数学分析1测试题答案
数学分析试卷及答案6套
f ( x1 ) f ( x2 ) .
g ( x) ,x 0 九. (12 分)设 f ( x) x 且 g (0) g (0) 0 , g (0) 3 , 求 f (0) . 0, x 0
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
lim
h 0
1 h
x
a
[ f (t h) f (t )] dt f ( x) f (a).
六 (10 分 ) 求椭圆区域 R : (a1 x b1 y c1 ) 2 (a2 x b2 y c2 ) 2 1 (a1b2 a2b1 0) 的 面积 A . 七 (10 分) 设 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 ) dx dy dz ，其中 V : x 2 y 2 z 2 t 2 (t 0) ，
四. (12 分)证明函数 f ( x)
五. (12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12 分)确定 a, b 使 lim ( x 2 x 1 ax b) 0 .
x
1 5 八. (14 分)求函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 在 [ , ] 的最大值与最小值. 4 2
x x0
x x0
1 1 . f ( x) b
三. (10 分)设 an 0 ,且 lim
an l 1 , 证明 lim an 0 . n n a n 1
四. (10 分 ) 证 明 函 数 f ( x) 在 开 区 间 ( a, b) 一 致 连 续 f ( x) 在 ( a, b) 连 续 , 且
华东师大数学分析习题解答1
《数学分析选论》习题解答第 一 章 实 数 理 论１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ∉=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使；（２）存在严格递减数列ξ=⊂∞→n n n a S a lim ,}{使．证明如下：（１） 据假设，ξ>∈∀a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1Λ==εn n n 相应地S a n ∈∃,使得Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ．因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞→n n a lim .（２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取Λ,3,2,,1min 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ，就能保证Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □２．证明§1.3例６的（ⅱ）．证 设B A ,为非空有界数集，B A S ⋃=，试证：{}B A S inf ,inf m in inf =．现证明如下．由假设，B A S ⋃=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有{}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥⇒≥．另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有S A S x inf inf inf ≥⇒≥；同理又有S B inf inf ≥．由此推得{}B A S inf ,inf m in inf ≤．综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □３．设B A ,为有界数集，且∅≠⋂B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤⋂； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥⋂． 并举出等号不成立的例子．证 这里只证（２），类似地可证（１）．设B A inf ,inf =β=α．则应满足：β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有．于是，B A z ⋂∈∀，必有{}βα≥⇒⎭⎬⎫β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ⋂的一个下界．由于B A ⋂亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥⋂成立．上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则，这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而，故得{}{}B A B A inf ,inf m ax inf >⋂． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,，证明：（１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．证 这里只证（２），类似地可证（１）．由假设，B A inf ,inf =β=α都存在，现欲证β+α=+)(inf B A ．依据下确界定义，分两步证明如下：１）因为,,,,β≥α≥∈∈∀y x B y A x 有所以B A z +∈∀，必有β+α≥+=y x z ．这说明B A +β+α是的一个下界．２）B y A x ∈∈∃>ε∀00,,0，使得2,200ε+β>ε+α>y x ．从而ε+β+α>+∈+=∃)(,0000z B A y x z 使得，故B A +β+α是的最大下界．于是结论 B A B A inf inf )(inf +=+ 得证． □５．设B A ,为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集{}B b A a ab c AB ∈∈==,，证明：（１）B A AB sup sup )sup(⋅=； （２）B A AB inf inf )(inf ⋅=． 证 这里只证（１），类似地可证（２）．⎪⎩⎪⎨⎧⋅≤≤≤=≥≥∈∈∃∈∀,sup sup ,sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ⋅是AB 的一个上界．另一方面，B b A a ∈∈∃>ε∀00,,0，满足ε->ε->B b A a sup ,sup 00，故)(000AB b a c ∈=∃，使得εε-+-⋅>])sup sup ([sup sup 0B A B A c ．由条件，不妨设0sup sup >+B A ，故当ε足够小时，εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为一任意小正数．这就证得B A sup sup ⋅是AB 的最小上界，即 B A AB inf inf )(inf ⋅= 得证． □*６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．证 用反证法．倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性，则必存在两个正元素F ∈βα,，使序列}{αn 中没有一项大于β．于是，}{αn 有上界（β就是一个），从而由完备性假设，存在上确界λ=α}sup{n ．由上确界定义，对一切正整数n ，有α≥λn ；同时存在某个正整数0n ，使α-λ>α0n ．由此得出α+<λ≤α+)1()2(00n n ，这导致与0>α相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □７．试用确界原理证明区间套定理． 证 设{}],[n n b a 为一区间套，即满足：0)(lim ,1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞→n n n n n a b b b b a a a ΛΛΛ．由于{}n a 有上界k b ，{}n b 有下界k a （+∈N k ），因此根据确界原理，存在{}{}β≤α=β=α且,inf ,sup n n b a ．倘若β<α，则有Λ,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ，而这与0)(lim =-∞→n n n a b 相矛盾，故ξ=β=α．又因Λ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ，所以ξ是一切],[n n b a 的公共点．对于其他任一公共点Λ,2,1,],[=∈ηn b a n n ，由于∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ，因此只能是η=ξ，这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点． □８．试用区间套定理证明确界原理．证 设S 为一非空有上界的数集，欲证S 存在上确界．为此构造区间套如下：令 ],[],[011M x b a =，其中M S S x ,)(0∅≠∈Θ为S 的上界．记2111b a c +=，若1c 是S 的上界，则令],[],[1122c a b a =；否则，若1c 不是S 的上界，则令],[],[1122b c b a =．一般地，若记2nn n b a c +=，则令 Λ,2,1,,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c b c S c c a b a n n n n nn n n 的上界不是的上界当是．如此得到的{}],[n n b a 显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点ξ即为S 的上确界．由于上述区间套的特征是：对任何+∈Νn ，n b 恒为Ｓ的上界，而n a 则不为S 的上界，故S x ∈∀，有n b x ≤，再由ξ=∞→n n b lim ，便得ξ≤x ，这说明ξ是S 的一个上界；又因ξ=∞→n n a lim ，故ε-ξ>∃>ε∀n a ,0，由于n a 不是S 的上界，因此ε-ξ更加不是S 的上界．根据上确界的定义，证得S sup =ξ．同理可证，若S 为非空有下界的数集，则S 必有下确界． □ ９．试用区间套定理证明单调有界定理．证 设{}n x 为递增且有上界M 的数列，欲证{}n x 收敛．为此构造区间套如下：令],[],[111M x b a =；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套{}],[n n b a ，使n a 不是{}n x 的上界，n b 恒为{}n x 的上界．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，且使ξ==∞→∞→n n n n b a lim lim ．下面进一步证明 ξ=∞→n n x lim ．一方面，由∞→≤k b x k n 取,的极限，得到Λ,2,1,lim =ξ=≤∞→n b x k k n ．另一方面，ε-ξ>∈∃>ε∀+K a K 使,,0Ν；由于K a 不是{}n x 的上界，故K N a x >∃；又因{}n x 递增，故当N n >时，满足N n x x ≥．于是有N n x x a n N K >ξ≤<<<ε-ξ,，这就证得ξ=∞→n n x lim ．同理可证{}n x 为递减而有下界的情形． □ 10*．试用区间套定理证明聚点定理．证 设S 为实轴上的一个有界无限点集，欲证S 必定存在聚点．因S 有界，故0>∃M ，使得M x ≤，S x ∈∀．现设],[],[11M M b a -=，则],[11b a S ⊂．然后用逐次二等分法构造一区间套{}],[n n b a ，使得每次所选择的],[n n b a 都包含了S 中的无限多个点．由区间套定理，],[n n b a ∈ξ∃，n ∀．最后应用区间套定理的推论，,0>ε∀当n 充分大时，使得],[n n b a );εξ⊂(U ；由于],[n n b a 中包含了S 的无限多个点，因此);(εξU 中也包含了S 的无限多个点，根据聚点定义，上述ξ即为点集S 的一个聚点． □ 11*．试用有限覆盖定理证明区间套定理．证 设{}],[n n b a 为一区间套，欲证存在惟一的点Λ,2,1,],[=∈ξn b a n n ． 下面用反证法来构造],[11b a 的一个无限覆盖．倘若{}],[n n b a 不存在公共点ξ，则],[11b a 中任一点都不是区间套的公共点．于是，∈∀x ],[11b a ，使,],[n n b a ∃],[n n b a x ∉．即);(x x U δ∃与某个],[n n b a 不相交（ 注：这里用到了],[n n b a 为一闭区间 ）．当x 取遍],[11b a 时，这无限多个邻域构成],[11b a 的一个无限开覆盖：{}],[);(11b a x x U H x ∈δ=．依据有限覆盖定理，存在],[11b a 的一个有限覆盖：{}H N i x U U H i x i i ⊂=δ==,,2,1);(~Λ，其中每个邻域N i b a U ii n n i ,,2,1,],[Λ=∅=⋂．若令{}N n n n K ,,,max 21Λ=，则N i b a b a i i n n K K ,,2,1,],[],[Λ=⊂，从而N i U b a i K K ,,2,1,],[Λ=∅=⋂． （Ж） 但是Y Ni iU 1=覆盖了],[11b a ，也就覆盖了],[K K b a ，这与关系式（Ж）相矛盾．所以必定存在Λ,2,1,],[=∈ξn b a n n ．（有关ξ惟一性的证明，与一般方法相同．） □１２．设S 为非空有界数集．证明：S S y x Sy x inf sup ||sup ,-=-∈．证 设η<ξ=η=ξ且,sup ,inf S S （ 若η=ξ，则S 为单元素集，结论显然成立 ）．记{}Sy x y x E ∈-=,||，欲证ξ-η=E sup ．首先，S y x ∈∀,，有ξ-η≤-⇒η≤ξ≥||,y x y x ，这说明ξ-η是E 的一个上界．又因2,0ε-η>ε∀ ⎪⎭⎫ ⎝⎛ε+ξ2不再是S 的上()下界，故S y x ∈∃00,，使ε-ξ-η≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫ε+ξ<ε-η>)(||220000y x y x , 所以ξ-η是E 的最小上界，于是所证结论成立． □１３．证明：若数集S 存在聚点ξ，则必能找出一个各项互异的数列{}S x n ⊂，使ξ=∞→n n x lim ．证 依据聚点定义，对S U x ⋂εξ∈∃=ε);(,1111ο．一般地，对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧-ξ=ε-1,1m in n n x n ，Λο,3,2,);(=⋂εξ∈∃n S U x n n ．如此得到的数列{}S x n ⊂必定满足：Λ,3,2,||||11=≠⇒ξ-<ξ---n x x x x n n n n ；ξ=⇒∞→→<ξ-∞→n n n x n n x lim )(01||． □ 41*．设S 为实轴上的一个无限点集．试证：若S 的任一无限子集必有属于S 的聚点，则（１）S 为有界集；（２）S 的所有聚点都属于S ．证 （１）倘若S 无上界，则对1111,,1M x S x M >∈∃=使；一般地，对于{}Λ,3,2,,,,max 1=>∈∃=-n M x S x x n M n n n n n 使．这就得到一个各项互异的点列{}∞=⊂∞→n n n x S x lim ,使．S 的这个无限子集没有聚点，与题设条件相矛盾，所以S 必有上界．同理可证S 必有下界，故S 为有界集．（２）因S 为有界无限点集，故必有聚点．倘若S 的某一聚点S ∉ξ0，则由聚点的性质，必定存在各项互异的数列{}0lim ,ξ=⊂∞→n n n x S x 使．据题设条件，{}n x 的惟一聚点0ξ应属于S ，故又导致矛盾．所以S 的所有聚点都属于S ． □51*．证明：{}{}n n a a ∉ξ=sup ，则必有ξ=∞→n n a lim ．举例说明，当上述ξ属于{}n a 时，结论不一定成立．证 利用§1.3 例4，{}{}n n a a k ⊂∃，使ξ=∞→k n n a lim ，这说明ξ是{}n a 的一个聚点．又因ξ又是{}n a 的上界，故{}n a 不可能再有比ξ更大的聚点．所以ξ是{}n a 的上极限．当{}n a ∈ξ时，结论不一定成立．例如，1,111sup ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 显然不是⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的上极限． □61*．指出下列数列的上、下极限：（１）{}n)1(1-+； （２）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12)1(n n n； （３）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧πnn 3cos； （４）⎭⎬⎫⎩⎨⎧π+4sin 12n n n ；（５）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧π+n n n sin 12． 解（１）0lim ,2lim ,0,2122==≡≡∞→∞→-n n n n k k a a a a 故．（２）)(211412,21142122∞→-→---=→+=-k k k a k ka k k ，故21lim ,21lim -==∞→∞→n n n n a a ． （３）)(13cos211∞→≤π≤←n n nn， 故 1lim lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n a a a ．（４）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=+⋅--=+-=+=+++=+⋅=π+=.38,18,12222,8,12,4,0,28,12,38,18,12224sin 12k k n n nk n n n k n k n n n k k n n n n n n a n故2lim ,2lim -==∞→∞→n n n n a a ． （５）)(sin )1(sin 1222∞→π→ππ⋅+π=π+=n nn nn nn n a n ，故π===∞→∞→∞→n n n n n n a a a lim lim lim ． □71*．设{}n a 为有界数列，证明：（１）1lim )(lim =-=-∞→∞→n n n n a a ； （２）n n n n a a ∞→∞→-=-lim )(lim ．证 由)(sup )(inf ,)(inf )(sup k nk k nk k nk k nk a a a a ≥≥≥≥-=--=-，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）． □81*．设0lim >∞→n n a ，证明：（１）nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim； （２）nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim；（３）若11limlim =⋅∞→∞→n n n n a a ，或11lim lim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则{}n a 必定收敛．证 由)(sup 11inf ,)(inf 11sup k nk k n k kn k k n k a a a a ≥≥≥≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，令∞→n 取极限，即得结论（１）与（２）．若11limlim =⋅∞→∞→n n n n a a ，则由（１）立即得到 n n n n a a ∞→∞→=lim lim ，因此极限n n a ∞→lim 存在，即得结论（３）．类似地，若11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a ，则由（２）同样可证得（３）． □。
大学数学分析试题及答案
大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。
答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。
答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。
2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。
答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。
数学分析1智慧树知到课后章节答案2023年下德州学院
数学分析1智慧树知到课后章节答案2023年下德州学院德州学院第一章测试1.设非空数集有上确界，则（）A:错 B:对答案:错2.无最小值的非空数集，必无下确界. （）A:错 B:对答案:错3.函数无界的充要条件是其值域无上界，也无下界. （）A:对 B:错答案:错4.集合，则集合的上、下确界是（）.A:;B:．C:;D:;答案:．5.下列论断中, 正确的是（）.A:有上确界的集合必有最大值;B:有上界的集合必有上确界;C:有最大值的集合必有上确界;D:有界的集合必有上确界.答案:有上界的集合必有上确界;;有最大值的集合必有上确界;;有界的集合必有上确界.第二章测试1.若对任意的>0, 内有的无穷多项，则数列收敛于. （）A:错 B:对答案:错2.数列收敛. （）A:对 B:错答案:错3.数列和数列都发散，则数列发散. （）A:错 B:对答案:错4.若，则数列收敛于. （）A:对 B:错答案:对5.下列结果不正确的是( ).A:；B:.C:；D:；答案:；第三章测试1.函数在点的左、右极限都存在, 则在点的极限也存在. （）A:错 B:对答案:错2.当时, 函数与是等价无穷小. （）A:对 B:错答案:错3.若在开区间上单调增加，且有上界, 则在点有左极限. （）A:错 B:对答案:对4.函数极限存在. （）A:错 B:对答案:对5.曲线的渐近线共有几条（）A:；B:；C:.D:；答案:；第四章测试1.若在点连续，则也在点连续. （）A:对 B:错答案:对2.设是的第二类间断点. （）A:对 B:错答案:错3.设,是的第一类间断点.（）A:错 B:对答案:对4.函数在内一致连续. （）A:错 B:对答案:错5.设，则是的（）A:连续点.B:跳跃间断点；C:第二类间断点；D:可去间断点；答案:连续点.第五章测试1.若在点连续，则点可导. （）A:错 B:对答案:错2.设，，则. （）A:对 B:错答案:错3.函数在点可导和可微是等价的. （）A:对 B:错答案:对4.可导的偶函数,其导函数为奇函数.（）A:错 B:对答案:对5.若函数在=0处可导，则常数的值为 ( ).A:.B:；C:；D:；答案:；第六章测试1.若在点取得极小值，则. （）A:对 B:错答案:错2.设在区间上可导且，则在上严格递增. （）A:错 B:对答案:错3.若极限不存在，则也不存在. （）A:错 B:对答案:错4.若则在点取得极值. （）A:对 B:错答案:对5.若函数在定义域内则有 ( ).A:单调减少且曲线是凸的；B:单调增加且曲线是凹的；C:单调增加且曲线是凸的；D:单调减少且曲线是凹的.答案:单调减少且曲线是凹的.。
数学分析试卷及答案6套
数学分析-1样题(一)一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+L 收敛. 四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b使lim )0x ax b →+∞-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--.数学分析-1样题(二)一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=.三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.数学分析-2样题(一)一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. xe dx -⎰3.ln 0⎰4.20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数(1)nn x x∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑. 数学分析-2样题(二)一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dx x x++⎰3.10arcsin x dx ⎰4.1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. 221limnn k nn k→∞=+∑2. 20lim1xt xx x e dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列 证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数(1)nn n x∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1nn a∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.数学分析-3样题(一)一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x L 之和是a ，求函数u =.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22C xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九 (10分) 求dS z ∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部. 数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f xy z dx dy dz =++⎰⎰⎰，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数. 九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。
工科数分(1)期中考试参考答案(07-11-24)
工科数学分析(1)期中考试试题 答案2007年11月25日一、填空题 (每小题4分,共20分) 。
得分[ ]1、 ；=--+∞→)17(lim n n n n 4解： ；=--+∞→)17(lim n n n n =-++∞→178lim n n nn 411718lim=-++∞→nn n 2、设数列，（），则有 ；!)!2(n n n x n n ⋅= ,3,2,1=n =+→∞nn n x x 1lim e 4解 ；n nn nn n n n n n n n x x )1()1)(1()22)(12(lim lim 1+++++=∞→+∞→e nn n n n nn 4)11(1)11)(11()22)(12(lim =+++++=∞→3、 ；=-→22sin 0)31(lim xx x x32-e解 ；=-→22sin 0)31(lim xx x x3222sin )3231031(lim ---→=-exx x x x 4、设，， 则有x x f arccos )(=1||<x ='')(x f 32232)1()1(x x x x --=--- ；解，；2122)1(11)(---=--='x xx f 32232)1()1()(x xx x x f --=--=''-5、；=-+∞→)1(lim 1xx x x ∞+解 =-+∞→)1(lim 1xx x x =-+∞→x x xx 11lim1xe x xx 11lim ln 1-+∞→ 。
=--=+∞→22ln 11ln 1limxx xe x xx +∞=-+∞→)1(ln lim 1x x xx二、选择题(每小题4分,共20分)将代表答案的字母填入右边括号内。
得分[ ]1、设数列，与不是基列不等价的一个命题是 【 D 】}{n x }{n x （A ），对任意大的正整数，总存在正整数，使得0>∃εN Nn m N N>, ；02||ε≥-NNn m x x （B ），无论正整数多么大，总存在正整数和正整数，使得00>∃εN N n N>N p ；03||ε≥-+N N N n p n x x （C ），存在两个子列和，满足，；0>∃ε}{kn x}{k m x 0||ε≥-k k m n x x ,2,1=k （D ），，对于所有满足的，都有00>∃ε*N ∈∀N N n m >,*N ,∈n m 0||ε≥-n m x x 。
数学分析(一)期中试卷答案
(4 分) (5 分)
=
1 1 2 (1 + x 2 )
2 3
(2) y = ln(ln (ln x))
‘ Proof : y =
1 1 1 3 2 ⋅ ⋅ ⋅ x 3 ln x 2 ln(ln ) x ln 2 (ln 3 x ) ln 3 x
lim f ( x) = −∞ (2) x→ x +0
0
解：Let the function f ( x) be defined in the right semi-neighborhood of
x0 , If for each positive number G, no matter how large ,it is possible
1 1 +C54 (e x ) (1) ( )(4) + C55e x ( )(5) x x
⎡ 1 1 1 2 2! 3 3! 4 4! 5 5! ⎤ = e x ⎢C50 − C5 + − + − C C C C 5 5 5 5 x2 x3 x4 x5 x6 ⎥ ⎣ x ⎦
(3 分)
⎡ 1 5 20 60 120 120 ⎤ = ex ⎢ − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 ⎥ x x x x ⎦ ⎣x x
( x) = 1 , ∴ xlim →n −0
x→n+0
lim ( x ) = 0
∴
1 1 ( )=0 lim ( ) = 1 , lim 1 1 x→ −0 x x→ +0 x
《数学分析(一)》题库及答案
《数学分析（一）》题库及答案一．单项选择1、函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为_______。
A ．]1,2[-B ．]2,1[-C ．[0,3]D ．[1,3]2、函数)(x f 在0x x →时极限存在，是)(x f 在0x 点处连续的_______。
A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=1,11,21,1)(x xx x x x f ，则=→)(lim 1x f x _______。
4、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,10,sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ________。
A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在5、已知)1ln()(a x x f += )0(>x ，则=')1(f ________。
A ．aB ．2aC ．21 D ． 1 6、若在区间),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(<'x f ，二阶导数0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 内是________。
A ．单调减少，曲线上凸B ．单调增加，曲线上凸C ．单调减少，曲线下凸D ．单调增加，曲线下凸二、填空题1、函数)43cos(π+=xy 的周期为________。
2、=+∞→x x x)21(lim ________。
3、设x y 2sin =，则='''y ________。
4、设,2xe y =则y '''=_______。
5、设,)(lim 0A x x f x =→则=→xbx f x )(lim 0_______。
6、曲线xy 1=的渐近线是_______、_______。
三、判断对错1. 设函数在)(x f （a 、b ）上连续，则在)(x f [ a 、b ] 上有界。
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8.2.
------(5 分)
-------(7 分) ----------(8 分) ------(4 分)
∴ lim n a n + bn = b (由迫敛性) 2. ( u )′ = 1 2 u ,
(
′ x2 +1 = 1
)
x x +1
2
∴ f ′( x) =
x 1 + 2 x +1 2 x + x2 + 1 ln f ( x ) = cos x ln sin x
1 ln x
------(8 分)
cos x 7. Q lim+ ln x→0 sin x = lim+
x →0
cos x ln sin x ∞ 型 = lim+ x →0 ln x ∞
-------(4 分)
−siBiblioteka x cos x − −x cos x sin x = lim = −1 + 1 x →0 sin x cos x x lim+ e
4.取对数,得 ln f ( x ) =
--------(2 分)
两边对 x 求导,得
1 −2
1 1 1 f ′( x ) = − 2 ln x + 2 f ( x) x x --------(8 分)
----------(6 分)
所以, f ′( x) = x x (1 − ln x )
5. 因为 f(x)在 x=0 处可导,故在 x=0 处连续,所以 a = −9 . 又 f +' ( x) = lim−
数学分析 1 测试题 1 参考答案
一、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 3 ;0 2 2. 1 . 2
n →∞
3. 0
1, | a |> 1 . 4. 0, |a |< 1
n →∞
5. 对∀{xn } ⊂ U 0 ( x0 , δ )且 lim xn = x0 , 都有 lim f ( xn )存在且相等. π , (n ∈ Z ) . 8.1. 2 二、计算题（6 分，共 36 分） n +1 n +1 1. Q n n ⋅ < an < n 2 n ⋅ ------(5 分) n n n +1 n +1 而 lim n n ⋅ = 1, lim n 2n ⋅ =1 -------(7 分) n →∞ n →∞ n n 6. π ; 二. 7. nπ + ∴ lim an = 1 (由迫敛性)
n →∞ n →∞
------(3 分) 取 xn = 1 , 则 lim xn = 0 , 但 f ( xn ) = cos nπ = (−1)n 2 n →∞ (nπ ) ------(6 分)
因为 lim f ( xn ) 不存在, 所以 lim cos
n →∞ x→0
1 不存在(由归结原理) x
x x→0 x→0
7. Q lim+ ln ( sin x ) = lim+ x ln sin x = lim+
x →0
-------(4 分) ------(7 分)
ln sin x ∞ −x lim ⋅ x cos x = 0 =x + 1 → 0 sin x ∞ x 原式 = e 0 = 1 ------(8 分)
cos x ln x ln sin x
1
------(7 分)
所以,
x →0
= e −1
------(8 分)
三、证明题(每小题 10 分,共 20 分) 1. 先限制 | x − 0 |< 1且x ≠ 0, 则 -------(2 分) ------(6 分)
1 + x −1 1 1 1 − = ⋅ | x − 0 |< | x − 0 | 2 x 2 2( 1 + x + 1) 2 于是,对 ∀ε > 0, ∃δ = min{1, 2ε }, 当 | x − 0 |< δ , 有 1 + x −1 1 1 − < | x − 0 |< ε x 2 2 故 lim
3. 对∀ε > 0, ∃δ = δ (ε ) > 0, 使当0 < x − x0 < δ 时, 有 | f ( x) − A |< ε . 4. 2 5. 2 x 2 . 6.2. 7. nπ , n ∈ Z 1 8. (a + b) 2
二、计算题（每小题 8 分，共 48 分） 1.由 lim n 2 = 1 及迫敛性知:
4 4
t=
π 4
= −2 2
--------(3 分)
且 x0 = sin t |
π t= 4
=
2 , y = cos 2t | π = 0 t= 2 4
----------(4 分)
2 所以,切线方程为 y = −2 2 x − , 即y + 2 x − 2 = 0 2 法线方程为 y = 1 2 x − ,即4y- 2 x + 1 = 0 2 2 2
n →∞
----------(8 分) ------(8 分)
2. f ′( x) = arctg x +
x 1 x ⋅ + 1+ x 2 x 1 − x2
3. 取对数 ln f ( x) = x ln(ln x) 两边对 x 求导, 得
-------------(2)
1 1 ⋅ f ′( x) = ( x )′ ln(ln x) + x(ln(ln x )′ = ln(ln x) + --(2 分) f ( x) ln x ------------(8 分)
所以
1 f ′( x) = (ln x) x ln(ln x ) + ln x
(注:也可将 f(x)改写成 f ( x ) = e x ln(ln x ) 再求导.) 4. Q dy (cos 2t )′ −2sin 2t = = dx t = π (sin t )′ t =π cos t
x→0
f ( x) − f (0) 1 = lim xα −1 sin 存在 x→0 x−0 x -------(8 分)
---(7 分)
故当 α − 1 > 0即α > 1时, f ( x )在x = 0处可导 . 6. lim
x→0
x − sin x 0 1 − cos x 0 1 sin x 1 = 型 = lim ⋅ 型 = lim 3 2 x 6 0 x → 0 3 x 0 x →0 6 x
n →∞
当 0 < x ≤ 1 时, 1 ≤ n 1 + x n ≤ n 2 → 1(n → ∞) , 这时 lim n 1 + x n = 1
n →∞ n →∞
---(4 分)
当 x > 1 时, x = n x n ≤ n 1 + x n ≤ n 2 x → x(n → ∞) ,这时 lim n 1 + x n = x ---(8 分) 2. 归结原则: 对∀{xn } ⊂ U 0 ( x0 , δ )且 lim xn = x0 , 都有 lim f ( xn )存在且相等.
n →∞
------(8 分)
′ , xn ′′ → 0, 但 lim f ( xn ′ ) ≠ lim f ( xn ′′) ) (注: 也可取 xn
n→∞
3. 间断点为 x = ±1
x →1 x →1
-------------(2)
因为 lim f ( x ) = 1, lim f ( x ) = −1 , 所以 x=1 为 f(x) 的跳跃间断点; ---(5 分) + −
--------(6 分)
---------(8 分)
5. 要使 f(x)在 x=0 处连续, 即要 lim f ( x) = lim xα sin
x→0 x →0
1 = 0 = f (0) --(3 分) x -------(4 分)
故当 α > 0时， f ( x)在x = 0处连续. 要使 f(x)在 x=0 可导, 即要使 lim
π π 设 f(x)=1+sinx-2x, 则 f(0)=1>0, f = 2 − π < 0 , 知 x ∈ 0, , 使得 2 2 f(x)=0, 即 1+sinx=2x 有根. --------(7 分)
π 下证唯一性.若方程存在两个根 x1 , x2 ∈ 0, , 且x1 < x2 ,则有 2 sin x2 − sin x1 = 2( x2 − x1 ) 这与前面已证 sin x2 − sin x1 < ( x2 − x1 ) 相矛盾,故 x1 = x2 ----(10 分)
--------(6 分)
显然
------(7 分)
且
1 1 − 1 2 1 1 1 2 2 <1 0 < an < + 2 + L + 2 = 1 2 2 2 −1 2 ----(10 分)
--------(9 分)
故由单调有界定理知收敛.
数学分析 1 测试题 3 参考答案
一、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 1, −1 . 2. 0.
----------(6 分) -----------(8 分) ---(8 分)
e x ( x − 2) + x + 2 0 xe x 1 ( x − 1)e x + 1 0 = lim = lim = 型 型 x→0 x3 3x 2 0 x→0 0 x→0 6 x 6