-2016学年四川省成都高一下学期末考试试卷-数学-word版含答案

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2016学年四川省成都七中高一下学期期末数学试卷及参考答案

2015-2016学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂到答题卷上．1．（5分）已知A={x|≤0}，B={﹣1，0，1}，则card（A∩B）=（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）设，，若，则实数k=（）A．B．C．D．3．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n 项和等于（）A．2n﹣1 B．5n﹣1 C．3n﹣1 D．4n﹣14．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．+D．++18．（5分）如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A．πB．C．D．π9．（5分）在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n满足S n2=a n（S n﹣1），设b n=log2，数列{b n}的前n项和为T n，则满足T n≥6的最小正整数n 是（）A．10 B．11 C．12 D．910．（5分）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．11．（5分）已知梯形ABCD中，AB⊥AD，（0＜m＜1），若||2=|，则=（）A．B．C．D．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，平面α截正方体的表面得到一个多边形，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，当时，函数y=f （x）的值域为（）A．[1，3]B．[，3]C．[，4]D．[，4]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题卷指定横线上.13．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．14．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．15．（5分）已知各项都为正数的等比数列{a n}满足a5=2a4+3a3，存在两项a m，a n 使得，则的最小值为．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，其中正确的命题有（填序号）①已知∠A=60°，b=4，c=2，则△ABC有两解；②若∠A=90°，b=3，c=4，△ABC内有一点P使得，，两两夹角为120°，则++=30；③若∠A=90°，b=1，c=，△ABC内有一点P使得与夹角为90°，与夹角为120°，则tan∠PAC=；④已知∠A=60°，b=4，设a=t，若△ABC是钝角三角形，则t的取值范围是（2，4）∪（4，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，把答案写在答题卷指定位置上. 17．（10分）已知向量，且A是锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4sinAsinx（x∈R）的值域．18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（3）求证：＜5．19．（12分）如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．20．（12分）如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．（1）若两船能相遇，求m．（2）当m=10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少海里？21．（12分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．22．（12分）已知数列{a n}为公差不为0的等差数列，S n为其前n项和，a5和a9的等差中项为13，且a2•a5=a1•a14．令b n=，数列{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）求T n；（Ⅱ）是否存在不同的正整数m，n，使得T2，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若c n=，是否存在互不相等的正整数m，n，t，使得m，n，t成等差数列，且c m，c n，c t成等比数列？若存在，求出所有的m，n，t的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂到答题卷上．1．（5分）已知A={x|≤0}，B={﹣1，0，1}，则card（A∩B）=（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：A={x|≤0}={x|﹣1≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0}，即card（A∩B）=2，故选：C．2．（5分）设，，若，则实数k=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴=（1+k，2+k），∴，∴=1+k+2+k=0，解得实数k=﹣．故选：A．3．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n 项和等于（）A．2n﹣1 B．5n﹣1 C．3n﹣1 D．4n﹣1【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，∴a1a4=a2a3=8，且a1＜a4，∴a1，a4是方程x2﹣9x+8=0的两个根，解方程x2﹣9x+8=0，得a1=1，a4=8，∴，解得q=2，∴数列{a n}的前n项和：S n===2n﹣1．故选：A．4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．+D．++1【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC ⊥面ABC ，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2，边AC 上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的表面积S=S △PAC +S △ABC +2S △PAB =××2+×2×1+2×××=+1+．故选：D ．8．（5分）如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为（）A ．πB ．C ．D ．π【解答】解：根据题意知，平面ACD 1是边长为的正三角形，且球与以点D 为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选：C．9．（5分）在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n满足S n2=a n（S n﹣1），设b n=log2，数列{b n}的前n项和为T n，则满足T n≥6的最小正整数n 是（）A．10 B．11 C．12 D．9【解答】解：在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n满足S n2=a n（S n ﹣1），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣1），化为：﹣=1．∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n，解得：S n=．∴b n=log2=，数列{b n}的前n项和为T n=+++…++==．由T n≥6，即≥6，解得（n+1）（n+2）≥27，令f（x）=x2+3x﹣126=﹣128﹣，可得：f（x）在[1，+∞）上单调递增．而f（9）=﹣19＜0，f（10）=4＞0，若x∈N*，则n≥10．则满足T n≥6的最小正整数n是10．故选：A．10．（5分）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．【解答】解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即由（2）得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．故选：B．解法二：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴①m=2，n＜8对称轴x=﹣，②即③即设或或设y=，y′=，当切点为（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2∴k的最大值为3×6=18②﹣=﹣．，k=，y0==，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=∵x0＜2∴不符合题意．③m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选：B．11．（5分）已知梯形ABCD中，AB⊥AD，（0＜m＜1），若||2=|，则=（）A．B．C．D．【解答】解：以A为原点，建立如图直角坐标系，依题意，∠DAC=30°，不妨设DC=1，则，AC=2，AB=3，故，故，则；设，故，故；∵，∴，即7λ2﹣2λ﹣2=0，解得，故选：A．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，平面α截正方体的表面得到一个多边形，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，当时，函数y=f （x）的值域为（）A．[1，3]B．[，3]C．[，4]D．[，4]【解答】解：作平面ACB1和平面A1C1D，则BD1⊥平面AB1C，BD1⊥平面A1DC1，设B到平面ACB 1的距离为d，则V=V，∴（）2×d=（）2×，解得d=1，①当时，截面多边形是三角形EFG，由△EFG∽△AB1C得△EFG的周长为3x，∴3x∈；②当x∈（1，2）时，截面多边形是六边形HIJKLM，设==λ，则==1﹣λ，∴HI+IJ=，∴截面六边形的周长为；③当时，截面多边形是三角形NQR，由①可知截面三角形周长范围为；∴当x∈[，]时，f（x）的值域为[，3]．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题卷指定横线上.13．（5分）已知t anα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．14．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．15．（5分）已知各项都为正数的等比数列{a n}满足a5=2a4+3a3，存在两项a m，a n 使得，则的最小值为【解答】解：根据题意，等比数列{a n}满足a5=2a4+3a3，即a3q2=2a3q+3a3，则有q2=2q+3，解可得q=3或﹣1，又由等比数列{a n}各项都为正数，则有q＞0，即q=3，若，则有a m•a n=（27a1）2，变形可得3m﹣1×3n﹣1=27×27，即m+n=8，=（m+n）（）=（5++）≥，即的最小值为，故答案为：．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，其中正确的命题有（填序号）③④①已知∠A=60°，b=4，c=2，则△ABC有两解；②若∠A=90°，b=3，c=4，△ABC内有一点P使得，，两两夹角为120°，则++=30；③若∠A=90°，b=1，c=，△ABC内有一点P使得与夹角为90°，与夹角为120°，则tan∠PAC=；④已知∠A=60°，b=4，设a=t，若△ABC是钝角三角形，则t的取值范围是（2，4）∪（4，+∞）．【解答】解：在①中，∠A=60°，b=4，c=2，已知两边及夹角，则△ABC只有一解，故①错误；在②中，分别在△PAB，△PAC，△PBC中利用余弦定理得，32=PA2+PC2+PA•PC，42=PA2+PB2+PA•PB，52=PB2+PC2+PB•PC⇒2（PA2+PB2+PC2）=50﹣（PA•PB+PB•PC+PC•PA）△PAB，△PAC，△PBC的面积之和与△ABC的面积相等可得出：+，⇒⇒PA2+PB2+PC2=25﹣4．故②错在③中，如图设∠PAC=θ，在Rt△PAB中，∠ABP=θ，PA=，在△PAC中，由正弦定理得⇒⇒tanθ=；故③正确在④中，如右图可得：要使△ABC是钝角三角形，可能∠B是钝角，此时AC•sin60°＜BC＜AC，即2＜t＜4还有可能∠C是钝角，此时BC，即t，故④正确．故答案为：③④三、解答题：本大题共6小题，共70分，把答案写在答题卷指定位置上. 17．（10分）已知向量，且A是锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）=cos2x+4sinAsinx（x∈R）的值域．【解答】解：（1）由题已知：∵•=，∴，．由A为锐角得：，．（2）由（Ⅰ）知，∴f（x）=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，∵x∈R，∴sinx∈[﹣1，1]，∴当sinx=时，f（x）有最大值，当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣3，故所求函数f（x）的值域是．18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（3）求证：＜5．【解答】（本题满分14分）解：（1）∵S n=2a n﹣2，∴当=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2；当n=2时，S2=2+a2=2a2﹣2，解得a2=4；当n=3时，s3=a1+a2+a3=2a3﹣2，解得a3=8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣（5分）得a n=2a n﹣1又，a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）b1=a1=2，设公差为d，则由且b1，b3，b11成等比数列得（2+2d）2=2（2+10d），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得d=0（舍去）或d=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴b n=3n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）令T n==，∴2T n=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）两式式相减得=2+=5﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又＞0，故：＜5．．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14）19．（12分）如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．【解答】（本题15分）证明：（Ⅰ）∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角，AB⊥BC，∴BC⊥AE平面，∴BC⊥AE…（2分）∵AE⊥CE，BC∩CE=C，∴AE⊥平面BCE…（4分）∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）解：（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λAD…（8分）则设平面EAC的法向量为则，取x=1，则…（10分）同理设平面FAC的法向量为…（12分）∴…（14分）∵…（15分）20．（12分）如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ（tanθ=）的方向作匀速直线航行，速度为m海里/小时．（1）若两船能相遇，求m．（2）当m=10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少海里？【解答】解：（1）因为tanθ=，，解得sinθ=，cosθ=；甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，设两船在M处相遇，，由正弦定理，，∴，从而有，又时间，∴．（2）以A为原点，BA所在直线为y轴，建立直角坐标系，设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1）Q（x2，y2）处，则由tanθ=，cosθ=，sinθ=，，，===．∴当且仅当t=4时|PQ|取得最小值20．即两船出发后4小时时间距离最近，最近距离为20海里．21．（12分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．22．（12分）已知数列{a n}为公差不为0的等差数列，S n为其前n项和，a5和a9的等差中项为13，且a2•a5=a1•a14．令b n=，数列{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）求T n；（Ⅱ）是否存在不同的正整数m，n，使得T2，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若c n=，是否存在互不相等的正整数m，n，t，使得m，n，t成等差数列，且c m，c n，c t成等比数列？若存在，求出所有的m，n，t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为{a n}为等差数列，设公差为d，则由题意得，即，整理得，解得，所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，由，…3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为T2，T m，T n成等比数列，所以，即，对上等式左右同时取倒数可得即，∵，∴，只需要﹣m2+4m+1＞0，所以，因为m∈N*，所以m可以取值1，2，3，4讨论：①当m=1时，带入，，不满足n∈N*，所以此时不存在．②当m=2时，带入，n=2，满足n∈N*，但是不满足m，n为不同整数的条件，所以此时也不存在．③当m=3时，带入，，不满足n∈N*，所以此时不存在．④当m=4时，带入，n=40，满足n∈N*，所以存在．综上所述，存在m=4，n=40满足T2，T m，T n成等比数列…7分（Ⅲ）由（Ⅰ）得，且2n=m+t，因为c m，c n，c t成等比数列，所以，将代入上式可得：将2n=m +t 带入上式化简得：2•32n ﹣1=32m ﹣1+32t ﹣1，不妨设m ＜n ＜t ，则2•32n ﹣1=32m ﹣1+32t ﹣1⇔32n ﹣1﹣32m ﹣1=32t ﹣1﹣32n ﹣1，即32m ﹣1•（32n ﹣2m ﹣1）=32n ﹣1•（32t ﹣2n ﹣1），∵2n ﹣2m ＞0且2n ﹣2m ∈N * 所以上式左端因式32n ﹣2m ﹣1不含因数3，同理上式右端因式32t ﹣2n ﹣1不含因数3．而上式左端含有因数3的次数为2m ﹣1次，上式右端含有因数3的次数为2n ﹣1次．∵2m ﹣1≠2n ﹣1，所以32m ﹣1•（32n ﹣2m ﹣1）≠32n ﹣1•（32t ﹣2n ﹣1），所以方程无解．综上所述，不存在互不相等的正整数m ，n ，t ，使得m ，n ，t 成等差数列，且c m ，c n ，c t 成等比数列…12分．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2016年四川省成都市龙泉驿区高一下学期期末数学试卷与解析答案(文科)

2015-2016学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知平面向量=（3，﹣6），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣42．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④3．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|4．（5分）计算：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=（）A．0 B．C．D．5．（5分）关于x的不等式≥0的解为﹣1≤x＜2或x≥3，则点P（a+b，c）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）对于直线m，n和平面α，下列命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥m，那么n∥α7．（5分）函数y=2sin2x+2sinx•cosx的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π8．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形10．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），a2016=（）A．2 B．1 C．D．﹣111．（5分）如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值等于（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．﹣12．（5分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}中，若a2+a5+a8=27，则a5=．14．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．16．（5分）已知圆O的半径长为3，圆内一点A到圆心O的距离是，点P是圆上的动点，当∠OPA取最大值时，PA=．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=x2+2x+a，（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞1的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．19．（12分）设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+，=﹣3+2．（1）求•；（2）求||和||；（3）求与的夹角．20．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（1）判断正方体中平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；（2）若P是CG的中点，求正方体中DP与HF所成角的余弦值．21．（12分）在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．22．（12分）已知数列{a n}满足=a n+1（n∈N*），且a1=．（I）求证：数列{}是等差数列，并求通项a n．（2）若b n=，c n=b n•（）n，（n∈N*），且T n=c1+c2+…+c n，求证：1≤T n＜3．2015-2016学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知平面向量=（3，﹣6），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣4【解答】解：∵量=（3，﹣6），=（﹣2，m），且∥，∴3m﹣（﹣2）（﹣6）=0，即3m+12=0，则m=﹣4，故选：D．2．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．3．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，∴a2＜b2，故A正确；再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；再由a和b为负数可得|a|+|b|=|a+b|，D错误．故选：D．4．（5分）计算：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=（）A．0 B．C．D．【解答】解：∵24°+66°=90°，∴cos66°=sin24°，同理可得：cos54°=sin36°．由此可得：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=cos24°cos36°﹣sin24°sin36°=cos（24°+36°）=cos60°=．故选：D．5．（5分）关于x的不等式≥0的解为﹣1≤x＜2或x≥3，则点P（a+b，c）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由于不等式≥0的解集为﹣1≤x＜2或x≥3，如图所示：故有a=﹣1、b=3、c=2；或者a=3、b=﹣1、c=2．故有a+b=2，且c=2，故点P的坐标为（2，2），显然点P在第一象限，故选：A．6．（5分）对于直线m，n和平面α，下列命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥m，那么n∥α【解答】解：对于A，如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α可能相交；故A错误；对于B，如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交或者n∥α；故B 错误；对于C，如果m⊂α，n∥α，m、n共面，根据线面平行的性质定理，得到m∥n；故C正确；对于D，如果m⊂α，n∥m，那么n∥α或者n⊂α；故D错误；故选：C．7．（5分）函数y=2sin2x+2sinx•cosx的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数y=2sin2x+2sinx•cosx=2•+sin2x=sin（2x﹣）+1 的最小正周期是=π，故选：C．8．（5分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°【解答】解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又0＜B＜π，∴B=或，故选：B．9．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选：B．10．（5分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），a2016=（）A．2 B．1 C．D．﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），∴a2=2，a3=，a4=﹣1，∴数列{a n}是周期为3的数列，∵2016=672×3，∴a2016=a3=，故选：C．11．（5分）如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值等于（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．﹣【解答】解：∵+=2，∴（+）•=2•=﹣2||•|，∵||+||=||=1．再利用基本不等式可得1≥2 ，故有||•||≤，﹣||•||≥﹣，∴（+）•=﹣2||•||≥﹣，故选：A．12．（5分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C．D．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，，∴a1=T1=22=4．n≥2时，a n===22n=4n．当n=1时上式也成立，∴a n=4n．则===g（n），考察函数f（x）=x+（x≥2）的单调性，f′（x）=1﹣==，当2≤x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当＜x，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．又g（2）=22+=7，g（3）=23+=＞g（3）．∴的最小值为7．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}中，若a2+a5+a8=27，则a5=9．【解答】解：由等差数列{a n}中，a2+a5+a8=27，∴3a5=27，解得a5=9．故答案为：9．14．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m．故答案为：60m．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．16．（5分）已知圆O的半径长为3，圆内一点A到圆心O的距离是，点P是圆上的动点，当∠OPA取最大值时，PA=．【解答】解：如图所示，△OPA中，OP=3，OA=，由正弦定理得，=，所以sin∠OPA==；又OP＞OA，所以当∠OPA取最大值时，sin∠A=1，即∠A=90°，所以PA===．故答案为：．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=x2+2x+a，（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞1的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞1可化为x2+2x﹣2＞1，即x2+2x﹣3＞0，解得{x|x＞1或x＜﹣3}．（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣2x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1则g（x）在区间[1，+∞）上为减函数当x=1时g（x）取最大值为﹣3，∴a得取值范围为{a|a＞﹣3}．18．（12分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，∴（q﹣4）2=0，即q=4．又∵{b n}是首项为2的等比数列，∴．．19．（12分）设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+，=﹣3+2．（1）求•；（2）求||和||；（3）求与的夹角．【解答】解：（1）由与是两个单位向量，其夹角为60°，则=1×=，=（2+）•（﹣3+2）=﹣6+2+•=﹣6+2+=﹣；（2）||====，||====；（3）cos＜，＞===﹣，由于0≤＜，＞≤π，则有与的夹角．20．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（1）判断正方体中平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；（2）若P是CG的中点，求正方体中DP与HF所成角的余弦值．【解答】解：（1）平面BEG∥平面ACH．证明如下：由正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图得到正方体为正方体ABCD ﹣EFGH，∵AC∥EG，AH∥BG，AC∩AH=A，EG∩BG=G，AC、AH⊂平面ACH，EG、BG⊂平面BEG，∴平面BEG∥平面ACH．（2）∵HF∥BD，∴∠PDB是正方体中DP与HF所成角（或所成角的补角），连结PB，设正方形的棱长为2，则BD=2，PB=PD==，∴cos∠PDB===．∴正方体中DP与HF所成角的余弦值为．21．（12分）在△ABC中，2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4，b=5，求在方向上的投影．【解答】解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．22．（12分）已知数列{a n}满足=a n+1（n∈N*），且a1=．（I）求证：数列{}是等差数列，并求通项a n．（2）若b n=，c n=b n•（）n，（n∈N*），且T n=c1+c2+…+c n，求证：1≤T n＜3．（n∈N*），两边取倒数，移项整理=+，【解答】解：（I）证明：将=a n+1=1006，故数列{}以1006为首项，以为公差的等差数列，=1006+（n﹣1）=，∴数列{a n}的通项公式，a n=，（2）将a n代入b n，得b n==n+1，∴c n=b n•（）n=（n+1）•（）n，T n=c1+c2+…+c n，=2×+3×（）2+4×（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2×（）2+3×（）3+4×（）4+…+（n+1）•（）n+1，两式相减得：T n=1+（）2+（）3+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，=﹣，∴T n=3﹣＜3，由函数单调性可知，当n=1时，取最小值，T1=1∴1≤T n＜3．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2015-2016学年四川成都外国语学校高一(下)期末数学(理)试题(解析版)

2015-2016学年四川成都外国语学校高一（下）期末数学（理）试题一、选择题 1．函数()R x x x x f ∈++=45)(22的最小值为（）A.2B.3C.22D.2.5 【答案】D【解析】试题分析：设()242≥=+t t x ，那么函数转化为()()2112≥+=+=t tt t t t f ，此函数在区间[)∞+，1为增函数，所以当2=t 时，函数取得最小值()5.22122=+=f ，故选D.【考点】对勾函数2．在数列{}n a 中，11-=a ，31-=+n n a a ，则8a 等于（） A.-7 B.-8 C.-22 D.27 【答案】C【解析】试题分析：因为31-=+n n a a ，所以转化为3-1=+n n a a ，所以数列{}n a 是以-1为首项，公差为-3的等差数列，所以22211718-=--=+=d a a ，故选C. 【考点】等差数列3．若ABC ∆外接圆的面积为π25，则()()=++++C B B A BCAB sin sin ( )A.5B.10C.15D.20 【答案】B【解析】试题分析：根据π=++C B A ,可得()C B A sin sin =+,()A C B sin sin =+,根据正弦定理R ABCC AB 2sin sin ==,根据和比定理R AC BCAB A BC C AB 2sin sin sin sin =++==,而ππ252=R ,5=R ,所以原式等于10，故选B.【考点】正弦定理4．若ABC ∆是边长为a 的正三角形，则=⋅BC AB ( ) A.212a B. 212a - C. 2a D. 2a - 【答案】B【解析】试题分析：221120a BC AB -==⋅，故选B.【考点】向量数量积5．若等差数列{}n a 的前15项和为π5，则()=+124cos a a （）A.12-C. 12D. 【答案】A【解析】试题分析：()()π521521512415115=+=+=a a a a S ，所以π32124=+a a ，所以()2132coscos 124-==+πa a ，故选A. 【考点】等差数列的性质 6．已知414cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=α2sin （） A.3132B. 31-32C. 78-D. 78 【答案】C【解析】试题分析：()41sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-ααπα，两边平方后可得()161cos sin 2cos sin 2122=++αααα()1612sin 121=+⇔α，可解得872s i n -=α，故选C.【考点】三角函数的简单恒等变形7．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，若对R k ∈∀,恒有()OB k -≥--+1,则ABC ∆一定是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不确定【答案】A【解析】试题分析：如图，在边BC 上任取一点E,连接AE,那么k =,=-,=-,原不等式等价于≥=-又点E 不论在任何位置都有不等式成立，所以由垂线段最短可得EC AC ⊥,即090=∠C ,则ABC ∆一定是直角三角形，故选A.【考点】1.向量的几何意义；2.解三角形.8．在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）A. 【答案】C【解析】试题分析：如图，ABC ∆是等腰直角三角形，点E 为AB 的中点，AB DE ⊥,2===BC AB DE ,⊥DE 底面ABC ,22221=⨯⨯=∆ABC S ,22221=⨯⨯=∆ABD S ,BD BC ⊥,5==AD BD 55221=⨯⨯=∆BCD S ,ACD∆中，22=AC ，3=DC ,5=AD ,1010cos =∠CAD ,10103sin =∠CAD ,31010352221=⨯⨯⨯=∆ACD S ,所以最大面的面积3=S ,故选C.【考点】1.三视图；2.几何体的体积和表面积.【方法点睛】本题考察了三视图与几何体的表面积的问题，属于中档题型，画三视图的原则是“长对正，高平齐，宽相等”，所以根据三视图，可还原几何体，这是本题最关键是一步，根据还原的几何体，求边长和面的面积，比较大小即可.平时做题时多留心三棱锥，四棱锥，以及三棱柱，四棱柱，等常见几何体在不同放置下的三视图. 9．已知向量()()1,,2,3-=-=y x b a，且b a//，若y x ,为正数，则yx 23+的最小值是（） A.53 B. 83C.16D.8 【答案】D【解析】试题分析：因为b a//，所以()x y 213-=-，即332=+y x ，那么()8492123149123132233123=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x y y x x y y x y x y x ，等号成立的条件为y x x y 49=时，⎩⎨⎧=+=33232y x y x ，解得21,43==y x 所以原式的最小值为8，故选D.【考点】基本不等式10．如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MC MP =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹的长度为（）A.B. C. π D.23π 【答案】A【解析】试题分析：如图，建立空间直角坐标系，那么可以得到()30,0，P ，()0,2,1-C ，设()0,,y x M ，那么根据MC PM =,可得()()()22222213-++=++y x y x ，解得012=+-y x ，故点M 的轨迹如图所示，长度为5，故选A.【考点】空间两点的距离公式11．给定正数c b a q p ,,,,，其中q p ≠，若q a p ,,是等比数列，q c b p ,,,是等差数列，则一元二次方程022=+-c ax bx （）A.有两个相等实根B.无实根C.有两个同号相异实根D.有两个异号实根【答案】B【解析】试题分析：设3,,,3p m d b m d c m d q m d =-=-=+=+，0p q d ≠⇒≠，2229a pq m d ==- ， 22bc m d =-，()224320a bc d ∴∆=-=-<.故选B.【考点】1.等差，等比数列；2.一元二次方程的实根.【一题多解】本题考查了等差与等比数列与一元二次方程实根的问题，属于中档题型，本题也可选择特值法，例如，取1,2,3,4p a b c q =====，方程22430x x -+=无实根，这样解决本题的时间少，准确率高.12．正方体1111D C B A ABCD -中，Q N M ,,分别是棱11C D ,BC D A ,11的中点，点P 在对角线1BD 上，给出以下命题：①当P 在1BD 上运动时，恒有//MN 面APC ，②若M P A ,,三点共线，则321=BD BP ；③若321=BD BP ，则//1Q C 面APC ；④若过点P 且与正方形的十二条棱所成的角都相等的直线有m 条，过点P 且与直线1AB 和11C A 所成的角都为060的直线有n 条，则7=+n m ，其中正确命题的个数为（）D 1C 1B 1A 1P Q N MD CBAA.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】试题分析：①因为N M ,分别为1111,D A D C 的中点，所以AC MN //,因为MN 不在平面APC 内，故//MN 平面APC ,选项正确；②若M P A ,,三点共线，BPA PM D ∆∆~1,所以1211==M D AB P D BP ,所以321221=+=BD BP ,选项正确；③连接AC,BD ，交于点O ，连接OM ，则有MO Q C //1，而MO 与平面APC 交于点O ，且点M 不在平面APC 内，故Q C 1不平行于平面APC ，选项错误；④过点P 且与正方形的十二条棱所成的角相等的直线有4条，分别为D B DB C A AC 1111,,,，因为1AB 与11C A 所成角为060，所以过点P 且与直线1AB 和11C A 所成的角都为060的直线有3条，734=+,故选项正确，故选C.【考点】1.线与线的位置关系；2.线与面的位置关系.【思路点睛】没有考察了立体几何中线线，线面位置关系的问题，属于中档题型，本题以多项选择题的形式出现，我们重点说说④的思路，与正方体的12条棱相等的线为正方体的体对角线，而题对角线有4条，分别为1AC 和C A 1以及1BD 和D B 1,那么过点P 就可以做与这些先平行的线后重合的线共4条，因为1AB 与11C A 所成角为060，对顶角为0120，将这两条线平移至点P ,那么过点P 与这两条线所成角为060的线，一条为0120角的角平分线，而这两条线所成角为060，这个角的角平行线与两边所成角为030，006030<，根据最小角定理，可知共有2条与角的两边所成角为060，所以共3条，7=+n m 正确.二、填空题13．________10sin 130sin 2140cos 0=+ 【答案】21- 【解析】试题分析：原式等于()()120cos 10130cos 10sin 130sin 10cos 130cos 10sin 130sin 210130cos 00000000000-==-=+=++故填：21-【考点】两角和与差的三角函数14．如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为xm ，宽为ym ，现有m 36长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则_______=yx.y y yy y x xxyx【答案】23 【解析】试题分析：根据条件可得3664=+y x ，即xy y x 621832≥=+，整理为681≤xy ，等号成立的条件为932==y x ，即23=y x ，故填：.23【考点】基本不等式的应用15．如图，正四棱锥ABCD P -的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 与平面PAC 所成的角为______.【答案】060【解析】试题分析：如图，正四棱锥中，根据底面积可得，6=BC ,根据体积公式可得，1=PO ，⊥PO 底面ABCD ,AC BD ⊥,即⊥BD 平面PAC ,BEO ∠为直线BE 与平面PAC 所成的角，31==OA PO ，,那么2=PA ,121==PA OE ,而3=BO ,所以3tan ==∠OEBOBEO ,即060=∠BEO ,故填：060.【考点】线面角【一题多解】本题考查了线面角，属于中档题型，几何法求线面角，一般要做出线面角，即做出直线BE 在平面PAC 内的射影，根据条件可得⊥BD 平面PAC ,BEO ∠为直线BE 与平面PAC 所成的角，如果用向量法求解，那首先需要建立坐标系，可以以O 为原点，OP OC OB ,,分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，并且求平面PAC 的法向量n，|,cos |sin ><=nθ，用向量法计算多点，但避免了找线线和线面的关系.16．已知c b a ,,为正实数，给出以下命题：①若032=+-c b a ，则acb 2的最小值是3；②若822=++ab b a ，则b a 2+的最小值是4；③若()4=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值是22；④若4222=++c b a ，则bc ab 25+的最大值是72.其中正确结论的序号是________. 【答案】①②④【解析】试题分析：①因为032=++c b a ，所以23ca b +=，于是，()3234942234944322=+⨯≥++=+=a c c a a c c a ac c a ac b ，所以选项正确；②因为ab b a 222≥+，所以()4222b a ab +≤，又因为822=++ab b a ，所以()()84222≥+++b a b a ，整理为()()0322422≥-+++b a b a ，解得，42≥+b a ，故b a 2+的最小值是4，故选项正确；③原式整理为42=+++bc ac ab a ，即()()()()()422422c b a b a c a b a c a b a c b a a ++=⎪⎭⎫⎝⎛+++≤++⇔=+++，即()1622≥++c b a ，所以c b a ++2的最小值为4，故选项错误；④2222222272275272754c b b a c b b a +≥⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，整理后为7225≤+bc ab ，故选项正确，故正确的命题序号为①②④.【考点】基本不等式【思路点睛】本题考查了基本不等式的综合运用，属于中档题型，①是常见的消元后出现互为倒数的形式，运用公式2121=⨯≥+aa a a ()0>a 的题型，②是利用基本不等式将方程转化为不等式，因为ab b a 222≥+，所以()4222b a ab +≤，这样就可以将方程转化为关于b a 2+的一元二次等式，③化简后可以利用公式22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ，④需要观察条件和结论，需要将2b 拆成两项的和，用二次基本不等式.三、解答题17．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量()b c a m ,+=与向量()a b c a n --=,互相垂直.（1）求角C ；（2）求B A sin sin +的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）⎥⎦⎤ ⎝⎛323，. 【解析】试题分析：（1）由两向量垂直得到ab c b a =-+222，再根据余弦定理得到C cos ,即求得角C ；(2)π32=+B A ,A B -=π32,代入原式，整理为⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 3πA ,再根据π320<<A ,求函数的值域. 试题解析：（1）由已知可得，()()()ab c b a a b b c a c a =-+⇒=-+-+2220212cos 222=-+=ab c b a C ，所以3π=C ;()22,,33C A B ππ=∴+=222sin sin sin sin sin sin cos cos sin 333A B A A A A A πππ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭31sin cos 226A A A A A π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2510,sin 1366626A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<⇒<+≤ ⎪⎝⎭ 所以B A sin sin +的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323，. 【考点】1.余弦定理；2.三角函数的性质.18．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是平行四边形，NMQP DCBA(1)求证：//BD 截面PQMN(2)若截面PQMN 是正方形，求异面直线PM 与BD 所成的角. 【答案】(1)详见解析；（2）045.【解析】试题分析：（1）根据条件截面是平行四边形，所以对边QM PN //,从而得到//QM 平面ABD ,再根据线面平行的性质定理，得到BD QM //,这样就证得了//BD 截面PQMN 的条件；（2）根据（1）的结论，异面直线PM 与BD 所成角转化为PM 与QM 所成的角，根据截面是正方形，易得异面直线所成角.试题解析：(1)证明：因为截面PQMN 是平行四边形，QM PN //∴; 又⊄PN 平面BCD ,⊂QM 平面//PN BCD ⇒平面BCD ;⊂PN 平面ABD ,平面 ABD 平面BD PN BD BCD //⇒=; ⊂PN 截面⊄BD PQMN ,截面//,BD PQMN ∴截面PQMN ;(2)由（1）的证明知BD PN //;NPM ∠∴（或其补角）是异面直线PM 与BD 所成的角;截面PQMN 是正方形，045=∠NPM ;所以异面直线PM 与BD 所成的角是045.【考点】1.线面平行；2.异面直线所成角.【方法点睛】本题考查了线面平行，以及异面直线所成角的问题，属于基础题型，重点说说空间角的问题，（1）异面直线所成角，几何法：通过平移转化为相交直线所成角，然后在三角形内解三角形，向量法：转化为异面直线的方向向量所成角，通过|||,cos |cos ba b a b a⋅=><=θ求解；（2）线面角，几何法：线面角就是线与其在平面内的射影所成角，一般可通过直线外一点向平面内引垂线，连接垂足与斜足的线就是线在平面内的射影，向量法：先求法向量n，><=n a,cos sin θ求解；（3）面面角，几何法：①定义法，②垂面法，③三垂线法或其逆定理法，向量法：先求两个平面内的法向量n m ,，那么><=n m ,cos cos θ或><-=n m,cos cos θ. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，()2431≥+=-n S a n n .（1）求数列{}n a 的通项公式，（2）令7log 22+=n n a b ，12+=n n n bc ，其中+∈N n ，记数列{}n c 的前项和为n T ，求nn n T 22++的值. 【答案】(1) ⎩⎨⎧⨯=-2471n n a ()()21≥=n n ;(2)2.【解析】试题分析：(1)这类涉及数列n a 与n S 关系的试题，令1+=n n 得到431+=+n n S a ，两式相减，根据()21≥=--n a S S n n n ，消去n S ，得到数列的递推公式，根据递推公式得到通项公式；（2）根据（1）的结论，得到数列{}n c 的通项公式，n n nc 2=，这类等差数列乘以等比数列的通项公式求和，利用错位相减法求和，再逐步得到n n n T 22++的值.试题解析：()21111347,34(2),3 4.n n n n a S a S n a S -+=+==+≥∴=+ 两式相减得：()241≥=+n a a n n 222474--⨯=⨯=⇒n n n a a ，此式对1=n 不成立，所以⎩⎨⎧⨯=-2471n n a ()()21≥=n n . ()22212log log 42,,722n n n n n n n a b nb nc ++===∴== 231232222n n n T ∴=++++ ①231112122222n n n n n T +-=++++ ②22111111121.2222222n n n n n n T +++-=+++-=- ①②得,222 2.22n n n n n n T T ++∴=-⇒+=【考点】1.数列n a 与n S 关系;2.错位相减法求和.【方法点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系以及错位相减法求和，当题设是已知（1）形如()n f S n =形式时，可采用如本题的方法，利用公式⎩⎨⎧-=-11n nn S S S a 21≥=n n ，（2）形如()n n a f S =，可构造()11--=n n a f S ，两式相减，利用当2≥n 时，nn n a S S =--1变形，再利用递推求通项公式，而熟练求和的方法，谨记（1）先看形如： ()n f a a n n =-+1型，可采用累加法求通项；（2）形如()n f a a nn =+1的形式，可采用累乘法求通项；（3）形如q pa a n n +=+1，可转化为()t a p t a n n +=++1，其中1-=p qt ，构造等比数列求通项等求通项的方法.20．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，534===AD BC AB ，，,090=∠=∠ABC DAB ,E 是CD 的中点.(1)证明：⊥CD 平面PAE ;(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和直线PB 与平面ABCD 所成的角相等，求二面角A CD P --的正切值【答案】(1)详见解析；（2）54. 【解析】试题分析：（1）要证明线面垂直，根据判定定理，需证明线与平面内的两条相交直线垂直，根据所给的条件，易证明AD AC =,点E 是CD 的中点，所以CD AE ⊥,又因为⊥PA 平面ABCD ,所以易得PA CD AE CD ⊥⊥,;(2)首先根据条件做出直线PB 与平面PAE 所成的角，点B 作CD BG //，分别与AD AE ,相交于G F ,，连接PF ,BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角, PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，根据这两个角相等，得到边的关系，最后得到二面角A CD P --的平面角为PEA ∠.试题解析：（1）连接AC ，由09034=∠==ABC BC AB ，，，得5=AC又5=AD ，E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥;⊥PA 平面ABCD ，⊂CD 平面ABCD ，所以CD PA ⊥, 而A AE PA = ，所以⊥CD 平面PAE .(2)⊥CD 平面PAE ，PEA ∠∴是二面角A CD P --的平面角, 过点B 作CD BG //，分别与AD AE ,相交于G F ,，连接PF , 由（1）知⊥BG 平面PAE ,BPF ∠∴为直线PB 与平面PAE 所成的角，且AE BG ⊥，由⊥PA 平面ABCD 知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，有题意知BPF PBA ∠=∠，BF PA BPF Rt PBA Rt =⇒∆≅∆∴, 因为090=∠=∠ABC DAB 知，BC AD //,又CD BG //,BCDG ∴是平行四边形,3==BC GD ,2=∴AG ,因为AF BG AB ⊥=，4,5222=+=∴AG AB BG ,于是55852162===BG AB BF ,所以558=PA 又52==BG CD ,5=∴CE ,5222=-=CE AC AE所以54tan ==∠AE PA PEA ,即二面角A CD P --的正切值是54. FG【考点】1.线面垂直关系；2.线面角；3.二面角. 21．已知二次函数()c bx ax x f ++=2，（1）若()0>x f 的解集为{}43<<-x x ，解关于的不等式()0322<+-+b c ax bx .（2）若对任意R x ∈，不等式()b ax x f +≥2恒成立，求222ca b +的最大值. 【答案】(1) ()5,3-;(2) 2-22.【解析】试题分析：(1)根据不等式的端点值就是不等式对应方程的实数根，所以利用韦达定理，转化为根与系数的关系，得到c b a ,,间的关系，代入求不等式的解集；（2）将不等式转化为()022≥-+-+b c x a b ax 恒成立，这样需满足0,0≤∆>a ，得到()a c a b -≤≤402，这样将原式进行放缩，通过换元法求函数的最大值.试题解析： (1)02>++c bx ax 的解集为{}43<<-x x()0,34,34,120.b ca b a c a a a a∴<-+=--⨯=⇒=-=-<()()2223021500bx ax c b ax ax a a ∴+-+<⇔-++<<01522<--⇔x x ，所以解集为()5,3-（2）()()0222≥-+-+⇔+≥b c x a b ax b ax x f 恒成立()()2220440240a ab a ac b a a c b >⎧>⎧⎪∴⇔⎨⎨+-≤∆=---≤⎪⎩⎩ ()()222222241404,1c a c a b a b a c a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴≤≤-∴≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭()21,40,010.c ct a c a b c a t a a=--≥≥∴≥>⇒≥⇒≥ 令 ()()()222222444,0222211b t t t g t t a c t t t t t ∴≤==≥+++++++令当0=t 时，()00=g ，当0>t 时，()2222224224-=+≤++=tt t g ，所以222ca b +的最大值为2-22. 【考点】1.一元二次不等式；2.二次函数；3.基本不等式.22．函数()x f 满足：对任意R ∈βα,，都有()()()αββααβf f f +=，且()22=f ，数列{}n a 满足()()+∈=N n f a n n 2，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1n a na b n n n ，1+=n n n b b c ，记()n n c c c n T +++=......121()+∈N n ，问：是否存在正整数M ，使得当M n >时，不等式102141<-n T 恒成立？若存在，写出一个满足条件的M ，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）n n n a 2⋅=；（2）存在正整数146=M (或147,148,149，……),使得当M n >时，不等式102141<-n T 恒成立. 【解析】试题分析：（1）首先令1=n 求首项1a ，再令1+=n n ，n n 2221⋅=+，代入后得到数列的递推公式，最后由递推公式求通项公式；（2）首先根据（1）的结论求{}n c 的通项公式，然后对通项公式进行放缩，求和，得到关于n T 的不等式，得到M. 试题解析：()()()1112,22,nn a f af =∴==()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅122221111=-⇒+=∴++++n nn n n n n a a a a , ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n n a 2为等差数列，首项为121=a ，公差为1，nn n n n a n a 22⋅=⇒=∴.()()22,2221,n n n n nn n a a n b n=⋅∴=⇒=- ()()()()11111122122114221421421n n n n n n n n n n b c b ++++++--∴====---- ()121111 ,444421n nn nc c c c +=-<∴+++<- ① ()1111111448244824421n n n n c +=-=-=-⋅-⋅-- ②1147224n n =-⋅+- 11112240,47224472n n n n nn c >->⇒=->-⋅+-⋅当时, ()111122111124747724712nn i ni n n n c n =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴>-⋅=-+>->⋅-∑()112.474n i i n nc n =-<<>∑由①②知1111111204747447n n n n T T T n n n∴>-<<⇒-<-<⇒-<当时，为使102141<-n T 成立，只需721467221711010=>⇔<n n ，故存在正整数146=M (或147,148,149，……),使得当M n >时，不等式102141<-n T 恒成立. 【考点】1.数列的递推公式求通项公式；2.放缩法.。

四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下期期末考试数学(理)试题 Word版含答案1.直线 $xcos\theta+ysin\theta+a=0$ 和 $xsin\theta-ycos\theta+b=0$ 的位置关系是（）A。

平行 B。

垂直 C。

重合 D。

与 $a,b,\theta$ 的值有关2.若 $a,b\in R$，且 $ab>0$，则下列不等式中，恒成立的是（）A。

$a+b>2ab$ B。

$\frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{ab}\leq a+b$ C。

$a+\frac{1}{b}\geq 2$ D。

$a+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{ab}$3.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A。

$\frac{2\pi}{3}$ B。

$\frac{4\pi}{3}$ C。

$2\pi+\frac{2}{3}$ D。

$4\pi+\frac{2}{3}$4.在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin(A-B)=1+2\cos(B+C)\sin(A+C)$，则 $\triangle ABC$ 的形状一定是A。

等边三角形 B。

不含 $60^\circ$ 的等腰三角形 C。

钝角三角形 D。

直角三角形5.设 $a,b$ 是空间中不同的直线，$\alpha,\beta$ 是不同的平面，则下列说法正确的是A。

$a//b,b\perp\alpha$，则 $a\perp\alpha$ B。

$a\perp\alpha,b\perp\beta,\alpha//\beta$，则 $a//b$ C。

$a\perp\alpha,b\perp\beta,a//\beta,b//\beta$，则$\alpha//\beta$ D。

$\alpha//\beta,a\perp\alpha$，则 $a//\beta$6.设数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $m$，公比为 $q(q\neq 1)$ 的等比数列，它的前 $n$ 项和为 $S_n$，对任意 $n\in N^*$，点$(a,S_{2n})$ 位于A。

2015-2016学年四川省成都市新都区高一下学期数学期末考试题(纯word版含详解)

四川省成都市新都区2016年(春)高一年级期末测试题数学试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，请将答案涂写在答题卡相应位置上)1、 sin 15°的值为( )ABCD2、设x 、y ∈R ＋，且x ≠y ，a ＝2x y +，bc ＝211x y+，则a ，b ，c 的大小关系为( )A 、a ＜b ＜cB 、a ＞b ＞cC 、b ＜a ＜cD 、b ＜c ＜a3、如图为某四面体的三视图(都是直角三角形)，则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、44、空间三条不同直线l ，m ，n 和三格不同的平面α，β，γ，给出下列命题：①若m ⊥l 且n ⊥l ，则m ∥n ； ②若m ∥l 且n ∥l ，则m ∥n ； ③若m ∥α且n ∥α，则m ∥n ； ④若m ⊥α且n ⊥α，则m ∥n ； ⑤若α⊥γ且β⊥γ，则α∥β； ⑥若α∥γ且β∥γ，则α∥β； ⑦若α⊥l 且β⊥l ，则α∥β. 其中正确的个数为( )A 、6B 、5C 、4D 、3 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列关系正确的是( )正视图左视图俯视图A 、a ＝bsinC ＋csinB B 、a ＝bcosC ＋ccosB C 、a ＝bcosB ＋ccosCD 、a ＝bsinB ＋csinC 6、函数f (x )＝asinx ＋cosx 关于直线x ＝4π对称，则a 的取值集合为( ) A 、{1} B 、{－1，1} C 、{－1} D 、{0} 7、等差数列{a n }和等比数列{b n }中，给出下列各式：①a 7＝a 3＋a 4；②a 2＋a 6＋a 9＝a 3＋a 4＋a 10；③b 7b 9＝b 3b 5b 8；④b 64＝b 2b 9b 13.其中一定正确的个数为( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 8、数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n 2a n 且a 1＝2，则( )A 、a n ＝4(1)n n + B 、a n ＝21n + C 、a n ＝41n + D 、a n ＝22n9、给出下列命题.①若a 2＞b 2，则|a |＞b ； ②若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ③若a ＞|b |，则a 2＞b 2； ④若a 2＞b 2，则a ＞|b | 其中一定正确的命题为( )A 、②④B 、①③C 、①②D 、③④10、对于非零向量,,a b c，则( )A 、()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B 、若a b a c ⋅=⋅ ，则b c =C 、||||||a b a b ⋅=⋅D 、若|+|||a b a b =-，则a b ⋅ ＝011、若sin α，sin 2α，sin 4α成等比数列，则cos α的值为( )A 、1B 、0C 、－12 D 、－12或1 12、点O ，I ，H ，G 分别为△ABC (非直角三角形)的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①0GA GB GC ++= ②sin 2A ·OA ＋sin 2B ·OB ＋sin 2C ·0OC =③0aIA bIB cIC ++= ④tanA ·HA ＋tanB ·HB＋tanC ·0HC =其中一定正确的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应横线上) 13、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝81，a k －4＝191，S k ＝10000，则k 的值为________.14、三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠APC ＝∠CPB ＝40°，P A ＝5，PB ＝6，PC ＝7，点D ，E 分别在PB ，PC 上，则△ADE 周长的最小值为_____________.15、若平面向量,a b满足：|2a b - |≤3，则a b ⋅ 的最小值为__________.16、已知函数f (x )＝sin 6x ＋cos 6x ，给出下列4个结论：①f (x )的值域为[0，2]； ②f (x )的最小正周期为2π； ③f (x )的图象对称轴方程为x ＝4k π(k ∈Z )； ④f (x )的图象的对称中心为(5+,848k ππ)(k ∈Z ). 其中结论正确的番号是___________(写出全部正确结论的番号)三、解答题(本大题共6个小题，满分70分.请将答案写在答题卡相应位置上) 17、 (本小题满分10分)若对任意实数x ，不等式x 2－mx ＋(m －1)≥0恒成立(1)求实数m 的取值集合；(2)设a ，b 是正实数，且n ＝11()()a mb b ma++，求n 的最小值. 18、 (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 中，若∠DAB ＝60°，∠ABC ＝30°，∠BCD ＝120°，AD ＝2，AB ＝5. (1)求BD 的长；(2)求△ABD 的外接圆的半径R ； (3)求AC 的长.19、 (本小题满分12分)△ABC 中，a ＝4，b ＝5，C ＝23π，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在边AB 上，且23AD DB =. (1)用CA 和CB 表示CD ；(2)求|CD |.20、 (本小题满分12分)四面体ABCD 中，已知AB ⊥面BCD ，且∠BCD ＝2π，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5. (1)求证：平面ABC ⊥平面ACD ； (2)求此四面体ABCD 的体积和表面积；(3)求此四面体ABCD 的外接球半径和内切球半径.21、 (本小题满分12分)△ABC 中(非直角三角形)，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanAtanBtanC ；ABCDABCD(2)若tanA ∶tanB ∶tanC ＝6∶(－2) ∶(－3)，求a ∶b ∶c .22、 (本小题满分12分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n ＋r (r 为常数)，记b n ＝1＋log 2a n .(1)求r 的值；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n ； (3)记数列{1nb }的前n 项和为P n ，若对任意正整数n ，都有P 2n ＋1＋1n ≤k ＋P n ，求实数k 的最小值.四川省成都市新都区2016年(春)高一年级期末测试题数学参考答案一、选择题： 1、【答案】C【解析】sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝1222-=选C 2、【答案】B【解析】由基本不等式可知a ＞b即2x y +>2x y >+，两边同乘以xy2211xy x y x y>=++，即b ＞c .故选B 3、【答案】D【解析】根据三视图可得四面体的直观图如图所示其中∠P AB ，∠P AC ，∠PBC ，∠ABC 都是直角即四面体的四个面都是直角三角形.选D 4、【答案】C【解析】空间中，垂直于同一直线的两条直线的位置关系是任意的，故①错误；根据公理四(平行公理)，可知②正确；空间中，平行于同意平面的两条直线的位置关系是任意的，故③错误；根据直线与平面垂直的性质，可知垂直于同一平面的两条直线互相平行，故④正确；空间中，垂直于同一平面的两个平面位置关系是任意的，故⑤错误；空间中，平行于同意平面的两个平面互相平行，故⑥正确；空间中，垂直于同一直线的两个平面互相平行，故⑦正确. 综上，正确的命题编号为②④⑥⑦，共4个.选C 5、【答案】B【解析】如图，作AD ⊥BC 于DPA BCABCD则a ＝BC ＝BD ＋CD ＝bcosC ＋ccosB当∠A 是直角或钝角时，结论仍然成立，故选B 6、【答案】A【解析】a ＝1时，f (x )＝sinx ＋cosx (x ＋4π)，它的一条对称轴为x ＝4π，故a ＝1满足条件当a ＝－1时，f (x )＝－sinx ＋cosx (x －4π)，x ＝4π不是它的对称轴，故a ＝－1不满足条件.故选A 7、【答案】A【解析】a 7＝a 1＋6d ，a 3＋a 4＝2a 1＋5d ，故①不一定正确； a 2＋a 6＋a 9＝3a 1＋14d ，a 3＋a 4＋a 10＝3a 1＋14d ，故②一定正确； b 7b 9＝b 12q 14，b 3b 5b 8＝b 13q 13，故③不一定正确； b 64＝(b 1q 5)4，b 2b 9b 13＝b 13q 21，故④不一定正确.选A 8、【答案】A【解析】因为S n ＝n 2a n ，故S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1，两式相减得：a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n 即n (n ＋2)a n ＋1＝n 2a n 即(n ＋2)a n ＋1＝na n ∴a n ＝1231121231111n n n n n n n n n a a a n n n n n n ---------=⋅=⋅⋅+++-＝…… ＝111232124...=1143(1)(1)n n n a a n n n n n n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=+-++.选A 9、【答案】B【解析】由a 2＞b 2，可得|a |＞|b |≥b ，故①正确；在|a |＞b 中，若b ＜0且|b |＞|a |时，不能得到a 2＞b 2，故②错误；由a ＞|b |，则必有a ＞0，两边平方得a 2＞b 2，故③正确；在a 2＞b 2中，若a ＜0，则不能得到a ＞|b |，故④错误.选B 10、【答案】D【解析】因为a ·b 是一个实数，故(a ·b )·c 是与c 共线的向量，同理，a ·(b ·c )是与a 共线的向量，它们不一定相等，故A 错误；由a ·b ＝a ·c ，可得|a ||b |cos <a ，b >＝|a ||c |cos <a ，c > 即|b |cos <a ，b >＝|c |cos <a ，c >，不能得到b ＝c ，故B 错误；|a ·b |＝|a ||b ||cos <a ，b >|≤|a ||b |，故C 错误；根据向量加减法的几何意义，可知|a ＋b |和|a －b |分别是以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线长度，它们相等，意味着四边形为矩形，故a ⊥b ，于是a ·b ＝0，故D 正确. 11、【答案】C【解析】由已知，sin 22α＝sin αsin 4α 即4sin 2αcos 2α＝sin α·4sin αcos αcos 2α由题意，等比数列各项均不为0，有sin α≠0，cos α≠0，故cos α＝cos 2α＝2cos 2α－1 解得cos α＝1或－12但cos α＝1时有sin α＝0，与题意不符，故舍去.选C 12、【答案】D【解析】因为G 是重心，也就是中线的三分点于是211()=()333AO AD AB AC OB OA OC OA ==+-+-(其中D 为BC 中点)整理得：+=0OA OB OC +，故①正确因为O 是外心，故|OA |＝|OB |＝|OC |于是S △BOC :S △COA :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠COA :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B :sin 2C在平面内取点A '，B '，C '，使得'sin 2,'sin 2,'sin 2OA OA A OB OB B OC OC C ===不难得：S △B 'OC '＝S △C 'OA '＝S △A 'OB '，可知O 点是△A 'B 'C '的重心于是'+'+'0OA OB OC =即sin 2+sin 2+sin 2=0OA A OB B OC C，②正确因为I 是三角形的内心，也即是角平分线的交点于是S △BIC :S △CIA :S △AIB ＝a :b :c仿②可得+b +c =0aIA IB IC，故③正确因为H 是三角形的垂心，于是S △BHC :S △CHA :S △AHB ＝tanA :tanB :tanC同②得tan +tanB +tanC =0AHA HB HC，故④正确.二、填空题 13.【答案】100【解析】等差数列中，S 9＝81，由等差中项性质可得9a 5＝81，即a 5＝9 于是a 1＋a k ＝a 5＋a k －4＝9＋191＝200 S k ＝1()2k k a a +＝100k ＝10000，故k ＝100. 14.【答案】35【解析】沿棱P A 将三棱锥侧面剪开并展平，可得展开图如图此时，|P A |＝|P A '|＝5，且∠AP A '＝120° |AA '|＝35即为所求△ADE 的最小周长.15.【答案】89-【解析】由题意，4a 2－4a ·b ＋b 2≤9 即4a ·b ＋9≥4a 2＋b 2≥4a ·b 于是a ·b ≥89-. 16. 【答案】②③④【解析】f (x )＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x )3＋(cos 2x )3 ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2xcos 2x ＋cos 4x ) ＝1·[(sin 2x ＋cos 2x )－3sin 2xcos 2x ]＝1－34sin 22x ＝1－3(1cos 4)8x - ＝53cos 4+88x因为cos 4x ∈[－1，1]，故值域为1[,1]4，①错误；最小正周期T ＝2=42ππ，②正确；令4x ＝k π，可得x ＝4k π(k ∈Z )为函数图象的对称轴，故③正确；令4x ＝k π＋2π，可得x ＝+48k ππ，故对称中心为(5+488k ππ，)(k ∈Z )，故④正确. 三、解答题17.解：(1)由题意得：0)1(4)(2≤---=∆m m 2分即：0)2(2≤-m ，2=m 2分所求m 的取值集合为}2{ 1分PABCA 'DE(2)由(1)得：)212)(1(ab b a n ++= abab ab ab n 212225212212∙+≥+++= 2分即 29≥n (当且仅当21=ab 时，等号成立) 2分 29=小n 即为所求n 的最小值. 1分 18．解：(1)在ABD ∆中，由余弦定理得： 19cos 2||22=∠∙-+=BAD AD AB AD AB BD 即为所求BD 的长. 4分(2)在ABD ∆中，由余弦定理得：3572sin ||2=∠=BAD BD R 3分 357=R 即为所求外接圆半径1分 (3)0180=∠+∠BCD BAD四边形ABCD 是圆内接四边形. 1分在ABC ∆中，由由余弦定理得：3572sin ||2=∠=ABC AC R 2分 357||=AC 即为所求AC 的长. 1分 19. 解:(1) ∵D 在边AB 上，且32=DB AD . ∴ DB AD 23= 2分∴)(2)(3CD CB CA CD -=- 2分∴5253+= 即为所求 2分 (2)由(1)得： 22)23(251||CD += 2分 ∴21169||(9254161254cos )2525CD C =⨯+⨯+⨯⨯⨯=3分 13||5CD =即为所求CD 的长. 1分 20．(1)证明：CD AB BCD CD BCD AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥面面1分CABDBDCACD BC BCD ⊥⇒=∠︒90 1分ABC CD 面⊥∴ 1分CD ACD ⊂ 面∴ABC ACD ⊥平面平面 1分 (2)1061=∙∙=CD BC AB V ABCD 即为所求体积. 2分CD BC CD AC BD AB BC AB S S S S S BCDACD ABD ABC ABCD ∙+∙+∙+∙=+++=∆∆∆∆21212121 )41357(21)5454354343(212222+=⨯+⨯+++⨯+⨯=ABCD S即为所求表面积. 2分 (3)外接球直径为252222=++=CD BC AB R225=R 即为所求外接球半径. 2分 ABCD ABCD rS V 31=解得：164119411920-=+=r 即为所求内切球半径. 2分 21. (1)证∵ABC ∆中，π=++C B A 1分B A B A B A B AC tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan -+-=+-=+-=π 2分∴ )t a n (t a n )t a n t a n 1(t a nB A B AC +-=- 1分又∵C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++∴ 原命题成立 1分 (2) ∵tan :tan :tan 6:(2):(3)A B C =--，令k A 6tan =∴k B 2tan -=，k C 3tan -= 1分又∵由(1)得：)3)(2(6326k k k k k k --=--， ∴ 0=k 或61=k 或61-=k 2分高一数学试题及参考答案第11页ABC ∆中，至多一个钝角，61-=k 1分 21tan ,31tan ,1tan ==-=C B A 1分 105255sin ,1010sin ,102522sin =====C B A 1分由余弦定理得：52:10:25sin :sin :sin ::==C B A c b a 即为所求. 1分22.解：(1)当2≥n 时，111(2)(2)2n n n n n n a S S r r ---=-=+-+= 1分∵数列}{n a 是等比数列，∴ 12111==-a 1分而r S a +==1112，∴1-=r 2分(2)由(1)得：n b n = 1分∴12102232221-⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T ①nn n n n T 22)1(22212121⋅+⋅-++⋅+⋅=- ②由②－①得：n n n n T 222221110⋅-++++=-- ∴12)1(22121+⋅-=⋅+---=n n nn n n T 即为所求数列}{n n b a 的前n 项和 . 3分 (3)∵nP n 131211++++= ∴ 不等式n n P k n P +≤++112 即为k n n n n n ≤++++++++1212121111 1分令1212121111)(++++++++=n n n n n n f 0121211321221)()1(=-+<-+++=-+n n n n n n n f n f )(n f 随正整数n 递减 2分611312111)1(|)(=++==f n f 大，∴611=小k 即为所求实数K 的最小值. 1分【注：所有答案给分是细化的，实际给分按学生解题累计给分.学生用其它解法，只要方法正确，运算准确，均得该题相应小问的满分.】。

2015-2016学年四川省成都市郫县高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年四川省成都市郫县高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞﹣1}B．{x|x＜1或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2}2．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a3+a11=50，a4=13，则公差d=（）A．1 B．4 C．5 D．63．（5分）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图所示，则该圆锥的侧面积是（）A．B．12πC．15πD．24π4．（5分）设向量均为单位向量，且||=，则与的夹角为（）A．B．C． D．5．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等关系正确的是（）A．ab＞a＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞ab2＞a D．a＞ab2＞ab6．（5分）如图，测量河对岸的旗杆AB高时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=a，并在点C测得旗杆顶A 的仰角为60°，则旗杆高AB为（）A．B．C．D．7．（5分）已知a n=，则S6=（）A．B．C．D．8．（5分）设正方体的所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．2πa2C．3πa2D．12πa29．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＜0，S9=S12，则当S n取最小值时，n等于（）A．10 B．11 C．9或10 D．10或1110．（5分）的值是（）A．B．C．D．11．（5分）在锐角△ABC中，A=2B，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知A，B，P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β+）=，则tan（α﹣）=．14．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为．15．（5分）在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足，则=．16．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是一个等差数列（1）a1=1，a4=7，求通项公式a n及前n项和S n；（2）设S7=14，求a3+a5．18．（12分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，底面是边长为1的正方形，高AA1=2．求：（1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；（2）若P为C1D1上的任意一点，求四面体P﹣ABD的体积．19．（12分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．20．（12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．21．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=0，n•a n+1=S n+n（n+1），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n，求数列{b n}的前n项和；（3）设P n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2，Q n=a10+a12+a14+…+a2n+8，其中n∈N*，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2015-2016学年四川省成都市郫县高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞﹣1}B．{x|x＜1或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2}【解答】解：不等式对应的方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，解得方程的根为x=2或x=1，∴不等式x2﹣3x+2＜0的解为1＜x＜2，即不等式的解集为{x|1＜x＜2}．故选：D．2．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a3+a11=50，a4=13，则公差d=（）A．1 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a3+a11=50，a4=13，∴2a1+12d=50，a1+3d=13，可得：6d=24，则公差d=4，故选：B．3．（5分）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图所示，则该圆锥的侧面积是（）A．B．12πC．15πD．24π【解答】解：由圆锥的正视图数据得到圆锥的底面直径为6，高为4，所以母线长为=5，所以该圆锥的侧面积是：；故选：C．4．（5分）设向量均为单位向量，且||=，则与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：向量均为单位向量，且||=，则与的夹角为θ，则||2=（）2，则||2+4||2+4||•||cosθ=3，∴4cosθ=﹣2，∴cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=，故选：D．5．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等关系正确的是（）A．ab＞a＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞ab2＞a D．a＞ab2＞ab【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b＜0，∴ab＞a，a＜ab2，ab＞ab2，∴ab＞ab2＞a故选：C．6．（5分）如图，测量河对岸的旗杆AB高时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵△BCD 中，∠BCD=75°，∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣∠BCD ﹣∠BDC=45°，在△CBD 中，CD=a ，根据正弦定理可得BC===a ，∵Rt △ABC 中，∠ACB=60°，∴AB=BC•tan ∠ACB=a•tan60°=a ，即旗杆高为 a ．故选：B ．7．（5分）已知a n =，则S 6=（） A ．B ．C ．D ．【解答】解：a n ==，∴S 6=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣==．故选：A ．8．（5分）设正方体的所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．πa 2B ．2πa 2C ．3πa 2D ．12πa 2【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，2R=a ⇒R=a ⇒S=4πR 2=3πa 2．故选：C ．9．（5分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＜0，S 9=S 12，则当S n 取最小值时，n 等于（）A．10 B．11 C．9或10 D．10或11【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＜0，S9=S12，则d=12a1+d，化为：a1+10d=0，∴a11=0，a10＜0，a12＞0．∴当S n取最小值时，n等于10或11．故选：D．10．（5分）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：原式======．故选：C．11．（5分）在锐角△ABC中，A=2B，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故选：B．12．（5分）已知A，B，P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：A、B、P是直线l上三个点，且正实数x，y满足，可得：，则=（）（）=++≥+2==，当且仅当，即y=x，此时x=4﹣2，y=4﹣4时取等号．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β+）=，则tan（α﹣）=．【解答】解：∵知tan（α+β）=，tan（β+）=，则tan（α﹣）=tan[（α+β）﹣（β+）]===，故答案为：．14．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为3+2．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数，∴q＞0，q=1+，∴==q2=3+2．故答案为：3+215．（5分）在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足，则= 18．【解答】解：如图，根据已知条件知，A为线段BM中点，||=3，∠CAB=45°；∴==9+3=18．故答案为：18．16．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是一个等差数列（1）a1=1，a4=7，求通项公式a n及前n项和S n；（2）设S7=14，求a3+a5．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则，∴；（2）∵，∴a1+a7=4，由等差数列的性质，得a3+a5=a1+a7=4．18．（12分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，底面是边长为1的正方形，高AA1=2．求：（1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；（2）若P为C1D1上的任意一点，求四面体P﹣ABD的体积．【解答】解：（1）∵BD∥B1D1，AB1=AD1，∴∠AB1D1（或其补角）为异面直线BD与AB1所成的角，∵，∴．=S△ABD•h==．（2）V P﹣ABD19．（12分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．【解答】证明：（1）∵m∥n∴asinA=bsinB即a•=b•．其中R为△ABC外接圆半径．∴a=b∴△ABC为等腰三角形．（2）由题意，m•p=0∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0∴a+b=ab由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•co s∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab∴（ab）2﹣3ab﹣4=0∴ab=4或ab=﹣1（舍去）∴S=absinC△ABC=×4×sin=20．（12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．【解答】解：（I）当x=0时，C=8，因为，所以k=40，故C…（3分）∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和∴．…（6分）（II），…（9分）当且仅当时取得最小值．…（11分）即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）=﹣=﹣．所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=0，n•a n+1=S n+n（n+1），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n，求数列{b n}的前n项和；（3）设P n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2，Q n=a10+a12+a14+…+a2n+8，其中n∈N*，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【解答】解：（1）把n=1，代入n•a n=S n+n（n+1）得：1•a2=S1+1=a1+1=2+1=3，+1即a2﹣a1=2，=S n+n（n+1）①，∴n≥2时，（n﹣1）•a n=S n﹣1+n（n﹣1）②，∵n•a n+1﹣（n﹣1）•a n=a n+2n，①﹣②得：n•a n+1化简得：a n﹣a n=2（n≥2），+1∵a2﹣a1=2，∴a n+1﹣a n=2（n∈N+），即数列{a n}是以0为首项，2为公差的等差数列，∴a n=0+2（n﹣1）=2（n﹣1）；（2）由a n+log3n=log3b n得：b n=n•32n﹣2（n∈N*）T n=b1+b2+b3++b n=30+2•32+3•34+…+n•32n﹣2，①∴9T n=30+2•32+3•34+…+n•32n，②②﹣①得：8T n=n•32n﹣（30+32+34+…+32n﹣2）=n•32n﹣∴T n=；（3）∵a n=2（n﹣1），∴P n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2==n（3n﹣3），Q n=a10+a12+a14+…+a2n+8==n（2n+16）∴P n﹣Q n=n（3n﹣3）﹣n（2n+16）=n2﹣19n若n2﹣19n＞0，即n＞19时，P n＞Q n；若n2﹣19n=0，即n=19时，P n=Q n；若n2﹣19n＜0，即1≤n＜19时，P n＜Q n．。

2016学年四川省成都市新都区高一下学期期末数学试卷及参考答案(理科)

2015-2016学年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lga＞lgb D．2﹣a＜2﹣b2．（5分）下列说法不正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面3．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．C．D．5．（5分）在锐角三角形中，角A、B所对的边分别为a、b，若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．或π6．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．47．（5分）平面上A、B、C三点不共线，O是不同于A、B、C的任意一点，若（+）•（+）=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形8．（5分）在等差数列{a n}中，有3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则此数列的前13项和为（）A．24 B．39 C．52 D．1049．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值11．（5分）若不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式log a（t2+2t﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣3，1）B．C．D．12．（5分）已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A．3 B．C．4 D．2（+1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．13．（5分）已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差数列中项，则b2b16=．14．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），如图所示，则该几何体的侧面积为cm．15．（5分）在△ABC中，A，B，C成等差数列，则=．16．（5分）如下命题中：①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；②若满足条件C=60°，AB=，BC=a的△ABC有两个，则；③在等比数列{a n}中，若其前n项和S n=3n+a，则实数a=﹣1；④若向量，，则向量在向量方向上的投影是；⑤空间中长度分别为1，2，3的线段OA、OB、OC两两相互垂直，若四点O、A、B、C在球面上，则该球的体积为π；其中正确的命题序号有（把你认为正确的命题序号填在横线上）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知O、A、B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足：2+=．（1）用向量，表示向量；（2）若||=1，||=2且向量，的夹角为，求||．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），且（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．21．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（﹣C）+cos（C﹣）=．（1）求角C；（2）若c=2，点O满足||=||=||，求•（+）的取值范围．22．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1，数列{b n}满足：b n=a，其中a＞0且a≠1，n∈N*（1）求证：数列{a n+1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；（3）若a=2，记c n=，数列{C n}的前n项和为T n，数列的前n 项和为R n，若对任意n∈N*，不等式λnT n+＜2（λn+）恒成立，求实数λ的取值范围．2015-2016学年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lga＞lgb D．2﹣a＜2﹣b【解答】解：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴2﹣a＜2﹣b．故选：D．2．（5分）下列说法不正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面【解答】解：对于A，符合棱柱的定义，A正确；对于B，由圆锥的结构特征、母线长相等知：过轴的截面是一个等腰三角形，B 正确；对于C，直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，C不正确；对于D，由圆台的结构特征知：圆台平行于底面的截面是圆面，D正确；故选：C．3．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m、β相交或平行，或m⊂β，故不正确．故选：C．4．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．C．D．【解答】解：A选项，sin15°×cos15°=sin30°=，不正确；B选项，=，不正确；C选项，=，正确；D选项，≠，不正确．综上知C选项正确故选：C．5．（5分）在锐角三角形中，角A、B所对的边分别为a、b，若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．或π【解答】解：将2asinB=b，利用正弦定理化简得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，△ABC为锐角三角形，∴sinA=，则A=．故选：B．6．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．4【解答】解：平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，可得：1×m=﹣2×2．解得m=﹣4．故选：B．7．（5分）平面上A、B、C三点不共线，O是不同于A、B、C的任意一点，若（+）•（+）=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：如图所示D为BC边的中点，∵（+）•（+）=0，∴2•2=0，∴•=0，∴OD⊥AD，∴AD⊥平面OBC，∴AD⊥BC，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，故选：A．8．（5分）在等差数列{a n}中，有3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则此数列的前13项和为（）A．24 B．39 C．52 D．104【解答】解：∵3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，利用等差数列的性质可得，6a4+6a10=48∴a1+a13=a4+a10=8∴故选：C．9．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）=故选：C．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选：D．11．（5分）若不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式log a（t2+2t﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣3，1）B．C．D．【解答】解：∵不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4a＜0，解得0＜a＜1，∵log a（t2+2t﹣2）＞0=log a1，∴，解得﹣3＜t＜﹣1﹣或﹣1+＜t＜1，故选：B．12．（5分）已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A．3 B．C．4 D．2（+1）【解答】解：由题意可得0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，∴z（1﹣z）≤（）2=，当且仅当z=（1﹣z）即z=时取等号，又∵x2+y2+z2=1，∴1﹣z2=x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，∴≥1，∴≥1，∴≥，∴≥≥4，当且仅当x=y=且z=时取等号，∴S=的最小值为4故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．13．（5分）已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差数列中项，则b2b16= 4．【解答】解：∵b9是1和3的等差数列中项，∴2b9=1+3，解得b9=2．由等比数列的性质可得：b2b16==4．故答案为：4．14．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），如图所示，则该几何体的侧面积为80cm．【解答】解：三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm，底面边长是8cm，侧面积为×4×8×5=80（cm2）；故答案为：80．15．（5分）在△ABC中，A，B，C成等差数列，则=．【解答】解：A，B，C成等差数列∴2∠B=∠A+∠C又∵∠B+∠A+∠C=180°∴∠B=60°∠A+∠C=120°=tan（）（1﹣tan tan）+tan tan=（1﹣tan tan）+tan tan=故答案为．16．（5分）如下命题中：①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；②若满足条件C=60°，AB=，BC=a的△ABC有两个，则；③在等比数列{a n}中，若其前n项和S n=3n+a，则实数a=﹣1；④若向量，，则向量在向量方向上的投影是；⑤空间中长度分别为1，2，3的线段OA、OB、OC两两相互垂直，若四点O、A、B、C在球面上，则该球的体积为π；其中正确的命题序号有①③⑤（把你认为正确的命题序号填在横线上）．【解答】解：①在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，则A＞B成立，故①正确，②若满足条件C=60°，AB=，BC=a，则三角形的高AD=h=asinC=a，若满足条件的△ABC有两个，则，即，得＜a＜2故②错误，③在等比数列{a n}中，若其前n项和S n=3n+a，可得a1=3+a，当n≥2时，a n=S n ﹣S n=2•3n﹣1，a2=6，a3=18，则62=18（3+a），解得a=﹣1，因此正确；﹣1④若向量，，则向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞==，故④错误；⑤空间中长度分别为1，2，3的线段OA、OB、OC两两相互垂直，若四点O、A、B、C在球面上，则以OA、OB、OC为棱的长方体的体对角线为直径，即2R==．则球半径R=，则该球的体积为π（）3=π；故⑤正确，故答案为：①③⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知O、A、B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足：2+=．（1）用向量，表示向量；（2）若||=1，||=2且向量，的夹角为，求||．【解答】解：（1）由2+=，A为BC中点，∴+=2，∴=2﹣，（2）由（1）知=2﹣，||=1，||=2且向量，的夹角为∴||2=|2﹣|2=4||2+||2﹣4||•||cos=4+4﹣4×1×2×=4，∴||=2．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，x2﹣2ax﹣8a2≤0化为x2﹣2x﹣8≤0，解得：﹣2≤x≤4．∴A={x|﹣2≤x≤4}．∁R A={x|x＜﹣2或x＞4}；（Ⅱ）由|x2﹣2ax﹣8a2≤0，且a＞0，得﹣2a≤x≤4a．∴A={x|﹣2a≤x≤4a}．由（﹣1，1）⊆A，得，解得a．∴实数a的取值范围是．19．（12分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），且（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【解答】解：∵=（cosα，﹣1），=（2，sinα），且，∴2cosα﹣sinα=0，即tanα=2．（1）tan（α+）=；（2）==．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=60°，AB=BC=PA∴△ABC为等边三角形，∴PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE又∵AE⊥PC，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD．（II）取AC中点F，连接BF、PF，∵AB=BC，F为AC中点，∴BF⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，BF⊂底面ABCD，∴PA⊥BF，又∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BF⊥平面PAC．∴∠BPF为PB与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PA⊥AC．设PA=AB=BC=AC=2a，∴AF=a，PF==，∴，∴PB和平面PAC所成的角的正切值为．21．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（﹣C）+cos（C﹣）=．（1）求角C；（2）若c=2，点O满足||=||=||，求•（+）的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，由sin（﹣C）+cos（C﹣）=，得，即，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴C=；（2），由||=||=||，可知O为△ABC的外心，∴求•（+）==．由，可得，∴•（+）=．∴•（+）的取值范围是（0，12]．22．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1，数列{b n}满足：b n=a，其中a＞0且a≠1，n∈N*（1）求证：数列{a n+1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；（3）若a=2，记c n=，数列{C n}的前n项和为T n，数列的前n 项和为R n，若对任意n∈N*，不等式λnT n+＜2（λn+）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】（1）证明：∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2a n+2，即a n+1+1=2（a n+1），又∵a1+1=1+1=2，∴数列{a n+1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n+1=2n，a n=﹣1+2n；（2）结论：数列是公差为log a2的等差数列．理由如下：∵b n=log a，∴==log a（a n+1）=nlog a2，∴数列是等差数列，公差为log a2；（3）解：由（1）、（2）可知c n==，∵T n =2•+3•+…+（n+1）•，2T n=2•1+3•+…+（n+1）•，∴T n=2++…+﹣（n+1）•=1+﹣（n+1）•=3﹣，由（2）可知R n=，又∵对任意n∈N*，不等式λnT n +＜2（λn +）恒成立，∴对任意n∈N*，不等式λn（3﹣）+＜2（λn +）恒成立，∴对任意n∈N*，不等式λ＜恒成立，从而问题转化为求f（n）=的最小值，∵f（1）=，f（2）=﹣，f（3）=﹣，f（4）=﹣，且当n≥4时f（n）=随着n的增大而增大，∴λ＜f（3）=﹣．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2016-2017学年四川省高一下学期期末考试数学试题(解析版)10

高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．下列各式中，值为） A. 002sin15cos15 B. 202sin 151- C. 2020cos 15sin 15- D.2020cos 15sin 15+【答案】B【解析】001A.2sin15cos15sin302=︒=，不成立；B. 202sin 151cos30-=-︒=C. 2020cos 15sin 15cos30-=︒=，不成立 D. 2020cos 15sin 151+=，不成立故选B.2．下列命题正确的是（）A. 若a b >，则22ac bc >B. 若a b >-，则a b ->C. 若ac bc >，则a b >D. 若a b >，则a c b c ->- 【答案】D【解析】A 选项中为0时不能成立，B 选项中不等式的两边同时乘以-1，不等号的方向应改变，C 选项中的为负数时，不等号的方向要改变，所以C 不成立，选D3．下图是某几何体的三视图，则此几何体可由下列哪两种几何体组合而成（）A. 两个长方体B. 两个圆柱C. 一个长方体和一个圆柱D. 一个球和一个长方体【答案】C【解析】上面那部分，正视图，侧视图均为矩形，俯视图为圆，所以是圆柱；下面那部分，正视图，侧视图，俯视图均为矩形，所以为长方体，所以该几何体是由一个圆柱和一个长方体组成. 故选C.4．在ABC ∆中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ∆一定是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】B【解析】由题意有：sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)，根据两角和的正弦公式，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ，代入2sinAcosB=sinC 中，整理可得，sinAcosB−cosAsinB=0，即sin(A−B)=0，又因为△ABC 中，A<π，B<π，故A−B ∈(−π,π)，所以A=B 。

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成都九中2015—2016学年度下期期末考试高一数学试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为.2A .3B .22C .4D2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于.7A - .8B - .22C - .27D3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则.5A .10B .15C .20D21.2A a 21.2B a - 2.C a 2.D a -5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则1.2A -3.2B 1.2C 3.2D ±6．()1cos()sin244παα-==已知,则31.32A 31.32B - 7.8C - 7.8D7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有....A B C D 直角三角形钝角三角形锐角三角形不确定8．在三视图如图的多面体中,最大的一()个面的面积为.22A .5B.3C .25D()32x y +则的最小值是 5.3A 8.3B .16C .8D10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边2,PAD ABCD M ⊥长为的为正方形,侧面底面为 ,ABCD MP MC =底面内的一个动点,且满足则点()M ABCD 在正方形内的轨迹的长度为.5A .22B .C π 2.3D π11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差 ()220bx ax c -+=数列,则一元二次方程.A 有两个相等实根 .B 无实根.C 有两个同号相异实根 .D 有两个异号实根12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 1P BD 中点,点在对角线上,给出以下命题：1//;P BD MN APC ①当在上运动时,恒有面12,,;3BP A P M BD =②若三点共线,则112//;3BP C Q APC BD =③若,则面 0111603P AB A C ④过点且与直线和所成的角都为的直线有且只有条.()其中正确命题的个数为.A 1 .B 2 .C 3 .D 4第Ⅱ卷非选择题D 1C 1B 1A 1PQN MD C BAMDBP二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分） 13．0cos1402sin130sin10+=____________14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成,设 m m 36 m x y 每间虎笼的长为，宽为，现有长的钢筋 xy=网材料,为使每间虎笼面积最大,则____ 15．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积6,E PC PA 为为侧棱的中点,则异面直线与 ___________BE 所成的角为16．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:2230,3;b a b c ac-+=①若则的最小值为228,24;a b ab a b ++=+②若则的最小值为()4,2a a b c bc a b c +++=++③若则的最小为2224,a b c ab bc ++=+④若则的最大值为其中正确结论的序号是________________三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量()(),,.m a c b n a c b a =+=--与向量互相垂直()()1;2sin sin C A B +求角求的取值范围.18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形,()1://;PN BCD 求证平面()2PQMN 若截面是正方形,求异PM BD 面直线与所成的角.N MQPDCBA y y yy y x xxyx19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若.(){}1n a 求数列的通项公式;(){}2212log ,,,72n n n n n n n a bb c n N c T +++==∈令其中记数列的前项和为. 2.2n nn T ++求的值20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面05,90,AD DAB ABC E CD =∠=∠=是的中点.()1CD PAE ⊥证明:平面；()2PB PAE 若直线与平面所成的角和PB ABCD 直线与平面所成的角相等， P CD A --求二面角的正切值.21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数()(){}10|34f x x x x >-<<若的解集为,解关于的不等式()2230bx ax c b +-+<．()()2,2x R f x ax b ∈≥+若对任意不等式恒成立，()224a c a a c -+求的最大值.22.（12分）()()()(),,,f x R f f f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有(){}()()22,2.n n n f a a f n N +==∈且数列满足(){}1n a 求数列的通项公式;()()()121121.n n n n nn n n a a b b c T c c c n N n n b n ++⎛⎫=-==+++∈ ⎪⎝⎭令,,记 ,584n MM n N T +∈<问:是否存在正整数使得当时,不等式恒成立? ;M 若存在,求出的最小值若不存在,请说明理由.成都外国语学校2015—2016学年度下期期末考试高一数学试卷命题人：注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为D.2A .3B .22C .4D2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于C.7A - .8B - .22C - .27D3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则B .5A .10B .15C .20DB21.2A a 21.2B a - 2.C a 2.D a -5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则A1.2A -3.2B 1.2C 3.2D ±6．()1cos()sin244παα-==已知,则C31.32A 31.32B - 7.8C - 7.8D7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有A....A B C D 直角三角形钝角三角形锐角三角形不确定8．在三视图如图的多面体中,最大的一()个面的面积为C.22A .5B.3C .25D()32x y +则的最小值是D 5.3A 8.3B .16C .8D10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边2,PAD ABCD M ⊥长为的为正方形,侧面底面为 ,ABCD MP MC =底面内的一个动点,且满足则点()M ABCD 在正方形内的轨迹的长度为A.5A .22B .C π 2.3D π11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差 ()220bx ax c -+=数列,则一元二次方程B.A 有两个相等实根 .B 无实根.C 有两个同号相异实根 .D 有两个异号实根12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 1P BD 中点,点在对角线上,给出以下命题： 1//;P BD MN APC ①当在上运动时,恒有面 12,,;3BP A P M BD =②若三点共线,则112//;3BP C Q APC BD =③若,则面 0111603P AB A C ④过点且与直线和所成的角都为的直线有且只有条.()其中正确命题的个数为C.A 1 .B 2 .C 3 .D 4D 1C 1B 1A 1PQN MD C BAMDBP第Ⅱ卷非选择题二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13．0cos1402sin130sin10+=____________12-14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成,设 m m 36 m x y 每间虎笼的长为，宽为，现有长的钢筋x y =网材料,为使每间虎笼面积最大,则____3215．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积6,E PC PA 为为侧棱的中点,则异面直线与 ___________BE 所成的角为06016．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:2230,3;ba b c ac-+=①若则的最小值为 228,24;a b ab a b ++=+②若则的最小值为()4,2a a b c bc a b c +++=++③若则的最小为2224,a b c ab bc ++=+④若则的最大值为其中正确结论的序号是________________①②④三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量()(),,.m a c b n a c b a =+=--与向量互相垂直()()1;2sin sin C A B +求角求的取值范围.解：()()()()22210,a c a c b b a a b c ab ⇒+-+-=⇒+-=已知2221cos ,0,.223a b c C C C ab ππ+-∴==<<∴= ()22,,33C A B ππ=∴+=222sin sin sin sin sin sin cos cos sin 333A B A A A A A πππ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭31sin cos 226A A A A A π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2510,sin 1366626A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<⇒<+≤ ⎪⎝⎭sin sin .A B ∴+⎝的取值范围是y y yy y x xxyx18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形,()1://;PN BCD 求证平面()2PQMN 若截面是正方形,求异PM BD 面直线与所成的角.解：()1//,PQMN PN QM ∴证明:截面是平行四边形,,//.PN BCD QM BCD PN BCD ⊄⊂⇒又平面平面平面()()21//,PN BCD 由知平面,,//.PN ABD ABD BCD BD PN BD ⊂=∴平面平面平面()NPM PM BD ∴∠或其补角是异面直线与所成的角.045.PQMN NPM ∴∠=截面是正方形, 045.PM BD ∴异面直线与所成的角是19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若.(){}1n a 求数列的通项公式;(){}2212log ,,,72n n n n n n n a bb c n N c T +++==∈令其中记数列的前项和为. 2.2n nn T ++求的值解：()21111347,34(2),3 4.n n n n a S a S n a S -+=+==+≥∴=+()221242474,n n n n n a a n a a --+=≥⇒=⨯=⨯两式相减得:21,(1)174,(2)n n n n a n -⎧=⎪=∴=⎨⨯≥⎪⎩此式对不成立,()22212log log 42,,722n n n n n n n a b nb nc ++===∴==231232222n n nT ∴=++++①231112122222n nn n nT +-=++++② 22111111121.2222222n n n n n n T +++-=+++-=-①②得,222 2.22n n n n n n T T ++∴=-⇒+=N MQPDCBA20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面05,90,AD DAB ABC E CD =∠=∠=是的中点.()1CD PAE ⊥证明:平面；()2PB PAE 若直线与平面所成的角和PB ABCD 直线与平面所成的角相等， P CD A --求二面角的正切值.解：()014,3,90 5.AC AB BC ABC AC ==∠==连接，由,得5,.AD E CD CD AE =∴⊥又是的中点，,,.PA ABCD CD ABCD PA CD ⊥⊂∴⊥平面平面 ,.PA AE A CD PAE =∴⊥而平面()2CD PAE PEA P CD A ⊥∴∠--平面；是二面角的平面角.,,,,.B BG CD AE AD F G PF //过点作分别与相交于连接 ()1.BG PAE ⊥由知，平面.BPF PB PAE BG AE ∴∠⊥为直线与平面所成的角.且PA ABCD PBA PB ABCD ⊥∠由平面知，为直线与平面所成的角. ,.PBA BPF Rt PBA Rt BPF PA BF ∠=∠∴∆≅∆⇒=由题意知090//,//.DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知,又3, 2.BCDG GD BC AG ∴==∴=是平行四边形.4,,,AB BG AF BG =⊥∴==2AB BF PA BG ===∴=于是CD BG CE AE ==∴===又21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数()(){}10|34f x x x x >-<<若的解集为,解关于的不等式()2230bx ax c b +-+<．()()2,2x R f x ax b ∈≥+若对任意不等式恒成立，()224a c a a c-+求的最大值. 解：(){}210|34ax bx c x x ++>-<<的解集为()0,34,34,120.b ca b a c a a a a∴<-+=--⨯=⇒=-=-<()()2223021500bx ax c b ax ax a a ∴+-+<⇔-++<<()221503,5.x x ⇔--<∴-，解集为()()()22220f x ax b ax b a x c b ≥+⇔+-+-≥恒成立FG44tan ..55PA PEA P CD A AE ∴∠==--即二面角的正切值是()()22200440240a a b a ac b a a c b >⎧>⎧⎪∴⇔⎨⎨+-≤∆=---≤⎪⎩⎩()()222241404,1c a c a a b a c a a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴≤≤-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()21,40,010.c c t a c a b c a t a a =--≥≥∴≥>⇒≥⇒≥令()()()()222224444,0222211a c a t t t g t t a c t t t t t -===≥+++++++令 ()()4000;0222t g t g t t t==>=≤=++当时，当时， ()224 2.a c a a c-∴+的最大值为22.（12分）()()()(),,,f x R ff f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有(){}()()22,2.n n n f a a f n N +==∈且数列满足(){}1n a 求数列的通项公式;()()()121121.n n n n nn n n a a b b c T c c c n N n n b n ++⎛⎫=-==+++∈ ⎪⎝⎭令,,记,584n MM n N T +∈<问:是否存在正整数使得当时,不等式恒成立?;M 若存在,求出的最小值若不存在,请说明理由.解：()()()1112,22,n n a f a f =∴==()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅11111221,1,2222n n n n n n n n na a a a a a ++++⎧⎫∴=⋅+⇒-=∴=⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为1.2.2n nn n a n a n ∴=⇒=⋅公差为()()22,2221,n n n n n n n aa nb n=⋅∴=⇒=-()()()()1111112212211144221421421n n n n n n n n n n b c b ++++++--∴====-<---()121211.44n n n n c c c T c c c n ∴+++<⇒=+++<1146.5845844n M M T M ∴<⇔≥⇔≥不等式恒成立,146.M ∴存在满足条件的正整数其最小值为。