七年级数学相交线与平行线(教师讲义带答案)之欧阳语创编

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七年级下数学相交线与平行线专题总结(含答案)[1]讲课讲稿

七年级下数学相交线与平行线专题总结(含答案)[1]相交线与平行线专题总结一、知识点填空1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_____________.2.对顶角的性质可概括为：3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.4.垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做6.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中:⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.7.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.8.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.9.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：________________________________________.10.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .11.平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：________________________________ .12.判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项，结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是_________. 如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.13.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.14.平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全___ ___.⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.二：典型题型训练15.如图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm⊥===那么点A到BC的距离是_____，点B到AC的距离是_______，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是________．16.设a、b、c为平面上三条不同直线，若//,//a b b c，则a与c的位置关系是_________；若,a b b c⊥⊥，则a与c的位置关系是_________；若//a b，b c⊥，则a与c的位置关系是________．17.如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．18.如图，AOC∠与BOC∠是邻补角，OD、OE分别是AOC∠与BOC∠的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．19.如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．解：∠B＋∠E＝∠BCE过点C作CF∥AB，则B∠=∠____（）又∵AB∥DE，AB∥CF，∴____________（）∴∠E＝∠____（）∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2即∠B＋∠E＝∠BCE．20.⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a∥b．⑵直线//a b，求证：12∠=∠．21.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ．证明：∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD（）又∵∠1＝∠2，∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，即∠MEP＝∠______∴EP∥_____．（）22.已知DB∥FG∥EC，A是FG上一点，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，求：⑴∠BAC的大小；⑵∠PAG的大小.23.如图，已知ABC∆，AD BC⊥于D，E为AB上一点，EF BC⊥于F，//DG BA交CA于G.求证12∠=∠24.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明理由．三：兴趣拓展平行线问题：平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1=∠B1+∠A2．例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．例4求证：三角形内角之和等于180°．例5求证：四边形内角和等于360°．例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．四，课后思考题1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？4．证明：五边形内角和等于540°．5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．参考答案一：1.邻补角2.对顶角，对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短 4.点到直线的距离 5.同位角内错角同旁内角 6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行. 9.平行 10.两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补.11.命题题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题 12.平移相同平行且相等 13.6cm 8cm 10cm 4.8cm. 14.平行平行垂直 15.28° 118° 59° 16. OD ⊥OE 理由略 17. 1（两直线平行，内错角相等）DE ∥CF （平行于同一直线的两条直线平行） 2 （两直线平行，内错角相等）. 18.⑴∵∠1＝∠2 ，又∵∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠3∴a ∥b （同位角相等两直线平行） ⑵∵a ∥b ∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)又∵∠2＝∠3（对顶角相等） ∴∠1＝∠2. 19. 两直线平行，同位角相等 MFQ FQ 同位角相等两直线平行 20. 96°，12°.21.,AD BC FE BC ⊥⊥Q 90EFB ADB ∴∠=∠=o //EF AD ∴23∴∠=∠//,31DG BA ∴∠=∠Q 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A ＝∠F.∵∠1＝∠DGF（对顶角相等）又∠1＝∠2 ∴∠DGF ＝∠2 ∴DB ∥EC （同位角相等，两直线平行） ∴∠DBA ＝∠C （两直线平行，同位角相等）又∵∠C ＝∠D ∴∠DBA ＝∠D ∴DF ∥AC （内错角相等，两直线平行）∴∠A ＝∠F (两直线平行,内错角相等).三例1 如图 1－18，直线a ∥b ，直线AB 交 a 与 b 于 A ，B ，CA 平分∠1，CB 平分∠ 2，求证：∠C=90°分析由于a ∥b ，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=过C 点作直线 l ，使 l ∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．证过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF 的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．分析本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即∠A1+∠A2=∠B1．①猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．证过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠B1+∠A2=0．说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋…-∠B n-1+∠A n=0．这时，连结A1，A n之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，…，B n-1A n(当然，仍要保持 AA1∥BA n)．推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．问题1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？问题2 如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1，问AA1与BA n是否平行？这两个问题请同学加以思考．例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．分析利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．解过F到 FG∥CB，交 AB于G，则∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(内错角相等)．因为 AE∥BD，所以∠1=∠BFA(内错角相等)，所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°．说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．例4求证：三角形内角之和等于180°．分析平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种．证如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．显然∠1+∠BAC+∠2=平角，所以∠A+∠B+∠C=180°．说明事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．例5求证：四边形内角和等于360°．分析应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．证如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．∠C=∠4(同位角相等)，又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°．说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)×180°=540°，…………………………n边形内角和=(n-2)×180°．这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．证过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．又∠1+∠2=180°，所以∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．A，B，C三点共线．思考若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．分析如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC ∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．证因为∠1=∠2，所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．因为∠D=90°及EF⊥CD，所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．所以 BC∥EF(平行公理)，所以∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．。

相交线与平行线解析含答案

相交线与平行线解析含答案一、选择题1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1=15°，∠3=130°．则∠2的度数是()A．37.5°B．75°C．50°D．65°【答案】D【解析】【分析】先根据条件和邻补角的性质求出∠1的度数，然后即可求出∠2的度数．【详解】）∵∠3=130°，∠1+∠3=180°，∴∠1=180°-∠3=50°，∵∠2-∠1=15°，∴∠2=15°+∠1=65°；故答案为D.【点睛】本题考查角的运算，邻补角的性质，比较简单.2．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为A．80°B．50°C．30°D．20°【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．3．如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB交BD于点O，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠F＝∠G，则图中与∠ECB相等的角有( )A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】B【解析】【分析】由对顶角关系可得∠EOD=∠COB，则由∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，再结合CE是角平分线即可判断.【详解】解：由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，结合CE是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF，再由EC∥BF可得∠ACE=∠F=∠G，则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得，∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC，共有5个与∠ECB相等的角，故选择B.【点睛】本题综合考查了平行线的判定及性质.4．如图AD∥BC,∠B=30o,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为（）A．30o B．60o C．90o D．120o【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠DEC=∠B+∠BDE=60°．故选B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．5．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p,q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】到l1距离为2的直线有2条，到l2距离为1的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（2，1）的点．【详解】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是2，1的点，即距离坐标是（2，1）的点，因而共有4个．故选：D．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：到一条已知直线距离为定值的直线有两条．6．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于()A．81°B．99°C．108°D．120°【答案】B【解析】试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.7．如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x 、y 和z 的关系是（）A ．y ＝x+zB ．x+y ﹣z ＝90°C ．x+y+z ＝180°D ．y+z ﹣x ＝90°【答案】B【解析】【分析】过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，根据三角形外角性质求出∠CNE ＝y ﹣z ，根据平行线性质得出∠1＝x ，∠2＝∠CNE ，代入求出即可．【详解】解：过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，则∠CDE ＝∠E+∠CNE ，即∠CNE ＝y ﹣z∵CM ∥AB ，AB ∥EF ，∴CM ∥AB ∥EF ，∴∠ABC ＝x ＝∠1，∠2＝∠CNE ，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y ﹣z ＝90°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．8．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为( )A．75°B．72°C．70°D．65°【答案】B【解析】【分析】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，已知AB∥CD，根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1，再由∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，可得5∠2=180°，即可求得∠2=36°，所以∠AEF=∠3=∠1=72°【详解】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，∵AB∥CD，∴∠3=∠1，∵∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，∴5∠2=180°，即∠2=36°，∴∠AEF=∠3=∠1=72°故选B．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．9．如图，下列条件中能判定//DE AC 的是( )A ．EDC EFC ∠=∠B ．AEF ACD ∠=∠C ．34∠=∠D ．12∠=∠【答案】C【解析】【分析】对于A ，∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的，据此进行判断；对于B 、D ，∠AFE=∠ACD ，∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角，据此进行判断；对于C ，∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角，据此进行判断.【详解】∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；∠AFE=∠ACD,∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角,因而可以判定EF ∥BC,但不能判定DE ∥AC ；∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角,可以判定DE ∥AC.故选C.【点睛】本题考查平行线的判定，掌握相关判定定理是解题的关键.10．如图，直线 a ∥b ∥c ，直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若∠1＝30°，则∠2 等于（）A ．40°B ．60°C ．50°D ．70° 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠，∠∠，再根据直角三角板的性质得341290+=+=︒∠∠∠∠，即可求出∠2的度数．【详解】∵a ∥b ∥c∴1324==∠∠，∠∠∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上∴341290+=+=︒∠∠∠∠∵∠1＝30°∴290160=︒-=︒∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线和三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键．11．若a ⊥b ，c ⊥d ，则a 与c 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：①当b ∥d 时；②当b 和d 相交但不垂直时；③当b 和d 垂直时；即可得出a 与c 的关系．【详解】当b ∥d 时a ∥c ；当b 和d 相交但不垂直时，a 与c 相交；当b 和d 垂直时，a 与c 垂直；a 和c 可能平行，也可能相交，还可能垂直．故选：D ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键．12．如图，下列说法一定正确的是（）A ．∠1和∠4是内错角B ．∠1和∠3是同位角C ．∠3和∠4是同旁内角D ．∠1和∠C 是同位角【答案】D【解析】【分析】根据内错角、同位角以及同旁内角的定义进行判断即可．【详解】解：A 、∠2和∠4是内错角，故本选项错误；B 、∠1和∠C 是同位角，故本选项错误；C 、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；D 、∠1和∠C 是同位角，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．13．如图所示，某同学的家在P 处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C 路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A ．两点确定一条直线B ．垂直线段最短C ．两点之间线段最短D ．三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的定义判断即可.【详解】解：Q 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,∴ 选:B.【点睛】直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••，即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯，解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=；故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.15．下列命题错误的是（）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A 、平行四边形的对角线互相平分，正确；B 、两直线平行，内错角相等，正确；C 、等腰三角形的两个底角相等，正确；D 、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D 错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.16．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C ．【点睛】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【解析】【分析】先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.18．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A ．115°B ．120°C ．145°D ．135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．19．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（）A．34°B．56°C．66°D．54°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°，∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故选B．考点：平行线的性质．20．如图，在下列四组条件中，不能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180°【答案】A【解析】【分析】根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断AB、CD是否平行即可．【详解】A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A不能判断；B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故B能判断；C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C能判断；D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故D能判断，故选A．【点睛】本题考查了平行线的判定．掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．。

人教版七年级下册数学第五章《相交线与平行线》教学设计及同步辅导(含答案)

第五章相交线与平行线知识导航看看我们的课程目标⒈知识与技能⑴知道对顶角、邻补角的意义，能找出图形中一个角的对顶角和邻补角．⑵理解两条直线互相垂直的意义；会经过一点画出和已知直线垂直的直线，会画出三角形的高；了解点到直线的距离的意义.⑶了解同一平面内，两条直线的位置关系有相交与平行两种，与相交线，平行线有关的概念及性质，会用这些概念和性质进行简单的推理和计算．⑷掌握平行线的性质，并且会运用它们进行简单推理和计算.⑸了解平行线的性质和判定的区别．掌握平行线的性质，并且会运用它们进行简单推理和计算.⑹通过具体实例认识平移，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等、对应线段和对应角分别相等的性质.⒉过程与方法⑴经历探索“对顶角相等”的性质，并会用它进行有关的简单推理和计算．.⑵经历平行线的画法，总结出平行公理及其推论．.⑶经历探索图形平移基本性质的过程以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识.⒊情感态度与价值观⑴理解平行线是用“不相交”这种否定的方式定义的，这种否定的方式包含了对空间的想象．.⑵领会数形结合、转化、对比的数学思想和方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.⑶经历观察、分析、欣赏和画图等活动,促进评价学生空间观念的形成.人教版七下《5.1.1 相交线》同步辅导课前感悟1．如果∠α＝110°，那么∠α的补角等于__________________．2．如图，直线EF 与AB 相交于G ，与CD 相交于H ，则∠AGH 的对顶角是___________；∠AGF 与_______是对顶角.∠AGH 与_______是邻补角,∠GHD 的邻补角是________. 3．下列说法正确的是（）． A ．有公共顶点的两个角是邻补角B ．有公共顶点且相等的两个角是对顶角C ．两条直线相交所得的四个角中的任意两个角不是邻补角就是对顶角D ．相等的两个角一定是对顶角4．互补的两个角中，一个是另一个的2倍，则这两个角中较大的角是（）． A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 举一反三【例1】如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是射线，则: ⑴∠1的对顶角是________,∠1的邻补角是______. ⑵∠5的对顶角是________,∠3的邻补角是______. 分析抓住对顶角,邻补角的概念来回答. 解 ⑴∠1的对顶角是∠2,∠1的邻补角是∠5 和∠AOD.⑵∠5的对顶角是∠AOD, ∠3的邻补角是∠BOE. 评注两条直线相交时,一个角的邻补角有两个,它们是对顶角,不能漏掉其中任何一个.【例2】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠COB,且∠COE=500. 求∠AOC 和∠AOD 的度数.分析由OE 平分∠COB,且∠COE=500.得∠COE=∠BOE=500,由邻补角定义,得∠AOC=800，由对顶角定义，得∠AOD=1000．【例3】如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠AOF=4∠FOB ，∠AOC=900，求∠EOC 的度数．分析由已知可知，∠EOC 和∠AOE 互余，所以求∠EOC 的度数可先求∠AOE 的度数，观察图形可知，∠AOE 和∠BOF 是对顶角，∠BOF 和∠AOF 是邻补角，利用它们的性质和已知条件，本题可解．解设∠BOF= x 0,则∠AOF=4x 0, 1804=+x x ， (邻补角定义)解得x=360,即∠BOF=360．所以∠AOE=∠BOF=360．所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=540．第2题例 1 例 2 例3评注几何计算题，常用到几何图形中的性质，因此解也要有根有据，另外几何计算题也常得用代数方法达到解题目的．潜能开发5．一个角的两边分别是另一个角的两边的_______，这两个角叫做对顶角．对顶角的性质是．6．如图，三条直线AB ，CD ，MN 相交于O 点，图中∠CON 的对顶角是，邻补角是________________．7．若∠α与∠β是对顶角，∠α=76°，则21∠β= ． 8．一个角的补角比它的余角的2倍还多10°，则这个的度数是__________．9．关于对顶角，下列说法正确的是（）． A ．有公共顶点的两个角 B ．一个角的两边分别是另一个角的两边延长线C ．有公共顶点的且相等的角D ．一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线 10．如图，已知直线AB.CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC=70°，则∠BOD 的度数等于（）．A.30°B.35°C.20°D.40°11．如图，AB 交CD 于O ，OE 是顶点为O 的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（）． A ．1组，3组 B ．2组，4组 C ．2组，6组 D ．3组，8组12．如图,三条直线AB,CD,EF 交于一点O,且OF 平分∠DOB,试问:OE 是不是∠AOC 的平分线?为什么?13．如图,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠BOD,OF 平分∠COE, ∠AOD:∠BOE=4:1, 求∠EOF 的度数. 第6题第12题第13题14．如图，已知：O 是直线AB 上一点，把直角三角板的直角顶点放在点O ，此时三角板可绕着点O 旋转，请观察在运动过程中，∠AOC 和∠BOD 始终保持什么关系？为什么？15．如图，直线AB 与直线CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，∠BOC ＝∠BOD －30°，求∠COE 的度数?探究创新16．2条直线相交于一点,有多少对不同的对顶角? 3条直线相交于一点,有多少对不同的对顶角? 4条直线相交于一点,有多少对不同的对顶角? n 条直线相交于一点,有多少对不同的对顶角?A B O C D 第14题第16题 O A BCD E 第15题多彩生活第一个算出地球周长的埃拉托色尼2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长．这个人就是古希腊的埃拉托色尼(约公元前275—前194)．埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长．细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子．但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子．他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成．从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角．按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长．埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几．他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近．这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧．埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著．书中描述了地球的形状、大小和海陆分布．埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学．参考答案1．70 2．∠FGB，∠HGB，∠AGF，∠HGB，∠CHB，∠EHB 3．C 4．C5．反向延长线，对顶角相等 6．∠DOM，∠DON，∠COM 7．3808．100 9．D 10．B 11．C 12．是 13．750 14．互余15．142.5 16．2，6，12，n（n—1）。

北师大版七年级数学下册第二章：相交线与平行线培优讲义(含解析)

第二章相交线与平行线培优讲义如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对4321D CBA顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.DCBA看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图.（2）“Z ”字型中的内错角，如图.（3）“U”字型中的同旁内角.如图.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。

部编数学七年级下册第5章相交线与平行线(解析版)含答案

第5章相交线与平行线一、单选题1．下面四个图形中，1Ð与2Ð是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角，分别判断即可．【详解】解：A 、两角两边没有互为反向延长线，选项错误；B 、两角两边没有互为反向延长线，选项错误；C 、有公共顶点，且两角两边互为反向延长线，选项正确.D 、没有公共顶点，两角没有互为反向延长线，选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查对顶角的定义，根据定义解题是关键．2．如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断//AB CD 的是（）A ．34Ð=ÐB ．12Ð=Ð C ．D DCE Ð=Ð D.180D ACD Ð+Ð=°【答案】B 【分析】根据平行线的判定判断即可；【详解】当34Ð=Ð时，BD AC P ，故A 不符合题意；当12Ð=Ð时，//AB CD ，故B 符合题意；当D DCE Ð=Ð时，BD AE P ，故C 不符合题意；当180D ACD Ð+Ð=°时，BD AE P ，故D 不符合题意；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析判断是解题的关键．3．如图，若////,//,AB CD EF BC AD AC 为BAD Ð的平分线，则与AOF Ð相等的角有（）个．A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】根据角平分线定义可得∠BAC=∠DAC，利用平行线性质与对顶角性质可得∠DCA=∠FOA=∠BAC=∠COE，∠BCA=∠DAC，即可得出结论．【详解】解：∵AC为BADÐ的平分线，∴∠BAC=∠DAC，AB CD EF BC AD，∵////,//∴∠DCA=∠FOA=∠BAC=∠COE，∠BCA=∠DAC，∴∠AOF=∠DCA=∠BAC=∠COE=∠BCA=∠DAC．故选项D．【点睛】本题考查角平分线定义，平行线性质，对顶角性质，掌握角平分线定义，平行线性质，对顶角性质是解题关键．4．下列图形中，线段PQ能表示点P到直线l的距离的是（）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据点到直线的距离的定义“从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离”，即可直接选择．^，故D选项中线段PQ能表示点P到直线l的距离．【详解】只有D选项PQ l故选：D．【点睛】本题考查点到直线的距离的定义，理解并掌握点到直线的距离的定义是解答本题的关键．5．下列现象中，属于平移现象的是（）A．方向盘的转动B．行驶的自行车的车轮的运动C．电梯的升降D．钟摆的运动【答案】C【分析】根据平移的定义：把一个图形整体沿着某一直线方向移动，会得到一个新的图形，这种移动就叫做平移，进行判断即可．【详解】解：A、方向盘的转动，不是平移，不符合题意；B、行驶的自行车的车轮的运动，不是平移，不符合题意；C、电梯的升降，是平移，符合题意；D、钟摆的运动，不是平移，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，解题的关键在于能够熟练掌握平移的定义．6．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON 的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【分析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON-∠MOC得出答案．【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．故选：C．【点睛】本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．7．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A ．30°B ．32°C ．42°D ．58°【答案】B 【详解】试题分析：如图，过点A 作AB ∥b ，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°﹣∠3=32°，∵a ∥b ，AB ∥B ，∴AB ∥b ，∴∠2=∠4=32°，故选B ．考点：平行线的性质．8．如图，P 是直线l 外一点，A ，B ，C 三点在直线l 上，且PB l ^于点B ，90APC Ð=°，则下列结论：①线段AP 是点A 到直线PC 的距离；②线段BP 的长是点P 到直线l 的距离；③PA ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短；④线段PC 的长是点P 到直线l 的距离．其中正确的是（）A ．②③B ．①②③C ．③④D ．①②③④【答案】A 【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．【详解】解：①线段AP 是点A 到直线PC 的距离，错误；②线段BP 的长是点P 到直线l 的距离，正确；③PA ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短，正确；④线段PC 的长是点P 到直线l 的距离，错误，故选：A ．【点睛】此题主要考查了垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．9．如果A Ð与B Ð的两边分别平行，A Ð比B Ð的3倍少36o ，则A Ð的度数是( )A ．18oB ．126oC ．18o 或126oD ．以上都不对【答案】C【分析】由∠A 与∠B 的两边分别平行，即可得∠A 与∠B 相等或互补，然后分两种情况，分别从∠A 与∠B 相等或互补去分析，即可求得∠A 的度数．【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行，∴∠A 与∠B 相等或互补．分两种情况：①如图1，当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，解得：∠A=126°；②如图2，当∠A=∠B ，∠A=3∠B-36°，解得：∠A=18°．所以∠A=18°或126°．故选：C ．【点睛】此题考查的是平行线的性质，如果两角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．此题还考查了方程组的解法．解题要注意列出准确的方程组．10．下列说法中正确的有（）①在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行；②在同一平面内，不相交的两条线段必平行；③相等的角是对顶角；④两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；⑤两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，据此进行判断．【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线必平行，故说法①正确．②在同一平面内，不相交的两条线段可能平行，也可能不平行，故说法②错误．③相等的角不一定是对顶角，故说法③错误．④两条直线被第三条直线所截，所得同位角不一定相等，故说法④错误．⑤两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，故说法⑤正确．∴说法正确的有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的概念，平行线的性质以及对顶角的概念的运用，同一平面内的两条直线的位置关系为：平行或相交，对于这一知识的理解过程中，要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．二、填空题11．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）内错角相等，两直线平行．_________．（2）同角的补角相等．_____．【答案】如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【分析】找出原命题的条件和结论即可得出答案．【详解】（1）“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是命题的条件，“这两条直线互相平行”是条件的结论．（2）“两个角是同一个角的补角”是命题的条件，“这两个角相等”是条件的结论．故答案为：（1）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行．（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．Ð+Ð+Ð=________度．12．如图，三条直线1l、2l、3l相交于一点O，则123【答案】180【分析】根据对顶角相等得到∠1=∠4，再根据平角的定义即可得到结果．【详解】∵∠1=∠4，∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠2+∠3=180°．故答案为：180．【点睛】本题考查了对顶角的性质及平角，熟记对顶角相等是解题的关键．13．将直角梯形ABCD 平移得梯形EFGH ，若10,2,4HG MC MG ===，则图中阴影部分的面积为_________平方单位．【答案】36【分析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积减去梯形EFMD 的面积，恰好等于梯形EFGH 的面积减去梯形EFMD 的面积．【详解】根据平移的性质得S 梯形ABCD =S 梯形EFGH ，Q DC = HG = 10，MC = 2，MG = 4，\DM = DC - MC = 10 - 2 = 8，\S 阴影= S 梯形ABCD -S 梯形EFMD=S 梯形EFGH -S 梯形EFMD=S 梯形HGMD =()12DM HG MG +g =12×(8+10)×4= 36．故答案为：36．【点睛】主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意平移前后图形的形状和大小不变，本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积减去梯形EFMD 的面积，恰好等于梯形EFGH 的面积减去梯形EFMD 的面积．14．如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x ，y ，z 的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．【分析】作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．【详解】解：作CG∥AB，DH∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥HD∥EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．15．如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其他部分都是草地，则草地的面积为__________平方米．【答案】（ab ﹣2b ）【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是2米，高是b 米的平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可．【详解】解：由题可得，草地的面积是(ab ﹣2b )平方米．故答案为：(ab ﹣2b )．【点睛】本题考查了平移的实际应用．化曲为直是解题的关键．16．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE AB ^，O 为垂足，如果38EOD Ð=°，则AOC Ð=________，COB Ð=________．【答案】52o 128o【分析】根据对顶角相等可知AOC BOD Ð=Ð，根据余角的定义求得BOD Ð，根据邻补角的定义求得COB Ð．【详解】Q OE AB ^，38EOD Ð=°，90903852BOD EOD \Ð=°-Ð=°-°=°，Q AOC BOD Ð=Ð，52AOC \Ð=°，\180********COB AOC Ð=°-Ð=°-°=°，故答案为：52,128°°．【点睛】本题考查了垂线定义的理解，对顶角相等，求一个角的余角，求一个角的补角，掌握以上知识是解题的关键．17．如图所示，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路旁选一点来建火车站（位置已选好），说明理由：_____．【答案】垂线段最短【详解】根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知，要选垂线段．18．如图，给出下列条件：①180B BCD Ð+Ð=°；②12Ð=Ð；③34Ð=Ð；④5B Ð=Ð；⑤B D Ð=Ð．其中，一定能判定AB ∥CD 的条件有_____________（填写所有正确的序号）．【答案】①③④【分析】根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答．【详解】① ∵180B BCD Ð+Ð=°，∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），正确；② ∵12Ð=Ð，∴AD ∥BC ，错误；③ ∵34Ð=Ð，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），正确；④ ∵5B Ð=Ð，∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行），正确；⑤ B D Ð=Ð不能证明AB ∥CD ，错误，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．三、解答题19．根据下列语句画出图形：（1）过线段AB 的中点C ，画CD ⊥AB ；（2）点P 到直线AB 的距离是3cm ，过点P 画直线AB 的垂线PC ；（3）过三角形ABC 内的一点P ，分别画AB ，BC ，CA 的平行线．【答案】见解析【分析】（1）根据线段中点和垂直的定义画图；（2）根据点到直线的距离画图；（3）根据平行线的性质画图．【详解】解：（1）如图所示，AC =CB ，CD ⊥AB ；（2）如图所示，点P到直线AB的距离是3cm，AB⊥PC；（3）如图所示，PD∥AB，PE∥BC，PF∥CA．．【点睛】本题考查了基本作图，在作垂线、平行线时可以不用直尺和圆规作图，可以利用三角板．20．一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B 后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D．如果PQ//RS，AB，BC，CD 都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS，那么，球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB？【答案】球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB．【分析】根据平行线的判断与性质以及角平分线的定义解答即可．【详解】解：球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB．理由如下：∵PQ∥RS，∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS，∴BN∥CM，∴∠CBN =∠BCM ，又∵∠ABC =2∠CBN ，∠BCD =2∠BCM ，∴∠ABC =∠BCD ，∴CD ∥AB ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂线，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．21．完成下面的证明：如图，BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC ∠，且90a b Ð+Ð=°，求证//AB CD ．证明：∵BE 平分ABD Ð（已知），∴2ABD a Ð=Ð（）．∵DE 平分BDC ∠（已知），∴BDC Ð=________（）．∴22)2(ABD BDC a b a b Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð（）．∵90a b Ð+Ð=°（已知），∴Ð+Ð=ABD BDC ________（）．∴//AB CD （）．【答案】角的平分线的定义；2b Ð；角的平分线的定义；等式性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【分析】根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．【详解】解：BE Q 平分ABD Ð（已知）∴2ABD a ÐÐ＝（角平分线的定义）DE Q 平分BDC ∠（已知）∴BDC Ð＝2∠β（角平分线的定义）∴222()ABD BDC a b a b Ð+ÐÐ+ÐÐ+Ð＝＝（等式性质）90a b °Ð+ÐQ ＝（已知）∴ABD BDC Ð+Ð＝180°（等量代换）∴//AB CD （同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：角的平分线的定义；2b Ð；角的平分线的定义；等式性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．22．已知直线AB 和CD 相交于O 点，射线OE ⊥AB 于O ，射线OF ⊥CD 于O ，且∠BOF ＝25°，求∠AOC 与∠EOD 的度数．【答案】∠AOC ＝115°，∠EOD ＝25°【分析】由OF ⊥CD ，得∠DOF =90°，根据条件可求出∠BOD 的度数，即可得到∠AOC 的度数；由OE ⊥AB ，得∠BOE =90°，可以推出∠EOF 和∠EOD 的度数．【详解】解：∵OF ⊥CD ，∴∠DOF ＝90°，又∵∠BOF ＝25°，∴∠BOD ＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝115°，又∵OE ⊥AB ，∴∠BOE ＝90°，∵∠BOF ＝25°，∴∠EOF ＝∠BOE -∠BOF =65°，∴∠EOD ＝∠DOF ﹣∠EOF ＝90°－65°=25°．【点睛】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线的定义得出所求角与已知角的关系．23．如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，12,3D Ð=ÐÐ=Ð，试说明 //BD CE ．证明：∵12Ð=Ð（已知）∴________//________（________________）∴D Ð=Ð________（________________）又∵3D Ð=Ð（________）∴Ð________=Ð________（________________）∴//BD CE （________________）．【答案】,AD BE ，内错角相等，两直线平行；DBE ，两直线平行，内错角相等；已知，DBE ，3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【分析】由12Ð=Ð，根据内错角相等，两直线平行，可证得//AD BE ，继而证得D DBE Ð=Ð，又由3D Ð=Ð，可证得3DBE Ð=Ð，继而证得//BD CE ．【详解】证明：12(Ð=ÐQ 已知)，//AD BE \ ( 内错角相等，两直线平行)，(D DBE \Ð=Ð 两直线平行，内错角相等 )，又∵3D Ð=Ð（已知），3(DBE \Ð=Ð等量代换)，//(BD CE \ 内错角相等，两直线平行)．故答案为：AD ，BE ，内错角相等，两直线平行；DBE ，两直线平行，内错角相等；已知，DBE ，3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟悉相关证明过程是解题的关键．24．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．（1）求种花草的面积；（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？【答案】（1）种花草的面积为42平方米；（2）每平方米种植花草的费用是110元【分析】（1）将道路直接平移到矩形的边上，进而根据长方形的面积公式得出答案；（2）根据（1）中所求，代入计算即可得出答案．【详解】解：（1）()()8281-´-67=´42=（平方米）答：种花草的面积为42平方米；（2）462042110¸=（元）答：每平方米种植花草的费用是110元．【点睛】此题考查了生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算．25．如图，某工程队从A 点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD ，在BD 路段出现塌陷区，就改变方向，在B 点沿北偏东23°的方向继续修建BC 段，到达C 点又改变方向，使所修路段//CE AB ，求ECB Ð的度数.【答案】90°【分析】先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由平角的定义求出CBA Ð的度数，根据CE ∥AB 即可得出结论．【详解】∠ECB=90°．理由：∵∠1=67°，∴∠2=67°．∵∠3=23°，∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．∵CE ∥AB ，∴∠ECB=∠CBA=90°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．26．探究题：（1）已知：三角形ABC ，求证：180A B ACB Ð+Ð+Ð=°；小明同学经过认真思考，他过点C 作//CE AB ，利用添加辅助线的方法成功解决了这个问题．你能说出小明是怎么解决这个问题的吗？写出论证过程．（2）利用以上结论或方法，解决如下问题：已知：六边形ABCDEF ，满足A B C D E F Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð，求证：//AF CD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质及平角的性质即可求解；（2）连结,,AC FC FD ，利用三角形内角和将A B C D E F Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð转化为AFC DCF Ð=Ð，从而得出//AF CD ．【详解】（1）∵//CE AB∴1A Ð=Ð，2B Ð=Ð∵B 、C 、D 在同一直线上∴∠ACB +∠1+∠2=180°∴180A B ACB Ð+Ð+Ð=°；（2）如图，连结,,AC FC FD ，得到△ABC 、△ACF 、△CDF 、△DEF∴∠B +∠BAC +∠ACB =∠ACF +∠AFC +∠CAF =∠FCD +∠CDF +∠CFD =∠E +∠EDF +∠DFE =180°∵BAF B BCD CDE E EFAÐ+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð∴BAC ACB ACF F F B CD CA Ð+Ð+ÐÐ+Ð+Ð+=CDF EDF E CFD AFCEFD +Ð+ÐÐ+Ð+Ð+Ð化解得360°-∠AFC +∠FCD =360°-∠FCD +∠AFC∴2∠FCD =2∠AFC则∠FCD =∠AFC∴//AF CD ．【点睛】此题主要考查平行线的判断与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．。

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案：平行线、平行线的构造（含答案）

四川省渠县崇德实验学校北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：平行线、平行线的构造）知识梳理一、平行线1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【例】如图1，过直线a 外一点A 作b//a ，c//a ，则b 与c 重合．3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简记为：平行于同一条直线的两条直线平行．【例】如图2，若b//a ，c//a ，则b//c ．图1 图2 图34．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b ，则Ð1=Ð2．（2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b ，则Ð2=Ð3．（3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b ，则Ð3+Ð4=180°． 5．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若Ð1=Ð2，则a//b ．（2）内错角相等，两直线平行．如图3，若Ð2=Ð3，则a//b ．（3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若Ð3+Ð4=180°，则a//b ．二、平行的构造1．如图4，若a//b ，则Ð1=Ð2+Ð3 2．如图5，若a//b ，则Ð1+Ð2+Ð3=360°(c )b aAcba b a4321a b` 213`a b213图4 图5例题讲解一、平行线下列说法中：下列说法中：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交；②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交； ③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行；③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行； ④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．正确的是__________．【解析】①③④．【提示】这道题主要考查平行线的概念和平行公理．（1）如图2-1，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若125Ð=°，则2Ð的度数是（的度数是（） A ．155° B ．135° C ．125° D ．115°（2）如图2-2，已知AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于M 、N ，EMB Ð=50°，MG 平分BM BMF F Ð，交CD 于G ，MGN Ð的度数为__________．FE AMBC N G D12图2-1 图2-2（3）证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】（1）D ；（2）65°；（3）证法1：如右图，过△ABC 的顶点A 作直线l//BC ．则B Ð1=Ð，C Ð2=Ð（两直线平行，内错角相等）．又因为BAC Ð1+Ð+Ð2=180°．（平角的定义）所以B BAC C Ð+Ð+Ð=180°（等量代换）．即三角形三个内角的和等于180°．证法2：如右图，延长BC ，过C 作CE//AB ，则A Ð1=Ð（两直线平行，内错角相等），B Ð2=Ð（两直线平行，同位角相等）．又∵BCA Ð+Ð1+Ð2=180°， ∴BCA A B Ð+Ð+Ð=180°，即三角形三个内角的和等于180°．【提示】这道题主要考查平行线的性质，（3）题证明方法老师可以自行补充，这个结论和平行公理是等价的．平行公理是等价的．另外，另外，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，然后然后再证明，重点强调格式．（1）根据图在（）根据图在（）内填注理由：）内填注理由： ①∵B CEF Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （）；）； ②∵B BED Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （）；）； ③∵B CEB Ð+Ð=180°（已知），（已知），l21CB A 21DCEBAA CDBFE∴AB//CD （）．）．（2）已知：如图所示，ABC ADC Ð=Ð，BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð，AED EDC Ð=Ð．求证：ED//BF ．证明：∵BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð（已知）（已知）∴EDC Ð=__________ADC Ð，FBA Ð=__________ABC Ð（），又∵ADC ABC Ð=Ð（已知），（已知）， ∴Ð__________FBA =Ð（等量代换）．（等量代换）．又∵AED EDC Ð=Ð（已知），（已知），∴Ð__________=Ð__________（等量代换），（等量代换）， ∴ED//BF （）．）．【解析】（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行．（2）12；12；角平分线定义；EDC ；AED ；FBA ；同位角相等，两直线平行. 【提示】这道题主要考查平行的判定，这道题主要考查平行的判定，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，这种题型也是这种题型也是各学校的必考题型．如图，已知EF BC ^，C Ð1=Ð，Ð2+Ð3=180°．证明：AD BC ^．【解析】C Ð1=ÐQ ，（已知）\GD//AC ，（同位角相等，两直线平行） \CAD Ð=Ð2．（两直线平行，内错角相等）A CD BF EABCDEFG123又Ð2+Ð3=180°Q ，（已知）\CAD Ð3+=Ð180°．（等量代换）\AD//EF ，（同旁内角互补，两直线平行） \ADC EFC Ð=Ð．（两直线平行，同位角相等）EF BC ^Q ，（已知） ADC \Ð=90°，\AD BC ^．【提示】平行的性质和判定结合，时间可以留长点．请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明．（1）如图5-1，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（2）如图5-2，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（3）如图5-3，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð，相交于点O ．求证：MG NH ^．从本题我能得到的结论是：_____________________．图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）两直线平行，同位角的角平分线平行．A CG EB M H NDFOACGEB MHNDF A CG EBMHNDF（2）证明：∵AB//CD ，∴BMF CNE Ð=Ð，又∵MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð，∴GMF BMFCNE HNM 11Ð=Ð=Ð=Ð22，∴MG//NH ，从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行．（3）证明：∵AB//CD ，∴AMF CNE Ð+Ð=180°，又∵MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð， ∴GMF HNE AMF CNE 11Ð+Ð=Ð+Ð=90°22，∴MON GMF HNE Ð=180°-Ð-Ð=90°，∴MG NH ^．从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【提示】平行线的性质和判定相结合，练习平行线倒角．二、平行线的构造（1）如图6-1，已知直线a//b ，Ð1=40°，Ð2=60°，则Ð3等于_________．（2）如图6-2，l 1//l 2，Ð1=120°，=Ð2100°，则Ð3=_________．（3）如图6-3，AB//CD ，ABE Ð=120°，ECD Ð=25°，则E Ð=_________．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）100°；（2）40°；（3）85°．321b aED CBAl 1l 2321【提示】练习基础的平行线倒角模型：铅笔模型和猪蹄模型．（1）如图7-1，AB//CD ，BAFEAF 1Ð=Ð3，FCD ECF 1Ð=Ð3，AEC Ð=128°，则AFC Ð的度数为________．（2）如图7-2，已知：AB//CD ，ABP Ð和CDP Ð的平分线相交于点E ，ABE Ð和CDE Ð的平分线相交于点F ，BFD Ð=54°，则BPD Ð=________，BED Ð=________．图7-1 图7-2【解析】（1）58°；（2）144°；108°．【提示】铅笔模型和猪蹄模型综合．（1）如图8-1，AB//CD ，A Ð=32°，C Ð=70°，则F Ð=________．（2）如图8-2，AB//CD ，E Ð=37°，C Ð=20°，则EAB Ð的度数为________．图8-1 图8-2【解析】（1）38°；（2）57°．【提示】铅笔模型和猪蹄模型的变形．EF A BPCDFD CBEAED CBA如图，直线AC//BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点当动点P 落在某个部分时，落在某个部分时，连结连结P A 、PB ，构成PAC Ð，APB Ð，PBD Ð三个角。

七年级初一数学第五章相交线与平行线(讲义及答案)及解析

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=________．
12．如图，沿着由点到点的方向，平移到．若，，则平移的距离为__________．
25．直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．
(1)如图①，探究∠AME，∠MEN，∠ENC的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；
（3）如图③，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系(用含m的式子表示)．
七年级初一数学第五章相交线与平行线(讲义及答案)及解析
一、选择题
1．如图，已知，交于点，且，则的度数是（）
A． B． C． D．
2．下列命题是真命题的是（）
A．直角三角形中两个锐角互补B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补，两直线平行D．若，则
3．如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数是()
13．如图，，平分，，则 ______．
14．如图，已知，，，则 _________
15．如图，已知，、的交点为，现作如下操作：
第一次操作，分别作和的平分线，交点为，
第二次操作，分别作和的平分线，交点为，
第三次操作，分别作和的平分线，交点为，
…
第次操作，分别作和的平分线，交点为．
20．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．

(人教版七年级数学)第1讲-相交线与平行线(经典讲义)

第一讲相交线与平行线◆了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．◆了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义．◆知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．◆知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．◆知道两直线平行的条件并会正确判断．◆知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质．◆体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离．◆利用相关知识会进行有关推理和计算．◆会借助长方体了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．➢点、线、角1．点、直线、面（不定义概念）及其表示；2．射线、线段、线段的中点及其表示；3．两点确定一条直线；4．两点之间线段最短（两点之间的距离）；5．角、角的顶点、边、角平分线的表示及其性质；6．角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角）、度量（度、分、秒）及计算．➢关系角及其性质1．对顶角、余角、补角（邻补角）、同位角，内错角、同旁内角；2．对顶角相等；3．同角（或等角）的余角（或补角）相等．➢相交线、平行线1．垂线、垂线段最短（点到直线的距离）；2．过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线和已知直线垂直；3．会过一点画（作）已知直线的垂线；（一落，二靠，三画）4．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；5．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．6．三线八角与平行线的关系；①判定公理：同位角相等，两直线平行．∵∠1=∠2，∴a∥b．②判定定理1：内错角相等，两直线平行．∵∠1=∠2，∴a∥b．③判定定理2：同旁内角互补，两直线平行．∵∠1+∠2=1800，∴a∥b．④性质公理：两直线平行，同位角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2．⑤性质定理1：两直线平行，内错角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2．⑥性质定理2：两直线平行，同旁内角互补．∵a∥b，∴∠1+∠2=1800．7．平行线之间的距离.8．会过直线外一点，画已知直线的平行线．【例题1】（06南通）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于（）A．144°41′ B．144°81′ C．54°41′ D．54°81′【例题2】（05南通）已知，如图（1）直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（） A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END【例题3】（06南通）如图（2），AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于G，若∠EFG=72°，则∠EGF等于（）A．36° B．54° C．72° D．108°【例题4】（04南通）如图（3），在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列棱中与面CC1D1D垂直的棱（）A．A1B1 B．CC1 C．BC D．CD【例题5】如图所示，已知∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在OB上有一点P，从P 点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）A．60° B．80° C．100° D．120°【例题6】如图，已知∠C=∠AOC，OC平分∠AOD，OC⊥OE，∠D=54°．求∠C、∠BOE的度数．【例题7】探究：如图所示，已知： AB∥CD，分别探究下面三个图形中∠A、∠C、∠P之间的数量关系，并选一个给予证明．【精练1】如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（）A．∠1+∠2 B．∠2-∠1图（3）图（1）图（2）例5图C．180°-∠2 +∠1 D．180°-∠1+∠2【精练2】如图1，小明要由A村去B村，现有三条路可走，走路最近理由是．【精练3】如图2，要从水渠向水池C引水，在哪里开沟可使水渠最短，请画出图形．理由是．【精练4】如图3，已知，∠1=35°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．则∠2= 度，∠3= 度，∠4= 度．【精练5】（05年临汾）如图4，将一副三角板的直角顶点重合，•摆放在桌面上，•若∠AOD=145°，则∠BOC=_______度．【精练6】（05年烟台）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A是120○，第二次拐的角∠B是150○，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是【精练7】判断题：（1）和为180°的两个角是邻补角．（）（2）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．（）（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（）（4）邻补角的角平分线所在的两条直线互相垂直．（）（5）两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角．（）【精练8】如图1，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．图3图4图3图1图2【精练9】如图2，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝_____．【精练10】如图3，∠1＝82°，∠2＝98°，∠3＝80°，则∠4＝．【精练11】下列语句中，正确的是（）A．有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角 B．互为邻补角的两个角不相等C．两边互为反向延长线的两个角是对顶角 D．交于一点的三条直线形成3对对顶角．【精练12】如图，AB∥CD．若∠2是∠1的两倍，则∠2等于（）A．60°B． 90°C． 120°D． 150°【精练13】一学员在广场上练习驾驶汽车，若其两次拐弯后仍沿原方向前进，则两次拐弯的角度可能是（） A．第一次向左拐30○，第二次向右拐 30○B．第一次向右拐30○，第二次向左拐130○C．第一次向右拐50○，第二次向右拐130○D．第一次向左拐50○．第二次向左拐130○【精练14】如图，已知：AB∥CD，∠1=55°∠2=80°，求∠3的度数．【精练15】如图，已知： AB∥CD，BE∥CF．求证：∠1=∠4．。

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第4章相交线与平行线时间：2021.03.01 创作：欧阳语一、知识结构图余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角相交线与平行线三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）00001290(180),1390(180),∠+∠=∠+∠=则23∠=∠(同角的余角或补角相等)。

（2）0000∠+∠=∠+∠=且14,1290(180),3490(180),∠=∠则23∠=∠(等角的余角（或补角）相等)。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。

（四）六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。

2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。

3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。

4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。

（五）尺规作线段和角1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

3、尺规作图中直尺的功能是：（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长。

4、尺规作图中圆规的功能是：（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；5、熟练掌握以下作图语言：（1）作射线××；（2）在射线上截取××=××；（3）在射线××上依次截取××=××=××；（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

（1）画线段××=××；（2）画∠×××=∠×××；平行线的判定平行线的性质1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补，两直线平行4、平行于同一条直线的两直线平行5、垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【经典例题】例1.判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。

（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。

分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。

（1）、（2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1）、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”。

解答：（1）这种说法是错误的。

因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离”。

（2）这种说法是错误的。

因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。

（3）这种说法是正确的。

（4）这种说法是错误的。

因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。

如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。

说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。

例2.如下图（1）所示，直线DE、BC被直线AB所截，问与，与，∠∠∠∠∠∠1424与各是什么角？34图（1）分析：已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图（2）的样子，这样就容易看了。

图（2）答案：∠∠34与是同旁与是内错角，∠∠14与是同位角，∠∠24内角。

例3如下图（1），图（1）（1）∠∠与是两条直线_________________与12_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。

（2）∠∠与是两条直线_______________与_________________13被第三条直线____________________所截构成的________________角。

（3）∠∠与是两条直线_______________与___________________34被第三条直线_________________________所截构成的_______________角。

（4）∠5与∠6是两条直线_______________与_______________，被第三条直线______________________所截构成的________________角。

分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到∠∠13与是由直线l l13，被第三条直线l2所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。

图（2）答案：（1）∠1与∠2是两条直线l l与被第三条直线l1所截23构成的同位角。

（2）∠1与∠3是两条直线l l13与被第三条直线l2所截构成的同位角。

（3）∠∠与是两条直线l l13与被第三条直线l2所截构成的内34错角。

（4）∠5与∠6是两条直线l l12与被第三条直线l3所截构成的同旁内角。

例4如图，已知∠AMF=∠BNG=75°，∠CMA=55°，求∠MPN的大小答案：50°解析：因为∠AMF=∠BNG=75°，又因为∠BNG=∠MNP，所以∠AMF=∠MNP，所以EF∥GH，所以∠MPN=∠CME，又因为∠AMF=75°，∠CMA=55°，所以∠AMF+∠CMA=130°，即∠CMF=130°，所以∠CME=180°－130°=50°，所以∠MPN=50°例5如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，CP平分∠ACM，求∠PCM答案：57.5°解析：因为∠1+∠3=90°，∠2+（90°－∠3）=180°，所以∠2+∠1=180°，所以AB∥DE，所以∠BCN=∠4=115°，所以∠ACM=115°，又因为CP平分∠ACM，所以∠PCM=12∠ACM=12×115°=57.5°，所以∠PCM=57.5°例6如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小答案：102°解析：因为∠2=∠CDB，又因为∠1+∠2=180°，所以∠1+∠CDB=180°，所以得到AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，又因为∠3=78°，所以∠4=102°例7如图，已知：∠BAP与∠APD 互补，∠1=∠2，说明：∠E=∠F解析：因为∠BAP与∠APD 互补，所以AB∥CD，所以∠BAP=∠CPA，又因为∠1=∠2，所以∠BAP－∠1=∠CPA－∠2，即∠EAP=∠FPA，所以EA∥PF，所以∠E=∠F例8如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系？用式子表示并证明答案：∠HOP=∠AGF－∠HPO解析：过O作CD的平行线MN，因为AB∥CD，且CD∥MN，所以AB∥MN，所以∠AGF=∠MOF=∠HON，因为CD∥MN，∠HPO=∠PON，所以∠HOP=∠HON－∠PON=∠HON－∠HPO，所以∠HOP=∠AGF－∠HPO例9如图，已知AB∥CD，说明：∠B＋∠BED＋∠D=360°分析：因为已知AB∥CD，所以在∠BED的内部过点E作AB的平行线，将∠B＋∠BED＋∠D的和转化成对平行线的同旁内角来求。

解：过点E作EF∥AB，则∠B＋∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（作图）∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠D＋∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF=360°∵∠B＋∠BED＋∠D=∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF∴∠B＋∠BED＋∠D=360°例10. 小张从家（图中A处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中C处），试问∠ABC为多少度？说明你的理由。