数学分析讲义
数学分析讲义
f (x)
-x
o
偶函数
x
x
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
四、周期函数
定义 设函数 f ( x ) 定义在数集 A .若 ∃l > 0, ∀x ∈ A ，有 x + l ∈ A ，且
f (x ± l ) = f (x )
则称函数 f (x ) 是周期函数， l 称为函数 f (x ) 的一个周期 周期. 周期
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
y=sin(x)
1
0.5
10 -0.5
20
30
40
50
-1
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
1 + ( −1) n n + 1 例 2 数列 有界. 与 2 n
例 3 反正切函数 y = arctgx 与反余切函数 y = arc ctgx 在 R 有界（如下图）. 事实上， ∃Μ = 与
3l − 3l −2 2
l − l − 2 2
l l 2 2
3l 3l 2 2
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
数学分析讲义
§1.3 复合函数与反函数
一、复合函数
G 定义 设函数 z = f ( y ) 定义在数集 B ， 函数 y = ϕ ( x ) 定义在数集 A ， 是
A 中 使 y = ϕ (x ) ∈ B 的 x 的 非 空 子 集 （ 如 图 1.19 ）， 即
y = ϕ ( x ) 与 z = f ( y ) 的复合函数，即 ( f ϕ )( x ) = f [ϕ ( x )], x ∈ G, y 称为中 的复合函数，
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
数学分析考研辅导班讲义1
n
2n p
p
11 2n1 2n2
1 2n
p
1 2n1
1
1 2p
1
1 2
1 2n
1 n
，
故 0 ， N 1 0 ，当 n N 时， 自然数 p ，由以上不等式知
an p an
1 n
，
故an 收敛. 定理 1.2.2 数列an 收敛 an 的任意两个子数列都收敛，且都收敛于同一
1
2 n2 n
n
1 n2 1
2 n2
2
n n2
n
1
2 n2 1
n
nn 1
2 n2 1
而
lim n n 1
n 2 n2 1
1 2
，故原极限
1 2
.
例 1.2.8 设 0 x1 1, xn1 xn 1 xn , n 1, 2, ， 证 明 xn 收 敛 ， 并 求
第 3 步 写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间；
第 4 步 将第 3 步中所得结果代入 y f (u) 中，便得 y f (g(x)) 的
表达式及相应 x 的变化区间 .
练习题
1
设
f
(x)
1, 0,
x 1 x 1
，
g(x)
2 x2,
2,
x 2 x 2
ab
b 0 不存在 b 0 不定 a 0 不存在 a 0 不定
不确定
lim an b n n
数学分析讲义 - CH07(实数的完备性)
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
数学分析讲义第五版
V T P 二元函数 f (x, y) 在点 P0 （ x0 ， y0 ）的两个偏导数明显的几何意义：在空间直角坐标
系中，设二元函数 z f (x, y) 的图像是一个
曲面
S.函数
f
(x,
y)
在点
P0
（
x0
，
y0 ）关于
同样，偏导数
f
' y
(x0 ,
y0 )
是平面
x
x0
上曲线
C2
z x
f (x, x0
y)
，
在点 Q(x0 , y0 , z0 )( z0 f (x0 , y0 )) 的切线斜率 tan ，如图 10.6.
如图 10.6.
我们知道，若一元函数 y f (x) 在 x0 可导，则 y f (x) 在 x0 连续可导.
类似地，n 元值函数 u f (x1, x2 ,, xn ) 在点 Q(x1, x2 ,, xn ) 的全微分
du
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
.
我们已知，一元函数的可微与可导是等价的.由定理 1，二元函数可微一定存在两个偏导 数；反之，二元函数存在两个偏导数去不一定可微.例如，函数
f (x, y) | xy |
df
f
' x
(0,0)x
f
' y
(0,0)y
0
f f (0 x,0 y) f (0,0) | x y.
(x)2 (y)2
特地，取， x y ，有
f | x y. | x |2 | x | ，
数学分析讲义(第五版)课件
设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
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方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
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一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
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径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
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例5 级数
数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
数学分析讲义(第一章)
Ⅱ 典型例题与方法
1. 利用极限定义验证极限
前提：知道数列（函数）的极限值；
关键：寻找 N (δ ) .
基本方法：
（1）求最小的 N ：从不等式 an − a < ε 直接解出 n ；
（2）适当放大法：不等式 an − a < ε 较为复杂，无法直接解出，或求解的过程较繁，
为此先将表达式 an − a 进行化简，并适当放大，使之成为关于 n 的简单函数 H (n) （仍为无
(5). lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时，有 f (x) − A < ε . x→+∞
(6) lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x < −M 时，有 f (x) − A < ε . x→−∞ 2
特别地，若函数以零为极限，则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定
义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用，熟记常用的等价无穷小量：当 x → 0
时，
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x −1，
1 − cos x ~ x2 , (1 + x)α ~ αx, a x − 1 ~ x ln a . 2
n →∞
yn xn
= ⎪⎨+ ∞， ⎪⎩− ∞.
二 函数极限
1 定义 函数极限的六种形式：
(1)
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <
x → x0
x − x0
< δ 时，有
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4
99.987
6
99.99
8
99.998
10
100.012
12
100.032
14
100.057
V/cm3
例3. x R都对应唯一一个数 y sin x,即x与y之间的 对应关系是： y sin x
§ 1.1 函数
函数的定义
设 A 是非空数集。若存在对应关系 f ，对 A 中任意数 x （ x ∈
一、函数概念
例1.真空中自由落体，物体下落的时间 t 与下落的距离 s 互相联系着. 如果物体距地面的高度为 h ，
t [0,
2h ] g
都对应一个距离 s . 已知 t 与 s 之间的对应关系是
1 2 s gt 2
其中g是重力加速度，是常数.
§ 1.1 函数
T/100℃ 0
100
2
99.99
-1
§1.2 四类具有特殊性质的函数
1 ( 1) n n 1 例 2 数列 与 有界. 2 n
例 3 反正切函数 y arctgx 与反余切函数 y arc ctgx 在 R 有界（如下图）. 事实上， 0, x R, 有 arctgx , 2 2 与
f f ( x) f
§ 1.1 函数
三、函数的图象
符号函数:
y 1 o -1 x
1 y sgn x 0 1
狄利克雷函数:
当x 0 当x 0 当x 0
y
1
1 y D( x ) 0
当x是有理数时 当x是无理数时
•
无理数点
o
x
有理数点
§ 1.1 函数
§ 1.1 函数
关于函数概念的几点说名
是 f 在每个 x A 的函数值 f ( x) 。
1、 函数 f 由两个因数完全决定，一个是 f 的定义域 A ；另一个 2、 在函数概念中，对应关系 f 是抽象的，只有在具体函数中， 对应关系 f 才是具体的。 为了对函数 f 有个直观形象的认识，可将 f 比喻为一部“数 值转换器” 。例如：
f =g。
2、 若 A B ，则函数 f 与 g 的和 f + g 、差 f - g 、积 fg 分别定 义为： （ f +g） （ x ） = f ( x) g ( x) ， x A B 。 （ f -g） （ x ）= f ( x) g ( x) ， x A B 。 （ fg ） （ x ） = f ( x) g ( x) ， x A B 。 3、 若 ( A B) x | g ( x) 0 ，则函数 f 与 g 的商 g 定义为 （g） （ x ）= g ( x ) ， x ( A B) x | g ( x) 0。
第一章 函数
1.1 函数 一、函数概念 二、函数的四则运算 三、函数的图象 四、数列 1.2 四类具有特殊性质的函数 一、有界函数 二、单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数 1.3 复合函数与反函数 一、复合函数 二、反函数 三、初等函数
§ 1.1 函数
函数是整个高等数学中最基本的研究对象，可以说数学 分析就是研究函数的，因此我们对函数的概念以及常见的一 些函数有一个清楚的认识。
0, x R, 有 arc ctgx
§1.2 四类具有特殊性质的函数
arctgx 图 像
1.5 atan(x)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 -6 -4 -2 0 x 2 4 6
§1.2 四类具有特殊性质的函数
例 4 数列 n有下界无上界;数列 (1) n 既无上
例 1 正弦函数 y sin x 与余弦函数 y cos x 在 R 有界（如 图 1.8 与图 1.9） 事实上， 1 0, x R, 有 sin x 1 与 cos x 1 .
§1.2 四类具有特殊性质的函数
y=sin(x)
1
0.5
10
20
30
40
50
-0.5
n
界也无下界.
例 5 指数函数 y a x (0 a 1) 在 R 有上界无下界
四、数列
数列的定义:
定义在自然数集 上的函数 f ( x) 称为数列.
n ， 设 f (n) an .因为自然数能够按照大小顺
序排列起来，所以数列的值域 an n 中的数也能够 相应地按照自然数 n 的顺序排列起来，即
a1 , a2 , a3 ,an ,. an 称为数列（1）的第 n 项或通项.
x
f( )
x f(x )
Sin( )
Sin(x)
§ 1.1 函数
3、 根据函数定义， 函数都存在定义域， 但是常常并不明 确指出函数的定义域， 这时认为函数的定义域是自明 的，即定义域是使函数有意义的实数的集合。 4、 函数定义指出： “任意数 x ( x ∈ A )，按照对应关系
f ，对应唯一一个 y ∈ R ” ，这样的对应就是所谓单
值对应。 5、 从现代数学观点来看， 这个函数概念是不严格的， 应 为这里用到了与函数概念等价的“对应关系”或“对 应” 。何谓对应关系或对应尚无定义。
§ 1.1 函数
二、函数的四则运算
设两个函数 f 与 g 分别定义在数集 A 与 B 。 1、 若 A = B ，且 x A ，有 f ( x) g ( x) ，则称 f 与 g 相等，表为：
§1.2 四类具有特殊性质的函数
一、有界函数
定义 设 函 数 f ( x) 在 数 集 A 有 定 义 . 若 函 数 值 的 集 合 ，则称函数 f ( x) f ( A) f ( x) x A有上界（有下界、有界） 在 A 有上界（有下界、有界） ，否则称函数 f ( x) 在 A 无上界 （无下界、无界）.
A） ，按照对应关系 f
，对应唯一一个 y ∈ R ，则称 f 是定义在 A
上的函数，表为：
f : A R。
数 x 对应的数 y 称为 x 的函数值，表为 y f ( x) 。 x 称为自变 数， y 称为因变数。数集 A 称为函数 f 的定义域，函数值的集 合 f ( A) f ( x) | x A 称为函数 f 的值域。