武汉理工大学学年第二学期高等数学A下期中试卷

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武汉市2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析

武汉市2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）满分：150分时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共12小题60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.曲线321y x x =-+，在1x =处的切线与直线1y ax =+平行，则a 的值为（）A. 0B. 1C. 1-D. 2【答案】B 【解析】【分析】求出导数，得切线的斜率，由直线平行得a ．【详解】232y x '=-，∴切线的斜率11k y x ='==，切线与直线1y ax =+平行，1a .故选：B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的充要条件，解题关键是利用导数几何意义求出切线斜率．2. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（） A. 23397C CB. 2332397397C C +C C C. 514100397C -C CD.5510097C -C【答案】B 【解析】试题分析：恰好有2件次品时，取法为23397C C ⋅，恰好有3件次品时，取法为32397C C ⋅，所以总数为23397C C ⋅32397C C +⋅．考点：排列组合．3.已知函数()sin 2'(),3f x x xf π=+则'()3f π=（）A. 12-B. 0C.12D.3 【答案】A 【解析】()()sin 2','cos 2'33f x x xf f x x fππ⎛⎫⎛⎫=+∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令3x π=，则11'cos 2'2','3332332f ff f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+∴=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A.4.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.5.4名男生和4名女生排成一排，女生不排在两端，则不同的排法种数为（）A. 2444A A ⋅B. 4444A A ⋅C. 2646A A ⋅D. 88A【答案】C 【解析】【分析】分步完成这件事，第一步选2个男生排在两端，第二步剩下的6人在中间任意排列，由分步计数原理可得．【详解】先从4名男生中选2名排在两端，有24A 种排法，再将其余6人无限制地排在中间6个不同的位置，有66A 种排法，由分步乘法计数原理知共有6426A A ⋅种不同的排法.故选：C ．【点睛】本题考查排列的应用，解题时采取特殊元素特殊位置优先考虑的原则． 6.在曲线2yx 上切线的倾斜角为4π的点是（） A. （0,0） B. （2,4）C. 11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】依题意π12tan 1,42y x x '====，此时21124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选D . 7.设5250125(2)x a a x a xa x -=++，那么024135a a a a a a ++++的值为（）A. 244241-B. 122121-C. 6160-D. -1【答案】B 【解析】【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得02412431222a a a ++==+，15312431212a a a -++==-，代入运算即可得解.【详解】解：由5250125(2)x a a x a x a x -=++，令1x =得：5012534(21)a a a a a a -++=+++，① 令1x =-得：5053412[2(1)]a a a a a a =--+---+，② 联立①②得：02412431222a a a ++==+， 15312431212a a a -++==-，即024135a a a a a a ++=++122121-，故选：B.【点睛】本题考查了二项式展开式系数的求法，重点考查了赋值法，属基础题. 8.某人射击7枪，击中5枪，问击中和未击中的不同顺序情况有（）种. A. 21 B. 20 C. 19 D. 16【答案】A 【解析】【分析】转化为7个位置，选2个放未击中，另5个放击中，由此可得结论．【详解】射击7枪，击中5枪，则击中和未击中的不同顺序情况共有527721C C ==种.故选：A ．【点睛】本题考查组合的应用，解题时注意元素之间有无区别，以确定是排列还是组合． 9.若函数()xf x e ax =-在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.0613v v = B. [)1+∞， C. [)1e ，++∞ D.()1e -+∞，【答案】A 【解析】【分析】先求导数，再由“在[0,1]内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在[0,1]上恒成立求解．【详解】∵()xf x e ax =-在[0,1]上单调递减，∴f ′（x ）＝e x ﹣a≤0，在[0,1]上恒成立， ∴a ≥e x 在[0,1]上恒成立， ∵y ＝e x在[0,1]上为增函数， ∴y 的最大值为e ， ∴a ≥e ，故选A ．【点睛】本题主要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零．10.如图，一环形花坛分成,,,A B C D 四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A .12B. 24C. 18D. 6【答案】C 【解析】四块地种两种不同的花共有22326C A = 种不同的种植方法，四块地种三种不同的花共有33212A = 种不同的种植方法，所以共有61218+= 种不同的种植方法，故选C.11.关于函数()31443f x x x =-+．下列说法中：①它极大值为283，极小值为43-；②当[]34x ∈，时，它的最大值为283，最小值为43-；③它的单调减区间为[]22-，；④它在点()04，处的切线方程为44y x =-+，其中正确的有（）个 A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 ∵函数()31443f x x x =-+ ∴()()()2'422f x x x x =-=-+由()()()'220f x x x =-+>，解得x >2或x <−2，此时函数单调递增，由()()()'220x fx x =-+<，解得−2<x <2,此时函数单调递减，∴③正确；当x =−2时,函数f (x )取得极大值f (−2)=283，当x =2时,函数f (x )取得极小值f (2)=4 3-，∴①结论正确；[]34x ∈，时，()f x 单调递增，它的最大值为()3428444433f =-⨯+=，最小值为()334343433f =-⨯+=-，∴②正确；()'04f =-，∴它在点()04，处的切线方程为44y x =-+，∴④正确，故选D12.已知函数()32f x x ax =-+的极大值为4，若函数()()g x f x mx =+在()3,1a --上的极小值不大于1m -，则实数m 的取值范围是（） A. 159,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B. 159,4⎛⎤--⎥⎝⎦C. 15,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(),9-∞-【答案】B 【解析】∵2'()3f x x a =-，当0a ≤时，'()0f x ≥，()f x 无极值；当0a >时，易得()f x 在x =4f ⎛ ⎝=，即3a =，于是()3()32g x x m x =+-+，2'()3(3)g x x m =+-.当30m -≥时，'()0g x ≥，()g x 在(3,2)-上不存在极小值..当30m -<时，易知()g x在x =依题意有32,1,g m ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得1594m -<≤-.故选B.点睛：本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解. 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知33210n n A A =，那么n =__________．【答案】8 【解析】【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.14.6个人排成一排，甲、乙两人中间恰有一人的排法有__________种. 【答案】192 【解析】【分析】由于甲、乙两人中间恰有一人，因此完成可以先从4人中选1人站在甲乙中间，甲乙两人之间也相互排列，接着把甲乙和中间1人捆绑作为一个元素，与其他3人进行全排列．【详解】由题意排法数有124424192A A A ⋅⋅=.故答案为：192．【点睛】本题考查排列的应用，解题关键确定事件完成的方法，是分步完成还是分类完成． 15.若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】1(,)9-+∞ 【解析】【详解】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：利用导数判断函数的单调性．16.若关于x 的不等式0x e ax -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是______．【答案】(],e -∞ 【解析】【分析】分离参数可得不等式x e a x≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，设()xe f x x =，求出函数()f x 在()0,+∞上的最小值后可得结果．【详解】∵关于x 的不等式0x e ax -≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，∴xe a x≤对任意()0,x ∈+∞恒成立．设()(0)x e f x x x =>，则2(1)()xx e f x x-'=， ∴当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． ∴min ()(1)f x f e ==，∴实数a 的取值范围是(,]e -∞．故答案为(,]e -∞．【点睛】解答不等式在某区间上的恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，即通过参数的分离，把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式，然后通过构造函数并求出函数的最值后可得所求．解题中常用到以下结论：()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>或()a f x <恒成立min ()a f x ⇔>，当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替．三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分，解答每题时写出必要的文字说明或演算步骤.） 17.某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，（1）一共有多少种选法？（2）其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？（3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？【答案】（1）49126C =（2）3735C =（3）120【解析】【详解】（1）从549+=名医生中选出4名医生参加赈灾医疗队共有：种选法；（2）因为内科医生甲必须参加，而外科医生乙因故不能参加，所以只须从剩下的7名医生中选出3名医生即可，即3735C =种选法；（3）间接法，从9名医生中选出4名有49126C =种方法，而选到的医生全部是内科医生的有455C =种，选到的医生全部是外科医生的有441C =种，所以内科医生和外科医生都要有人参加共有种选法.18.已知函数()()()2122f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值．【答案】（1）极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =；（2）2b =-或5327b =-【分析】(1)直接利用导数求函数f(x)的单调区间和极值.(2) 设切点为()()00,x f x ，再根据()20006244f x x x '=-++=求得00103x x ==或，再求b 的值.【详解】(1)因为()f x ' 2624x x =-++ 令()f x '=0，得26240x x -++=，解得x =2-或x =1．所以()f x 的单调递增区间为2,13⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =．（2）因()f x ' 2624x x =-++，直线4y x b =+是()f x 的切线，设切点为()()00,x f x ，则()20006244f x x x '=-++=，解得00103x x ==或，当00x =时，()02f x =-，代入直线方程得2b =-，当013x =时，()01727f x =-，代入直线方程得5327b =-．所以2b =-或5327b =- .【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与曲线的切线方程有关的问题，如果不知道切点，一般设切点坐标，再解答.19.在二项式n 的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．【答案】（1）52-;（2）1256 .【解析】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为64，264n = 6n ∴=，根据中间项的二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令1x =计算n的大小，即可得答案.试题解析：（1）由已知得0164nn n n C C C +++=，264n = 6n ∴=，展开式中二项式系数最大的项是6331130334611520282T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1,,r n =由已知：02012111,,222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列，12112124n nC C ⨯=+∴n=8,在n中令x=1，得各项系数和为1256 20.已知函数()3221()1(,)3f x x ax a x b a b R =-+-+∈，其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间，并求出()f x 在区间[]2,4-上的最大值. 【答案】（1）11a =，83b =. （2）单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2；最大值为8. 【解析】【分析】（1）求出导函数，由(1)1f '=-，(1)2f =可求得,a b ；（2）由（1）得()f x '，求出()0f x '=的根，然后列表表示出()f x '的正负，()f x 的单调性，得极值．从而可得单调区间，也能得出函数在[2,4]-上的最大值．【详解】（1）()2221f x x ax a '=-+-，()()1,1f 在30x y +-=上，()12f ∴=，()1,2∴在()y f x =上，21213a ab =-+-+∴.又()11f '=-，2210a a ∴-+=，解得1a =，83b =. （2）()321833f x x x =-+，()22f x x x '∴=-，由()0f x '=得0x =和2x =，列表如下：所以()f x 的单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2.()803f =，()423f =，()24f -=-，()48f =，∴在区间[]2,4-上的最大值为8.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间，求函数的最值．根据几何意义，根据导数与单调性的关系直接求解即可，属于中档题．21.已知a R ∈，函数2()()xf x x ax e =-+（R x ∈，e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）(（Ⅱ）32a ≥ 【解析】【分析】（Ⅰ）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；（Ⅱ）原函数()f x 在()1,1-上单调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a 的范围.【详解】（Ⅰ）当2a =时，()()22xf x x e '=-+.令()0f x '>，解得x <<所以，函数()f x的单调递增区间为(.（Ⅱ）方法1：若函数()f x 在()1,1-上单调递增，则()0f x '≥在()1,1-上恒成立.即()()()220x f x x a x a e =-+-+≥'，令()()22g x x a x a =-+-+.则()()220g x x a x a =-+-+≥在()1,1-上恒成立.只需()()()()11201120g a a g a a ⎧-=-+-+≥⎪⎨=-+-+≥⎪⎩，得：32a ≥方法2：()()()22x f x x a x a e '=-+-+，令()0f x '>，即()()220x a x a -+-+>，x <<. 所以，()f x的增区间为⎝⎭又因为()f x 在()1,1-上单调递增，所以()1,1-⊆22,22a a ⎛---+⎪⎝⎭即11≤-⎨⎪≥⎪⎩，解得32a ≥.【点睛】本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.22.已知函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在0,4x x ==处取得极值. （1）求常数k 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值；（3）设()()g x f x c =+，且[1,2]x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，求c 的取值范围. 【答案】（1）；（2）当x ＜0或x ＞4，f （x ）为增函数，0≤x≤4，f （x ）为减函数；极大值为，极小值为（3）【解析】【详解】试题分析：（1）因为函数两个极值点已知，令()()23610f x kx k x =+-='，把0和4代入求出k 即可．（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，()()244f x x x x x '=-=-大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x 值代到f （x ）中，通过表格，判断极大、极小值即可．（3）要使命题成立，只需()min 1f x c ≥+，由（2）得：()1f -和()2f 其中较小的即为g （x ）的最小值，列出不等关系即可求得c 的取值范围．试题解析：（1）()()2361f x kx k x '=+-，由于在0,4x x ==处取得极值，∴()00,f '= ()40,f '=可求得13k =（2）由（1）可知()3218239f x x x =-+，()()244f x x x x x '=-=-，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：x(),0-∞()0,44()4,+∞()f x '+－0 +()f x极大值89极小值889-∴()f x 在(,0)-∞，(4,)+∞为增函数，()f x 在(0,4)上为减函数； ∴极大值为()80,9f =极小值为()8849f =- (3) 要使命题[]1,2x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，只需使()21f x c c +≥+,即()1f x c ≥+即可.只需()min 1f x c ≥+ 由（2）得()f x 在[]1,0-单增，在[]02，单减. ()()13401299f f -=-=-， ∴()min4019f x c =-≥+，499c ≤-. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()f x 有三个极值点C ．()f x 有一个极大值4．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线()22:20C y px p =>构造了一个类似点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线C 124==PF PQ ，则p =（）二、多选题6．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，有()()20xf x f x '+>恒成立，则（）A ．()()142f f >B ．()()142f f ->-C ．()()4293f f >D ．()()4293f f ->-三、单选题四、多选题五、填空题13．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，若12a =，23a =，122n n n a a S +=+，则10S 的值为______.14．函数()33f x x x =-在区间(2,)a -上有最大值，则a 的取值范围是________．15．已知m 为常数，函数()2ln 2f x x x mx =-有两个极值点，则m 的取值范围是______.16．函数()()22e ,022,0x ax x f x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩，且0a ≠，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为______.六、解答题(1)建立适当的坐标系，设(2)求矩形桌面板的最大面积19．已知函数()(f x =(1)当0a =时，求()f x (2)讨论函数()f x 的单调性20．函数()e cos xf x x =，(1)求数列{}n x 的通项公式，并证明数列(2)若对一切*n ∈N 不等式21．已知椭圆E ：22x a +T 为椭圆E 上任意一点，(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,0P 的直线与椭圆（点B ，C 在直线l 的两侧）别为1S ，2S ，3S ，试问：是否存在常数求出t 的值；若不存在，请说明理由参考答案：9．BCD【分析】利用导数判断函数的单调性可知B 正确；当01x <<时，()0f x <，可知A 错误；求出函数的零点，可知【详解】因为()2ln f x x x =，该函数的定义域为当120e x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当12e x ->时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，所以111221()e e ln e 2e f x f ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值，故当01x <<时，ln 0x <，此时()2ln 0f x x x =<由()2ln 0f x x x ==，可得ln 0x =，解得1x =故选：BCD 10．ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断义以及基本不等式判断D.()ln 1a b ∴=+，(ln a b b -=+构造函数：()()ln 1p x x x =+-递减，当0x ＜时，()()'0,p x p x ＞单调递增，立，所以当0m ＜时，方程1bm a+=对于C ，方程1b m a+=有2个解()()12112eb b +++＞，由A 知：原方程为e am a =有2个解1,a a ()121212e e 2e ,a a a a a a ++≠ ＞，由B 知：0b ＞，(ln 1a b ∴=+只需证明122eea a +＞即可，即a 当01x ＜＜时，()()'0,k x k x ＜函数图象大致如下：()k x m =对应的2个解为1x =只需证明212x x -＞，11,x ∴ ＜所以即证()()212k x k x -＞，由证()()1120k x k x --＞，即证()()2e e 22x xk x k x x x---=--即()22e e 0x xx x ---＞，构造函数()()22e e x n x x x -=--()2'01,e e ,0,x x x n x -∴ ＜＜＜＜()()1120k x k x --＞，命题得证；对于D ，110,222a a b b ++＞＜，()()12ln 111b b b ++-+＜，令构造函数()(12ln ,w t t t t t =-+＞()w t 是减函数，()10,w w =∴故选：ACD.13．65【分析】运用1n n n a S S -=-（n 数列，进而求得{}n a 的通项公式，代入【详解】∵12a =，23a =，n a如图所示，当041m <<，即104m <<时，4y m =，个交点，记为1122(,),(,)A x y B x y .根据图像可知10x x <<时，1ln 41ln 4xm x mx x+>⇔+-1ln 41ln 40xmx mx x+⇔+-，即()0f x '>，说明1x 是()f x '的变号零点.同理可说明意.故答案为：104m <<16．2e 0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】当x ＞0时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当依题意可设抛物线方程为故点P 所在曲线段BC 设()()2,201P x x x ≤<是曲线段则在矩形PMDN 中，PM 桌面板的面积为()S x =）由已知得，BC的斜率存在，且B，C在∴，01x x <<<，。

武汉理工大学学年第二学期高等数学A下期中试卷

(A) (B) (C) (D)
4、设，其中是圆域位于第象限的部分，则有（C）
(A) (B) (C) (D)
5、设，且，则级数 ()
(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性根据所给条件不能确定
得分
二、填空题（本题共5小题，每小题3分）
1、微分方程满足条件的特解为.
2、曲面上与平面平行的切平面方程为.
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姓名
学号
专业班级
学院
武汉理工大学考试试卷（A卷）
2014~2015学年2学期高等数学A（下）课程任课教师
80学时，5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%，2015年07月7日
题号
一
二
三
四
五
六
合计
满分
15
3、若函数由方程确定，则 .
4、设有球面，则 .
5、已知级数，则 .
得分
三、计算题（本题共6小题，每小题8分）
1、求通过直线的两个相互垂直的平面和，使其中一个平面
通过点 .
2、设函数，其中有二阶连续偏导数，求 .
3、计算二重积分，其中为， .
4、计算曲线积分：，其中为椭圆上从点到点的弧段.
5、计算曲面积分，其中为平面上的曲线绕轴旋转一周而成，其上法向量与轴的夹角为锐角。
6、求幂级数的收敛区间及其和函数 .
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湖北省武汉市高二下学期期中联考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知复数，是虚数单位，则（） ()12i 13i z +=-+i z =A ． B ． C ． D ．1i -+1i --1i +1i -【答案】D【分析】利用复数除法运算求得复数的值，然后利用共轭复数的概念求得结果. z 【详解】由，得， ()12i 13i z +=-+()()()()13i 12i 13i 1i 12i 12i 12i z -+--+===+++-所以. 1i z =-故选：D2．甲，乙，丙三人报考志愿，有，，三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考A B C 同一所大学的概率为（） A ．B ．C ．D ．1323791627【答案】B【分析】根据题意，利用乘法计数原理计算总的方法数，从反面计算恰有2人报考同一所院校的方法种数，根据概率公式，计算即可求解.【详解】由题意，每人报考一所学校，不同的选法总数是（种）3327=如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是（种）,336A =所有人都报同一所学校的方法有3种，∴恰有2人报考同一所院校的方法种数为， 276318--=概率为. 182273=故选：B.3．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若，则圆柱12O O O 122O O =的表面积为（）12O OA ．B ．C ．6D ．4π5πππ【答案】C【分析】根据相切情况，先求得圆柱底面半径，再用圆柱表面积公式，即可求得结果. 【详解】因为该球与圆柱的上下底面，母线均相切，不妨设圆柱底面半径为， r 故，解得，1222r O O ==1r =故该圆柱的表面积为.21222246r rO O πππππ+=+=故选：C.【点睛】本题考查球体与圆柱体相切时的几何性质，涉及圆柱表面积的求解，属综合基础题. 4．已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大a b,3a b π= c ()()0a c b c -⋅-= c r 值是（）A B C D1【答案】B【分析】首先设，，，画出图形，根据已知条件得到在以为直径的圆OA a = OB b = OC c =C AB 上，再结合图形求解即可. 【详解】如图所示：设，，，OA a = OB b = OC c =则，，CA a c =- CB b c =- 因为，所以，即.()()0a c b c -⋅-= 0CA CB ⋅= CA CB ⊥ 所以在以为直径的圆上.C AB 设的中点为，因为和是平面内两个单位向量，且，AB D a b,3a b π=所以，1AB =OD =所以. max12cOD =+=故选：B5．锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且ABC A ,,A B C ,,a b c ，则等于（） 22224cos 2cos a b c a A ac B +-=-aA ．2B ．CD ．1【答案】C【分析】利用余弦定理得到，再利用正弦定理结合两角和与差的三角函数cos 2cos cos =-b C a A c B 得到，结合外接圆半径即可求解3A π=【详解】由，22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B 得，2222cos cos 2+-⋅=-a b c b a A c B ab 由余弦定理，可得，cos 2cos cos =-b C a A c B 又由正弦定理，可得， sin cos 2sin cos sin cos =-B C A A C B 所以， sin cos sin cos sin()sin 2sin cos +=+==B C C B B C A A A得，又，所以，所以1cos 2A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =sin A =又，所以 22sin sin sin ====a b cr A B Ca =故选：C6．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA BC =E CD 中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）F PC BF PEA ．BC ．D 【答案】B【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，表示出，，然后求A BF PE出的值，即可得出答案. cos ,BF PE u u u r u u r 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， A 2AB =则，，，，， ()0,0,0A ()2,0,0B ()002P ,,()2,2,0C ()0,2,0D 则，，()1,2,0E ()1,1,1F 所以，， ()1,1,1BF =-()1,2,2PE =- 所以cos ,BF PE BF PE BF PE ⋅===u u u r u u ru u ur u u r u u u r u u r 所以，异面直线与BF PE 故选：B.7．已知过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线平行的直线交双曲线()222210,0x y a b a b -=>>F l 于点，交双曲线的另一条渐近线于点（，在同一象限内），满足，则该双曲线A B A B 3FB FA =的离心率为（） A ．BC D ．243【答案】B【分析】将直线的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出的纵坐标，再利用已知条l ,A B 件求解．【详解】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限， by x a=±,A B直线的方程为，与联立，得；l ()b y x c a =--22221x y a b-=32A b y ac =直线与联立，得．l b y x a =2B bcy a =由，得，即， ||3||FB FA =3B A y y =3322bc b aac=⨯得，即，则，223c b =2232c a =e =故选：B ．8．对任意的，，不等式恒成立，则正实数的取值范围是x ()0,y ∈+∞33e e 44ln x y x y x a +---++≥a （）A ．B ．C ．D ．(e 0,2⎛⎤⎝⎦[)e,+∞[)2e,+∞【答案】A【分析】利用指数的运算性质以及基本不等式，把双变量问题变成单变量，再利用导数来研究函数的单调性和最值.【详解】设，则问题转化为不等式可化为恒成立， 33e e 4()x y x y f x +--+++=4ln ()x a f x ≤又（当且仅当时取等号）， 33e e ()(4e e )42y x y x f x ---=++≥+0y =所以，即有在时恒成立，34ln 42ex x a -≤+3e 22ln x a x-+≤,()0x ∈+∞令，则，令，3e 2()x h x x -+=32e (1)2()x x h x x -'--=32e (1)2()0x x h x x -'--==即，令，则，3e (1)2x x --=3()e (1)x x x ϕ-=-3()e x x x ϕ-='因为，，所以，所以在单调递增， ,()0x ∈+∞3e 0x ->30()e x x x ϕ-='>()ϕx (0,)+∞又，即的根为3，(3)2ϕ=3()e (1)2x x x ϕ-=-=所以当时，单调递增，当时，单调递减，3x >3e 2()x h x x -+=03x <<3e 2()x h x x -+=所以当时，取得最小值，所以，解得3x =3e 2()x h x x -+=(3)1h =2ln 1a ≤a ≤又，所以0a >0a <≤故选：A ．【点睛】关键点睛：解答时要充分利用题设中的有效信息，先将两个变量化为一个变量，再灵活运用导数这一重要工具，通过两次求导使得函数的变化情况较为明确，最后借助不等式恒成立，从而求得参数的取值范围，使得问题简捷、巧妙获解．二、多选题9．已知直线与圆交于，两点，且（其中为坐标原y x b =+224x y +=A B OA OB OA OB +=-O 点），则实数的值可以是（） bA ．B ．C ．2D ．-2-【答案】BC【分析】由已知可推得，设，，则.联立直线与圆的方OA OB ⊥()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=程，得出坐标之间的关系，即可得出答案.【详解】由可得，，OA OB OA OB +=- ()()22OA OBOA OB +=- 所以，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 所以，所以.0OA OB ⋅=OA OB ⊥ 设，，则.()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=联立直线与圆的方程可得，， 224y x bx y =+⎧⎨+=⎩222240x bx b ++-=由，可得.()()()2222424480b b b ∆=-⨯⨯-=-->b -<<且，则， 1221242x x b b x x +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩()()()212121212y y x b x b x x b x x b =++=+++所以，()222121242402b x x y y b b b b -+=⨯+-+=-=解得. 2b =±故选:BC.10．创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉.为支持“中小企业”创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（）A ．年收入在万元的中小企业约有14家 [)500,600B ．样本的中位数大于400万元C ．估计当地中小型企业年收入的平均数为376万元D ．年收入的样本数据的80%分位数为480万元【答案】AC【分析】根据频率分步直方图可计算，进而可结合选项逐一求解中位数，百分位数以及0.0014x =平均数即可求解.【详解】由频率分步直方图可知： ()0.0010.0020.002620.000410010.0014x x ++⨯++⨯=⇒=对于A, 年收入在万元的中小企业约有家，故A 正确， [)500,6000.001410010014⨯⨯=对于B ，设样本中的中位数为，则a ()()49000.0010.0021003000.00260.540013a a +⨯+-⨯=⇒=<，故B 错误，对于C ，当地中小型企业年收入的平均数为，万元，()1500.0012500.0023500.00264500.00265500.00146500.0004100376⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故C 正确，对于D ，设年收入的样本数据的80%分位数为，则m 万元，故D 错误， ()()12000.0010.0020.00261004000.00260.8400492.313m m ++⨯+-⨯=⇒=+≈故选：AC11．如图，点M 是棱长为2的正方体中的线段上的一个动点，则下列结论正1111ABCD A B C D -1A D 确的是（）A ．存在点M ，使平面 //CM 11A BCB ．不存在点M 满足1CM AD ⊥C ．存在点M ，使异面直线与所成的角是60° 1C M ABD ．二面角1B C D M --【答案】AD【解析】选项A. 当为中点时可得可判断；选项B. 当点M 与点重合时可得M 1A D 1//CM A N D 可判断；选项C. 连接,由，如图2，所以为异面直线与1CM AD ⊥11,MC MD 11//AB C D 11MC D ∠1C M 所成的角，可求出其最大角可判断；选项D. 二面角即二面角，由AB 1B C D M --11B C D A --，的中点，连接,则11BD BC DC ===1111A D A C DC ===1DC H 1A H ，所以角为二面角的平面角，可求解判断. 111,BH DC A H DC ⊥⊥1A HB ∠11B C D A --【详解】选项A. 当为中点时，连接交于点，连接,如图1 M 1A D 11,BC B C N MN 所以且，则为平行四边形，所以 1//A M NC 1A M NC =1A MCN 1//CM A N 又平面，平面，所以平面，故A 正确. 1A N ⊂11A BC CM ⊄11A BC //CM 11A BC 选项B. 当点M 与点重合时，由平面, D CD ⊥11ADD A 又平面,所以，故B 不正确.1AD ⊂11ADD A 1CM AD ⊥选项C. 连接,由，如图2，所以为异面直线与所成的角. 11,MC MD 11//AB C D 11MC D ∠1C M AB 在直角中，11MC D A 111111tan 2MD MD MC D C D ∠==在正方形, 所以，即，故C 不正确. 11ADD A 2M ≤11tan 1MC D ∠≤1145MC D ∠≤︒选项D. 二面角即二面角 1B C DM --11B C D A --由，11BD BC DC ===1111A D A C DC ===取的中点，连接,如图3，则 1DC H 1A H 111,BH DC A H DC ⊥⊥所以角为二面角的平面角 1A HB ∠11B C D A --所以在中，1BH A H ==1A BH A 1A B =所以 2211116681cos 2263HB A H A B A HB HB A H +-+-∠===⨯⨯⨯所以D 正确.1sinA HB ∠===故选：AD【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的判断和线面角以及二面角的求解，解答本题的关键是作出相应的角，由，所以为异面直线与所成的角，在直角中，11//AB C D 11MC D ∠1C M AB 11MC D A ，属于中档题. 111111tan 2MD MD MC D C D ∠==12．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点ABCD ABCD ,,,E F G H ，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，作第3个正方形EFGH EFGH ,,,M N P Q ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续MNPQ ABCD 1a 各正方形边长依次为；如图（2）阴影部分，直角三角形面积为，后续各直23,,,,n a a a AEH 1b角三角形面积依次为，下列说法正确的是（）23,,,,n b b bA ．第个正方形面积为.3MNPQ 10B ．.14n n a -=⨯C ．使得不等式成立的的最大值为. 12n b >n 3D ．数列的前项和对任意恒成立. {}n b n 4n S <*N n ∈【答案】BCD【分析】根据图形的变化规律，结合已知条件，求得以及，再对每个选项进行逐一分析，即n a n b 可判断和选择.【详解】根据题意，，且， 2214n n n a b a +-=231324432n n n n a a b a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故，即，又，故可得， 222138n n n a a a +-=22158n n a a +=0n a >1n n a+=由题可知，故数列是首项为的等比数列， 14a ={}n a 4则，，即第三个正方形的面积为， 14n n a -=⨯42325164a =⨯=254故A 错误，B 正确；对C ：因为，， 11233535163232828n n n n b a --⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭158n n b b +=故数列是首项为，公比为的等比数列，其为单调减数列，{}n b 3258，又，故不等式成立的的最大值为，正确； 37511282b =>4375110242b =<12n b >n 3C 对：因为，对任意恒成立，正确. D 3512854445818nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯< ⎪⎝⎭-*N n ∈D 故选：.BCD三、填空题13．为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣8名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排2个志愿者，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答）【答案】2940【分析】先将8名志愿者分成（3,3,2）一组和（2,2,4）一组，再分配到三个乡村即可求出结果. 【详解】依题意，①先将8名志愿者分成（3,3,2）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法. 3323852322C C C A 1680A ⋅=②先将8名志愿者分成（2,2,4）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法. 2243864322C C C A 1260A ⋅=所以共有：种方法. 168012602940+=故答案为：.2940四、双空题14．等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的正整数的值是{}n a 59a a =0d <n n S n ______，使前项和的正整数的最大值是______. n 0n S >n 【答案】6或712【分析】根据已知可推得，且，.然后可知当时，有，即可590a a >>590a a +=70a =17n ≤≤0n a ≥得出或时，取得最大值；然后求出，即可得出. 6n =7n =n S 137130S a ==12130S a =->【详解】因为，，所以，所以， 59a a =0d <59a a >590a a >>所以，所以，所以， 59a a =-590a a +=70a =所以，当时，有；当时，， 17n ≤≤0n a ≥8n ≥0n a <所以，使前项和取得最大值的正整数的值是6或7. n n S n 又，且，()113137131302a a S a +===1312130S S a =+=所以，所以使前项和的正整数的最大值是12.12130S a =->n 0n S >n故答案为：6或7；12.五、填空题15．若对任意的、，且，，则的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-m _______________________．【答案】1e【分析】分析出函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调递减区()ln 2x f x x+=(),m +∞()f x 间，即可求得实数的最小值.m 【详解】对任意的、，且，，易知，1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-0m ≥则，所以，，即， 122121ln ln 22x x x x x x -<-()()1221ln 2ln 2x x x x +<+1212ln 2ln 2x x x x ++>令，则函数在上为减函数， ()ln 2x f x x+=()f x (),m +∞因为，由，可得，()2ln 1x f x x +'=-()0f x '<1x e >所以函数的单调递减区间为，()f x 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，，所以，，因此，实数的最小值为.()1,,m e ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭1m e ≥m 1e 故答案为：.1e16．球的内接正四面体中，、分别为、上的点，过作平面，使得O A BCD -P Q AC AD PQ αAB 、与平行，且、到的距离分别为2，3，则球被平面所截得的圆面的面积是CD αAB CD αO α______. 【答案】37π2【分析】先将正四面体放到一个正方体中，结合面面平行证明上下底面和平面平行，将距离都转α移到线段上，得正方体的棱长，再利用球心到截面的距离求截面圆的半径，最后计算面积即21O O 可.【详解】将正四面体放到一个正方体中，如图所示，球O 是正四面体的外接球，A BCD -A BCD -也是正方体的外接球.依题意，设平面交BC 于R ，α因为平面，平面与平面交于，平面，所以， //AB αABC αRP AB ⊂ABC //AB RP 又平面，平面与平面交于，平面，所以，//CD αACD αPQ PQ ⊂ACD //CD PQ如图，连接，与AB 交于上底面中心，易知，所以，11C D 2O 11//C D CD 11//C D PQ 平面，平面，故平面，又平面，，平面PQ ⊂α11C D ⊄α11//C D α//AB α112C D AB O = 11C D ⊂，平面，11AC BD AB ⊂11AC BD 故上底面平面，同理可证下底面也平行平面.11//AC BD αα连接上下底面中心，交平面于S ，因为AB 、CD 到的距离分别为2，3， 21O O αα则，则正方形棱长为，正方体的体对角线， 212,3O S SO ==21235O O =+=即球的直径为， 2R =R =球О被平面所截得的圆的半径为r ，α则截面圆圆心为S ，到球心的距离， 2251222d SO O O O S ==-=-=故 r ===故面积.2237πππ2S r ==⨯=故答案为：. 37π2六、解答题17．将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中，试问. (1)一共有多少种不同的放法？ (2)恰有1个空盒的放法有多少种？【答案】(1)3125 (2)1200【分析】（1）把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有种放法，余下的2,3,4,5号小球也各有5种放法，根据分步计数原理得到结果；（2）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1,1,1,2.先将5个球分为4组，从5个盒子中选出4个，然后进行全排列即可求解.【详解】（1）将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中，每个球有5种放法，则5个球有种不同的放法；55555553125⨯⨯⨯⨯==（2）①将5个球分为4组，有种分组方法，25C 10=②恰有1个空盒，则有且仅有2个球进了同一个盒子，在5个盒子中任选4个，放入四组球，有种情况，则共计种不同的放法．4454C A 120=101201200⨯=18．在二项式中，有.()()150,0,0,0m nax bx a b m n +>>≠≠20m n +=(1)求二项式的展开式的常数项；()15m n ax bx +(2)若它的展开式中，常数项是其各项系数最大的项，求的取值范围. ab【答案】(1)5105615C T a b =(2) 51135a b ≤≤【分析】（1）求出通项，由以及，()1515115C m r nr rr r r T a b x -+-+=(15)0m r nr -+=20,0,0m n m n +=≠≠即可求出答案；（2）由只有常数项为最大项且，可得，解不等式即可. 0,0a b >>51054114151551056961515C C C C a b a b a b a b ⎧≥⎨≥⎩ ①②【详解】（1）设为常数项，()15151511515C ()()C m r nr r m r n r rr r r Tax bx a b x -+--+=⋅=则有，即，所以，常数项为第项，(15)0m r nr -+=(15)20m r mr --==5r 6且.5105615C T a b =（2）因为展开式中，常数项是其各项系数最大的项，所以第6项是系数最大的项，所以有 51054114151551056961515C C C C a b a b a b a b ⎧≥⎨≥⎩ ①②由①得，所以，1514131211151413125432432b a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯115a b ≤由②得，所以，1514131211151413121110543265432a b ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯53a b ≥所以.51135a b ≤≤19．设数列满足，，且对任意，函数{}n a 12a =3516a a +=N n *∈满足.()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.122n n n a b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭{}n b n n S 【答案】(1)2n a n =(2)()2212134n n n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出，根据，即可推得，所以是等差数列.然后()f x 'π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭122n n n a a a ++=+{}n a 由已知求得，即可得出数列的通项公式； 2d ={}n a （2）由（1）可推得，根据分组求和，分别求出等差数列以及等比数列的前项和，即244n n b n =+n 可求得答案.【详解】（1）因为， 1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅所以，1212()sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅所以，12112π202n n n n n n n f a a a a a a a +++++⎛⎫'=-+-=-+ ⎪⎝=⎭所以，， 122n n n a a a ++=+所以是等差数列. {}n a 又，，12a =48a =所以，所以， 4136a a d -==2d =所以.1(1)2(1)22n a a n d n n =+-=+-=（2）因为， 21122224224nn n a n n b a n n ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 122224424444n n S n =++⨯++++ ()21114122444n n ⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪⎝⎭11144(1)421214n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=⨯+⨯-()2212134n n n ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭20．如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC ABC A 1A AC △D 是的中点．AB（1）求证：平面； 1//BC 1A DC （2）求二面角的余弦值． 11A DC C --【答案】（1）证明见解析；（2）. 1113【解析】（1）首先证明，进一步得出结论.1//DE BC （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，首先正确求出两个平面的法向量，进一步求出二面角．【详解】（1）如图，连接，交于点，连接，1AC 1AC E DE由于四边形是平行四边形，所以是的中点．11A ACC E 1AC因为是的中点，所以． D AB 1//DE BC 因为平面，平面， DE ⊂1A DC 1BC ⊄1A DC 所以平面．1//BC 1A DC （2）如图，取的中点，连接，，AC O 1AOBO根据和都是正三角形，得，．ABC A 1A AC △1A O AC ⊥BO AC ⊥又平面平面，平面平面，所以平面，于是11A ACC ⊥ABC 11A ACC ⋂ABC AC =1A O ⊥ABC ．1A O BO ⊥以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标O OB OC 1OAx y z 系．设，则，，，．2AC=(1A ()0,1,0C 1,02D ⎫-⎪⎪⎭(10,C 所以，，．3,02CD ⎫=-⎪⎪⎭11,2A D =-152DC ⎛= ⎝ 设平面的法向量为，则，即，令，则1A DC (),,m x y z = 100m CD m A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302102y y -=-=3x =，，所以．y 1z=()m = 设平面的法向量，则，即，令，则1DCC (),,n a b c = 100n CD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302502b b -=⎪+=⎪⎩3a=b =，，所以．1c =-()1n =-设二面角的大小为，由图易知为锐角， 11A DC C --θθ则，11cos 13m n m n θ⋅==⋅因此二面角的余弦值为． 11A DC C --1113【点睛】本题是综合性题目，属于课堂学习情境和探索创新情境，具体是数学推理学习情境和数学探究情境，本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．解题关键（1）证明线面平行的关键是找到线线平行，而线线平行常常借助三角形的中位线定理来证明．（2）利用向量法求二面角的大小，关键是建立合适的空间直角坐标系，然后正确求出两个平面的法向量．21．已知椭圆，上顶点和右顶点分别是，椭圆上有两个动点，且2222:1x y E a b +=()0a b >>,A B ,C D .如图所示，已知，且离心率//CD AB()0,2A e =(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形面积的最大值；并试探究直线与的斜率之积是否为定值若为定值，请ABCD AD BC ?求出该定值；否则，请说明理由. 【答案】(1) 221164x y +=(2)16；是定值， 14【分析】（1）由已知可求得，根据离心率得出，代入，即可求得的2b =c =222a b c =+2a 值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，根据，求得，利用弦长公CD12y x t =-+0∆>2t -<<，求得与间的距离为//CD AB ABCD d ，令，得到，结合三角函数的性(()22St =-t θ=4cos )8sin cos S θθθθ=+--质，求得时，四边形面积最大值为，进而证得为定值.2t =-ABCD 16AD BC k k【详解】（1）解：因为，可得，又因为又，()0,2A 2b=c e a ==c =又由，所以，所以，222a b c =+22344a a =+216a =所以椭圆的标准方程为. 221164x y +=（2）解：由（1）知，，所以，所以，4a =(4,0)B 12AB k =-设直线的方程为，设，，CD 12y x t =-+(2)t <()11,D x y 22(,)C x y 联立直线与椭圆的方程，整理得，CD 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩222280x tx t -+-= 由，解得2244(28)0t t ∆=-->t -<<又由，所以，且，，2t <2t -<<122x x t +=21228x xt =-直线方程为，所以 AB 240x y +-=||AB =因为，直线的方程为， //CD ABCD 220x y t +-=所以直线与之间的距离为ABCD d所以四边形的面积，ABCD (()1222St ⎡=-⎣令，，则，t θ=ππ4θ<<4cos )8sin cos S θθθθ=+--令，则，πsin cos 4m θθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22442S m m ⎛=+=-⎝(0m <≤故当时，四边形面积最大值为，m 2t =-ABCD 16又因为，，122x x t +=21228x x t =-所以 2212211212*********11442222(2)222(4)4442AD BCt t x t x t x t t x t y y k kx x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+--++-+-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭====----，21214122844t x t x --==--故直线与的斜率之积是定值，且定值为． AD BC 14【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到k k 0(),F x y =关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；k ,x y 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22．已知函数.()()1ln f x ax x x =--()a ∈R (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 3a =()y f x =()()1,1f (2)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. ()()()122g x f x x ax =+-a 【答案】(1) 220x y --=(2) (2,)+∞【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义求得切线的斜率，即可写出3a =()163f x x x '=--直线的方程；（2）由已知可得.根据的取值范围，分类讨论得出的单调性，研()()211ln 2x g ax a x x =---a ()g x 究函数的极值与0的关系，即可得出答案.【详解】（1）当时，，所以，3a =2()33ln f x x x x =--()163f x x x'=--根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率，又，所()y f x =()()1,1f ()12k f '==(1)0f =以所求切线方程为，即． 2(1)y x =-220x y --=（2）由已知可得，定义域()()()22112ln 22g x f x x ax ax ax x x ax =+-=--+-()211ln 2ax a x x =---为，()0,∞+且. ()()()()()2111111ax a x ax x g x ax a x x x---+-'=---==当时，0a >由，得，所以在上单调递减； ()0g x '<(0,1)x ∈()g x ()0,1由，得，所以在上单调递增.()0g x '>(1,)x ∈+∞()g x ()1,+∞所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.()g x 1x =()1112a g =-+要使有两个不同的零点，则必有，即，所以.()g x ()10g <1102a -+<2a >因为，()()2221ln 22ln 20g a a =---=->根据零点存在定理可知，，使得，且在上没有零点. ()11,2x ∃∈()10g x =()g x [)2,+∞因为， ()()212ln 2g x a x x x x =-+-当时，有，所以.(0,1)x ∈()222110x x x -+=->221x x ->-又，所以，()2220x x x x -=-<2120x x -<-<所以， ()1ln 2g x a x x >-+-所以. 111122221e e ln e e 02a a a a g a ----⎛⎫⎛⎫-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞因为，所以有，0a >1020<e e 1a -<=根据零点存在定理可知，，使得，且在上没有零点. 122e ,1x -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()20g x =()g x 120,e a -⎛⎤ ⎥⎝⎦综上所述，在区间以及内各有一个零点，在以及上没有零点，所()g x 12e ,1a -⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2120,e a -⎛⎤ ⎥⎝⎦[)2,+∞以有两个零点，故满足题意；()g x 2a >当时，，. 0a =()ln g x x x =-()111x g x x x-'=-=当时，，所以在上单调递减；01x <<()0g x '<()g x ()0,1当时，，所以在上单调递增.1x >()0g x '>()g x ()1,+∞所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，()g x 1x =()110g =>所以，此时无零点；()()11g x g ≥=()g x 当时，因为恒成立，1a =-()()210x g x x -'=-≤所以在区间内单调递减，()g x (0,)+∞所以至多有一个零点，不符合题意；()g x 当时，有， 10a -<<11a->因为当时，， ()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ ()()101a a g x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭+-='<所以在区间内单调递减，在区间内单调递减； ()g x ()0,11,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，，所以在区间内单调递增. 11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以在处取得唯一极小值，， ()g x 1x =()11102g a =->所以在上无零点. ()g x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为在内单调递减，所以在上至多有一个零点. ()g x 1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()g x 1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，至多有一个零点，不符合题意；()g x 当时，因为当时，， 1a <-()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ ()0g x '<所以在区间内单调递减，在区间内单调递减； ()g x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x ()1,+∞当时，，所以在区间内单调递增. 1,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以在处取得唯一极小值，， ()g x 1x a =-()()111111ln 1ln 022g a a a a a a a ⎛⎫⎛-=+---=-+⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝>⎭所以在上无零点.()g x ()0,1又在区间内单调递减，所以在区间内至多有一个零点. ()g x ()1,+∞()g x ()1,+∞所以至多有一个零点，不符合题意．()g x 综上所述，的取值范围是． a (2,)+∞。

武汉理工大学高起本高等数学(下)阶段作业一标准答案

1-10英语写法The English language is a rich and diverse means of communication that has evolved over centuries. From the simple counting of one to ten, the English language offers a wide range of numerical expressions that convey meaning and nuance. Understanding the written form of these numbers is an essential building block for any student of the language.The number one is expressed as "one" in English. This simple monosyllabic word is derived from the Old English "an" and the Proto-Germanic "*ainaz," ultimately tracing back to the Proto-Indo-European root "*oinos." The word "one" conveys the concept of a single, individual unit, and is a fundamental building block of numerical systems.Moving to the number two, the English word is "two." This too is a monosyllabic word, derived from the Old English "twā" and the Proto-Germanic "*twai." The Proto-Indo-European root is "*dwo," reflecting the binary nature of this number. "Two" represents the idea of a pair, of duality, and is a crucial component of counting andquantifying.The number three is expressed as "three" in English. This word derives from the Old English "thrēo" and the Proto-Germanic "*þrīz," with the Proto-Indo-European root being "*tréyes." The word "three" conveys the concept of a triad, a trinity, or a set of three elements. It is a pivotal number in many cultural and religious traditions.The number four is written as "four" in English. This word originates from the Old English "fēower" and the Proto-Germanic "*fedwōr," with the Proto-Indo-European root being "*kwetwóres." The word "four" represents the idea of a quadrant, a set of four elements, and is a fundamental building block of many mathematical and spatial concepts.Moving to the number five, the English word is "five." This word derives from the Old English "fīf" and the Proto-Germanic "*fimf," with the Proto-Indo-European root being "*pénkwe." The word "five" conveys the concept of a quintuple, a set of five elements, and is a significant number in many cultural and numerical systems.The number six is expressed as "six" in English. This word originates from the Old English "siex" and the Proto-Germanic "*sehss," with the Proto-Indo-European root being "*swéḱs." The word "six" represents the idea of a hexad, a set of six elements, and is animportant number in various mathematical and geometric contexts.The number seven is written as "seven" in English. This word derives from the Old English "seofon" and the Proto-Germanic "*sebun," with the Proto-Indo-European root being "*septḿ." The word "seven" conveys the concept of a heptad, a set of seven elements, and is a significant number in numerous cultural, religious, and mythological traditions.The number eight is expressed as "eight" in English. This word originates from the Old English "eahta" and the Proto-Germanic "*ahtau," with the Proto-Indo-European root being "*oḱtṓ." The word "eight" represents the idea of an octad, a set of eight elements, and is an important number in various mathematical and scientific contexts.The number nine is written as "nine" in English. This word derives from the Old English "nīgan" and the Proto-Germanic "*newn," with the Proto-Indo-European root being "*newṃ." The word "nine" conveys the concept of a ennead, a set of nine elements, and is a significant number in numerous cultural and numerical systems.Finally, the number ten is expressed as "ten" in English. This word originates from the Old English "tēn" and the Proto-Germanic"*tehun," with the Proto-Indo-European root being "*déḱm̥." Theword "ten" represents the idea of a decad, a set of ten elements, and is a fundamental building block of the decimal numerical system that is widely used throughout the world.Understanding the written forms of these numbers from one to ten is crucial for any student of the English language. These basic numerical expressions not only serve as the foundation for counting and quantifying, but also hold deeper cultural and symbolic significance in various contexts. Mastering the written forms of these numbers is an essential step in developing proficiency in the English language.。

2023-2024学年湖北省武汉高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省武汉高二下学期期中数学模拟试题一、单选题1．若f ′(x 0)＝2-，则0lim x ∆→00()()f x f x x x-+∆∆等于（）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【正确答案】D【分析】利用导数的定义求解,【详解】解：因为f ′(x 0)＝2-，所以0lim x ∆→00()()f x f x x x-+∆∆Δ0limx →=-000()()()2f x x f x f x x+∆-'=-=∆，故选：D2．()412x -的展开式中二项式系数和为（）A ．24-B ．24C ．16-D ．16【正确答案】D【分析】由二项式系数的性质求解.【详解】()412x -的展开式中二项式系数和为01234444444C C C C C 216++++==.故选：D3．在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4913f x x x x =++-的极值点，则5a =A ．4-B ．3-C ．3D ．4【正确答案】B 【详解】∵()3214913f x x x x =++-，∴由()2890f x x x =++='可知379a a ⋅=，378a a +=-∵等比数列中3527a a a =⋅且30a <∴53a =-，故选B.4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【正确答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.5．已知随机变量X 的分布列如下表，若()1E X =，()212D X +=，则p =（）X0a2P12p -12pA ．13B ．14C ．15D ．16【正确答案】B【分析】根据期望和方差运算公式得到方程组，求出p 的值.【详解】由题意得，()1102122E X p a p ⎛⎫=⨯-+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴212ap +=，①由方差的性质知，()()214D X D X +=，又()212D X +=，∴()12D X =，∴()()()()22211101121222D X p a p ⎛⎫=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，即2210a a -+=，所以1a =．将1a =代入①式，得14p =．故选：B ．6．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得ln y x =在1x =处的切线方程为1y x =-，再把 1.01x =代入切线方程，即得ln1.010.01≈，类比上述方式，则≈（）．A ．1.00025B ．1.00005C ．1.0025D ．10005【正确答案】A【分析】根据题意，设()x f x e =，求出切线，以直代曲计算即可.【详解】设()x f x e =，可得()e x f x '=，(0)1,(0)1f f '==，曲线e x y =在点(0,1)处的切线对应的函数为()1y g x x ==+，因为14000与0之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，14000111e1 1.00025400040004000f g ⎛⎫⎛⎫==≈=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C C A 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.8．π和e 是数学上两个神奇的无理数．π产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行π的计算．而当涉及到增长时，e 就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e ．已知π3e a -=，ln(eπ2e)b =-，2π5π2c -=-，π2d =-，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．c b d a <<<B ．c d b a<<<C ．d c a b<<<D ．b c a d<<<【正确答案】A【分析】根据给定条件，构造函数11()e ,()ln 1,()ln 1,1x f x x g x x x h x x x x-=-=-+=+->，利用导数探讨单调性，赋值比较大小作答.【详解】依题意，π3(π2)1e e a ---==，ln(π2)1b =-+，12π2c =--，令函数1()e ,1x f x x x -=->，求导得1()e 10x f x -'=->，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0f x f >=，即1e x x ->，而π21->，因此π3e π2->-，即a d >；令函数()ln 1,1g x x x x =-+>，求导得1()10g x x'=-<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，则当1x >时，()(1)0g x g <=，即ln 1x x +<，因此2ln(e ln(π2e)π2)1π-=-+<-，即d b >；令函数1()ln 1,1h x x x x =+->，求导得22111()0x h x x x x-=-=>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0h x h >=，即11ln 1ln 12x x x x>-⇔+>-，因此2l 1n(12π5π2e ln(2e)π2)2ππ--=-+>-=--，即b c >，所以c b d a <<<.故选：A 二、多选题9．已知首项为1-的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且7889,S S S S ><，则（）A ．1187d <<B ．105S S >C ．()8min n S S =D ．150S >【正确答案】AC【分析】由8879980,0a S S a S S =-<=->得出d 的范围，判断A ；作差结合等差数列的性质判断B ；根据数列{}n a 的单调性，判断C ；由求和公式结合性质判断D.【详解】对于A ：因为7889,S S S S ><，所以8879980,0a S S a S S =-<=->，则89170180a d a d =-+<⎧⎨=-+>⎩，解得1187d <<，故A 正确；对于B ：105678910850S S a a a a a a -=++++=<，则105S S <，故B 错误；对于C ：因为0d >，所以数列{}n a 为递增数列，因为10a <，890,0,a a <>，即数列{}n a 的前8项为负数，从第9项开始，都为正数，则()8min n S S =，故C 正确；对于D ：()115158151502a a S a +==<，故D 错误；故选：AC10．若()102100121021,R x a a x a x a x x -=++++∈ ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a +++= C ．100210132a a a -+++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，所以8282310C (2)(1)180T x x =-=，所以2180a =，故A 正确．令=1x -，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，即为1021001210(21)||||||||x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，得1001210||||||||3a a a a ++++= ，故B 正确；对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得012101a a a a ++++= ，令=1x -，得：10012103a a a a -+-+= ，两式相加再除以2可得100210132a a a ++++= ，故C 错误.对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得01a =，令12x =，得310120231002222a a a a a +++++= ，故31012231012222a a a a ++++=- ，故D 正确，故选：ABD11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．()25P B =B ．()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥【正确答案】BD【分析】A 选项，利用独立事件和互斥事件概率公式计算出()P B ；B 选项，根据条件概率计算公式计算出()1511P B A =；C 选项，根据()()()11B P P A B P A ≠⋅得到C 错误；D 选项，由互斥事件的概念进行判断.【详解】A 选项，()154151010122P A B +=⨯=+，()22441010155P A B =⨯=+，()33461010155P A B =⨯=+，故()()()()123546922555522P B P A B P A B P A B =++=++=，A 错误；B 选项，()151102P A ==，故()()()11155221112P A B P B A P A ===，B 正确；C 选项，因为()()119922244P A P B =⨯=⋅，故()()()11B P P A B P A ≠⋅，所以事件B 与事件1A 不相互独立，C 错误；D 选项，因为()()()1213230A A A A P P A P A === ，故1A 、2A 、3A 两两互斥，D 正确.故选：BD12．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为()01p p ≤≤，实际比赛局数的期望值记为()f p ，则下列说法中正确的是（）A ．三局就结束比赛的概率为()331p p +-B ．()f p 的常数项为3C ．函数()f p 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．13328f ⎛⎫=⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】设实际比赛局数为X ，先计算出X 可能取值的概率，即可判断A 选项；进而求出期望值()f p ，即可判断BCD 选项.【详解】设实际比赛局数为X ，则X 的可能取值为3,4,5，所以()()3331P X p p ==+-，()()()3131334C 1C 1P X p p p p ==-+-，()()22245C 1P X p p ==-，因此三局就结束比赛的概率为()331p p +-，则A 正确；故()()()()()332313122334314C 1C 15C 1f p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦432612333p p p p =-+++，由()03f =知常数项为3，故B 正确；由111133361232168428f ⎛⎫=⨯-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确；由()()()322243663321441f p p p p p p p =-++=---'，01p ≤≤ ，所以22441(21)20p p p --=--<，∴令()0f p '>，则102p ≤<；令()0f p '<，则112p <≤，则函数()f p 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则C 不正确.故选：ABD.三、填空题13．5555除以8，所得余数为_______.【正确答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+-因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为.187-+=故7.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为_________．【正确答案】3【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式及性质计算，再结合等比数列的前n 项和公式计算作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则19959()9182a a S a +===-，即有552b a ==-，11313713()13522a a S a +===-，即有774b a ==-，令等比数列{}n b 的公比为q ，则2752b q b ==，所以414242212(1)1113(1)11b q T q qq b q T qq---===+=---.故315．如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A ，B ，C ，D ，E 染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有______________种不同的染色方法．【正确答案】420【分析】根据分类分步计数原理，分用3，4，5种颜色染色的方法分步计算，再求和即可.【详解】选择3种颜色，则B ，D 同色，且C ，E 同色，共35A 60=种情况；选择4种颜色，则B ，D 同色，或C ，E 同色，共452A 240⨯=种情况；选择5种颜色，共55A 120=种情况；故共有60240120420++=种情况.故42016．已知函数()ln ,()ln(1)x f x a a g x a x ==-，其中0a >且1a ≠．若函数()()()h x f x g x =-为单调函数，则实数a 的取值范围为_______________．【正确答案】)ee ,1-⎡⎣【分析】若()h x 单调递增，则()0h x '≥，即()2110ln mma m x a≥=->，0m y ma =→，不满足；若()h x 单调递减，则()0h x '≤，进而可得()2max1ln mma a≤，对m y ma =求导分析单调性，求出最大值，即可得出答案.【详解】由题意()()ln ln 1x h x a a a x =--，()2ln 1x a h x a a x =--'.若函数()h x 单调递增，则()0h x '≥，所以2ln 1x a a a x ≥-，即()1211ln x x a a--≥，所以()()2min110ln mmam x a≥=->，又0m →时，0m y ma =→，不满足；若函数()h x 单调递减，则()0h x '≤，所以2ln 1x a a a x ≤-，即()1211ln x x a a--≤，所以()()2max110ln mmam x a≤=->，考查m y ma =，()10m x =->.当1a >时，m ma ∞→+，不满足()()2max110ln mma m x a≤=->；当1a <时，ln 0a <，令()1ln 0my m a a ='+=有1ln m a =-，当10,ln m a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时0'>y ，my ma =单调递增；当1,ln m a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时0'<y ，m y ma =单调递减.故()1ln max 1ln ma ma a a -=-，则1ln 211ln ln a a a a --≤，即1ln 1ln a a a -≤-，即1ln 1ln ln ln a a a -⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则11ln ln ln ln a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11ln ln a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，即11ln e a -≥，解得e e a -≥.综上有)ee ,1a -⎡∈⎣.故)ee ,1-⎡⎣四、解答题17．某新闻部门共有A 、B 、C 、D 、E 、F 六人．(1)由于两会召开，部门准备在接下来的六天每天安排1人加班，每人只被安排1次，若A 不能安排在第一天，B 不能安排在最后一天，则不同的安排方法共有多少种？(2)该部门被评为优秀宣传组，六人合影留念，分前后两排每排3人对齐站立，要求后排的3个人每人都比自己前面的人身高要高，则不同的站法共有多少种？（六人身高均不相同）【正确答案】(1)504(2)90【分析】（1）按照A 安排在最后一天和不在最后一天进行分类，利用排列组合、计数原理求解；（2）将前后2人看成一组，可看成3个不同位置，分别取出2人排在3个位置，利用组合知识求解.【详解】（1）分两类完成，第一类A 安排在最后一天，则有55A 种.第二类，除,A B 外选一人安排在最后一天，再从除A 外剩余的4人选一人排在第一天，剩余的4人排在剩余的4个位置上，故有114444C C A ⋅⋅种.根据分类加法计数原理可得，不同的安排方法共有45511444A 4C C A 50⋅⋅+=种.（2）将前后2人看成一组，可看成3个不同位置，分别取出2人排在3个位置，两人顺序确定（高在后，矮在前），所以不同的站法共有222642C C C 90⋅⋅=种.18．在n⎫⎪⎭的展开式中，前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中的所有有理项．【正确答案】(1)6561256(2)4x ，358x ，21256x -【分析】（1）先根据展开式中，前三项系数成等差数列计算n ，再代入1x =可得展开式中所有项的系数之和.（2）因通项为1634181C 2kk k k T x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，故k 取0、4、8时为有理项.【详解】（1）由题意，通项为23411CC 2kkn kn kkk k nn T x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意121021112C C C 222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得8n =或1n =（舍去）令1x =，得86561256=，故展开式中所有项的系数之和为6561256（2）由（1）知，1634181C 2kk k k T x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当k 取0、4、8时为有理项，当0k =时，0044181C 2T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当4k =时，4458135C 28T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当8k =时，88229811C 2256T x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，故展开式中的所有有理项为4x ，358x 和21256x -.19．设函数()ln 1,()2,f x x g x ax a =+=+∈R ，记()()()F x f x g x =-．(1)求函数()F x 的单调区间；(2)若函数()ln 1f x x =+的图象恒在函数()2g x ax =+的图象的下方，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)当0a ≤时，则()F x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，则()F x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a +∞.(2)21(,)e+∞【分析】（1）求出()F x 的导数，讨论参数a 的范围，根据()F x '的符号，写出单调区间；（2）将函数图象的位置关系转化为函数的最值问题，根据（1）中的单调区间，求函数的最值即可.【详解】（1）()()()ln 1F x f x g x x ax =-=--，1()F x a x '=-，当0a ≤时，1()0F x a x '=->，则()F x 在(0,)+∞上为增函数；当0a >时，1()0F x a x '=-=，即1x a=，()0F x '>，则10x a <<；()0F x '<，则1x a >.则()F x 在1(0,a 上为增函数，1(,)a +∞上为减函数.综上所述，当0a ≤时，则()F x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，则()F x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a +∞.（2）函数()ln 1f x x =+的图象恒在()2g x ax =+的图象的下方，即()()()ln 10F x f x g x x ax =-=--<恒成立；由（1）知，当0a ≤时，则()F x 在(0,)+∞上为增函数，此时()F x 无最大值，并且(e)e 0F a =-≥，不合题意；当0a >时，()F x 在1(0,)a 上为增函数，1(,)a +∞上为减函数.所以max 1()()ln 20F x F a a ==--<，故21ea >；即实数a 的取值范围是21(,)e +∞关键点睛：解决问题（2）时，关键在于将不等式的恒成立问题，转化为最值问题，利用导数得出实数a 的取值范围.20．学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积2-分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢的概率为35，乙赢的概率为25，比赛共进行两轮，在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值．【正确答案】(1)109198(2)分布列见解析，均值为0【分析】（1）设1A =“抽到第一袋”，2A =“抽到第二袋”，B ＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；（2）（i ）X 的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii ）Y 的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值；【详解】（1）设1A =“抽到第一袋”，2A =“抽到第二袋”，B ＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”()()1212P A P A ==()1154129C C 205C 369P B A ===()11652211C C 6C 11P B A ==由全概率公式得()()()()()1122151610929211198P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=（2）设在一轮比赛中得分为X ，则X 的可能取值为－2，0，2，则()3262115525P X ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭()323213011555525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()32625525P X ==⨯=设在二轮比赛中得分为Y ，则Y 的可能取值为－4，－2，0，2，4，则()663642525625P Y =-=⨯=()613136156225252525625Y P =-=⨯+⨯=()661313662410252525252525625P Y ==⨯+⨯+⨯=()613136156252525252625Y P ==⨯+⨯=()663642525625P Y ==⨯=得分为Y 的分布列用表格表示为Y －4－2024P 3662515662524162515662536625()()()3615624115636420240625625625625625E Y =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n c 满足()111*1n n c n a n n ⎛⎫=--∈ ⎪+⎝⎭N ，若对任意*n ∈N ，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()120n c c c f x a +++≤-L 成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()2,N *n n a n =∈(2)91,80⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）由n S 与n a 的关系结合累乘法得出数列{}n a 的通项公式；（2）令n M 为数列{}n c 的前n 项和，由裂项相消法以及公式法得出1112n n M n =-+，由4n M M ≤以及()22f x a x a -=--的最大值得出实数a 的取值范围．【详解】（1）点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上，可得22n n S a =-.当1n =时，111122,2a S a a ==-=.当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，整理得12n n a a -=，即112123322112n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------⋅⋅==⋅⋅⋅ ，2n n a =，对1n =也成立.即()2,N *n n a n =∈.（2）由11121n n c n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，可令n M 为数列{}n c 的前n 项和.可得1111111112422231n n M n n ⎛⎫⎛⎫=++⋯+--+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 111111*********n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=- ⎪++⎝⎭-.由12340,0,0,0c c c c =>>>，当5n ≥时，2(1)n n n >+，下面用数学归纳法证明：当5n =时，525(51)>+成立.①假设n k =时，2(1)k k k >+成立.那么1n k =+时，122(1)k k k +>+，2(1)(1)(2)(1)(22)0k k k k k k +-++=+->则()12(1)(1)1k k k +>+++，即1n k =+时也成立.②由①②可得，当5n ≥时，2(1)n n n >+，即有0n c <.可得4111151680n M M ≤=-=，又11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()22f x a x a -=--的最大值为1a --，对任意*n ∈N ，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，使得()120n c c c f x a +++≤-L 成立，则11180a --≥，解得9180a ≤-.即实数a 的取值范围是91,80⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.关键点睛：解决问题（2）时，关键是利用裂项相消求和法得出1112n n M n =-+，再结合不等式的能成立问题，得出实数a 的取值范围.22．已知函数()()()2212ln R f x x a x a x a =-++∈.(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有极大值，试确定a 的取值范围；(3)若存在0x 使得()()222000033111ln 224245f x x a x a x a ⎛⎫+-≤-+++ ⎪⎝⎭成立，求a 的值.【正确答案】(1)50y +=(2)()()0,11,+∞ (3)15a =【分析】（1）利用导数的几何意义，求曲线的切线方程；（2）首先求函数的导数，()()()21x x a f x x--='，再讨论a ，判断函数的单调性，讨论函数的极值；（3）不等式转化为()()220042ln 25x a x a -+-≤，利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距离，求a 的值.【详解】（1）当2a =时，()264ln f x x x x =-+，依题意，()426f x x x=-+'，可得()12640f =-+='，又()15f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为50y +=.（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+()()()()212221x x a a f x x a x x--=-++='，①当1a =时，()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，此时()f x 无极大值；②当1a >时，令()0f x ¢>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<，所以()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减，此时()f x 在1x =处取得极大值，符合题意；③当01a <<时，令()0f x ¢>，解得0x a <<或1x >，令()0f x '<，解得1<<a x ，所以()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减，此时()f x 在x a =处取得极大值，符合题意；④当0a ≤时，令()0f x ¢>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，此时()f x 无极大值；综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞ .（3）()()222000033111ln 224245f x x a a x a ⎛⎫+-≤-+++ ⎪⎝⎭()()220042ln 2.5x a x a ⇔-+-≤22()(2ln 2)x a x a -+-可以看作是动点(),2ln P x x 与动点(),2Q a a 之间距离的平方，动点P 在函数2ln y x =的图象上，Q 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2ln y x =得，22y x'==，解得1x =，所以曲线上点()1,0P 到直线2y x =的距离最小，最小距离d =则224()(2ln 2)5x a x a -+-≥，根据题意，要使()()220042ln 25x a x a -+-≤，则()()220042ln 25x a x a -+-=，此时Q 恰好为垂足，由()2112y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩,可得12,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以15a =.本题考查利用导数研究函数的性质的综合应用的问题，本题的关键是第三问，不等式变形转化为()()220042ln 25x a x a -+-≤，再转化为直线2y x =和函数2ln y x =的图象上点的距离问题.。

2023-2024学年湖北省鄂高二下册期中联考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖北省鄂高二下册期中联考数学模拟试题一、单选题1．已知函数()f x 可导，且满足0(3)(3)lim 2x f x f x∆→+∆-=∆，则函数()y f x =在3x =处的导数为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【正确答案】A【分析】根据导数的定义，即可求出结果．【详解】0(3)(3)lim (3)2x f x f f x∆→+∆-'==∆，故选：A ．2．已知23A C n n n -=，则n =（）A ．6B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】根据排列组合公式得到()()!!!32!!3n n n n =-⨯-，解得答案.【详解】23A C n n n -=，即()()!!!32!!3n n n n =-⨯-，故23!6n -==，故8n =.故选：C3．下列导数运算正确的是（）A ．'ππsin cos33⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()331lo e=g log x x '⋅C ．()22e e xx'=D ．'【正确答案】B【分析】根据求导公式逐项求导验证即可【详解】因为'πsin 03⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以A 错,因为()33ln 111log log e ln 3ln 3x x x x''⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭,所以B 对,因为()22e 2e '=x x ,所以C 错,因为132212x x ''--⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭所以D 错.故选：B4．已知直线l 是曲线e x y =的切线，切点横坐标为1-，直线l 与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点，则OAB 面积为（）A ．12B ．1C ．2eD ．4e【正确答案】C【分析】由已知可得切点坐标，利用导函数求出切线l 的斜率，根据点斜式得到切线方程，进而得到A 、B 两点的坐标，即可求出OAB 的面积.【详解】解：当=1x -时，11e ey -==，而e x y '=，111e ex k y -=-==='，所以切线l ：()111e ey x -=+，即e 20x y -+=，当0y =时，2x =-，即()2,0A -；当0x =时，2e y =，即20,e B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12222e eOAB S =⨯⨯=V ，故选：C.5．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（）（单位：万元）参考数据：910111.02 1.1951.02 1.2191.02 1.243≈⋅≈⋅≈A ．2.438B ．19.9C ．22.3D ．24.3【正确答案】C【分析】复利计息问题，逐年分析寻找规律，根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为()10210.02+万元，2024年存的2万元共存了9年，本息和为()9210.02+万元，2032年存的2万元共存了1年，本息和为()210.02+万元，所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为()()()()101091.02 1.021210.02210.02210.022 1.021⋅-++++++=⨯- ()2.04 1.219122.30.02⨯-≈≈万元，故选：C.6．学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有()A ．36种B ．78种C ．87种D ．90种【正确答案】B【分析】由题意得1名主唱只能从3人里面选13C ,然后根据多面手进行分类即可得到结果.【详解】根据题意有三种情况:(1)从只会弹吉他的4人选2人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人:121342C C C 36=种;(2)从只会弹吉他的4人选2人,只会唱歌的3人选1人,鼓手从多面手中选:2143C C 18=种;(3)从只会弹吉他的4人选1人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人,多面手作为吉他手:111342C C C 24=种;共有:36182478++=种.故选:B.7．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且(2)f x +为偶函数，4(0)e f =，则不等式()e x f x <的解集为（）A ．(),4-∞B ．()0,∞+C ．()2,+∞D ．()4,+∞【正确答案】D 【分析】令()()ex f x g x =，由()()f x f x '<，得到()g x 单调递减，再根据(2)f x +为偶函数，得到()f x 的图象关于2x =对称，进而得到4(0)()e 4f f ==，然后将不等式()e x f x <化为()1e xf x <求解.【详解】解：令()()e xf xg x =，因为()()f x f x '<，所以()()()0xf x f xg x e '-'=<，所以()g x 单调递减，因为(2)f x +为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，所以()f x 的图象关于2x =对称，则4(0)()e 4f f ==，所以4(4)(4)1e f g ==，又不等式()e x f x <可化为()1e xf x <，即()()4g x g <，所以>4x ，故选：D8．已知函数()1e xf x x kx k +=-+，有且只有一个负整数0x ，使()00f x ≤成立，则k 的取值范围是（）A ．21,3e 2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】A【分析】将问题转化1e x x kx k +≤-有且只有一个负整数解，构造函数()1ex g x x +=与()h x kx k =-，利用导数法求函数()g x 的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解.【详解】已知函数()1e xf x x kx k +=-+，则()10e x f x x kx k +≤⇔≤-有且只有一个负整数解.令()1ex g x x +=，则()()11ex g x x +=+'，当1x <-时，()0g x '<，当1x >-时，()0g x '>，所以()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,-+∞上递增，当=1x -时，()g x 取得最小值为()()11111e g -+-=-=-⨯.设()()1h x kx k k x =-=-，则()h x 恒过点()1,0在同一坐标系中分别作出()y g x =和()y h x =的图象，如图所示显然01x =-，依题意得()()11g h -≤-且()()22g h ->-即12k -≤-且23e k ->-，解得213e 2k <≤，所以实数k 的取值范围是21,3e 2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.关键点睛：将问题转化为1e x x kx k +≤-有且只有一个负整数解，构造函数()1e x g x x +=与()h x kx k =-，利用导数法求函数()g x 的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可.二、多选题9．在612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，下列说法正确的有（）A ．常数项为第三项B ．展开式的二项式系数和为729C ．展开式系数最大项为第三项D ．展开式中系数最大项的系数为240【正确答案】CD【分析】写出612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项，然后求出其常数项可判断A ，求出展开式的二项式系数和可判断B ，解出不等式组6156661766C 2C 2C 2C 2r r r rr r r r -+----⎧≥⎨≥⎩可判断CD.【详解】612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()66621661C 2C 2,0,1,2,3,4,5,6rrrr r rr T x x r x ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以常数项为第四项，故A 错误；展开式的二项式系数和为6264=，故B 错误；由6156661766C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r -+----⎧≥⎨≥⎩可得4733r ≤≤，所以2r =，所以展开式系数最大项为第三项，展开式中系数最大项的系数为426C 2240=，故C 、D 正确；故选：CD.10．对于数列{}n a ，把它连续两项1n a +与n a 的差记为1n n n b a a +=-得到一个新数列{}n b ，称数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶差数列.若1+=-n n n c b b ，则数列{}n c 是{}n a 的二阶差数列，以此类推，可得数列{}n a 的p 阶差数列.如果某数列的p 阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p 阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列{}n a 满足12a =，且1(2)3n n S a n =+，则下列结论中正确的有（）A ．数列{}n a 为二阶等差数列B ．数列{}n S 为三阶等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1n n -D ．若数列{}n b 为k 阶等差数列，则{}n b 的前n 项和{}n T 为(1)+k 阶等差数列【正确答案】ABD【分析】根据前n 项和与通项之间的关系可得12n n n a a n++=，利用累积法可得()1n a n n =+.对于A 、B 、D ：根据题意分析运算即可；对于C ：利用裂项相消法运算即可.【详解】因为()123n n S a n =+，则()11133n n S a n ++=+，两式相减得：()()11113233n n n a a n a n ++=+-+，整理得12n n n a a n ++=，注意到120a =≠，则12n n a n a n++=，当2n ≥时，则()13211221143211221n n n n n a a a a n n a a n n a a a a n n ---+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=+-- ；显然当1n =，1212a ==⨯符合上式；故()1n a n n =+.对于A ：()()()112122n n n b a a n n n n n +=-=++-+=+，()()1212222n n n c b b n n +=-=++-+=为非零常数，故数列{}n a 为二阶等差数列，故A 正确；对于B ：对数列{}n S ，它的一阶差数列为{}1n a +为二阶等差数列，故{}n S 为三阶等差数列，故B 正确；对于C ：因为()111111n a n n n n ==-++，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111122311n nT n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=++，故C 错误；对于D ：对数列{}n T ，它的一阶差数列为{}1n b +，若{}1n b +为k 阶等差数列，故{}n T 为()1k +阶等差数列，故D 正确.故选：ABD.11．已知函数()332f x x px q =++，其中320p q +=且0pq ≠，则下列说法正确的有（）A ．()f x 的对称中心为()0,2qB ．()f x 恰有两个零点C ．若方程()f x k =有三个不等的实根，则04k q<<D ．若方程()f x k =的三个不等实根分别为123,,x x x ，则33313263x x x q k++=-+【正确答案】ABD【分析】根据题意得到()()4f x f x q +-=，可判定A 正确；求得()233f x x p =+'，得出函数的单调性，结合极值，可判定B 正确；转化为()y f x =和y k =的图象有三个交点，分0q >和0q <时，可判定C 错误；根据()()()()123f x k x x x x x x -=---，得到1230x x x ++=，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，由()332f x x px q =++，可得()()3332324f x f x x px q x px q q +-=++--+=，所以对称中心为()0,2q ，所以A 正确；对于B 中，因为0pq ≠且320p q +=，即320p q =-<，所以0p <，由()233f x x p =+'，令()0f x '=时，解得x =当(,x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以x x =为极大值点，且(22,22fq f q ==-，当0q >时0f=；当0q <时(0f =，两种情况下均只有两个零点，所以B 正确；对于C 中，要使得方程()f x k =有三个不等的实根，即()y f x =和y k =图象有三个交点，当0q >时，可得(4,0f q f ==，则满足04k q <<，当0q <时，可得(0,4f fq ==，则满足40q k <<，所以C 错误；对于D 中，由()f x k =的三个零点分别为123,,x x x ，可设()()()()123f x k x x x x x x -=---，即()()33212312233112332x px q k x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-+++++-，可得1230x x x ++=因此333123123123333633(6)363x x x px px px q k p x x x q k q k ++=----+=-++-+=-+，所以D正确.故选：ABD方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由ln y x =在点(0,1)处的切线1y x =-写出不等式ln 1≤-x x ，进而用1n n+替换x 得到一系列不等式，叠加后有111ln(1)123n n +<++++ ．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（）A ．()12!en n n -<B ．111ln 23nn+++< C ．3422212111e n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．231121231en n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BC【分析】选项A ，可用特殊值法，令1n =，可知不等式不成立；选项B ，将ln 1x x ≤-中的x替换为1x -，用赋值法可得()1ln ln 1n n n-->，然后根据同向不等式相加可判断B 选项的正误；选项C ，将ln 1x x ≤-中的x 替换为21i n +，可得22ln 1i i n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，同样根据同向不等式相加与指对互化即可证明；选项D ，将ln 1x x ≤-中的x 替换为1n n -，可得11enn n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，然后再根据同向不等式相加可判断D 的正误，另外，也可用特殊值法即由231211232e⎛⎫⎛⎫+>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可说明选项D 的正误．【详解】令()1ln f x x x =--，则()111x f x x x-'=-=，当1x >时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x '<，故()1ln f x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()1ln f x x x =--在1x =处取得极小值，也是最小值，min ()0f x =，故ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时等号成立，A 选项：1n =时不等式左右两端相等，故A 错误；B 选项：将ln 1x x ≤-中的x 替换为1x -，可得()ln 111,1x x x x -≤--=-<，当且仅当0x =时等号成立，令10x n =≠，可得11ln 1n n ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以()1ln ln 1n n n-->，故()111ln2ln1ln3ln2ln ln 123n n n-+-++-->+++ ，其中()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln ln1ln n n n n -+-++--=-= ，所以111ln 23n n>+++ ，B 正确；C 选项：将ln 1x x ≤-中的x 替换为21i n +，显然211in+≠，则22ln 1i i n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故()2222112ln 1ln 1ln 12n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2n ≥时，()211132224n n n n +=+≤，故3422212111e n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立；当1n =时，()1313444216e e =<=显然成立，故3422212111e ,C n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭正确；D 选项：将ln 1x x ≤-中的x 替换为1n n -，其中，*N n ∈且2n ≥，则11ln n n n-<-，则1ln 1n n n -<-，故11e nn n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则23112231e n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又231211232e⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：BC ．三、填空题13．已知函数f （x ）=f′（2π）sinx+cosx ，则f （4π）=_______【正确答案】0【详解】试题分析：由原函数可得()cos sin cos sin 1222222f x f x x f f f ππππππ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∴=-∴=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'()sin cos sin cos 0444f x x x f πππ⎛⎫∴=-+∴=-+= ⎪⎝⎭函数求导数求值14．已知某等比数列首项为4，其前三项和为12，则该数列前四项的和为__________.【正确答案】16或-20【分析】根据等比数列通项公式表示出前三项和解出公比，将公比代入数列前四项的和计算即可.【详解】设等比数列公比为q ，14n n a q -=⋅，2231111213S a a q a q q q =++=⇒++=，化简可得()()120q q -+=，解得1q =或2q =-，当1q =时，4n a =，43412416S S a =+=+=，当2q =-时，()144232n n a a -=⨯-⇒=-，434123220S S a =+=-=-.故16或-2015．用0～9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有__________个．【正确答案】45【分析】将“长久数”的排列转化为将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解．【详解】设123,,a a a 对应个位到百位上的数字，则()*3N ,N 1,2i a a i ∈∈=且1239a a a ++=，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，如图，11111111100,这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为3a ，第二组数的和作为2a ，第三组数的和作为1a ，故共210C 45=种，故45．16．函数2()ln e 484xa f x a x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭的值域是实数集R ，则实数a 的取值范围是__________.【正确答案】(],4∞-【分析】由函数()f x 的值域是实数集R ，得真数()2e 484xa g x a x =⋅-+-能取遍()0,∞+内所有的数.分成0a ≤,0a >两种情况讨论()g x 的单调性及取值情况得出结果.【详解】函数()2ln e 484x a f x a x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭的值域是实数集R ，则()2e 484xa g x a x =⋅-+-能取遍()0,∞+内所有的数.()e 4x g x a =⋅'- ，当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减．当x →-∞时，()g x ∞→+；当x →+∞时，()g x →-∞．这表明，()g x 的值域为R ，当然可取遍()0,∞+的所有值．当0a >时，令()e 40xg x a '=⋅-=，则4lnx a=，由()0g x '>解得4lnx a >；由()0g x '<解得4ln x a <.所以()g x 在4,ln a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在4ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 的最小值为244ln 4ln 44ag a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以244ln 404a a --≤成立，令()244ln 44a h a a =--，()h a 在()0,∞+上单调递增且()40h =，故04a <≤.综上.4a ≤故答案为.(],4∞-四、解答题17．某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人.(1)若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？(2)郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？【正确答案】(1)40(2)30240【分析】（1）该问不涉及排序问题，考虑用组合去处理，第一辆车选好后，剩下的归为第二辆车.（2）排序问题中，不相邻问题考虑用插空法.【详解】（1）八个人坐两台车，只需要考虑第一辆车坐的人，先选一位老师坐入第一辆车，共12C 种选法，再选三名学生坐入第一辆车，共36C 种选法，因此共有1326C C 40=种分配方式.（2）先让6名学生排队，共66A 种方法，然后两名老师插入7个空隙，共27A 种方法，因此共有6267A A 30240=种站法.18．已知函数()22e x af x -=的一个极值点是1-.(1)求函数()f x 的极值；(2)求函数()f x 在区间[2,4]-上的最值.【正确答案】(1)()f x 极小值为2e -，极大值为36e (2)()f x 最大值为2e ，最小值为2e-【分析】（1）根据()f x 有一个极值点求出a ，再利用导数确定单调区间，即可求出极值；（2）由（1）根据函数的单调性求出最值.【详解】（1）()()2222e e xxx x axx a f x ---'++== ，()f x 有一个极值点是()21.(1)2103a a -∴--+⋅-+=∴=，即()23e xx f x -=又()()()21323e e x x x x x x f x -+='--++=，x(),1-∞-1-()1,3-3()3,+∞()f x '-0+-()f x 单调递减()12ef -=-单调递增()363e f =单调递减∴当=1x -时，()f x 有极小值，极小值为()12e f -=-；当3x =时，()f x 有极大值，极大值为()363e f =；（2）由（1）知，()f x 在[]2,1--上递减，[]1,3-上递增，[]3,4上递减，又()()2346132e ,42e e e f f -=>=>-，()f x \在[]2,4-上的最大值为()22e f -=，()f x \在[]2,4-上的最小值为()12e f -=-.19．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足：()*21(N )nn n n b n a a +-=∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【正确答案】(1)21n a n =-(2)()()211624143nT n n =-+++【分析】（1）利用2n ≥时,n n a S 关系求通项公式，注意验证1n =情况，即可得通项公式；（2）应用分组、裂项相消法求2n T .【详解】（1）由2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-又1n =时111a S ==也满足该等式，故21n a n =-.（2）由()()2(1)1(1)11(1)212342123n n nn n n b a a n n n n +--⎛⎫==-=- ⎪-+-+⎝⎭，则211111111111111455943414377114143n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+-++-+-+-++- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ 1111114414343n n ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()111111644143624143n n n n ⎛⎫=-+⋅-=-+ ⎪++++⎝⎭.因此()()211624143n T n n =-+++.20．在探究()n a b +的展开式的二项式系数性质时.我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将()21nx x ++的展开式按x 的降幂排列，将各项系数列表如下（如图2）.上表图2中第n 行的第m 个数用1D m n -表示，即()21nx x ++“展开式中m x 的系数为2D n mn-.(1)类比二项式系数性质11C C C k k kn n n -+=+表示()1*1D 121,,N k n k n k n ++≤≤-∈（无需证明）；(2)类比二项式系数求和方法求出三项式()5232x x --展开式中x 的奇次项系数之和.【正确答案】(1)1111D D D D k k k k n n n n+-++=++(2)16-【分析】（1）二项式系数性质类比到三项式即可;（2）类比二项式系数求和方法，使用赋值法即可.【详解】（1）1111D D D D k k k k n n n n+-++=++（2）由题意，设()521090191032x x a x a x a x a --=++++ ，当1x =时0129100a a a a a =+++++ ①当=1x -时，50129102a a a a a =-++-+ ②①-②得：()13579232a a a a a ++++=-，1357916a a a a a ∴++++=-即()5232x x --展开式中x 的奇次项系数之和为16-.21．已知正项数列{}n a 满足11a =且()()()22*11110N n n n n a a a a n ++++-=∈.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在p 、q 使12n n pS qn +=-恒成立，若存在，求出p 、q 的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)1n a n=(2)存在，1,12p q ==-【分析】（1）由已知条件可得()()1110n n n n n n a a a a a a +++++-=，从而110+++-=n n n n a a a a ，即1111n na a +-=，然后利用等差数列的通项公式求解即可；（2）利用错位相减法求出n S ，根据题中条件得出,p q 满足的条件，求得答案.【详解】（1）()()22222211111110,0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++-=∴++-= ，()()()()()11111110,0n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++++++∴+++-=∴++-=，{}n a 为正项数列，110n n n n a a a a ++∴+-=，即1111n na a +-=，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，以1为公差的等差数列，()1111,n n n n a a n∴=+-=∴=.（2）22n nnn a =⋅ ，231222322n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，()23121222122n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，2311212222nn n S n +∴-=⨯+⨯+++-⋅ ()1212212n n n +-=-⋅-11222n n n ++=--⋅，()1122n n S n +∴=-⋅+，()()1122221222n n n n np n p q pS q p qp n +⋅-++++∴==-+，又12n n pS qn +=-恒成立，2120p p q =⎧∴⎨+=⎩，解得：1,12p q ==-，∴存在1,12p q ==-满足条件.22．已知函数()212ln xf x x +=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若方程()f x k =的两个实根分别为12,x x （其中12x x <），求证.1212112x x x x +>>+【正确答案】(1)()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负得到单调区间.（2）设()()()2,(01)g x f x f x x =--<<，证明()g x 在()0,1上递增，得到122x x +>，1x是函数()()212ln F x x x =-的零点，转化为2m n +<，令()()()2h x F x F x =--，(01)x <<，根据单调性得到证明.【详解】（1）()()2432212ln 4ln x x x x x f x x x '⋅-+-==，()0,x ∈+∞，当01x <<时，ln 0x <，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当1x >时，ln 0x >，()0f x '<，()f x 单调递减，故()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.（2）()f x 在()0,1上递增，()1,+∞上递减，()f x k =的两个零点，则1201x x <<<，下面先证明122x x +>：要证122x x +>，只需证212x x >-，21x >，121x ->，只需证()()212f x f x <-，即证()()112f x f x <-，设()()()2,(01)g x f x f x x =--<<，()()334ln 24ln (2)x x g x x x ---=+-'，当()0,1x ∈时，02x x <<-，4ln 0x ->，()()()3334ln 24ln 24ln (2)(2)(2)x x x x g x x x x '⎡⎤-----⎣⎦>+=---，()221(1)1x x x -=--<，()ln 20x x -<⎡⎤⎣⎦，故()0g x '>，即()g x 在()0,1上递增，()()10g x g <=，即()()2f x f x <-，故()()112f x f x <-成立，故122x x +>.下面证明12112x x +<：()2212ln 1112ln x f x k x xx +⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭，1x 是方程()()212ln F x x x k =-=的解，设()F x k =的解为m n ､，要证：12112x x +<，即证2m n +<.()()22212ln 4ln F x x x x x x x=--⋅=-'，()0,1x ∈时，()0F x '>，函数单调递增；()1,x ∈+∞时，()0F x '<，函数单调递减，故01m n <<<，则12n m <<-.要证2m n +<，即证()()2F n F m >-，即()()2F m F m >-，令()()()2(01)h x F x F x x =--<<，()()()4ln 42ln 2h x x x x x =----'，设()()()4ln 42ln 2k x x x x x =----()()24ln 44ln 244lnxk x x x x-'=--+-+=，01x <<，故21xx->，即()0k x '>，即()h x '单调递增，又()10h '=，()0h x '<，故()h x 单调递减，()10h =，()0h x >，即()()2F x F x >-，()()2F m F m >-，2m n +<成立，即12112x x +<成立，综上所述.1212112x x x x +>>+关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调性，利用导数证明极值偏移问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中对称构造()()()2g x f x f x =--，再根据单调性证明题目是解题的关键.。

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3、曲线，，在点处的法平面方程为()
(A) (B) (C) (D)
4、设，其中是圆域位于第象限的部分，则有（C）
(A) (B) (C) (D)
5、设，且，则级数 ()
(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性根据所给条件不能确定
得分
二、填空题（本题共5小题，每小题3分）
1、微分方程满足条件的特解为.
得分
四、应用题（本题共2小题，每小题8分）
1.求旋转椭球面上距离平面的最远的点和最近的点，并求出最远距离和最近距离.
2.求由曲面及平面所围成的质量分布均匀的物体的质心坐标。
得分
五、证明题（本题满分6分）
设是在内的可微函数，且其中，任取实数，定义
证明：级数绝对收敛.
4、计算曲线积分：，其中为椭圆上从点到点的弧段.
5、计算曲面积分，其中为平面上的曲线绕轴旋转一周而成，其上法向量与轴的夹角为锐角。
6、求幂级数的收敛区间及其和函数 .
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
题号
一
二
三
四
五
六
合计
满分
15
15
48
16
6
小题，每小题3分）
1、设在点处的偏导数存在，且，，则下面结论正确的是（）
（A）存在（B）在处连续
（C）（D）与都存在且相等
2、直线与平面的关系为()
(A) 在上(B) 平行于平面但不在平面上
(C) (D) 与斜交
武汉理工大学学年第二学期高等数学A下期中试卷
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
姓名
学号
专业班级
学院
武汉理工大学考试试卷（A卷）
2014~2015学年2学期高等数学A（下）课程任课教师
80学时，5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%，2015年07月7日
2、曲面上与平面平行的切平面方程为.
3、若函数由方程确定，则 .
4、设有球面，则 .
5、已知级数，则 .
得分
三、计算题（本题共6小题，每小题8分）
1、求通过直线的两个相互垂直的平面和，使其中一个平面
通过点 .
2、设函数，其中有二阶连续偏导数，求 .
3、计算二重积分，其中为， .

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