高中数学 第1章 §2 第2课时充要条件习题课同步测试

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第1章 §2 第2课时充要条件习题课同步测试 北师大版选修1-1一、选择题1．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 先分别写出适合条件的“x ∈M 或x ∈P ”和“x ∈M ∩P ”的x 的范围，再根据充要条件的有关概念进行判断．由已知可得x ∈M 或x ∈P 即x ∈R ，x ∈M ∩P 即2<x <3， ∴2<x <3⇒x ∈R ，但x ∈R ⇒/ 2<x <3，∴“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件，故应选B. 2．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0[答案] D[解析] 本题考查了两向量垂直的坐标运算． ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2＝2x ＝0，即x ＝0.a 与b 垂直和共线对应的坐标之间的关系不要混淆．[点评] 即a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；a ∥b ＝x 1y 2－x 2y 1＝0.3．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2k π＋β，k ∈Z 时，sin α＝sin β；反之，由sin α＝sin β可得，α＝2k π＋β，k ∈Z 或α＝(2k ＋1)π－β，k ∈Z ，所以，“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，选A.4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1，故选C.5．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是( )A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β[答案] C[解析] A选项中，有可能a⊂α，B，D选项中也有可能a⊂α，C选项中，∵α∥β，又a⊂β，∴a与α无公共点．∴a∥α，故选C.6．(2013·福建理，2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查了充要条件的判断．当a＝3时，A＝{1,3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a＝2或a＝3，故为充分不必要条件．7．(2014·浙江文，2)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A.8．(2014·南昌市高二期中)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题9．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的________条件． [答案] 充分不必要[解析] 圆心为(a ，b )，半径r ＝ 2.若a ＝b ，有圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有|a －b ＋2|2＝2，则a ＝b 或a －b ＝－4，所以“a ＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．三、解答题10．求不等式(a 2－3a ＋2)x 2＋(a －1)x ＋2>0的解集是R 的充要条件． [答案] a ≤1或a >157[解析] 讨论二次项系数：(1)由a 2－3a ＋2＝0，得a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，原不等式为2>0恒成立，∴a ＝1适合．当a ＝2时，原不等式为x ＋2>0，即x >－2，它的解集不是R ，∴a ＝2不符合． (2)当a 2－3a ＋2≠0时，必须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2>0Δ＝a －12－8a 2－3a ＋2<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >2a <1或a >157，∴a <1或a >157.综上可知，满足题意的充要条件是a 的取值范围是a ≤1或a >157.一、选择题11．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a1<a2<a3，则a1<a1q<a1q2，若a1>0，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则0<q<1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．12．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析] 由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁，∴甲⇒丁且丁⇒/ 甲，故选B.13．(2014·辽宁省协作校联考)有下列说法：①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件，其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D.4[答案] B[解析] p且q为真⇒p真且q真⇒p或q为真，p或q为真⇒p真或q真⇒/p且q为真，∴①正确；p且q为假⇒p假或q假⇒/p或q为真，p或q为真⇒p真或q真⇒/p且q为假，②正确；綈p为假⇒p为真⇒p或q为真，p或q为真⇒p真或q真⇒/綈p为真，③正确；④错误，故选B.14．命题甲：“a、b、c成等差数列”，命题乙：“ab＋cb＝2”，则甲是乙的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵a ＝b ＝c ＝0，则a 、b 、c 也成等差数列，但推不出a b ＋cb＝2； 反过来由a b ＋c b＝2⇒a ＋c ＝2b ，即a 、b 、c 成等差数列．综上所述，“a 、b 、c 成等差数列”是“a b ＋c b＝2”的必要不充分条件，故选A. [点评] 要注意区分“A 是B 的充分条件”和“A 是B 的充分非必要条件”，若A ⇒B ，则A 是B 的充分条件，若A ⇒B 且B ⇒/ A ，则A 是B 的充分非必要条件．二、填空题15．“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________条件． [答案] 必要条件[解析] ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇒b 2－4ac ≥0⇒b 2≥4ac ⇒/ ac <0. 反之，ac <0⇒b 2－4ac >0⇒ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根． 所以“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的必要条件．16．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．[答案] a ≤2 a ≥3[解析] p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2a ≤3，∴a ≤2，若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤－2a ≥3，∴a ≥3.三、解答题17．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？ [答案] m >1或m <0 [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋32－4m 1－m >0，1－mm <0.∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.18．不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．[答案] m<0[解析] 令f(x)＝x2－2mx－1要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，∵f(x)的图像开口向上，且f(0)＝－1<0(如图)，∴f(1)>0，即1－2m－1>0，∴m<0.∴m的取值范围是m<0.。