2012高三数学寒假作业(1)

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江苏省南京师大附中高三数学寒假作业

南京师大附中2012届高三寒假作业数学(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = ▲ 2．若复数()(1)a i i -+（i 是虚数单位，a R ∈）是纯虚数,则a = ▲ .3．直线l 经过点)1,2(-，且与直线0532=+-y x 垂直，则l 的方程是 ▲ .4．命题“x R ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是 ▲ .5．函数x x y cos 2+=在(0,)π上的单调递减区间为 ▲ .6．已知平面向量(1,2)a =，(1,3)b =-，则a 与b夹角的余弦值为 ▲ 7. 把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是 ▲ .（用分数表示）8．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组),(y x 依次记为),(11y x ，),(22y x ，，(,)n n x y ,，则程序运行结束时输出的最后一个数组为 ▲ .9．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ . 10．已知n m ,是两条不同的直线，α为两个不同的平面，有下列第9题第8四个命题：① 若//,//m n αα，则//m n ； ② 若,m n αα⊥⊥，则//m n ； ③ 若//,m n αα⊥，则n m ⊥；④ 若,m m n α⊥⊥，则//n α．其中真命题的序号有 ▲ .（请将真命题的序号都填上）11．若函数2x by x -=+在(,4)(2)a b b +<-上的值域为(2,)+∞，则b a = ▲ .12．将正偶数排列如右表，其中第i 行第j 个数表示为*(,)ij a i j N ∈，例如4318a =，若2010ij a =，则i j += ▲ 13．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上存在一点M ，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为 ▲ .14．锐角ABC ∆的三边c b a ,,和面积S 满足条件22()4c a b S k --=,又角C 既不是ABC ∆的最大角也不是ABC ∆的最小角,则实数k 的取值范围是 ▲ 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分). 已知角,,A B C 是ABC ∆的内角，向量(1,3),(sin(),sin())2m n A A ππ==--，m ⊥n. （Ⅰ）求角A 的大小（Ⅱ）求函数)23cos(sin 22B B y -+=π的值域.2 6 10 12第12ACB1AD1B1C第1616．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB AB =，B A AC 11⊥，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：1B C ∥平面BD A 1；（Ⅱ）求证：平面11AB C ⊥平面11ABB A .17．(本小题满分14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t =+，人均消费()g t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）.18．(本小题满分16分)已知22:1O x y +=和点(4,2)M . （Ⅰ）求以点M 为圆心，且被x轴截得的弦长为⊙M 的方程；（Ⅱ）过点M 向O 引切线l ，求直线l 的方程；第18（Ⅲ）设P 为⊙M 上任一点，过点P 向O 引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分) 已知数列}{n a 是以d 为公差的等差数列，数列}{n b 是以q 为公比的等比数列．（Ⅰ）若数列}{n b 的前n 项和为n S ,且112a b d ===,31003252010S a b <+-,求整数q 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列}{n b 中是否存在一项k b ，使得k b 恰好可以表示为该数列中连续(,2)p p N p ∈≥项的和？请说明理由；（Ⅲ）若123,,r s r t b a b a a b a ==≠=（其中t s r >>，且（s r -）是（t r -）的约数），求证：数列}{n b 中每一项都是数列}{n a 中的项.20．(本小题满分16分)已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠. （Ⅰ）当1a >时，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；（Ⅲ）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.南京师大附中2012届高三寒假作业数学参考答案必做题部分填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. [0,2]2. 1a =-3. 3240x y ++=4. x R ∃∈,sin 1x <-5.5(,)66ππ6.27.13 8. (27,6)- 9.38a 10.②③ 11. 116 12. 6013.14.1,1)解答题：本大题共6小题，计90分.15. 解：（Ⅰ）因为(sin ,cos )n A A =-，且m ⊥n ，所以m ·n=sin 0A A = (4)分则tan A =A (0,)π∈，所以3A π=…………………………………………………7分（Ⅱ）因为1(1cos 2)(cos 22)2y B B B =-++112cos 22B B =-1sin(2)6B π=+- ……………………………………………11分而3A π=，所以203B π<<，则72666B πππ-<-<，所以1sin(2),162B π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦ 故所求函数的值域为1,22y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ……………………………………………………………14分 16. 证明：（Ⅰ）设11AB A B O =，连结OD .由于点O 是1AB 的中点，又D 为AC 的中点，所以1//OD B C ………………………………5分而1B C ⊄平面BD A 1，OD ⊂平面BD A 1，所以1B C ∥平面BD A 1…………………………7分（Ⅱ）因为1BB AB =，所以是11ABB A 正方形，则11A B AB ⊥，又11A B AC ⊥,且11,AC AB ⊂平面11AB C ,11AC AB A =，所以1A B ⊥平面11ABB A …12分而1A B ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面11ABB A ………………………………………14分17．解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t =⋅=+--……………………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分 ①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t =++=++4401441≥⨯= 当且仅当25t t =，即5t =时取等号……………………………………………………………10分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t =+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033………………………………………………13分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………………14分 18. 解：（Ⅰ）设圆的半径为r ，则9)5(2222=+=r ……………………………………3分∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x ……………………………………………………5分（Ⅱ）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k，解得k =……………8分∴切线l方程为24)y x -=- ………………………………………………………10分（Ⅲ）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x …………………………12分即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得： [])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ ………………………………14分若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或，∴可以找到这样的定点R ，使得PR PQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2；点R 的坐标为)51,52(时，比值为310…………………………………………………………16分19．解：（Ⅰ）由题意知，12,2n n n a n b q -==⋅，所以由31003252010S a b <+-，得21231003212352010420062010430b b b a b b b b q q ++<+-⇒-+<-⇒-+<……3分解得13q <<，又q 为整数，所以2q =………………………………………………………5分（Ⅱ）假设数列{}n b 中存在一项k b ，满足121k m m m m p b b b b b +++-=+++⋅⋅⋅+，因为2nn b =，∴11221k m p k m p b b k m p k m p +-+->⇒>⇒>+-⇒≥+（*）…………8分又111212(21)222221m p k m m n p k m m m m p b b b b b ++-+++--==+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-=22m pm +-2m p +<，所以k m p <+，此与（*）式矛盾.所以，这要的项k b 不存在………………………………………………………………………11分（Ⅲ）由1r b a =，得21()r s r b b q a q a a s r d ====+-，则(1)r a q d s r -=- ………………12分又22231(1)()()r r t r r r a q b b q a q a a t r d a q a t r s r -====+-⇒-=-⋅-，从而(1)(1)(1)r r t ra q q a q s r -+-=-⋅-，因为12s r a a b b ≠⇒≠，所以1q ≠，又0r a ≠，故1t rq s r -=--. 又t s r >>,且（s r -）是（t r -）的约数,所以q 是整数,且2q ≥………14分对于数列}{n b 中任一项i b （不妨设3i >），有11(1)i i i r r r b a q a a q --==+- 2222(1)(1)()(1)i i r r r a a q q q q a d s r q q q --=+-+++⋅⋅⋅+=+-+++⋅⋅⋅+ 22[(()(1)1)1]i r a s r q q q d -=+-+++⋅⋅⋅++-⋅，由于22()(1)1i s r q q q --+++⋅⋅⋅++是正整数，所以i b 一定是数列}{n a 的项……………16分 20. 解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=+-=+-…………………………………3分由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………………………………5分（Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增，故()0f x '=有唯一解0x =……………………………………………………………………7分所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根，而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………………………11分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…………12分由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a aa a --=+--++=--，记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号），所以1()2ln g t t tt =--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-………………………14分 ①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥，②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e --≥-⇒+≥-⇒<≤，综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦…………………………………………16分。

高三寒假作业上篇

假期是快乐的，玩耍时快乐，学习是快乐的，进步是快乐的，有玩有学，又学又玩最快乐！高中数学知识总结（上篇）一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝{}2|1,y y x x M =+∈，则M N = ___（答：[1,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈ ，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+ ，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）2、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

（答：a ≤0）3、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2-）4、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别:命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q ”注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数二、函数与导数1、对勾函数x ax y +=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a ；递减，在时)0,[],0(,0a a a ->递增，在),a [],a (+∞--∞2、单调性①定义法;②导数法. 如：已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(,3]-∞))；注意①：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

2012-2013学年高三数学寒假作业1 含答案

数学寒假作业1一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.中国教考资源网1. 已知集合A 、B 满足A B A =，那么下列各式中一定成立的是（）A.ABB 。

B AC 。

A B B = D.A B A =2．设条件,0:;0:2≥+>a a q a p 条件那么p 是q 的什么条件（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件中国教考资源网C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件中国教考资源网3.若12ab,则（）（A ）22aba(B)22abb（C ）2log ()1ab(D)2log ()2ab4．已知双曲线)0,0(,12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ )A ．34B ．35C ．45D ．235. 设向量a ,b 满足:||3=a ,||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ）A ．3B 。

4C ．5D ．66．为确保信息安全,信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密），输入a,b,c,d22234m a b n b c p c d q d←+←+←+←输出m,n,p,q 结束开始第7题图接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16。

当接收方收到密文14,9, 23,28时,则解密得到的明文为（）A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,77.在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是（）.（A ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离（B ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离（C ）BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30︒ （D)BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30︒8．已知)(x f 是业义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数R∈b a ,满足：)()2(,2)2(),()()(*∈==+=⋅N n n f a f a bf b af b a f n n ，)(2)2(5*∈=N n b n n n 中国教考资源网考察下列结论：网①);1()0(f f =②数列｛a n }为等比例数列；中国教考资源网③数列{b n }为等差数列。

高三数学寒假作业：(一)(Word版含答案)

高三数学寒假作业（一）一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.满足条件{1,2}{1,2,3}M =的所有集合M 的个数是 A.1B. 2C. 3D. 42.下列说法正确的是（） A. 命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B. “1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件 C. “p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件 D. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题3.设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（） A. ()f x 是偶函数B. ()f x 最小正周期为πC. ()f x 图象关于点(,0)6π-对称 D. ()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数 4.实数5lg 24lg 81log 22723log 322++∙- 的值为（）5.函数()sin ,[,],22f x x x x =∈-12()()f x f x >若，则下列不等式一定成立的是( ) A ．021>+x x B ．2221x x > C ．21x x > D ．2221x x <6.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a ( )A. 55B. 35C. 50D. 467.在等差数列{}n a 中，12012a =-，其前n 项和为12102012,2,n S a a S -=若则的值等于 A.2010-B.2011-C.2012-D.2013-8.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，如果 cos(2)2sin sin 0B C A B ++<，那么三边长a 、b 、c 之间满足的关系是（）A ．22ab c >B ．222a b c +<C ．22bc a >D ．222b c a +<9.若点(4,2)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（）A ．2100x y +-=B ．20x y -=C ．280x y +-=D ．260x y --=二、填空题10.已知复数(2)x yi -+ (,x y R ∈),则yx的最大值是 . 11.一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为．12.曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是______________. 13.已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 .三、计算题14.（本小题满分14分）设对于任意的实数,x y ，函数()f x ，()g x 满足1(1)()3f x f x +=，且(0)3f = ()()2g x y g x y +=+，(5)13g =，*n N ∈（Ⅰ）求数列{()}f n 和{()}g n 的通项公式；（Ⅱ）设[()]2n n c g f n =，求数列{}n c 的前n 项和n S （Ⅲ）已知123lim03n n n -→∞+=，设()3n F n S n =-，是否存在整数m 和M 。

高三数学寒假作业(完整答案)

高三数学寒假作业—数列答案一、选择题：1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝()A ．5B ．8C ．10D ．14解析解法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.解法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64解析在等比数列{a n }中，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列，故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，则(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63. 答案 C3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析设等差数列的公差为d ，由等差数列的性质可得2d ＝a 3－a 1＝4，得d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.S k ＋2－S k ＝a k ＋2＋a k ＋1＝2(k ＋2)－1＋2(k ＋1)－1＝4k ＋4＝36，解得k ＝8.4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)，a 1a 2a 3＝27，则a 6＝( )A ．27B ．81C ．243D ．729 解析设数列{a n }的公比为q ，∵S 2n ＝4×a 1－q 2n1－q2＝a 1－q 2n1－q，∴q ＝3，又a 1a 2a 3＝27，∴a 32＝27，∴a 2＝3，∴a 6＝a 2q 4＝35＝243，故选C. 答案 C5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1·a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 013的值等于( ) A ．3 B ．1 C.13 D ．32 013解析由已知得a n ＋1＝a n a n －1，a n ＋3＝a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n ×1a n ＋1＝1a n ，故a n ＋6＝1a n ＋3＝a n ，于是，该数列是周期为6的数列，a 2 013＝a 3＝a 2a 1＝3. 答案 A6．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( )A ．201B ．210C ．211D ．212解析由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211. 答案 C7．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析在等比数列中，a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1－qn1－q＝a 1－qa n 1－q ＝2－32q 1－q＝62，解得q ＝2，又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n＝32，解得n ＝5.同理当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62解得q ＝12，由a n＝a 1qn －1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，即n －1＝4，n ＝5，综上项数n 等于5，选B.答案 B8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12. 答案 C9．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0 D ．S m <0，且S m ＋1<0解析由题意，得：－a m <a 1<－a m ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.显然，易得S m ＝a 1＋a m2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.答案 A10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2 B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5 C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5解析由已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝a n ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.答案 D10（理）已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)满足g(x)≠0,f'(x)·g(x)<f(x)·g'(x),f(x)=a x ·g(x),+=.令a n =,则使数列{a n }的前n 项和S n 超过的最小自然数n 的值为二、填空题：13．(2014·江西卷)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围________．解析当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0，a 9<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0.∴－1<d <－78.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78 12．已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.解析因为函数f (x )＝x ＋sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而(1)(1)f g (-1)(-1)f g 52()()f n g n 1516等差数列{a n }有19项，a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则必有f (a 10)＝0，所以k ＝10. 答案 1011．(2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则：(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)na n －(－1)n －1a n －1＋12n (n ≥2)．当n 为偶数时，a n －1＝－12n (n ≥2)，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n (n ≥2)，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.根据以上{a n }的关系式及递推式可求．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，…， a 2＝12，a 4＝12，a 6＝12，a 8＝12，….∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.答案 (1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－114．已知对于任意的自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴相交于A n ，B n 两点，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝________.解析令(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n ，由题意得|A n B n |＝|x 2－x 1|，所以|A n B n |＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1n 2＋n 2－4·1n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，因此|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案2 0142 01515．(文) 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.解析由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n c 1＋c n2，前2n 项和为S 2n ＝2nc 1＋c 2n2，所以S 2nS n ＝2nc 1＋c 2n2n c 1＋c n2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－d nd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n为非零常数，所以d ＝4. 答案 415．(理)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析设正项等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q >0)，则由a 5＝12得a 6＋a 7＝a 5q ＋a 5q 2＝12(q ＋q 2)＝3，即q ＋q 2＝6，解得q ＝2，代入a 5＝a 1q 4＝a 124＝12⇒a 1＝125，式子a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 变为a 1－qn1－q>答案 12三、解答题：．16．(2014·北京卷)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20且{b n －a n }是等比数列． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1，从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n－1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n－1.17．(2014·安徽卷)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而b n ＝n ·3nS n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ①3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1②①－②得：－2S n ＝31＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝－3n1－3－n ·3n ＋1＝－2nn ＋1－32所以S n ＝n －n ＋1＋3418．已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝a n log 12 a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小的正整数n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＋a 4＝28，a 3＋＝a 2＋a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 2＋a 4＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32q ＝12(舍去)∴a n ＝a 1qn －1＝2n.(2)b n ＝2nlog 122n＝－n ·2n ，设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，① 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②①－②得－T n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ×2n ＋1＝－(n －1)·2n ＋1－2，∴S n ＝－T n ＝－(n －1)×2n ＋1－2.由S n ＋n ·2n ＋1>50，得－(n －1)·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1>50，则2n>26，故满足不等式的最小的正整数n ＝5.19．(2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n－14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)20．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ≥2且n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25(a >0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，若S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.解 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ∈N *)，① 所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1，② 由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n＝2(n ≥2)．当n ＝2时，a 1－a 2＝－1，因为a 1＝1，所以a 2＝2，a 2a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．故a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n －1，所以d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，所以{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列，所以S 2nS n＝2n ＋2log a ＋2n n －2×2log a 2n＋2log a＋nn －2×2log a 2＝2＋n ＋a21＋n ＋a 2＝λ ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0，因为S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－a2＝0，λ－＋log a＝0，解得λ＝4，a ＝12.21．（文）数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)由题意，可得2a n ＋1＋S n －2＝0.① 当n ≥2时，2a n ＋S n －1－2＝0.② ①－②，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2)．因为a 1＝1,2a 2＋a 1＝2，所以a 2＝12.所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，S n ＝1－12n1－12＝2－12.若⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列，则S 1＋λ＋λ2，S 2＋2λ＋λ22，S 3＋3λ＋λ23成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋9λ4＝S 1＋3λ2＋S 3＋25λ8，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋9λ4＝1＋3λ2＋74＋25λ8，解得λ＝2.又λ＝2时，S n ＋2n ＋22n ＝2n ＋2，显然{2n ＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2，使得数列{S n ＋λn ＋λ2n }成等差数列．21．(理)（2014·江苏卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．解 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n＝a m .所以{a n }是“H 数列”． (2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d . 因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n－n 2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n－n2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1. (3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n n ＋2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n n ＋2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{ b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．。

2012年广东外语外贸大学附设外语学校高三数学寒假作业(数学文)1

数学寒假作业（数学文）1数学文本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页。

试题1至4页，答题卷5至8页。

满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第一部分（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数i m m m z )1()32(2-+-+=为纯虚数,则实数m 的值为:A.1B.1-或3C.3-或1D.3- 2．若函数()f x A ，函数()lg(1)g x x =-,[2,11]x ∈的值域为B ，则AB 为A.(,1]-∞B.(,1)-∞C. [0,1]D.[0,1) 3. 已知平面直角坐标系内的点A(1,1),B(2,4),C(-1,3),AC AB ⋅的值为: A.-4 B.4 C.-8 D.84. 等比数列{}n a 中,2a =4,1617=a ,则5463a a a a +的值是: A.1 B.2 C.21 D.415. 曲线32x x y -=在1-=x 的处的切线方程为A.02=-+y xB.02=++y xC.02=+-y xD.02=--y x6. 如果实数y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为 A.2B.3C.27 D.47．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1=x ”的充分不必要条件B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题． 8.已知一个正三棱锥P-ABCA.399B.54C.527D.3369．椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F，，过2F 作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为A ．2B ．2(2CD ．10.已知函数1(),()12x x f x g x x +==+，若()()f x g x >，则实数x 的取值范围是（） A (,1)(0,1)-∞- B 1(,1)(0,-+-∞- C 15(1,0)()-+-+∞ D 1(1,0)(0,-+- 第二部分（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分．11．已知α是第二象限角，21sin =α，则=+)4sin(πα ．12.已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填______. 13.已知数列{n a }的通项公式是22++=kn n a n ,若对于n *∈N ，都有n a >+1n a 成立，则实数k 的取值范围是．选做题:(14,15两题只需选答其中一题,两题都答者按第14题给12题分)14.极坐标系中,曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点A,B,则AB =______.15.如图,已知:△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上， AD 是⊙O 的切线，若o30=∠B ,2=AC ,则OD 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（解答请写在答题卷上）16.(12分)已知向量)2cos ,(cos ),1,sin 2(x x x =-=,定义函数OQ OP x f ⋅=)(. (Ⅰ)求函数)(x f 的表达式,并指出其最大最小值;(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为c b a ,,,且1)(=A f ,8=bc , 求△ABC 的面积S.A17．（本小题满分12分）a 、b 是常数，关于x 的一元二次方程023)(2=++++abx b a x 有实数解记为事件A ．⑴若a 、b 分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求)(A P ； ⑵若R a ∈、R b ∈，66≤+≤-b a 且66≤-≤-b a ，求)(A P ．18.(14分)如图,在四棱锥ABCD P -中,ABCD PA 底面⊥,o 120=∠BCD ,BC ⊥AB,CD ⊥AD,BC=CD=PA=a,(Ⅰ)求证:平面PBD ⊥平面PAC.(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD 的体积V;PBACD19.(14分)已知常数a 、b 、c 都是实数，函数c bx x a x x f +++=2323)(的导函数为)(x f '(Ⅰ)设)0(),1(),2('='='=f c f b f a ，求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设 ()()()f x x x γβ'=--，且12γβ<≤<,求(1)(2)f f '⋅'的取值范围；20.(14分)已知圆O:222=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为22的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由21.(14分)在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥(Ⅰ)证明:}1{na 是等差数列; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项； (Ⅲ)若11n n a a λλ++≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围.数学寒假作业（数学文）数学文参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．D 2．C 3． B 4． C 5．B 6． C 7． D 8．A 9．A 10．D二、填空题： 11．462-， 12．3 13． ),3(+∞- 14.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16.(Ⅰ))42sin(22cos 2sin )2cos ,(cos )1,sin 2()(π-=-=⋅-=⋅=x x x x x x OQ OP x f ……4分2,2:)(-∴的最大最小值分别是x f . ………6分(Ⅱ)∵f(A)=1, ∴22)42sin(=-πA ∴4342442ππππ=-=-A A 或 ………8分 ∴24ππ==A A 或,又△ABC 为锐角三角形,所以4π………10分 ∵bc=8,∴△ABC 的面积2222821sin 21=⋅⋅==A bc S ………12分17．⑴方程有实数解，0)23(4)(2≥+⨯-+abb a ，即1222≥+b a ……1分依题意，1=a 、2、3、4、5、6，1=b 、2、3、4、5、6，所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有3666=⨯种结果……2分当且仅当“1=a 且1=b 、2、3”，或“2=a 且1=b 、2”，或“3=a 且1=b ”时，1222≥+b a 不成立……5分，所以满足1222≥+b a 的结果有30)123(36=++-种……5分，从而653630)(==A P ……6分．⑵在平面直角坐标系aOb 中，直线6±=+b a 与6±=+b a 围成一个正方形……7分正方形边长即直线6=+b a 与6-=+b a 之间的距离为26266=+=d ……8分正方形的面积722==d S ……10分，圆1222=+b a 的面积为π12/=S ……10分圆在正方形内部……12分，所以66721272)(/ππ-=-=-=S S S A P……12分．18. (Ⅰ)连结AC,∵BC=CD,AB=AD,∴AC ⊥BD, ………2分又PA ⊥平面ABCD,且ABCD BD 平面⊂ ∴PA ⊥BD ………3分又PA ∩AC=A, ∴BD ⊥平面PAC ………4分又BDP BD 平面⊂ ∴平面PBD ⊥平面PAC ………6分(Ⅱ)依题意得∠CBD=∠CDB=300,又BC ⊥AB,CD ⊥AD,所以∠DBA=∠BDA=600又BC=CD=a ，∴a BD 3= ∴△ABD 是边长为3的正三角形 ……9分∴PA S S V ABD BCD ⋅+=∆∆)(31a AB AD CD BC ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=)60sin 21120sin 21(31032233)32323(61a a a a =⋅⨯+=………14分 19.(Ⅰ)解：b ax x x f ++='2)(．⎪⎩⎪⎨⎧==++=++∴cb b b a ab a 124，解得：⎩⎨⎧-==-=31c b a ．…5分 33213)(23---=∴x x x x f ．……7分 (2)()()()f x x x γβ'=--．又 12,(1)(1)(1)0,(2)(2)(2)0f f γβγβγβ<≤<∴'=-->'=--> ………10分[][])2)(1()2)(1()2)(2)(1)(1()2()1(ββγγβγβγ--⋅--=----='⋅'∴f f2212121()()2216γγββ-+--+-≤⋅=161)2()1(0≤'⋅'<∴f f (14)分20.(14分)解:(Ⅰ)因为a e ==,所以c=1,则b=1,所以椭圆C 的标准方程为2212x y += ………5分PBACDE(Ⅱ)∵P(1,1),∴12PF k =,∴2OQ k =-,∴直线OQ 的方程为y=-2x, ∴点Q(-2,4)…7分 ∴1PQ k =-,又1OP k =,∴1k k PQ O P -=⊥,即OP ⊥PQ,故直线PQ 与圆O 相切 ……10分(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切 ………11分证明:设00(,)P x y(0x ≠则22002y x =-,所以001PF y k x =+,001OQ x k y +=-, 所以直线OQ 的方程为001x y x y +=- 所以点Q(-2,0022x y +) ………12分所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x x kx x y x y y +--+--====-+++,又00OP y k x = ……13分所以1k k PQ O P -=⊥,即OP ⊥PQ,故直线PQ 始终与圆O 相切. ………14分21.解:(Ⅰ)将1130(2)n n n n a a a a n --+-=≥整理得：1113(2)n n n a a --=≥ ………3分所以}1{na 是以1为首项,3为公差的等差数列. ………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得:113(1)32nn n a =+-=-，所以132n a n =- ………8分 (Ⅲ)若11n n a a λλ++≥恒成立，即3132n n λλ++≥-恒成立 ………9分整理得：(31)(32)3(1)n n n λ+-≤- 令(31)(32)3(1)n n n c n +-=- 1(34)(31)(31)(32)(31)(34)33(1)3(1)n n n n n n n n c c n n n n ++++-+--=-=-- ………12分因为2n ≥，所以上式0>，即{}n c 为单调递增数列，所以2c 最小，2283c =，所以λ的取值范围为28(,]3-∞ ………14分。

江苏省南通中学(南区)高三数学寒假作业4 2012,1

高三数学寒假作业4 2012.1.17一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1 已知i 是虚数单位，复数411i z i i +=+-的共轭复数z 在复平面内对应点落在第象限．2 已知集合{|{|12}M x y N x x ===+≤，且M 、都是全集I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为；3 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，22008201020082010=-S S ，则2a = ；4 已知向量,m n 的夹角为6π，且||3m = ，||2n = ，在∆ABC 中，,3AB m n AC m n =+=- ，D 为BC 边的中点，则||AD =；5 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P 与圆O ；222=+y x 的位置关系是________．6 函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 .7. 若}33,)1(,2{122++++∈a a a a ,则实数=a .8.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a = ．若要从身高在 [120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在 [140,150]内的学生中选取的人数应为． 9 设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；其中正确命题的序号为 .10 已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l 的斜率的取值范围是 .11某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口遇到红灯或绿灯是等可能的，遇到红灯时停留的时间都是2min ．则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率为．二、解答题：15 已知函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的图像如图所示，直线37,88x x ππ==是其两条对称轴。

2012高三寒假作业二(数学理)

高三年级寒假作业（二）数学试题（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1、若复数ii z -=1，则=|z |( )．A ．21 B ．22 C ．1 D ．22、设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-,33,1,1y x y x y x 则目标函数y x z +=4的最大值为（）A ．4 B. 11 C. 12 D .14 3、右图是2008年底CCTV 举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（） A.5; 1.6B.85;1.6C.85;0.4D.5;0.44、下列命题：①2x x x ∀∈,≥R ；②2x x x ∃∈,≥R ； ③43≥； ④“21x ≠”的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-”. 中,其中正确．．命题的个数是（） A. 0 B.1 C. 2 D. 3 5、要得到函数x y 2cos =的图象，只需将函数)32sin(π-=x y 的图象（）A 、向左平移π65B 、向右平移π65C 、向左平移π125 D 、向右平移π1256、如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则全面积是( )．A ．324 B.334 C. 12 D . 87.如图, 共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别为1234,,,e e e e ,其大小关系为 ( )俯视图7984446793Ａ．1234e e e e <<< Ｂ．2134e e e e <<<Ｃ．1243e e e e <<<Ｄ．2143e e e e <<<8、已知函数2()(32)ln 20082009f x x x x x =-++-，则方程()0f x =在下面哪个范围内必有实根（）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)9、将20名城市义工（其中只有2名女性）平均分成两组，女性不在同一组的概率是（）A .102091812CC C B.1020818122CC CC.1020919122CC C D.102081812CC C10、函数R x x x x f ∈+=,)(3，当20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ()1,0B ()0,∞-C ⎪⎭⎫⎝⎛∞-21,D ()1,∞- 11.函数f(x)=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（） A ．a=3,b=-3，或a=-4,b=11 B ．a=-4,b=11 C ．a=3,b=-3 D ．以上都不正确12. 已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点，动点M 满足)22121(31GC GB GA GM ++=，则M 一定是ABC ∆的（）A ．线段CD 的中点B ．线段CD 的三等分点（非重心）C ．重心D ．线段AB 的中点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

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高三数学寒假作业（1）命题人：李云鹏复核人：庄炳灵一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。

） 1．若集合M=｛y| y=x-3｝，P=｛y| y=33-x ｝，则M∩P=（）A ．｛y| y>1｝B ．｛y| y≥1｝C ．｛y| y>0｝D ．｛y| y≥0｝2.将直线l ：x ＋2y －1=0向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到直线l ´，则直线l 与l ´之间的距离为（）A ．557 B ．55C ．51D ．573．设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.若抛物线2pxy2=的焦点与椭圆12y6x22=+的右焦点重合，则p 的值为（）A.-2B.2C.-4D.4 6.已知直线m 与平面α相交一点P ，则在平面α内（）A ．存在直线与直线m 平行，也存在直线与直线m 垂直B ．存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直C ．不存在直线与直线m 平行，但必存在直线与直线m 垂直D ．不一定存在直线与直线m 平行，也不一定存在直线与直线m 垂直7、在平行四边形A B C D 中，A C 与B D 交于点O E ，是线段O D 的中点，A E 的延长线与C D 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF = （）A ．1142+ a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b8.已知等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++=( )A.－56B.54C.1316D. 569.在△ABC 中，已知tanA +tanB =3tanA ·tanB -3,且sinBcosB =43，则△ABC 是（）A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形共线且，若项和为的前、若等差数列C B A OC a OA a OB S n a n n ,,,}{102001+=（不过原点），则=200S （）100、A 101、B 200、C 201、D11.在Ｒ上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则( )（Ａ）11<<-a（Ｂ）20<<a（Ｃ）2321<<-a（Ｄ）2123<<-a12、过双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12A B B C=，则双曲线的离心率是 ( )A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x ，则y x 2-的最大值是__________14．已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为_______ 15.圆锥底面半径为1，其母线与底面所成的角为60°，则它的侧面积为_________________． 16、已知函数bax x x f +-=2)(2（R x ∈），给出下列命题,其中正确命题的序号是_____。

（把你认为正确的序号都填上）①)(x f 不可能为奇函数。

②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称。

③若2a b ≥，则f （x ）在区间[)+∞,a 上是增函数。

④f （x ）的最小值为2a b -。

三、解答题（本大题共6小题，共74分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）已知函数.3cos33cos3sin)(2xx x x f +=（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，且b 2=ac ，x 是b 所对的角，求)(x f 的最大值。

18、（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求nT19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别为棱PD 、PC 的中点．（I ）求证：PD ⊥平面AMN ；（II ）求三棱锥P —AMN 的体积；（III ）求二面角P —AN —M 的大小．(理科做)20、（本小题满分12分）据行业协会预测：某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产上涨%x ，则销售品，可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格量将减少%m x ，且该化工产品每吨的价格上涨幅度不超过80%，（其中m 为正常数）（1）当21=m 时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？（2）如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多，求m 的取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数32()ln()2f x x x =++，()ln g x x =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果关于x 的方程1()2g x x m=+有实数根，求实数m 的取值范围；22.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，其中e=21，它的一个焦点和抛物线y 2=4x 的焦点重合．（I ）求该椭圆的标准方程；（II ）过椭圆的右焦点且斜率k （k ≠0）的直线和椭圆分别交于点A 、B ，线段AB 的垂直平分线和x 轴相交点P （m ，0），求实数m 的取值范围．高三数学寒假作业（1）答案一．选择题CBBAD CBCAA CC二、填空题13. 1 14. 1 15 2π 16. ①③ 三、解答题17．解：（Ⅰ） )(x f 的最小正周期为T=3π（Ⅱ）当,()4x f x π=时的最大值为.123+18. 解：（Ⅰ）13n n a -=（Ⅱ）()213222n n n T n n n-=+⨯=+19.（I ）证明：∵ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD∵PA ⊥底面ABCD∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影， ∴CD ⊥PD在△PCD 中M 、N 分别是PD 、PC 的中点，则MN ∥CD ，∴MN ⊥PD在△PCD 中PA=AD=2，M 为PD 的中点． ∴AM ⊥PD 则PD ⊥平面AMN（II ）解：∵CD ⊥AD ，CD ⊥PD∴CD ⊥平面PAD ．∵MN ∥CD ，∴MN ⊥平面PAD 又AM ⊂平面PAD∴MN ⊥AM ，∴∠AMN=90°在Rt △PCD 中，PA=AD=2，M 为PD 的中点． ∴AM=PM=2．又MN=21CD=1∴S △AMN =21AM ·MN=22∵PM ⊥平面AMN ，∴PM 为三棱锥P-AMN 的高．V 三棱锥P-AMN =31S △AMN ·PM=31（III ）解：作MH ⊥AN 于H ，连接PH∵PM ⊥平面AMN ，∴PH ⊥AN∴∠PHM 为二面角P —AN —M 的平面角．∵PM ⊥平面AMN ，∴PM ⊥MH ．在Rt △AMN 中，32=⋅=ANMN AM MH在Rt △PMH 中，3322)(===∠MHPM PHM tg∴∠PHM=60°则二面角P —AN —M 的大小为60°20、（1）设该产品每吨的价格上涨x% 时，销售总金额为y 万元由题意得 %)1(%)1(100010mx x y -⨯+⨯⨯= 即2y 100(1)10000m x m x =-+-+ (080)x <≤当21m =(50)112502x -+1时y=-2当x=50时，max 11250y =万元.即该吨产品每吨的价格上涨50%时，销售总最大. （2）由（1）得2y 100(1)10000m x m x =-+-+ (080)x <≤如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多则有080%x <≤当时⨯y>101000即 2100(1)1000010000m x m x -+-+> 080x <≤ ∴100(1)0mx m -+-> 080x <≤恒成立注意到m>0m ax100(1)()m x m->既100(1)80m m->求得 ∴509m <<∴m 的取值范围是509m <<21、解：（1）323()ln()(22f x x x x =++>-，且0)x ≠，221222()3232f x xx xx '=-=-++，令'()0f x =，解得：1x =-或3.()f x ，'()f x 随x 变化情况如下表：x 1- (1,0)- (0,3) 3(3,)+∞'()f x +0 - -0 +()f x↗↘ ↘↗∴()f x 的单调递增区间是（3,12--）和（3,+∞），单调递减区间是（1,0-）和（0,3）。

（2）1()ln 2g x x x m==+，∴1ln (0)2m x x x =->取1()ln (0)2t x x x x =->，11'()(0)2t x x x=->，令'()0t x =，2x =；()t x ，'()t x 随x 变化情况如下表：x(0,2)2 (2,)+∞ '()t x +0 -()t x↗↘22.（本小题满分14分）解：（I ）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0） ……1分设椭圆的方程为：12222=+by ax（a ＞b ＞0）由题意得e=21=a c ……2分又c=1，∴a=2，从而b 2=a 2－c 2=3所以椭圆的方程为：13422=+yx． ……4分（II ）设直线l 的方程为y=k (x-1)（k ≠0）将其代入椭圆方程，得3x 2＋4k 2(x －1)2=12整理得：(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12=0．（k ≠0） ……6分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点M （x 0，y 0）3(,1)2--∴max ()(2)ln 21t x t ==-，又0x +→，()t x →-∞， ∴m 的取值范围是(,ln 21]-∞-.则220434kkx +=，222004331434)1(k kk k k x k y +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-= ……9分AB 的垂直平分线方程为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=++2224341433k k x k kk y令y=0，得2243k k+ 即m=2243k k+ ……12分∵k ≠0 ∴m ≠0 且m ≠41∴mm k4132-=＞0 ，∴0＜m ＜41……14分。