【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备

数学分析重点概念整理

第一章 集合与函数

1. 集合

定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。 定理1.1.2 有理数集Q 是可列集

Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数

映射的基本要素

映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。

基本初等函数

Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。

定义1.2.7 算术平均值：

1...n a a n ++，

调和平均值111...n

n

a a ++

第二章 数列极限

1.实数系的连续性

上确界的定义：

下确界的定义：

定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。

2.数列与数列极限

数列极限的形式 (1)唯一性

定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性

定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性

定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <

四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量

4.收敛准则

定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。

(确界存在定理)

用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)

用闭区间套定理可以证明

定理2.4.3 实数集R 是不可列集。

定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。 定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}

k n x 使得lim k n k x →∞

=∞。

定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。

由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。

实数系之间的推理关系：

定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。

确界存在定理⇒单调有界数列收敛定理⇒闭区间套定理⇒Bolzano-Weierstrass 定理⇒Cauchy收敛原理

这五个定理是等价的，这五个定理每个都是实数系的基本定理。

第三章函数极限与连续函数

1.函数极限的定义

函数极限的性质：

（1）唯一性

（2）局部保序性

（3）夹逼性

2.连续函数

第一类不连续点（跳跃点）：左右极限都存在但不相等。

第二类不连续点：左右极限至少有一个不存在。

第三类不连续点（可去点）：左右极限都存在但是0()f x 与他们不相等或在0x 处无定义

Eg:Riemann 函数

()R x 在任意点的极限存在，且为0.。换而言之，一切无理点是()R x 的连续

点，一切有理点是()R x 的第三类不连续点。

区间（a,b ）上的单调函数的不连续点必为第一类不连续点。

定理3.2.4 一切初等函数在其定义区间上连续。

3.无穷小量与无穷大量

000()lim 0()()()()()()lim 1()()lim 0

()x x x x x x u x v x u x a A v x u x v x u x v x v x u x →→→⎧

=⎪⎪

⎪

≤≤⎪⎪

⎨

⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭

⎪

⎪=⎪⎩

高阶无穷小：同阶无穷小：邻域内关于是同阶无穷小：低阶无穷小：000()lim ()()()()()()lim 1()()lim ()x x x x x x u x v x u x A v x u x v x u x v x v x u x →→→⎧

=∞⎪⎪⎪≤⎪

⎪

⎨

⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎪

⎪

=∞⎪⎩

高阶无穷大：同阶无穷大：邻域内关于是同阶无穷大：低阶无穷大： 一些等价量

1

tan ~

()2

2

x x x

ππ

-

→

-

2

ln(1)~1~ (0)(1)~1cos ~

2

x x x

e x x x x x x α+-→+-

计算中无穷小量出现加减的时候不能贸然使用等价量进行替换。

5. 闭区间上的连续函数

定理3.4.1（有界性定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续则它在[,]a b 上有界。 用闭区间套定理证明。

开区间上的连续函数不一定是有界的。

定理3.4.2（最值定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续则它在[,]a b 上必能取到最大值与最小值。

用3.4.1+Bolzano-Weirrstrass 定理证明

定理3.4.3（零点存在定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则一定存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=

定理3.4.4（中间值定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则它一定能取到最大值何最小值之间的任何一个值。 直接用零点存在定理证明。 一致连续概念

定理3.4.6（Cantor 定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则它在[,]a b 上一致连续。

用Bolzano-Weierstrass 定理证明

定理3.4.7 函数()f x 在有限开区间(,)a b 连续，则()f x 在(,)a b 上一致连续的充要条件是()f a +与()f b -存在。

第四章 微分 1.微分和导数

可微一定连续

定理4.1.1 可微充要条件是可导。 2.导数的意义和性质 导数的四则运算

[例]

函数组合导函数

11

'111()'()'()'()()n n

i i i i i i n

n n

i i j i i i i i i j c f x c f x c f x f x c f x =====≠⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎪⎪

=⎨⎬

⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭

∑∑∑∏∏

对数求导法

()()

()()'()''()

'()ln ()()()v x v x y f x u x u x y z y u x v x u x v x u x ==⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦

隐函数求导 倒数：21'(),'()()

g x y y g x g x =

=- 参数方程：

'()'()

dy y t dx x t = 5.高阶导数和高阶微分

[例] ()()sin sin()2

cos cos()

2

n n n x x n x x ππ

=+

=+

复合函数二阶导：

()

()

y f u

u g x

=

⎧

⎨

=

⎩

2

222

222

+

d y d y du dy d u

dx dx dx du dx

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

对于含参数的函数：

2

2

''()

''() d y t dx t

ϕ

φ

≠

第五章微分中值定理及其应用1.微分中值定理

https://www.360docs.net/doc/0e19473382.html,grange中值定理

2.L‘Hospital法则

注意：0*

,

0∞

才能只用洛必达法则，只用之前必须验证；洛必达法则失效时极限

不一定不存在。

()lim()ln()

lim()g x g x f x

f x e

=

3.Taylor公式和插值多项式

4.函数的Taylor公式及其应用

f x在0

()

f x的Maclaurin公式

x 处的Taylor公式又称为()

渐近线

5.Taylpr公式的应用

第六章不定积分