数学分析中闭包的定义

定义:闭包当一个函数的返回值是另外一个函数,而返回的那个函数如果调用了其父函数内部的变量,且返回的这个函数在外部被执行,就产生了闭包.闭包是一个环境,具体指的就是外部函数--高阶函数。

说白了就是一个环境,能够读取其他函数内部的变量。本质上,闭包是将函数内部和函数外部连接起来的桥梁。

用处:1.读取函数内部的变量;

2.这些变量的值始终保持在内存中,不会在外层函数调用后被自动清除。

优点:1:变量长期驻扎在内存中;

2:避免全局变量的污染;

3:私有成员的存在;

特性:1:函数套函数;

2:内部函数可以直接使用外部函数的局部变量或参数;

3:变量或参数不会被垃圾回收机制回收GC;

缺点:常驻内存会增大内存的使用量使用不当会造成内存泄露,详解:

(1)由于闭包会使得函数中的变量都被保存在内存中,内存消耗很大,所以不能滥用闭包,否则会造成网页的性能问题,在IE中可能导致内存泄露。解决方法是,在退出函数之前,将不使用的局部变量全部删除。

(2)闭包会在父函数外部,改变父函数内部变量的值。所以,

如果你把父函数当作对象(object)使用,把闭包当作它的公用方法(Public Method),把内部变量当作它的私有属性(private value),这时一定要小心,不要随便改变父函数内部变量的值。

代数闭包定义

代数闭包定义 代数闭包是一个数学概念,用于描述给定集合的代数扩张。简单来说,代数闭包可以理解为是由一组给定的元素和一些基本操作(例如加法,减法和乘法)所得到的所有可能的结果集合。这个概念在数学中有广泛的应用,在代数几何、代数数论、微分方程、数论和物理学等领域中都是重要的。 代数闭包的定义比较复杂,需要多个概念的配合。下面我们就以一个实例来具体了解代数闭包的定义及其相关知识。 假设我们有一个集合S,其中包含了一些元素(实数或复数)。现在我们定义一个运算F,它可以对这些元素进行加、减、乘、除等基本的数学操作。进一步假设这些操作是完备的,也就是说可以对S集合中的任意元素进行运算,并且结果也在S集合中。此时我们就可以得出S的代数闭包的定义。 一个集合S的代数闭包,可以定义为包含S集合和所有可以由S集合中元素和F操作生成的元素的最小的集合。这个最小的集合满足以下三个条件: 1. 它是一个代数扩张:也就是说它包含S集合所有的代数扩张。这个扩张是通过对S 集合中的元素进行基本运算得到的。 2. 它是一个代数闭包:也就是说对于任意 F 中的操作,对于集合中所有元素进行运算后得到的结果仍在集合中。 3. 它是最小的:也就是说这个集合不能再被任意其他元素生成。 举个例子,假设S={2, 3, 5, 7},F是加、减、乘、除。我们可以通过这些操作得到以下结果: 2+3=5, 2-3=-1, 2*3=6, 2/3=0.6666… 3+5=8, 3-5=-2, 3*5=15, 3/5=0.6… 5+7=12, 5-7=-2, 5*7=35, 5/7=0.7142… 2+5=7, 2-5=-3, 2*5=10, 2/5=0.4… 7+2=9, 7-2=5, 7*2=14, 7/2=3.5… 通过上述运算,我们可以得到一些新的数值,例如:0.6666…、0.6…、0.7142…、0.4…、3.5…等。这些新的数值不在原始集合S中,但它们可以通过 S 中的元素和基本操作得到。因此,这些新的数值属于 S 的代数扩张。

数学中闭包的定义

数学中闭包的定义 在数学中,闭包是一个重要的概念,用于描述集合的性质。它的定义 是指包含一个给定集合中所有可能的极限点和聚点的最小闭集。在本 文中,我们将深入探讨闭包的定义和作用。 一、闭包的定义 在数学中,我们通常使用符号“cl(S)”来表示集合S的闭包。闭包 S的定义如下: S的闭包是最小的闭集,它包含S中的每个极限点和聚点。 这个定义中有几个关键词需要解释一下。首先,一个点是极限点,当 且仅当在S中存在一个收敛于该点的点序列。其次,一个点是聚点, 当且仅当在S中存在一个点球,球中包含除该点以外的所有点。 因此,我们可以把闭包理解为一个集合的扩展,它包含了集合中所有 可能的极限点和聚点。这个扩展还需要满足最小闭集的要求,意味着 它是能够包含集合S所有元素的最小闭集。 二、闭包的作用 闭包在数学中有着广泛的应用。它提供了一种方法来描述集合的性质,特别是当我们需要考虑这个集合的聚集性和连续性时。以下是一些闭 包的常见应用: 1. 在拓扑学中,闭包是一个基本的概念。我们可以通过闭包来刻画空 间的性质,例如空间的连通性和紧密性。

2. 在实际应用中,闭包也会被用来描述一些特定的集合性质。例如, 在数据库中,闭包被用来表示某些数据表中的所有相关数据。 3. 在函数分析中,我们也会使用闭包来说明一些连续集合或紧密集合 上的性质。通过找到一个集合的闭包,我们可以证明某些函数是连续 的或积分收敛的。 三、闭包的求取 最后,我们来看一下如何求取一个集合的闭包。在实际应用中,我们 可以使用以下方法: 1. 列出该集合的所有极限点和聚点。 2. 找到包含该集合的所有闭集。 3. 在所有闭集中,找到最小的一个。 通过这个方法,我们可以求出一个集合的闭包。在实际计算中,我们 也可以使用一些数学工具,例如紧致性定理和Stone-Weierstrass定理,来辅助求解。 总结 在数学中,闭包是一个基础而重要的概念。它提供了一种方法来描述 集合的性质,例如空间的连通性和函数的收敛性。在实际应用中,我 们也可以使用闭包来表示某些数据的相关性或证明一些函数是连续的。因此,学习闭包不仅可以帮助我们更好地理解数学概念,也可以应用 到实际问题中。

离散数学 闭包

离散数学闭包 离散数学中的闭包,是指某个关系集合中所具有的性质。具体来说, 闭包是指在某个关系集合中,将某些元素与其它元素相关联的方式,以使 得关系集合中涉及到的所有元素都能够得到考虑。因此,闭包可以极大地 扩展一个关系集合的范围,使其包含更多的元素,具有更严密、实用的性质。 离散数学中的闭包通常有三个类型,分别为自反闭包、对称闭包和传 递闭包。自反闭包是指在关系集合中,每个元素都与自身有映射关系。例如,在所有以实数为元素的集合中,自反闭包就包括了所有元素与自身的 映射关系,即相等的关系噶。对称闭包是指在关系集合中,如果其中一个 元素与另一个元素相关联,那么反过来另一个元素也与前一个元素相关联。例如,有一个关系集合:{(1,2),(2,3),(4,5)},那么它的对称闭包就是:{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)}。传递闭包是指在关系集合中,如果一个元素与另一个元素相关联,那么这两个元素之间的所有元素都应 该相关联。例如,一个关系集合:{(1,2),(2,3),(3,4)},那么它的传递 闭包就是:{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}。 在离散数学的学习中,闭包是一个非常重要的概念。它可以用于解决 很多复杂的问题,例如定理证明和算法设计等。在定理证明中,通过运用 闭包的性质,我们可以验证某个关系集合是否具有特定的性质,从而证明 某个定理。在算法设计中,闭包则可以被用来扩展某个关系集合,使其包 含更多元素,从而更加适合算法的需求。 总之,闭包是离散数学中一个重要的概念,它可以被用于解决很多复 杂的问题。它的三种类型自反闭包、对称闭包和传递闭包,在离散数学的

代数闭域和代数闭包

代数闭域和代数闭包 1.引言 1.1 概述 概述 代数闭域和代数闭包是代数学中重要的概念。代数学是数学的一个分支,研究数学对象之间的代数关系及其性质。代数闭域是一种具有特定性质的数域,而代数闭包是在给定数域上添加了特定元素后得到的扩张域。 在数学中,一个数域是一个包含了加法和乘法运算的集合,且满足一定性质。代数闭域是一种特殊的数域,它具有一个重要的性质,即在该域上的任意多项式方程都有根。这意味着代数闭域可以完全涵盖了代数方程的解,不会存在无法求解的代数方程。 与代数闭域相对应的概念是代数闭包。代数闭包是在给定数域上添加了一些元素后得到的扩张域,使得该扩张域成为代数闭域。代数闭包的构造方法有很多种,其中最著名的是将原数域中不可约多项式的根添加到原数域中,以得到代数闭包。 代数闭域和代数闭包在数学中有着广泛的应用和意义。它们不仅在代数方程的求解中起到重要作用,还在几何学、数论、代数几何等领域有着广泛的应用。通过研究代数闭域和代数闭包,人们可以更好地理解数学对象的结构和性质,进一步推动数学的发展和应用。 本文将对代数闭域和代数闭包的定义与性质进行详细介绍,并探讨它们之间的关系。通过深入理解这些概念,读者将能够更好地应用它们解决实际问题,并进一步拓展数学知识的广度和深度。

1.2 文章结构 文章结构部分的内容可以进行如下编写: 本文将主要介绍代数闭域和代数闭包的概念、性质及其构造方法。文章分为引言、正文和结论三个部分。 引言部分首先对代数闭域和代数闭包的概念进行简要介绍,说明它们在数学中的重要性和应用背景。接着给出了本文的结构安排,概括介绍了各个部分的内容,方便读者对文章整体框架有一个清晰的认识。 正文部分主要包括两个部分:代数闭域和代数闭包。在代数闭域的部分,将首先给出其定义和常见的性质,并通过一些具体的例子来帮助读者更好地理解。然后,介绍代数闭包的定义和性质,探讨其与代数闭域的关系,并详细介绍代数闭包的构造方法,比如代数闭包的生成、代数元素的附加等等,以便读者能够深入理解代数闭包的概念和构造方法。 结论部分主要总结了代数闭域和代数闭包的关系,并讨论了它们的应用和意义。指出在数学领域中,代数闭域和代数闭包的理论有着重要的地位和应用价值,不仅在代数学、数论等领域有广泛的应用,还对数学基础理论的发展和数学问题的解决具有重要的意义。 通过本文的阐述,读者可以深入了解代数闭域和代数闭包的概念、性质和构造方法,进一步掌握它们在数学中的应用和意义。希望本文能够为读者对代数闭域和代数闭包的理解提供一定的帮助,并激发读者进一步探索相关领域的兴趣和研究热情。 1.3 目的 本文旨在介绍代数闭域和代数闭包的概念、性质以及构造方法,并探

离散数学闭包求法

离散数学闭包求法 一、闭包的概念 在离散数学中,闭包是指从一个给定的集合中生成一个更大的集合的过程。闭包的目的是为了将原始集合中的元素与其他元素进行组合,以生成一个包含所有可能组合的新集合。闭包操作可以用来补充原始集合中缺失的元素,或者生成满足某种条件的元素。 二、闭包的分类 根据不同的应用领域和问题要求,闭包可以分为几种不同的类型,包括传递闭包、反对称闭包、自反闭包等。 1. 传递闭包:传递闭包是指在一个关系集合中,通过迭代地应用传递规则,生成一个包含所有相关元素的新集合。传递闭包可以帮助我们分析集合之间的关系,例如在图论中,通过计算传递闭包可以确定两个节点之间是否存在路径。 2. 反对称闭包:反对称闭包是指在一个关系集合中,通过添加一些额外的元素,使得原始关系对称的元素对被移除。反对称闭包可以帮助我们分析集合中的对称关系,例如在关系代数中,通过计算反对称闭包可以确定两个元素是否存在对称关系。 3. 自反闭包:自反闭包是指在一个关系集合中,通过添加一些额外的元素,使得原始关系中所有元素都与自身存在关系。自反闭包可以帮助我们分析集合中的自反关系,例如在关系代数中,通过计算

自反闭包可以确定一个元素是否与自身存在某种关系。 三、闭包的求解方法 根据不同的闭包类型,可以使用不同的求解方法来计算闭包。下面将介绍几种常见的求解方法。 1. 传递闭包的求解方法:传递闭包可以通过迭代地应用传递规则来计算。具体步骤如下: (1)初始化闭包集合为原始关系集合。 (2)重复以下步骤,直到闭包集合不再变化: a. 对于每对元素(a, b)和(b, c),如果(a, c)不在闭包集合中,则将(a, c)添加到闭包集合中。 (3)输出闭包集合。 2. 反对称闭包的求解方法:反对称闭包可以通过移除对称的元素对来计算。具体步骤如下: (1)初始化闭包集合为原始关系集合。 (2)对于每对元素(a, b),如果(b, a)也在闭包集合中,则将(b, a)从闭包集合中移除。 (3)输出闭包集合。 3. 自反闭包的求解方法:自反闭包可以通过添加元素与自身的关系来计算。具体步骤如下: (1)初始化闭包集合为原始关系集合。

离散数学传递闭包例题

离散数学传递闭包例题 离散数学是数学中的一个分支,研究离散的结构和对象,包括离散集合、离散函数、离散序列、离散图等等。离散数学在计算机科学、信息科学、通信工程等领域有着广泛的应用。其中,传递闭包是离散数学中的一种重要概念,本文将以一个例题为例,介绍传递闭包的基本概念和应用。 例题描述 假设有一个关系R,它的元素集合为{1,2,3,4,5,6,7},其中R 包含以下有序对: {(1,2),(1,4),(1,6),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5 ),(5,7),(6,4),(6,7)} 现在,我们需要求出R的传递闭包,即R*。 传递闭包的定义 在离散数学中,给定一个关系R,它的传递闭包R*定义为:对于R中的任意两个元素a和b,如果存在一个有限长度的序列 a1,a2,…,an使得a=a1,b=an,且对于1≤i

绍两种求解传递闭包的方法:矩阵法和Warshall算法。 矩阵法 假设关系R中的元素集合为A={a1,a2,…,an},我们可以用一个n×n的矩阵M来表示R,其中M[i][j]表示ai和aj之间是否存在一条边。对于传递闭包R*,我们同样可以用一个n×n的矩阵N来表示,其中N[i][j]表示ai和aj之间是否存在一条R*中的边。 对于任意的i和j,N[i][j]的值可以按照以下方式计算: - 如果M[i][j]为1,那么N[i][j]也为1; - 如果M[i][j]为0,那么我们需要找到一个k,使得M[i][k]为1且N[k][j]为1。如果找到了这样的k,那么N[i][j]为1;否则,N[i][j]为0。 根据这个方法,我们可以用一个循环来依次计算出N中所有元素的值。具体实现时,可以使用两个n×n的矩阵M和N来存储关系R 和R*,并使用三重循环来计算N中所有元素的值。 Warshall算法 Warshall算法是另一种求解传递闭包的方法,它的核心思想是动态规划。该算法的基本思路是:对于关系R中的任意两个元素a和b,如果存在一个中间元素c,使得(a,c)和(c,b)都属于R,那么(a,b)也属于R*。我们可以用一个n×n的矩阵W来表示R*,其中W[i][j]表示ai和aj之间是否存在一条R*中的边。 对于任意的i和j,W[i][j]的值可以按照以下方式计算: - 如果M[i][j]为1,那么W[i][j]也为1;

第2章 §2.4 导集闭集闭包

§2.4导集,闭集,闭包 本节重点: 熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念; 区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同; 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件; 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件. 如果在一个拓扑空间中给定了一个子集,那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同,因此可以对它们进行分类处理. 定义2.4.1 设X是一个拓扑空间,A X.如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点,即U∩(A-{x})≠,则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点.集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集,记作d(A).如果x∈A并且x不是A的凝聚点,即存在x的一个邻域U使得U∩(A-{x})=,则称x为A的一个孤立点. 即:(牢记) 在上述定义之中,凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑.因此,当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时,你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言,不容许产生任何混淆.由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的,因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生,我们不每次都作类似的注释,而请读者自己留心. 某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念,但绝不要以为对欧氏空间有效的性质,例如欧氏空间中凝聚点的性质,对一般的拓扑空间都有效.以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象. 例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集. 设X是一个离散空间,A是X中的一个任意子集.由于X中的每一个单点集都是开集,因此如果x∈X,则X有一个邻域{x},使得,以上论证说明,集合A没有任何一个凝聚点,从而A的导集是空集,即d(A)=.

相关主题
相关文档
最新文档