函数的一致连续性

（23.1）
于是，对 ∀ ε > 0 ，取δ = ε /2 。则当 | x − x0 |< δ 时 （即 x ∈U (x0;δ ) ），由
（23.1）有
| f (x) − f (x0 ) |≤ 2 | x − x0 |< ε 于是， limx→x0 f (x) = f (x0 ) ，即 f (x) 在 x0 处连续。证毕。
。事实上我们可以先取定 x1 ∈(0,δ ) ，由于 limx→0+
1 x
=
+∞ ，故可以找到 x2 ∈(0,δ )
使得
f ( x2 ) > f ( x1) + 2 ， 从而得到 | f (x1) − f (x2 ) |> 1 =ε0 。证毕。
（23.2）（23.3）可得
|
f
(x) −
f
( x0 ) |<
2 x02
|
x
−
x0
|< ε
于是， limx→x0 f (x) = f (x0 ) ，即 f (x) 在 x0 处连续。证毕。
注记 23.1. 第一个例子中，正数δ （我们在那里取δ = ε /2 ）的选取与点
x0 的取值无关。在第二个例子中正数δ （我们在那里取δ = min{δ1,δ2} ，
关于一致连续性，我们有下列重要定理，其证明在此略去。
定理 23.1. （康托定理）闭区间上的连续函数是一致连续的。
注记 23.2：开区间上的连续函数不一定是一致连续的。
定理 23.2.开区间 (a,b) 上的连续函数 y = f (x) 是一致连续的当且仅当极限 limx→a+ f ( x) 和 limx→b− f ( x) 存在。
δ1
=
min

x0 2
, 1 − x0 2

，
δ
2
=
x02 2
ε
）的选取与点
x0 的取值密切相关。当
x0 离 0 越
近，正数δ 就越小。事实上，我们不可能像第一个例子那样找一个公共
的正数δ ，对所有 x0 ∈ (0,1) 都适用。
定义 23.1：对于定义在区间 I 上的函数 y = f (x) 。若对于任意给定的正数 ε > 0 ，总存在δ > 0 ，使得对任意两点 x1, x2 ∈ I ，只要|x1 − x2 |< δ ，就有 | f (x1) − f (x2 ) |< ε 成立，我们则称函数 y = f (x) 在区间 I 上一致连续。
例子
23.1：函数
y
=
f
( x)=
1 x
，
x ∈(0,1)
不是一致连续的。
证明：这个结论可以直接从上面的定理 23.2 中得到。下面我们使用注记 23.2
（II）来加以证明。为此，我们取ε0 = 1，并证明无论取多小的正数δ > 0 ，我
们总能找到两个点 x1, x2 ∈(0,1) ，使得|x1 − x2 |< δ 但同时有 | f ( x1) − f ( x2 ) |> 1 =ε0
f
( x0 )
|=
1 x
−
1 x0
=| x − x0 | < xx0
2 x02
|
x
−
x0
|
（23.2）
于是，对 ∀ ε > 0 ，我们有
2 x02
|
x
−
x0
|<
ε
当|
x
−
x0
|<
x02 2
ε
:= δ2 时
（23.3）
取δ = min{δ1,δ2} ，则当 | x − x0 |< δ 时 （即 x ∈U (x0;δ ) ），由
例子 23.2. 证明函数=y
f= ( x)
1
x 在开区间 (0,1) 上连续。
证明：任意取定 x0 ∈ (0,1) ，我们有
|
f (x) −
f
( x0 )
|=
1 x
−
1 x0
=| x − x0 | xx0
于是，当
|
x
−
x0
|<
min

x0 2
,
1
− x0 2

:= δ1 时有
| f (x) −
注记 23.2：（I）从上述定义不难看出，若函数 y = f (x) 在区间 I 上一致连续， 则它在区间 I 上必然连续。 （II）对于定义在区间 I 上的函数 y = f (x) ，它在区间 I 不是一致连续的充 分必要条件是存在正数ε0 > 0 ，使得对任意正数δ > 0，我们总能找到两个点 x1, x2 ∈ I 满足|x1 − x2 |< δ 但同时有 | f ( x1) − f ( x2 ) |≥ ε0 成立。
第二十三讲、函数的一致连续性
例子 23.1. 证明函数 =y f (x=) x2 −1 在闭区间[0,1] 上连续。
证明：任意取定 x0 ∈[0,1] （如果 x0 取两个端点时，则考虑左右极限），
我们有
| f (x) − f (x0 ) |= | (x2 − 1) − (x02 − 1) |= | (x + x0 )(x − x0 ) | ≤ (| x | + | x0 |) | x − x0 |≤ 2 | x − x0 |