函数一致连续性的判定及应用论文
一致连续性的判定及运用
一致连续性的判定及运用本文摘要：本文讨论函数一致连续性的几种常用的判定方法及其运用。
主要讨论用定义判定、用康托定理判定、用导函数有界来判定、用一致连续的一些性质判定等等。
关键词：函数 连续 一致连续 判定1 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。
它是一个极限概念，是从连续的概念派生出来的函数()f x 在某区间内连续，是指函数()f x 在该区间内每一点都连续，它反映函数()f x 在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()f x 在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()f x 的变化趋势及性质。
因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。
一致连续是数学分析中较难的一个概念，因为它只有εσ-语言定义，所以要判定一个函数的一致连续性相对来说不容易。
所以讨论一致连续函数的判定及运用有运用有一定的应用价值。
2 一致连续性判定2.1 利用定义定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε∀>，()0δδε∃=>，,x x I'''∀∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<则称函数()f x 在区间I 上一致连续。
直观地说，f 在I 上一致连续意味着：无论x '与x ''二点与在I 处于什么位置，只要他们的距离小于δ，就可使()()f x f x ε'''-<这样就可以证明一致连续性。
例1 证明()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。
证明：任给0ε>，由于()()f x f x a x x ''''''-=-故可选取aεδ=，则对任何x '，x ''∈(,)-∞+∞，只要x x '''-<δ,就有()()f x f x '''-<ε这就证得()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。
一致连续性的判定
一致连续性的判定摘要：一致连续的问题在数学分析中经常遇到。
此论文主要讨论了一致连续性的几种常用的判定方法。
论文分为四个部分，逐层对一致连续的判定进行研究。
第一部分是用定义判定，定义最原本，是所有判定方法的源头，它有两种表述，表述一判定一致连续较为方便，表述二判定不一致连续较为方便。
第二部分用Cantor 定理判定，这比较快，在满足条件的情况下用起来方便。
第三部分是利用函数的周期性判定，这也就给出了不是周期函数的判定方法。
第四部分运用导函数有界来判定，这便把导数与连续贯穿起来了关键词：函数 连续 一致连续函数的连续性是指函数在0x x =处的函数值是否等于函数在0x 的函数的处的极限值，而函数的一致连续性主要是指在函数连续的基础上，研究由自变量的微小变化，而引起的函数值的变化值的上确界是否是零，因此一致连续性比连续要强，连续函数顾名思义，是一条连绵不断的曲线，一致连续的函数不仅仅只满足连绵不断了，那么什么样的函数才是一致连续的呢，从而能否判定一个函数是否一致连续成为人们重视的课题。
下面我们就针对一致连续的判定做一个简要的总结。
一、利用定义判定一致连续性的一种定义是：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0存在δ=δ（ε）>0使得对任何'x ,I x ∈",只要|"'x x -|<δ,就有|)"()'(x f x f -|<ε,则称函数f 在区间上一致连续I 。
定义适用范围广，但用起来不太方便。
但从这里可以立即推出若在)(x f [)上满足+∞,1Lipthitz 条件|)"()'(x f x f -|≤L |'x －"x |。
0,",'>∈∀L I x x 其中为某一常数，则必一致连续。
一致连续还有一种另一种表述。
即下面的定理：设I 为有限区间，)(x f 在I 上有定义，试证：f(x)是在I 上一致连续充分必要条件是f 把Cauthy 序列（即当{x n}为Cauthy 序列时，|)(x f |亦为Cauthy 序列。
函数一致连续判定的充分性条件及其应用
函数一致连续判定的充分性条件及其应用依函数连续与一致连续的定义和关系，结合实例总结出函数连续与一致连续的区别，对函数一致连续性的判定方法做了归纳。
分类给出了函数一致连续的若干充分条件及充要条件，以使一致连续性的判定方法更加直观及便于应用。
第一章关键词：连续，一致连续性，充分性条件，判定，应用第二章引言本文选题于经典分析数学中关于函数连续及一致连续的判定与应用问题，主要目的是探讨一致连续函数判定的充分性条件以及在分析领域中的应用。
函数的一致连续性是数学分析中的重要内容，也是学习起来比较困难的一个内容，是函数的一个重要特征，标志着一个连续函数的变化速度有没有“突变”。
函数)(xf在该区间上的每一点都连续，它反映的f在某区间连续，是指)(x是函数)f在该区间内一点附近的局部性质。
函数的一致连续性则是比连续更(x强的一种性质，它不仅要求函数)f在该区间内的每一点保持连续，还要求它(x在该区间所有点邻近有大体均匀的变化趋势，强调的是函数在给定区间内的整体性质，刻画了函数在区间上变化的相对均匀性，有助于研究函数)f的整体变(x化趋势。
第三章 由函数的连续引出一致连续函数的一致连续是从连续的概念派生出来的，要比函数连续的条件更严苛，但是在数学分析教科书中，往往只给出一致连续的定义以及利用定义证明函数在某区间上一致连续的方法。
为了更加便于对函数一致连续的理解，首先从函数在某区间上连续的定义出发，引出一致连续的概念，然后从局部性和整体性两个方面分析给出连续与一致连续的区别。
2.1 函数的连续性2.1.1 函数连续的概念当函数)(x f 的自变量x 变化很微小时，所引起的)(x f 的变化也很小，此时一个连续量)(x f 随着另一个连续量x 连续地变化，可以用极限给出严格的描述：定义1（函数在点0x 连续)[1] 设)(x f 在包含0x 的某个邻域内有定义，若)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f 在点0x 处是连续的。
一致连续性的判定
一致连续性的判定摘要：一致连续的问题在数学分析中经常遇到。
此论文主要讨论了一致连续性的几种常用的判定方法。
论文分为四个部分，逐层对一致连续的判定进行研究。
第一部分是用定义判定，定义最原本，是所有判定方法的源头，它有两种表述，表述一判定一致连续较为方便，表述二判定不一致连续较为方便。
第二部分用Cantor 定理判定，这比较快，在满足条件的情况下用起来方便。
第三部分是利用函数的周期性判定，这也就给出了不是周期函数的判定方法。
第四部分运用导函数有界来判定，这便把导数与连续贯穿起来了关键词：函数 连续 一致连续函数的连续性是指函数在0x x =处的函数值是否等于函数在0x 的函数的处的极限值，而函数的一致连续性主要是指在函数连续的基础上，研究由自变量的微小变化，而引起的函数值的变化值的上确界是否是零，因此一致连续性比连续要强，连续函数顾名思义，是一条连绵不断的曲线，一致连续的函数不仅仅只满足连绵不断了，那么什么样的函数才是一致连续的呢，从而能否判定一个函数是否一致连续成为人们重视的课题。
下面我们就针对一致连续的判定做一个简要的总结。
一、利用定义判定一致连续性的一种定义是：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0存在δ=δ（ε）>0使得对任何'x ,I x ∈",只要|"'x x -|<δ,就有|)"()'(x f x f -|<ε,则称函数f 在区间上一致连续I 。
定义适用范围广，但用起来不太方便。
但从这里可以立即推出若在)(x f [)上满足+∞,1Lipthitz 条件|)"()'(x f x f -|≤L |'x －"x |。
0,",'>∈∀L I x x 其中为某一常数，则必一致连续。
一致连续还有一种另一种表述。
即下面的定理：设I 为有限区间，)(x f 在I 上有定义，试证：f(x)是在I 上一致连续充分必要条件是f 把Cauthy 序列（即当{x n}为Cauthy 序列时，|)(x f |亦为Cauthy 序列。
函数一致连续性论文
一致连续函数的证明与性质周青（081114132）（孝感学院数学与统计学院）摘要本文综述了连续函数的一致连续性条件以及一致连续函数所具有的性质。
在研究连续函数在区间内一致连续条件时，通过改变函数的定义域，讨论一致连续性问题；并且讨论了数列函数，周期函数的一致连续性。
关键词函数; 连续; 一致连续；函数性质Consistent continuation function demonstrated with natureAbstract This article reviews the continuous uniform continuity of functions and the properties of uniformly continuous function. In the study of continuous function on the interval uniform continuity conditions, by changing the definition of the function domain, discuss the uniformly continuity problems; and discusses the sequence function, periodic uniform continuity of functions.Key words function; continuous; uniformly continuous function1引言函数的一致连续性是研究函数的重要内容，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解其他知识的基础。
为了使函数一致连续性的判定条件更加系统，本文总结了函数一致连续的一些条件。
本文主要探讨连续函数到一致连续函数所需的条件。
函数在区间上连续是指函数在该区间的每一点都连续，而一致连续性概念反映了函数在区间更强的连续性。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它反映了函数在定义域内的整体的性质和变化情况。
本文将从一致连续性的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、一致连续性的定义一致连续性是一种特殊的连续性，它描述了在任意给定的公差范围内，函数值与自变量之间的变化情况。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<ε，则称函数f在区间I上是一致连续的。
二、一致连续性的性质1.一致连续函数的一致连续区间如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数ε和负数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<max{ε, -ε}。
因此，一致连续函数的定义域内存在一个一致连续区间。
2.一致连续函数的性质一致连续函数具有以下性质：(1) 如果函数f在区间I上是一致连续的，则f在I上也是连续的。
这是因为当x从左侧逼近于某个点x₀时，一致连续性保证了f(x)与f(x₀)之间的差的绝对值小于任意给定的正数ε。
(2) 如果两个函数f和g在区间I上是一致连续的，那么它们的和、差、积也在这个区间上是一致连续的。
这个性质可以由绝对值不等式的性质得到。
(3) 如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数M和负数m，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有max{f(x₁), f(x₂)}<M和min{f(x₁), f(x₂)}>m。
这个性质说明了函数值的变化范围可以被任意给定的上下界所限制。
三、一致连续性的应用1.微分方程的解的性质一致连续性在微分方程的求解中有着重要的应用。
例如，如果微分方程描述的是一个物理系统在一组时间段上的状态变化，那么解的一致连续性就保证了系统状态的平滑变化，避免了突变和跳跃。
2.函数的逼近和级数求和一致连续性也是函数逼近和级数求和中的一个重要概念。
大学数学毕业论文：关于函数的一致连续问题
关于函数的一致连续问题摘要:从函数的一致连续概念出发,总结了一致连续的条件及运算性质.关键词:函数;一致连续;连续在数学分析中,关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础,但目前各种教材对这类问题提出和总结得不够,广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识,本文从一致连续的概念出发,总结了一致连续的条件、运算性质.1 一致连续及其相关概念定义1设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上连续是指, x0∈I, ε> 0, δ> 0,当x∈I且x-x0 <δ时,有f(x) -f(x0) <ε.定义2 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上一致连续是指,对ε> 0, δ> 0(其中δ与ε对应而与x,y无关),使得对区间I上任意两点x,y,只要x-y <δ,就有f(x) -f(y) <ε.定义3 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上不一致连续是指,至少一个ε0>0,对δ>0,都可以找到x′,x″∈I,满足︱x′-x″︱<δ,但︱f(x′)-f(x″)︱≥ε0.评注1 比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的δ不仅与ε有关而且与x0有关,即对于不同的x0,一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续,函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关,与x0无关,即对于不同的x0,δ是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性,不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的,反之,在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2 一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差(就绝对值来说)可以任意小.用定义证明f(x)在I上一致连续,通常的方法是设法证明f(x)在I上满足Lipschitz条件︱f(x′)-f(x″)︱≤L︱x′-x″︱, ∀x′,x″∈I,其中L为某一常数,此条件必成立.特别地,若f′(x)在I上是有界函数,则f(x)在I上Lipschitz条件成立.2 一致连续的条件及有关结论2.1 一致连续的条件定理1(G·康托定理) 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的ε> 0,可以分区间[a,b]成有限多个小段,使得f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε,以下用反证法证之,若上述事实不成立,则至少对于某一个∈0> 0而言,区间[a,b]不能按上述要求分成有限多个小段.将[a,b]二等分为[a,c0]、[c0,b],则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段,把它记为[a1,b1].再将[a1,b1]二等分为[a1,c1]、[c1,b1],依同样的方法取定其一,记为[a2,b2].如此继续下去,就得到一个闭区间套[an,bn],n= 1,2,…,由区间套定理知, 唯一的点c属于所有这些闭区间.因c∈[a,b],所以f(x)在点x=c连续,于是可找到δ> 0,使︱x-c︱<δ(x∈[a,b])时,︱f(x) -f(c)︱<ε0/2.注意到c= lim lim n n n n a b →∞→∞=我们可取充分大的k,使 ︱ak-c ︱<δ, ︱bk-c ︱<δ,从而 对于[ak,bk]上任意点x,都有 ︱x-c ︱<δ,因此,对于[ak,bk]上的任意两点x1,x2都有 ︱f(x1) -f(x2)︱ ≤ ︱f(x1) -f(c) + f(c) -f(x2)︱ <0122∈∈+ =0∈ 这表明[ak,bk]能按要求那样分为有限多个小段(其实在整个[ak,bk]上任意两点的 函数值之差已小于0∈了),这是和区间[ak,bk]的定义矛盾的,这个矛盾表明我们在开始时 所作的反证假设是不正确的,从而定理的结论正确.评注3 定理1对开区间不成立.例如函数f(x) =1x在(0,1)的每一个点都连续, 但在该区间并不一致连续.事实上,对于任意小的δ>0,令x1=δ,x2=2δ,则 ︱x1-x2 ︱ =δ,而 ︱f(x1) -f(x2)︱ =111_22δδδ=,这时︱ x1-x 2︱ 可以任意小,但︱ f(x1) - f(x2) ︱可以任意大.函数f(x) = tanx 在(-2π,2π)也有类似的情形.以上两例讨论的 都是无界函数,而sin 1x在(0,1)内的每一点都连续,且显然在这个区间内有界,然而它也 没有一致连续性,因为有任意小(因而也就彼此任意接近)的数x1与x2存在,使sin 1x =1,sin 21x =- 1. 定理2 f(x)在区间I 上一致连续的充要条件是在区间I 上满足lim n →∞(xn-yn) = 0的任意两数列{xn}、{yn},必有lim n →∞[f(xn) -f(yn)] = 0. 证明 必要性.若f(x)在I 上一致连续,由一致连续性的定义, ∀ε>0, ∃δ>0,当︱xn-y n ︱ <δ时,︱ f(xn)-f(yn) ︱<ε,即任两数列{xn}、{yn},当n →∞时, ︱xn-y n ︱ → 0,则必有 ︱f(x0) -f(yn) ︱→0.充分性.用反证法,若两数列{xn}、{yn},当n →∞时, ︱xn-y n ︱ →0,︱ f(xn)-f(yn )︱ →0而f(x)在I 上不一致连续,那么一定∃ε0> 0,对∀δn> 0,存在xn,yn,当 ︱xn-y n ︱ <δn 时,︱ f(xn) -f(yn) ︱≥ε0,取δn →0,我们得到两数列{xn}、{yn},当n →∞时,xn- yn →0,但 ︱f(xn) -f(yn) ︱≥ε0,这与假设lim n →∞[f(xn) -f(yn)] = 0矛盾. 评注4 定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如,函数f(x) = sin xπ,在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致 连续.事实上,当x ≠0时,由基本初等函数在其有定义的区间上连续知,f(x)是连续的, 同时,由于 ︱f(x) ︱≤1,因而它也是有界的.现考虑(0,1)上的两串数列xn=2n ,xn ′=21n + ,则当0<ε0<1时,不论δ>0取得多么小,只要n 充分大,总可以使 ︱xn-xn ′︱ =2(1)n n + <δ,但是 ︱f(xn) -f(xn’)︱ = 1 >ε0,因而f(x)在(0,1)上并非一致连续.定理3 设f(x)在有限区间I 上有定义,那么f(x)在I 上一致连续的充要条件是对任意柯西(Cauchy)列{xn} I,{f(xn)} R ′也是Cauchy 列.证明 必要性.因f(x)一致连续,即对 ε> 0, δ> 0,对 x ′,x ″∈I,只要 ︱x ′-x ″︱ <δ,就有 ︱f(x ′) -f(x ″)︱ <ε.设{xn} I 为Cauchy 列,于是对上面的δ> 0,必 N> 0,使当n,m>N 时,有 ︱f(xn) -f(xm )︱ <ε,即{f(xn)}是Cauchy 列.充分性.若不然,必 ε0> 0,x ′n,x ″n ∈I,虽然 xn ′-xn ″ <1n,但是︱ f(xn ′) - f(xn ″) ︱≥ε0,由{xn ′}有界知,存在收剑子列{xnk ′},从而{xnk ″}也收剑于同一点,显然xn1′,xn1″,xn2′,xn1″,…,是Cauchy 列,但是f(xn1′),f(xn1″),f(xn2′),f(xn2″),…,不是Cauchy 列,此为矛盾,故f(x)在I 上一致连续.定理4 设f(x)在有限区间(a,b)上连续,则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是f(a+ 0)、f(b- 0)存在且有限.证明 充分性.令F(x) =f(a+ 0) (x=a),f(x) (x ∈(a,b)),f(b- 0) (x=b),则F(x)∈C[a,b],因此F(x)在[a,b]上一致连续,从而f(x)在(a,b)上一致连续.必要性.已知f(x)在(a,b)上一致连续,所以对于 ε> 0, δ> 0,当x ′,x ″∈(a,b)且︱x ′-x ″︱<δ时, ︱f(x ′) -f(x ″)︱<ε成立.对端点a,当x ′,x ″满足0 <x ′-a<2δ,0<x ″-a<2δ时,就有 ︱x ′-x ″︱ ≤ ︱x ′-a ︱+︱ x ″-a ︱<δ,于是︱ f(x ′)-f(x ″) ︱<ε.由Cauchy 收敛准则,f(a+ 0)存在且有限,同理可证f(b- 0)存在且有限.评注5 (1)当(a,b)为无穷区间,本例中的条件是f(x)在(a,b)上一致连续的条件充分但不必要.例如f(x)=x,φ(x)=sinx,x ∈(-∞,+∞)及g(x)= ∈(0,+∞)均为所给区间上的一致连续函数,但f(-∞) =-∞,f(+∞) =g(+∞) =+∞,φ(+∞)和φ(-∞)不存在.(2)定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如,研究下列函数 在所示区间上的一致连续性.i)f(x) =sin x x (0 <x<π);ii)f(x) = x e cos 1x(0 <x< 1). 解 i)因0sin lim x x x →= 1, sin lim x x x π→= 0,所以f(x)在(0,π)内一致连续.ii)因 limx →0+0excos1x 不存在,所以f(x)在(0,1)内不一致连续.(3)由定理知,若f(x)∈C(a,b),则f(x)可连续延拓到[a,b]上的充要条件是f(x)在(a,b)上一致连续.定理5 函数f(x)在区间I 上一致连续的充要条件是,对 ε>0及x,y ∈I,总正数N,使正︱ f(x) -f(y) ︱>N ︱ x-y ︱. (1)恒有︱ f(x) -f(y) ︱<ε. (2)证明 因为f(x)在I 上一致连续的定义等价于:对∀ε>0, ∃δ>0,使得对于∀x,y︱f(x) -f(y )︱ ≥ε, (3)就有 ︱x-y ︱≥δ.而题设条件为对 ε>0, N>0,对x,y ∈I,当不等式(3)成立时,︱f(x) -f(y )︱ ≤N ︱x-y ︱. (4)充分性.若题设中条件成立,则由(4)式得 ︱x-y ︱ ≥1N ︱f(x) -f(y) ︱，再由(3)式 得 ︱x-y ︱≥N ε,所以对给定的ε> 0,只要取δ=Nε,当x,y ∈I,且满足(3)时,就有 ︱x -y ︱≥δ成立.必要性.若f(x)在I 上一致连续,则对任给的ε> 0,存在δ> 0,使当x,y ∈I,且满足不等式(3)时,就有不等式 ︱x-y ︱≥δ成立,故 整数k,使得k δ≤ ︱x-y ︱ ≤(k+ 1)δ. (5)不妨设x<y,将[x,y]分成k+1等分,记xi-1(i=1,…,k+1)为其分点,由(5)式知 ︱xi-xi-1 ︱= ︱1x y k -+︱<δ,故︱ f(xi) -f(xi-1)︱ <ε,i= 1,2,…,k+ 1, ︱()()f x f y x y--︱≤{11k i +=∑︱()(1)f xi f xi --︱}/(1)2k k k δδδ+∈∈<< 令N= [2δ∈] + 1,则当I 中的点x,y使(3)式成立时,必有(4)式成立,从而(1)式成立时,有(2)式成立.评注6 本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范,它在理论研究上具有一定 的意义.2.2 一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质,归结如下几个命题.命题1 设φ(x)与ψ(x)在区间I 上一致连续,则αφ(x) +βψ(x)在I 上一致连续 (α,β为任意常数).命题2 设φ(x),ψ(x)在有限区间I 上一致连续,那么ψ(x)ψ(x)在I 上也一致连续. 命题3 设φ(x),ψ(x)在无限区间I 上一致连续且有界,那么φ(x)ψ(x)在I 上也一 致连续.其中“有界”的条件不可少,例如f(x) =x 在(-∞, +∞)上一致连续,但无界,而f(x)·f(x) =2x 在(-∞, +∞)上不一致连续.命题4 设φ(x)在区间I 上一致连续且inf ()F x > 0,那么1f 在I 上也一致连续.最后应指出,一致连续函数的反函数,一般说来,不再一致连续,例如f(x)=(0, +∞)上一致连续而它的反函数1f- (x)= 2x 在(0,+∞)内不一致连续,但可以证明在有限区间上,结论仍真.[1] 斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.93—103.[2] 王向东.数学分析中的概念与方法[M].上海:科学技术文献出版社,1989.278—299.[3] 周家云,刘一鸣.数学分析的方法[M].济南:山东教育出版社,1991.48—62..。
函数一致连续性证明论文
目录摘要 (1)1 引言.......................................................................... . (2)2 函数一致连续性的证明方法.......................................... . (2)2.1 有限区间上的一致连续函数 (2)2.2 无限区间上的一致连续函数 (4)2.3 任意区间上的一致连续函数 (5)3函数一致连续性的应用 (7)结论 (9)参考文献 (9)致谢…………………………………………………………….............,,.9函数一致连续性证明的几种方法及应用数学计算机科学学院摘要：函数一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的含参量积分，函数项级数等概念有着密切的联系.因此，证明函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文从函数一致连续性的概念出发，对函数一致连续性做出了深入分析，从不同类型区间包括有限区间，无限区间，以及任意区间等讨论了函数一致连续性和证明方法及其应用.关键词：函数；一致连续；充要条件；康托定理Function mean value theorem to prove and applicatioCollege of Mathematics and Computer Science ArtsAbstrac: The uniformly continuous function is an important concept of mathematical analysis course, plays a very important role in analyzing the matter. It is not only the continuous functions on closed interval Riemann integrable theoretical basis, and then the integral containing parameters, the concepts of series expressed by function terms has the close relation. As a result, the proof of function's consistent continuity is mathematical analysis is an important content. In this paper, starting from the concept of uniformly continuous function of uniformly continuous function has made the thorough analysis, from different types including limited interval, infinite interval, and arbitrary interval uniformly continuous function are discussed and proved method and its application.Key words: function;Uniformly continuous; Necessary and sufficient condition;Cantor theorem1引言函数()f x 在区间上一致连续与函数()f x 在区间上连续在概念上有着重大的差别：函数()f x 在区间上连续是函数()f x 在区间上每一点都连续，这是一个局部性质；而函数()f x 在区间上一致连续则是整体性质，它可推出函数()f x 在区间上每一点都连续这一局部性质，是更强的连续性概念.在这里我们对函数的一致连续性进行深入的探讨，并给出函数一致连续的几个证明方法与应用，以及在函数一致连续性的条件下得到的几个重要结论，以致更深入了解并掌握该定理.2函数一致连续性的证明方法函数一致连续的定义[1] 设函数()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的正数ε，总存在正数δ，只要'x ，''x 属于I ，且'''x x δ-<，就有()()'''fx f x ε-<，则称函数()f x 在区间I 上一致连续.下面介绍函数一致连续性的几种方法 2.1 有限区间上的一致连续函数设函数()y f x =于区间(,)a b 上有定义, 记()()()12f A Sup f x f x δ=-( 式中1x 和2x 为(,)a b 中受条件12x x δ-≤限制的任意两点) 称为函数()f x 在区间(,)a b 上δ的振幅数.定理1 [2]函数()f x 在区间(,)a b 上一致连续的充分必要条件是()0lim 0f A δδ+→=. 证明 先证必要性 ()f x 于(,)a b 上一致连续, '0,0εδ∀>∃>，使(,)a b 中任何两点1x 和2x , 只要'12x x δ-<, 就有12()()2f x f x ε-<.于是对于任意满足'0δδ<<的δ, 则当12x x δ-≤ 时, 就有12()()2f x f x ε-<, 从而()()()122f A Sup f x f x εδε=-≤<, 所以()0lim 0f A δδ+→=. 再证充分性 设()0lim 0f A δδ+→=, '0,0εδ∀>∃>, 使当'0δδ<<时, 恒有()f A δε<, 令'*2δδ=，则*'0δδ<<, 设1x 和2x 为(,)a b 中满足*12x x δ-<任意两点, 有()*12()()f f x f x A δε-≤<, 所以()f x 于(,)a b 内一致连续.上式中区间(,)a b 可改为区间I定理2[3] （Cantor 定理） 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致续.定理3[4] 函数()f x 在开区间(),a b 上一致连续的充要条件是()f x 在(),a b 上连续，且lim ()xa f x +→与lim ()xb f x -→都存在. 证明 （必要性）设()f x 在(),a b 上一致连续，即0ε∀>，0δ∃> ，''',(,)x x a b ∀∈ ，且'''x x δ-< ， 有'''()()f x f x ε-< .故''',(,)x x a b ∀∈，当''',(,)x x a a δ∈+时，有'''()()f x f x ε-< .据Cauchy 准则， lim ()x a f x +→存在.同理lim ()x b f x -→存在. （充分性）作函数()f x 的连续延拓()F x(0),()(),(,)(0),f a x a F x f x x a b f b x b +=⎧⎪=∈⎨⎪-=⎩则()F x 在[],a b 上连续，由Cantor 定理，()F x 在[],a b 上一致连续，从而()f x 在(),a b 上一致连续.定理4[5]()f x 在有限区间 I 上一致连续的充要条件是：对于区间I 上的任一柯西列（基本列）{}n x 都有(){}n f x 也为柯西列（基本列）.证明:[必要性] 因为()f x 在I 上一致连续，即对任意的0ε>，存在0δ>，使得对任意的''',x xI ∈，当'''xx δ-<时，有()()'''f x f x ε-<，又{}n x 为I 中的柯西列，所以对上述δ，存在0N >，使得对于任意的,m n N >，都有m n x x δ-<，于是有()()m n f x f x ε-<，即(){}nf x 为柯西列.[充分性] 用反证法 假设()f x 在I 上非一致连续，即存在00ε>，使得对于任意的0δ>，存在''',x x I ∈，当'''x x δ-<时，有()()'''0f x f x ε-≥取1n δ=，则存在''',n n x x I ∈，且''1n n x x n-<，但()()''0n n f x f x ε-≥.又I 为有限区间，故{}n x 为有界数列.存在收敛子列{}k n x ，因()'''0k k n n x x n -→→∞，故{}'kn x 也收敛，且与{}''k n x 的极限相同，从而数列1122''''''''',,,,,,,k k n n n n n n x x x x x x 是一个柯西列，但其象序列1122'''''''''(),(),(),(),,(),()k k n n n n n n f x f x f x f x f x f x 恒有()()'''0k k n n f x f x ε-≥不是柯西列，这与(){}n f x 为柯西列相矛盾，故()f x 在I上一致连续.2.2 无限区间上的一致连续函数定理1 [6] 若函数()f x 在(,)((,))a b +∞-∞上连续且lim ()x a f x +→，lim ()x f x →+∞ (lim (),lim ())x x b f x f x -→-∞→都存在，则()f x 在(,)((,))a b +∞-∞上一致连续.证明 因lim ()x a f x +→存在，由Cauchy 准则，0ε∀>，X ∃，''',[1,)x x X ∀∈++∞，有'''()()f x f x ε-< 成立，所以()f x 在[1,)X ++∞ 上一致连续.又因()f x 在(,)a +∞上连续，有()f x 在(],1a X +上连续，已知lim ()x a f x +→存在，所以()f x 在 (],1a X +上一致连续.由一致连续函数区间具有可加性，得()f x 在(,)a +∞上一致连续. 定理2[7]设函数()f x 在[,)a +∞上一致连续，()g x 在[,)a +∞上连续，lim[()()]0x f x g x →+∞-=，则()g x 在[,)a +∞上一致连续.证明 已知lim[()()]0x f x g x →+∞-=，即0ε∀>, X a ∃> ，''',x x X ∀> 时，有 ''()()3f xg x ε-<.知()f x 在[,)a +∞上一致连续，故对上述0ε∀>，0δ∃>，''',x x X ∀>，当'''x x δ-< ，有''()()3f xg x ε-<.综上，''',x x X ∀>，且'''x x δ-<有''''''''''''()()()()()()()()333g x g x g x f x f x f x f x g x εεεε-≤-+-+-<++= ，即()g x 在[,)X +∞上一致连续，再由Cantor 定理()g x 在[,]a X 上一致连续，得()g x 在[,)a +∞上一致连续.2.3 任意区间上的一致连续函数定理1 设函数()f x 在区间I 上有定义．则函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是区间I 上任意两个数列{}n x ，{}n y ，只要()l i m 0n n n x y →∞-=便有()()()l i m 0n n n f x f y →∞-=.证明 必要性 因为函数()f x 在区间I 上一致连续，则对任给的正数ε，存在正数δ ，对属于区间I 的任意两点'x , ''x ，只要'''x x δ-<，就有()()'''f x f x ε-<.又因为()lim 0n n n x y →∞-=，故对上述的正数δ ，存在正整数N ，使得当n N >时，有n n x y δ-<，从而有()()n n f x f y ε-<，所以：()()()l i m 0n n n f x f y →∞-=. 充分性 用反证法来证明：假设函数()f x 在区间I 上不一致连续，则存在正数0ε，使对任意的正数δ,都存在属于区间I 的'x ，'y ，使得当''1x y n-<时，但()()''0f x f y ε-≥，所以，对10n nδ=>，存在属于I 的两个数列{}n x ，{}n y ,使1n n x y n-<,但是()()0n n f x f y ε-≥,1,2,3,n = 于是得到数列{}{},n n x y I ⊂，显然()lim 0n n n x y →∞-=，但是()()()lim 0n n n f x f y →∞-≠．此结论与题设条件矛盾．所以充分性得证.注：可用此定理来证函数()f x 在区间I 上不一致连续.定理2 若函数()f x 在区间[),a +∞ (这里0a >)上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在正数L ,使得对区间[),a +∞上任意两点'x ,''x ，都有：()()''''''fx f x L x x-≤-，则函数()f x 在区间[),a +∞上一致连续． 证明 由条件知，对任意的属于[),a +∞ 的x ，（即有0x a ≥>），有()()f x f a L x a -≤-， 因为：()()()()()()f x f a f x f a L x a L x a L x a -≤-≤-≤+=+则有()()()f x f a L x a ≤++又因为0x a >>，上式两边同除以x ，得：()()()()()1112f x f a f a f a a L L L x x x a a ⎛⎫≤++≤++=+ ⎪⎝⎭记()2f a L M a +=，由此可知：函数()f x x在区间[),a +∞上有界．对任给的正数ε，我们取正数：aM Lδε=+，当[)''',,x x a ∈+∞，且'''x x δ-< 有()()()()()()()()''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''()()()()()()1()f x x f x xf x f x x x x x x fx xf x x fx xf x x x x f x f x fx x x x x fx f x f x x x x x xL x x x x MxxL Mx x x L M x x a L --=-+-=⎡⎤---⎣⎦=-≤+⋅⋅---≤+⋅⎛⎫+ ⎪≤⋅- ⎪⎝⎭+≤⋅-+<M aaL Mεε⋅=+故函数()f x 在区间上一致连续.3 函数一致连续性的应用定理1 [8]设函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有定义．若函数()f x 在区间(,)-∞+∞上一致连续，则存在非负实数,a b ，使对一切属于区间(,)-∞+∞的x ，都有()f x a x b ≤+.证明 因为函数()f x 在区间(,)-∞+∞上一致连续，故对正数1ε=，存在正数0δ，使当'''0x x δ-< 时，有'''()()1f x f x -<．对此正数0δ，对任给的属于实数的x ，必存在整数0n Z ∈（ Z 为整数集） 及实数000(,)x δδ∈-+,使得000x n x δ=+，再有函数()f x 在区间00[,]δδ-+上连续，从而有界，即存在正数M ， 使得对任意属于00[,]δδ-+的x ，有()f x M ≤. 于是有：{}000001()()((1))()nk f x f k x f k x f x δδ==+--++∑.所以有：000001()()((1))().(3)n k f x f k x f k x f x n M δδ=≤+--++≤+∑. 再由000x n x δ=+知0x x n δ-=，代入（3）式有：1()M (1).(4)x x x x xx f x M M x M δδδδδ-+≤+≤+=++≤++我们记1,1a M b δ=+=，则0,0a b >>则（4）式可记为(),(,)f x a x b x ≤+∈-∞+∞.注：此定理的几何意义为：当函数()f x 在区间(,)-∞+∞上一致连续时，曲线()y f x =的斜率有上界a .定理2 设函数()f x 在[),a +∞（这里0a >）上有定义.若函数()f x 在[),a +∞一致连续，则函数()f x x在区间[),a +∞上有界. 证明 由函数()f x 在区间[),a +∞上一致连续，得：对正数1ε=，存在正数δ，当[)''',,x x a ∈+∞，且'''x x δ-<时，有'''()()1f x f x -≤.再由函数()f x 在区间[,]a a δ+上连续，从而有界，即存在正数M ，使得对任意属于区间[,]a a δ+的x ，都有()f x M ≤.对任给的属于区间[),a +∞的x ，存在自然数0n N ∈（N 为自然数集）及属于[0,]δ的实数*x ，使得*0x a n x δ-=+，有*0x n a x δ-=+，则{}0*1()((1))()()n k f x f x k f x k f ax δ==----++∑得0*01()((1))()()n k f x f x k f x k f a x n M δ=-----++≤+∑.又因为*[0,]x δ∈及0x a ≥>，所以有00*00()1n M n M f x M x a n x a n aδδδ++≤≤≤++++ 我们记01MM aδ=+，则00M >.即有()f x M x ≤. 所以函数()f x 在区间[),a +∞上有界. 例1 讨论()f x x =在[)0,+∞上一致连续性 解: ()f x 于[)0,+∞上连续, 设0a >① 当0x a≤≤时, 设120,0x a x a≤≤≤≤,12x x δ-≤，则1212x x x x δ-≤-≤,()()()120f A Sup f x f x δδ≤=-≤ 且0lim 0δδ+→=,所以()f x 在[]0,a 上一致连续.② 当a x <<+∞时,1212122x x x x x x aδ--=≤+, 且0lim 02aδδ+→=所以()f x 在(),a +∞上一致连续. 综上,()f x 在[)0,+∞上一致连续.例2 证明()2y f x x == 在[],a b 上一致连续, 但在(),-∞+∞上不一致连续.解: 当[]12,,x x a b ∈, 12x x δ-≤时,()22121212x x x x x x a b δ-=+-≤+,而()0lim 0a b δδ+→+=所以()f x 在[],a b 上一致连续. 0δ∀>, 取()12122211,,,,2x x x x δδδ==+∈-∞+∞, 且有2121211x x rδδδ-=+≥,()()()12121f x x A Sup f x f x δδδ-≤=-≥而01lim δδ+→=+∞所以()f x 在(),-∞+∞上不一致连续. 例3 讨论()1f x x=在()0,+∞上一致连续性.10 解: 设两数列{}{}'12,,(1,2,...)n n x x n n n ⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ , ()'12lim lim 0n n n n x x n n →∞→∞⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭, 但'lim ()()lim 02n n n n n f x f x n →∞→∞-=-≠，所以()1f x x=在()0,+∞上不一致连续. 由以上几例可看出本文的几种方法对判别函数的一致连续性来说较为方便、简洁, 显示出了它的优越性.结论证明函数一致连续性有很多种不同的方法，本文从不同类型区间出发，给出了函数一致连续性的证明，运用利普希茨条件、康托定理和振幅数来证明函数一致连续性，通过证明，我们对上述一些定理进行了复习，从而更加深入熟练的掌握函数一致连续性的证明方法，以及它们的运用.参考文献：[1]华东师大数学系.数学分析[M].上册.北京：高等教育出版社，1990.[2]范新华.判别函数一致连续的几种方法.常州工学院学报.Vol.17.No.4,2004.08.[3]华东师大数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.100-101.[4]王少英.一致连续函数的判别法.唐山师范学院学报.第29卷第5期，2007.09.[5]刘红艳.一致连续函数的判定.科技信息.第23期，2008.[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1997.144.[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京.高等教育出版社，1993.96-99[8]张建建.函数一致连续性的几个证明方法.和田师范专科学校学报.2005.07. 致 谢本次论文要大力感谢我院给予的支持，在我院提供的资料及设备支持下使得论文写作得以顺利完成。
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数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用学院专业年级学号姓名xx指导教师xx成绩2007 年4 月19 日函数一致连续性的判定及应用摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。
关键词：函数；连续；一致连续函数Decisions of uniformly continuous function and applicationTANG YongThe School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region.Key words: function; continuity; uniformly continuity1. 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。
函数()f x在某区间内连续，是指函数()f x在该区间上一点f x在该区间内每一点都连续，它反映函数()附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()f x的变化趋势及性质。
因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。
现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论：2. 函数连续与一致连续的关系2.1 函数连续与一致连续的区别2.1.1 函数连续的局部性定义1 函数()f x 在某()0x 内有定义，则函数()f x 在点0x 连续是指，0ε∀>，0δ∃>，使得当0x x δ-<时，有 0()()f x f x ε-<。
（2-1）那么，函数()f x 在点0x 处连续，是否意味着 ()f x 在0x 的邻域内连续呢？或者说其图象在此邻域上连绵不断呢？回答是否定的。
如函数()y xD x =只在0x =连续；函数(1)(2)()y x x D x =--仅在12x x ==，两点连续；又如函数2sin 0()00x x y f x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩，，，，（2-2） 容易证明这个函数在任意点是连续的，但是我们却不能一笔画出函数在0x =的任意小邻域内的图形。
上述例子表明“连续”仅仅是一个局部概念，不能仅从字面去理解 ()f x 在0x 连续。
当且仅当 ()f x 在0x 的邻域0(,)x δ内每一点都连续，才能说()f x 在0x 的邻域内连续。
函数在点0x 处连续的定义不能完全反映“连续”二字的本意，这确实是个遗憾，但是，如果在连续点0x 的函数值0()0f x ≠，那么上述例外情形就不会发生了，有如下命题命题 设()f x 在0x 连续，且0()0f x ≠，则一定存在0x 的某个邻域，使 ()f x 在此邻域内连续。
证明: 因()f x 在点0x 连续，即00,0,(;)x x εδδ∀>∃>∀∈使得，都有 0()()2f x f x ε-<。
（2-3）现对0(;)x x δ'∀∈，由（2-3）显然有 0()()2f x f x ε'-<， （2-4） 又0()0f x ≠，当δ充分小时，由局部保号性有0()()0f x f x '>， （2-5）即()0f x '≠，从而有 00()()()()()()f x f x f x f x f x f x ε''-≤-+-<。
（2-6）可见()f x 在x '连续，由x '的任意性，知()f x 在0x 的δ邻域内连续。
因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映了函数在区间上一点附近的局部性质。
2.1.2 函数一致连续的整体性连续函数以它具有一系列良好的性质而成为数学分析研究的主要对象，然而在连续函数中，又以一致连续的函数最为重要。
因此，判定一个函数在其定义域内是否一致连续，是数学分析的一个重要内容之一。
定义2 设函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε∀>，()0δδε∃=>，,x x I '''∀∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<，（2-7） 则称函数()f x 在区间I 上一致连续。
定义中的“一致” 指的是什么呢？只要与函数()f x 在区间I 上连续的定义进行比较，不难发现，连续定义中的δ，不仅仅依赖于ε，还依赖于点0x 在区间I 中的位置，即0(;)x δδε=；而()f x 在I 上一致连续是指，存在这样的δ，它只与ε有关而与0x 在区间I 中的位置无关，即()δδε=。
也就是说，如果函数 ()f x 在区间I 上连续，则对任意给定的正数ε，对于I 上的每一点0x ，都能分别找到相应的正数δ，使得对I 上的任意一点x ，只要0x x δ-<，就有0()()f x f x ε-<，其中0(;)x δδε=。
对于同一个ε而言，当0x 在I 上变动时，δ的大小一般也随着改变，即δ依赖于0x 。
如图1，在曲线比较平坦的部分所需的δ远比在曲线比较陡峭的部分所需的δ大得多。
如果δ的大小只与给定的ε有关，而与点0x 在I 上的位置无关，那么这时()f x 就在I 上一致连续。
可见“一致”指的就是存在适合于I 上所有点x 的公共δ，即()δδε=。
直观地说，()f x 在I 上一致连续意味着：不论两点x '与x ''在I 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可以使()()f x f x ε'''-<。
这里可能会产生这样的疑问：既然对I 中每一个点0x 都能找出相应的()0;x δε，那么取这些()0;x δε的最小者或者是下确界作为正数()δε，不就能使其与点0x 无关了吗？事实上，这不一定能办得到。
因为区间I 中有无穷多个点，从而一般地也对应着无穷多个正数()0;x δε，这无穷多个正数却未必有最小的正数或取下确界为零。
所以，()f x 在区间I 上一致连续，反映出()f x 在I 上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体性质。
2.2 函数连续性与一致连续性的联系函数()f x 在区间I 上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系。
有如下结论（1） 函数()f x 在区间I 上一致连续，则()f x 在I 上连续。
这个命题的证明是显然的，我们只须将其中的一个点（x '或x ''）固定即可，但这个命题的逆命题却不一定成立。
例1 证明函数1y x=在(0,1)内不一致连续（尽管它在(0,1)内每一点都连续）。
证明: 取 01ε=，对0δ∀>（δ充分小且不妨设12δ<），取,2x x δδ'''==， 则虽然有 2x x δδ'''-=<， （2-8） 但1111x x δ-=>'''。
（2-9） 所以函数1y x=在(0,1)内不一致连续。
那么应具备什么条件，在I 上连续的函数()f x 才在I 上才一致连续呢？（2） 在闭区间[],a b 上连续的函数()f x 在[],a b 上一致连续。
这是著名的G.康托定理。
闭区间上连续函数的这一性质对研究函数的一致连续性十分重要，由它我们可以推出许多重要的结论。
注1 对函数的一致连续性概念的掌握，应注意以下三个方面：（1）函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。
（2）函数一致连续的实质，是区间上任意两个彼此充分靠近的点的函数值的差的绝对值可以任意小，即对,x x I '''∀∈，当x x δ'''-<时，就有 ()()f x f x ε'''-<。
（2-10）（3）函数一致连续的否定叙述：设函数()f x 在区间I 上有定义，若00ε∃>，使0δ∀>，总,x x I '''∃∈，虽然有x x δ'''-<，（2-11） 但是 0()()f x f x ε'''-≥， （2-12） 则称函数()f x 在区间I 上非一致连续。
总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性。
函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质。
3. 一元函数一致连续性的判定及应用3.1 一元函数在有限区间上的一致连续性由于用函数一致连续的定义判定函数()f x 是否一致连续，往往比较困难。
于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。
定理1（Contor 定理） 若函数()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续[4]。
这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。
分析：由函数一致连续的实质知，要证()f x 在[],a b 上一致连续，即是要证对0ε∀>，可以分区间[],a b 成有限多个小区间，使得()f x 在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于ε。
证明：若上述事实不成立，则至少存在一个00ε>，使得区间[],a b 不能按上述要求分成有限多个小区间。