2016年暨南大学考研试题601高等数学

5．方程
)
6
1 2 2 ( x y ) sin 2 x y2 设 f ( x, y ) 0
x2 y2 0 x y 0
2 2
，则在原点 (0,0) 处 f ( x, y )
-------------( ) A．可微 B. 不可微
C. 偏导数存在且连续 D. 偏导数不存在
x 1 y z 1 x y z ， 又与直线 L2 : 3 2 1 2
讨论 取何值时，方程组无解，有唯一解和有无穷多组解。在方程组有无穷多组 解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。 四 、计算题（本题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分） 1. 计算曲面积分
3xzdydz yzdzdx z
1 x C
B. 2 x C
C.
D. x 2 C
2z xy
2. 若 函 数 z z ( x, y ) 的 全 微 分 dz sin ydx x cos ydy ， 则 二 阶 偏 导 数 ( )
A． cos y
B. sin y
C. cos x
D. sin x
3. 设 A 是 m n 矩阵， A 的秩 R A m n ， Em 为 m 阶单位矩阵，则下列命题 中正确的是 ( ) A. A 的任意 m 个列向量必线性无关; B. A 的任意一个 m 阶子式不等于 0; C. A 经过初等行变换必可化为 Em O ; D. 非齐次线性方程组 Ax b 必有无穷多解.
2016 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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学科、专业名称：凝聚态物理、光学、生物物理学、环境科学（理学） 、生物医学工程（理 学）等 研究方向： 考试科目名称：601 高等数学（正卷）
则a
.
二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
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1. 若 f ( x 2 ) A. 2 x C
1 ( x 0) ，则 f ( x) ( x
)
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
本试卷满分为 150 分，考试时间为 3 小时。 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
sin( xy 2 ) 2 x 1 y y 0
1.
lim
.
2. 设函数 z yf ( x) ，其中 f ( x) 可微，且 f (1) f (1) 1 ，则该函数在点 (1,1) 处的全 微分 dz | (1,1) . .
3. 求微分方程 y 6 y 9 y ( x 1)e 3 x 的通解.
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五、证明题 （本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 1. 证明：当 x 0 时，
1 1 1 1 x dt dt 2 x 1 tHale Waihona Puke Baidu1 1 t2

2
dxdy
其中 是由 z x 2 y 2 与 z 2 x 2 y 2 所围几何体的外侧.
2 2 2 2 x3 4x1 x2 4x1 x3 2ax2 x3 经正交变换化为 3 y12 3 y2 by3 2. 设二次型 x12 x2 ，求
a 和b 的值及所用的正交变换.
3. 函数 u xyz 在点 (1,1,1) 处沿梯度方向的方向导数为 4. 设 D 是由两条抛物线 y x 2 , y x 所围成的闭区域，则
x
D
yd
. .
5. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 1, 2 ，则 | A 5 E |
2 2 3 6. 已知 A = 1 1 a ， B 是 3 阶非零矩阵，且 BAT =O ，这里 O 是零矩阵， 1 2 3
3．求级数
4n 2 4n 3 2 n x 2n 1 n 1

的收敛域.
4． 求通过点 M (1, 2,1) ， 垂直于直线 L1 : 相交的直线方程. 5. 对于线性方程组
x1 x2 x3 3 x1 x2 x3 2 x x x 2 3 1 2
2. 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定， B 为 m n 实矩阵， BT 是 B 的转置矩阵， 试证： BT AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 R ( B ) n .
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1 1 4. 设 n 维行向量 = , , 0,...0 ，矩阵 A E T , B E 2 T , 其中 E 为 n 2 2
阶单位矩阵， 则 AB ( A. O B. E
) C. E D. E T
dy 2 y (0 y ) ，过点 (0, 0) 有---------------------------------------( dx A. 一个解 B. 两个解 C. 无数个解 D. 三个解
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三 、计算题（本题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分） 1. 2.


x sin x dx 0 1 cos 2 x f (0) 1 ， 又
设 函 数 y f ( x ) 在 (, ) 上 有 定 义 ， 且
f ( x y ) f ( x)e y f ( y )e x ，求 f ( x)