西华师范大学数学分析(1)试题一
华中师范大学数学分析和高等代数近几年试题
复试总分
ห้องสมุดไป่ตู้初复试比例
复试专业课总分
复试英语总分
330
总成绩＝初试总成绩+复试总成绩
120
60
复试专业课类型
笔试主观题
笔试客观题
面试题量
有无时间要求
有
有
专业基础知识的综合能力和应用能力。
20分钟左右
复试英语听力
无
复试英语笔试
阅读
作文
其他
无
无
无
复试英语面试
小组讨论
问答
翻译
其他
无
5个问题，10分钟左右
其他
普通本科
否
招收
无
无
初试科目
政治（满分100分）
英语（满分100分）
数学/专业课一（满分150分）
专业课二（满分150分）
专业研究方向
01李代数02代数群与量子群03代数几何04微分几何05泛函分析06函数论07信息安全
初试指定参考书
626数学分析a．实数的完备性（区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则、确界定理、单调有界定理）；b．单变量函数（极限、连续性、导数与微分、泰勒公式（含微分中值定理）及函数的泰勒级数展开、不定积分、定积分及其应用、反常积分、周期函数的傅里叶级展开、数项级数的收敛性、函数项级数的收敛性及和函数的性质）；c．多变量函数（极限与累次极限、连续性、偏导数与全微分、泰勒公式与极值问题、含参变量积分，第一、二型曲线积分，重积分（含格林公式），第一、二型曲面积分（含高斯公式与斯托克斯公式），隐函数定理及其应用）。817高等代数多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。
西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)
西华师范大学数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．A ．1(1)nn ∞=−∑B ．nn ∞=C ．21(1)nn n∞=−∑D ．11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x −++C ．发散D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x ′=（）A ．1xB ．ln x xC ．21x −D ．xe5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+∫收敛于1，则k =（）A ．2πB ．22πC ．2D ．24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x −−+−+−+⋯⋯收敛，则（）A ．x e<B ．x e>C ．x 为任意实数D ．1e x e−<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u =，和S =．3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaef e dx f x dx =∫∫，则a =，b =．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫−=⎨⎬+⎩⎭⋯的聚点为．6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、(1)dxx x +∫．2、2ln x x dx ∫．3、 0(0)dx a >∫．4、 2 0cos limsin xx t dt x→∫．5、dx ∫．四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 00sin cos nn x dx x dx ππ=∫∫．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈−∞+∞∑三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1.解111(1)1x x x x=−++∵1(1)dxx x ∴+∫（3分）11(1dxx x=−+∫ ln ln 1.x x C =−++（3分）2.解由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =∫∫3311ln ln 33x x x d x =−∫（3分）33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211ln 33x x x dx =−∫3311ln 39x x x C =−+（3分）3.解令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式，得0∫2220cos atdtπ=∫（3分）6768220(1cos 2)2a t dtπ=+∫221(sin 2)22a t t π=+2.4a π=（3分）4.解由洛必达(L ＇Hospital)法则得200cos limsin xx tdtx →∫20cos x x →=4分）lim cos x x→=1=（2分）5.解=（2分）20 sin cos x x dxπ=−∫4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=−+−∫∫（2分）244(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+−+2.=−（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(, ), x n ∀∈−∞∞∀+（正整数）22sin nx n n ≤（3分）而级数211n n ∞=∑收敛，故由M 判别法知，21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上一致收敛．（3分）2.解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径111lim nn R n→∞==，收敛区间为(1,1)−．（2分）易知1nn x n ∞=∑在1x =−处收敛，而在1x =发散，故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)−．（2分）01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈−−∑（2分）逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈−−∑∫∫．即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==−−==∈−+∑∑（2分）3.解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(名校考研真题 不定积分)【圣才出品】
解：f（x）的原函数为
．当 x≤1 时，有
当 x＞1 时，有
所以 f（x）的原函数为
．
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un
n1
收敛，从而 un
0 ，即
f
(xn )
0 ，也即
f (xn ) 0 ，故对上述的 ，存在 N N¢ ，使得
当 n N 时，
f (xn )
2
.
取 X a N ，则当 x X 时，因
x a, Ua (k 1) ,a k k 0
故存在惟一的 k N¢ ，使得 x a (k 1) , a k ，易见 k N ，且
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第 8 章 不定积分
1．设 f (x) d x 收敛,且 f (x) 在 a,上一致连续，证明 lim f (x) ＝ 0. [上海
a
x
交通大学 2004 研]
证明：因 f (x) 在 a,上一致连续，故对于 0 ， 0 ，使得当
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4．求不定积分 解：
[华东师范大学研]
5．求不定积分 解：令 t＝lnx，则
[四川大学研]
6．求
（a 为常数）．[西安交通大学研]
解：（1）当 a＝－1 时，
（2）当 a≠－1 时，
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x2
x台2 )
dx
ln(1 x2 )d 1 x
ln(1 x2 )
1
2x dx
x
x 1 x2
ln(1 x2 ) 2 1 dx
x
华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)
续.
19
五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、 （ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、 （15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、 （12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在 区间 I 上严格单调.
二、 （12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 实数的完备性)【圣才出品】
§1 关于实数集完备性的基本定理1．证明数集有且只有两个聚点和解：令数集数列则数列都是各项互异的数列，根据定义2，1和－1是S的两个聚点．对任意且令由得取，则当n＞N时，或者有或者有总之由定义2知x0不是S的聚点，故数集有且只有1和－1两个聚点．2．证明：任何有限数集都没有聚点．证明：用反证法．设S是一个有限数集．假设ζ是S的一个聚点，按照定义2，在ζ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，这个条件是不可能满足的，因为S是一个有限集．故任何有限集都没有聚点．3．设是一个严格开区间套，即满足且证明：存在惟一的一点ξ，使得证明：由题设知，是一个闭区间套．由区间套定理知，存在惟一的点ξ，使n以…，即4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．解：（1）设则S是有界集，并且但故有理数集S在Q内无上、下确界，即确界原理在有理数集内不成立．（2）由的不足近似值形成数列这个数列是单调有上界的，2是它的一个上界．它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界．因此，单调有界原理在有理数集内不成立．（3）设M是由的所有不足近似值组成的集合．则1.4是M的一个下界，2是M 的一个上界．即M是一个有界无限集，但它只有一个聚点故在有理数集内不存在聚点．因此，聚点定理在有理数集内不成立．（4）的不足近似值形成的数列满足柯西条件（因为当m，n＞N时，但其极限是而不是有理数，于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没有极限．因此，柯西收敛准则在有理数集内不成立．5．设问（1）H能否覆盖（0，1）？（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖（i）解：（1）有有所以即故H 能覆盖（0，1）．（2）设从H 中选出m 个开区间，它们是令则并集的下确界为于是的子集，实际上故不能从H 中选出有限个开区间来覆盖从H 中选出98个开区间因为所以这些开区间覆盖了故可以从H 中选出有限个开区间覆盖6．证明：闭区间的全体聚点的集合是本身．证明：设的全体聚点的集合是M ．设不妨设则由实数集的稠密性知，集合中有无穷多个实数，故a 是的一个聚点．同理，b也是的一个聚点．设不妨设则故x 0的任意邻域内都含有中的无穷多个点，故x 0为的一个聚点．总之设令则即不是的聚点，即故M．综上所述，M＝，即闭区间的全体聚点的集合是本身．7．设为单调数列．证明：若存在聚点，则必是惟一的，且为的确界．证明：设是一个单调递增数列．假设ξ，η是它的两个不相等的聚点，不妨设ξ＜η．令δ＝η－ξ，则δ＞0，按聚点的定义，中含有无穷多个中的点，设则当n＞n1时，x n 于是中只能含有{x n }中有穷多个点，这与ξ是聚点矛盾．因此，若存在聚点，则必是惟一的．假设无界，则即任给M＞0，存在正整数N，当n＞N时，x n＞M，于是小于M 的只有有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，故有界．对任给的ε＞0，由聚点定义，必存在x N，使按上确界定义知综上，若有聚点，必惟一，恰为的确界．8．试用有限覆盖定理证明聚点定理．证明：设S 是实轴上的一个有界无限点集，并且假设S没有聚点，则任意都不是S 的聚点，于是存在正数使得中只含有S中有穷多个点．而开区间集是的一个开覆盖．由有限覆盖定理知，存在的一个有限覆盖，设为它们也是S的一个覆盖．因为每一个中只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集．这与题设矛盾．故实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．9．试用聚点定理证明柯西收敛准则．证明：设收敛，令于是，对任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m ＞N时，有于是设数列满足柯西收敛准则的条件．如果集合只含有有限多个不同的实数，则从某一项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立．此时，这个常数就是数列的极限．如果集合含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的．于是由聚点定理，集合至少有一个聚点假如有两个不等的聚点ξ，η，不妨设η＞ξ，令δ＝η－ξ，则与都含有集合中无限多个点．这与取，存在正整数N ，当n ，m ＞N 时，有矛盾．故的聚点是惟一的，记之为ξ．对于任意ε＞0，存在N ，使得当n ，m ＞N 时，又因为ξ是的聚点，所以存在n0＞N ，使得因而，当n ＞N 时，故数列收敛于ξ．10．用有限覆盖定理证明根的存在性定理．证明：根的存在定理：若函数f 在闭区间上连续，且f （a ）与f （b ）异号，则至少存在一点，使得f （x 0）＝0．假设方程f （x ）＝0在（a ，b ）内无实根，则对每一点有由连续函数的局部保号性知，对每一点存在x 的一个邻域，使得f （x ）在内保持与f （x ）相同的符号．于是，所有的形成的一个开覆盖．根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖．把这些开区间的集合记为S ，则点a 属于S 的某个开区间，设为它的右端点x 1＋δ1又属于S的另一个开区间，设为以此类推，经过有限次地向右移动，得到开区间，使得δn ）这n 个开区间显然就是的一个开覆盖．f （x ）在每一个内保持同一个符号．在内f （x ）与f （a ）具有相同的符号．因为所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号．以此类推，f （b ）与f （a ）具有相同的符号．这与f （a ）与f （b ）异号矛盾．故至少存在一点，使得f （x 0）＝0．11．用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理．证明：一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，则f 在上一致连续．因为f 在上连续，所以任绐任意ε＞0，存在对任意有取．则H 是的无限开覆盖．由有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为取对任意不妨设，即当时，由于因此由一致连续定义，f 在上一致连续．§2 上极限和下极限1．求以下数列的上、下极限。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】
第8章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．解：由题意，有f'（x）＝2x，即又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．证明：因为所以而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而即是在R 上的一个原函数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x 0为可去间断点．反证法：若f （x ）在区间I上有原函数F （x ），则在内由拉格朗日中值定理有，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．（2）若x 0为跳跃间断点．反证法：若f（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有成立．而这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：解：6．求下列不定积分：解：（1）当x≥0时，当x＜0时，由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此即，因此所以（2）当时，由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，即，因此所以7．设，求f（x）．解：令，则即8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．解：x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．§2 换元积分法与分部积分法1．应用换元积分法求下列不定积分：。
西华师范大学2010级数学分析(1)期末试题a1(含答案)
5．证明：函数 f ( x) =
（p.175:3(2)） （12 分） x 在区间 [1 , + ∞ ) 一致连续。
证明： ε > 0 。若 x1 ≥ 1 ， x2 ≥ 1 ，由于
x1 −
x2 =
x1 − x 2 x1 +
ch e
≤
x1 − x 2
1 +1
因此，欲使
x1 −
x2 < ε ，只需
∀ ε > 0 ， ∃δ = 2 ε ， ∀ x1 、 x 2 ∈ [1 , + ∞ ) ： x1 − x2 < δ ，有
f ( x + T ) = f ( x) ，此式两边对 x 求导：
d d f ( x + T ) = f ′( x + T ) = f ( x ) = f ′( x ) dx dx
即 f ′( x + T ) = f ′( x ) ；因此，函数 f ( x ) 的导函数 f ′( x) 也是周期函数。
an
x1 − x2
2
x2
=
<ε 。
x2 ≤
x1 − x2 <ε ， 2
)(
)
3
.c o
x1 − x 2
2
，
S = {u u ≥ 0 , u ∈ R } 。
m
（2） y ′ = [ ln ( tan x ) ] =
′
( tan x )′ = sec2 x =
tan x
2x 1 − x4
，故：
tan x
.c o
m
⎛ cos x ′ = e x ln sin x ⋅ ( x ln sin x ) = e x ln sin x ⋅ ⎜ ⎜ ln sin x + x sin x ⎝
数分真题答案
华东师大2000年数分考研试题解答一．（1）解：()011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪+⎝⎭()()0ln 1lim ln 1x x x x x →-+=+()0111limln 11x xx x x→-+=+++()()0lim1ln 1x xx x x→=+++()011lim ln 1112x x →==+++； 解：32cos sin 1cos x x dx x +⎰ ()()22cos 1cos cos 1cos x x d x x -=-+⎰()221cos 1t t t x dt t-=+⎰()22121t t dt t+-=+⎰221t t dt t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎰ ()221ln 12t t C =-++ ()221cos ln 1cos 2x x C =-++； 解：121222x xz F yzF xF z F xyF zF +=-=-+，121222yy z F zxF yF z F xyF zF +=-=-+，(),x y gradz z z =；二、证明 （1） (应用比值法与贝努里不等式) 由于=+n n e e 112])1()2([2++⋅++n n n n n n 12])1(11[2++⋅+-=n n n n 12])1(1[2++⋅+->n n n n 11)1(])1()1([22+++⋅+-+=n n n n n 1)1(1)1(33>+++=n n , 于是有1+<n ne e ,所以}{n e 是严格递增的;(2) (应用比值法与贝努里不等式)由于=+1n n E E 21])2()1([12++⋅+++n n n n n n 21])2(11[1++⋅++=+n n n n n 21])2(11[++⋅+++>n n n n n 21])2()1(111[2++⋅++++=n n n n n n 121]111[=++⋅++>n n n ,于是有1+>n nE E ,所以}{n E 是严格递减的;（3）因为11111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n nn e n ，所以11ln 11(1)ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立 三．证明0ε∀>，取2kεδ=，当(),x a a δ∈+时，若()()f x f a ≡，则f 在a 右连续；否则()0,x a a δ∃∈+，使得()()0f x f a ≠.不妨设()()0f x f a <，μ∀满足：()()0f x f a μ<<， ()02f x εμ-<，由题设条件，()10,x a x ∃∈，使得()1f x μ=，于是对于一切(),x a a δ∈+，有()()()()()()11f x f a f x f x f x f a -≤-+-()()()1f x x f a ξμ'=-+-22k kεεε<⋅+=，所以f 在a 右连续.同理可证f 在b 左连续.四、证明 （1）因为120(1)nn I xdx =-⎰1222101(1)2(1)0nn x x n x x dx -=-+-⎰122102[(1)1](1)n n x x dx -=-+-⎰122n n nI nI -=-，所以有1221n n nI I n -=+，2,3,...n =； （2）由（1），12102(1)3I x d x =-=⎰， 1222421215n n n I I n n -=⋅⋅⋅⋅+-22242212153n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅+-=>>=（1,23,...n =）。
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西华师范大学数学分析-1样题(一)
一.(8分)用数列极限的N ε−定义证明1n =.
二.(8分)设有复合函数[()]f g x ,满足:(1)lim ()x a
g x b →=;
(2)0()x U a ∀∈,有0
()()g x U b ∈(3)lim ()u b
f u A
→=用εδ−定义证明,lim [()]x a
f g x A →=.
三.(10分)证明数列{}n x :
cos1cos 2cos 1223(1)
n n
x n n =
+++⋅⋅⋅+⋯收敛.四.(12分)证明函数1
()f x x
=
在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续.五.(12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.六.(10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.
七.(12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞
−−=.
八.(14分)求函数32()2912f x x x x =−+在15
[,42
−的最大值与最小值.
九.(14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导,()()0f a f b ′′==.证明存在(,)a b ξ∈,使
2
4
()()()()f f b f a b a ζ′′≥
−−.
一.(10分)设数列{}n a 满足
:1a =
,1()n a n N +=∈,其中a 是一给定的
正常数,证明{}n a 收敛,并求其极限.
二.(10分)设0
lim ()0x x f x b →=≠,用εδ−定义证明0
11
lim
()x x f x b
→=.三.(10分)设0n a >,且1
lim
1n
n n a l a →∞+=>,证明lim 0n n a →∞
=.
四.(10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且
lim ()x a f x +
→,lim ()x b
f x −
→存在有限.五.(12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.
六.(12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2
[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在
a 可导.
七.(12分)求函数()1f x x x ααα=−+−在的最大值,其中01α<<.
八.(12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈,12x x <,都有
12()()f x f x ′′≤.
九.(12分)设()
,0()0,0
g x x f x x x ⎧ ≠⎪
=⎨⎪ =⎩且(0)(0)0g g ′==,(0)3g ′′=,求(0)f ′.
一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.arctan x x dx
∫ 2.x
e dx
−∫
3.
ln 0
∫
4.
20
sin 1cos x x
dx
x
π+∫
二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数,()0b
a
f x dx =∫
.证明()0f x =([,])x a b ∈.
三.(10分)证明20
sin 0x
dx x
π>∫
.四.(15分)证明函数级数0
(1)n n x x ∞
=−∑在不一致收敛,在[0,]δ(其中)一致收敛.
五.(10分)将函数,0
(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨− <≤⎩展成傅立叶级数.
六.(10分)
设22
22
sin 0(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明:(1)(0,0)x f ′,(0,0)y f ′存在;
(2)(,)x f x y ′,(,)y f x y ′在(0,0)不连续;(3)(,)f x y 在(0,0)可微.
七.(10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?
八.(15分)设01σ<<,证明1
11
(1)n n n σ
σ∞
=<+∑
.
一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:
1.(0)a >
2.
1172
8157
14
x x dx
x x
++∫3.
1
arcsin x dx
∫
4.1000
π∫
二.(各5分,共10分)求下列数列与函数极限:
1.2
21lim n
n k n
n k
→∞
=+∑ 2.2
0lim
1x
t x
x x
e dt
e →−∫
三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x ,()()0g a g b ==,有
()()0b
a
f x
g x dx =∫
.证明()0f x =([,])x a b ∈.
四.(15分)定义[0,1]上的函数列2
212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪
⎪
=− , <≤
⎨⎪
⎪
0 , ≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.
五.(10分)求幂级数0(1)n n n x ∞
=+∑的和函数.
六.(10分)用εδ−定义证明
2(,)(2,1)
lim (43)19x y x y →+=.
七.(12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =−− ≠的极值.
八.(13分)设正项级数1
n n a ∞
=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞
=.
一(10分)证明方程11(, )0F x zy y zx −−++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程
.z z
x
y z xy x y
∂∂+=−∂∂二(10分)设n 个正数12, , , n x x x ⋯之和是a
，求函数u =的最大值.三(14分)设无穷积分() a
f x dx +∞
∫收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明
1
()() ().
f x o x x
=→+∞四(10分)求函数1220() ln() F y x y dx =+∫的导数(0).
y >五(14分)计算
0sin sin (0, ).
px
bx ax
I e dx p b a x
+∞
−−=>>∫六(10分)求半径为a 的球面的面积S .七(10分)求六个平面
111111122222223333
333 ,
, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪
++=±∆≠⎨⎪++=±⎩所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >=八(12分)求22
C
xdy ydx
x y
−+∫
�，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九(10分)求dS z
∑
∫∫
，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.
数学分析-3样题(二)
一(10分)求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.
二(10分)求在两个曲面2221x xy y z −+−=与221x y +=交线上到原点最近的点.三(14分)设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞
=，证明无穷积分
1
() f x dx +∞
∫
与级数100
1
()n f n =∑同时收敛或同时发散.
四(12分)证明
ln (0).ax bx e e b
dx a b x a
−−+∞
−=<<∫
五(12分)设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有
01lim [()()] ()().
x
a h f t h f t dt f x f a h
→+−=−∫六(10分)求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤−≠的面积A .
七(10分)设222()() V
F t f x y z dx dy dz =++∫∫∫，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，
f 是连续函数，求'()F t .
八(10分)应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.
九(12分)计算 S
xyz dx dy ∫∫，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取
球面外侧.。