1. 数学分析基础
数学中的数学分析基础知识及其应用
数学中的数学分析基础知识及其应用数学分析是数学的重要分支之一，它主要研究极限、连续、微积分等概念和理论。
在实际生活、工程、自然科学等领域中，数学分析理论以其广泛的应用价值受到广泛的关注。
本文将介绍数学分析的基本概念和原理，并介绍其在实际应用中的应用。
一、数学分析基础知识1.极限极限是数学中一个基本概念，指随着变量趋近于某一值时，函数值的趋近程度。
形式化地，若函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时，当$x$足够接近$a$时，$f(x)$的取值趋近于某个数$A$，或者说当$x$充分接近$a$时，$f(x)$可以任意地接近$A$，那么函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限就是$A$，记作$\lim_{x \to a} f(x)=A$。
2.连续连续是指在数学上，存在着无数不可数数值时，数学上的两个点之间的变化与存在的点数没有关系。
在实际生活中，我们可以将连续理解为任意的一点都可以抽象成曲线上的一点，并且节点之间没有断裂。
更加形式化地，如果$x=a$的极限和$f(a)$都存在，且当$x$无限接近$a$时，随着$f(x)$趋近于$f(a)$，则函数$f(x)$在$x=a$时是连续的。
3.微积分微积分是分析学的分支，主要研究函数的极限、连续、导数和积分。
它在实际应用中有广泛的应用，例如物理学、统计学和金融学中的方程和模型都是基于微积分的。
微积分中的导数和积分是两个核心概念，其中导数指的是在函数某一点上的剧变程度，而积分是对连续函数在一段区间上进行近似处理，用于解决复杂的实际问题。
二、数学分析的应用1.物理学中的数学分析物理学是数学分析的一个重要应用领域，在物理学领域中数学分析可以提供丰富的数学工具和方法来解决物理学问题。
例如，物理学家通常使用微积分中的导数和积分来描述和解决问题，包括在空间和时间上的变化、力和加速度等。
此外，微积分还用于描述物理定律，如牛顿第二定律和信息理论。
2.金融学中的数学分析金融学中的数学分析可以提供有效的方法和工具，可以帮助投资组合管理人员评估金融市场、风险和回报。
数学分析知识要点整理
数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。
以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。
一、函数函数是数学分析的核心概念之一。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。
（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。
（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。
二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。
1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。
数学分析基础概念
数学分析基础概念数学分析是数学的一门基础学科，它主要研究函数的极限、连续性、导数和积分等概念以及它们之间的关系。
本文将介绍数学分析中的一些基础概念，帮助读者理解和掌握这门学科的基本知识。
1. 极限在数学分析中，极限是一个重要的概念。
它描述了函数在某一点或者无穷远处的趋势和性质。
对于函数f(x)，当自变量x接近某个特定的值a时，如果f(x)的取值可以无限接近于某个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的概念对于我们研究函数的性质和求解各种数学问题非常重要。
2. 连续性连续性是函数的一种重要性质，也是数学分析中的基本概念之一。
一个函数在某个点a处连续，意味着函数在该点的值与该点的极限值相等。
形式化地说，对于函数f(x)，如果lim(x→a)f(x)=f(a)，则称函数在点a处连续。
连续性的概念有助于我们判断函数在某个点的性质，并且在微积分等高级数学中有广泛应用。
3. 导数导数是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率或者斜率。
对于函数f(x)，如果存在极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h，我们称该极限为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。
导数的概念对于我们研究函数的特征、判断函数的最值以及求解各种问题都非常有用。
4. 积分积分是数学分析中的重要概念之一，它描述了函数曲线与坐标轴之间的面积或者总量。
对于函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，那么我们称F(x)为函数f(x)的一个原函数。
而函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作∫(a~b)f(x)dx，表示曲线与x轴之间的面积或者总量。
积分在求解曲线的面积、求解物体的体积等问题中有广泛应用。
5. 泰勒级数泰勒级数是数学分析中的一个重要工具，它可以将一个函数表示为无数个项的级数形式。
对于函数f(x)，如果它在某个点a的附近有无限次可导，那么可以使用泰勒级数来近似表示该函数。
数学分析知识点最全
数学分析知识点最全数学分析是数学的一个重要分支，它主要研究实数空间上的函数与序列的性质、极限、连续性、可微性等。
以下是数学分析的一些重要知识点：1.实数与复数的性质：包括实数和复数的定义、有理数和无理数的性质、实数的完备性、复数的代数和几何性质等。
2.数列的极限与收敛性：数列极限的定义、极限存在的判定、序列的比较、夹逼定理等。
3.函数的极限与连续性：函数极限的定义、函数极限存在的判定、函数的连续性与间断点、无穷点的连续性等。
4.导数与微分：导数的定义、导数存在的判定、导函数的计算法则、高阶导数与泰勒展开、凸凹性与拐点等。
5.不定积分与定积分：不定积分的定义与计算、变量替换法、分部积分法、定积分的定义与计算、定积分的应用（面积、弧长、体积等）等。
6.级数与幂级数：级数的定义与性质、级数的收敛性判定、常见级数的收敛性、幂级数的收敛半径与求和等。
7.解析几何与曲线的性质：平面曲线的方程、曲线的切线与法线、曲线的弧长与曲率等。
8.参数方程与极坐标系：参数方程与平面曲线的参数方程表示、平面曲线的切线与法线等。
9.函数项级数与傅立叶级数：函数项级数的收敛性判定、幂级数与傅立叶级数的展开等。
10.偏导数与多元函数的微分：偏导数的定义与计算、高阶偏导数、多元函数的全微分与偏微分、隐函数与显函数等。
11.多重积分与曲面积分：二重积分的定义与计算、三重积分的定义与计算、曲面积分的定义与计算等。
12.向量值函数与向量场：向量值函数的极限与连续性、向量场的散度与旋度等。
以上只是数学分析的一部分重要知识点，数学分析还包括很多其他内容，如场论、数学分析在物理学和工程中的应用等。
对于数学分析的学习，需要掌握一定的数学基础和逻辑思维能力，并进行大量的练习与实际应用。
数学基础知识丛书
数学基础知识丛书
1. 《数学分析基础》（A Course in Mathematical Analysis）- 弗尔多（Walter Rudin）著
这本书是分析学领域的经典教材，适合学习数学分析的初学者。
2. 《高等代数（下卷）》（Abstract Algebra）- 迈克尔·阿廷（Michael Artin）著
这本书介绍了抽象代数的基本概念和技术，对于学习抽象代数非常有帮助。
3. 《概率论与数理统计基础》（Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics）- 禹志豪、李汐著
这本书从数理统计和概率论的基本概念出发，介绍了一些基本的数学统计理论和方法。
4. 《微分几何与外微分》（Differential Geometry and Exterior Calculus）- Andrew Pressley著
这本书介绍了微分几何和外微分的基本概念和技术，对于对几何形式的数学建模非常有帮助。
5. 《数论导引》（An Introduction to the Theory of Numbers）- Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery著
这本书是一本介绍数论基础知识的经典教材，非常适合想要深入了解数论的读者。
这些书籍都是基础的数学知识丛书，适合有一定数学基础的读者使用。
大学数学数学分析的基本概念与定理
大学数学数学分析的基本概念与定理数学分析是大学数学的基础课程之一，它研究实数域上的函数及其性质，是数学学科的重要组成部分。
在学习数学分析的过程中，掌握一些基本的概念与定理是非常重要的。
本文将介绍数学分析中的一些基本概念与定理。
一、实数与数集在数学分析中，实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，记作R。
实数具有完备性和有序性等基本性质。
数集是指一些数的集合，它可以是有限集也可以是无限集。
常见的数集有自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
二、极限与收敛在数学分析中，极限是数列或函数的重要概念之一。
数列极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于一个固定的数。
函数极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数的值趋向于一个固定的数。
收敛是指数列或函数具有极限的性质。
如果一个数列或函数存在极限，我们称它为收敛的；如果不存在极限，我们称它为发散的。
三、连续性与导数在数学分析中，连续性与导数是函数的重要性质。
连续性是指函数在定义域上没有间断点的性质，如果一个函数在某个点处连续，则在该点处左右极限存在且相等。
导数是函数的变化率的概念。
对于实数函数，如果该函数在某一点处的导数存在，则称该函数在该点可导。
导数的计算公式和性质是数学分析中的重要内容之一。
四、积分与微分方程积分是函数的逆运算。
在数学分析中，我们通过积分可以计算曲线下的面积、求定积分、解微分方程等。
微分方程是涉及未知函数及其导数的方程，是工程技术和物理学中常见的数学模型。
五、级数和函数项级数级数是数列之和的概念。
在数学分析中，级数是由一系列无穷多个数相加得到的结果。
常见的级数有等比级数和调和级数等。
函数项级数是将函数的无穷项和考虑进去的级数，它在实际问题中具有重要的应用。
六、基本定理与中值定理在数学分析中，基本定理起到了核心作用。
常见的基本定理有微积分基本定理、泰勒展开定理等。
中值定理是函数与导数之间的关系定理，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
总结起来，数学分析包含了实数与数集、极限与收敛、连续性与导数、积分与微分方程、级数和函数项级数、基本定理与中值定理等基本概念与定理。
数学分析的知识点
数学分析的知识点数学分析是数学的一个重要分支，涵盖了许多基本概念和定理。
本文将介绍数学分析的一些核心知识点，包括极限、导数、积分和级数等。
一、极限极限是数学分析的基础概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为。
对于一个函数f(x)，当x无限接近某一点a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们称L是f(x)在x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限有许多重要的性质和定理，如极限的唯一性、四则运算法则、夹逼定理等，这些性质和定理在数学分析的推导和证明中起到了重要的作用。
二、导数导数是描述函数变化率的概念，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。
对于一个函数f(x)，如果在某一点x处，当x趋于x0时，存在一个常数A，使得lim(x→x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0) = A，那么我们称A为f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x)/dx|x=x0。
导数具有许多重要的性质和定理，如导数的四则运算法则、链式法则、高阶导数等，这些性质和定理在求解函数的极值、函数的图像绘制等问题中起到了关键的作用。
三、积分积分是对函数的求和过程，它是导数的逆运算。
对于一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得对于任意给定的区间[a,b]，有∫(a→b) f(x) dx = F(b) - F(a)，那么我们称F(x)为f(x)的一个原函数，而积分∫(a→b) f(x) dx表示函数f(x)在区间[a,b]上的积分。
积分也具有许多重要的性质和定理，如积分的线性性质、换元积分法、分部积分法等，这些性质和定理在求解曲线下的面积、求解定积分等问题中起到了重要的作用。
四、级数级数是数学分析中的一个重要概念，它是无穷多项的和。
对于一个数列{a_n}，我们可以将其前n项的和表示为S_n=a_1+a_2+...+a_n，如果数列{S_n}的极限存在，那么我们称级数∑(n=1→∞) a_n收敛，极限值为该级数的和。
数学分析的基本内容和方法
数学分析的基本内容和方法数学分析是数学的主要分支之一，是研究实数和实数函数的性质及其相关概念、定理、算法和方法的学科。
它是数学的一种基础学科，也是其他数学分支的基础。
1.实数系：实数系是数学分析的基础，它是由所有实数组成的数学结构，包括正整数、负整数、零、分数和无理数等。
实数系具有完备性、有序性和稠密性等重要性质。
2.实数函数：实数函数是定义在实数集上的函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
实数函数的研究重点是函数的性质，如函数的增减性、奇偶性、周期性等。
3.极限：极限是数学分析的核心概念之一，用于描述函数或数列逐渐趋近于其中一值的过程。
极限分为函数极限和数列极限两种，通过极限的概念可以研究函数的连续性、可导性等性质。
4.连续性：连续性是一个函数在其定义域上的基本性质，它描述了函数图像上的无间断性。
连续函数具有很多重要的性质，如介值定理、零点定理、最值定理等。
5.可导性：可导性是描述函数的变化速度的重要概念，用导数来表示。
可导函数具有很多应用，如切线、极值、凹凸性等。
6.微积分：微积分是数学分析的重要工具，它是研究函数变化率、曲线的弯曲程度以及积分问题的学科。
微积分包括导数和积分两个重要部分，通过它们可以研究函数性质、求解最值问题、计算曲线长度、求解曲线下面积等。
7.级数：级数是由无穷多个项组成的无穷级数的总和，它也是数学分析的重要内容之一、级数有很多重要的性质和判别法，如绝对收敛性、条件收敛性、比值判别法、积分判别法等。
数学分析的方法主要包括证明法、求导与积分、级数收敛与发散的判别方法等。
证明法是数学分析中最常用的方法，通过证明可以得到定理和命题的正确性。
求导与积分是微积分的基本运算，通过对函数的导数和积分的计算可以得到函数的性质和解决实际问题。
级数的收敛与发散的判别方法是研究级数性质的重要工具，它们用来确定级数的和是否存在。
总之，数学分析是一门研究实数和实数函数性质的学科，它对其他数学分支具有重要的基础作用。
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C A B cx
cy
7. 三重矢量积
0 C A B cz c y
c z 0 cx
4．矢量A与B端点之间的距离 |A－B|＝[(a1－b1)2＋(a2－b2)2＋(a3－b3)2]1/2 5．矢量A与B的数量积 A· B＝|A|· |B|cosθ 或 A· B＝AT B
A· B＝a1· b1＋a2· b2＋a3· b3 ＝B · A cosθ ＝ A · B/(|A|· |B|) ①．A2＝a12＋a22＋a32 ＝|A|2 则：|A|＝( A2 )1/2 ＝(a12＋a22＋a32 )1/2 ②．A⊥ B 充要条件是： A · B＝0 ③．i2＝j2＝k2＝1 （0≤θ ≤π ）
1.1.3 矢量运算的矩阵表达
1．矢量的表达形式
r＝x i ＋y j ＋z k ＝[x,y,z]T
设有矢量A、B 、C A＝[ax,ay,az]T B＝[bx,by,bz]T C＝[cx,cy,cz]T
2．矢量的和与差
A±B＝[ax±bx,ay±by,az±bz]T 3．数量与矢量的乘积
λ A＝[λ ax,λ ay,λ az]T
课程内容：
1．微分几何的数学分析基础：矢量代数，矢量函数的微分，圆矢量函数和球 矢量函数，曲线和曲面的表达方法，矢量函数的应用分析。 2．曲线论：曲线的矢量方程，曲线的切线和法平面，曲线的自然方程和弧长， 曲线的基本三棱形，曲线的基本公式，曲线的曲率和挠率，曲线上一点邻近的 结构。 3．曲面论：曲面的矢量方程，曲面的切平面和法线，曲面的参数变换，可展
A³B ＝(a2b3－a3b2)· i＋(a3b1－a1b3)· j＋(a1b2－a2b1)· k ①．A³B ＝ -B³A ②．A∥ B 或 A、B共线的充要条件是： A³B＝0 ③．Sinθ ＝ e²(A ³B)/(|A|· |B|) （A至B之有向角θ ） 7．矢量的运算规律
①．不满足交换率：A³B ＝ -B³A
1.2 矢量函数的微分
1、矢量函数的导数 2、矢量函数的求导规则
3、定长矢量函数和定向矢量函数
1.2.1 矢量函数的导数
1. 矢量函数 定义：对于可行域D中每一点t都有一确定的矢量r与之对应，则在D上定 义了一个矢量函数 r＝r（t） 若： t∈DС R1 若：（u，v）∈DС R2 则得一元矢量函数 r＝r（t） 则得二元矢量函数 r＝r（u，v）
例2：已知两平面：a1x＋b1y＋c1z＋d1＝0，a2x＋b2y＋c2z＋d2＝0 ，
求过r0＝[x0,y0,z0]T点，且平行于两平面交线的直线方程。
解： 设所求直线上任意点P的矢径r＝[x,y,z]T ，常数λ 。 两平面的法矢量 n1＝[a1,b1,c1]T 、n2＝[a2,b2,c2]T
1.5、矢量函数的应用
1.1 矢量代数
1、自由矢量和点矢量
2、矢量运算
3、矢量运算的矩阵表达
1.1.1 自由矢量和点矢量 矢量 x ＝x1 i＋x2 j ＋x3 k＝[x1,x2,x3 ]T
1. 自由矢量
注重其大小、方向、而不注重其作用点的矢量称为自由矢量， 切线矢量、法线矢量都属于自由矢量：T＝[ Tx,Ty,Tz ]T 、N＝[ Nx,Ny,Nz ]T
3. 矢量函数导数特性 ①. 矢量函数 r＝r（t）的导数 r′＝r′(t)是一个矢量函数，方向表示曲 线上对应点的切线方向，其正向与曲线Γ 的参数t的增值方向一致。 ②. 曲线Γ 有切线的充分条件为：r′≠0 r′＝x′(t)· i＋y′(t)· j＋z′(t)· k ③. r′＝0时，切线方向不定。 在直角坐标系里表示为：
1.2.2 矢量函数的求导规则 1. 一元矢量函数 r＝r（t）的导数 设 u、v、w 都是t的矢量函数，λ是t的纯量（数量）函数 即： u＝u（t）、v＝v（t）、w＝w（t）、λ＝λ（t）
cy 0 c x a z a 0 y
az 0 ax
a y bx ax by 0 b z
8. 四重数积
0 A B C D az a y
微分几何
微分几何 （Differential Geometry ）
微分几何是一门数学，利用矢量分析的方法研究空间曲线和曲面的局部特性。 主要内容：圆矢量函数和球矢量函数，矢量的旋转，矢量函数的微分， 曲线论（空间曲线基本理论），曲面论（空间曲面基本理论），微分几何在工程 中的应用。 主要应用：矢量绘图，曲面设计，曲面成型，曲面加工等； 应用软件：MATLAB进行曲线和曲面整体特性描述。
直纹面和斜直纹面，曲面第一基本齐式，曲面的活动标形，曲面第二基本齐式，
曲面的法曲率，主方向与主曲率，短程曲率，短程挠率，法曲率与短程挠率之 间的关系，曲面上一点邻近的结构。
1、微分几何的数学分析基础
1.1、矢量代数 1.2、矢量函数的微分 1.3、圆矢量函数和球矢量函数 1.4、曲线和曲面的表达方法
单位矢量：n＝ x/|x|
|n|＝1
则： x＝|x|· n
i ＝[1,0,0 ]T ，j ＝[0,1,0 ]T ，k ＝[0,0,1 ]T 零矢量： |x|＝0 记为：x＝0
设矢量： A ＝[a1 ,a2 ,a3 ]T ，B ＝[b1 ,b2 ,b3 ]T
C ＝[c1 ,c2 ,c3 ]T ，D ＝[d1 ,d2 ,d3 ]T 2．矢量的和与差 A±B＝(a1±b1)i＋(a2±b2)j＋(a3±b3)k＝[a1±b1 ,a2±b2 ,a3±b3 ]T 3．矢量与数量乘积 设数量λ 则： λ A ＝λ a1 i＋λ a2 j＋λ a3 k＝[λ a1 ,λ a2 ,λ a3 ]T
4．矢量的数积
A B AT B ax
ay
bx b az y bz
5. 矢量的乘积
0 A B az a y
6. 三重数积
az 0 ax
a y bx a y bz az by a b a b ax b x z y z x 0 bz axby a y bx
9．矢量的三重矢量积
A³(B³C)＝B(A· C)－C(A· B) (A³B)³C＝B(A· C)－A(B· C)
10．四重数积——拉格朗日(Lagrange)恒等式
(A³B)· (C³D)＝(A· C)(B· D)－(A· D)(B· C) 证明：(A³B)· (C³D)＝(A,B,(C³D))＝A· (B³(C³D)) ＝A · [C(B· D)－D(B· C)]＝(A· C)(B· D)－(A· D)(B· C) 11．四重矢量积 (A³B)³(C³D)＝(A,B, D)C－(A,B,C)D 证明：(A³B)³(C³D)＝[(A³B)· D]C－[(A³B)· C]D ＝(A,B, D)C－(A,B,C)D
az 0 ax
a y bx ax by 0 b z
T
0 cz cy
cz 0 cx
cy d x cx d y 0 d z
若：（u，v，w）∈DС R3 则得三元矢量函数 r＝r（u，v，w）
2. 矢量函数的导数 设有曲线Γ ：r＝r（t） 在（t1≤t≤t2）连续， 即：当Δ t→0时Δ r→0 （Δ x→0，Δ y→0，Δ z→0）
r PN t r dr PT lim r(t ) r t 0 t dt
两平面的交线平行于矢量 T＝ n1³n2
所求直线平行于 T＝n1³n2 ，即 r－r0＝λ T 直线矢量方程为：（r－r0）－λ (n1³n2)＝0
用坐标表示为：
i j k x x0 b1c2 b2 c1 y y a b c a c a c 0 1 1 1 2 1 1 2 a2 b2 c2 z z0 a1b2 a2b1 x x0 y y0 z z0 ( ) b1c2 b2 c1 a2 c1 a1c2 a1b2 a2 b1
从坐标系σ (O；i,j,k)的原点O引出的矢量称为矢经， 矢经是点矢量，表示为：r＝[ rx,ry,rz ]T ，通常用矢
经 r 描述曲线Γ上的点P或曲面Σ上的点M。
1.1.2 矢量运算
1．矢量的表达
矢量： x ＝x1 i＋x2 j ＋x3 k＝[x1 ,x2 ,x3 ]T
矢量的模：|x|＝( x12＋x22 ＋x32 )1/2
②．不满足结合率：(A³B)³C ≠ A³(B³C) ③．满足分配率 ：A³(B＋C)＝A³B＋A³C
பைடு நூலகம் 8．矢量的三重数积
a1 ( A B ) C b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 ( A, B, C) c3
(A³B)· C 的几何意义：|(A,B,C)|是以A,B,C为棱的平行6面体体积。 ①．根据行列式特性可得以下推论： 推论Ⅰ：(A,B,C)＝(B,C,A)＝ (C,A,B) ＝ -(A,C,B)＝-(B,A,C)＝-(C,B,A) 推论Ⅱ：(A³B)· C＝A · (B³C)＝(A,B,C) 推论Ⅲ：(A＋D ,B,C)＝(A,B,C)＋(D,B,C) ②．A,B,C 共面条件： Ⅰ：(A,B,C)＝0 Ⅱ：C＝λA＋μB （常数λ、μ且A与B 不平行时）
自由矢量通常用单位矢量表示，单位切线矢量、法线矢量为：
t＝ T/|T|＝[ tx,ty,tz ]T 、n＝ N/|N|＝[ nx,ny,nz ]T 右旋直角坐标系表示为：σ (o；x,y,z)或σ (o；i,j,k)，
其中i,j,k为自由矢量。