历年高考试题《向量》专题处理

题型特征及分值：

近几年高考对向量的直接考查一般为一个选择题或填空题,主要题型有:(1)向量加减运算的几何意义应用;(2)向量数量积运用：求向量模长、夹角；证向量平行、垂直等(如:07四川卷7题);(3)向量作为工具性知识（如20XX年四川卷21题）,命题者常以向量为载体综合考察学生的转化与化归能力.间接或直接涉及的分值一般在5至10分左右.填空、选择题多为容易题，作为工具性知识考察时关键是将以向量形式出现的条件转化为坐标、数量积等的运算.

§1.平面向量

知识网络：

图像平移

12

PP P P

λ

=且P

1λ

+①a b b a

⋅=⋅②()()()

a b a b a b

λλλ

⋅=⋅=⋅

()

a b c a c b c

+⋅=⋅+⋅

注意：①a b b c a c

⋅=⋅≠>=

②0,00

a a

b b

≠⋅=≠>=③()()

a b c a b c

⋅⋅≠⋅⋅

,设

,'(,

PP h

=

§2. 典型题型真题突破

【1】 (07全国卷2)在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，

CD = 13CA CB λ+，则λ=( )A ．23 B ．13 C ．13- D ．23

- 解题思路：由1222()33AD DB CD CA CB CD CD CA CB =∴-=-⇒=

+，，λ=23

，选A. 【例2】 (06陕西)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB

→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

解题思路：．已知非零向量AB →与AC →满足(||||

AB AC AB AC +)·BC →=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB=AC ，又cos A =

||||AB AC AB AC ⋅=12

，∠A=3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 设,a b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量是a 与e 的

交角:则①cos e a a e a θ⋅=⋅=②0a b a b ⊥⇔⋅=

,a b 同向

a b a b ⋅=；,a b 反向a b a b ⋅=- 特别22()a a =④a b

a b ⋅

①设(,),(,)1122a

x y b x y ==,则12a b x x ⋅=22221122x y x y =++ ②设(,)a

x y =2()a a ==2x y +或2a x =+③若

(,),(,1122A x y B x y ==则(1AB x x =-(,),(,)1122a x y b x y ==则12(a b x x y y ⊥⇔+,a b 非零a //b 112y x x ⇔=

【例3】(06广东)如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =( ) A.12BC BA -+ B. 12

BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + 解题思路：2

1+-=+=，故选A. 【例4】(06山东)设向量a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c),d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为 ( )

A.(2,6)

B.(－2,6)

C.(2,－6)

D.(－2,－6)

解题思路：设d ＝（x ，y ），因为4a ＝（4，－12），4b －2c ＝（－6，20），2(a －c)＝（4，－2），依题意，有4a ＋（4b －2c ）＋2(a －c)＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，选D.

【例5】(07江西)如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，

过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，

若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为 ． 解题思路：1(),,,2AO AB AC AB mAM AC nAN =+== 1()2

AO mAB nAC ∴=+ 1,2m n m n ∴==+=。

【例6】 (07山东)已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．4

解题思路：由2(2(3,)(1,)303n n n n -⋅⇒⋅-=-=⇒=a b)b =0312=+=a ，

选C.

【例7】（05湖北）已知向量a=（-2，2），b=（5，k ）若|a+b|不超过5，则k 的取值范围是

解题思路：2

9(2)5[6,2]k k =++≤⇒∈-a +b .

【例8】 (06四川) 如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的

数量积中最大的是 ( )

A. 1213PP PP ⋅

B. 1214PP PP ⋅

C. 1215PP PP ⋅

D. 1216PP PP ⋅ B A O N M 题型2：向量数量积运用：求模长、夹角；证平行、

A D

C

B 图