浅析数学分析一致连续性
高等数学函数一致性连续性问题研究
高等数学函数一致性连续性问题研究【摘要】高等数学函数在目前的研究当中，出现了一些问题，在一致性和连续性的研究当中出现了一些分歧.连续函数是数学分析当中，着重讨论的一类函数，对深入研究具有非常重要的作用，而函数的一致性对日常教学和高等数学的进步来说，也能够起到较大的推动作用.在学习数学分析的时候，多数人都会将函数的连续性与一致性混淆，导致学习人员仅仅能够理解浅层意思，而不了解深层含义，甚至无法学习后续的知识，因此，对高等数学函数一致性连续性问题研究，还是非常有必要的.【关键词】函数；连续性；一致性一、高等数学分析中函数一致连续的概念的理解函数的一致连续性体现了一个连续函数的变化速度有无“突变”.相对来说，函数的变化既有规律可循，同时也无规律可循.高等函数在一定程度上可以通过定义或者数学函数式来寻求结果.但是，部分函数由于自身的性质比较特殊，因此不具有意义.函数连续一致性不仅仅体现在区间上的每一点，同时还要在区间上所有点邻近点的函数的大致变化趋势要均匀.这就是理论上的函数一致连续性.下面，本文从两个方面来讨论一下高等函数的一致连续性.（一）定义1高等数学分析中函数一致连续的概念过于理论化，如果没有实际的证明，势必得不到认可，并且无法在实际的工作当中产生较大的积极作用.经过长久的研究和积淀，数学家将高等数学函数一致连续分为两个定义.定义1：（假设函数f（x）在区间I上连续）区间为I上的f（x）函数，如果ε>0，那么函数上的每一个点x∈I，由此可以推理出，函数区间上的每一个点都存在相应的δ=δ（ε，x）.从以上的定义来分析，只要x∈I，并且|x2-x1|（二）定义2相对来说，高等数学函数一致连续性不仅仅具有一种性质或者一种定义，而是能够通过两种或者是两种以上的定义、性质来表达.定义1是教学和研究常用的定义，并且对高等数学函数一致连续性问题的研究，产生了较大的积极意义.下面，本文就定义2进行阐述.定义2：此定义也被称为一致连续性的定义.在区间I上定义的f（x）函数，如果对ε>0，并且存在δ（且δ>0），在此范围内的任意x（x∈I），只要符合|x1-x2|小于δ，那么就可以推导出|f（x1）-f（x2）|（三）归纳从以上的阐述来看，一致连续概念与连续概念当中的δ并不一样，可以通过很多的例子来说明.当函数f（x）在区间I上拥有一致连续性的概念时，可以通过相应的例子来引出.通过不同的例子和不同的定义，学生和教师在学习、研究高等数学函数一致性连续性问题的时候，就能够对δ的取值方法更加清楚，同时也可以对高等数学函数一致性连续性问题更加深入地理解和学习.我们在研究和分析高等数学函数一致性连续性问题的时候，应该从两个定义出发，因为具体的数学式和具体的表达含义是不同的，在实际当中的应用范围也不一样.为了保证能够更好地利用函数，同时在深入研究的时候，减少混淆和不必要的问题发生，必须对函数连续一致性的其他方面进行研究，获得更多的规律和知识.二、函数连续一致性条件“条件”在函数的研究当中，具有非常重要的影响和意义.简单来说，“条件”就是保证高等数学函数一致性连续性问题具有研究意义的保障.函数连续一致性要想能够继续研究下去，并且能够对实际的工作产生意义，就需要依赖条件来进行.从目前的研究情况来分析，函数连续是函数一致连续的必要条件，但不是充分条件，是一种在自然情况下，推出的结论.由此可见，高等数学函数一致性连续性问题的研究，“条件”的研究是非常重要的方面.根据G康托定理，区间连续性要想转变为区间一致连续性，一共有两种情况，同时这两种情况是目前都能够满足的.第一，区间存在界限，但是并不是完全为闭区间，一致连续性的点可能被开的端点所破坏.这种情况是一种比较普遍的情况，同时是研究“条件”的重要方式.第二，区间的两个端点或者一个端点的取值为正无穷的时候，函数的一致连续性也可能被函数在无穷远处所破坏.在这种情况下，我们就要附加一些条件，比方说在函数一致连续性的开的端点或者无穷远点破坏点处加上一些限制性的条件，让无意义的函数不成立，从而可以继续推导.“条件”的研究并不是依靠一两个数学式就能够确定的，即便是现在只有两个方面，难保日后不会有更多的方面，所以还要加深研究才行.：本文对高等数学函数一致性连续性问题进行了一定的研究，从目前的情况来看，高等数学函数一致连续性的相关问题并没有得到彻底的解决，虽然一些小问题没有影响到学生的学习，但后续的研究工作必须将其解决，尽量通过完善的研究方式和推导方式，将高等数学函数深入推理，得到更好的结论.【参考文献】[1]陈佩树.分段函数在分段点的求导[J].巢湖学院学报，2022（3）.[2]张月华.分段函数有关概念探析[J].牡丹江教育学院学报，2022（5）.[3]林新和.函数在区间上一致连续和不一致连续的几个判别法[J].呼伦贝尔学院学报，2022（3）.。
数学分析考研函数一致连续性问题总结
下面证明 lim f (x) 存在:
x→a+
对于上面给定的 ∀ε > 0 存在对应的 δ > 0, 当任意的 x1, x2 ∈ U˚(a, δ) 时, 即当 |x1 − x2| < δ 时, 都有 |f (x1) − f (x2)| < ε(华东师范第四版数分上册 56 页柯西准则), 所以 lim f (x) 存在,
定理 1.1.1. 一致连续性定义: 设 f (x) 为定义在区间 I 上的函数, 若对 ∀ε > 0, 存在对应的 δ = δ(ε) > 0, 使得对 ∀x1, x2 ∈ I, 只要 |x1 − x2| < δ, 就有 |f (x1) − f (x2)| < ε
例 1.1.1. 设 f (x) 在有限开区间 (a,b) 上连续, 则 f (x) 在有限开区间 (a, b) 上一致连续
2. f 在开区间 (a, b) 可导
则在
(a, b)
上至少存在一点
ξ
使得
f ′(ξ)
=
f (b)−f (a) b−a
现在将这个等式转换一下:f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b − a). 这个等式的好处就是两个函数值的 差可以跟对应的自变量的差建立联系, 这一点在一致连续性问题上利用很多, 一定要认真对待.
x→0+
在零这一点单侧极限不存在, 故假设不成立, 所以函数在此区间上不一致连续.
关于函数一致连续性的研究
II
关于函数一致连续性的研究
目录
第一章 绪 论 ....................................................... 1 1.1 选题背景........................................................ 1 1.2 研究意义........................................................ 1
第四章 常见函数的一致连续性问题 .................................... 18 4.1 基本初等函数的一致连续性....................................... 18
4.1.1 幂函数.......................................................... 18 4.1.2 指数函数 ........................................................ 19 4.1.3 对数函数 ........................................................ 20 4.1.4 三角函数 ........................................................ 21 4.1.5 反三角函数 ...................................................... 22
3.8 二元函数的一致连续性问题....................................... 16
浅析数学分析一致连续
一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。
数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。
弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。
数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。
但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。
一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。
在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。
数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。
函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。
为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是指在定义域内的每一个点上，函数值的变化都可以通过自变量的微小变化来控制，即函数在整个定义域上的变化都是连续的。
一致连续性是连续性的一种更强的性质，它要求函数在整个定义域上都保持连续性，而不仅仅是在某个点或某个区间上连续。
在数学分析中，一致连续性是一个重要的性质，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
一、函数的连续性在介绍函数的一致连续性之前，首先需要了解函数的连续性。
函数的连续性是指函数在某一点或某一区间上没有间断或跳跃，即函数在这些点上的极限存在且与函数在该点的取值相等。
如果函数在定义域内的每一个点上都是连续的，那么我们称这个函数在整个定义域上是连续的。
二、一致连续性的定义函数的一致连续性是指对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当函数的自变量之间的距离小于δ时，函数值之间的距离小于ε。
换句话说，对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，|f(x)-f(y)|<ε对于所有的x,y∈D都成立。
这就是函数的一致连续性的定义。
三、一致连续性与局部连续性的区别函数的一致连续性与局部连续性是两个不同的概念。
局部连续性是指函数在某一点附近连续，而一致连续性要求函数在整个定义域上都连续。
局部连续性只要求函数在某一点附近连续，对于不同的点可以有不同的δ，而一致连续性要求对于整个定义域上的任意ε，都存在一个δ，使得函数在整个定义域上都满足ε-δ的条件。
四、一致连续性的性质1. 一致连续性是连续性的更强的性质，具有更好的连续性和稳定性。
2. 一致连续性可以保证函数在整个定义域上的变化都是连续的，而不仅仅是在某个点或某个区间上连续。
3. 一致连续性可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，对于分析函数的性质和性质具有重要的作用。
五、一致连续性的应用1. 在实际问题中，一致连续性可以帮助我们更好地分析函数的性质和行为，从而更好地解决实际问题。
数学分析函数的一致连续性探讨
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２５数学分析函数的一致连续性探讨数学分析函数的一致连续性探讨Һ许奕喆㊀（湖南科技大学，湖南㊀湘潭㊀４１１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ以函数的一致连续性分析为研究切入点，结合实例将函数连续㊁一致连续二者区别所在，分析函数一致连续性的几何意义，包括有限区间㊁无限区间的一致连续性函数判定，通过讨论得出一致连续函数判定的方法，可以为更多同学能够快速对一致连续函数概念知识点的理解提供参考．ʌ关键词ɔ数学分析函数；一致连续性；实例数学分析作为一门需要学习中抽象理解的学科，具有较强的逻辑思维性与严密性，通过运用简单明了的数学语言，对用冗长的文学语言也无法定量描述的事物发展过程进行准确表达．所以了解几何意义，作为数学分析课程的入门引导，能够帮助我们理解抽象的数学概念，也可以帮助我们在数学学习中发散思维．本文将结合自身所学，对函数的一致连续性相关问题展开探讨．一㊁连续概念引出一致连续一致连续是基于函数连续概念派生所获，主要指的是对于微小变化界限中，假若函数定义域内部的任何两点间距离都不会超出该界限，那么两点之间的对应函数值产生的差值，就可以达到任意小点．函数一致连续性作为函数具备的重要基本特征，表示了一个连续函数变化速度是否发生 突变 ．在数学问题中针对函数一致连续性来讲，不仅要求对于每一个区间函数都能够保持连续一点，还要求所属区间点临近大体呈均匀变化．用数学语言表达就是说针对一个任意给出的正数ε，要求存在ｘ个无关的正数δ，只要ｘ和δ二者之间距离条件满足ｘᶄ－ｘᵡ＜δ，相对应函数值ｆ（ｘᶄ）－ｆᶄ（ｘᵡ）＜ε．显而易见，一致连续要强于连续条件，目前数学学科教材中，仅仅给出一致连续概念和运用定义证明ｆ（ｘ）函数所处某区间的一致连续的方法，呈现了完美的函数一致性逻辑结果，所以我们很难理解到定义中的δ，需要教师将概念内的隐含知识点逐一解释，才能够让我们更加快速地对这一概念成功掌握．二㊁一致连续函数等价条件定理１㊀函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上一致连续的充要条件：对于区间Ｉ上任何两数列｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝，在ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０条件下，ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］＝０．证㊀显而易见必要性，现证明充分性．假设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上非一致连续，那么∃ε０＞０，∀δ＞０，ｘ，ｙɪＩ：｜ｘ－ｙ｜＜δ，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）ȡε０．（１）根据以上对于δ取值为１的情况下，存在ｘ１，ｙ１ɪＩ：ｘ１－ｙ１＜１，有ｆ（ｘ１）－ｆ（ｙ１）ȡε０．（２）根据以上对于δ取值为１２的情况下，存在ｘ２，ｙ２ɪＩ：ｘ２－ｙ２＜１２，有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｙ２）ȡε０．（３）根据以上对于δ取值为１ｎ的情况下，存在ｘｎ，ｙｎɪＩ：ｘｎ－ｙｎ＜１ｎ，有ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）ȡε０．所以在区间Ｉ上也就成功构造了｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝这两个数列，显而易见ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０，但是ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］ʂ０，与已知条件自相矛盾，所以ｆ（ｘ）函数在区间Ｉ上一致连续．推出结论：函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上不一致连续，充要条件是区间Ｉ上存在两个数列｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝，在ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０条件下，ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］ʂ０．例１㊀函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ２在Ｒ上不一致连续．证㊀假设ｘｎ＝２ｎπ＋π２，ｙｎ＝ｓｉｎ２ｎπ，那么ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０．但是ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］＝ｌｉｍｎңɕ[ｓｉｎ２ｎπ＋π２()－ｓｉｎ２πｎ]＝１ʂ０．推出结论：ｓｉｎｘ２在Ｒ上不一致连续．三㊁有限区间上判定一致连续函数定理２㊀函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续的充要条件：ｆ（ｘ）函数在［ａ，ｂ］上连续．定理３㊀函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续的充要条件：ｆ（ｘ）函数在（ａ，ｂ）上连续并且均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．证（１）必要性：由于函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续，∃ε＞０，∀δ＞０，ｘ１，ｘ２ɪ（ａ，ｂ）：｜ｘ１－ｘ２｜＜δ，有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜＜ε．在ｘ１，ｘ２ɪ（ａ，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２５ａ＋δ）情况下，当然存在ｘ１－ｘ２＜δ，也就有ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜ε．以柯西收敛准则为依据，证实存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），同理证实存在ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．（２）充分性：由于均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ），各自设为Ａ，Ｂ，建立函数公式如下：Ｆ（ｘ）＝Ａ㊀ｘ＝ａｆ（ｘ）㊀ｘɪ（ａ，ｂ）Ｂ㊀ｘ＝ｂ{．显然发现［ａ，ｂ］上函数Ｆ（ｘ）连续，根据定理２能够获得Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续，进而推断得出函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续．推导结论①㊀函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ］（［ａ，ｂ））上一致性连续的充要条件：函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ］（［ａ，ｂ））上连续并且均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．推导结论②㊀假若在有限区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）连续，单调，有界，那么区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）一致连续．四㊁无限区间判定一致连续函数定理４㊀假若函数ｆ（ｘ）在［ａ，＋ɕ）上连续，并且ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么函数ｆ（ｘ）在（ａ，＋ɕ）上一致连续．推导结论①㊀假若函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，ｂ］上连续，并且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，ｂ］上一致连续．推导结论②㊀假若函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上连续，并且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ），ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么ｆ（ｘ）函数在（－ɕ，＋ɕ）上一致连续．推导结论③㊀假若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ定义，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）存在垂直渐近线，那么区间Ｉ中不一致连续存在函数ｆ（ｘ）．定理５㊀假若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ定义，均存在∀ｘɪＩ，ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ），ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ），并且有限个角点，那么在区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）一致连续．证㊀可以假设Ｉ＝（－ɕ，＋ɕ），由于函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上任何一点都存在左右导数，那么在区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）连续存在，只有有限个角点，分别设为ｘ１，ｘ２， ｘｋ，ｋɪＮ．记为ｍ＝ｍｉｎｘɪ１，２， ，ｋ（ｘｉ），ｎ＝ｍｉｎｘɪ１，２，３ ，ｋ（ｘｉ），根据（－ɕ，＋ɕ）＝（－ɕ，ｍ－１］ɣ［ｍ－２，ｎ＋２］ɣ［ｎ＋１，＋ɕ］，那么在［ｍ－２，ｎ＋２］上连续存在函数ｆ（ｘ），必然一致连续．在［ｎ＋１，＋ɕ）上可导函数ｆ（ｘ），有界，得∃Ｍ＞０，ｘɪ［ｎ＋１，＋ɕ），ｆ（ｘ）ɤＭ，∀ｘ１，ｘ２ɪ［ｎ＋１，＋ɕ）．据此可以假设ｘ１＜ｘ２能够在［ｘ１，ｘ２］上可导，根据拉格朗日中值定理可得∃ζɪ（ｘ１，ｘ２），ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ（ζ）（ｘ２－ｘ１）．所以ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ɤＭｘ２－ｘ１，∀ε＞０，∃δ＝εＭ，ｘ２－ｘ１＜δ，ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＜ε，那么在［ｎ＋１，＋ɕ）上函数ｆ（ｘ）一致连续．根据以上推论过程，同理在（－ɕ，ｍ－１］上函数ｆ（ｘ）一致连续，根据一致连续性质能够知道（－ɕ，＋ɕ）上函数ｆ（ｘ）一致连续．五㊁总㊀结根据几何形象层面可以粗略表示，假若函数是连续的，那么就形成了连绵不断的连续曲线图像，那所得一致连续函数图像又如何？根据本次分析，笔者认为可以这样描述：一条一致连续的曲线，可以采用一系列长㊁宽各为２ε，δ并且平行于ｘ轴的小矩形覆盖（δ与ε是随之变化而变化的关系）．这样在对函数的一致连续性的学习中，加深了对该理论知识点的理解，如同在一个函数区间刻画了全局性的一致连续函数图像．六㊁结㊀论综上所述，在本次研究中探讨了数学分析中函数的一致连续性知识点，这是数学分析中的热点问题，函数又作为数学学科知识中的重要组成，所以有必要进一步展开本次讨论．只有对函数基本性质充分了解，才能够在不断的解题计算中逐渐理解并熟练掌握，加深探索可以将其具象地呈现出来，更好地帮助我们理解数学知识点，有效地转化新问题为旧问题，简化复杂问题，掌握函数一致连续性，熟悉解题思路和数学思想，真正做到举一反三地解决数学问题．ʌ参考文献ɔ［１］李一帆．函数一致连续性证明方法探究及推广［Ｊ］．知识文库，２０１８（１４）：１８１－１８２．［２］钟满田．山区高职院校函数一致连续性教学研究［Ｊ］．新教育时代电子杂志（教师版），２０１９（１８）：１９７．［３］段炼，方贤文．例析函数连续及一致连续的判别［Ｊ］．科技风，２０１８（３１）：２２．［４］李书馨．证明函数在无界区间一致连续的一种方法［Ｊ］．赢未来，２０１８（１５）：１８．［５］费时龙，洪佳音，朱少娟．多元函数列的一致收敛性及相关极限性质的研究［Ｊ］．廊坊师范学院学报：自然科学版，２０２０（２）：８－１０．［６］王海权，付英．一个修正的周期Ｃａｍａｓｓａ⁃Ｈｏｌｍ系统解对初值的不一致连续依赖性［Ｊ］．聊城大学学报：自然科学版，２０２０（２）：１－６．［７］米合甫孜㊃胡达拜地．函数的连续和一致连续的差别和关系［Ｊ］．考试与评价，２０１８（１）：６５－６６．［８］舒天军，莫智文．结构元线性生成的模糊值函数的连续性［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２０１８（３）：５１－５７．. All Rights Reserved.。
浅析一致连续函数
浅析一致连续函数摘要：对函数的一致连续性的定义、定理加以系统的总结，指出了函数的收敛性和导数有界性与函数的一致收敛性的紧密联系。
关键词：一致连续；区间；收敛；导数；有界函数Abstract:The definitions and theorems of uniformly continuous function are made a summary，and the closer ties between the boundness and uniform continuity of function are stated here.Key words:uniformly continuous；interval；convergence；derivative；bounded function前言一致连续是一个极限概念，是从连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小（也就是分析中常说的epsilon）。
函数的一致连续性一直是数学分析学习中的难点，现就此问题加以总结分析。
1 一致连续定义2 一致连续判定方法2.2.1若f是X上的一致连续函数，则f也是Y上的一致连续函数。
2.2.2若f，g都是X上的一致连续函数，则f±g也是X上的一致连续函数。
2.2.3若f，g都是一致连续函数，g。
f有意义，则g。
f也是一致连续函数。
2.3区间上的一致连续性判定2.3.1闭区间（Cantor定理）[a，b]：函数f（x）在[a，b]上一致连续的充分必要条件是f（x）在[a，b]上连续。
证法Ⅰ：用Weirerstrass定理反证。
证法Ⅱ：用有限覆盖定理。
2.3.2有限非闭区间（1）（a，b）：函数f（x）在（a，b）上一致连续的充分必要条件是f（x）在（a，b）上连续且f（a+）与f（b-）都存在。
证法：构造辅助函数、Contor定理。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它反映了函数在定义域内的整体的性质和变化情况。
本文将从一致连续性的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、一致连续性的定义一致连续性是一种特殊的连续性，它描述了在任意给定的公差范围内，函数值与自变量之间的变化情况。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<ε，则称函数f在区间I上是一致连续的。
二、一致连续性的性质1.一致连续函数的一致连续区间如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数ε和负数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<max{ε, -ε}。
因此，一致连续函数的定义域内存在一个一致连续区间。
2.一致连续函数的性质一致连续函数具有以下性质：(1) 如果函数f在区间I上是一致连续的，则f在I上也是连续的。
这是因为当x从左侧逼近于某个点x₀时，一致连续性保证了f(x)与f(x₀)之间的差的绝对值小于任意给定的正数ε。
(2) 如果两个函数f和g在区间I上是一致连续的，那么它们的和、差、积也在这个区间上是一致连续的。
这个性质可以由绝对值不等式的性质得到。
(3) 如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数M和负数m，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有max{f(x₁), f(x₂)}<M和min{f(x₁), f(x₂)}>m。
这个性质说明了函数值的变化范围可以被任意给定的上下界所限制。
三、一致连续性的应用1.微分方程的解的性质一致连续性在微分方程的求解中有着重要的应用。
例如，如果微分方程描述的是一个物理系统在一组时间段上的状态变化，那么解的一致连续性就保证了系统状态的平滑变化，避免了突变和跳跃。
2.函数的逼近和级数求和一致连续性也是函数逼近和级数求和中的一个重要概念。
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一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。
数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。
弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。
数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。
但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。
一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。
在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。
数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。
函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。
为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。
函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定能定量的事物发展过程。
这也是初学者无法理解分析中定义的原因。
而几何意义将是数学分析课程入门的一引导者，它向学生展示了数学分析中最基本的思想方法，有利于学生对抽象概念的理解，能更好地发展学生的思维能力。
本文通过揭示一致连续与一致收敛概念之间的内在联系，导出了利用连续性判定一致收敛的方法。
此方法对于通常的初等函数及函数列一致收敛与非一致收放的判定非常有效，且很简便，可说是一目了然。
它不仅限于在指一致连续与一致收敛定区间上的讨论，还便于作全面的研究。
通过对函数及函数列的一致连续的定义的对照对函数列的一致收敛与一致连续问题进行了讨论,通过这种讨论使我们清晰的看到函数列的一致连续问题不仅和函数列本身有关而且和极限函数有着密切的关系。
探讨了一致连续和一致收敛的关系,并在有界区间上给出了一致连续和一致收敛的等价关系。
掌握这些关系为今后研究连续、收敛问题提供了更多的依据。
二对数学分析中一致连续的概念的理解一致连续是从函数连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小。
函数一致连续的概念一直是《数学分析》学习中的难点，在多年的教学实践中，深感学生对函数一致连续的概念掌握的不是很好，经常听到学生有这样的疑问：函数连续和一致连续究竟有什么区别？本文谈的就是在教学中如何让学生较快地理解函数一致连续的概念。
1 从连续的概念引出一致连续的概念函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。
对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。
也就是说：对于任给的正数ε，要求存在一个与x 无关的正数δ，使对自变量的任意2 个值x'，x"，只要它们的距离︳x'-x " ︳＜δ，对应的函数值︳f（x'）-f（x "）︳＜ε，。
显然，一致连续要比连续条件强。
但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f （x ）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ 的很难理解，那么我们在上课时就不宜照本宣科，需要把概念中所隐含的知识逐步解释清楚，才可以帮助学生较快地理解一致连续的概念。
下面我们从函数f （x ）在区间I 上连续的定义出发，通过2 个例子，快速建立函数f （x ）在区间I 上一致连续的定义。
定义1 （函数f （x ）在区间I 上连续） 设f （x ）为定义在区间I 上的函数，若对ε＞0，对于每一点x ∈I ，都存在相应δ=δ（ε，x ）＞0，只要x'∈I ，且︳x-x' ︳＜δ，就有︳f （x ）-f （x'）︳＜ε，则称函数f （x ）在区间I 上连续。
给出以下2 个例子。
例1 考查函数f （x ）=x1在区间（0，1］上的连续性。
解 对∀0x ∈（0，1］，因为0lim x x →x=0x ＞0，则存在邻域U （0x ，δ'），使得x ∈U （0x ，δ'），有x ＞20x ，所以有 ︳x 1 -01x ︳=00xx x x -＜0002x x x x -=2200x x x -。
对∀ε＞0，取δ=min }"20,2δε⎪⎩⎪⎨⎧x ，就有︳x 1 -01x ︳＜ε。
这里δ 与0x 有关，有时特记为δ（ε，0x ）。
注意本例中不存在可在区间（0，1］上通用的δ，即不存在最小的（正数）δ。
强调：0x 的位置不同，δ 的取值也随之产生变化。
例2 考查函数f （x ）=x1在区间上［c ，+∞）（c ＞0）的连续性。
解 对0x ∈［c ，+∞）（c ＞0），存在邻域U （0x ，δ'），使得x ∈U （0x ，δ'）时，有 ︳x 1 -01x ︳=00xx x x -<2c x x o-。
对∀ε＞0，取δ=2c ε，就有︳x1 -01x ︳＜ε。
这里可取得最小的，也就是可通用的δ=2c ε，该δ 却与0x 无关，可记为δ（ε）。
比较例1 中δ 与例2 中δ 的不同，引出较函数f （x ）在区间I 上连续的概念条件更强的函数f （x ）在区间I 上一致连续的概念。
定义2 （一致连续） 设（f x ）为定义在区间I 上的函数，若对∀ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x"∈I ，只要︳x'-x" ︳＜δ，就有︳f （x'）-f （x"）︳＜ε，则称函数f （x ）在区间I 上一致连续。
连续概念中δ 与一致连续概念中的δ 不同，通过具体的例子来说明，就更加直观，对初学的学生来说，更容易接受。
通过这样的2 个例子引出函数f （x ）在区间I 上一致连续的概念，可使学生在刚接触到一致连续时，就对其中的δ 有一种直观的感受。
这样学生对δ 的取法就比较清楚，可以迅速让学生理解一致连续的概念。
2 利用函数一致连续的概念证明函数一致连续为了进一步加深学生对函数一致连续概念的理解和记忆，随即提出用定义验证一致连续的方法：对∀ε＞0，确证δ（＞0）存在。
为此，从不失真地放大︳f （x'）-f （x"） ︳这个式子入手，使在放大后的式子中，除因子︳x'-x" ︳之外，其余部分中不含有x' 和x"，然后使所得式子︳f （x'）-f （x"）︳ ＜ε，从中解出︳x'-x" ︳.例3 验证函数f （x ）=sin x1在区间（c ，1）（0＜c ＜1）内一致连续。
证明因为︳sin'1x - sin "1x ︳=2 ︳sin "'"'2x x x x -︳ ︳cos "'"'2x x x x -︳≤"'"'x x x x -≤ 2"'c x x -所以对∀ε＞0，取δ=2c ε，使得对任何x'，x"∈（c ，1），只要︳x'-x" ︳＜δ，就有︳sin 1x' - sin1x"︳＜ε。
3 函数不一致连续的概念下面证明例1 中的函数f （x ）=x1在区间（1，0］上不一致连续。
找不到可在区间（0，1］上通用的δ，即不存在最小的δ（正数）。
先给出函数f （x ）在区间I 上不一致连续的定义。
定义3 存在某个ε0，无论δ 是怎么样小的正数，在I 上总有两点x' 和x"，虽然满足︳x'-x" ︳＜0，却有︳f （x'）-f （x"）︳＞ε。
证明取ε0=1，对∀δ（＜1），取x'=min ｛δ，12｝与x"=2'x ，便有︳x'-x" ︳=2'x ≤2δ＜δ，但"'11xx -=︳'1x -'2x ︳='1x ≥2＞1=0δ。
因此也可以说函数f （x ）在区间I 上连续，存在一个集合A=﹛δx ︳x ∈I ﹜，如果当集合A 中存在一个最小的δ 时，则f （x ）就是I 上一致连续，而f （x ）在区间I 上连续则只要求存在集合A 就可以了。
三 一致收敛概念1 函数列一致收敛的定义设S 1 ( x) , S 2 ( x) , ⋯, Sn ( x) , ⋯是一列定义在同一数集X 上的函数, 称为定义在X 上的函数列. 设{ un ( x) } 称为定义在X 上的函数列,表达式u 1 ( x) + u 2 ( x) + ⋯ + un ( x) + ⋯, x ∈X 称为定义在X 上的函数项级数,简记为∑∞=1n un ( x) 或∑un ( x) .设数集X 为函数项级数∑∞=1n un ( x) 的收敛域,则对每个x ∈X,记S ( x) =∑∞=1n un( x) ,称S ( x) 为函数项级数∑∞=1n un ( x)的和函数.定义i 设有函数列{ Sn ( x) } ,若对任给的ε > 0 ,存在只依赖于ε的正整数N (ε) ,当n > N (ε) 时,不等式︱Sn ( x) - S ( x) ︱ <ε对X 上一切x 成立,则称{ Sn ( x) } 在X 上一致收敛于是s （x ）.一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达:定义ii 设‖sn - s ‖ = I x ∈sup | Sn ( x) - S ( x) | ,若∞→n lim ‖sn - s ‖ = 0,就称Sn ( x) 在X 上一致收敛于S ( x) .定义2 ∀ε＞0，∃)(εN ∈N ，当时，对一切，都有．这时称函数列在上一致收敛于，记作 ． 一致收敛与逐点收敛之间的区别：定义2中的只依赖于，它适用于一切；而定义1中的极限式 (1) 若用陈述方式来表示时，其中的既与有关，又与中的考察点有关． 定义 设函数项级数的部分和函数列为．如果 ， 则称在上一致收敛于． 由定义2与定义易知： ● 若, 则． ● 若或在上一致收敛，，则它们在上必一致收敛．● 当把数列看作一个特殊的函数序列时，如果收敛，则可认为它在上一致收敛．●当把数项级数看作一个特殊的函数项级数时,如果收敛，则可认为它在上一致收敛．●又若，则同样可以认为．把逐点收敛（即数列或数项级数收敛）的柯西准则推广为一致收敛的柯西准则，即为以下两个定理．定理5.1在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切和一切都有．定理5.1'在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切和一切都有．有关定义2、定义以及柯西条件的否定说法，分别示于相关知识相关知识18.1-18.4．例5讨论函数列分别在和上的一致收敛性．解首先，对每一固定的，恒有，即在上处处收敛于．(i)当时，，，当时，对一切，都有．由于上述只依赖于，依据定义2，证得，．(ii)当时，由解出．由此可见既依赖，又依赖，故，．四对函数一致连续性的几点讨论弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。