函数一致连续性的判定及性质
函数一致连续性的判定及性质
函数一致连续性的判定及性质摘要: 在函数的众多性质中，函数的一致连续性是非常重要的一个，它刻划出了函数在一个区间上的全局性，是理解数学中其它知识的基础，对这一性质的深刻理解与掌握能够很好的促进数学分析的学习，研究函数一致连续性必然要研究一致连续性的判定定理及性质，这有利于描绘函数的图像和进一步了解函数的性质。
本文简要概括了一元函数的一致连续性概念及连续与一致连续的联系与差别，并深入分析了函数一致连续的判定、性质及应用。
关键词: 一致连续性连续函数非一致连续极限可导The Judgemental Theorems and Properties of UniformContinuity for FunctionsAbstract The uniform continuity of function is a very important concept in the mathematical analysis course,it skins out the overall importance of function on an interval and it is a foundation in understanding other knowledge associated with mathematics . Deep understanding and mastering of this nature can promote us learning about mthematical analysis. Studying the judgemental theorems and properties of uniform continuity for function are useful for researching the uniform continuity of function ,and this helps us to depict the images of function and further understand the nature of the function. The paper summarizes the uniform continuity concept of the unary function and the difference between continuous function and uniformly continuous function, at the same time,it analysizes the determination, properties and application of uniformly continuous function in depth.Keywords consistent continuity continuous function non-uniform limit differentiable1 引言一致连续是数学分析上册第四章第2节所学到的一个概念，它能够帮助我们理解和解决很多问题。
函数的一致收敛性与一致连续性
函数的一致收敛性与一致连续性函数的一致收敛性和一致连续性是数学分析中重要的概念，它们对于函数的性质和性质的分析具有重要的作用。
本文将从定义、性质以及与其他概念之间的联系等多个方面对函数的一致收敛性和一致连续性进行探讨。
一、一致收敛性的定义与性质函数序列的一致收敛性是指对于给定函数序列{fn(x)}，当自变量x趋向于某个值a时，函数值fn(x)的极限也趋向于某个值f(x)，且这种趋向对序列中的每一个函数都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。
函数序列的一致收敛性具有以下性质：1. 一致收敛性是逐点收敛性的强化。
如果函数序列一致收敛于f(x)，那么它也是逐点收敛的，即对于每个x，极限lim(n→∞)fn(x)=f(x)成立。
2. 一致收敛性是逐点收敛性的逆命题不成立的。
即逐点收敛的函数序列未必一致收敛。
3. 一致收敛性的极限函数是唯一的。
一致收敛序列的极限函数f(x)是唯一的，即若序列{fn(x)}和{gn(x)}一致收敛于f(x)，则它们极限相等。
4. 一致收敛的函数序列在有界集上一致有界。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都有界，则极限函数f(x)在A上有界。
5. 一致收敛的函数序列在有界集上一致可积。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都可积，则极限函数f(x)在A上可积。
二、一致连续性的定义与性质函数的一致连续性是指对于给定函数f(x)，当自变量x取值在某个区间上时，函数的变化量可以任意小，并且这种性质对区间上的所有点都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在Δ>0，使得当|x1-x2|<Δ时，对于所有的x1和x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε成立。
函数的一致连续性具有以下性质：1. 一致连续性是局部性质。
论函数的一致连续
论函数的一致连续摘要：在数学分析中，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题提出和得不够，广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识，本文从一致连续的概念出发，总结了一致连续的条件、运算性质。
关键词：函数一致连续概念条件运算性质1.一致连续及其相关概念定义1设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上连续是指，某∈I，ε＞0，δ＞0，当某∈I且某-某＜δ时，有f（某）-f （某）＜ε.定义2设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上一致连续是指，对ε＞0，δ＞0（其中δ与ε对应而与某，y无关），使得对区间I上任意两点某，y，只要某-y＜δ，就有f（某）-f（y）＜ε.定义3设f（某）在区间I有定义，称函数f（某）在区间I上不一致连续是指，至少一个ε＞0，对δ＞0，都可以找到某′，某″∈I，满足|某′-某″|＜δ，但|f（某′）-f（某″）|≥ε.评注1：比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知，连续性的δ不仅与ε有关，而且与某有关，即对于不同的某，一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续，函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关，与某无关，即对于不同的某，δ是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续，而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的，反之，在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2：一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小.用定义证明f（某）在I上一致连续，通常的方法是设法证明f（某）在I上满足Lipchitz条件|f（某′）-f（某″）|≤L|某′-某″|，某′，某″∈I，其中L为某一常数，此条件必成立.特别地，若（某）在I上是有界函数，则f（某）在I上Lipchitz条件成立.2.一致连续的条件及有关结论2.1一致连续的条件定理1（G•康托定理）若函数f（某）在区间［a，b］上连续，则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的ε＞0，可以分区间［a，b］成有限多个小段，使得f（某）在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε，以下用反证法证之，若上述事实不成立，则至少对于某一个某＞0而言，区间［a，b］不能按上述要求分成有限多个小段.将［a，b］二等分为［a，c］、［c，b］，则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，把它记为［a，b］.再将［a，b］二等分为［a，b］、［c，b］，依同样的方法取定其一，记为［a，b］.如此继续下去，就得到一个闭区间套［a，b］，n=1，2，…，由区间套定理知，唯一的点c属于所有这些闭区间.因为c∈［a，b］，所以f（某）在点某=c连续，于是可找到δ＞0，使|某-c|＜δ（某∈［a，b］）时，|f（某）-f（c）|＜ε/2.注意到c==我们可取充分大的k，使|a-c|＜δ，|b-c|＜δ，从而对于［a，b］上任意点某，都有|某-c|＜δ，因此，对于［a，b］上的任意两点某，某都有|f（某）-f（某）|≤|f（某）-f（c）+f（c）-f（某）|＜+=ε.这表明［a，b］能按要求那样分为有限多个小段（其实在整个［a，b］上任意两点的函数值之差已小于ε了），这是和区间［a，b］的定义矛盾的，这个矛盾表明我们在开始时所作的反证假设是不正确的，从而定理的结论正确.评注3：定理1对开区间不成立.例如函数f（某）=在（0，1）的每一个点都连续，但在该区间并不一致连续.事实上，对于任意小的δ＞0，令某=δ，某=2δ，则|某-某|=δ，而|f（某）-f（某）|=-=，这时|某-某|可以任意小，但|f（某）-f（某）|可以任意大.函数f（某）=tan某在（-，）也有类似的情形.以上两例讨论的都是无界函数，而in在（0，1）内的每一点都连续，且显然在这个区间内有界，然而它也没有一致连续性，因为有任意小（因而也就彼此任意接近）的数某与某存在，使in=1，in=-1.定理2f（某）在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足（某-y）=0的任意两数列{某}、{y}，必有［f（某）-f（y）］=0.证明：必要性.若f（某）在I上一致连续，由一致连续性的定义，坌ε＞0，埚δ＞0，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|＜ε，即任两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，则必有|f（某）-f（y）|→0.充分性.用反证法，若两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，|f（某）-f（y）|→0而f（某）在I上不一致连续，那么一定埚ε＞0，对坌δ＞0，存在某，y，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|≥ε0，取δ→0，我们得到两数列{某}、{y}，当n→∞时，某-y→0，但|f（某）-f（y）|≥ε，这与假设［f（某）-f（y）］=0矛盾.评注4：定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如，函数f（某）=in，在区间（0，1）上是连续的且有界，但在此区间上并非一致连续.事实上，当某≠0时，由基本初等函数在其有定义的区间上连续知，f（某）是连续的，同时，由于|f（某）|≤1，因而它也是有界的.现考虑（0，1）上的两串数列某=，某′=，则当0＜ε＜1时，不论δ＞0取得多么小，只要n充分大，总可以使|某-某′|=＜δ，但是|f（某）-f（某′）|=1＞ε，因而f（某）在（0，1）上并非一致连续.定理3设f（某）在有限区间I上有定义，那么f（某）在I上一致连续的充要条件是对任意柯西（Cauchy）列{某}I，{f（某）}R′也是Cauchy列.证明：必要性.因f（某）一致连续，即对ε＞0，δ＞0，对某′，某″∈I，只要|某′-某″|＜δ，就有|f（某′）-f（某″）|＜ε.设{某}I为Cauchy列，于是对上面的δ＞0，必N＞0，使当n，m＞N时，有|f（某）-f（某）|＜ε，即{f（某）}是Cauchy列.充分性.若不然，必ε＞0，某′，某″∈I，虽然某′-某″＜，但是|f（某′）-f（某″）|≥ε，由{某′}有界知，存在收剑子列{某′}，从而{某″}也收剑于同一点，显然某″，某″，某″，…，是Cauchy列，但是f（某″），f（某″），f（某″），…，不是Cauchy列，此为矛盾，故f（某）在I上一致连续.定理4设f（某）在有限区间（a，b）上连续，则f（某）在（a，b）上一致连续的充要条件是f（a+0）、f（b-0）存在且有限.证明：充分性.令F（某）=f（a+0）（某=a），f（某）（某∈（a，b）），f（b-0）（某=b），则F（某）∈C［a，b］，因此F（某）在［a，b］上一致连续，从而f（某）在（a，b）上一致连续.必要性.已知f（某）在（a，b）上一致连续，所以对于ε＞0，δ＞0，当某′，某″∈（a，b）且|某′-某″|＜δ时，|f（某′）-f （某″）|＜ε成立.对端点a，当某′，某″满足0＜某′-a＜，0＜某″-a＜时，就有|某′-某″|≤|某′-a|+|某″-a|＜δ，于是|f（某′）-f（某″）|＜ε.由Cauchy收敛准则，f（a+0）存在且有限，同理可证f（b-0）存在且有限.评注5：（1）当（a，b）为无穷区间，本例中条件是f（某）在（a，b）上一致连续条件充分但不必要.例如f（某）=某，Φ（某）=in某，某∈（-∞，+∞）及g（某）=，某∈（0，+∞）均为所给区间上的一致连续函数，但f（-∞）=-∞，f（+∞）=g（+∞）=+∞，Φ（+∞）和Φ（-∞）不存在.（2）定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如，研究下列函数在所示区间上的一致连续性.（i）f（某）=（0＜某＜π）;（ii）f（某）=eco（0＜某＜1）.解：（i）因为=1，=0，所以f（某）在（0，π）内一致连续.（ii）因为co某不存在，所以f（某）在（0，1）内不一致连续.（3）由定理知，若f（某）∈C（a，b），则f（某）可连续延拓到［a，b］上的充要条件是f（某）在（a，b）上一致连续.定理5f（某）在区间I上一致连续的充要条件是，对ε＞0及某，y∈I，总正数N，使|f（某）-f（y）|＞N|某-y|（1）.恒有|f（某）-f （y）|＜ε（2）.证明：因为f（某）在I上一致连续的定义等价于：对坌ε＞0，埚δ＞0，使得对于坌某，y∈I，如果|f（某）-f（y）|≥ε（3），就有|某-y|≥δ.而题设条件为对ε＞0，N＞0，对某，y∈I，当不等式（3）成立时，|f（某）-f（y）|≤N|某-y|（4）充分性.若题设中条件成立，则由（4）式得|某-y|≥|f（某）-f（y）|，再由（3）式得|某-y|≥，所以对给定的ε＞0，只要取δ=，当某，y∈I，且满足（3）时，就有|某-y|≥δ成立.必要性.若f（某）在I上一致连续，则对任给的ε＞0，存在δ＞0，使当某，y∈I，且满足不等式（3）时，就有不等式|某-y|≥δ成立，故整数k，使得kδ≤|某-y|≤（k+1）δ.（5）不妨设某＜y，将［某，y］分成k+1等分，记某-1（i=1，…，k+1）为其分点，由（5）式知|某-某|=||＜δ，故|f（某）-f（某）|＜ε，i=1，2，…，k+1，||≤|f（某）-f（某）|/kδ＜＜令N=［］+1，则当I中的点某，y使（3）式成立时，必有（4）式成立，从而（1）式成立时，有（2）式成立.评注6：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范，它在理论研究上具有一定的意义.2.2一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题.命题1：设Φ（某）与ψ（某）在区间I上一致连续，则αΦ（某）+βψ（某）在I上一致连续（α，β为任意常数）.命题2：设Φ（某），ψ（某）在有限区间I上一致连续，那么ψ（某）ψ（某）在I上也一致连续.命题3：设Φ（某），ψ（某）在无限区间I上一致连续且有界，那么Φ（某）ψ（某）在I上也一致连续.其中“有界”的条件不可少，例如f（某）=某在（-∞，+∞）上一致连续，但无界，而f（某）•f（某）=某在（-∞，+∞）上不一致连续.命题4设Φ（某）在区间I上一致连续且infF（某）＞0，那么在I 上也一致连续.最后应指出，一致连续函数的反函数，一般说来，不再一致连续，例如f（某）=在（0，+∞）上一致连续而它的反函数f（某）=某在（0，+∞）内不一致连续，但可以证明在有限区间上，结论为真.。
数学分析考研函数一致连续性问题总结
下面证明 lim f (x) 存在:
x→a+
对于上面给定的 ∀ε > 0 存在对应的 δ > 0, 当任意的 x1, x2 ∈ U˚(a, δ) 时, 即当 |x1 − x2| < δ 时, 都有 |f (x1) − f (x2)| < ε(华东师范第四版数分上册 56 页柯西准则), 所以 lim f (x) 存在,
定理 1.1.1. 一致连续性定义: 设 f (x) 为定义在区间 I 上的函数, 若对 ∀ε > 0, 存在对应的 δ = δ(ε) > 0, 使得对 ∀x1, x2 ∈ I, 只要 |x1 − x2| < δ, 就有 |f (x1) − f (x2)| < ε
例 1.1.1. 设 f (x) 在有限开区间 (a,b) 上连续, 则 f (x) 在有限开区间 (a, b) 上一致连续
2. f 在开区间 (a, b) 可导
则在
(a, b)
上至少存在一点
ξ
使得
f ′(ξ)
=
f (b)−f (a) b−a
现在将这个等式转换一下:f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b − a). 这个等式的好处就是两个函数值的 差可以跟对应的自变量的差建立联系, 这一点在一致连续性问题上利用很多, 一定要认真对待.
x→0+
在零这一点单侧极限不存在, 故假设不成立, 所以函数在此区间上不一致连续.
基本初等函数的一致连续性
基本初等函数的一致连续性
基本初等函数的一致连续性是指初等函数的头尾之间的连续性。
一致
连续性主要指的是函数的变化不突然，是连续的，也就是变化之间相
互交织。
在数学上，它可以定义如下：
1. 函数的连续性：函数的连续性指的是在取值之间无缝衔接的能力，
当一个函数在每个交点衔接一条完整的曲线，不存在突然变化的情况时，它就是连续的。
函数的连续性可以判断一个函数是否连续。
2. 函数的一致性：函数的一致性指的是函数在整个域上的变化行为，
它表明函数在整个域内是持续增减或单调递增/减，没有任何折点或跳动。
3. 基本初等函数的一致连续性：它指的是初等函数的头尾之间的连续性。
只有按照连续性的要求，函数的值能够按照某种唯一的预定的方
式缓慢变化，函数才能被称为一致连续的。
4. 一致连续性有助于确定基本初等函数的有限个实际值导致函数值变化：用唯一方式按照连续性标准缓慢变化，并且维持该函数的稳定性。
5. 一致连续性有助于理解一些抽象的函数的性质：萃取出特定的特征，满足一定的数学规律，用符号进行描述或表示，让抽象的函数变得更
加容易掌握。
6. 一致性的重要性：一致性对于函数的连续性是至关重要的，它定义了基本初等函数的变化和行为，它决定了函数是否有可能到达期望的极限，从而使极限理论变得有意义，从抽象函数获取有用的信息。
另外，一致性也是几何概念的基础，可以说它是数学在极限理论中的一种传播工具，一致性决定了数学操作的有效性。
函数的一致连续性及其应用
函数的一致连续性及其应用本文以函数的连续性为基础，一致连续性的定义为出发点，重点深入分析函数的一致连续性.教材一般只给出定义来判断函数是否一致连续，这对一些函数来说是比较复杂且难以解决的.因此本文主要对一元函数在各种区间上讨论函数的一致连续性的判断条件和方法，以及一些性质和应用，能够在教材的基础上更加全面地了解函数的一致连续性.1.2预备知识为了便于理解,现将本文涉及的一些相关定义和定理罗列如下.定义1.2.1[1]设函数在某上有定义，若，（1-1）则称函数在点连续，若函数在区间上的每一点都连续，则称在上连续.定义1.2.2[2]若函数在区间上有定义，称（1-2）为在区间上的连续模.定义1.3.1[1]设为定义在区间上的函数.若对任给的，存在，使得对任何，只要，就有，（1-3）则称函数在区间上一致连续.注：函数在区间上一致连续表明无论两点，在中处于什么位置，只要它们的距离小于，而这只与有关，就可以使.这个定义是教材中最常用的定义，根据定义还能扩展推理得到更多判断函数一致连续的条件和方法，这些本文后面会逐渐说明.由此，还可以得到函数在区间不一致连续的定义：，对，存在，使得当时，有.（1-4）引理1.2.1[3]有限区间上的一致连续函数必有界.引理1.2.2[1]设区间的右端点为，区间的左端点也为，若分别在和上一致连续，则在上也一致连续.2函数一致连续性的判断条件（1）引理2.1[1]函数在上一致连续的充要条件为：对任何数列，若，（2-1）则.（2-2）类似用归结原则来判断函数的连续性，这里通过数列来判断函数的一致连续性，但是直接用来证明函数的一致连续可能会很麻烦，因为这要验证任意的数列，因此一般用来证明函数的不一致连续比较方便，而这又与数列有关，可适用于含有三角函数和幂函数的函数.例2.1证明函数在上不一致连续.证：令，（2-3）则.（2-4）但是，（2-5）在上不一致连续.例2.2判断函数在上的一致连续性.解：令，（2-6）则.（2-7）而，（2-8）在上的不一致连续.从这两个简单的例子可以知道应用（1）中的结论是非常方便快捷的，如果用定义来判断函数的一致连续性还需要进行推理化简得到定义的形式，甚至有时候根本无法化简.由此可知定义无法满足解决函数一致连续性的需求，还需总结更多的判断函数一致连续性的条件和方法.（2）函数在上一致连续的充要条件为【2】：.证：若在上一致连续，则对当时，有，所以，（2-9）从而当时，有，（2-10）所以.（2-11）若，则对，有，（2-12）所以，（2-13）因此当时，有，（2-14）在上一致连续.这里可以通过连续模的极限来判断函数的一致连续性,其实也是从定义出发，观察函数的图像的陡峭程度来进行描述，但是这个往往用得比较少.（1）和（2）适用于函数所在定义域的所有区间，而在一些特殊区间还要进行如下讨论.（3）一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续【1】.这个定理也叫康托尔定理，其实从函数一致连续的定义可以知道如果一个函数在区间上一致连续，那么它肯定在上连续.这个定理直接就将闭区间上的函数的连续性和一致连续性联系起来，说明了只有在闭区间上的连续函数才必定一致连续.但是如果不在闭区间上时，那么通过分析这个定理可以知道要判断在有限开区间上的函数是否一致连续，还需要分析函数在区间端点连续性.所以可以得到以下结论：（4）函数在上一致连续的充要条件为：在上连续，存在且有限.证：在上一致连续，在上连续，且对，当时，有.当时，由柯西收敛准则知存在且有限.同理当时，知存在且有限.构造函数（2-15）则在上连续，根据（3）中一致连续定理知在上一致连续，在上也一致连续，在上一致连续.例2.3证明在上一致连续.证：由在上连续，知，（2-16）在上一致连续.这些只是在函数一致连续性有限区间上的讨论，还可以类似进一步在无限区间中展开讨论.（5）若函数在上连续，，存在且有限，则函数在上一致连续.但是反之是不成立的，比如在上是一致连续的，但是是不存在的.所以在无限区间上的时候要注意这个问题.通过以上讨论,也可以用类似方法判断连续函数在，，，，，上的一致连续性,具体内容不再一一重复.总之，（3）-（5）判断函数一致连续性的条件是函数在区间上连续并且在区间端点的极限要存在，都应用到了函数的连续性，这也说明了一致连续和连续有着非常密切的关系.从而根据（3）-（5）还能得到以下结论：（6）若函数在区间上单调有界且连续，则在上一致连续.证明：由在区间上单调有界，则对，存在，而且连续，根据（3）-（5）的结论可知在上一致连续.2.4判断是否一致，是否连续？解：对，有，（2-17）在上连续，又因为，（2-18）在上一致连续.3函数一致连续性的判断方法3.1函数一致连续性在一般区间的判断方法（1）定义法.一般根据函数一致连续性的定义都能判断一个函数是否一致连续，很多证明方法都是从定义出发的，这也是最常用的方法，而根据函数一致连续性的定义，还能将其扩展得到以下结论：若函数在区间上满足利普希茨条件：.（3-1）其中是是常数，则在上一致连续.证：对则当时，有，（3-2）所以在上一致连续．由证明过程可知函数化成利普希茨条件的形式其实是对函数一致连续性定义的直接应用，这将定义具体化，提供了解题思路.例3.1设，证明在上一致连续．证：对，有.取，那么根据（1）就知在上一致连续.（2）导函数有界法.根据导函数有界，可以间接地得到（1）中的结论.有时候一个函数太复杂，有时候无法将题目直接化简成（1）中利普希茨条件的形式，也就是说用定义无法简单地证明这个函数一致连续.这时可以从导函数入手.当导函数比较简单时，只要知道这个函数的导函数有界，就能判断这个函数是否一致连续.也就得到以下结论：若函数在区间上可导，且在上有界，则在上一致连续.证明：因为在上有界，所以，使，（3-3）又因为在可导，由拉格朗日中值定理，知对，有，（3-4）所以.（3-5）所以根据（1）可知在一致连续．3.2函数一致连续性的比较判别法（1）定理3.2.1【4】函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.这个方法是通过构造一个函数，通过两个函数的比较以及所构造的函数是否一致连续来判断原函数是否一致连续.它比较灵活，表面看好像大多函数都能通过这个方法判断一致连续性，特别是一些复杂的函数，但是前提是要知道所构造函数的一致连续性并且两个函数比较之后的极限要存在，而通常基本初等函数的一致连续性是比较好判断的.因此如果题目中的函数含有基本初等函数，则可以考虑这种方法.函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）函数，若，，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.例3.2.1证明函数在上一致连续.证明：令，（3-6）则，（3-7）取,则有.（3-8）在上一致连续，在上一致连续.3.3函数一致连续性的比值判别法（1）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3）,其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.证明：根据洛必达法则,知，（3-9）设在上一致连续，则对当时，有，（3-10）因为，（3-11）所以对，使，（3-12）由柯西微分中值定理知，，使，（3-12）所以，（3-13）所以对，有，（3-14）从而有，（3-15）所以，（3-16），有，（3-17）因此，在上一致连续.在上连续，在上一致连续.在上一致连续.同理还可证明若在上一致连续，则在上一致连续.如果一个函数是无穷大量并且可导，那么可以通过构造一个已知一致连续性的无穷大量的可导的函数，通过两个导函数的比值关系，其实也是这两个函数的比值，将两者的一致连续性联系起来，这样就能判断了，这与比较判别法类似，都是构造函数，只是条件不一样.由（1）知函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（5）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（6）设函数，且函数满足1），；2）可导，且；3），其中是非零常数，则函数具有相同的一致连续性.3.3确定上的函数是否一致和连续？解：在上不一致连续.令，（3-18）则.（3-19）又因为在上连续，且，（3-20）而在上不一致连续，在上不一致连续.无论是在有限区间还是无限区间，比较判别法和比值判别方法都可以适用.4函数一致连续性的性质函数的连续性满足四则运算，一致连续性也如此.（1）若函数在上一致连续，则在上一致连续.证明：在上一致连续，对，当时，有，（4-1）又在上一致连续，当时，有，（4-2）故对，取，则对，当时，有，在上一致连续.（2）若函数在上一致连续，则，在上一致连续.（3）若函数在上一致连续且有界，则在上一致连续.（4）若函数在上一致连续，函数在上一致连续且，则在上一致连续.例4.1设函数在上一致连续，证明在上也一致连续.证：在上一致连续，令，则在上连续，在上一致连续.又在上有界，在上一致连续，在上一致连续.因此在上一致连续.5两种函数的一致连续性5.1周期函数的一致连续性如果函数的周期为，在上有定义且连续，则函数在上一致连续.证：在上连续，在上连续.根据一致连续性定理知在上一致连续，对，当时，有.令，当时，存在正整数，使，（5-1）,（5-2）所以.（5-3）故在上一致连续.这个针对周期函数的一致连续性，将连续和一致连续的关系连在一起.有些函数是周期函数，如三角函数等，但是如果直接用定义或者其他方法来证明它是一致连续的，有时候很难化简得到结果或是无从下手，此时就可以通过连续性来判断一致连续性，从而得到结论．例5.1.1证明函数在上一致连续．证：是以为周期的周期函数，并且在上连续，根据周期性知在上连续，因此在上一致连续．例5.1.2证明在上一致连续.证：因为，（5-4）的周期为，即是周期函数.由上题知，（5-5）在上连续，所以在上连续，故在上一致连续.5.2幂函数的一致连续性（1）函数在上是一致连续的.证：当时，根据例4.1的证明过程知在上一致连续；当时，知，（5-6）根据一致连续性的定义，对当时，有，（5-7）所以在上一致连续.（2）对任意的，函数在上一致连续,在上不一致连续，也就是在上不一致连续.证明：在上连续，在上一致连续.,当时，根据拉格朗日中值定理知，存在介于之间，使，（5-8），使，（5-9）所以，（5-10）则有.（5-11）在上不一致连续，在上不一致连续.例2.2中可以直接用（2）的结论来说明在上是不一致连续的.。
2.9函数的一致连续性
.
sn − t n
1 1 1 1 = − = < . n n + 1 n ( n + 1) n
但 f ( s n ) − f ( t n ) = ( n + 1) − n = 1 ≥ = 在[σ ,+∞ )上一致连续 .(σ > 0) x
证明： ∀s , t ∈ [σ ,+∞ ).
而对任意的 x1, x 2 ≥ 0, 无妨设x 2 ≥ x1 ≥ 0，此时x 2 ≥ x 2 − x1 ,
易见 x1 + x 2 ≥
x2 ≥
x1 − x 2
x1 − x 2
x1 − x 2 ∴ f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ = x1 − x 2
∀ ε > 0,
总有
取δ = ε 2 ,
进而 x n 在 [0,+∞ )上不一致连续 .
xµ 一致连续性 ?
1 例 ：讨论f ( x) = 在 4 (0,1)上一致连续. x
y
1 f ( x) = x
ε
ε
o
{ δ x'
12 44 3 δx
x
1 例4. f ( x ) = x 在 (0,1) 上不一致连续 1 1 解： 令 s n = , tn = ， n+1 n
f ( x ) = sin x
2
ε
δx δ x'
ε
例6：f ( x ) = sin x 2 在Ｒ上的一致连续性
证明： 证明：
nπ (n+1)π , tn = 取ε0 = 1, sn = 2 2
π
nπ (n+1)π π 2 sn − tn = − = < 2 2 (n+1)π (n+1)π n + 2 2
函数的一致连续性(老黄学高数第131讲)
2、证明函数y= 在(0,1)内不一致连续. （尽管它在(0,1)内每一点都连续） 证：(如图)取ε0=2，对足够小的正数δ< ，有 x’=δ，x”= ，使|x’-x”|= <δ，
而
= >ε0.
∴y= 在(0,1)内不一致连续.
1、试用一致连续的定义证明： 若f,g都在区间I上一致连续，则f+g也在I上一致连续.
老黄学高数
第131讲 函数的一致连续性
设f为定义在区间I上的函数，若对任给的ε>0， 存在δ>0，使对任何x’，x”∈I，只要|x’-x”|<δ，就有 |f(x’)-f(x”)|<ε，则称函数f在区间I上一致连续.
1、证明f(x)=ax+b(a≠0)在R上一致连续. 证：任给ε>0，对任何x’，x”∈R， 要使|f(x’)-f(x”)|=|(ax’+b)-(ax”+b)|=|a|·|x’-x”|<ε， 只要取δ= >0，则当|x’-x”|<δ时，就有|f(x’)-f(x”)|<ε，
证：∵f,g在I上一致连续，∴∀ε>0， ∃正数δ1和δ2，使 对任何x’,x”∈I，只要|x’-x”|<δ1，就有|f(x’)-f(x”)|<ε/2； 只要|x’-x”|<δ2，就有|g(x’)-g(x”)|<ε/2； 取δ=min(δ1,δ2)，则只要|x’-x”|<δ，就有 |[f(x’)+g(x’)]-[f(x”)+g(x”)]|=|[f(x’)-f(x”)]+[g(x’)-g(x”)]| ≤|f(x’)-f(x”)|+|g(x’)-g(x”)|<ε， ∴f+g也在I上一致连续.
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函数一致连续性的判定及性质摘要:在函数的众多性质中，函数的一致连续性是非常重要的一个，它刻划出了函数在一个区间上的全局性，是理解数学中其它知识的基础，对这一性质的深刻理解与掌握能够很好的促进数学分析的学习，研究函数一致连续性必然要研究一致连续性的判定定理及性质，这有利于描绘函数的图像和进一步了解函数的性质。
本文简要概括了一元函数的一致连续性概念及连续与一致连续的联系与差别，并深入分析了函数一致连续的判定、性质及应用。
关键词:一致连续性连续函数非一致连续极限可导The Judgemental Theorems and Properties of UniformContinuity for FunctionsAbstract The uniform continuity of function is a very important concept in the mathematical analysis course,it skins out the overall importance of function on an interval and it is a foundation in understanding other knowledge associated with mathematics.Deep understanding and mastering of this nature can promote us learning about mthematical analysis.Studying the judgemental theorems and properties of uniform continuity for function are useful for researching the uniform continuity of function,and this helps us to depict the images of function and further understand the nature of the function.The paper summarizes the uniform continuity concept of the unary function and the difference between continuous function and uniformly continuous function,at the same time,it analysizes the determination,properties and application of uniformly continuous function in depth.Keywords consistent continuity continuous function non-uniform limit differentiable1引言一致连续是数学分析上册第四章第2节所学到的一个概念，它能够帮助我们理解和解决很多问题。
教材中给出了一元函数一致连续性的的定义和判断函数在闭区间上一致连续的一致连续性定理(若函数在闭区间上连续，则它在闭区间上一致连续),但是当我们应用时这些内容往往不够，使用定义证明函数在区间上一致连续是非常复杂且不易想到的，一致连续性定理的使用条件又比较苛刻，因此有必要探索判别函数一致连续的其它方法。
本文从一致连续性出发结合连续、极限、导数、绝对连续等概念性质给出了另外几种判定函数在开区间、任意区间以及无穷区间一致连续的判定定理及证明，并总结了函数一致连续的若干性质，并在此基础上列举了几个典型具体的例子来分析函数一致连续性的应用。
２一致连续性的概念及其与连续性质的联系与差别定义1①：设f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0,存在δ=()εδ>0,使得对任何x '，x ''∈I ，只要|x '－x ''|<δ，就有｜()()f x f x '''-｜<ε，则称函数f 在区间I 上一致连续。
(1)函数f 在区间I 上连续，是指任给ε0>，对每一点x ∈I ，都存在相应正数δ＝(),x δε，只要x '∈I 且｜x －x '｜<δ，就有｜()f x －()f x '｜<ε，δ的取值除依赖ε之外还与点x 有关，()f x 在区间I 上一致连续是()f x 的一个整体性质，由函数在区间上的一致连续性必可推出它在区间上的连续性。
（2）函数的一致连续性意味着对于区间上的任意两点只要它们的距离无限接近，就可以使它们的函数值无限接近。
（3）要证明函数f 在某区间I 上非一致连续，只要证明：存在某0ε>0对于任何δ总存在两点x '，x ''∈I ，尽管|x '－x ''|<δ，但有()()f x f x '''->0ε３函数一致连续性的判定判定１②函数()f x 在区间(),a b 上连续且f ()0a +与()0f b -都存在⇔()f x 在(),a b 上一致连续。
证明：充分性令①华东师范大学数学系．数学分析[M]，高等教育出版社，2001，79P ．②常明．一元函数一致连续性的判定及性质[J],平顶山市宝丰一高，2009，下旬刊．()G x =()()()()0,,,0,f a x a f x x a b f b x b +=⎧⎪∈⎨⎪-=⎩f ()0a +与()0f b -都存在，又lim x a+→()f x =f ()0a +=()a G ,所以可得()G x 在点x a =是连续的，又因为lim x b-→()f x =()0f b -=()G b ，所以()G x 在点x b =是连续的,又由假设知道()f x 在(),a b 上是连续的，可推出()G x 在闭区间上连续,由一致连续性定理，从而可推出()G x 在闭区间上一致连续，即()f x 在区间(),a b 上一致连续。
必要性()f x 在(),a b 上是一致连续的，由一致连续性定义,ε∀>0,δ∃0>对任何x ',x ''∈(),a b ，当|x '－x ''|<δ，有｜()()f x f x '''-｜<ε，所以可以得出对任意x '，x ''∈(),a b ，当x ',x ''∈(),a a δ+时有|x '－x ''|<δ，故有｜()()f x f x '''-｜<ε由已学数学分析知识知(0)f a +=lim x a+→()f x 存在同理可推出()0f b -=lim x b-→()f x 存在,综上所述判定1即可被证明。
判定2①f 在某区间I 上一致连续的充要条件是对{}{},n n x y ∀⊂I ,当()lim 0n n n x y →+∞-=有()()()lim 0n n n f x f y →+∞-=。
证明：充分性函数f 在区间上非一致连续，即知存在0ε>０对任何δ>0，∃,x y ∈I ,当|n x -n y |<δ时有lim n →+∞|()()n n f x f y -|0ε≥,取21n n =δ，3,2,1=n ，于是存在n x ，n y I ∈且满足|n x -n y |<21n ，|()()n n f x f y -|0ε≥，显然()lim 0n n n x y →+∞-=，但由假设()()()lim 0n n n f x f y →+∞-≠，这矛盾,所以f 在区间I 上一致连续。
必要性()f x 在(),a b 上是一致连续由一致连续性的定义知,对ε∀>0,存在正数δ，对任意的,x y ∈I ，只要|x y -|<δ就有()()f x f y ε-<，又因为()lim 0n n n x y →+∞-=，对①范新华．判别函数一致连续的几种方法[J]，常州工学院学报，2004（8），第17卷第4期．上述的δ，存在N >0，当N n >时有|n x -n y |<δ，从而有|()()n n f x f y -|<ε。
即可推出()()()lim 0n n n f x f y →+∞-=。
综上即可论证。
判定3①对于区间I 上的任意1x ，2x ，如果|()1f x -()2f x |≤L ｜1x －2x ｜,其中L >0,则f 在区间I 上一致连续。
证明：对任意的ε>0,取δ=Lε>0,对任意1x ,2x ，当｜1x －2x ｜<δ时有|()1f x -()2f x |≤L 12x x -<L ⋅Lε<ε所以可推出f 在区间I 上一致连续。
判定4设()f x 在区间)[∞+,a 上连续，()h x 在区间)[∞+,a 上一致连续且()()lim ||0x f x h x →+∞-=，则()f x 在区间)[∞+,a 上一致连续。
证明：由()()lim ||0x f x h x →+∞-=可推出对于任意的ε>0,存在G >a ，对任意的1x ，2x ≥G ，有｜()1f x －()1h x ｜<3ε｜()2f x －()2h x ｜<3ε又()h x 在区间)[∞+,a 上一致连续，所以对上述ε>0,存在δ>０对任意的1x ，2x ≥G 且｜1x －2x ｜<δ有｜()1h x －()2h x ｜<3ε综上所述，对任意1x ，2x >G 且｜1x －2x ｜<δ，有|()1f x -()2f x |≤｜()1f x －()1h x ｜+｜()1h x －()2h x ｜+｜()2f x －()2h x ｜<3ε+3ε+3ε①钱吉林．等数学分析题解精粹[M]，崇文书局，2003，234P ．<ε所以()f x 在[)+∞G,一致连续，又显然()f x 在[],1a G +上一致连续可推出()f x 在区间)[∞+,a 上一致连续。
推论1：设()f x 在区间(],b -∞上连续，()h x 在区间(],b -∞上一致连续且()()lim ||0x f x h x →-∞-=，则()f x 在区间(]b ，∞-上一致连续。