【全国百强校首发】辽宁省鞍山市第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题(图片版)
辽宁省鞍山市第一中学2017届高三下学期最后一次模拟考试数学(文)试题(精品解析)
鞍山一中2017届高三七模考试数学（文科）试卷一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，所给选项中只有一个正确）1.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，，，所以，故选A．2.已知复数满足，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，所以，故选A．3.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，，∴，∴，∴．考点：平方关系、倍角关系．4.已知变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点时，有最小值，故选B．5. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为（）A.B.C. 65,63.5D. 65,65【答案】D【解析】试题分析：选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数.最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为（0.01+0.02）×10=0.3，由于0.5﹣0.3=0.2，则，∴中位数为60+5=65.故选D.考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图．6.设是公差不为0的等差数列，满足，则的前10项和（）A. -10B. -5C. 0D. 5【答案】C【解析】分析：根据题意变形可得：，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．详解: ：a42+a52=a62+a72，化简可得：，即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0．∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10==5（a5+a6）=0，故选：C．点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：若等差数列的前项和为，且，则①若，则；②、、、成等差数列．7.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的和为（）A. 18B.C.D.【答案】C【解析】因为圆心，所以圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最大值为，应选答案C 。
辽宁省鞍山市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试理数试题 含解析
辽宁省鞍山市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7M =，命题:,1p n M n ∀∈>,则（ )A ．:,1p n M n ⌝∀∈≤B ．:,1p n M n ⌝∃∈>C ．:,1p n M n ⌝∀∈>D ．:,1p n M n ⌝∃∈≤ 【答案】D考点：命题的否定.2.已知椭圆221168x y +=的一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：由椭圆方程221168x y +=可知，4a =，又由椭圆的定义可知1228MF MF a +==，所以218844MF MF =-=-=，故选B.考点：椭圆的定义及标准方程. 3.双曲线2241x y -=的焦距为( ）A ．3B ．32C ．5D ．52【答案】C 【解析】试题分析：由双曲线2241x y -=，可得双曲线的标准方程为22114y x -=， 所以2215142c a b =+=+=，所以双曲线的焦距为25c =，故选C 。
考点：双曲线的标准方程及其性质。
4.“,a b R +∈"是2a bab +≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分不必要条件的判定. 5。
数列{}n a 的通项公式为2141n a n =-，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．221n n + B ．21n n + C ．241nn + D ．41n n +【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，数列{}n a 的通项公式为211111()41(21)(21)22121n a n n n n n ===--+--+,所以数列{}n a 的前n 项和11111111[(1)()()()]2335572121n S n n =-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++，故选B 。
【全国百强校】辽宁省鞍山市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试化学试题解析(解析版)
一、选择题(每小题2分，共18题，共36分。
每题只有—个选项符合题意)1、针对平衡2O2(g)+O2(g) 2SO2(g)，采用下列措施一段时间后，能增大逆反应速率的是( )A．通入大量O2B．增大容器容积C．移去部分SO3D．降低体系温度【答案】A【考点定位】考查化学反应速率的影响因素【名师点晴】本题考查化学反应速率的影响因素，侧重于从浓度的角度考查该题，为高考常见题型。
增大逆反应速率，可增大生成物浓度，升高温度，增大压强，或加入催化剂等。
2．如图表示的是某离子X的水解过程示意图，则离子X可能是( )A．CO32-B．HCO3-C．Na+D．NH4+【答案】D【解析】试题分析：根据盐的水解原理结合图示的内容可以知道X离子水解显示酸性。
A、碳酸根水解，显示碱性，故A错误；B、碳酸氢根离子水解显示碱性，故B错误；C、钠离子不会发生水解，故C错误；D、铵根离子水解溶液显示酸性，故D正确；故选D。
考点：考查了盐类的水解的相关知识。
3、下列关于水的电离平衡的相关说法正确的是( )A．c(H+的溶液一定呈中性B．将水加热，K w增大，pH增大，仍呈中性C．向0．1mol/L醋酸溶液中加水，溶液中水电离产生的c(H+)将减小D．向水中加入少量碳酸氢钠固体，溶液的c(H+)增大，平衡逆向移动【答案】A考点：考查了水的电离、Kw的影响因素、溶液酸碱性的判断的相关知识。
4．在一定温度条件下，对于已达平衡的反应：FeCl3+3KSCN3KCl+Fe(SCN)3，在此溶液中作如下处理，平衡左移的是( )A．加入少量氯化钾固体B．加入少量氯化铁固体C．只减少Fe(SCN)3的浓度D．加水稀释【答案】D【解析】试题分析：A、根据实际参加反应的离子浓度分析，化学平衡为Fe3++3SCN-=Fe(SCN)3，加入少量KCl固体，溶液中Fe3+、SCN-浓度不变，溶液颜色不变，平衡不动，故A错误；B、加入少量氯化铁固体，溶液中Fe3+浓度增大，平衡正向进行，溶液颜色加深，故B错误；C、减少Fe(SCN)3的浓度，平衡正向进行，故C错误；D、加水稀释，离子浓度降低，溶液颜色变浅，c3(SCN-)•c(Fe3+)降低更多，平衡左移，故D正确；故选D。
最新辽宁省鞍山市第一中学高二下学期期中数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省鞍山市第一中学高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．复数()261z i i =++的虚部是（ ） A ．1 B ．2C ．iD ．2i【答案】B【解析】利用复数的次幂运算，化简复数z ，即可得到答案. 【详解】∵()26112z i i i =++=-+， ∴复数z 的虚部为2. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的次幂运算、虚部的概念，考查运算求解能力，属于基础题. 2．极坐标方程表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 【答案】D 【解析】解：因为3．若()y f x =是奇函数，则()11=f x dx -⎰（ ）A ．0B ．()012f x dx -⎰C ．()12f x dx ⎰D ．1【答案】A【解析】根据积分的几何意义，即可得到答案. 【详解】∵()y f x =是奇函数，∴图象关于原点对称， ∴根据积分的几何意义得：()110f x dx -=⎰.故选：A. 【点睛】本题考查积分的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.4．201lim x x e x→-=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．e【答案】C【解析】利用洛比达法则进行求解，即可得到答案. 【详解】∵220012lim lim 21x x x x e e x →→-==. 故选：C. 【点睛】本题考查洛比达法则求极限值，考查运算求解能力，属于基础题.5．有五名学生和一位老师站成一排，老师既不站在排头也不站在排尾，则共有（ ）种不同的站排方法 A ．720 B ．600 C ．480 D ．360【答案】C【解析】6个位置确定下来后，先排老师有4种选择，剩下5个位置再进行全排列，即可得答案. 【详解】∵6个位置确定下来后，先排老师有4种选择，剩下5个位置再进行全排列，∴共有554480A ⨯=（种）.故选：C. 【点睛】本题考查有限制元素顺序的排列数问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 6．“菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等”.以上三段论推理中错误的是（ ） A ．大前提 B ．小前提C ．推理形式D ．大前提、小前提和推理形式 【答案】A【解析】“菱形的对角线相等”是错误的，即大前提是错误的． 【详解】大前提，“菱形的对角线相等”， 小前提，正方形是菱形，结论，所以正方形的对角线相等，大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分． 以上三段论推理中错误的是：大前提， 故选：A ． 【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的． 7．下面几种推理中，是合情推理的是（ ） ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180︒，归纳出所有的三角形的内角和是180︒； ③函数()1xy aa =>是增函数，而在函数2x y =中，21>，所以2x y =是增函数；④数学归纳法 A ．①②④ B ．①②③④C ．①②D ．②③④【答案】C【解析】由归纳推理，类比推理，演绎推理的推理过程逐一检验即可得解． 【详解】对①，由圆的性质类比出球的有关性质，是类比推理，故①正确；对②，由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180︒归纳出所有三角形的内角和都是180︒是归纳推理，故②正确； 对③，函数()1xy aa =>是增函数，而在函数2x y =中，21>，所以2x y =是增函数；是三段论的演绎推理，故③错误；对④，数学归纳法不是合情推理，故④错误. 故选：C. 【点睛】本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理的概念，考查逻辑推理能力，属于基础题. 8．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n*-+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ） A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+D ．112122k k -++ 【答案】D【解析】根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求． 【详解】当n k =时，等式的左边为111111234212k k-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++，故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++． 故选：D ． 【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．9．已知函数()f x lnx x k =-++，在区间1[,]e e上任取三个实数a ，b ，c 均存在以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形，则实数k 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(,3)e -∞-C ．(1,)-+∞D ．(3,)e -+∞【答案】D【解析】由条件可得2()()min max f x f x >且()0min f x >，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论． 【详解】任取三个实数a ，b ，c 均存在以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形，等价于()()()+>f a f b f c 恒成立，可转化为2()()min max f x f x >，且()0min f x >． 令11()10x f x x x-'=-+==得1x =． 当11x e<<时，()0f x '<；当1x e <<时，()0f x '>； 所以当1x =时，min ()(1)1f x f k ==+，11(){(),()}1,11max f x max f f e max k e k e k e e ⎧⎫==++-+=-+⎨⎬⎩⎭，从而可得2(1)110k e kk +>-+⎧⎨+>⎩，解得3k e >-.故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 10．已知函数()y f x =的定义域是[],a b ，()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在开区间(),a b 内取得极小值的点共有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】分析可得()y f x '=图象从左到右是从下方穿过x 轴的点即为极小值点，由图可得答案． 【详解】极小值点满足导数值为0，且左侧单调递减，右侧单调递增， 即该点处导数为0，且导数左侧负，右侧正， 即图象从左到右是从下方穿过x 轴，结合图象可知，仅函数()y f x =在开区间(,)a b 内取得极小值的点有1个， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的极值的定义，以及函数的单调性和导数的关系，属中档题．11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取到的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续的奇数5，7，9：第四次取4个连续的偶数10，12，14，16……按此规律一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16…，则在这个子数列中，第2014个数是（ ） A ．3965 B ．3966C ．3968D ．3969【答案】A【解析】本题是归纳推理，要从中找出数字递增的规律，第n 组有连续个奇数和偶数构造，其中奇偶性根n 的奇偶性相同，然后利用该规律解题． 【详解】记该数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，⋯为{}n a ，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4； 第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16； 第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25，⋯可知：第一组的最后一个数依次为：1，4，9，16，25，⋯归纳得到，每一组的最后一个数依次为：21，22，23，24，⋯，2n ，⋯ 即第n 个组最后一个数为2n ．由于1236162612014+++⋯+++=， 所以2014a 位于第63组，倒数第三个， 因为第63组最后一个数为2633969=， 由组内的差为2，得：2014396943965a =-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查归纳推理，考查逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力，求解时注意发现规律（每个组的最后一个数是完全平方数）. 12．已知函数()xf x xe =，若方程()()()210fx tf x t R ++=∈有四个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D ．21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数()||xf x xe =化成分段函数，通过求导分析得到函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，在(,1)-∞-上为增函数，在(1,0)-上为减函数，求得函数()f x 在(,0)-∞上，当1x =-时有一个最大值1e，所以，要使方程2()()10()f x tf x t R ++=∈有四个实数根，()f x 的值一个要在1(0,)e 内，一个在(1e，)+∞内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t 的取值范围．【详解】(0)()||(0)x xxxe x f x xe xe x ⎧==⎨-<⎩…，当0x …时，()0x x f x e xe '=+…恒成立，所以()f x 在[0，)+∞上为增函数；当0x <时，()(1)xxxf x e xe e x '=--=-+，由()0f x '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-时，()(1)0xf x e x '=-+>，()f x 为增函数，当(1,0)x ∈-时，()(1)0xf x e x '=-+<，()f x 为减函数，所以函数()||x f x xe =在(,0)-∞上有一个最大值为11(1)(1)f e e--=--=， 要使方程2()()10()f x tf x t R ++=∈有四个实数根， 令()f x m =，则方程210m tm ++=应有两个不等根，且一个根在1(0,)e 内，一个根在(1e，)+∞内， 再令2()1g m m tm =++，因为(0)10g =>，则只需(g 1)0e <，即(211)10t e e++<， 解得：21e t e+<-．所以，使得函数()||xf x xe =，方程2()()10()f x tf x t R ++=∈有四个实数根的t 的取值范围是21(,)e e+-∞-．故选：A ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数的判断、利用函数的导函数分析函数的单调性，解答此题的关键是分析出方程2()()10()f x tf x t R ++=∈有四个实数根时()f x 的取值情况．二、填空题13．方程221x y +=所对应的图象经过伸缩变换23X xY y =⎧⎨=⎩后所得的图象对应的方程为__________．【答案】22149X Y+=【解析】根据条件得,2,3X x Y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入方程221x y +=，即可得答案.【详解】∵23X x Y y =⎧⎨=⎩，∴,2,3X x Y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22()()123X Y +=，即22149X Y +=.故答案为：22149X Y +=.【点睛】本题考查伸缩变换，考查运算求解能力，求解时注意相关点代入法的应用. 14．已知22326x y +=，则2x y +的最大值为__________．【解析】由柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++„中的1a =，2a，1b =22b =代入即可得出. 【详解】令1a =，2a，1b =22b = 代入柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++„， ∴2224111(2)(32)()611326x y x y +++⨯=剟2x y+2x y ∴+．． 【点睛】本题考查柯西不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．15．有6个人分成两排就座，每排3人，若甲和乙必须在同一排且相邻，则有__________种不同的坐法． 【答案】192【解析】先把甲和乙捆在一起，再进行分组，再排列即可得答案. 【详解】先进行分组，并保证甲和乙在一起，共有14C 4=种，再进行排列，∴共有113423(22)192N C C A =⋅⋅⨯⋅=.故答案为：192. 【点睛】本题考查排列数的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意先捆绑、再分组、再排列的思路.16．()f x '是()f x 的导函数，且()()22018f x x f x =--.当()0,x ∈+∞时，()20180f x x '->，则不等式()()120181009f m f m m +--≥+的解集为__________． 【答案】1[,)2-+∞【解析】构造函数2()()1009g x f x x =-，由已知可得()g x 是奇函数且在R 上单调递增，进而得到答案． 【详解】2()2018()f x x f x =--Q ，即2()()2018f x f x x +-=， 22()1009()1009()0f x x f x x ∴-+---=，构造函数2()()1009g x f x x =-，()()2018g x f x x ''∴=-，()()0g x g x +-=， ()g x ∴是奇函数，(0,)x ∈+∞Q 时()20180f x x '->， ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，()g x Q 是奇函数()g x ∴在R 上单调递增，(1)()20181009f m f m m +--+Q …，2()()1009f x g x x =+，22(1)1009(1)[()1009]20181009g m m g m m m ∴+++--++…，(1)()g m g m ∴+-…，1m m ∴+-…，12m ∴-….故答案为：1[,)2-+∞.【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，构造函数并判断奇偶性和单调性，是解答的关键．三、解答题17．（1）m 为何值，复数()()22lg 2232z m m m m i =--+++是纯虚数； （2）关于x 的方程()()212310x x i m i ++--=有实根，求纯虚数m 的值.【答案】（1）3m =;（2）13m i =. 【解析】（1）根据实部为0，虚部不为0，可得关于m 的方程，解方程即可得答案； （2）设纯虚数(0)m bi b =?，代入方程求得b 的值，即可得到纯虚数m 的值. 【详解】（1）∵复数()()22lg 2232z m m m m i =--+++是纯虚数∴()22lg 220,320,m m m m ⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩22221,320,m m m m ⎧--=⎪⇒⎨++≠⎪⎩解得：3m =.∴3m =复数z 是纯虚数. （2）设纯虚数(0)m bi b =?，∴()()212310x x i bi i ++--=，即()2(3)1210x b x i ++++=，∴230,220,x b x ⎧+=⎨+=⎩解得：1,1.3x b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴纯虚数13m i =. 【点睛】本题考查复数的分类，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．已知函数()2f x x px q =++（1）求()()()1322f f f +-的值 （2）求证：()1f 、()2f 、()3f 至少有一个不小于12.【答案】（1）2;（2）见解析.【解析】（1）根据函数()f x 的解析式，分别将1x =，2，3代入求得(1),(2),(3)f f f ，进而求得()()()1322f f f +-的值； （2）利用反证法证明，假设三个数都小于12． 【详解】（1）∵()2f x x px q =++∴(1)1f p q =++，(2)42f p q =++，(3)93f p q =++∴()()()(1)(93)2(42)21322f p q f f p q p q =++++++-++=-. （2）假设()1f 、()2f 、()3f 都小于12， 则()()(),123111,222f f f <<<， 即有()()()111111,,222223212f f f --<-<<<<<，∴()()()213222f f f -<+-<，由（1）可知()()()13222f f f +-=，矛盾，∴假设不成立，即原命题成立．【点睛】反证法是一种从反面的角度思考问题的证明方法，体现的原则是正难则反．反证法的基本思想：否定结论就会导致矛盾，证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”． 19．选修4-5：不等式选讲已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+， （Ⅰ）当2a =-时，解不等式：()()f x g x <；（Ⅱ）若1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{}|02x x <<（Ⅱ）4(1,]3a ∈-【解析】试题分析：（I ）当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为212230x x x-+---<，设函数y =21223x x x-+---，y =15,?21{2,?1236,?1x xx xx x-<--≤≤->，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x∈时，y＜0，∴原不等式解集是{|02}x x<<.（Ⅱ）当x∈[2a-，12)时，()f x=1a+，不等式()f x≤()g x化为13a x+≤+，∴2x a≥-对x∈[2a-，12)都成立，故2a-≥2a-，即a≤43，∴a的取值范围为（-1，43].【考点】绝对值不等式解法，不等式恒成立问题．点评：中档题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点．有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等．不等式恒成立问题，通常利用“分离参数法”，建立不等式，确定参数的范围．20．选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点为极点，的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线．（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线的切线交曲线于不同两点，切点为．求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）曲线的方程是ρ=1，即，利用，即可化为直角坐标方程：再向上平移1个单位得到曲线：，展开利用即可得到曲线C2的极坐标方程．（II ）设T （cos θ，sin θ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t 为参数），代入的方程化为：，利用|TM|•|TN|=||及其三角函数的单调性即可得出试题解析：（1）依题,因,所以曲线的直角坐标下的方程为,所以曲线的直角坐标下的方程为,又，所以, 即曲线的极坐标方程为． （2）由题令，，切线的倾斜角为，所以切线的参数方程为:（为参数）．代入的直角坐标方程得,，，因为所以．【考点】简单曲线的极坐标方程 21．已知函数()21nn f x x x x =+++L ，()()()112n n n x gx ++=，其中0x >，*n N ∈且2n ≥.（1）求证：2n ≥时，()()22n n g f >；（2）当2n ≥，1x ≠时，求证：()()n n g x f x >. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）将2x =代入得()1221n n f +=-，()()()12122n n n g ++=再利用作差比较大小；（2）作差得()()1(1)(1)(1)(1)22(1)n n n n n x n x n x g x f x x +-+++-+---=-，再利用构造函数法，令1()(1)(1)(1)(1)2n n u x n xn x n x +=-+++-+--，利用导数研究函数的最值和单调性，即可证得结论. 【详解】（1）∵()12111n nn x f x x x x x+-=+++=-L ，当2x =时，()1221n n f +=-，()()()12122n n n g ++=，∴()()()()()1121323222122n nn nn n n n gf +++-++-=-+=， 当2n =时，()()45122022n n g f -+-==>； 当3n ≥时，()()220n n g f ->显然成立， ∴()()22n n g f >对2n ≥恒成立.（2）∵()12111n n n x f x x x x x +-=+++=-L ，()()()112n nn x g x ++=，∴()()1(1)(1)(1)(1)22(1)n n n n n x n x n x g x f x x +-+++-+---=-，令1()(1)(1)(1)(1)2n n u x n xn x n x +=-+++-+--，则'11()(1)(1)(1)(1)(1)[(1)1]nn n n u x n n x n n xn n n x nx --=-++++-+=+--+-，''122()(1)[(1)(1)](1)(1)(1)n n n u x n n n x n n x n n n x x ---=+-++-=+--+，①当01x <<时，''()0u x >，∴'()u x 在(0,1)单调递增，且'(1)0u =， ∴'()0u x <在(0,1)恒成立，∴()u x 在(0,1)单调递减，且(1)0u =， ∴()0u x >在(0,1)恒成立，∵2(1)0x ->，2n ≥，∴()()n n g x f x >恒成立；②当1x >时，''()0u x <，∴'()u x 在(1,)+∞单调递减，且'(1)0u =， ∴'()0u x <在(1,)+∞恒成立，∴()u x 在(1,)+∞单调递减，且(1)0u =， ∴()0u x <在(1,)+∞恒成立，∵2(1)0x -<，2n ≥，∴()()n n g x f x >恒成立；综上所述：()()n n g x f x >恒成立； 【点睛】本题考查数列与导数的综合运用、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22．设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c ∈R ）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.【答案】（1）1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）3（3）见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得()()111g f ''==，又()()11f g =，解方程组可得,a b 的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得c 的最小值；(3)先根据零点表示b ，代入要证不等式化简得1222111ln 1x x xx x x -<<-.再构造函数()1ln 1t t tϕ=+-，以及()ln 1m t t t =-+，结合导数研究其单调性，即证得结论试题解析：解：（1）由()ln f x x =，得()10f =，又()1f x x'=，所以()11f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以()2bg x a x-'=，所以()1g a b '=-. 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以()()()()1111f g f g ⎧==''⎪⎨⎪⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）当01x >时，则()00f x >，又3b a =-，设()0t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ． 即关于x 的方程()()230(0)ax c t x a t -++-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．所以()()212120343030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得()()203430a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以()23c a a t >--对()()0,,0,3t a ∈+∞∈恒成立． 因为03a <<，所以（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以的取值范围是(),3-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222b lnx x c x b lnx x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln 1x x b x x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭.要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--<-<- ⎪-⎝⎭， 即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令()1ln 1t t t ϕ=+-，所以()221110t t t t tϕ'-=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又()10ϕ=，所以()1ln 10t t tϕ=+->，即11ln t t-<成立； 再令()ln 1m t t t =-+，所以()1110tm t t t-=-=<'，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又()10m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立． 综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。
【全国校级联考】辽宁省鞍山市第一中学、东北育才中学、辽宁省实验中学2015-2016学年高二下学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知随机变量),2(~2δN X ，下列概率与)1(<X P 相等的是（ ）A ．)3(>X PB ．)4(>X PC ．)4(1>-X PD ．)3(1>-X P 【答案】A考点：正态分布及性质．2.设直线x y =与曲线3x y =所围成的封闭图形的面积为S ，某同学给出了关于S 的以下五种表示： ①⎰-=13)(dx x x S ；②⎰--=013)(2dx x x S ；③⎰--=113)(dx x x S ；④⎰⎰-+-=-13013)()(dx x x dx x x S ；⑤⎰--=113||dx x x S ，其中表示正确的序号是（ ）A ．①③B ．④⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 【答案】C 【解析】试题分析：结合定积分的性质和有关知识可知答案②④⑤是正确的，所以应选C. 考点：定积分的性质和运算．3.已知复数ii z -+=1)1(2，则（ ）A ．2||=zB ．i z -=1C ．z 的实部为1D ．1+z 为纯虚数 【答案】D 【解析】 试题分析：因i i i i i z +-=+=+=1)1(2)1(2,故i z =+1是纯虚数，所以应选D. 考点：复数的乘法除法运算．4.有一段“三段论”推理是这样的：对于定义域内可导函数)(x f ，如果0)('>x f ，那么)(x f 在定义域内单调递增；因为函数x x f 1)(-=满足在定义域内导数值恒正，所以，xx f 1)(-=在定义域内单调递增.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 【答案】A 【解析】试题分析：因函数xx f 1)(-=在其定义域内不连续,所以不可导,所以大前提是错误的,故应选A. 考点：三段论、导数及运用．5.已知变量x ，y 之间的线性回归方程为10.37.0ˆ+-=x y ，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．4=mC ．可以预测，当11=x 时，6.2=yD ．由表格数据知，该回归直线必过点)4,9( 【答案】B 【解析】试题分析：结合题设条件可知答案B 是错误的,所以应选B. 考点：线性回归方程及运用．6.从7,6,5,4,3,2,1中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为（ ）A ．51B ．31C ．21D ．32 【答案】D考点：概率及求法． 7.在n xx )12(3-的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ） A ．255B ．255- C ．28- D ．28 【答案】B考点：二项式定理及运用．8.已知结论：“在正ABC ∆中，若D 是边BC 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2=GDAG.”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体的距离都相等，则=OMAO（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：运用类比推理的思维模式可推知=OMAO3,故应选答案C. 考点：类比推理及运用．9.一个五位自然数54321a a a a a ，5,4,3,2,1},6,5,4,3,2,1,0{=∈i a i ，当且仅当543321,a a a a a a >><<时称为“凸数”（如12543，34643等），则满足条件的五位自然数中“凸数”的个数为（ ）A ．81B ．171C ．231D ．371 【答案】C 【解析】试题分析：当中间的数是6时,先考虑后面两位数字有1512345=++++种排法；前面有101234=+++种排法,由分步计数原理可得1501015=⨯种;当中间的数是5时, 先考虑后面两位数字有101234=+++种排法；前面有6123=++种排法,由分步计数原理可得60610=⨯；当中间的数是4时,先考虑后面两位数字有6123=++种排法；前面有312=+种排法,由分步计数原理可得1836=⨯种；乘当中间的数是3时, 先考虑后面两位数字有312=+种排法；前面有1种排法,由分步计数原理可得313=⨯种排法，所以由分类计数原理可得23131860150=+++,故应选答案C. 考点：分类和分步计数原理．【易错点晴】本题考查的排列组合中两个计数原理知识在解答实际问题中的运用的问题.解答时充分借助题设中所提供的凸数这一新定义的信息.运用分类整合的数学思想进行分类求解,最终使得问题获解.解答本题的难点在于如何理解凸数这一概念的内涵,特别是在求凸数成立时的所有种数时,左边和右边的种数要相乘这是学生容易忽视的地方,因为这是分步进行的所以一定要相乘求积.之后的分类情况所得的种数要相加这个容易接受.10.已知b a ,为正实数，直线a x y 2-=与曲线)ln(b x y +=相切，则22b a +的最小值为（ ）A ．1B ．22C ．33D ．55【答案】D考点：导数的几何意义及二次函数的最小值．【易错点晴】本题以直线与曲线相切为背景考查的是求函数22b a +的最小值的求法问题.求解时充分利用题设中所提供的有效信息,对直线与曲线相切这一条件进行了巧妙合理的运用,使得本题巧妙获解.解答本题的关键是找出参数b a ,之间的数量关系,这里是借助直线与曲线相切的这一条件.设切点是解答这类问题的关键,一旦切点出现,直线与曲线都经过这个切点,许多问题都能解决,所以设切点是找到b a ,之间关系的很重要的一个步骤.11.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p )0(≠p ，发球次数为X ，若X 的数学期望75.1)(>X E ，则p 的取值范围是（ ）A ．)21,0(B ．)127,0(C ．)1,21(D ．)1,127( 【答案】A 【解析】试题分析：因2)1(3)1(2)(p p p p p X E -+-+=,故当21=p 时，0)(<X E ,所以B 不成立；当43=p 时，75.16481)(<=X E ,所以C,D 都不成立,所以应选A. 考点：数学期望及运算．12.定义在区间),0(+∞上的函数)(x f 使不等式)(3)(')(2x f x xf x f <<恒成立，其中)('x f 为)(x f 的导数，则（ ） A ．16)1()2(8<<f f B ．8)1()2(4<<f f C ．4)1()2(3<<f f D ．3)1()2(2<<f f 【答案】B考点：导数及运算．【易错点晴】本题以不等式的形式为背景考查的是导数的知识的综合运用.解答本题的难点是如何建立两个函数值的表达式.本题在解答时借助题设的不等式)(3)(')(2x f x xf x f <<,运用巧妙变形进行构造函数x x f x F )()(=,进而通过构造的函数进行合理有效的变形得到两个单调函数x x F )(和函数2)(x x F ,即2)(x x f y =和函数3)(xx f y =.最后借助单调性使得问题简捷巧妙获解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2016个三角数与第2015个三角数的差为 .【答案】2016 【解析】试题分析：因三角数的通项为2)1(+=n n a n ,则n n n n n a a n n =--+=--2)1(2)1(1,所以两个三角数201620152016=-a a .考点：数列的通项及性质．14.同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是 . 【答案】25考点：二项分布及运用．【易错点晴】本题以同时抛掷5枚硬币的实验为背景,考查的是随机变量的概率分布中的二项分布的概率和数学期望的求法问题.解答时要先确定该分布为二项分布,然后再选择运用二项分布的数学期望的计算公式进行求解.解答本题的难点是如何该事件的概率符合二项分布.本题在解答时借助题设中的条件求出的出现一次正面向上,4次正面向下的概率为325255==p ,再结合各次试验的的过程中概率是独立的且概率相同.从而确定该事件的概率分布服从二项分布)325,160(~ξ,进而运用公式求出数学期望是25325160=⨯=ξE .15.不定方程12=++z y x 的非负整数解的个数为 . 【答案】91考点：两个计数原理及运用．16.若函数cx x x x x f +++=23442)(的图象关于直线m x =对称，则)(x f 的最小值是 . 【答案】1611- 【解析】试题分析：由题设可得)()(x m f x m f -=+,代入展开并化简可得:0)216128()48(233=+++++x c m m m x m ,即0)864()24(232=+++++c m m m x m ,由此可得3,21=-=c m .将3=c 代入)(x f y =并求导可得)322)(12(3864)(223/+++=+++=x x x x x x x f ,由于03222≠++x x ,所以导函数只有一个零点21-=x ,将其代入)(x f y =可得1611)21(-=-f ,应填答案1611-. 考点：导数知识及综合运用．【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要注意求导后应该做些什么?也就是说对求导后的导函数的解析式咬进行进行变形(因式分解或配方),其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,就是搞清函数在给定的区间上的单调情况.其实本题在求解最值问题时完全可以避开求导求解最值这一途径.可以直接运用题设中关于直线m x =对称这一信息,因为图象关于21-==m x 对称,则此函数必在此处取得最值,所以可以直接将21-=x 代入求得最小值为1611-. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=. （1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求nm 11+的最 小值及取得最值时的m 、n 值.【答案】(1)1；(2)32+22-=m 且222-=n .考点：复数的概念和运算．18.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.（1）求x 的值并估计该校3000名学生中读书迷大概有多少？（将频率视为概率）（2）根据已知条件完成下面22⨯的列联表，并判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关?（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的学生的阅读时间？说明理由.附：d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=,))()()(()(22【答案】(1)025.0=x ；(2)有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；(3)采用分层抽样方法比简单随机抽样方法更好. 【解析】试题分析：(1)运用频率、组距、频数等知识求解；(2)运用卡方系数进行推断；（3）从抽样方法的角度分析求解. 试题解析：（1）110)300.0020.0015.0010.0(=⨯++++x ，所以025.0=x .4.010)015.0025.0(=⨯+，将频率视概率，由此可以估计全校3000名学生中读书迷大概1200人（2）635.68.24945554060)20152540(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K∴有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.（3）由（2）的结论知，该地区“读书迷”与性别有关，从样本数据能看出该地区男生与女生为读书迷的比例差异明显，因此在调查时，先确定该地区的男女比例，再把学生分成男、女两层并采用分层抽样方法比简单随机抽样方法更好.考点：频率组距频数及相关系数的综合运用．19.已知nn n x a x a x a a x )1()1()1()1(2210-++-+-+=+ ． （1）求0a 及n n na a a a S ++++= 32132； （2）试比较n S 与3n 的大小，并说明理由. 【答案】(1)1，13-⋅n n ；(2) 当1=n 时，213n n =-，当2=n 时，213n n <-，当3=n 时，213n n =-，当4≥n 时，213n n >-，理由见解析.取2=x ，则1321332-⋅=++++=n n n n na a a a S.考点：赋值法及数学归纳法的综合运用．【易错点晴】本题以二项式定理的展开式的等式为背景,考查的是赋值法和数学归纳法等重要数学思想方法的灵活运用.解答本题的关键是搞清第一问中的n S 的解析表达式的内容,为第二问的比较大小埋下伏笔.求解时,第一问直接赋值2=x 即可得到13-⋅=n n n S ,然后将其与3n 进行比较,最后再运用数学归纳法进行证明.运用数学归纳法时一定要注意数学归纳法证明命题的步骤和格式,这是学生容易忽视的地方,特别是由k n =到1+=k n 的台阶要设计好.20.某商场对某品牌电视机的日销售量（单位：台）进行最近100天的统计，统计结果如下：（1）求出表中A 、B 、C 、D 的值；（2）①试对以上表中的日销售量x 与频数Y 的关系进行相关性检验，是否有95%把握认为x 与Y 之间具 有线性相关关系，请说明理由.②若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，已知每台电视机的销售利润为200元，X 表示该 品牌电视机两天销售利润的和（单位：元），求X 数学期望.参考公式： 相关系数：∑∑∑===-⋅-⋅-=n i i n i i n i i iy n y x n x y x n y x r 1222121)()( 参考数据：8.13190≈，65441-=⋅-∑=y x y x i i i ，542412=-∑=x x i i ，950)4(4122=-∑=i i y y ，其中i x 为 日销售量，i y 是i x 所对应的频数.相关性检验的临界值表【答案】(1)201,52,15,40；(2)①没有95%把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系；②740.考点：统计中的频率频数及之间的关系和相关系数、数学期望计算公式及运用．21.设函数x a bx x x f ln )(2+-=.（1）若2=b ，函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，证明：42ln 23)(2+->x f ； （3）若对任意]2,1[∈b ，都存在),1(e x ∈（e 为自然对数的底数），使得0)(<x f 成立，求实数a 的取值 范围.【答案】(1) )21,0(；(2)证明见解析；(3)1-<a .【解析】试题分析：(1)运用导数及二次函数的判别式等知识求解；(2)借助题设条件构造函数运用导数知识推证；（3）依据题设条件运用导数的有关知识分类分析推证求解.试题解析：（1）由已知，2=b 时，x a x x x f ln 2)(2+-=，)(x f 的定义域为),0(+∞，求导得 xa x x x a x x f +-=+-=2222)('2，∵)(x f 有两个极值点21,x x ，0)('=x f 有两个不同的正根21,x x ，故0222=+-a x x 的判别式 084>-=∆a ，即21<a ，且121=+x x ，0221>=a x x ，所以a 的取值范围为)21,0(.①当01≥+a ，即1-≥a 时，0)(,0)(>>x h x ϕ，∴)(x h 在),1(e 上是增函数，∴0)1()(=>h x h ，不符合题意；②当01<+a ，即1-<a 时，a e e e a +-=<+=22)(,01)1(ϕϕ，(i)若0)(≤e ϕ，即122-<-≤e e a 时，在),1(e x ∈上恒成立，即0)('<x h 恒成立，∴)(x h 在),1(e 上单调递减，∴存在),1(0e x ∈使得0)(0<x h ，∴0)1()(0=<h x h ，符合题意；(ii)若0)(>e ϕ，即122-<<-a e e 时，在),1(e 上存在实数m ，使得0)(=m ϕ，∴在),1(m 上，0)(<x ϕ恒成立，即0)('<x h 恒成立，∴)(x h 在),1(e 上单调递减，∴存在),1(0e x ∈使得0)1()(0=<h x h 符合题意.综上所述，当1-<a 时，对任意]2,1[∈b ，都存在),1(e x ∈（e 为自然对数的底数），使得0)(<x f 成立. 考点：导数及有关知识的综合运用．【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形(因式分解或配方),其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的.本题第一问的求解过程则是借助导函数有零点运用二次函数的判别式进行求解的.第二问的推证则是借助构造函数运用导数来完成的.第三问则是先构造函数]2,1[,ln )(2∈++-=b x a x xb b g ,再借助函数的单调性运用分析转化的思维方式进行推证,最后求出a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.选修4—1：平面几何证明选讲如图，PA 、PC 切⊙O 于A 、C ，PBD 为⊙O 的割线.（1）求证：DC AB BC AD ⋅=⋅；（2）已知2=PB ，3=PA ，求ABC S ∆与ACD S ∆的比值.【答案】(1)证明见解析；(2)94.（2）由圆的内接四边形的性质，得π=∠+∠ADC ABC ，DC AD BC AB ADC DC AD ABC BC AB S S ADC ABC⋅⋅=∠⋅∠⋅=∆∆sin 21sin 21，由（1）得942222===∆∆PA PB AD AB S S ADC ABC . 考点：圆内接四边形的有关性质及三角形的面积公式的运用．23.选修4—4：极坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参 数方程为⎩⎨⎧=+=ty t x 32（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为θθρcos 8sin 2=.（1）求C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求弦长||AB .【答案】(1) x y 82=；(2)332.考点：极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化.24.选修4—5：不等式选讲设不等式0|2||1|2<+--<-x x 的解集为M ，M b a ∈,.（1）证明：41|6131|<+b a ； （2）比较|41|ab -与||2b a -的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)|41|ab -||2b a ->．考点：绝对值不等式的性质及运用．。
辽宁省葫芦岛市第一高级中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题
2016-2017学年度第二学期期中考试高二年级数学(理科)试题命题人：张磊 审题人： 柳悦 满分：150分 考试时间： 120分钟一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足z (1-2i )=3+4i 复数z 的共轭复数所对应的复点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四2．下列函数中x=0是极值点的函数是（ ）A ．f （x ）=﹣x 3B ．f （x ）=﹣cosxC ．f （x ）=sinx ﹣xD ．f （x ）=1x 3.设点P 是曲线y=x 3-3x+35上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．B ．23π,π)C ．(π2,23ππ3,23π1，30，1f （x ）+f′（x ）﹣11，3（k-1）2k +2k 2（k-3）2k +4k 2-4k-20，1hslx3y3h 递增，∴f （x ）max =f （1）=e ﹣1； …6分（3）∵f （0）=1，由（2）得f （x ）过（1，e ﹣1），且y=f （x ）在x=1处的切线方程是y=（e ﹣2）x+1，故可猜测x ＞0，x ≠1时，f （x ）的图象恒在切线y=（e ﹣2）x+1的上方，下面证明x ＞0时，f （x ）≥（e ﹣2）x+1，设g （x ）=f （x ）﹣（e ﹣2）x ﹣1，x ＞0，g′（x ）=e x ﹣2x ﹣（e ﹣2），g″（x ）=e x ﹣2，由（2）得：g′（x ）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∵g′（0）=3﹣e ＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，∴g′（ln2）＜0，∴存在x 0∈（0，1），使得g′（x ）=0，∴x ∈（0，x 0）∪（1，+∞）时，g′（x ）＞0，x ∈（x 0，1）时，g′（x ）＜0，故g （x ）在（0，x 0）递增，在（x 0，1）递减，在（1，+∞）递增，又g （0）=g （1）=0，∴g （x ）≥0当且仅当x=1时取“=”，故e x +(2-e)x-1x≥x ，x ＞0， 由（2）得：e x ≥x+1，故x ≥ln （x+1），∴x ﹣1≥lnx ，当且仅当x=1时取“=”，∴e x+(2-e)x-1x≥x≥lnx+1，即e x+(2-e)x-1x≥lnx+1，∴e x+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，即e x+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，当且仅当x=1时“=”成立．……12分。
【全国百强校】辽宁省鞍山市第一中学2016届高三第四次模拟考试文数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}|128x P x =≤<,{}1,2,3Q =,则PQ =( )A ．{}1,2B ．{}1C ．{}2,3D ．{}1,2,3 【答案】A考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.设复数z 满足2z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i -- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得22(2)12i i i z i i i--===--，故选D ． 考点：复数的运算．3.抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：由抛物线的方程知其准线方程为1x =-，则设P 的横坐标x ，则由抛物线的定义知13x +=，解得2x =，故选B ．考点：抛物线的定义．4.已知向量a ，b 满足()2a b a ⋅+=，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．5π C ．4π D ．3π 【答案】D考点：1、向量数量积运算；2、平面向量夹角公式．【思路点睛】根据定义计算数量积求向量,a b 的数量积a b ，有以下两种思路：(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算；(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量,a b ，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解． 5.下列各命题中正确的是( )①若命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题； ②命题“x R ∃∈，213x x +>”的否定是“x R ∀∈，213x x +≤”； ③“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件；④命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠，则0m ≠且0n ≠”． A ．②③ B ．①②③ C ．①②④ D ．③④【答案】A 【解析】试题分析：若命题“p 或q ”为真命题，则p 真q 假或q 真p 假或q 真p 真，故①错；由特称命题的否定为全称命题知②正确；由2340x x --=，解得4x =或1x =-，所以“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件，故③正确；④中的否命题应为“若220m n +≠，则0m ≠或0n ≠”，故④错，故选A ． 考点：1、命题真假的判定；2、命题的否命题；3、充分条件与必要条件．6.对任意的非零实数a 、b ，若a b ⊗的运算原理如图所示，且{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 中的最小值，则{}0.10.32min 1,log 0.1,3⊗的值为（ ）A ．0B ．1C ．0.32log 0.1-D ．0.123- 【答案】B考点：1、指数与对数函数的性质；2、程序框图；3、新定义． 7.关于函数()3sin(2)1()3f x x x R π=-+∈，下列命题正确的是（ ）A ．由12()()1f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成3cos(2)16y x π=++C ．()y f x =的图象关于点(,1)6π对称 D ．()y f x =的图象关于直线34x π=对称 【答案】C考点：1、三角函数的图象与性质；2、诱导公式．【方法点睛】求形如sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“x ωϕ+”看作一个整体，然后根据sin y x =和cos y x =图象的对称轴或对称中心进行求解．求函数tan()y A x ωϕ=+的图象的对称中心时，也是采用类似的方法．8.已知在三棱锥P ABC -中，P ABC V -=4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且 平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为( )A ．43πB C D ．323π【答案】D考点：1、平面垂直的性质；2、棱锥的外接球；3、球的体积． 9.已知函数()f x 满足1()()f x f x=，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若当1,x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x ax =-与x 轴有交点，则实数a 的取值范围是( )A ．ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]ln ,0ππ-C ．1ln (,]e ππ-D ．1(,]2e π-- 【答案】B 【解析】试题分析：当[1,]x π∈时，11[,1]x π∈，把1x 代入()ln f x x =，即11()()ln ln f x f x x x===-，即1ln [,1]()ln [1,]x x f x x x ππ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩．由函数ax x f x g -=)()(与x 轴有交点，即()0f x ax -=有解．令ax x h =)(，则()h x 是过原点的直线，作出()f x 与()h x 的图象，当直线()h x 过点(1,0)时，斜率a 最大，将(1,0)代入ax x h =)(，解得0a =；当直线()h x 过点11(,ln )ππ时，斜率a 最小，将11(,ln )ππ代入ax x h =)(，解得ln a ππ=-，所以实数a 的取值范围是[]ln ,0ππ-，故选B ．考点：1、函数的零点；2、函数图象．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．7+ B．7+．4+ D．4【答案】A考点：1、空间几何体的三视图；2、三棱锥的表面积．11.设1F ，2F 分别为椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线2C ：2222111x y a b -=()110a b >>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率34e ⎡∈⎢⎣，则双曲线2C 的离心率1e 的取值范围为( )A ．B ．⎭C ．⎝D ．⎫+∞⎪⎪⎭【答案】B考点：椭圆与双曲线的定义及几何性质．【方法点睛】离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，也是高考考查的重点．此类问题一般有两类：一是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求椭圆的离心率的取值范围．无论是哪类问题，关键是借助图形建立关于,,a b c 的关系式（等式或不等式），转化为e 的关系式．12.已知函数()f x 满足：()2'()0f x f x +>，那么下列不等式成立的是( ) A．(1)f >B ．(0)(2)f f e<C．(1)(2)f > D ．2(0)(4)f e f > 【答案】A考点：利用导数研究函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足10,10,1,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩则3y x -的最小值为 ．【答案】13- 【解析】试题分析：作出实数x ，y 满足的平面区域，如图所示，因为3yx -表示平面区域内的点与定点(3,0)P 连线的斜率，由图知斜率AP k 最小，所以3y x -的最小值为101033-=--．考点：简单的线性规划问题．14.已知一组正数1x ，2x ，3x ，4x 的方差2222212341(16)4s x x x x =+++-，则数据12x +，22x +，32x +，42x +的平均数为 ．【答案】4考点：方差与平均数．15.当(],1x ∈-∞，不等式212401x x aa a ++⋅>-+恒成立，则实数a 的取值范围为 ．【答案】34a >- 【解析】试题分析：因为22131()024a a a -+=-+>，所以不等式212401x x a a a ++⋅>-+恒成立转化为1240x xa ++>恒成立．由1240xxa ++>，得1211()()4442x x x x x a -<+=+，而函数11()()42x x y =+为减函数，所以当(],1x ∈-∞时，max 113424y =+=，所以34a -<，即34a >-． 考点：1、指数函数的性质；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】分离参数法是解决含参问题的基本思想之一，对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性质就可以解决问题．16.在△ABC 中，cos cos cos cos 2b C c B a C c A +=+=，且cos sin a C C b c =+，则△ABC 的面积为 ．考点：1、余弦定理；2、三角形面积公式；3、两角和与差的正弦．【策略点睛】三角形面积问题的解决策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形,求出三角形的有关元素之后,直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，求解；(2)把面积作为已知条件之一,与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1S ，2S ，4S 成等比． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb S =，证明对任意的*n N ∈，1232n b b b b ++++<…恒成立． 【答案】（1）21n a n =-；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）根据1S ，2S ，4S 成等比列出方程，解得d 的值，得出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得求得n S ，得到n b 的表达式，从而用放缩法证明．考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质；3、不等式恒成立．18.（本题满分12分）某学校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1 组[)160,165，第2组[)165,170，第3组[)170,175，第4组[)175,180，第5组[]180,185，得到的频率 分布直方图如图所示．（1）求第3，4,5组的频率；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，则第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在第二问的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官甲的面试，求：第4组至少有一名学生被考官甲面试的概率．【答案】（1）第3、4、5组的频率分别为0.3、0.2、0.1；（2）第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人； （3）35．（3）设第3组的三位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的两位同学为1B ，2B ，第5组的以为同学为1C ，则从六位同学中抽两位同学有：()1,2A A ，()1,3A A ，()1,1)A B ，()1,2A B ，()1,1A C ，()2,3A A ，()2,1A B ，()2,2A B ，()2,1A C ，()3,1A B ，()3,2A B ，()3,1A C ，()1,2B B ，()1,1B C ，()2,1B C 共15种可能．其中第4组的2位同学1B ，2B 至少有一位同学入选有：()1,1)A B ，()1,2A B ，()2,1A B ，()2,2A B ，()3,1A B ，()3,2A B ，()1,2B B ，()1,1B C ，()2,1B C 共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93155P ==．考点：1、频率分布直方图；2、分层抽样；3、古典概型．【方法点睛】解决古典概型的概率计算问题时，若基本事件的个数较少，可用列举法或树状图法将基本事件一一列出，求出基本事件的个数n ，并在这些基本事件中找出题目要求的事件所包含的基本事件并求出其个数m ，然后利用古典概型的概率公式求出事件的概率．19.（本题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=︒，2AB PC ==，AP BP ==（1）求证：AB PC ⊥；（2）求点B 到平面PAC 的距离．【答案】（1）见解析；（2．∵B PAC P ABC V V --=，∴11||33PAC PAC S h S PO ∆∆⋅=⋅， ∴17131323h ⋅⋅=⋅⋅，∴2217h =，∴点B 到平面PAC 的距离为2217． 考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、棱锥的体积；3、点到平面的距离．【思维点睛】在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，矩形的内角、直径所对的圆周角为90︒，菱形的对角线互相垂直，直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)，直角梯形等．20.（本题满分12分）已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，P 是椭圆E上的点，且2PF x ⊥轴，212116PF PF a ⋅=．直线l 经过1F ，与椭圆E 交于A ，B 两点，2F 与A ，B 两点 构成△2ABF ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）设△12F PF 的周长为23+，求△2ABF 的面积的最大值．【答案】（1）32e =；（2）12．考点：1、椭圆的定义及性质；2、向量的数量积；3、弦长公式；4、基本不等式．21.（本题满分12分）设函数()(1)ln (1)f x a ax x b x =+---，其中a ，b 是实数．已知曲线()y f x =与x 轴相切于点(1,0)．（1）求常数b 的值；（2）当12x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1b =；（2）1(,]2-∞-． 【解析】试题分析：（1）求导后，由导数的几何意义求得b 的值；（2）通过二次求导后，分12a ≤-、0a ≥、102a -<<讨论函数的单调性，求得实数a 的取值范围．考点：1、导数几何意义；2、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数的几何意义求参数值或范围．此类题目主要是利用()0tan k f x α'＝＝这个等式，建立参数0k x α，，之间的关系，已知其中的一个量求出另外两个量的值或者范围，特别要注意倾斜角α的取值范围是[0)π，．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图△ABC 是O 的内接三角形， PA 是O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交O 于点D ，PA PE =，45ABC ∠=︒，1PD =，8DB =．（1）求△ABP 的面积； （2）求弦AC 的长．【答案】（1）272；（2）AC =考点：1、弦切角定理；2、切割线定理；3、相交弦定理． 23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ+=OM ：3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2PQ =．考点： 1、参考方程与普通方程及极坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系． 24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||1|f x x x =+--． （1）试求()f x 的值域；（2）设()233()0ax x g x a x-+=>，若对()0,s ∀∈+∞，(),t ∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]3,3-；（2）[3,)+∞．考点：1、绝对值三角不等式的性质；2、函数的最值域；3、不等式恒成立．：。
2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷(含答案解析版)
2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2017•鞍山）下列各数中，比﹣3小的数是（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．﹣42．（3分）（2017•鞍山）如图所示几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2017•鞍山）函数y=√x +2中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣2B ．x ＞﹣2C ．x ≤﹣2D ．x ＜﹣24．（3分）（2017•鞍山）一组数据2，4，3，x ，4的平均数是3，则x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（3分）（2017•鞍山）在平面直角坐标系中，点P （m +1，2﹣m ）在第二象限，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜2C ．m ＞2D ．﹣1＜m ＜26．（3分）（2017•鞍山）某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x 人，绘画小组有y 人，那么可列方程组为（ ）A ．{y −3x =15x −2y =5B ．{y −3x =152y −x =5C ．{3x −y =15x −2y =5D ．{3x −y =152y −x =57．（3分）（2017•鞍山）分式方程5x−2=1−x 2−x﹣2的解为（ ） A ．x=2 B ．x=﹣2 C ．x=1 D ．无解8．（3分）（2017•鞍山）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②DF=DC ；③S △DCF =4S△DEF ；④tan ∠CAD=√22．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2017•鞍山）长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为．10．（3分）（2017•鞍山）分解因式2x2y﹣8y的结果是．11．（3分）（2017•鞍山）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1，﹣√2，0，π，﹣3，若将这5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是．12．（3分）（2017•鞍山）如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于1 2 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF等于．13．（3分）（2017•鞍山）若一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长为cm．14．（3分）（2017•鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为．15．（3分）（2017•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADF=4，反比例函数y=kx （x＞0）的图象经过点E，则k=．16．（3分）（2017•鞍山）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC 边于点E，且AE=4，则BE•DE=．三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）17．（8分）（2017•鞍山）先化简，再求值：（1﹣1x+2）÷x2+2x+12x+4，其中x=√2﹣1．18．（8分）（2017•鞍山）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）19．（10分）（2017•鞍山）某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每天的课外阅读时间x（单位：min）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图表，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取名学生．（2）统计表中a=，b=．（3）将频数分布直方图补充完整．（4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．课外阅读时间x/min频数/人频率0≤x＜1560.115≤x＜30120.230≤x＜45a0.2545≤x＜6018b60≤x＜7590.1520．（10分）（2017•鞍山）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生（3名男生，2名女生）获奖．（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为．（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）21．（10分）（2017•鞍山）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：√3≈1.73）22．（10分）（2017•鞍山）如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．（1）求证：∠ADF=∠EAC．（2）若PC=23PA，PF=1，求AF的长．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）23．（10分）（2017•鞍山）某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．24．（10分）（2017•鞍山）如图，一次函数y=34x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．七、解答题（本大题共1小题，共12分）25．（12分）（2017•鞍山）如图，∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC=4√2，点P为线段BE 上的一点（点P不与点B、E重合），连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧．（1）求证：CPCD=CECB；（2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．八、解答题（本大题共1小题，共14分）26．（14分）（2017•鞍山）如图，抛物线y=﹣12x2+32x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S△PBC =S△ABC，求∠APB的度数；（3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2017•鞍山）下列各数中，比﹣3小的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣4【考点】18：有理数大小比较．【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜0，∴比﹣3小的数是﹣4，故选：D．【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小．2．（3分）（2017•鞍山）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】从左面观察结合体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．【解答】解：图中几何体的左视图如图所示：故选：C．【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．3．（3分）（2017•鞍山）函数y=√x+2中自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≤﹣2 D．x＜﹣2【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由x+2≥0可得x≥﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4．（3分）（2017•鞍山）一组数据2，4，3，x ，4的平均数是3，则x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】W1：算术平均数．【分析】根据平均数的定义列出方程，解方程可得答案．【解答】解：根据题意，得：2+4+3+x+45=3， 解得：x=2，故选：B【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数的定义．5．（3分）（2017•鞍山）在平面直角坐标系中，点P （m +1，2﹣m ）在第二象限，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜2C ．m ＞2D ．﹣1＜m ＜2【考点】CB ：解一元一次不等式组；D1：点的坐标．【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于m 的不等式组，解之可得．【解答】解：根据题意，得：{m +1＜02−m ＞0， 解得m ＜﹣1，故选：A ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据点的坐标特点列出关于m 的不等式组．6．（3分）（2017•鞍山）某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x 人，绘画小组有y 人，那么可列方程组为（ ）A ．{y −3x =15x −2y =5B ．{y −3x =152y −x =5C ．{3x −y =15x −2y =5D ．{3x −y =152y −x =5【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据题意可得等量关系：书法小组人数×3﹣绘画小组的人数=15；绘画小组人数×2﹣书法小组的人数=5，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：若设书法小组有x 人，绘画小组有y 人，由题意得：{3x −y =152y −x =5， 故选：D ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．7．（3分）（2017•鞍山）分式方程5x−2=1−x 2−x﹣2的解为（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x=1D ．无解【考点】B3：解分式方程．【分析】本题需先根据解分式方程的步骤，先乘以最简公分母，再去掉分母，即可求出x 的值，再进行检验即可求出答案．【解答】解：两边同时乘以（x ﹣2）得：5=（x ﹣1）﹣2（x ﹣2），解得：x=﹣2，检验：当x=﹣2时，x ﹣2≠0，∴x=﹣2是原方程的根．故选B ．【点评】本题主要考查了解分式方程，在解题时要注意把分式方程转化为整式方程进行解答是本题的关键．8．（3分）（2017•鞍山）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②DF=DC ；③S △DCF =4S△DEF ；④tan ∠CAD=√22．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB ：矩形的性质；T7：解直角三角形．【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°即可；②根据已知条件得到四边形BMDE 是平行四边形，求得BM=DE=12BC ，根据线段垂直平分线的性质得到DM 垂直平分CF ，于是得到结论，③根据三角形的面积公式即可得到结论；④设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=BC ，S △DCF =4S △DEF∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；②∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM=DE=12BC ， ∴BM=CM ，∴CN=NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故②正确；③∵点E是AD边的中点，∴S△DEF =12S△ADF，∵△AEF∽△CBA，∴AF：CF=AE：BC=1 2，∴S△CDF =2S△ADF=4S△DEF，故③正确；④设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有ba=2ab，即b=√2a，∴tan∠CAD=CDAD =b2a=√22．故④正确；故选A．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2017•鞍山）长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为 6.7×106．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：6 700 000=6.7×106，故答案为：6.7×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（3分）（2017•鞍山）分解因式2x2y﹣8y的结果是2y（x+2）（x﹣2）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】11 ：计算题；44 ：因式分解．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=2y（x+2）（x﹣2）．故答案为：2y（x+2）（x﹣2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．（3分）（2017•鞍山）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1，﹣√2，0，π，﹣3，若将这5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是 25． 【考点】X4：概率公式；26：无理数．【分析】根据所有等可能的结果数有5种，其中任取一张，这张卡片上的数字为无理数的结果有2种，根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵在1，﹣√2，0，π，﹣3中，无理数有﹣√2，π，共2个，∴这张卡片正面上的数字为无理数的概率是25； 故答案为：25． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．12．（3分）（2017•鞍山）如图，在□ABCD 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接AF ，∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF 等于 70° ．【考点】N2：作图—基本作图；KG ：线段垂直平分线的性质．【分析】根据∠BAF=∠BAD ﹣∠CAD ﹣∠CAF ，想办法求出∠BAD 、∠CAD 、∠CAF 即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD=180°﹣∠B=130°，∠ACF=∠CAD=30°，由作图痕迹可知EF 是AC 的垂直平分线，∴AF=CF ，∴∠CAF=∠ACF=30°，∴∠BAF=∠BAD ﹣∠CAD ﹣∠CAF=70°．故答案为70°．【点评】本题考查基本作图、线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．（3分）（2017•鞍山）若一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长为3cm．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．【解答】解：设母线长为l，则120⋅π⋅l180=2π×1解得：l=3．故答案为：3．【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．（3分）（2017•鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为272．【考点】R2：旋转的性质．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D 处，∴AD=AB=5，∴CD=AD﹣AC=1，∴四边形AEDB 的面积为2×12×4×3+12×1×3=272，故答案为：272． 【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．15．（3分）（2017•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 和正方形DOFE 的顶点B ，F 在x 轴上，顶点C ，D 在y 轴上，且S △ADF =4，反比例函数y=k x（x ＞0）的图象经过点E ，则k= 8 ．【考点】G5：反比例函数系数k 的几何意义．【分析】设正方形ABOC 和正方形DOFE 的边长分别是m 、n ，则AB=OB=m ，DE=EF=OF=n ，BF=OB +OF=m +n ，然后根据S △ADF =S 梯形ABOD +S △DOF ﹣S △ABF =4，得到关于n 的方程，解方程求得n 的值，最后根据系数k 的几何意义求得即可．【解答】解：设正方形ABOC 和正方形DOFE 的边长分别是m 、n ，则AB=OB=m ，DE=EF=OF=n ，∴BF=OB +OF=m +n ，∴S △ADF =S 梯形ABOD +S △DOF ﹣S △ABF =12m （m +n ）+12n 2﹣12m （m +n ）=4， ∴n 2=8，∵点E （n ．n ）在反比例函数y=k x（x ＞0）的图象上， ∴k=n 2=8，故答案为8．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积，根据面积得出方程是解题的关键．16．（3分）（2017•鞍山）如图，在△ABC 中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC ，BD 交AC 边于点E ，且AE=4，则BE•DE= 20 ．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KH ：等腰三角形的性质．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题意可以证明△FEB ∽△DEC ，然后根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BE•DE 的值，本题得以解决．【解答】解：延长CA 到F ，使得AF=AB ，连接BF ，则∠F=∠ABF=12∠BAC ， ∵∠BAC=2∠BDC ，∴∠F=∠BDC ，∵∠FEB=∠DEC ，∴△FEB ∽△DEC ，∴BE CE =FE DE， ∵AE=4，AB=AC=6，∴EF=10，CE=2，∴BE 2=10DE， ∴BE•DE=20，故答案为：20．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）17．（8分）（2017•鞍山）先化简，再求值：（1﹣1x+2）÷x 2+2x+12x+4，其中x=√2﹣1．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再将x的值代入即可解答本题．【解答】解：（1﹣1x+2）÷x2+2x+12x+4=x+2−1x+2⋅2(x+2)(x+1)2=2(x+1) (x+1)2=2x+1，当x=√2﹣1时，原式=√2−1+1=√2．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．18．（8分）（2017•鞍山）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．【考点】L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得AE∥CF，结合AF∥CE，可证得结论；（2）由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结合条件可求得AG的长，从而可求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BCG=∠CGD=∠HAD，∴AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：由（1）可知∠BCF=∠DCF=∠F，∴BF=BC=AD=8，∵AB=CD=5，∴AF=BF ﹣AB=3，∵BF ∥DE ，∴∠DCG=∠F ，∠D=∠FAG ，∴△DCG ∽△AFG ，∴DG AG =CD FA =53， ∴DG=53AG ， ∴AD=AG +DG=83AG=8， ∴AG=3，∴AF +AG=3+3=6．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键，注意相似三角形的应用．四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）19．（10分）（2017•鞍山）某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每天的课外阅读时间x （单位：min ）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图表，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取 60 名学生．（2）统计表中a= 15 ，b= 0.3 ．（3）将频数分布直方图补充完整．（4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min 的有多少人． 课外阅读时间x/min频数/人频率0≤x ＜156 0.115≤x12 0.2＜3 03 0≤x ＜4 5a0.254 5≤x ＜6 018b6 0≤x ＜7 590.15【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）根据0≤x＜15min阶段的频数和频率求出总数即可；（2）根据题意列出算式a=60×0.25，b=18÷60，求出即可；（3）根据频数是15画出即可；（4）根据题意列出算式，再求出即可．【解答】解：（1）6÷0.1=60，即本次调查共抽取60名学生，故答案为：60；（2）a=60×0.25=15，b=18÷60=0.3，故答案为：15，0.3；（3）如图所示：；（4）1200×18+960=540， 答：若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min 的有540人．【点评】本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表等知识点，能根据题意和图形列出算式是解此题的关键．20．（10分）（2017•鞍山）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生（3名男生，2名女生）获奖．（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为 35． （2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．【分析】（1）根据概率公式用男生人数除以总人数即可得；（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）所有等可能结果共有5种，其中男生有3种，∴恰好是男生的概率为35， 故答案为：35；（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，所以恰好选出1名男生和1名女生的概率=1220=35． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．也考查了统计图．五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）21．（10分）（2017•鞍山）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：√3≈1.73）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB=12AB=65m，AD=√3BD=65√3m．再解Rt△ADC，得出CD=AD=65√3m，根据BC=BD+CD即可求解．【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D．根据题意，得∠ABC=40°+20°=60°，AB=130m．在Rt△ADB中，∵∠DAB=30°，∴DB=12AB=12×130=65m，AD=√3BD=65√3m．∵∠BAC=180°﹣65°﹣40°=75°，∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣75°=45°．在Rt△ADC中，∵tanC=ADCD=1，∴CD=AD=65√3m，∴BC=BD+CD=65+65√3≈177.5m．故观测点B与建筑物C之间的距离约为177.5m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（10分）（2017•鞍山）如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．（1）求证：∠ADF=∠EAC．（2）若PC=23PA，PF=1，求AF的长．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理．【专题】55C ：与圆有关的计算．【分析】（1）根据圆周角定理，等角的余角相等可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和三角形相似的知识可以求得AF 的长．【解答】（1）证明：∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，∴∠ADF +∠FDC=90°，∠EAC +∠CEF=90°，∵∠FDC=∠CEF ，∴∠ADF=∠EAC ；（2）连接FC ，∵CD 是圆O 的直径，∴∠DFC=90°，∴∠FDC +∠FCD=90°，∵∠ADF +∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC ，∴∠FCD=∠EAC ，即∠FCP=CAP ，∵∠FPC=∠CPA ，∴△FPC ∽△CPA ，∴PF PC =PC PA， ∵PC=23PA ，PF=1， ∴123PA =23PA PA ， 解得，PA=94， ∴AF=PA ﹣PF=94−1=54， 即AF=54．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）23．（10分）（2017•鞍山）某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；（2）表示出网络经销商所获得的利润=6300，解方程即可求出x的值；（3）根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的．【解答】解：（1）由题意可知y=5x+30；（2）根据题意可得（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）=6300，即x2﹣60x+864=0，解得：x=24或36（舍）∴在这30天内，第24天的利润是6300元．（3）根据题意可得：w=（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30），=﹣5x2+300x+1980，=﹣5（x﹣30）2+6480，∵a=﹣5＜0，∴函数有最大值，∴当x=30时，w有最大值为6480元，∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．24．（10分）（2017•鞍山）如图，一次函数y=34x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】FI ：一次函数综合题．【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt △BCD ≌Rt △BCO ，和△ACD ∽△ABO ，确定出点C （﹣3，0），再判断出△EBD ≌△ABO ，求出OE=BE ﹣OB=4，即可得出点E 坐标，最后用待定系数法即可；（2）设P （﹣m ，﹣34m +6），∴PN=m ，PM=﹣34m +6，根据勾股定理得，MN 2=2516（m ﹣7225）2+57625，即可得出点P 横坐标，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得点B 的横坐标为0，点A 的纵坐标为0，∴B （0，6），A （﹣8，0），∴OA=8，OB=6，∴AB=√OA 2+OB 2=10，∵CB 平分∠ABO ，CD ⊥AB ，CO ⊥BO ，∴CD=CO ，∵BC=BC ，∴Rt △BCD ≌Rt △BCO ，∴BD=BO=6，∴AD=AB ﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO ，∴△ACD ∽△ABO ，∴AD AO =AC AB， ∴48=AC 10， ∴AC=5，∴OC=OA ﹣AC=3，∴C （﹣3，0），∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO ，∠EBD=∠ABO ，∴△EBD ≌△ABO ，∴BE=AB=10，∴OE=BE ﹣OB=4，∴E （0，﹣4），设直线CE 的解析式为y=kx ﹣4，∴﹣3k ﹣4=0，∴k=﹣43， ∴直线CE 的解析式为y=﹣43x ﹣4，（2）解：存在，（﹣7225，9625）， 如图， ∵点P 在直线y=34x +6上， ∴设P （﹣m ，﹣34m +6），∴PN=m ，PM=﹣34m +6， 根据勾股定理得，MN 2=PN 2+PM 2=m 2+（﹣34m +6）2=2516（m ﹣7225）2+57625， ∴当m=7225时，MN 2有最小值，则MN 有最小值， 当m=7225时，y=﹣34x +6=﹣34×7225+6=9625， ∴P （﹣7225，9625）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C 的坐标，解（2）的关键是得出MN 2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．七、解答题（本大题共1小题，共12分）25．（12分）（2017•鞍山）如图，∠MBN=90°，点C 是∠MBN 平分线上的一点，过点C 分别作AC ⊥BC ，CE ⊥BN ，垂足分别为点C ，E ，AC=4√2，点P 为线段BE 上的一点（点P 不与点B 、E 重合），连接CP ，以CP 为直角边，点P 为直角顶点，作等腰直角三角形CPD ，点D 落在BC 左侧．（1）求证：CP CD =CE CB； （2）连接BD ，请你判断AC 与BD 的位置关系，并说明理由；（3）设PE=x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．【考点】SO ：相似形综合题．【分析】（1）由△CPD ∽△CEB 证得结论；（2）AC ∥BD ．欲推知AC ∥BD ，只需推知∠ACB +∠DBC=180°；（3）如图所示，过点P 作PF ⊥BD ．交DB 的延长线于点F ．通过解直角三角形、（2）中相似三角形的对应边成比例和三角形的面积公式写出函数关系式即可．【解答】（1）证明：∵∠MBN=90°，点C 是∠MBN 平分线上的一点，∴∠CBE=45°，又CE ⊥BN ，∴∠BCE=45°，∴BE=CE ，∴△BCE 是等腰直角三角形．又∵△CPD 是等腰直角三角形，∴△CPD ∽△CEB ，∴CP CE =CD CB， ∴CP CD =CE CB；（2）解：AC ∥BD ，理由如下：∵∠PCE +∠BCP=∠DCB +∠BCP=45°，∴∠PEC=∠DCB ．由（1）知，CP CD =CE CB， ∴△EPC ∽△BDC ，∴∠PEC=∠DBC ．∵AC ⊥BC ，∴∠ACB=90°，∴∠ACB +∠DBC=180°，∴AC ∥BD ；（3）解：如图所示，过点P 作PF ⊥BD ．交DB 的延长线于点F ．∵AC=4√2，△ABC 与△BEC 都是等腰直角三角形，∴BC=4√2，BE=CE=4．由（2）知，△EPC ∽△BDC ，∴PE DB =CE CB ．即x DB =4√2， ∴DB=√2x ．∵∠PBF=∠CBF ﹣∠CBP=90°﹣45°=45°，即BP=BE ﹣PE=4﹣x ，。
辽宁省鞍山市第一中学2017届高三下学期最后一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
鞍山一中2017届高三七模考试数学（文科）试卷一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，所给选项中只有一个正确）1.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，，，所以，故选A．2.已知复数满足，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，所以，故选A．3.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵，，∴，∴，∴．考点：平方关系、倍角关系．4.已知变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点时，有最小值，故选B．5. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为（）A.B.C. 65,63.5D. 65,65【答案】D【解析】试题分析：选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数.最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为（0.01+0.02）×10=0.3，由于0.5﹣0.3=0.2，则，∴中位数为60+5=65.故选D.考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图．6.设是公差不为0的等差数列，满足，则的前10项和（）A. -10B. -5C. 0D. 5【答案】C【解析】分析：根据题意变形可得：，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．详解: ：a42+a52=a62+a72，化简可得：，即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0．∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10==5（a5+a6）=0，故选：C．点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：若等差数列的前项和为，且，则①若，则；②、、、成等差数列．7.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的和为（）A. 18B.C.D.【答案】C【解析】因为圆心，所以圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最大值为，应选答案C 。
精品：【全国百强校】辽宁省鞍山市第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 若点(sin ,tan )P αα在第三象限，则角α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】D考点：象限角.2. 现有60位学生，编号为1至60，若从中抽取6人，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ） A ．2,14,26,38,42,56 B ．5,8,31,36,48,54 C ．3,13,23,33,43,53 D ．5,10,15,20,25,30 【答案】C 【解析】试题分析：∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，且间隔是 60106=． ∴只有C 符合要求，即后面的数比前一个数大10．故选C ． 考点：系统抽样方法．3. 已知变量,a b 已被赋值，要交换,a b 的值，应采用下面（ ）的算法 A ．,a b b a == B ．,,c a a b b c === C ．,,a c b a c a === D ．,,a c b a c b === 【答案】B 【解析】试题分析：由算法规则引入中间变量c ，语句如下,,c a a b b c ===,故选B ． 考点：赋值语句． 4. 在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，sin x 的值介于12-到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2π C ．12 D ．23【答案】A考点：几何概型．【方法点睛】利用几何概型的意义进行模拟试验，估算不规则图形面积的大小，关键是要根据几何概型的计算公式，探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系，及它们与模拟试验产生的概率（或频数）之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到答案．几何概型的概率公式，）区域长度（面积或体积实验全部结果所构成的积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(．5. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．BC ．12-D ．12【答案】A考点：程序框图. 6. 若样本数据1210,,,x x x 的标准差为2，则数据121021,21,,21x x x ---的标准差为（ ）A ．3B ．-3C ．4D ．-4 【答案】C 【解析】试题分析：∵样本数据1210x x x ⋯，，，的标准差为2，∴样本数据1210x x x ⋯，，，的方差为4，∴数据121021,21,,21x x x --⋯-的方差为4416⨯=，∴数据121021,21,,21x x x --⋯-的标准差为4．故选：C ．考点：极差、方差与标准差．7.0000tan10tan 20tan10tan 20++=（ ）A B ．1 C D 【答案】A考点：两角和的正切公式.8. 如果两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“互相生成”函数，下列函数：①()sin cos f x x x =-；②()cos )f x x x =+；③()2f x x =+；④()sin f x x =. 其中“互相生成”的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，两个()sin y A x b ωϕ=++型函数互为生成的函数的条件是，这两个函数的解析式中的A和ω相同，∵①()sin cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，②())sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，③()2f x x =+，④()sin f x x =．故①③两个函数解析式中的A 和ω相同，故这两个函数的图象通过平移能够完全重合．故①③互为生成的函数． 考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换．9. ）A B C ．2 D ．1【答案】D考点：三角函数的化简求值．10. 平面上画了一些彼此相距10的平行线，把一枚半径为3的硬币任意掷在平面上，则硬币不与任一条平行线相碰的概率为（ ） A ．35 B ．25 C ．38 D ．14【答案】B 【解析】试题分析：为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ；线段OM 长度的取值范围就是[]05，，只有当35OM <≤时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是532505P -==-，故选B ． 考点：几何概型.【思路点睛】欲求硬币不与任何一条平行线相碰的概率，利用几何概型解决，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，只须求出线段OM 长度，最后利用它们的长度比求得即可． 11. 若()tan()4f x x π=+，则（ ）A ．(1)(0)(1)f f f ->>B ．(0)(1)(1)f f f >->C ．(1)(0)(1)f f f >>-D ．(0)(1)(1)f f f >>- 【答案】B考点：正切函数的性质.【思路点睛】本题综合考查三角函数的变换和性质，包括周期、单调性、函数的图象，这是一个综合题目，也是高考必考的一种类型的题目．本题要比较三个变量的正切值的大小，首先考虑到是求出函数的单调区间，把要比较大小的三个变量通过周期性变化到一个单调区间，根据函数的单调性得到结果．12. 函数y =的值域为（ ）A ．[0,3]B ．[1,2]C ．D ． 【答案】B 【解析】试题分析：y =+⇒y =+，则有01x ≤≤，设2sin 02x t t π=≤≤,，则有sin y t t =，122sin y t t ⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭，2sin 3y t π=+⎛⎫⎪⎝⎭，因为5336t πππ≤+≤，所以1sin 123t π⎛⎫+⎪⎝⎭≤≤，所以：12y ≤≤ ，故选B. 考点：函数的值域.【思路点睛】现将y =+⇒y =值，采用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题结论．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 掷三枚硬币，至少出现两个正面的概率为 . 【答案】12【解析】试题分析：把一枚均匀的硬币连续抛掷三次出现的情况共有328=种等可能出现的结果，至少有两个硬币是正面朝上的次数有4次．所以则至少出现两次正面朝上的概率为 12． 考点：古典概型．14. 锐角α满足cos5cos3αα=，则α= . 【答案】4π考点：和差化积公式.15. 已知函数()f x =，则下列命题中正确命题的序号是 .①()f x 是偶函数；②()f x 的值域是2]；③当[0,]2x π∈时，()f x 单调递增；④当且仅当2()2x k k Z ππ=±∈时，()f x =.【答案】①②④ 【解析】试题分析：1sin 0,1sin 01sin 1x x x +≥-≥∴-≤≤，所以()f x 定义域为,R ()()()()f x f x f x f x =∴-=∴=-，所以()f x 是偶函数，故①正确；又()0f x >，[]2()222cos f x x =+=+，又x R ∈时，[]cos 0,1x ∈，所以[][]2()2,4f x ∈，所以()f x 的值域是2]，故②正确；又222264f f ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=>=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；而64ππ<，所以当[0,]2x π∈时，()f x 不单调递增；故③错误；令[]2()22cos 2,cos 0,2()2f x x x x k k Z ππ=+=∴=∴=±∈，故④正确.考点：三角函数的性质.【方法点睛】三角函数()sin y A x k ωϕ=++的一般性质研究：1.周期性：根据公式2T πω=可求得；2.单调性：令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令2,2x k k Z πωϕπ+=+∈或2,2x k k Z πωϕπ+=-+∈，即可求出函数取最大或最小值时的x 取值集合.16. 执行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为8，则判断框内实数a 的取值范围是 .（写成区间或集合的形式）【答案】[4,6)-考点：程序框图.【思路点睛】根据框图运行后输出的结果是8，从076i t ==，开始假设判断框中的条件不满足，执行“否”路径，依次执行到i 的值为8时看此时的t 值，此时的t 值应满足判断框中的条件，由此即可得到答案．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖情况，得到如表格所示实验数据，若t 与y 线性相关.（1）求y 关于t 的回归直线方程； （2）预测8t =时细菌繁殖的个数.（回归方程^^^y b x a =+中：^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-，其中1217ni ii t y==∑，21135ni i t ==∑）【答案】（1） 1.70.5y t =-；（2）13.1（千个）.考点：线性回归方程． 18. （本小题满分12分）将函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再将图象向右平移6π个单位长度得到函数sin y x =的图象.（1）直接写出()f x 的表达式，并求出()f x 在[0,]π上的值域； （2）求出()f x 在[0,]π上的单调区间. 【答案】（1）1()cos()23f x x π=-，1()[,1]2f x ∈；（2）()f x 的单调递增区间为2[0,]3π，单调递减区间为2[,]3ππ.考点：1.函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换；2.正弦函数的图象． 【方法点睛】三角函数图象变换： (1)振幅变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A(2)周期变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω (3)相位变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ (4)复合变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω.19. （本小题满分12分）汽车厂生产,,A B C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两类型号，某月的产量如下表：（单位：辆）. 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆.（1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 【答案】（1）400；（2）710；（3）341211121321(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B ，2223(,),(,)A B A B 共7个，所以7()10P E =，即所求概率为710. （3）样本平均数9x =，设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以63()84P D ==，即所求概率为34. 考点：1.列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2.分层抽样方法；3.古典概型及其概率计算公式． 【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为12n ωωω、、、；且它们具有以下三条性质: (1)等可能性:：()()()12n P P P ωωω===； (2)完备性：在任一次试验中至少发生一个； (3)互不相容性：在任一次试验中，12n ωωω、、、，中至多有一个出现,每个基本事件的概率为1n，即()i P ω；第二步：掌握古典概率的计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数n ，事件A 包含的样本点数为m ，则事件A 的概率()A A A m P n ===事件包含的基本事件数有利于的基本事件数基本事件总数基本事件总数. 20. （本小题满分12分）已知,(,)2παβπ∈，且sin cos a αα+=，3cos()5βα-=. （1）若13a =，求1sin cos tan 3cos αααα+-的值；（2）若713a =，求sin β的值.【答案】（1）139-；（2）16655cos 13α=-，∵2πβπ<<，2παπ<<，∴222πππαβαπα-<-<-<-< ∴sin()sin()sin()2παβαπα-<-<-，即512sin()1313βα-<-<，∵3cos()5βα-=，4sin()5βα-=，∴sin sin[()]ββαα=-+，利用两角和的正弦公式，由此即可求出结果.试题解析：解：（1）∵1sin cos 3αα+=，∴平方得4sin cos 9αα=-， 1sin cos sin cos tan sin cos tan 3cos cos αααααααααα++-=+-13sin cos tan tan 1sin cos 19αααααα=+--=-=-（2）令sin cos t αα-=，∵(,)2παπ∈，∴sin 0,cos 0αα><，∴0t >，由22227()(sin cos )(sin cos )213t αααα+=++-= 解得1713t =，又7sin cos 13αα+=，∴12sin 13α=，5cos 13α=-，∵2πβπ<<，2παπ<<，∴222πππαβαπα-<-<-<-<∴sin()sin()sin()2παβαπα-<-<-，即512sin()1313βα-<-<，∵3cos()5βα-=，4sin()5βα-=，∴16sin sin[()]sin()cos sin cos()65ββααβαααβα=-+=-+-=.考点：1.同角的基本关系；2.两角和差正弦公式. 21. （本小题满分12分） 已知,αβ为锐角，sin cos()sin βαβα=+. （1）求tan()cot αβα+的值； （2）求tan β的最大值.【答案】（1）2；（2即可求出结果；（2）∵2sin cos()sin sin cos cos sin sin βαβαααββα=+=- ∴2sin (1sin )sin cos cos βαααβ+=，∴222sin cos sin cos tan 1sin 2sin cos ααααβααα==++即2tan tan 2tan 1αβα=+，∵22tan tan tan tan 0βααβ-+=，由此即可求出结果.试题解析：（1）∵sin cos()sin βαβα=+，∴sin[()]cos()sin αβααβα+-=+， ∴sin()cos cos()sin cos()sin αβααβααβα+-+=+ ∴sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，∴tan()cot 2αβα+= （2）∵2sin cos()sin sin cos cos sin sin βαβαααββα=+=- ∴2sin (1sin )sin cos cos βαααβ+=，∴222sin cos sin cos tan 1sin 2sin cos ααααβααα==++ 即2tan tan 2tan 1αβα=+，∵22tan tan tan tan 0βααβ-+=∴2(1)4(2tan )tan ββ-≥∙，∴tan β≤，当且仅当tan α=时等号成立. 考点：1.同角的基本关系；2.两角和差公式. 22. （本小题满分12分）已知函数()f t =()cos (sin )sin (cos )g x x f x x f x =⋅-⋅，7(,)12x ππ∈. （1）求函数()g x 的值域； （2）若函数|cos()|(sin())(0)66y x f x ππωωω=+⋅+>在区间[,]3ππ上为增函数，求实数ω的取值范围.【答案】（1）(-；（2）103ω<≤（2）由（1）1sin()6|cos()|sin()166|cos()|6x y x x x πωππωωπω++=+⋅=+++∵32T ππ-≤，2T πω=，∴302ω<≤令22262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈；解之得626133k k x ππωω-+≤≤，k Z ∈ 则()f x 的单调递增区间为6261[,]33k k ππωω-+，k Z ∈，考点：1.由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式；2.函数的值域；3.函数解析式的求解及常用方法．。
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