函数一致连续性及其应用

1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f . 令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀， 都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。

由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*k i x U H i i ,,2,12, δ 覆盖了[]b a ,.记02min 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i ki δδ,对任意的[]δ<''-'∈'''x x b a x x ,,,，x '必须属于*H 中某开区间.设⎪⎭⎫⎝⎛∈'2;i i x U x δ即2i i x x δ<-'.此时有i iiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-'+'-''≤-''222.故同时有()()2ε<-'i x f x f 和()()2ε<-''i x f x f .定理 1.6[4] 函数()x f 在()b a ,内一致连续的充分必要条件是()x f 在()b a ,连续，且()x f a x +→lim 与()x f bx -→lim 都存在.证明 ①必要性若()x f 在()b a ,内一致连续，则对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的x '，()b a x ,∈''，且δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f .此时对端点a ，当x '，x ''满足20,20δδ<-''<<-'<a x a x 时也有δ<-''+-'≤''-'a x a x x x ,于是()()ε<''-'x f x f .由柯西收敛准则知()x f ax +→lim 存在.同理可证()x f bx -→lim 也存在，从而()x f 在()b a ,连续.②充分性因为()x f 在()b a ,连续，且()x f ax +→lim 与()x f bx -→lim 都存在，补充定义()()x f a f ax +→=lim ，()()x f b f bx -→=lim ，所以()x f 在闭区间[]b a ,上连续.由定理1.5知()x f 在[]b a ,上一致连续，故()x f 在()b a ,连续.推论 函数()x f 在[)b a ,（或(]b a ,）内一致连续的充分必要条件是()x f 在[)b a ,（或(]b a ,）连续，且()x f b x -→lim （或()x f ax +→lim ）存在. 1.3无限区间上的函数一致连续性[5]定理1.7 若函数()x f 在[)+∞,a 上连续，且()A x f x =+∞→lim ，则函数()x f 在[)+∞,a 上一致连续.证明 因为()A x f x =+∞→lim ，则0>∀ε，a M >∃，只要M x x >''',，就有 ()()ε<''-'x f x f .又因为()x f 在[]1,+M a 连续，由定理3知()x f 在[]1,+M a 上一致连续. 故对上述的ε，0>∃δ，对[]δ<''-'+∈'''∀x x M a x x ,1,,，有()()ε<''-'x f x f .综上,()x f 在[)+∞,a 上一致连续.推论1 ()x f 在()+∞∞-,连续，且()x f x ∞-→lim 与()x f x ∞+→lim 存在，则函数()x f 在()+∞∞-,内一致连续.推论2 ()x f 在()+∞,a 连续，且()x f ax +→lim 与()x f x ∞+→lim 存在，则函数()x f 在()+∞,a 内一致连续.1.4函数一致连续性相关定理的应用例1.4.1[6] 证明()2x x f =在区间[]M ,0上一致连续（M 为任意整数），在[)+∞,0上非一致连续.分析 利用定义. 证明 0>∀ε，M2εδ=∃，使得[]M x x ,0,∈'''∀，δ<''-'x x ，有()()()εδ<≤''-'''+'≤''-'''+'=''-'=''-'M x x x x x x x x x x x f x f 222.()2x x f =在区间[]M ,0上一致连续（M 为任意整数）.在[)+∞,0上取两个数列n x n x n n=''+=',1,()0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()()01lim ≠=''-'∞→n nn x f x f . ()2x x f =在[)+∞,0上非一致连续. 例1.4.2[6] 设()xx x x f 1sin 12++=，证明()x f 在[)+∞,1上一致连续. 分析 利用定理1.1.证明 对[)+∞∈'''∀,1,x x ，δ<''-'x x 有 ()()xx x x x x x x x x x x x f x f ''+''+''-'+''+''+'+''+''-'+'+'≤''-'1sin 121sin 121sin 121sin 12()()δ4747211211111211sin 211cos 21212121sin 1sin 121212≤''-'≤''-'⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+''+++''+''-''≤''-'''+'⋅+''+''++''+''-+'+'≤''-'+''+''++''+''-+'+'≤x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x[)()()0suplim,1,0=''-'<''-'+∞∈'''→x f x f x x x x δδ所以()x f 在[)+∞,1上一致连续.②分析 利用定理1.7.证明 ()x f 在[)+∞,1上连续，且()01sin 12lim =++=∞→xx x x f x 所以()x f 在[)+∞,1上一致连续③分析 利用定理1.3. 证明 ()()()xx x x x x x f 1cos 121sin1122++-+-='，且在[)+∞,1上()()()()()()471211111cos 121sin 112222≤+++++≤++++≤'x x x x x xx x x x x x f所以()x f 在[)+∞,1上一致连续.例1.4.3[7] 证明 ()x e x f =在R 上非一致连续。