+3y=1，即x=y=4时取等号，故选D.8.【答案】D【考点】正弦定理余弦定理【解析】由已知利用余弦定理可求b，c的值，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵b=2c，a=√6，A=π3，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A，可得6=b2+c2−bc=4c2+c2−2c⋅c=3c2，解得c=√2，可得b=2√2，∴S△ABC=12bc sin A=12×2√2×√2×√32=√3．故选D．9.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】∵已知tanα＝3，则sin2α+12sin2α=sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+tanαtan2α+1=9+39+1=65，10.【答案】A【考点】三角函数的最值【解析】由条件利用两角和与差的三角函数，求得f(x)=√3sin(x+π6)，根据正弦函数的值域，求得f(x)的值域．【解答】函数f(x)＝sin x+sin(x+π3)＝sin x+12sin x+√32cos x=√3(√32sin x+12cos x)=√3sin(x+π6)，当x＝2kπ−2π3，k∈Z时，f(x)取得最小值为−√3，11.【答案】C【考点】等差数列的性质【解析】由已知结合等差数列的性质可求a1+a2020＝1，且f(x)×f(1−x)=3xx−1×3−3x1−x−1=9，代入即可求解．【解答】由题意可得，S2020＝1010(a1+a2020)＝1010，∴a1+a2020＝1，∵f(x)=3xx−1，∴f(x)×f(1−x)=3xx−1×3−3x1−x−1=9，∴f(a1)×f(a2)×...×f(a2020)＝91010＝32020．12.【答案】A【考点】数列递推式【解析】由3a1+32a2+……+3n a n＝n(n∈N∗)⇒当n≥2时，有3a1+32a2+……+3n−1a n−1＝n−1，两式相减整理得：3n a n＝1，即a n=13n (n≥2)，再由a1=13也适合，得到a n与S n．再由对于任意的x∈R，n∈N∗，不等式S n<x2+ax+1恒成立，得到：(x2+ax+1)min＝1−a24≥12，解出a即可选出正确选项．【解答】∵3a1+32a2+……+3n a n＝n(n∈N∗)，∴当n≥2时，有3a1+32a2+……+3n−1a n−1＝n−1，两式相减得：3n a n＝1，即a n=13n(n≥2)，又当n＝1时，有3a1＝1，解得a1=13；∴a n=13n ，S n=13[1−(13)n]1−13=12[1−(13)n]<12．∵对于任意的x∈R，n∈N∗，不等式S n<x2+ax+1＝(x+a2)2+1−a24恒成立，∴(x2+ax+1)min＝1−a24≥12，即a2≤2，∴a∈[−√2, √2]．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】{x|0≤x ≤1} 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】不等式x −x 2≥0化为x 2−x ≤0，利用一元二次不等式的解法即可得出． 【解答】不等式x −x 2≥0化为x 2−x ≤0，化为x(x −1)≤0， 解得0≤x ≤1．∴ 不等式x −x 2>≥0的解集是{x|0≤x ≤1}． 【答案】 −14【考点】 正弦定理 【解析】先由正弦定理得到b 2+c 2−a 2=−12bc ，再利用余弦定理即可算出结果． 【解答】由b sin B +c sin C +12c sin B −a sin A ＝0，角化边得b 2+c 2+12bc −a 2=0， 即b 2+c 2−a 2=−12bc ， 由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc =−12bc 2bc=−14，【答案】 23−n 【考点】等比数列的前n 项和 【解析】由正项等比数列前n 项和公式，列出方程组求出a 1＝4，q =12，由此能求出a n 的值． 【解答】∵ 正项等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，S 2＝6，S 3＝7， 由题意得q ≠1，∴{a 1(1−q 2)1−q=6a 1(1−q 3)1−q=7，且q >0，解得a 1＝4，q =12，∴ a n =a 1q n−1=4×(12)n−1＝23−n ． 【答案】 √2【考点】 正弦定理 【解析】由正弦定理知，asin A =bsin B =csin C ，将c ＝3b cos A 中的边化为角，并结合正弦的两角和公式，可推出2sin B cos A ＝sin A cos B ，再把角化为边有cos A =a cos B 2b，代入所求的代数式，然后利用基本不等式的性质即可得解． 【解答】 由正弦定理知，a sin A=b sin B=c sin C，∵ c ＝3b cos A ，∴ sin C ＝3sin B cos A ＝sin (A +B)＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴ 2sin B cos A ＝sin A cos B ，即cos A =sin A cos B 2sin B=a cos B 2b ．∴a cos A+b cos Ba cos B=cos A cos B+b a=a cos B 2b⋅1cos B+ba=a2b+ba≥2√a 2b⋅b a=√2，当且仅当a2b=ba即a =√2b 时，等号成立． ∴a cos A+b cos Ba cos B的最小值为√2．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，且3a 2+2a 5＝27，a 1+S 4＝17． 则：{3a 1+3d +2a 1+8d =27a 1+4a 1+4×32d =17，解得d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝1+2(n −1)＝2n −1． 由（1）得：S n =1+3+⋯+2n −1=n(1+2n−1)2=n 2，所以1S n +n=1n 2+n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以M n =1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1．【考点】 数列的求和 【解析】（1）首先利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和． 【解答】等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，且3a 2+2a 5＝27，a 1+S 4＝17．则：{3a 1+3d +2a 1+8d =27a 1+4a 1+4×32d =17，解得d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝1+2(n −1)＝2n −1． 由（1）得：S n =1+3+⋯+2n −1=n(1+2n−1)2=n 2，所以1Sn+n=1n 2+n =1n(n+1)=1n −1n+1， 所以M n =1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1． 【答案】∵ 已知α为锐角，cos (α+π4)=513，故(α+π4)为锐角，故sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=1213，故sinα＝sin[(α+π4)−π4]＝sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=1213⋅√22−513⋅√22=7√226，cosα＝cos[(α+π4)−π4]＝cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=513⋅√22+1213⋅√22=17√226．∵tanα=sinαcosα=717，∴tan2α=2tanα1−tan2α=119120，∴tan(2α+π4)=tan2α+11−tan2α=239．【考点】两角和与差的三角函数二倍角的三角函数【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得sinα和cosα的值．（2）先求得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值，再利用两角和的正切公式求得tan(2α+π4)的值．【解答】∵已知α为锐角，cos(α+π4)=513，故(α+π4)为锐角，故sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=1213，故sinα＝sin[(α+π4)−π4]＝sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=1213⋅√22−513⋅√22=7√226，cosα＝cos[(α+π4)−π4]＝cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=513⋅√22+1213⋅√22=17√226．∵tanα=sinαcosα=717，∴tan2α=2tanα1−tan2α=119120，∴tan(2α+π4)=tan2α+11−tan2α=239．【答案】数列{a n}满足：a1＝2，当n≥2时，a n−a n−1＝2n；所以a n−1−a n−2＝2(n−1)，a n−2−a n−3＝2(n−2)，…，a2−a1＝2×2，所有的式子相加得：a n−a1＝2(2+3+...+n)，所以a n＝2(1+2+3+..+n)=2×n+n 22=n2+n（首项符合通项）．所以a n=n2+n．数列{b n}满足：b1=13a2=13×(4+2)=2，b n+1＝2b n．整理得b n+1b n=2（常数），所以b n=2×2n−1=2n．由于c n=nb n=n⋅2n，所以S n=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n①，2S n=1×22+2×23+3×24+⋯+n⋅2n+1②，①-②得−S n=(21+22+23+⋯+2n)−n⋅2n+1=2(2n−1)2−1−n⋅2n+1，整理得：S n=(n−1)⋅2n+1+2．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）直接利用叠加法和等比数列的定义的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】数列{a n}满足：a1＝2，当n≥2时，a n−a n−1＝2n；所以a n−1−a n−2＝2(n−1)，a n−2−a n−3＝2(n−2)，…，a2−a1＝2×2，所有的式子相加得：a n−a1＝2(2+3+...+n)，所以a n＝2(1+2+3+..+n)=2×n+n 22=n2+n（首项符合通项）．所以a n=n2+n．数列{b n}满足：b1=13a2=13×(4+2)=2，b n+1＝2b n．整理得b n+1b n=2（常数），所以b n=2×2n−1=2n．由于c n=nb n=n⋅2n，所以S n=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n①，2S n=1×22+2×23+3×24+⋯+n⋅2n+1②，①-②得−S n=(21+22+23+⋯+2n)−n⋅2n+1=2(2n−1)2−1−n⋅2n+1，整理得：S n=(n−1)⋅2n+1+2．【答案】连接线段CP，∵线段BC为该半圆的直径，∴BP⊥CP∴在△BPC中,cosθ=BPBC =BP2，解得BP＝2cosθ(km)，∵∠ABC=π2，∴∠ABP=π2+θ∴在△ABP中，由余弦定理，可得AP2＝AB2+BP2−2⋅AB⋅BP⋅cos∠ABP=3+4cos2θ−2×√3×2cosθ×cos(π2+θ)=3+4cos2θ+4√3sinθcosθ=2√3sin2θ+2cos2θ+5=4sin(2θ+π6)+5，∴AP=√4sin(2θ+π6)+5，由点P在半圆弧上（不含B点）可知0≤θ<π2，∴AP=√4sin(2θ+π6)+5(0≤θ<π2)．设函数f(x)=4sin(2θ+π6)+5(0≤θ<π2)，∴π6≤2θ+π6<7π6，由三角函数性质，可得−12<sin(2θ+π6)≤1，∴3<f(x)⩽9，∴AP的最大值为AP max=√f(x)max=3．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据几何关于及余弦定理即可求出AP的长度，结合图形可得到θ的取值范围；（2）根据三角函数的图象与性质求出AP的最大值即可．【解答】连接线段CP，∵线段BC为该半圆的直径，∴BP⊥CP∴在△BPC中,cosθ=BPBC =BP2，解得BP＝2cosθ(km)，∵ ∠ABC =π2，∴ ∠ABP =π2+θ∴ 在△ABP 中，由余弦定理，可得AP 2＝AB 2+BP 2−2⋅AB ⋅BP ⋅cos ∠ABP=3+4cos 2θ−2×√3×2cos θ×cos (π2+θ)=3+4cos 2θ+4√3sin θcos θ=2√3sin 2θ+2cos 2θ+5 =4sin (2θ+π6)+5，∴ AP =√4sin (2θ+π6)+5， 由点 P 在半圆弧上 （ 不含 B 点）可知 0≤θ<π2，∴ AP =√4sin (2θ+π6)+5(0≤θ<π2)．设函数 f(x)=4sin (2θ+π6)+5(0≤θ<π2)， ∴ π6≤2θ+π6<7π6，由三角函数性质，可得−12<sin (2θ+π6)≤1， ∴ 3<f(x)⩽9，∴ AP 的最大值为 AP max =√f(x)max =3． 【答案】由正弦定理得√2a −c =√2b ⋅cos C 可化为： √2sin A −sin C =√2sin B cos C ，将sin A ＝sin (B +C)＝sin B cos C +cos B sin C 代入上式整理得： √2cos B sin C −sin C =0，因为sin C ≠0， 故cos B =√22，因为B ∈(0, π)，故B =π4．由题意知：S =12ac sin B =√24ac =2√2，所以ac ＝8．又 b 2=a 2+c 2−2ac ×√22=a 2+c 2−8√2．故b 2+3c 2+√2ac ＝a 2+4c 2≥2a ×2c ＝32． 当且仅当{a =2cac =8 ，即a ＝4，c ＝2时取等号．故当a ＝4，c ＝2时，原式取得最小值32． 【考点】 余弦定理 正弦定理【解析】（1）利用正弦定理将原式边角互化，消去A ，化归为关于B ，C 的三角函数式，即可求出cos B 的值，最终求出B ；（2）根据（1）知B 的余弦值、正弦值，利用面积公式求出ac 、利用余弦定理将b 2+3c 2+√2ac 中的b 消去，最后利用基本不等式求最小值． 【解答】由正弦定理得√2a −c =√2b ⋅cos C 可化为：√2sin A −sin C =√2sin B cos C ，将sin A ＝sin (B +C)＝sin B cos C +cos B sin C 代入上式整理得： √2cos B sin C −sin C =0，因为sin C ≠0， 故cos B =√22，因为B ∈(0, π)，故B =π4．由题意知：S =12ac sin B =√24ac =2√2，所以ac ＝8．又 b 2=a 2+c 2−2ac ×√22=a 2+c 2−8√2．故b 2+3c 2+√2ac ＝a 2+4c 2≥2a ×2c ＝32． 当且仅当{a =2cac =8 ，即a ＝4，c ＝2时取等号．故当a ＝4，c ＝2时，原式取得最小值32． 【答案】由于数列{S n }的前n 项和为T n ，所以T n =3(21+22+⋯+2n)−2(1+2+⋯+n)−3n =3×2×(2n −1)2−1−(n 2+n)−3n =6×(2n −1)−n 2−4n ．由于不等式T n −t ⋅2n ≥0对于n ∈N ∗恒成立， 所以6×(2n −1)−n 2−4n ≥t ⋅2n 恒成立， 则6×2n −n 2−4n−62n≥t ，整理得6−(n+2)2+22n≥t ，设函数f(n)=(n+2)2+22n，则f(n +1)=(n+3)2+22n+1，所以f(n +1)−f(n)<0，故函数f(n)为单调递减函数， 所以函数g(n)=6−(n+2)2+22n为单调递增函数，所以当n ＝1时，g =12，当n ＝2时，g(1)=32．函数g(n)的最小值为12． 所以6×2n −n 2−4n−62n ≥t 恒成立，只需满足[6×2n −n 2−4n−62n]min ≥t ，即t ≤12． 【考点】 数列的求和 数列递推式【解析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，再利用分组法求出数列的和．（2）利用函数的单调性和恒成立问题的应用求出参数的取值范围．【解答】由于数列{S n }的前n 项和为T n ，所以T n =3(21+22+⋯+2n)−2(1+2+⋯+n)−3n =3×2×(2n −1)2−1−(n 2+n)−3n =6×(2n −1)−n 2−4n ．由于不等式T n −t ⋅2n ≥0对于n ∈N ∗恒成立， 所以6×(2n −1)−n 2−4n ≥t ⋅2n 恒成立， 则6×2n −n 2−4n−62n≥t ，整理得6−(n+2)2+22n≥t ，设函数f(n)=(n+2)2+22n，则f(n +1)=(n+3)2+22n+1，所以f(n +1)−f(n)<0，故函数f(n)为单调递减函数， 所以函数g(n)=6−(n+2)2+22n为单调递增函数，所以当n ＝1时，g =12，当n ＝2时，g(1)=32． 函数g(n)的最小值为12． 所以6×2n −n 2−4n−62n ≥t 恒成立，只需满足[6×2n −n 2−4n−62n]min ≥t ，即t ≤12．。
2020-2021成都七中嘉祥外国语学校高一数学下期中一模试题含答案
2020-2021成都七中嘉祥外国语学校高一数学下期中一模试题含答案一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 3．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-= 4．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则A ．b a c ≤≤B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤5．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o6．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．32 8．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π9．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．B ．C ．D ．10．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．-2或0 11．如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．3B ．3C ．4D ．4二、填空题13．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.14．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.15．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.16．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．17．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________19．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______ 20．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，BC =ABC 的距离为__________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.22．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.（1）求证：EF P 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .23．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P -（1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程.24．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AAC C ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ;（2）若四棱锥B ACMN -的体积为32，求1A AC ∠的正弦值. 25．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．26．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的（1）求证：1//MD 平面BEFD ．（2）求M 到平面BEFD 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C.该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.3．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
2020-2021成都七中(高新校区)高三数学下期中第一次模拟试题含答案
2020-2021成都七中(高新校区)高三数学下期中第一次模拟试题含答案一、选择题1．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-5．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S < B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =6．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5C ．6D ．4或58)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．29．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10 B ．12? C ．14D ．16 10．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．3611．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．81二、填空题13．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .14．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式n a =_______．15．在等比数列中，，则__________．16．设(32()lg 1f x x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）17．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 18．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．19．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y +的最小值为______． 20．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．三、解答题21．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin sin a A b B c C B +=+()1求角C ；()2求cos 4A B π⎛⎫-+⎪⎝⎭的最大值． 22．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值. 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4133n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .24．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积． 25．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.26．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】【详解】 先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.3．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+，结合正弦定理及三角恒等变换知识3sinA cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．5．B解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.6．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.7．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．8．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+>由均值不等式可得：369(3)(6)22a a a a -++-+≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1， ∴()11119999110216y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.10．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C11．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9【解析】 【分析】 【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9. 14．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项 解析：2221n n -- 【解析】 【分析】 构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.15．64【解析】由题设可得q3=8⇒q=3则a7=a1q6=8×8=64应填答案64解析：【解析】由题设可得，则，应填答案。
2020-2021学年成都七中高一(下)期中数学复习卷(有解析)
2020-2021学年成都七中高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.cos95°cos35°+sin95°cos55°=()A. 12B. √22C. √32D. 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2−b2−c2+bc=0，则∠A等于()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3.若1a <1b<0，则下列不等式中， ①ab<b2； ②a2>b2； ③a+b2<−√ab； ④ab+ba>2.成立的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 44.我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何?意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?此时，各打洞多少?两鼠相逢需要的天数最小为()A. 2B. 3C. 4D. 55.在直角坐标系中，P点的坐标为(35,45)，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且∠POQ=3π4，则Q点的横坐标为()A. −7√210B. −3√25C. −7√212D. −8√2136.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且3a11−a12=5，则S20=()A. 20B. 10C. 4D. 507.在△ABC中，D为BC边上一点，DC=2BD，AD=√2，∠ADC=60°，若AC=√2AB，则BD等于()A. 2+√3B. 2+√2C. √2+√3D. 1+√28.在锐角△ABC中，设x=sin A·sin B，y=cos A·cos B，则x，y的大小关系是()A. x≤yB. x<yC. x≥yD. x>y9.在正项等比数列{a n}中，若a1=2，a3=8，{a n}的前n项和为S n.则S6=()A. 62B. 64C. 126D. 12810. 已知函数f (x )=Asin (ωx +π6)(A >0,ω>0,x ∈(−∞,+∞))的最小正周期为π，且f (0)=√3，则函数y =f (x )在区间[−π4,π4]上的最小值是( )A. −√6B. −2√3C. −3D. 2√311. 已知函数f(x)=x 2+ax +4，若对任意的x ∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a 的最大值为( )A. −1B. 1C. −2D. 212. 已知数列{a n }满足a n+1=12a n +2a n(n ∈N ∗)，若a 3=4120，则a 1的值为( )A. 1B. 4C. 1或4D. 35或45二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知关于x 的不等式x 2−4x +t <0的解集为(1,m )，则实数m =___________． 14. 已知x >0，则 x +1x 的最小值为______．15. 已知数列的前{a n }的前n 项和为S n =2n+1,b n =log 2(a n 2⋅2a n )，数列的{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >1024的最小n 的值为______16. 数列{a n }中，a 1=1，a n +a n+1=(15)n (n ∈N ∗)，S n =a 1+5a 2+52a 3+⋯+5n−1a n ，则6S n −5n a nn= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ．cos2A +cosBcosC +1=sinBsinC ．(1)求角A ；(2)若a =√7，c =2，求b ．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若b=7，△ABC的面积为10√3，求sinA+sinC．19.已知数列{a n}满足2a n−1−a n a n−1=1(n≥2)，a1=2，证明数列{1a n−1}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．20.公差不等于零的等差数列{a n}的前3项和S3=9，且a1.a2.a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知T n为数列{1a n a n+1}的前项和，若T n≤λa n+1对一切n∈Z∗恒成立，求实数λ的最小值．21.如图，长方形ABCD表示一张12×24(单位：分米)的工艺木板，木板上有一瑕疵(记为点P)到边框AB，AD的距离分别为2分米，3分米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M,N分别在AB，AD上．(1)已知AM=4分米，求剩下木板MBCDN的面积；(2)求剩下木板MBCDN的边框长度(MB,BC，CD，DN的长度之和)的最大值．22.已知数列{b n}满足S n+b n=n+13，其中S n为数列{b n}的前n项和．2}是等比数列，并求数列{b n}的通项公式；(1)求证：数列{b n−12≥2n−7恒成立，求实数k的取值范围．(2)如果对任意n∈N∗，不等式12k12+n−2S n【答案与解析】1.答案：A解析：解：cos95°cos35°+sin95°cos55°=cos(95°−35°)=cos60°=12，故选：A．由题意利用两角差的余弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题．2.答案：B解析：本题考查了余弦定理，属于基础题．根据余弦定理把已知条件整体带入求值即可．解：由题意，b2+c2−a2=bc，则cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，所以A=60°．故选B．3.答案：C解析：本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．1 a <1b<0，可得b<a<0.利用不等式的基本性质即可得出．解：1a <1b<0，∴b<a<0．①∵b<a<0，由不等式的性质可得ab<b2，故①正确；②∵b <a <0，∴|b|>|a|，a 2<b 2，故②不正确； ③∵b <a <0，由基本不等式，a+b 2=−(−a)+(−b)2<−√(−a)×(−b)=−√ab ，故③正确；④∵b <a <0，由基本不等式，ab+ba>2√a b×ba=2，故④正确．成立的个数是：3． 故选：C ．4.答案：B解析：本题考查了等比数列的前n 项和，属基础题．将大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为A n ，B n ，令2n −1+2−(12)n−1≥5，求n 即可．解：设大鼠、小鼠每天所打的厚度分别构成数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为A n ，B n ，则{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，{b n }是以1为首项，12为公比的等比数列，故A n =1×(1−2n )1−2=2n −1，B n =1×[1−(12)n ]1−12=2−(12)n−1．令A n +B n ≥5，即2n −1+2−(12)n−1≥5，解得n ≥3， 故选B ．5.答案：A解析：本题考查了任意角的 三角函数及两角和与差的三角函数公式，由题意设Q(cosθ,sinθ),P(cosα,sinα)， 则cosα=35,sinα=45，θ−α=5π4+2kπ,k ∈Z,根据两角和与差的余弦公式 即可求得．解：由题意设Q(cosθ,sinθ),P(cosα,sinα)， 则cosα=35,sinα=45，θ−α=5π4+2kπ,k ∈Z,所以θ=5π4+α+2kπ,k ∈Z ，所以cosθ=cos(5π4+α)=−√22×35−√22×45=−7√210， 故选A ．6.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题．由3a11−a12=5化简得2a1+19d=5，再根据等差数列的前n项和公式求解即可．解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a11−a12=5得3(a1+10d)−(a1+11d)=5，即2a1+19d=5，d所以S20=20a1+20×192=10(2a1+19d)=50.故选D．7.答案：C解析：本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于简单题．利用余弦定理，结合AC=√2AB，即可求出BD．解：设BD=x，则DC=2x，由余弦定理可得AB=√x2+2+√2x，AC=√4x2+2−2√2x，∵AC=√2AB，∴4x2+2−2√2x=2(x2+2+√2x)，∴x2−2√2x−1=0，解得：x=√2+√3．故选：C．8.答案：D解析：本题主要考查两角和的余弦公式，属于基础题．<A+B<π，解：因为△ABC为锐角三角形，所以π2所以，即cos A·cos B−sin A·sin B<0，所以cos A·cos B<sin A·sin B，即x>y．故选D．9.答案：C解析：解：在正项等比数列{a n}中，由a1=2，a3=8，得q2=a3a1=82=4，∴q=2．则S6=2(1−26)1−2=126．故选：C．由已知结合等比数列的通项公式求得公比，再由等比数列的前n项和求S6．本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是基础的计算题．10.答案：C解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，属于基础题．先求出函数的解析式，然后得出结果．解：因为的最小正周期为π，所以π=2πω，所以ω=2，又f(0)=√3，所以Asinπ6=A2=√3，解出A=2√3，所以，x∈[−π4,π4]时，2x+π6∈[−π3,2π3]，令2x+π6=π2，得x=π6，所以x∈[−π4,π6]时，f(x)单调递增，x∈[π6,π4]时，f(x)单调递减，，f(π4)=2√3sin(2π3)=3，所以f(x)min=f(−π4)=−3．故选C．11.答案：A解析：解：若不等式x 2+ax +4≤6对一切x ∈(0,2]恒成立， 即a ≤−x 2+2x，x ∈(0,2]恒成立．令f(x)=−x 2+2x=−x +2x ，x ∈(0,2]．该函数在(0,2]上递减， 所以f(x)min =f(2)=−1．则要使原式恒成立，只需a ≤−1即可． 故a 的最大值为−1． 故选：A ．根据题意，可以将a 分离出来，然后转化为求函数的最值问题来解．本题考查了不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题来解，求参数范围时，能分离参数的尽量分离参数12.答案：C解析：本题考查数列的递推关系式，属于基础题．令n =2，又a 3=4120，可得a 2，再令n =1，即可求解； 解：令n =2得a 3=12a 2+2a 2，又a 3=4120，∴a 2=85或a 2=52，令n =1，则有a 2=12a 1+2a 1，当a 2=85时，a 1无解，故不可能； 当a 2=52时，解得a 1=1或a 1=4． 故选C ．13.答案：3解析：本题考查一元二次不等式求解，属于基础题目．由不等式的解集得出不等式对应方程的两根，利用根与系数关系得出关系式求出即可．解：∵关于x的不等式x2−4x+t<0的解集为(1,m)，∴{m>11+m=41×m=t,解得m=3，故答案为3．14.答案：2解析：解：∵x>0，∴x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号．故x+1x的最小值为2．故答案为2．利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15.答案：9解析：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．n≥2，a n=S n−S n−1.n=1，a1=S1=4.可得a n.b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．解：n≥2，a n=S n−S n−1=2n+1−2n=2n.n=1，a1=S1=4．∴a n={4,n=12n,n≥2．∴b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n．数列的{b n}的前n项和为T n=8+4(2n−1−1)2−1+2×n(n+1)2=2n+1+4+n2+n．由T n>1024，即满足2n+1+4+n2+n>1024的最小n的值为9．故答案为9．16.答案：1解析：解：由S n=a1+5a2+52a3+⋯+5n−1a n①得5⋅s n=5⋅a1+52a2+53a3+⋯+5n−1a n−1+5n a n②①+②得：6s n=a1+5(a1+a2)+52⋅(a2+a3)+⋯+5n−1⋅(a n−1+a n)+a n⋅5n=a1+5×15+52×(15)2+⋯+5n−1⋅(15)n−1+a n⋅5n=1+1+1+⋯+1+5n⋅a n =n+5n⋅a n．∴6S n−5n a nn =nn=1．故答案为：1．由S n=a1+5a2+52a3+⋯+5n−1a n①，可得5⋅s n=5⋅a1+52a2+53a3+⋯+5n−1a n−1+5n a n②，两式相加后，整理即可得答案．本题考查数列的求和，由S n=a1+5a2+52a3+⋯+5n−1a n①，得到5⋅s n=5⋅a1+52a2+53a3+⋯+5n−1a n−1+5n a n②，两式相加是关键，考查转化思想与观察、运算能力，属于难题．17.答案：解：(1)∵cos2A+cosBcosC+1=sinBsinC，∴2cos2A−1+cosBcosC−sinBsinC+1=0，∴2cos2A+cos(B+C)=0，又A，B，C是△ABC内角，A=π−(B+C)，∴2cos2A−cosA=0，解得：cosA=0或cosA=12，，；，在△ABC中，由余弦定理得b2+c2−2bccosA=a2，，得b2−2b−3=0解得，b=3(负值已舍)．解析：本题考查三角恒等变换及余弦定理的应用，属于基础题．(1)由二倍角公式及两角和的余弦公式得到，即可求出角A;(2)由余弦定理得，即b2−2b−3=0即可求出边b．18.答案：解：(Ⅰ)由已知得：acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinCcosA= 2sinBcosB，整理得：sin(A+C)=2sinBcosB，即sinB=2sinBcosB，∵sinB≠0，∴cosB=12，则B=60°；(Ⅱ)∵b=7，B=60°，∴由余弦定理得：a2+c2−2accosB=b2，即a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=49①，∵S△ABC=12acsinB=√34ac=10√3，∴ac=40②，②代入①得：a+c=13，由正弦定理得：sinA+sinC=asinBb +csinBb=√32×a+cb=13√314．解析：(Ⅰ)利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理化简，求出cos B的值，即可确定出B 的度数；(Ⅱ)利用余弦定理列出关系式，将b，cos B的值代入列出关系式，再利用三角形面积公式列出关系式，联立求出a+c的值，利用正弦定理即可求出所求式子的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.答案：解：∵a n⋅a n−1=2a n−1−1，a1=2，∴a2a1=2a1−1，∴a2=32，易知a n−1≠0，a n=2−1an−1，1a1−1=1，当n≥2时，1a n−1−1a n−1−1=11−1a n−1−1a n−1−1=a n−1a n−1−1−1a n−1−1=1，所以数列{1a n−1}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴1a n−1=n，所以a n=1n +1=n+1n．解析：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．易知a n−1≠0，可得a n=2−1an−1，从而可得数列{1a n−1}是等差数列，即可求出{a n}的通项公式．20.答案：解：(1)设公差d不等于零的等差数列{a n}，a n=a1+(n−1)d，S n=na1+n(n−1)2d，由S3=9，可得3a1+3d=9，即为a1+d=3，a1.a2.a5成等比数列，可得a1a5=a22，即为a1(a1+4d)=(a1+d)2，解得a1=1，d=2(0舍去)即有a n=2n−1；(2)1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1，由题意可得n2n+1≤λ(2n+1)，即为λ≥n(2n+1)2=14n+1n+4，由4n+1n在[1,+∞)递增，可得最小值为4+1=5，由T n≤λa n+1对一切n∈N∗恒成立，可得λ≥15+4=19．即有实数λ的最小值为19．解析：(1)设公差d不等于零的等差数列{a n}，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；(2)求得1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得T n，再由参数分离和数列的单调性，即可得到所求范围，可得最小值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项的性质，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和数列的单调性求最值，属于中档题．21.答案：解：(1)过点P分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，则△PNF与△MPE相似，从而PFEM =NFPE，所以3m−3=n−22，即2m+3n=mn，欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN的面积S=12mn最小，由m=4得，n=8，所以S MBCDN=288−16= 272．(2)欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m+n最小，由(1)知，3m +2n=1，所以m+n=(m+n)(3m+2 n )=5+3nm+2mn≥5+2√6，当且仅当3nm=2mn时取得等号.此时剩下的木板外边框的长度的最大值为67−2√6(分米)．答：为使剩下木板MBCDN的面积最大m=6，n=4;剩下木板MBCDN 的外边框长度的最大值为67−2√6分米.解析：本题考查利用均值不等式求最值，考查函数的应用，属于中档题．(1)过P分别最AB，AD的垂线，利用三角形相似得出m，n的关系是，利用基本不等式求出最值即可；(2)由(1)得出3m +2n=1，利用基本不等式求出m+n的最小值，进而得出剩下木板MBCDN 的外边框长度的最大值．22.答案：解：(1)∵S n +b n =n+132，∴S n+1+b n+1=n+1+132，两式相减得b n+1=12b n +14， 即b n+1−12=12(b n −12)， ∵S 1+b 1=142=7，即b 1=72，∴数列{b n −12}是首项为b 1−12=3，公比q =12的等比数列， ∴b n −12=3×(12)n−1，即b n =3×(12)n−1+12． 则数列{b n }的通项公式b n =3×(12)n−1+12； (2)∵b n =3×(12)n−1+12；∴S n =3×(1+12+122+⋯+(12)n−1)+n2=3(1−12n )1−12+n 2=6(1−12n )+n2；∵不等式12k12+n−2S n≥2n −7， 化简得k ≥2n−72n，设c n =2n−72n，则c n+1−c n =2(n+1)−72n+1−2n−72n=9−2n 2n+1，当n ≥5时，c n+1≤c n ，c n 为单调递减数列， 当1≤n <5时，c n+1>c n ，c n 为单调递增数列，116=c 4<c 5=332，∴当n =5时，c n 取得最大值332， 即要使不等式12k12+n−2S n≥2n −7恒成立，则实数k 的取值范围是k ≥332．解析：(1)求证：数列{b n −12}是等比数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)求出S n 的表达式，将不等式恒成立，转化为最值问题即可得到结论．本题主要考查等差数列的判断，以及不等式恒成立的证明，综合考查学生的运算性质．。