函数的一致连续性
函数的一致连续概念和康托尔定理
第5讲 函数一致连续概念和康托尔定理【点评】函数的“一致连续性”(或“均匀连续性”)是初学者学习微积分的难点。
在一元函数微积分中，讲函数的一致连续概念和康托尔定理是为了证明闭区间上连续函数的可积性。
除数学专业外，其它专业用的微积分教科书中，很少有教科书讲到这些内容，因为这些教科书中都是让学生记住“闭区间上连续函数是可积的”这个结论，而没有给出这个结论的证明。
读者已经知道，函数)(x f 在点0x 是连续的，用“δε-”的话说，就是满足条件：“任意给定正数ε，都有正数0(,)x δδε=，使当||x δ∆≤时，00()()f x x f x ε+∆-≤” 这里的),(0εδδx =(*)不仅与ε有关，而且一般说与点0x 也有关。
例如函数)0(1)(+∞<<=x xx f (见右图) 它在每一点),0(0+∞∈x 都是连续的。
事实上，不妨认为02x x ≥，则||211)()(0200000x x x xx x x x x x f x f -≤-=-=- 因此，对于任意给定的正数ε，只要取正数⎭⎬⎫⎩⎨⎧=εδ2,2min 20xx ，则当0||x x δ-≤时，就有εεδ=⋅≤<-≤-222||2)()(220200200x x x x x x x f x f可见，对于给定的正数ε，0x 越靠近原点O ，能使000()()()f x f x x x x εδδ-≤-≤≤+成立的正数),(0x εδδ=就应当越小；而且不可能有一个与),0(0+∞∈x 无关的正数)(εδδ=，对所有的),0(0+∞∈x 都能成立000()()()f x f x x x x εδδ-≤-≤≤+这就是说，满足连续条件的那个正数),(0x εδδ=，关于所有的),0(0+∞∈x 的“步调”是不一致的，或者说函数()1f x x =在区间),0(+∞内的连续性是不均匀的．．．．。
函数在区间上的“一致连续性”是近代微积分中的重要概念之一，也是初学者学习微积分的难点之一。
浅谈函数的一致连续性.doc
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州121000中国）摘要:在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打卜'了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people to have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
关于函数一致连续性的研究
II
关于函数一致连续性的研究
目录
第一章 绪 论 ....................................................... 1 1.1 选题背景........................................................ 1 1.2 研究意义........................................................ 1
第四章 常见函数的一致连续性问题 .................................... 18 4.1 基本初等函数的一致连续性....................................... 18
4.1.1 幂函数.......................................................... 18 4.1.2 指数函数 ........................................................ 19 4.1.3 对数函数 ........................................................ 20 4.1.4 三角函数 ........................................................ 21 4.1.5 反三角函数 ...................................................... 22
3.8 二元函数的一致连续性问题....................................... 16
6函数的一致连续性概念与应用练习参考解答
§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答1． 若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。
2． 试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在[],a b 上也一致连续。
3． 证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。
4． 证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。
(2) 函数2)(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。
5． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。
6． 求证下列函数在指定区间上一致连续：(1) ()1f x x=， ()0a x <≤<+∞； 2) ()f x = ()0x ≥。
证 (1) 0ε∀>，取2a δε=， 则当212x x a ε-<时， 有12122121211x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ∀≥。
即得()1f x x=在[),a +∞上一致连续。
(2) 设210x x >≥， 则有=≤即有。
于是， 对0ε∀>， 30δε∃=>， 对12,0x x ∀≥， 当21x x δ-<时， 有ε≤<即得()f x 在0x ≥上一致连续。
7． 求证下列函数在指定区间上不一致连续。
(1) ()()1sin01f x x x=<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。
证 (1) 取'12nx n π=，''122n x n ππ=+， ()1,2,n =，则有()'''lim 0n n n x x →∞-=。
而 ()()()'''lim lim11n n n n f x f x →∞→∞-==。
《一致连续性定理》课件
定理内容
定义：什么是一致连续性？ 一致连续性是指对于函数，无论在哪个位置，只要自变量之间的距离足够小，函数值的变动也会足够小。 定理表述 一致连续性定理表述了当函数在一个闭区间上连续时，函数在此区间上具有一致连续性的条件。 证明思路 我们将通过分析函数的导数或利用极限定定理的应用 一致连续性定理在微积分、数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用，可 用于证明极限存在性、函数的收敛性等。 实例分析 我们将通过一些实际例子展示一致连续性定理的具体应用，以加深对该概念 的理解。
总结
重要性再强调 一致连续性定理在数学分析中扮演着重要的角色，为我们提供了判断函数连续性的有力工具。 要点回顾 - 一致连续性是函数在整个定义域上的连续性表现。 - 一致连续性定理为判断函数连续性提供了便捷方法。 - 一致连续性定理的应用广泛，能解决实际问题中的连续性要求。
《一致连续性定理》PPT课件
欢迎来到我们的《一致连续性定理》PPT课件！在本次课件中，我们将深入介 绍一致连续性及其重要性，并探讨其应用和实例分析。让我们开始吧！
一致连续性是什么？
一致连续性是数学中的一个重要概念，指的是函数在整个定义域上的连续性 表现
一致连续性定理的重要性
一致连续性定理为我们提供了一种判断函数连续性的便捷方法，广泛应用于 数学分析和实际问题求解中。
一致连续性的判定
一致连续性的判定摘要：一致连续的问题在数学分析中经常遇到。
此论文主要讨论了一致连续性的几种常用的判定方法。
论文分为四个部分，逐层对一致连续的判定进行研究。
第一部分是用定义判定，定义最原本，是所有判定方法的源头，它有两种表述，表述一判定一致连续较为方便，表述二判定不一致连续较为方便。
第二部分用Cantor 定理判定，这比较快，在满足条件的情况下用起来方便。
第三部分是利用函数的周期性判定，这也就给出了不是周期函数的判定方法。
第四部分运用导函数有界来判定，这便把导数与连续贯穿起来了关键词：函数 连续 一致连续函数的连续性是指函数在0x x =处的函数值是否等于函数在0x 的函数的处的极限值，而函数的一致连续性主要是指在函数连续的基础上，研究由自变量的微小变化，而引起的函数值的变化值的上确界是否是零，因此一致连续性比连续要强，连续函数顾名思义，是一条连绵不断的曲线，一致连续的函数不仅仅只满足连绵不断了，那么什么样的函数才是一致连续的呢，从而能否判定一个函数是否一致连续成为人们重视的课题。
下面我们就针对一致连续的判定做一个简要的总结。
一、利用定义判定一致连续性的一种定义是：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0存在δ=δ（ε）>0使得对任何'x ,I x ∈",只要|"'x x -|<δ,就有|)"()'(x f x f -|<ε,则称函数f 在区间上一致连续I 。
定义适用范围广，但用起来不太方便。
但从这里可以立即推出若在)(x f [)上满足+∞,1Lipthitz 条件|)"()'(x f x f -|≤L |'x －"x |。
0,",'>∈∀L I x x 其中为某一常数，则必一致连续。
一致连续还有一种另一种表述。
即下面的定理：设I 为有限区间，)(x f 在I 上有定义，试证：f(x)是在I 上一致连续充分必要条件是f 把Cauthy 序列（即当{x n}为Cauthy 序列时，|)(x f |亦为Cauthy 序列。
连续函数的一致连续性与利普希茨连续性的区别
连续函数的一致连续性与利普希茨连续性的区别连续函数是一种在数学分析中广泛研究的函数类型。
在研究连续函数时，我们常常需要探讨它们的一致连续性和利普希茨连续性。
尽管这两种连续性概念都与函数的连续性相关，但它们在定义上和性质上存在一些区别。
本文将深入探讨连续函数的一致连续性和利普希茨连续性的区别和联系。
一、连续函数的定义连续函数是指在函数定义域内，对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε成立。
换句话说，对于每一个函数值f(x0)，无论x0的取值如何，其邻域内总存在一个邻近点x，使得函数值f(x)的邻域也在ε的范围内。
二、连续函数的一致连续性连续函数的一致连续性是指对于函数定义域内的任意给定ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，对于函数上的所有点x和y，都有|f(x)-f(y)|<ε成立。
从这个定义可以看出，一致连续性要求函数在整个定义域上都具有相同的连续性，不受函数值和邻域的影响。
三、利普希茨连续性的定义利普希茨连续函数是指在函数定义域内，存在一个常数K>0，使得对于任意的x和y，有|f(x)-f(y)|≤K|x-y|成立。
不同于一致连续性，利普希茨连续性对于函数在不同点上的连续性要求不同，但限定了一个常数K来保证其连续性。
四、连续函数的一致连续性与利普希茨连续性的区别和联系1. 区别：- 定义方式：一致连续性要求对于任意ε>0，找到一个δ>0，使得对于所有的点对(x,y)，当|x-y|<δ时，有|f(x)-f(y)|<ε成立；而利普希茨连续性通过引入常数K，限制了函数值之差与自变量之差的关系：|f(x)-f(y)|≤K|x-y|。
- 条件限制：一致连续性对函数的整个定义域都要求连续，而利普希茨连续性只需要在函数定义域内存在一个常数K，使得不等式成立。
2. 联系：- 一致连续性是利普希茨连续性的特殊情况。
(整理)浅谈函数的一致连续性
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable peopleto have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
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一致连续的几何解释 —— 正弦函数的一致连续性
1.0 0.5
O
12 3 4 56
-0.5
-1.0
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的几何解释
定理（康托尔） 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上一致连续.
聚点原理 任何有界数列均存在收敛的子数列，即若数列
满足
（其中M>0为常数），则 存在收敛的子数
函数在一点连续的定义及几何意义
函数 在 连续的
定义：
，
当
时，恒有2.来自注：通常 与 和 有关，
所以记为
.
第21讲 函数的一致连续性——问题引入
问题：是否存在一个在连续区间上 都适用的 ?
第21讲 函数的一致连续性——问题引入
一致连续的定义 一致连续的几何解释 一致连续性定理
第21讲 函数的一致连续性——主要内容
列
.
例3 若函数
在开区间 内连续，则
在 内
一致连续的充要条件是
与
存在.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续性定理
定义 设
为定义在区间 上的函数，如果对任给的正数 ，
总存在正数
，使得对任意
，只要
，
就有
，
则称函数
在区间 上一致连续.
“函数
在区间 上一致连续”定义的简洁形式：
，当
且
时，有
.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的定义
例1 证明函数
在区间
上一致连续.
性质（一致连续与连续的关系）若函数
一致连续，则 在 内连续.
在区间 内
例2 证明函数
在区间 内不一致连续.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的定义
一致连续的几何解释
若
为区间 上的一致连续函数，曲线
为其图形，则
，
，作以曲线上任何一点
为中心，边与坐标轴平行，且底为 、高为 的矩形 ，曲线
一定从矩形 的左右两侧穿过矩形.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的几何解释