(整理)函数的一致连续性63604
函数的一致连续性及其应用
函数的一致连续性及其应用本文以函数的连续性为基础，一致连续性的定义为出发点，重点深入分析函数的一致连续性.教材一般只给出定义来判断函数是否一致连续，这对一些函数来说是比较复杂且难以解决的.因此本文主要对一元函数在各种区间上讨论函数的一致连续性的判断条件和方法，以及一些性质和应用，能够在教材的基础上更加全面地了解函数的一致连续性.1.2预备知识为了便于理解,现将本文涉及的一些相关定义和定理罗列如下.定义1.2.1[1]设函数在某上有定义，若，（1-1）则称函数在点连续，若函数在区间上的每一点都连续，则称在上连续.定义1.2.2[2]若函数在区间上有定义，称（1-2）为在区间上的连续模.定义1.3.1[1]设为定义在区间上的函数.若对任给的，存在，使得对任何，只要，就有，（1-3）则称函数在区间上一致连续.注：函数在区间上一致连续表明无论两点，在中处于什么位置，只要它们的距离小于，而这只与有关，就可以使.这个定义是教材中最常用的定义，根据定义还能扩展推理得到更多判断函数一致连续的条件和方法，这些本文后面会逐渐说明.由此，还可以得到函数在区间不一致连续的定义：，对，存在，使得当时，有.（1-4）引理1.2.1[3]有限区间上的一致连续函数必有界.引理1.2.2[1]设区间的右端点为，区间的左端点也为，若分别在和上一致连续，则在上也一致连续.2函数一致连续性的判断条件（1）引理2.1[1]函数在上一致连续的充要条件为：对任何数列，若，（2-1）则.（2-2）类似用归结原则来判断函数的连续性，这里通过数列来判断函数的一致连续性，但是直接用来证明函数的一致连续可能会很麻烦，因为这要验证任意的数列，因此一般用来证明函数的不一致连续比较方便，而这又与数列有关，可适用于含有三角函数和幂函数的函数.例2.1证明函数在上不一致连续.证：令，（2-3）则.（2-4）但是，（2-5）在上不一致连续.例2.2判断函数在上的一致连续性.解：令，（2-6）则.（2-7）而，（2-8）在上的不一致连续.从这两个简单的例子可以知道应用（1）中的结论是非常方便快捷的，如果用定义来判断函数的一致连续性还需要进行推理化简得到定义的形式，甚至有时候根本无法化简.由此可知定义无法满足解决函数一致连续性的需求，还需总结更多的判断函数一致连续性的条件和方法.（2）函数在上一致连续的充要条件为【2】：.证：若在上一致连续，则对当时，有，所以，（2-9）从而当时，有，（2-10）所以.（2-11）若，则对，有，（2-12）所以，（2-13）因此当时，有，（2-14）在上一致连续.这里可以通过连续模的极限来判断函数的一致连续性,其实也是从定义出发，观察函数的图像的陡峭程度来进行描述，但是这个往往用得比较少.（1）和（2）适用于函数所在定义域的所有区间，而在一些特殊区间还要进行如下讨论.（3）一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续【1】.这个定理也叫康托尔定理，其实从函数一致连续的定义可以知道如果一个函数在区间上一致连续，那么它肯定在上连续.这个定理直接就将闭区间上的函数的连续性和一致连续性联系起来，说明了只有在闭区间上的连续函数才必定一致连续.但是如果不在闭区间上时，那么通过分析这个定理可以知道要判断在有限开区间上的函数是否一致连续，还需要分析函数在区间端点连续性.所以可以得到以下结论：（4）函数在上一致连续的充要条件为：在上连续，存在且有限.证：在上一致连续，在上连续，且对，当时，有.当时，由柯西收敛准则知存在且有限.同理当时，知存在且有限.构造函数（2-15）则在上连续，根据（3）中一致连续定理知在上一致连续，在上也一致连续，在上一致连续.例2.3证明在上一致连续.证：由在上连续，知，（2-16）在上一致连续.这些只是在函数一致连续性有限区间上的讨论，还可以类似进一步在无限区间中展开讨论.（5）若函数在上连续，，存在且有限，则函数在上一致连续.但是反之是不成立的，比如在上是一致连续的，但是是不存在的.所以在无限区间上的时候要注意这个问题.通过以上讨论,也可以用类似方法判断连续函数在，，，，，上的一致连续性,具体内容不再一一重复.总之，（3）-（5）判断函数一致连续性的条件是函数在区间上连续并且在区间端点的极限要存在，都应用到了函数的连续性，这也说明了一致连续和连续有着非常密切的关系.从而根据（3）-（5）还能得到以下结论：（6）若函数在区间上单调有界且连续，则在上一致连续.证明：由在区间上单调有界，则对，存在，而且连续，根据（3）-（5）的结论可知在上一致连续.2.4判断是否一致，是否连续？解：对，有，（2-17）在上连续，又因为，（2-18）在上一致连续.3函数一致连续性的判断方法3.1函数一致连续性在一般区间的判断方法（1）定义法.一般根据函数一致连续性的定义都能判断一个函数是否一致连续，很多证明方法都是从定义出发的，这也是最常用的方法，而根据函数一致连续性的定义，还能将其扩展得到以下结论：若函数在区间上满足利普希茨条件：.（3-1）其中是是常数，则在上一致连续.证：对则当时，有，（3-2）所以在上一致连续．由证明过程可知函数化成利普希茨条件的形式其实是对函数一致连续性定义的直接应用，这将定义具体化，提供了解题思路.例3.1设，证明在上一致连续．证：对，有.取，那么根据（1）就知在上一致连续.（2）导函数有界法.根据导函数有界，可以间接地得到（1）中的结论.有时候一个函数太复杂，有时候无法将题目直接化简成（1）中利普希茨条件的形式，也就是说用定义无法简单地证明这个函数一致连续.这时可以从导函数入手.当导函数比较简单时，只要知道这个函数的导函数有界，就能判断这个函数是否一致连续.也就得到以下结论：若函数在区间上可导，且在上有界，则在上一致连续.证明：因为在上有界，所以，使，（3-3）又因为在可导，由拉格朗日中值定理，知对，有，（3-4）所以.（3-5）所以根据（1）可知在一致连续．3.2函数一致连续性的比较判别法（1）定理3.2.1【4】函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.这个方法是通过构造一个函数，通过两个函数的比较以及所构造的函数是否一致连续来判断原函数是否一致连续.它比较灵活，表面看好像大多函数都能通过这个方法判断一致连续性，特别是一些复杂的函数，但是前提是要知道所构造函数的一致连续性并且两个函数比较之后的极限要存在，而通常基本初等函数的一致连续性是比较好判断的.因此如果题目中的函数含有基本初等函数，则可以考虑这种方法.函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）函数，若，，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.例3.2.1证明函数在上一致连续.证明：令，（3-6）则，（3-7）取,则有.（3-8）在上一致连续，在上一致连续.3.3函数一致连续性的比值判别法（1）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3）,其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.证明：根据洛必达法则,知，（3-9）设在上一致连续，则对当时，有，（3-10）因为，（3-11）所以对，使，（3-12）由柯西微分中值定理知，，使，（3-12）所以，（3-13）所以对，有，（3-14）从而有，（3-15）所以，（3-16），有，（3-17）因此，在上一致连续.在上连续，在上一致连续.在上一致连续.同理还可证明若在上一致连续，则在上一致连续.如果一个函数是无穷大量并且可导，那么可以通过构造一个已知一致连续性的无穷大量的可导的函数，通过两个导函数的比值关系，其实也是这两个函数的比值，将两者的一致连续性联系起来，这样就能判断了，这与比较判别法类似，都是构造函数，只是条件不一样.由（1）知函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（5）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（6）设函数，且函数满足1），；2）可导，且；3），其中是非零常数，则函数具有相同的一致连续性.3.3确定上的函数是否一致和连续？解：在上不一致连续.令，（3-18）则.（3-19）又因为在上连续，且，（3-20）而在上不一致连续，在上不一致连续.无论是在有限区间还是无限区间，比较判别法和比值判别方法都可以适用.4函数一致连续性的性质函数的连续性满足四则运算，一致连续性也如此.（1）若函数在上一致连续，则在上一致连续.证明：在上一致连续，对，当时，有，（4-1）又在上一致连续，当时，有，（4-2）故对，取，则对，当时，有，在上一致连续.（2）若函数在上一致连续，则，在上一致连续.（3）若函数在上一致连续且有界，则在上一致连续.（4）若函数在上一致连续，函数在上一致连续且，则在上一致连续.例4.1设函数在上一致连续，证明在上也一致连续.证：在上一致连续，令，则在上连续，在上一致连续.又在上有界，在上一致连续，在上一致连续.因此在上一致连续.5两种函数的一致连续性5.1周期函数的一致连续性如果函数的周期为，在上有定义且连续，则函数在上一致连续.证：在上连续，在上连续.根据一致连续性定理知在上一致连续，对，当时，有.令，当时，存在正整数，使，（5-1）,（5-2）所以.（5-3）故在上一致连续.这个针对周期函数的一致连续性，将连续和一致连续的关系连在一起.有些函数是周期函数，如三角函数等，但是如果直接用定义或者其他方法来证明它是一致连续的，有时候很难化简得到结果或是无从下手，此时就可以通过连续性来判断一致连续性，从而得到结论．例5.1.1证明函数在上一致连续．证：是以为周期的周期函数，并且在上连续，根据周期性知在上连续，因此在上一致连续．例5.1.2证明在上一致连续.证：因为，（5-4）的周期为，即是周期函数.由上题知，（5-5）在上连续，所以在上连续，故在上一致连续.5.2幂函数的一致连续性（1）函数在上是一致连续的.证：当时，根据例4.1的证明过程知在上一致连续；当时，知，（5-6）根据一致连续性的定义，对当时，有，（5-7）所以在上一致连续.（2）对任意的，函数在上一致连续,在上不一致连续，也就是在上不一致连续.证明：在上连续，在上一致连续.,当时，根据拉格朗日中值定理知，存在介于之间，使，（5-8），使，（5-9）所以，（5-10）则有.（5-11）在上不一致连续，在上不一致连续.例2.2中可以直接用（2）的结论来说明在上是不一致连续的.。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是指在定义域内的每一个点上，函数值的变化都可以通过自变量的微小变化来控制，即函数在整个定义域上的变化都是连续的。
一致连续性是连续性的一种更强的性质，它要求函数在整个定义域上都保持连续性，而不仅仅是在某个点或某个区间上连续。
在数学分析中，一致连续性是一个重要的性质，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
一、函数的连续性在介绍函数的一致连续性之前，首先需要了解函数的连续性。
函数的连续性是指函数在某一点或某一区间上没有间断或跳跃，即函数在这些点上的极限存在且与函数在该点的取值相等。
如果函数在定义域内的每一个点上都是连续的，那么我们称这个函数在整个定义域上是连续的。
二、一致连续性的定义函数的一致连续性是指对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当函数的自变量之间的距离小于δ时，函数值之间的距离小于ε。
换句话说，对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，|f(x)-f(y)|<ε对于所有的x,y∈D都成立。
这就是函数的一致连续性的定义。
三、一致连续性与局部连续性的区别函数的一致连续性与局部连续性是两个不同的概念。
局部连续性是指函数在某一点附近连续，而一致连续性要求函数在整个定义域上都连续。
局部连续性只要求函数在某一点附近连续，对于不同的点可以有不同的δ，而一致连续性要求对于整个定义域上的任意ε，都存在一个δ，使得函数在整个定义域上都满足ε-δ的条件。
四、一致连续性的性质1. 一致连续性是连续性的更强的性质，具有更好的连续性和稳定性。
2. 一致连续性可以保证函数在整个定义域上的变化都是连续的，而不仅仅是在某个点或某个区间上连续。
3. 一致连续性可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，对于分析函数的性质和性质具有重要的作用。
五、一致连续性的应用1. 在实际问题中，一致连续性可以帮助我们更好地分析函数的性质和行为，从而更好地解决实际问题。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它反映了函数在定义域内的整体的性质和变化情况。
本文将从一致连续性的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、一致连续性的定义一致连续性是一种特殊的连续性，它描述了在任意给定的公差范围内，函数值与自变量之间的变化情况。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<ε，则称函数f在区间I上是一致连续的。
二、一致连续性的性质1.一致连续函数的一致连续区间如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数ε和负数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<max{ε, -ε}。
因此，一致连续函数的定义域内存在一个一致连续区间。
2.一致连续函数的性质一致连续函数具有以下性质：(1) 如果函数f在区间I上是一致连续的，则f在I上也是连续的。
这是因为当x从左侧逼近于某个点x₀时，一致连续性保证了f(x)与f(x₀)之间的差的绝对值小于任意给定的正数ε。
(2) 如果两个函数f和g在区间I上是一致连续的，那么它们的和、差、积也在这个区间上是一致连续的。
这个性质可以由绝对值不等式的性质得到。
(3) 如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数M和负数m，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有max{f(x₁), f(x₂)}<M和min{f(x₁), f(x₂)}>m。
这个性质说明了函数值的变化范围可以被任意给定的上下界所限制。
三、一致连续性的应用1.微分方程的解的性质一致连续性在微分方程的求解中有着重要的应用。
例如，如果微分方程描述的是一个物理系统在一组时间段上的状态变化，那么解的一致连续性就保证了系统状态的平滑变化，避免了突变和跳跃。
2.函数的逼近和级数求和一致连续性也是函数逼近和级数求和中的一个重要概念。
[整理]一致连续性的判定定理及性质.
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一致连续性的判定定理及性质作者：朱肖红 指导老师：张海摘 要 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.关键词 连续函数 极限 有界函数 一致连续 非一致连续1引言弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator 定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.2一致连续性的概念定义 2.1 设函数()x f 在区间I 上有定义.若,,,0,021I x x ∈∀>∃>∀δε只要,21δ<-x x 都有()()ε<-21x f x f ,称函数()x f 在I 上一致连续.对函数一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题： （1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系比较函数在区间的连续性和一致连续性可知：前者的δ不仅和ε有关,而且还和点0x 有关,即对于不同的0x ,一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续；后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的.这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（即连续可对一点来讲,而且对于某一点0x ,δ取决于0x 和ε ,而一致连续必须以区间为对象, 只取决于ε ,与点0x 的值无关.）在区间I 上一致连续的函数在这个区间一定是一致连续的,事实上,由一致连续性定义将1x 固定,令2x 变化,即知函数()x f 在1x 连续,又1x 是I 的任意一点,从而函数()x f 在I连续,但在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如()xx f 1=在区间 ()1,0 就是如此.（2）函数一致连续性的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,就绝对值来说,可以任意小,即任意的21,x x ,当δ<-21x x 时,就有()()ε<-21x f x f .（3）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定就是非一致连续,即设函数()x f 在区间I 上有定义,若δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x 有()()021ε≥-x f x f ,则称)(x f 在I 上非一致连续.总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性则反映了在整个区间上的整体性质.二者之间既有区别又有联系.3一致连续性的判定定理判定函数一致连续性的几个充要条件定理3.1 ()x f 在 []b a ,上一致连续的充要条件是()x f 在[]b a , 上连续. 证明 ［必要性］由定义直接可得.［充分性］采用反证法,假设()x f 在 []b a ,上非一致连续, 即,00>∃ε对0>∀η,在区间[]b a , 内至少存在两点1x 及2x , 虽然η<-21x x ,但()()021ε≥-x f x f .现取() 3,2,11==n nη ,那么在[]b a , 内存在两点()n x 1 及 ()n x 2 . 虽然 ()()nx x n n 121<-,但()()()()021ε≥-n n x f x f .应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列(){}nx 1中存在一个收敛的子列()()∞→→k x x k n 01,这里[]b a x ,0∈,再由于()()nx x n n 121<- , 所以 ()()kk k n x x 121<-, 亦即()()∞→→-k x x kk n n 021.因为()()∞→→k x x k n 01 ,所以()()∞→→k x x k n 02, 并且()()()()021ε≥-kkn n x f x f对一切 k 成立.另一方面,由于()x f 在 0x 连续,亦即()()00lim x f x f x x =→.由函数极限与数列极限的关系,有()()()()()()021lim ,lim x f x f x f x f k k n k n k ==∞→∞→.而()()()()()0lim 21=-∞→k k n n k x f x f .这同()()()()021ε≥-k kn n x f x f对一切 k 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立.定理 3.2 函数 ()x f 在有限开区间()b a , 内一致连续的充要条件是()x f 在()b a , 内连续且极限()x f ax +→lim 和()x f bx -→lim 存在.证明 ［充分性］令⎝⎛=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x g ),0(),(),(),0()(则)(x g 在[]b a ,上连续,从而)(x g 在[]b a ,上一致连续.［必要性］ 因为()x f 在()b a , 内一致连续.∴()x f 在()b a , 内连续,并且∈>∃>∀21,,0,0x x δε()b a , ,当δ<-21x x 时, 有()()ε<-21x f x f于是当()δ+∈a a x x ,,21 时，有()()ε<-21x f x f .根据柯西准则,极限()x f ax +→lim 存在.同理可证()x f bx -→lim 也存在.定理3.3设函数()x f 在区间 I 上有定义, 在I 上一致连续的充要条件是对区间I 上的任意两数列}{n x 与}{n y ,当0)(lim =-∞→n n n y x 时, 有()()0)(lim =-∞→n n n y f x f .证明 ［必要性］因为()x f 在I 上一致连续,所以I y x ∈∀>∃>∀,,0,0δε,当δ<-y x 时有ε<-)()(y f x f .任取I 上的两数列}{n x 与}{n y 并且满足0)(lim =-∞→n n n y x .则对N ∃>,00δ ,当N n >时有0δ<-n n y x .于是ε<-)()(n n y f x f ,即0)]()([lim =-∞→n n n y f x f .［充分性］假设()x f 在I 上不一致连续, 则δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x ,但()()021ε≥-x f x f .特别,取)(1N n n ∈=δ ,则ny x I y x n n n n 1,,<-∈,但 0)]()([lim )()(,0≠-∴≥-∞→n n n n n y f x f y f x f ε,这与已知条件矛盾.所以原命题成立.判定函数一致连续性的几个充分条件定理 3.4 若()x f 在),(+∞-∞ 内连续,且)(lim ),(lim x f x f x x +∞→-∞→ 都存在,则()x f 在),(+∞-∞ 上一致连续.证明 0,)(lim ,0,01>∃∴=>∃>∀+∞→b A x f x δε ,当b x > 时, 有2)(ε<-A x f ,从而当12121,,δ<->x x b x x 时, 有ε<-+-≤-A x f A x f x f x f )()()()(2121 .所以()x f 在),[+∞b 上一致连续. 同理可证当221δ<-x x 时,有()()ε<-21x f x f ,即知()x f 在],(a -∞ 上一致连续.又()x f 在[]b a ,上连续,03>∃∴δ当 321δ<-x x 时，有()()ε<-21x f x f ,故()x f 在[]b a , 上一致连续. 取},,m in{321δδδδ= ,当 δ<-21x x 时便有()()ε<-21x f x f即()x f 在),(+∞-∞上一致连续.定理3.5 若函数)(x f 在区间I 上的导数有界,则)(x f 在I 上一致连续.推论 若函数)(x f 在),[+∞a 上单调增加,可导且其图形是上凸的,则 )(x f 在区间),[+∞a 上一致连续.证明：由 )(x f 可导且单增,从而0)('≥x f ,又曲线)(x f y = 向上凸,从而 )('x f 在),[+∞a 上单减.所以)()(0''a f x f +≤≤ ,于是)('x f 在 ),[+∞a 上有界,由上定理知,)(x f 在 ),[+∞a 上一致连续 .定义 3.1 设函数 )(x f 是区间 I 上的实值函数,如果任取 10,,≤≤∈λI y x ,有())])}()1()())1(([){()1()(]1[y f x f y x f y f x f y x f λλλλλλλλ-+≥-+-+≤-+称是区间 上凸（下凸）函数.定义 3.2 若)(x f 在 )(00x U 有定义,且hh x f h x f h )2()2(lim000--+← 的极限存在,则称)(x f 在0x 拟可导,记为hh x f h x f x Df h )2()2(lim)(0000--+=→. 引理3.1凸函数在任意开区间（有限或无穷）I 上连续. 引理3.2 若函数)(x f 在I 上连续,且对I x x ∈∀21,,有)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ ,则)(x f 为下凸函数.定理3.6 若函数)(x f 在区间I （有限或无穷）上单调,且)(x Df 在I 内处处存在且有界,则函数)(x f 在开区间 I 上一致连续.证明 不妨设)(x f 在开区间 I 上单调增加.因为)(x Df 在I 内处处存在,有界,即 I x M ∈∀>∃,0,有 M x Df <)(. 下面证明：对I x x x x ∈<2121,, ,有)(2)()(1212x x M x f x f -<- .若不然,1111,,b a I b a <∈∃ ,使)(2)()(1111a b M a f b f -≥- .令)(2111b a c +=,则区间 ],[1c a 和 ],[1b c 中至少一个,记为],[22b a , 满足 )(2)()(2222a b M a f b f -≥-由此,利用归纳法可得到区间套 ⊃⊃⊃⊃],[],[],[2211n n b a b a b a .)(21)2()(2)()()1(111a b a b a b M a f b f n n n n n n n -=--≥--根据区间套定理,这些区间有惟一的公共点,记为ξ . 由条件知,M Df <)(ξ .所以,0>∃δ ,使当δ<h ,且I hh ∈+-2,2ξξ时，有M hf h f h <--+)]2()2([1ξξ . (3) 因为],[1n n n b a ∞=⋂∈ξ,且0→-n n a b ,故存在正整数 N,使22δξξδξ+<≤<-N a .不妨设ξξ-<-N N b a .令 )(20ξ-=N b h ,则 δ<0h ,且222200δξξξδξ+<=+<<-<-N N b h a h . 故000)(2)()()2()2(Mh a b M a f b f hf h f N N N N ≥-≥-=--+ξξ 此与（3）矛盾,从而（1）试对I 内任意两点都成立,因而可得 )(x f 在区间 I 上一致连续.推论1 若函数)(x f 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则)(x f在区间 I 上一致连续.证明 不妨设)(x f 为区间I 上的下凸函数, .因为)(x f 为凸函数,所以)(x f 在I 上连续.若)(x f 在I 上单调,由定理3知结论成立.若)(x f 在 I 上不单调,由 )(x f 为区间I 上的下凸函数可知,在I 上至少存在三点321x x x << ,有)()(21x f x f > ,且 )()(32x f x f <.因为)(x f 在],[31x x 上连续,故存在),(310x x x ∈,使)(min )(],[031x f x f x x x ∈= .下证)(min )(0x f x f Ix ∈= .否则,若存在][314x x I x --∈ ,且)()(04x f x f < .若04x x < ,则λ∃ ,使 10,)1(401<<-+=λλλx x x ,从而)())()1()()(0401x f x f x f x f <-+≤λλ,矛盾.同理04x x >不成立.于是,由)(x f 为区间I 上的下凸函数定义可证, )(x f 在 ],(0x a 上递减,在[),0b x 上递增.故)(x f 在],(0x a 与0[,)x b 上一致连续.而)(x f 在I 上连续,故)(x f 在I 上一致连续.推论2 若函数)(x f 在开区间 I （有限或无穷）满足条件：I x x ∈∀21,)1(,有);2(2)()(2121x x f x f x f +≥+)(,)2(x f I x -∈∀. 和)(x f + 都存在)3(在I 上处处拟可导,且拟导数有界.则函数)(x f 在区间I 上一致连续.证明 先证)(x f 在I 上连续.对I x ∈∀0,下证)()(00x f x f +-= .因为)()(00x f x f +-≠ ,则不妨设)()(00x f x f +-< ，取0,0))()((41100>∃>-=-+δεx f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ，有ε<--)()(0x f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ,有ε<-+)()(0x f x f .}2,,2)()(min{,0,0100δδδM x f x f h M -+-=∃>∀>∀有hx f x f hx f x f h x f h h x f h x f )()()2()()2()2()2(0000000-++-+---+=--+ M M x f x f x f x f h x f x f h x f x f =--≥-=-->-+-+-+-+2))()((2)()(2)()(2)()(00000000ε.与已知条件矛盾,所以)()(00x f x f +-= .又由)2(2)()(00xx f x f x f +≥+,两边对x 取极限,得 )()(00x f x f -≥.因为 I 为开区间,取0>h ,使I h x h x ∈-+00, , 则2)()()2()(00000h x f h x f h x h x f x f -++≤-++=,两边对 h 取极限, 得)(2)()()(0000x f x f x f x f --+=+≤,从而)(x f 在0x 点连续,即)(x f 在区间I 上连续,由引理2得)(x f 为凸函数.由推论1得)(x f 在区间I 上一致连续定理 3.7 若函数 )(x f 在区间I 上满Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使对任何I x x ∈21, ,都有2121)()(x x L x f x f -≤- ,则函数 )(x f 在区间 I 上一致连续.依定义可立即证得推论 若函数)(x f 在区间I 上可导,且 )('x f 在区间I 上有界,则函数)(x f 在区间I上一致连续.证明 )('x f 在区间I 上有界,即 I x L ∈∀>∃,0,有L x f ≤)(' .因为)(x f 在区间I上可导,据拉格朗日定理I x x ∈∀21,,有))(()()(21'21x x f x f x f -=-ξ .从而2121'21)()()(x x L x x f x f x f -≤-=-ξ ,即)(x f 在区间I 上满足Lipschitz 条件,故)(x f 在区间I 上一致连续.定理 3.8 若函数)(x f 在),[+∞a 可导,且λ=+∞→)(lim 'x f x （常数或∞+）,则)(x f 在),[+∞a 一致连续的充要条件是λ为常数.证明 ［充分性］ 若λ为常数,由局部有界性,,a A >∃可使)('x f 在),[+∞A 有界,再由定理4推论,)(x f 在 ),[+∞A 上一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在],[A a 一致连续 .故)(x f 在),[+∞a 一致连续.［必要性］（反证法） 设+∞=+∞→)(lim 'x f x .则0,210>∀=∃δε ,取δ1=G ,故,,A x a A >∀>∃有.)('G x f >.取A x x >21, ,且使δδ<=-221x x ,据拉格朗日定理有212)()()(21'21=>-=-δξGx x f x f x f . 故)(x f 在),[+∞A 非一致连续,这与)(x f 在),[+∞a 一致连续矛盾.上定理的结论相当完美,它使得许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别,都变得简便易行.4一致连续的性质性质 4.1若)(x f 和)(x g 都是区间I 上的有界的一致连续函数,则)()()(x g x f x F =也在I 上一致连续.证明 由题设)(x f ,)(x g 有界,从而存在0>M ,使.,)(,)(I x M x g M x f ∈∀<< .再由 )(x f ,)(x g 都一致连续,则0,01>∃>∀δε 和02>δ ,使I x x x x ∈∀4321,,, ,且243121,δδ<-<-x x x x ,时有Mx g x g Mx f x f 2)()(,2)()(4321εε<-<- ,令},m in{21δδδ=,则I x x ∈∀65,,且δ<-65x x 时)()()()()()()()()()()()(656655665565x f x f x g x g x g x f x g x f x g x f x F x F -+-≤-=-εεε=+<MMMM22.所以)(x f )(x g 在I 上一致连续.性质 4.２函数)(x f 在 ],[b a 上一致连续,又在],[c b 上一致连续,c b a << .用定义证明：)(x f 在],[c a 上一致连续.证明 由)(x f 在],[b a 一致连续,故0,01>∃>∀δε,使当],[,21b a x x ∈,且121δ<-x x 时,有2)()(21ε<-x f x f (i)同理,)(x f 在],[c b 上一致连续,对上述0>ε,存在02>δ,使当],[,43c b x x ∈ ,且243δ<-x x 时,有2)()(43ε<-x f x f (ii)令},m in{21δδδ= ,则对0>ε,当],[,65c a x x ∈ 且 δ<-65x x 时,（1）若],,[,65b a x x ∈由（i ）式有εε<<-2)()(65x f x f（2）若],[,65c b x x ∈,由（ii ）式也有ε<-)()(65x f x f （3）若],[],,[65c b x b a x ∈∈时,则δδ<-<-b x b x 65, 所以 εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(6565x f b f b f x f x f x f .从而得证 )(x f 在 ],[c a 上一致连续.性质 4.3设函数)(x f 在),[+∞a 连续,函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,且0)()(lim =-+∞→x g x f x ,则)(x f 在 ),[+∞a 一致连续.证明 0)()(lim =-+∞→x g x f x ,故 A x x a A ≥∀>∃>∀21,,,0ε,有 3)()(,3)()(2211εε<-<-x g x f x g x f .及函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,故对上述A x x ≥∀>∃>21,,0,0δε ,且 δ<-21x x ,有3)()(21ε<-x g x g .综上A x x ≥∀21,,且 δ<-21x x ,有)()()()()()()()(22211121x g x f x g x g x g x f x f x f -+-+-≤- .εεεε=++<333即 )(x f 在),[+∞A 一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在 ],[A a 上一致连续,故)(x f ),[+∞a 在 一致连续.定理5表明：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数,则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续,如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数,即此函数存在斜渐近线,则它必一致连续.即是如下推论.推论 设函数)(x f 在),[+∞a 连续,且有斜渐近线,即有数b 与 c ,使0])([lim =--+∞→c bx x f x ,则)(x f 在),[+∞a 一致连续.5一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性.例1 判断),0(,11)(2+∞∈+=x xx f 的一致连续性. 解：因为 011lim2=++∞→x x ，111lim 20=+→x x 又 )(x f 在),0(+∞ 上连续,所以 )(x f 在),0(+∞ 上一致连续.本题利用定理3.4，)(x f 在无限区间上连续且在端点极限存在，则)(x f 在此无限区间上一直连续.例2 证明)(x f =x e 在R 上非一致连续.证明1 :ln ),1ln(),11(0,21210R n x n x e n ∈=+=∀->∃>∀=∃δδε,ln )11ln(ln )1ln(21δδ=<+=-+=-e n n n x x 有021211)1()()(ε=>=-+=-n n x f x f .所以)(x f =x e 在R 上非一致连续.根据一直连续性定义证得.证明2 取R n y n x n n ∈=+=ln ),1ln( , 且0)11ln(lim ]ln )1[ln(lim )(lim =+=-+=-∞→∞→∞→n n n y x n n n n n .但01)1(lim ][lim )]()([lim ln )1ln(≠=-+=-=-∞→+∞→∞→n n e e y f x f n n n n n n n .所以)(x f =x e 在 R 上非一致连续.此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理3.3.例3 判断)1,0(,1cos )(∈=x x e x f x 的一致连续性.解：因为x e x x 1cos lim 0+→ 不存在,所以)(x f =x e 在)1,0( 内不一致连续.此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理3.2例4 证明： x e x f =)(在),(a -∞ 上一致连续,而在 ),(+∞a 上非一致连续.证明 0lim =-∞→x x e 且a x a x e e =-→lim .所以 x e 在 ),(a -∞上一致连续.+∞==+∞→x x x x e Lim e e ,)(' .所以)(x f =x e 在 ),(+∞a 上非一致连续.此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性。
函数的一致连续性
函数的一致连续性一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它不仅在微积分中有着广泛的应用，而且在函数论和拓扑学等领域也扮演着关键的角色。
本文将对一致连续性的定义、性质及其与普通连续性的关系进行深入探讨，并通过例子说明其在实际中的应用。
一致连续性的定义传统的连续性涉及到函数在某一点的邻域内的行为，而一致连续性则进一步扩展了这一概念。
设 ( f: A ) 是定义在集合 ( A ) 上的一个函数。
如果对任意的 ( > 0 )，存在一个 ( > 0 )，使得对于所有的 ( x, y A )，只要满足 ( |x - y| < )，就有 ( |f(x) -f(y)| < )，那么我们称函数 ( f ) 是在 ( A ) 上一致连续的。
这种定义与普通的连续性不同，普通的连续性要求在特定点附近都能找到适合的 ( ) 值，而一致连续性则要求这个 ( ) 值能够适用于整个区间或集合。
这种“整体”性质使得一致连续性在分析中极具吸引力。
一致连续性的性质性质一：一致连续性的充要条件一致连续性最重要的一个性质是其与有界闭集上连续性的关系。
即如果函数 ( f: [a, b] ) 在区间上是连续的，并且该区间是有界闭集，那么函数 ( f ) 是一致连续的。
这一性质也可以称为“海涅-博尔查诺定理”的一种表现。
性质二：复合函数的一致连续性如果 ( f: A B ) 和 ( g: B C ) 都是显式一致连续的函数，那么复合函数 ( g(f(x)) ) 也是一致连续的。
这为我们提供了在处理复杂问题时的一种手段，可以将多个容易处理的一致连续函数组合起来。
性质三：一致连续函数的有限性如果一组函数 ( f_n: A_n B_n ) 是一致连续的，并且它们都定义在相同的集合上，则它们的一致收敛也将保持一致性，即如果( f_n(x) f(x) )（对所有 ( x A_n )），那么 ( f(x) ) 同样是一致连续的。
一致连续性与普通连续性的关系虽然所有的一致连续函数都是普通连续函数，但并非所有普通连续函数都是一致连续函数。
函数的致连续性专题(讲)
函数的一致连续性专题1、函数一致连续性的定义：2. ()f x 在区间I 上不一致连续，存在00ε>，对任意的0δ>，存在,x y I ∈，虽满足|y|<x δ-，但0|()()|f x f y ε->.3、若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上一致连续。
4、函数()f x 在区间1I 和2I 上一致连续，若12I I ≠∅I ，则()f x 在12I I U 上一致连续。
一．应用定义来证明函数的一致连续性与不一致连续性例1：()f x =[0,)+∞上一致连续例2：2()f x x =在[1,)+∞上不一致连续例3：设()f x 在区间(0,1]上可导，且0lim ()n x A +→'=，求证()f x 在区间(0,1]上一致连续例4：若函数()f x 在区间I 上满足下述Lipschitz 条件，即0,',"L x x I ∃>∀∈，有(')(")'"f x f x L x x -≤-成立，则()f x 在I 上一致连续。
习题1：.设函数()f x 在区间I 上连续，且满足'()f x 在I 上有界，则()f x 在I 上一致连续。
二：函数不一致连续的一个等价刻画及具体函数不一致连续的判别 命题： 若函数()f x 在区间I 上不一致连续的充分必要条件是：存在两个点列{}n x ，{}n y 满足||0n n x y -→，但lim |()()|0n n n f x f y →+∞-≠. 例3： 函数2()sin f x x =在区间[0,)+∞上不一致连续（湘潭大学2009年） 例4：1()e cos , (0,1]x f x x x=∈不一致连续 (2009年大连理工大学)三、一致连续性的极限判别法（说明有界性 区间结构 连续性，一致连续性之间的关系）命题3： 连续函数()f x 在有限区间(,)a b 上一致连续的充要条件是：是()f x 在(),a b 上连续且()f a +及()f b -都存在。
函数的一致连续性
一致连续的几何解释 —— 正弦函数的一致连续性
1.0 0.5
O
12 3 4 56
-0.5
-1.0
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的几何解释
定理（康托尔） 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上一致连续.
聚点原理 任何有界数列均存在收敛的子数列，即若数列
满足
（其中M>0为常数），则 存在收敛的子数
函数在一点连续的定义及几何意义
函数 在 连续的
定义：
，
当
时，恒有2.来自注：通常 与 和 有关，
所以记为
.
第21讲 函数的一致连续性——问题引入
问题：是否存在一个在连续区间上 都适用的 ?
第21讲 函数的一致连续性——问题引入
一致连续的定义 一致连续的几何解释 一致连续性定理
第21讲 函数的一致连续性——主要内容
列
.
例3 若函数
在开区间 内连续，则
在 内
一致连续的充要条件是
与
存在.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续性定理
定义 设
为定义在区间 上的函数，如果对任给的正数 ，
总存在正数
，使得对任意
，只要
，
就有
，
则称函数
在区间 上一致连续.
“函数
在区间 上一致连续”定义的简洁形式：
，当
且
时，有
.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的定义
例1 证明函数
在区间
上一致连续.
性质（一致连续与连续的关系）若函数
一致连续，则 在 内连续.
在区间 内
例2 证明函数
在区间 内不一致连续.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的定义
关于函数一致连续性证明的几个方法
关于函数一致连续性证明的几个方法
一、函数的一致性证明
函数的一致性证明是指，在给定的区间中，确定函数在每一点的导数相同，使得函数自变量到因变量之间的变化是平滑的，函数设定值恒定，函数在其给定的区间上连续。
1.齐次可导定理：
齐次可导定理指出，若一函数是多元的，它在给定区间上的所有阶导数相等，则它在该区间上连续。
该定理的证明方法有三种：
（1）函数单调性：如果在区间上的所有阶导数相等，那么函数的一阶导数不会在区间上发生变化，也就是函数在该区间上单调递增或者单调递减。
即函数的单调性完全由函数的一阶导数决定，从而证明了函数的一致性。
（2） Taylor 展开：将给定函数准确的利用 Taylor 展开式近似表示，然后对展开式取极限，若极限值等于原函数，则证明函数在给定区间上连续。
（3）原函数定义域：若一函数在给定区间的导数都相等，则这个函数可以由它在定义域的一系列点来构成，从而得出定义域的任意两点之间的条件都一样，再由此可知函数的一致性。
2.高斯-约旦多项式
高斯-约旦多项式是一种常用的求解多项式拟合函数的算法。
该算法可以用来可以得到函数的函数曲线，从而能够完成一致性检验。
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§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ∀>∃>,使得当12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确).命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续0ε⇔∃>和{},{}n n x y X ⊂,使得lim()0n n n x y →∞-=,并且()()n n f x f y -,n ε*≥∀∈.证: “⇒”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε∃>,n *∀∈,n x ∃,n y X ∈满足1n n x y n-<和()(),n n f x f y n ε*-≥∀∈.这说明右边成立.“⇐”.假定0ε∃>和{}n x ,{}n y X ⊂,使得l i m ()0n n n x y →∞-=,并且()(),n n f x f y n ε*-≥∀∈.这时,0δ∀>,,,N N N N x y X x y δ∃∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤.证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<.再取n *∈使得,M n nδδε<=令.当,,x y I ∈x y -0δ≤时,()()f x f y -11(())(())nk k kf x y x f x y x n n=-≤+--+-∑n ε< M =.□命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续⇔存在有限单侧极限()f a +和()f b -.证:“⇒”.若f 是(,)a b 上的一致连续函数,即0,0εδ∀>∃>,使得当,(,),2x y a b x y δ∈-<时成立()()f x f y ε-<,则当,(,)x y a b ∈,0x a <-,0y a δδ<<-<时有()()f x f y ε-<.根据函数单侧极限的Cauchy 收敛原理,便知存在有限右极限()f a +.同理,存在有限左极限()f b -.“⇐”. (反证法)假定存在有限单侧极限()f a +和()f b -,但连续函数f 不一致连续.由命题1,0ε∃>和{},{}(,)n n x y a b ⊂,使得l i m ()0n n n x y →∞-=,并且()()n n f x f y -,n ε*≥∀∈.取{}n x 的收敛一个子列{}n k x ,则(1),n n k k x y a →+；(2),n n k k x y b →-；(3)0,n n k k x y x →(,)a b ∈三者必居其一.这样,便有0lim ()()n n k k n f x f y →∞=- 0ε≥>,得到矛盾.□ 例1 设Y X ∅≠⊂⊂.(1) 若f 是X 上的连续函数,则f 也是Y 上的连续函数； (2) 若f 是X 上的一致连续函数,则f 也是Y 上的一致连续函数. (3) 若,f g 都是X 上的一致连续函数,则f g ±也是X 上的一致连续函数.(4) 若,f g 都是一致连续函数,g f 有意义,则g f 也是一致连续函数.例2 当常数(0,1]μ∈时,幂函数x μ是[1,)+∞上的一致连续函数. 证: 121x x ∀≤<,有不等式1111112222(1)(1)x x x x x x x x μμμμ---=-≤-=-,即 2121x x x x μμ-≤-. 故 0ε∀>,令0δε=>,则当12,[1,)x x ∈+∞,12x x δ-<时总成立1212x x x x μμδε-≤-<=.□例3 (连续但不一致连续的函数) 当常数(1,)μ∈+∞时,幂函数x μ不是[1,)+∞上的一致连续函数(这说明两个一致连续函数的积可能不是一致连续函数).证: 1x y ∀≤<,有不等式 11()y x x y x x y x μμμμμ---≥-=-.n *∀∈,令 11,n n x n y n n μ-==+,则 11lim()lim 0n n n n y x n μ-→∞→∞-==, n n y x μμ-1()n n n x y x μ-≥-1111n nμμ--==.由命题1便知x μ不是[1,)+∞上的一致连续函数.□例4 (连续但不一致连续的函数) 1sin x不是(0,1)上的一致连续函数.证: 由命题3.□ 例 5 10,xσ∀>是[,)σ+∞上的一致连续函数,但却不是(0,)+∞上的一致连续函数.证: 12x x σ∀≤<,有不等式21212121211x x x x x x x x σ---=≤.故0ε∀>,令20δσε=>,则当12,[,)x x σ∈+∞,12x x δ-<时总成立1211x x -212x x σ-≤ε<. 这说明1x 是[,)σ+∞上的一致连续函数. 由命题2或命题3知1x不是(0,)+∞上的一致连续函数.□练习题2.9(109P ) 1,2,3. 问题2.9(109P ) 2.§2.10 有限闭区间上连续函数的性质定理 2.22(一致连续性) 若f 是有限闭区间[,]a b 上的连续函数,则f 必在[,]a b 上一致连续.证:(利用有限闭区间的列紧性反证) 假定连续函数f 不一致连续,即0ε∃>和{}n x ,{}n y ⊂[,]a b ,使得 lim()0n n n x y →∞-=,并且()()n n f x f y -ε≥,n ∀*∈.取{}n x 的一个子列{}n k x 收敛于0[,]x a b ∈,则{}n k y 也收敛于0[,]x a b ∈,从而0lim ()()0n n k k n f x f y ε→∞=-≥>,得到矛盾.□ 定理2.23和2.24 (最大值和最小值的可达性) 若f 是有限闭区间[,]a b 上的连续函数,则必00,[,]x y a b ∃∈,使得0()min ()a x bf x f x ≤≤=, 0()m ()a x bf y ax f x ≤≤=.作为推论,f 在[,]a b 上有界.证:(利用有限闭区间的列紧性)仅证最小值的可达性.令inf ([,])m f a b ∞=∈,由§1.9的命题2知,{()}([,])n f x f a b ∃⊂使得lim ()n n f x m →∞=.取{}n x 一个子列{}n k x 收敛于0[,]x a b ∈,便有0l i m ()()nk n m f x f x →∞==,即0()min ()a x bf x f x ≤≤=.□ 定理2.25和2.26 (介值定理和零值定理) 若f 是有限闭区间[,]a b 上的连续函数,()()f a f b ≠,则∀介于()()f a f b 和之间的实数γ,必c ∃∈(,)a b 使得()f c γ=.作为推论,若()()0f a f b <,则必c ∃∈(,)a b 使得()0f c =.证: (利用区间的连通性) 记{[,]:()}A x a b f x γ=∈<,{[,]:B x a b =∈()f x }γ≥,则A ≠∅,B ≠∅,,[,]AB AB a b =∅=.由[,]a b 的连通性,或者可取{}n x A ⊂收敛于c B ∈,此时()lim ()n n f c f x γγ→∞≤=≤；或者可取{}n y B ⊂收敛于1c A ∈,此时1()lim ()n n f c f y γγ→∞>=≥(该情形不会出现).因而()f c γ=,c ∈(,)a b .□推论 若f 是区间I 上的连续函数,则()f I 也是区间.证:(利用区间的连通性),(),l L f I l L ∀∈<,要证(,)()l L f I ⊂. 取,a b I ∈满足()f a l =,()f b L =,并不妨设a b <.(,)l L γ∀∈,c ∃∈(,)a b使得()f c γ=.这说明()f I γ∈,从而(,)()l L f I ⊂.□ 例1 任何实系数奇次多项式必有实根.证: 设()p x 是实系数奇次多项式(首系数为1), 则lim (),x p x →+∞=+∞lim ()x p x →-∞=-∞.故当0A >充分大时,有()0,()0f A f A >-<,从而(,)c A A ∃∈-使得()0p c =.□例2(115P ,8)设([0,1])f C ∈,(0)(1)f f =.求证n *∀∈,n x ∃∈1[0,1]n-使得1()()n n f x f x n=+.证: 考虑1[0,1]n -上的函数1()()()x f x f x n ϕ=-+.由于01()()n n ϕϕ+101121()()()()()()()0n n nf f f f f f n n n n nn nϕ--++=-+-++-=,故或者()0,01kk n nϕ=∀≤≤-,或者1212,,01k k k k n ∃≤<≤-,使得12()()0k k n n ϕϕ<.由零值定理便知n x ∃∈1[0,1]n-使得()0n x ϕ=.□练习题2.10(114P ) 2,4,5,7,9,10,11. 问题2.10(114P ) 2,4.§2.11 函数的上极限和下极限本节内容与数列的上极限和下极限的概念及相关结论完全一样. 定义2.22 设f 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点,那么 00{:{}\{},lim ,lim ()}n n n n n E l x X x x x f x l ∞→∞→∞=∈∃⊂==≠∅使得.记 0limsup ()sup x x f x E →= 和 0liminf ()inf x x f x E →=,分别称为当0x x →时f 的上极限和下极限；或称为f 在0x 处的上极限和下极限.类似地,能定义当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时f 的上极限和下极限.注记2.22' X 上的单变量函数f 在X 的极限点0x 处的上极限和下极限一定存在,其值与f 在0x 处是否有定义无关,只与f 在0x 的去心邻域00{:0}Xx X x x δ∈<-<上的定义有关.这里,0δ是固定的正数.注记2.22'' 设f 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点.0δ∀>,记0()sup{():,0}f x x X x x ψδδ=∈<-<, 0()inf{():,0}f x x X x x ϕδδ=∈<-<,则()ψδ在(0,)+∞上递增, ()ϕδ在(0,)+∞上递减(注意()ψδ和()ϕδ可能不是函数).故存在广义右极限0lim ()δψδ→+和0lim ()δϕδ→+.这两个广义右极限就是当0x x →时f 的上极限和下极限.当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时的情形类似.定理2.27 设f 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点,{E l =∈:∞00{}\{},lim ,lim ()}n n n n n x X x x x f x l →∞→∞∃⊂==使得.则β∞∈是当0x x →时f 的上极限(或下极限)的充要条件是(1) E β∈；(2) (),0y y ββδ∀><∃>或,使得当0,0x X x x δ∈<-<时成立()f x y <(或()f x y >).当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时的情形类似. 推论 设条件如同定理2.27,则sup max ,inf min E E E E ==.定理2.28 设,f g 是X 上的单变量函数,0x ∈是X 的极限点,则有(1) 0liminf ()limsup ()x xx x f x f x →→≤；(2) 0lim ()liminf ()limsup ()x xx x x x f x a f x f x a ∞→→→=∈⇔==；(3) 当00,0x X x x δ∈<-<时成立()()f x g x ≤⇒liminf ()liminf (),limsup ()limsup ()x x x x x x x x f x g x f x g x →→→→≤≤.当00,,,,x x x x x x x →+→-→+∞→-∞→∞时的情形类似.补充定义 设f 是X 上的单变量函数,0x X ∈是X 的极限点.若0limsup ()()x x f x f x →≤,则称f 在0x 处上半连续；若00liminf ()()x x f x f x →≥,则称f 在0x 处下半连续.命题 设f 是X 上的单变量函数,0x X ∈是X 的极限点.那么f 在0x 处连续⇔f 在0x 处既上半连续又下半连续.例(115P ,问题3)设f 是[,)a +∞上有界的连续函数,求证0λ∀>,{}n x ∃[,),lim n n a x →∞⊂+∞=+∞,满足lim(()())0n n n f x f x λ→∞+-=.证: 记limsup(()())x f x f x L λ→+∞+-=,liminf (()())x f x f x l λ→+∞+-=,则,l L ∈.(1) 当0l =或0L =时,结论显然成立.(2) 当0l L <<时,{},{}[,)n n y z a ∃⊂+∞,lim n n y →∞=+∞,lim n n z →∞=+∞,使得()()0n n f y f y λ+-<,()()0,n n f z f z n λ*+->∀∈.利用零值定理,可取(,)n n n x y z ∈使得()()0n n f x f x λ+-=.显然{}n x 满足要求.(3) 0l >或0L <这两种情形不会出现.(反证法)假定0l >成立,则N *∃∈,使得当x N λ≥时成立()()2lf x f x λ+->.故当n N >时成立1()()[()()]()2n k Nlf n f N f k f k n N λλλλλλ-=+-=+->-∑.这与f 有界相矛盾.同理,能证0L <不成立.□练习题2.11(118P ) 1,2,3.。