武汉理工大学学年第二学期高等数学A下期中试卷
武汉市2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
武汉市2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）满分：150分时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共12小题60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.曲线321y x x =-+，在1x =处的切线与直线1y ax =+平行，则a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求出导数，得切线的斜率，由直线平行得a ． 【详解】232y x '=-，∴切线的斜率11k y x ='==，切线与直线1y ax =+平行，1a .故选：B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的充要条件，解题关键是利用导数几何意义求出切线斜率．2. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 （ ） A. 23397C CB. 2332397397C C +C C C. 514100397C -C CD.5510097C -C【答案】B 【解析】试题分析：恰好有2件次品时，取法为23397C C ⋅，恰好有3件次品时，取法为32397C C ⋅，所以总数为23397C C ⋅32397C C +⋅．考点：排列组合．3.已知函数()sin 2'(),3f x x xf π=+则'()3f π=（ ）A. 12-B. 0C.12D.3 【答案】A 【解析】()()sin 2','cos 2'33f x x xf f x x fππ⎛⎫⎛⎫=+∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令3x π=，则11'cos 2'2','3332332f ff f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+∴=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A.4.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.5.4名男生和4名女生排成一排，女生不排在两端，则不同的排法种数为（ ）A. 2444A A ⋅B. 4444A A ⋅C. 2646A A ⋅D. 88A【答案】C 【解析】 【分析】分步完成这件事，第一步选2个男生排在两端，第二步剩下的6人在中间任意排列，由分步计数原理可得．【详解】先从4名男生中选2名排在两端，有24A 种排法，再将其余6人无限制地排在中间6个不同的位置，有66A 种排法，由分步乘法计数原理知共有6426A A ⋅种不同的排法.故选：C ．【点睛】本题考查排列的应用，解题时采取特殊元素特殊位置优先考虑的原则． 6.在曲线2yx 上切线的倾斜角为4π的点是（ ） A. （0,0） B. （2,4）C. 11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】依题意π12tan 1,42y x x '====，此时21124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选D . 7.设5250125(2)x a a x a xa x -=++，那么024135a a a a a a ++++的值为（ ）A. 244241-B. 122121-C. 6160-D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得02412431222a a a ++==+，15312431212a a a -++==-，代入运算即可得解.【详解】解：由5250125(2)x a a x a x a x -=++，令1x =得：5012534(21)a a a a a a -++=+++，① 令1x =-得：5053412[2(1)]a a a a a a =--+---+，② 联立①②得：02412431222a a a ++==+， 15312431212a a a -++==-，即024135a a a a a a ++=++122121-， 故选：B.【点睛】本题考查了二项式展开式系数的求法，重点考查了赋值法，属基础题. 8.某人射击7枪，击中5枪，问击中和未击中的不同顺序情况有（ ）种. A. 21 B. 20 C. 19 D. 16【答案】A 【解析】 【分析】转化为7个位置，选2个放未击中，另5个放击中，由此可得结论．【详解】射击7枪，击中5枪，则击中和未击中的不同顺序情况共有527721C C ==种.故选：A ．【点睛】本题考查组合的应用，解题时注意元素之间有无区别，以确定是排列还是组合． 9.若函数()xf x e ax =-在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 （ ）A.0613v v = B. [)1+∞， C. [)1e ，++∞ D.()1e -+∞，【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再由“在[0,1]内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在[0,1]上恒成立求解．【详解】∵()xf x e ax =-在[0,1]上单调递减，∴f ′（x ）＝e x ﹣a≤0，在[0,1]上恒成立， ∴a ≥e x 在[0,1]上恒成立， ∵y ＝e x在[0,1]上为增函数， ∴y 的最大值为e ， ∴a ≥e ， 故选A ．【点睛】本题主要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零．10.如图，一环形花坛分成,,,A B C D 四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A .12B. 24C. 18D. 6【答案】C 【解析】四块地种两种不同的花共有22326C A = 种不同的种植方法，四块地种三种不同的花共有33212A = 种不同的种植方法，所以共有61218+= 种不同的种植方法，故选C.11.关于函数()31443f x x x =-+．下列说法中：①它极大值为283，极小值为43-；②当[]34x ∈，时，它的最大值为283，最小值为43-；③它的单调减区间为[]22-，；④它在点()04，处的切线方程为44y x =-+，其中正确的有（）个 A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 ∵函数()31443f x x x =-+ ∴()()()2'422f x x x x =-=-+由()()()'220f x x x =-+>，解得x >2或x <−2，此时函数单调递增， 由()()()'220x fx x =-+<，解得−2<x <2,此时函数单调递减，∴③正确；当x =−2时,函数f (x )取得极大值f (−2)=283，当x =2时,函数f (x )取得极小值f (2)=4 3-，∴①结论正确；[]34x ∈，时，()f x 单调递增，它的最大值为()3428444433f =-⨯+=，最小值为()334343433f =-⨯+=-，∴②正确；()'04f =-，∴它在点()04，处的切线方程为44y x =-+，∴④正确，故选D12.已知函数()32f x x ax =-+的极大值为4，若函数()()g x f x mx =+在()3,1a --上的极小值不大于1m -，则实数m 的取值范围是（ ） A. 159,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B. 159,4⎛⎤--⎥⎝⎦C. 15,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(),9-∞-【答案】B 【解析】∵2'()3f x x a =-，当0a ≤时，'()0f x ≥，()f x 无极值；当0a >时，易得()f x 在x =4f ⎛ ⎝=，即3a =，于是()3()32g x x m x =+-+，2'()3(3)g x x m =+-.当30m -≥时，'()0g x ≥，()g x 在(3,2)-上不存在极小值..当30m -<时，易知()g x在x =依题意有32,1,g m ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得1594m -<≤-.故选B.点睛：本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解. 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知33210n n A A =，那么n =__________．【答案】8 【解析】【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.14.6个人排成一排，甲、乙两人中间恰有一人的排法有__________种. 【答案】192 【解析】 【分析】由于甲、乙两人中间恰有一人，因此完成可以先从4人中选1人站在甲乙中间，甲乙两人之间也相互排列，接着把甲乙和中间1人捆绑作为一个元素，与其他3人进行全排列．【详解】由题意排法数有124424192A A A ⋅⋅=.故答案为：192．【点睛】本题考查排列的应用，解题关键确定事件完成的方法，是分步完成还是分类完成． 15.若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】1(,)9-+∞ 【解析】【详解】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：利用导数判断函数的单调性．16.若关于x 的不等式0x e ax -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是______． 【答案】(],e -∞ 【解析】 【分析】分离参数可得不等式x e a x≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，设()xe f x x =，求出函数()f x 在()0,+∞上的最小值后可得结果．【详解】∵关于x 的不等式0x e ax -≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，∴xe a x≤对任意()0,x ∈+∞恒成立．设()(0)x e f x x x =>，则2(1)()xx e f x x-'=， ∴当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． ∴min ()(1)f x f e ==，∴实数a 的取值范围是(,]e -∞． 故答案为(,]e -∞．【点睛】解答不等式在某区间上的恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，即通过参数的分离，把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式，然后通过构造函数并求出函数的最值后可得所求．解题中常用到以下结论：()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>或()a f x <恒成立min ()a f x ⇔>，当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替．三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分，解答每题时写出必要的文字说明或演算步骤.） 17.某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队， （1）一共有多少种选法？（2）其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？ （3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？【答案】（1）49126C =（2）3735C =（3）120【解析】【详解】（1）从549+=名医生中选出4名医生参加赈灾医疗队共有：种选法；（2）因为内科医生甲必须参加，而外科医生乙因故不能参加，所以只须从剩下的7名医生中选出3名医生即可，即3735C =种选法；（3）间接法，从9名医生中选出4名有49126C =种方法，而选到的医生全部是内科医生的有455C =种，选到的医生全部是外科医生的有441C =种，所以内科医生和外科医生都要有人参加共有种选法.18.已知函数()()()2122f x x x =--． （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值．【答案】（1）极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =；（2）2b =-或5327b =-【分析】(1)直接利用导数求函数f(x)的单调区间和极值.(2) 设切点为()()00,x f x ，再根据()20006244f x x x '=-++=求得00103x x ==或，再求b 的值.【详解】(1)因为()f x ' 2624x x =-++ 令()f x '=0，得26240x x -++=，解得x =2-或x =1．所以()f x 的单调递增区间为2,13⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞极小值为298327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，极大值为()11f =． （2）因()f x ' 2624x x =-++，直线4y x b =+是()f x 的切线，设切点为()()00,x f x ，则()20006244f x x x '=-++=，解得00103x x ==或， 当00x =时，()02f x =-，代入直线方程得2b =-，当013x =时，()01727f x =-，代入直线方程得5327b =-． 所以2b =-或5327b =- .【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与曲线的切线方程有关的问题，如果不知道切点，一般设切点坐标，再解答.19.在二项式n 的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项． （2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和． 【答案】（1）52-;（2）1256 .【解析】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为64，264n = 6n ∴=，根据中间项的二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令1x =计算n的大小，即可得答案.试题解析：（1）由已知得0164nn n n C C C +++=，264n = 6n ∴=，展开式中二项式系数最大的项是6331130334611520282T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1,,r n =由已知：02012111,,222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列，12112124n nC C ⨯=+∴n=8,在n中令x=1，得各项系数和为1256 20.已知函数()3221()1(,)3f x x ax a x b a b R =-+-+∈，其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间，并求出()f x 在区间[]2,4-上的最大值. 【答案】（1）11a =，83b =. （2）单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2；最大值为8. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由(1)1f '=-，(1)2f =可求得,a b ；（2）由（1）得()f x '，求出()0f x '=的根，然后列表表示出()f x '的正负，()f x 的单调性，得极值．从而可得单调区间，也能得出函数在[2,4]-上的最大值．【详解】（1）()2221f x x ax a '=-+-，()()1,1f 在30x y +-=上，()12f ∴=，()1,2∴在()y f x =上，21213a ab =-+-+∴.又()11f '=-，2210a a ∴-+=，解得1a =，83b =. （2）()321833f x x x =-+，()22f x x x '∴=-，由()0f x '=得0x =和2x =，列表如下：所以()f x 的单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2.()803f =，()423f =，()24f -=-，()48f =，∴在区间[]2,4-上的最大值为8.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间，求函数的最值．根据几何意义，根据导数与单调性的关系直接求解即可，属于中档题．21.已知a R ∈，函数2()()xf x x ax e =-+（R x ∈，e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）(（Ⅱ）32a ≥ 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；（Ⅱ）原函数()f x 在()1,1-上单调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a 的范围.【详解】（Ⅰ）当2a =时，()()22xf x x e '=-+.令()0f x '>，解得x <<所以，函数()f x的单调递增区间为(.（Ⅱ）方法1：若函数()f x 在()1,1-上单调递增，则()0f x '≥在()1,1-上恒成立.即()()()220x f x x a x a e =-+-+≥'，令()()22g x x a x a =-+-+.则()()220g x x a x a =-+-+≥在()1,1-上恒成立.只需()()()()11201120g a a g a a ⎧-=-+-+≥⎪⎨=-+-+≥⎪⎩，得：32a ≥方法2：()()()22x f x x a x a e '=-+-+，令()0f x '>，即()()220x a x a -+-+>，x <<. 所以，()f x的增区间为⎝⎭又因为()f x 在()1,1-上单调递增，所以()1,1-⊆22,22a a ⎛---+⎪⎝⎭即11≤-⎨⎪≥⎪⎩，解得32a ≥.【点睛】本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.22.已知函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在0,4x x ==处取得极值. （1）求常数k 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值；（3）设()()g x f x c =+，且[1,2]x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，求c 的取值范围. 【答案】（1）；（2）当x ＜0或x ＞4，f （x ）为增函数，0≤x≤4，f （x ）为减函数；极大值为，极小值为（3）【解析】【详解】试题分析：（1）因为函数两个极值点已知，令()()23610f x kx k x =+-='，把0和4代入求出k 即可．（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，()()244f x x x x x '=-=-大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x 值代到f （x ）中，通过表格，判断极大、极小值即可．（3）要使命题成立，只需()min 1f x c ≥+，由（2）得：()1f -和()2f 其中较小的即为g （x ）的最小值，列出不等关系即可求得c 的取值范围． 试题解析：（1）()()2361f x kx k x '=+-，由于在0,4x x ==处取得极值，∴()00,f '= ()40,f '=可求得13k =（2）由（1）可知()3218239f x x x =-+，()()244f x x x x x '=-=-，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：x(),0-∞()0,44()4,+∞()f x '+－0 +()f x极大值89极小值889-∴()f x 在(,0)-∞，(4,)+∞为增函数，()f x 在(0,4)上为减函数； ∴极大值为()80,9f =极小值为()8849f =- (3) 要使命题[]1,2x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，只需使()21f x c c +≥+,即()1f x c ≥+即可.只需()min 1f x c ≥+ 由（2）得()f x 在[]1,0-单增，在[]02，单减. ()()13401299f f -=-=-， ∴()min4019f x c =-≥+，499c ≤-. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()f x 有三个极值点C ．()f x 有一个极大值4．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线()22:20C y px p =>构造了一个类似点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线C 124==PF PQ ，则p =（）二、多选题6．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，有()()20xf x f x '+>恒成立，则（）A ．()()142f f >B ．()()142f f ->-C ．()()4293f f >D ．()()4293f f ->-三、单选题四、多选题五、填空题13．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，若12a =，23a =，122n n n a a S +=+，则10S 的值为______.14．函数()33f x x x =-在区间(2,)a -上有最大值，则a 的取值范围是________．15．已知m 为常数，函数()2ln 2f x x x mx =-有两个极值点，则m 的取值范围是______.16．函数()()22e ,022,0x ax x f x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩，且0a ≠，若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为______.六、解答题(1)建立适当的坐标系，设(2)求矩形桌面板的最大面积19．已知函数()(f x =(1)当0a =时，求()f x (2)讨论函数()f x 的单调性20．函数()e cos xf x x =，(1)求数列{}n x 的通项公式，并证明数列(2)若对一切*n ∈N 不等式21．已知椭圆E ：22x a +T 为椭圆E 上任意一点，(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,0P 的直线与椭圆（点B ，C 在直线l 的两侧）别为1S ，2S ，3S ，试问：是否存在常数求出t 的值；若不存在，请说明理由参考答案：9．BCD【分析】利用导数判断函数的单调性可知B 正确；当01x <<时，()0f x <，可知A 错误；求出函数的零点，可知【详解】因为()2ln f x x x =，该函数的定义域为当120e x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当12e x ->时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，所以111221()e e ln e 2e f x f ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值，故当01x <<时，ln 0x <，此时()2ln 0f x x x =<由()2ln 0f x x x ==，可得ln 0x =，解得1x =故选：BCD 10．ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断义以及基本不等式判断D.()ln 1a b ∴=+，(ln a b b -=+构造函数：()()ln 1p x x x =+-递减，当0x ＜时，()()'0,p x p x ＞单调递增，立，所以当0m ＜时，方程1bm a+=对于C ，方程1b m a+=有2个解()()12112eb b +++＞，由A 知：原方程为e am a =有2个解1,a a ()121212e e 2e ,a a a a a a ++≠ ＞，由B 知：0b ＞，(ln 1a b ∴=+只需证明122eea a +＞即可，即a 当01x ＜＜时，()()'0,k x k x ＜函数图象大致如下：()k x m =对应的2个解为1x =只需证明212x x -＞，11,x ∴ ＜所以即证()()212k x k x -＞，由证()()1120k x k x --＞，即证()()2e e 22x xk x k x x x---=--即()22e e 0x xx x ---＞，构造函数()()22e e x n x x x -=--()2'01,e e ,0,x x x n x -∴ ＜＜＜＜()()1120k x k x --＞，命题得证；对于D ，110,222a a b b ++＞＜，()()12ln 111b b b ++-+＜，令构造函数()(12ln ,w t t t t t =-+＞()w t 是减函数，()10,w w =∴故选：ACD.13．65【分析】运用1n n n a S S -=-（n 数列，进而求得{}n a 的通项公式，代入【详解】∵12a =，23a =，n a如图所示，当041m <<，即104m <<时，4y m =，个交点，记为1122(,),(,)A x y B x y .根据图像可知10x x <<时，1ln 41ln 4xm x mx x+>⇔+-1ln 41ln 40xmx mx x+⇔+-，即()0f x '>，说明1x 是()f x '的变号零点.同理可说明意.故答案为：104m <<16．2e 0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】当x ＞0时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当依题意可设抛物线方程为故点P 所在曲线段BC 设()()2,201P x x x ≤<是曲线段则在矩形PMDN 中，PM 桌面板的面积为()S x =）由已知得，BC的斜率存在，且B，C在∴，01x x <<<，。
2023-2024学年湖北省高一下学期期中月考数学试题1(含答案)
2023-2024学年湖北省高一下册期中联考数学试题一、单选题1．若复数45i z =+，则23z -=（）A ．1015i --B ．1015i -+C ．1415i +D ．1415i-【正确答案】B【分析】先求出45i z =-，进而求出23z -.【详解】因为45i z =+，所以45i z =-，所以()232345i 1015i z -=--=-+故选：B2．如图，在ABC 中，D 是BC 上的点，则AB BC AD +-等于（）A ．ADB ．DBC ．DCD ．AB【正确答案】C【分析】由向量的加法和减法原则求解即可.【详解】AB BC AD AC AD DC +-=-=.故选：C.3．设角α的终边经过点(34)P -，，那么()()sin 2cos παα-+-等于（）A ．15B ．-15C ．25D ．-25【正确答案】D【分析】利用任意角三角函数的定义，分别计算sin α和cos α，再根据诱导公式对()()sin 2cos παα-+-化简，代入sin α和cos α的值，即可求出结果．【详解】∵角α的终边经过点(34)P -，，r PO =，∴4sin r α==45，33cos 5r α-==-，∴()()462sin 2cos sin 2cos 555παααα-+-=+=-=-.故选:D ．4．已知向量3(,sin )2a α= ，1(sin ,)6b α= ，若//a b ，则锐角α为（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°【正确答案】A【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α.【详解】因为//a b ，所以sin 2α311264=⨯=，∴sin α＝±12．又α为锐角，所以α＝30°．故选：A5．为了得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos y x =的图像上（）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向左平移π8个单位B ．每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π8个单位C ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π8个单位D ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π8个单位【正确答案】B【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.【详解】由πcos 228πcos 4y x x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫= ⎝⎭-=⎪⎝⎭⎣⎦可知，函数cos y x =的图像每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得函数cos 2y x =的图像，再向右平移π8个单位，得函数πcos 24πcos 28y x x ⎛⎫==- ⎪⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥的图像.故选：B6．在复平面内，点(cos ,sin ),(sin(),cos())A B θθθθ--分别对应复数12,z z ，则21z z =（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【正确答案】D【分析】根据复数几何意义，求得12,z z ，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.【详解】由点(cos ,sin )A θθ和(sin(),cos())B θθ--分别对应复数12,z z ，可得1cos isin z θθ=+，2sin()i cos()sin i cos z θθθθ=-+-=-+，所以222221sin i cos (sin i cos )(cos isin )(sin cos )ii cos isin (cos isin )(cos isin )cos sin z z θθθθθθθθθθθθθθθθ-+-+-+====++-+.故选：D.7．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =给出下列结论，其中正确的结论为（）A ．OA 与OH 的夹角为π3B ．OD OF OE+= C．OA OC -=D ．OA 在OD上的投影向量为2e （其中e 为与OD 同向的单位向量）【正确答案】C【分析】结合正八边形的性质以及向量的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】2ππ84=，所以,OA OH 的夹角为π4，A 选项错误.由于四边形ODEF 不是平行四边形，所以OD OF OE +≠，AOC是等腰直角三角形，所以CA == ，2DH =，所以OA OC CA -==，C 选项正确.结合图像可知OA 在OD 上的投影向量与OD的方向相反，所以D 选项错误.故选：C8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B =，而cos cos a b A B=，∴sin sin cos cos A BA B=，即tan tan A B =，又∵A 、B 为ABC ∆的内角，∴A B =，又∵222c a b ab =+-，∴222ab a b c =+-，∴由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=，∴ABC ∆为等边三角形.故选：B.二、多选题9．下列命题中，不正确的是（）A ．1()i a a -∈R 是一个复数B ．形如()i a b b +∈R 的数一定是虚数C ．两个复数一定不能比较大小D ．若a b >，则i ia b +>+【正确答案】BCD【分析】根据复数的概念逐项分析即得.【详解】由复数的定义可知A 命题正确；形如()i a b b +∈R 的数，当0b =时，它不是虚数，故B 命题错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C 命题错误；两个虚数不能比较大小，故D 命题错误．故选：BCD ．10．已知向量()2,1a =r ，2b a = ，且a b ⊥，则b = （）A ．()2,4-B ．()2,4--C ．()2,4-D ．()2,4【正确答案】AC【分析】设b的坐标，利用向量模的坐标公式及a b ⊥ 关系，建立方程组解出来即可.【详解】设(),b x y =，因为2b a = ，a b ⊥ ，所以2222420200b ax y x y a b ⎧=⎧+=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩ ，解得24x y =⎧⎨=-⎩或24x y =-⎧⎨=⎩，故()2,4b =- 或()2,4b =-r．故选：AC.11．函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 【正确答案】AD【分析】利用图像判断周期，求出ω，即可判断选项A ；利用特殊点求出ϕ，即可判断选项B ；得到函数的解析式()cos 35f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，分别求出单调区间和对称轴方程，判断选项C 、D.【详解】由图像知函数的周期1322230103T ππππω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得：3ω=，所以A 对；由五点对应法得()32102k k ππϕπ⋅+=+∈Z ，因为02ϕπ≤<，所以5πϕ=，所以B 错误，所以()cos 35f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当()2325k x k k ππππ≤+≤+∈Z 时，函数()f x 单调递减.取1k =，得()f x 的一个单调递减区间为314,515ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以C 错，函数()f x 图像的对称轴方程为()35x k k ππ+=∈Z ，即()315k x k ππ=-∈Z ，所以D 对．故选：AD12．下列命题正确的是（）A ．若//,//a b b c ，则//a cB ．若,a b b c ==，则a c= C ．若//a b．则存在唯一实数λ，使得a bλ= D ．若点P 为ABC 所在平面上一点，若20PA PC PB ++=，则APB △面积与ABC 面积之比为1：4【正确答案】BD【分析】A 、C 注意零向量的情况；B 由相等向量传递性判断；D 由()PA PB PC PB +=-+确定P 的位置，进而判断面积关系.【详解】A ：当b 为零向量时//a c不一定成立，错误；B ：由条件知：a b c ==，正确；C ：,a b 为零向量时a b λ=中实数λ不唯一，错误；D ：由()PA PB PC PB +=-+，易知：P 为ABC 平行于AC 的中位线中点，则2ABC APC S S = 且APB BPC S S = ，故APB △面积与ABC 面积之比为1：4，正确.故选：BD 三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知tan 2,tan 3,,αβαβ==均为锐角，则αβ+=____________．【正确答案】34π/34π【分析】根据正切函数的和角公式，可得tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，由角的取值范围，可得答案.【详解】因为tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，,αβ锐角，0αβ<+<π，所以34αβπ+=．故答案为.34π15．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C 、D 两观测点，且C 、D 与黄河楼底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得黄河楼顶部A 的仰角分别为45,30︒︒，并测得120BCD ∠=︒，则黄河楼AB 的估计高度为_____________米．【正确答案】90【分析】根据仰角分别得出BC AB =,BD =，在BCD △中由余弦定理求解即可.【详解】在Rt ABC △中，45ACB ∠=︒，所以BC AB =，在Rt △ABD ，30ADB ∠=︒，所以tan 30ABBD=︒，即BD ，在BCD △中，120BCD ∠=︒，90CD =，由余弦定理，2222cos120BD BC CD BC CD =+-⋅︒，即2221390290()2AB AB AB =+-⨯⋅-，解得90AB =或45AB =-（舍去），即黄河楼AB 的估计高度为90米.故9016．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM NM ⋅的最大值为___________.【正确答案】3【分析】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.【详解】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(C ，AC 中点122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设(,)M x y ，则(1,)AM x y =+，1,22NM x y ⎛=+- ⎝⎭1(1)2AM NM x x y y ⎛⎛⎫⋅=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.∵(,)M x y在直线10:BC x y +-=上，∴1x =-，∴2342323AM NM y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⋅=--+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵0y ≤≤0y =时，·AM NM的最大值为3.故3.四、解答题17．已知复数22(1)i()z m m m m =+-+-∈R ，其中i 为虚数单位．(1)若z 是纯虚数，求实数m 的值；(2)若m ＝2，设ii(,)iz a b a b z +=+∈-R ，试求a ＋b 的值．【正确答案】(1)2-(2)75【分析】（1）由实部等于0得到实数m 的值；（2）把复数iiz z +-整理成i a b +的形式，根据复数相等的条件得到a b 、的值进而求出a b +．【详解】（1）由题意可得：220m m +-=，且10m -≠，2m ∴=-；（2）若m ＝2，则4i z =+，所以2i 42i 2i (2i)34ii i 42i 2i (2i)(2i)5z a b z +++++=====+----+，35a ∴=，45b =，75a b ∴+=.18．已知||6a = ，||4= b ，(2)(3)72a b a b -⋅+=-.（1）求向量a ，b的夹角θ；（2）求|3|a b +.【正确答案】（1）23πθ=（2）()1利用平面向量数量积的分配律求出a b ⋅,然后代入夹角公式求解即可;()2结合()1中a b ⋅的值,利用平面向量数量积的性质：()22222a ba ba ab b +=+=+⋅+ 进行运算，求出23a b + 的值,然后再开方即可.【详解】∵(2)(3)72a b a b -⋅+=-,∴22672a a b b +⋅-=- ，∵6a = ，4b = ,∴3661672a b +⋅-⨯=- ,解得12a b ⋅=-,由平面向量数量积的夹角公式得,∴121cos 642a b a b θ⋅-===-⨯,∵0θπ≤≤∴23πθ=.（2）因为222369a b a a b b +=+⋅+ ，所以()2336612916a b +=+⨯-+⨯ 108=∴3a b += 本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题型.19．已知α，β为锐角，sin 7α=，11sin()14αβ-=-.(1)求3πsin()sin(π)2πcos()2ααα++-的值；(2)求sin β的值.【正确答案】(1)17(2)7198【分析】（1）已知sin α和sin()αβ-的值，可求cos α和cos()αβ-的值，诱导公式化简后求值；（2）()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦，展开后代入已知数据即可求值.【详解】（1）α，β为锐角，sin 7α=，∴1cos 7α==，11sin()14αβ-=-，∴π02αβ-<-<，则cos()14αβ-==，则()3πsin()sin(π)cos sin 12cos πsin 7cos()2ααααααα++-⋅-===-（2）()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦111174⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=7198=20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+ ，求23x y +的值；(2)若6,60AB BAD ∠== ，求AC EF ⋅ .【正确答案】(1)1(2)9【分析】（1）利用向量的线性运算求EF ，结合平面向量的基本定理求得,x y ，进而求得23x y +.（2）先求得AB AD ⋅ ，然后利用转化法求得AC EF ⋅ .【详解】（1）因为1122CF CD AB ==- ，2CE EB= 所以2233EC BC AD == ，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=- ，所以12,23x y =-=，故231x y +=.（2）AC AB AD =+ ，()221211223263AC EF AB AD AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴=== ，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯= ，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯= .21．如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个POQ的养殖场(1)已知4PQO π∠=，求OP 的长度(2)问如何选取点,P Q ，才能使得养殖场POQ 的面积最大，并求其最大面积【正确答案】(2)OP OQ ==OPQ S平方千米.【分析】（1）运用正弦定理可求出OP 的长度；（2）根据面积公式和余弦定理可求.【详解】（1）在OPQ 中，由正弦定理可得：sin sin PQ OPPOQ PQO =∠∠，代入数据得12ππsin sin 34OP =解之：OP =（2）在OPQ 中，由余弦定理可得2222πcos 32OP OQ PQ OP OQ+-=⋅令,OP a OQ b ==可得2213a b ab ab ab =++≥=，所以1.3ab ≤当且仅当3a b ==时取得又()21sin 2412OPQ S ab POQ ab km =∠=≤OP OQ ∴==OPQ S.22．已知向量33sin ,2ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ m x，ω⎫=⎪⎪⎝⎭n x ，0ω>，函数()f x m n =⋅ ．(1)若13ω=，求()f x 在[]0,3π上的单调递减区间；(2)若关于x 的方程()32=-f x 在[]0,1上有3个解，求ω的取值范围．【正确答案】(1)[]2,3ππ(2)10π2π,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】(1)化简得()1π3sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质可得函数()f x 的单调递减区间为()[2π6π,5π6π]Z k k k ++∈，进而可得在[]0,3π上的单调递减区间；(2)由题意可得π1sin 62x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而可得4π2π10π4π,0,,,,,33x ωωωω=L L ，结合题意可得10π132π1ωω⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，求解即可.【详解】（1）解：依题意，()33sin ,2ωω⎫⎛⎫=⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f x m n xx 13cos 2ωω⎫=-⎪⎪⎝⎭x x π3sin 6x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当13ω=时，()1π3sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()π1π3π2π2πZ 2362k x k k +≤-≤+∈，得()2π6π5π6πZ k x k k +≤≤+∈，当0k =时，2π5πx ≤≤，故()f x 在[]0,3π上的单调递减区间为[]2,3ππ；（2）解：依题意，π1sin 62x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()π7π2πZ 66x k k ω-=+∈或()π11π2πZ 66x k k ω-=+∈，则()4π2πZ 3k x k ωω=+∈或()2π2πZ k x k ω+=∈．则4π2π10π4π,0,,,,33x ωωωω=L L ，则10π132π1ωω⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得10π2π3ω≤<，即ω的取值范围为10π2π,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。
武汉理工大学学年第二学期高等数学A下期中试卷
4、设 ，其中 是圆域 位于第 象限的部分，则有（C）
(A) (B) (C) (D)
5、设 ，且 ，则级数 ()
(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性根据所给条件不能确定
得分
二、填空题（本题共5小题，每小题3分）
1、微分方程 满足条件 的特解为.
2、曲面 上与平面 平行的切平面方程为.
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
姓名
学号
专业班级
学院
武汉理工大学考试试卷（A卷）
2014~2015学年2学期高等数学A（下）课程任课教师
80学时，5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%，2015年07月7日
题号
一
二
三
四
五
六
合计
满分
15
3、若函数 由方程 确定，则 .
4、设有球面 ，则 .
5、已知级数 ， 则 .
得分
三、计算题（本题共6小题，每小题8分）
1、求通过直线 的两个相互垂直的平面 和 ，使其中一个平面
通过点 .
2、设函数 ，其中 有二阶连续偏导数，求 .
3、计算二重积分 ，其中 为 ， .
4、计算曲线积分： ，其中 为椭圆 上从点 到点 的弧段.
5、计算曲面积分 ，其中 为 平面上的曲线 绕 轴旋转一周而成，其上法向量与 轴的夹角为锐角。
6、求幂级数 的收敛区间及其和函数 .
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………
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湖北省武汉市高二数学下学期期中试题 文
湖北省武汉市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列说法中不正确的是（ ）A 、“x y =”是“||||x y =”的充分不必要条件B 、命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则00:,sin 1p x R x ⌝∃∈>C 、命题：“若,x y 都是偶数，则x y + 是偶数”的否命题是“若,x y 不是偶数，则x y + 不是偶数”D 、命题:p 所有有理数都是实数，:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 2、设函数2()()f x g x x =+，若曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处曲线的斜率为（ ）A 、4B 、14-C 、2D 、12-3、如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过090）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是（ ）4、下列参数方程能与方程2y x =表示同一曲线的是（ ）A 、2(x tt y t=⎧⎨=⎩为参数) B 、2sin (sin x tt y t=⎧⎨=⎩为参数) C、x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数) D 、1cos 2(1cos 2tan t x t t y t-⎧=⎪+⎨⎪=⎩为参数)5、椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是（ ）A 、12B 、13C 、2D 、36、已知圆222:(1)(0)C x y r r -+=>，设条件:03p r <<，条件:q 圆C 上至多有2个点到直线30x -+=的距离为1，则p 是q 的（ ）条件.A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要7、已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围为（ ） A 、(0,1)(2,3) B 、(0,2)C 、(0,3)D 、(0,1][2,3)8、已知()f x a b ≠，则|()()|f a f b -与||a b -的大小关系为（ ） A 、|()()|||f a f b a b ->- B 、|()()|||f a f b a b -<- C 、|()()|||f a f b a b -=- D 、不确定9、设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则函数()y f x =（ ） A 、在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,e 上都有零点 B 、在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,e 上都无零点 C 、在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，在区间()1,e 上无零点 D 、在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，在区间()1,e 上有零点10、已知圆221:(2)4C x y +-=，抛物线22:2(0)C y px p =>，1C 与2C 相交与,A B两点，且||AB =2C 的方程为（ ） A 、285y x =B 、2165y x = C 、2325y x =D 、2645y x =11、曲线112(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数)和2216x y +=交于,A B 两点，则AB 中点坐标为（ ）A 、(3,3)-B、( C、3)-D、(3,12、若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23()2()0f x af x b ++=的不同实数根个数是（ ）A 、3B 、4C 、5D 、6二、填空题（每小题5分，共20分）13、若过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好在椭圆22221x y a b +=，则双曲线的离心率为 . 14、对任意实数(0)a a ≠和b ，不等式||||||(|1||2|)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，则实数x 的取值范围为 .15、已知函数3()31f x ax x =-+对任意[0,1]x ∈上总有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是 .16、设函数2()(2)()10(2)ln x a e x f x x a x x -+≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩(e 是自然对数的底数),若(2)f 是函数()f x 的最小值，则a 的取值范围为 .三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17、用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α为多大时，容器的容积最大？18、设p ：实数a 满足不等式39a ≤，q ：函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点.（1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）已知“p q ∧”为真命题，并记为r ，且t ：2112022a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若r 是t ⌝的必要不充分条件，求正整数m 的值．19、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0a >)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=-（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上所有点都在直线l 的右下方，求a 的取值范围.20、已知函数()|21|f x x =-.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若函数()()(1)g x f x f x =+- 的最小值为a 且(0,0)m n a m n +=>>，求2221m n m n+++的最小值.21、在平面直角坐标系中，已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直于l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点000(,)(0)Q x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B两点，且1l 恰与以定点(4,0)M 为圆心的圆相切. 当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与AQM ∆面积的比.22、已知ln ()ln ,(0,],()xf x ax x x eg x x=-∈=，其中e 为自然对数的底数，a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值，并证明1()()2f xg x >+恒成立； （2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值为3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.2016—2017下学期高二期中考试数学（文科）参考答案一、选择题 10 二、填空题13 14、15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦15、[4,)+∞ 16、[2,6]三、解答题17、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则222r h R +=，因此 222231111()(0)3333V r h R h h R h h h R ππππ==-=-<<解得3h R =。
湖北省武汉市高二下学期期中联考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知复数，是虚数单位，则（ ） ()12i 13i z +=-+i z =A ． B ． C ． D ．1i -+1i --1i +1i -【答案】D【分析】利用复数除法运算求得复数的值，然后利用共轭复数的概念求得结果. z 【详解】由，得， ()12i 13i z +=-+()()()()13i 12i 13i 1i 12i 12i 12i z -+--+===+++-所以. 1i z =-故选：D2．甲，乙，丙三人报考志愿，有，，三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考A B C 同一所大学的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．1323791627【答案】B【分析】根据题意，利用乘法计数原理计算总的方法数，从反面计算恰有2人报考同一所院校的方法种数，根据概率公式，计算即可求解.【详解】由题意，每人报考一所学校，不同的选法总数是（种）3327=如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是（种）,336A =所有人都报同一所学校的方法有3种，∴恰有2人报考同一所院校的方法种数为， 276318--=概率为. 182273=故选：B.3．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若，则圆柱12O O O 122O O =的表面积为（ ）12O OA ．B ．C ．6D ．4π5πππ【答案】C【分析】根据相切情况，先求得圆柱底面半径，再用圆柱表面积公式，即可求得结果. 【详解】因为该球与圆柱的上下底面，母线均相切，不妨设圆柱底面半径为， r 故，解得，1222r O O ==1r =故该圆柱的表面积为.21222246r rO O πππππ+=+=故选：C.【点睛】本题考查球体与圆柱体相切时的几何性质，涉及圆柱表面积的求解，属综合基础题. 4．已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大a b,3a b π= c ()()0a c b c -⋅-= c r 值是（ ）A B C D1【答案】B【分析】首先设，，，画出图形，根据已知条件得到在以为直径的圆OA a = OB b = OC c =C AB 上，再结合图形求解即可. 【详解】如图所示：设，，，OA a = OB b = OC c =则，，CA a c =- CB b c =- 因为，所以，即.()()0a c b c -⋅-= 0CA CB ⋅= CA CB ⊥ 所以在以为直径的圆上.C AB 设的中点为，因为和是平面内两个单位向量，且，AB D a b,3a b π=所以，1AB =OD =所以. max12cOD =+=故选：B5．锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且ABC A ,,A B C ,,a b c ，则等于（ ） 22224cos 2cos a b c a A ac B +-=-aA ．2B ．CD ．1【答案】C【分析】利用余弦定理得到，再利用正弦定理结合两角和与差的三角函数cos 2cos cos =-b C a A c B 得到，结合外接圆半径即可求解3A π=【详解】由，22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B 得，2222cos cos 2+-⋅=-a b c b a A c B ab 由余弦定理，可得，cos 2cos cos =-b C a A c B 又由正弦定理，可得， sin cos 2sin cos sin cos =-B C A A C B 所以， sin cos sin cos sin()sin 2sin cos +=+==B C C B B C A A A得，又，所以，所以1cos 2A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =sin A =又，所以 22sin sin sin ====a b cr A B Ca =故选：C6．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA BC =E CD 中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）F PC BF PEA ．BC ．D 【答案】B【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，表示出，，然后求A BF PE出的值，即可得出答案. cos ,BF PE u u u r u u r 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， A 2AB =则，，，，， ()0,0,0A ()2,0,0B ()002P ,,()2,2,0C ()0,2,0D 则，，()1,2,0E ()1,1,1F 所以，， ()1,1,1BF =-()1,2,2PE =- 所以cos ,BF PE BF PE BF PE ⋅===u u u r u u ru u ur u u r u u u r u u r 所以，异面直线与BF PE 故选：B.7．已知过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线平行的直线交双曲线()222210,0x y a b a b -=>>F l 于点，交双曲线的另一条渐近线于点（，在同一象限内），满足，则该双曲线A B A B 3FB FA =的离心率为（） A ．BC D ．243【答案】B【分析】将直线的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出的纵坐标，再利用已知条l ,A B 件求解．【详解】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限， by x a=±,A B直线的方程为，与联立，得；l ()b y x c a =--22221x y a b-=32A b y ac =直线与联立，得．l b y x a =2B bcy a =由，得，即， ||3||FB FA =3B A y y =3322bc b aac=⨯得，即，则，223c b =2232c a =e =故选：B ．8．对任意的，，不等式恒成立，则正实数的取值范围是x ()0,y ∈+∞33e e 44ln x y x y x a +---++≥a （ ）A ．B ．C ．D ．(e 0,2⎛⎤⎝⎦[)e,+∞[)2e,+∞【答案】A【分析】利用指数的运算性质以及基本不等式，把双变量问题变成单变量，再利用导数来研究函数的单调性和最值.【详解】设，则问题转化为不等式可化为恒成立， 33e e 4()x y x y f x +--+++=4ln ()x a f x ≤又（当且仅当时取等号）， 33e e ()(4e e )42y x y x f x ---=++≥+0y =所以，即有在时恒成立，34ln 42ex x a -≤+3e 22ln x a x-+≤,()0x ∈+∞令，则，令，3e 2()x h x x -+=32e (1)2()x x h x x -'--=32e (1)2()0x x h x x -'--==即，令，则，3e (1)2x x --=3()e (1)x x x ϕ-=-3()e x x x ϕ-='因为，，所以，所以在单调递增， ,()0x ∈+∞3e 0x ->30()e x x x ϕ-='>()ϕx (0,)+∞又，即的根为3，(3)2ϕ=3()e (1)2x x x ϕ-=-=所以当时，单调递增，当时，单调递减，3x >3e 2()x h x x -+=03x <<3e 2()x h x x -+=所以当时，取得最小值，所以，解得3x =3e 2()x h x x -+=(3)1h =2ln 1a ≤a ≤又，所以0a >0a <≤故选：A ．【点睛】关键点睛：解答时要充分利用题设中的有效信息，先将两个变量化为一个变量，再灵活运用导数这一重要工具，通过两次求导使得函数的变化情况较为明确，最后借助不等式恒成立，从而求得参数的取值范围，使得问题简捷、巧妙获解．二、多选题9．已知直线与圆交于，两点，且（其中为坐标原y x b =+224x y +=A B OA OB OA OB +=-O 点），则实数的值可以是（ ） bA ．B ．C ．2D ．-2-【答案】BC【分析】由已知可推得，设，，则.联立直线与圆的方OA OB ⊥()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=程，得出坐标之间的关系，即可得出答案.【详解】由可得，，OA OB OA OB +=- ()()22OA OBOA OB +=- 所以，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 所以，所以.0OA OB ⋅=OA OB ⊥ 设，，则.()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=联立直线与圆的方程可得，， 224y x bx y =+⎧⎨+=⎩222240x bx b ++-=由，可得.()()()2222424480b b b ∆=-⨯⨯-=-->b -<<且，则， 1221242x x b b x x +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩()()()212121212y y x b x b x x b x x b =++=+++所以，()222121242402b x x y y b b b b -+=⨯+-+=-=解得. 2b =±故选:BC.10．创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉.为支持“中小企业”创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）A ．年收入在万元的中小企业约有14家 [)500,600B ．样本的中位数大于400万元C ．估计当地中小型企业年收入的平均数为376万元D ．年收入的样本数据的80%分位数为480万元 【答案】AC【分析】根据频率分步直方图可计算，进而可结合选项逐一求解中位数，百分位数以及0.0014x =平均数即可求解.【详解】由频率分步直方图可知： ()0.0010.0020.002620.000410010.0014x x ++⨯++⨯=⇒=对于A, 年收入在万元的中小企业约有家，故A 正确， [)500,6000.001410010014⨯⨯=对于B ，设样本中的中位数为，则a ()()49000.0010.0021003000.00260.540013a a +⨯+-⨯=⇒=<，故B 错误，对于C ，当地中小型企业年收入的平均数为，万元，()1500.0012500.0023500.00264500.00265500.00146500.0004100376⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故C 正确，对于D ， 设年收入的样本数据的80%分位数为，则m 万元，故D 错误， ()()12000.0010.0020.00261004000.00260.8400492.313m m ++⨯+-⨯=⇒=+≈故选：AC11．如图，点M 是棱长为2的正方体中的线段上的一个动点，则下列结论正1111ABCD A B C D -1A D 确的是（ ）A ．存在点M ，使平面 //CM 11A BCB ．不存在点M 满足1CM AD ⊥C ．存在点M ，使异面直线与所成的角是60° 1C M ABD ．二面角1B C D M --【答案】AD【解析】选项A. 当为中点时可得可判断；选项B. 当点M 与点重合时可得M 1A D 1//CM A N D 可判断；选项C. 连接,由，如图2，所以为异面直线与1CM AD ⊥11,MC MD 11//AB C D 11MC D ∠1C M 所成的角，可求出其最大角可判断；选项D. 二面角即二面角，由AB 1B C D M --11B C D A --，的中点，连接,则11BD BC DC ===1111A D A C DC ===1DC H 1A H ，所以角为二面角的平面角，可求解判断. 111,BH DC A H DC ⊥⊥1A HB ∠11B C D A --【详解】选项A. 当为中点时，连接交于点，连接,如图1 M 1A D 11,BC B C N MN 所以且，则为平行四边形，所以 1//A M NC 1A M NC =1A MCN 1//CM A N 又平面，平面，所以平面，故A 正确. 1A N ⊂11A BC CM ⊄11A BC //CM 11A BC 选项B. 当点M 与点重合时，由平面, D CD ⊥11ADD A 又平面,所以，故B 不正确.1AD ⊂11ADD A 1CM AD ⊥选项C. 连接,由，如图2，所以为异面直线与所成的角. 11,MC MD 11//AB C D 11MC D ∠1C M AB 在直角中，11MC D A 111111tan 2MD MD MC D C D ∠==在正方形, 所以，即，故C 不正确. 11ADD A 2M ≤11tan 1MC D ∠≤1145MC D ∠≤︒选项D. 二面角即二面角 1B C DM --11B C D A --由，11BD BC DC ===1111A D A C DC ===取的中点，连接,如图3，则 1DC H 1A H 111,BH DC A H DC ⊥⊥所以角为二面角的平面角 1A HB ∠11B C D A --所以在中，1BH A H ==1A BH A 1A B =所以 2211116681cos 2263HB A H A B A HB HB A H +-+-∠===⨯⨯⨯所以D 正确.1sinA HB ∠===故选：AD【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的判断和线面角以及二面角的求解，解答本题的关键是作出相应的角，由，所以为异面直线与所成的角，在直角中，11//AB C D 11MC D ∠1C M AB 11MC D A ，属于中档题. 111111tan 2MD MD MC D C D ∠==12．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点ABCD ABCD ,,,E F G H ，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，作第3个正方形EFGH EFGH ,,,M N P Q ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续MNPQ ABCD 1a 各正方形边长依次为；如图（2）阴影部分，直角三角形面积为，后续各直23,,,,n a a a AEH 1b角三角形面积依次为，下列说法正确的是（ ）23,,,,n b b bA ．第个正方形面积为.3MNPQ 10B ．.14n n a -=⨯C ．使得不等式成立的的最大值为. 12n b >n 3D ．数列的前项和对任意恒成立. {}n b n 4n S <*N n ∈【答案】BCD【分析】根据图形的变化规律，结合已知条件，求得以及，再对每个选项进行逐一分析，即n a n b 可判断和选择.【详解】根据题意，，且， 2214n n n a b a +-=231324432n n n n a a b a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故，即，又，故可得， 222138n n n a a a +-=22158n n a a +=0n a >1n n a+=由题可知，故数列是首项为的等比数列， 14a ={}n a 4则，，即第三个正方形的面积为， 14n n a -=⨯42325164a =⨯=254故A 错误，B 正确；对C ：因为，， 11233535163232828n n n n b a --⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭158n n b b +=故数列是首项为，公比为的等比数列，其为单调减数列，{}n b 3258，又，故不等式成立的的最大值为，正确； 37511282b =>4375110242b =<12n b >n 3C 对：因为，对任意恒成立，正确. D 3512854445818nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯< ⎪⎝⎭-*N n ∈D 故选：.BCD三、填空题13．为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣8名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排2个志愿者，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答） 【答案】2940【分析】先将8名志愿者分成（3,3,2）一组和（2,2,4）一组，再分配到三个乡村即可求出结果. 【详解】依题意，①先将8名志愿者分成（3,3,2）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法. 3323852322C C C A 1680A ⋅=②先将8名志愿者分成（2,2,4）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法. 2243864322C C C A 1260A ⋅=所以共有：种方法. 168012602940+=故答案为：.2940四、双空题14．等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的正整数的值是{}n a 59a a =0d <n n S n ______，使前项和的正整数的最大值是______. n 0n S >n 【答案】6或712【分析】根据已知可推得，且，.然后可知当时，有，即可590a a >>590a a +=70a =17n ≤≤0n a ≥得出或时，取得最大值；然后求出，即可得出. 6n =7n =n S 137130S a ==12130S a =->【详解】因为，，所以，所以， 59a a =0d <59a a >590a a >>所以，所以，所以， 59a a =-590a a +=70a =所以，当时，有；当时，， 17n ≤≤0n a ≥8n ≥0n a <所以，使前项和取得最大值的正整数的值是6或7. n n S n 又，且，()113137131302a a S a +===1312130S S a =+=所以，所以使前项和的正整数的最大值是12.12130S a =->n 0n S >n故答案为：6或7；12.五、填空题15．若对任意的、，且，，则的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-m _______________________．【答案】1e【分析】分析出函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调递减区()ln 2x f x x+=(),m +∞()f x 间，即可求得实数的最小值.m 【详解】对任意的、，且，，易知，1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-0m ≥则，所以，，即， 122121ln ln 22x x x x x x -<-()()1221ln 2ln 2x x x x +<+1212ln 2ln 2x x x x ++>令，则函数在上为减函数， ()ln 2x f x x+=()f x (),m +∞因为，由，可得，()2ln 1x f x x +'=-()0f x '<1x e >所以函数的单调递减区间为，()f x 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，，所以，，因此，实数的最小值为.()1,,m e ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭1m e ≥m 1e 故答案为：.1e16．球的内接正四面体中，、分别为、上的点，过作平面，使得O A BCD -P Q AC AD PQ αAB 、与平行，且、到的距离分别为2，3，则球被平面所截得的圆面的面积是CD αAB CD αO α______. 【答案】37π2【分析】先将正四面体放到一个正方体中，结合面面平行证明上下底面和平面平行，将距离都转α移到线段上，得正方体的棱长，再利用球心到截面的距离求截面圆的半径，最后计算面积即21O O 可.【详解】将正四面体放到一个正方体中，如图所示，球O 是正四面体的外接球，A BCD -A BCD -也是正方体的外接球.依题意，设平面交BC 于R ，α因为平面，平面与平面交于，平面，所以， //AB αABC αRP AB ⊂ABC //AB RP 又平面，平面与平面交于，平面，所以，//CD αACD αPQ PQ ⊂ACD //CD PQ如图，连接，与AB 交于上底面中心，易知，所以，11C D 2O 11//C D CD 11//C D PQ 平面，平面，故平面，又平面，，平面PQ ⊂α11C D ⊄α11//C D α//AB α112C D AB O = 11C D ⊂，平面，11AC BD AB ⊂11AC BD 故上底面平面，同理可证下底面也平行平面.11//AC BD αα连接上下底面中心，交平面于S ，因为AB 、CD 到的距离分别为2，3， 21O O αα则，则正方形棱长为，正方体的体对角线， 212,3O S SO ==21235O O =+=即球的直径为， 2R =R =球О被平面所截得的圆的半径为r ，α则截面圆圆心为S ，到球心的距离， 2251222d SO O O O S ==-=-=故 r ===故面积.2237πππ2S r ==⨯=故答案为：. 37π2六、解答题17．将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中，试问. (1)一共有多少种不同的放法？ (2)恰有1个空盒的放法有多少种？ 【答案】(1)3125 (2)1200【分析】（1）把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有种放法，余下的2,3,4,5号小球也各有5种放法，根据分步计数原理得到结果；（2）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1,1,1,2.先将5个球分为4组，从5个盒子中选出4个，然后进行全排列即可求解.【详解】（1）将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中， 每个球有5种放法，则5个球有种不同的放法；55555553125⨯⨯⨯⨯==（2）①将5个球分为4组，有种分组方法，25C 10=②恰有1个空盒，则有且仅有2个球进了同一个盒子，在5个盒子中任选4个，放入四组球，有种情况，则共计种不同的放法．4454C A 120=101201200⨯=18．在二项式中，有.()()150,0,0,0m nax bx a b m n +>>≠≠20m n +=(1)求二项式的展开式的常数项；()15m n ax bx +(2)若它的展开式中，常数项是其各项系数最大的项，求的取值范围. ab【答案】(1)5105615C T a b =(2) 51135a b ≤≤【分析】（1）求出通项，由以及，()1515115C m r nr rr r r T a b x -+-+=(15)0m r nr -+=20,0,0m n m n +=≠≠即可求出答案；（2）由只有常数项为最大项且，可得，解不等式即可. 0,0a b >>51054114151551056961515C C C C a b a b a b a b ⎧≥⎨≥⎩ ①②【详解】（1）设为常数项，()15151511515C ()()C m r nr r m r n r rr r r Tax bx a b x -+--+=⋅=则有，即，所以，常数项为第项，(15)0m r nr -+=(15)20m r mr --==5r 6且.5105615C T a b =（2）因为展开式中，常数项是其各项系数最大的项， 所以第6项是系数最大的项，所以有 51054114151551056961515C C C C a b a b a b a b ⎧≥⎨≥⎩ ①②由①得，所以，1514131211151413125432432b a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯115a b ≤由②得，所以，1514131211151413121110543265432a b ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯53a b ≥所以.51135a b ≤≤19．设数列满足，，且对任意，函数{}n a 12a =3516a a +=N n *∈满足.()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.122n n n a b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭{}n b n n S 【答案】(1)2n a n =(2)()2212134n n n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出，根据，即可推得，所以是等差数列.然后()f x 'π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭122n n n a a a ++=+{}n a 由已知求得，即可得出数列的通项公式； 2d ={}n a （2）由（1）可推得，根据分组求和，分别求出等差数列以及等比数列的前项和，即244n n b n =+n 可求得答案.【详解】（1）因为， 1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅所以，1212()sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅所以，12112π202n n n n n n n f a a a a a a a +++++⎛⎫'=-+-=-+ ⎪⎝=⎭所以，， 122n n n a a a ++=+所以是等差数列. {}n a 又，，12a =48a =所以，所以， 4136a a d -==2d =所以.1(1)2(1)22n a a n d n n =+-=+-=（2）因为， 21122224224nn n a n n b a n n ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 122224424444n n S n =++⨯++++ ()21114122444n n ⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪⎝⎭11144(1)421214n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=⨯+⨯-()2212134n n n ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭20．如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC ABC A 1A AC △D 是的中点．AB（1）求证：平面； 1//BC 1A DC （2）求二面角的余弦值． 11A DC C --【答案】（1）证明见解析；（2）. 1113【解析】（1）首先证明，进一步得出结论.1//DE BC （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，首先正确求出两个平面的法向量，进一步求出二面角．【详解】（1）如图，连接，交于点，连接，1AC 1AC E DE由于四边形是平行四边形，所以是的中点．11A ACC E 1AC因为是的中点，所以． D AB 1//DE BC 因为平面，平面， DE ⊂1A DC 1BC ⊄1A DC 所以平面．1//BC 1A DC （2）如图，取的中点，连接，，AC O 1AOBO根据和都是正三角形，得，．ABC A 1A AC △1A O AC ⊥BO AC ⊥又平面平面，平面平面，所以平面，于是11A ACC ⊥ABC 11A ACC ⋂ABC AC =1A O ⊥ABC ．1A O BO ⊥以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标O OB OC 1OAx y z 系．设，则，，，．2AC=(1A ()0,1,0C 1,02D ⎫-⎪⎪⎭(10,C 所以，，．3,02CD ⎫=-⎪⎪⎭11,2A D =-152DC ⎛= ⎝ 设平面的法向量为，则，即，令，则1A DC (),,m x y z = 100m CD m A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302102y y -=-=3x =，，所以．y 1z=()m = 设平面的法向量，则，即，令，则1DCC (),,n a b c = 100n CD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302502b b -=⎪+=⎪⎩3a=b =，，所以．1c =-()1n =-设二面角的大小为，由图易知为锐角， 11A DC C --θθ则，11cos 13m n m n θ⋅==⋅因此二面角的余弦值为． 11A DC C --1113【点睛】本题是综合性题目，属于课堂学习情境和探索创新情境，具体是数学推理学习情境和数学探究情境，本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．解题关键 （1）证明线面平行的关键是找到线线平行，而线线平行常常借助三角形的中位线定理来证明．（2）利用向量法求二面角的大小，关键是建立合适的空间直角坐标系，然后正确求出两个平面的法向量．21．已知椭圆，上顶点和右顶点分别是，椭圆上有两个动点，且2222:1x y E a b +=()0a b >>,A B ,C D .如图所示，已知，且离心率//CD AB()0,2A e =(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形面积的最大值；并试探究直线与的斜率之积是否为定值若为定值，请ABCD AD BC ?求出该定值；否则，请说明理由. 【答案】(1) 221164x y +=(2)16；是定值， 14【分析】（1）由已知可求得，根据离心率得出，代入，即可求得的2b =c =222a b c =+2a 值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，根据，求得，利用弦长公CD12y x t =-+0∆>2t -<<，求得与间的距离为//CD AB ABCD d ，令，得到，结合三角函数的性(()22St =-t θ=4cos )8sin cos S θθθθ=+--质，求得时，四边形面积最大值为，进而证得为定值.2t =-ABCD 16AD BC k k【详解】（1）解：因为，可得，又因为又，()0,2A 2b=c e a ==c =又由，所以，所以，222a b c =+22344a a =+216a =所以椭圆的标准方程为. 221164x y +=（2）解：由（1）知，，所以，所以，4a =(4,0)B 12AB k =-设直线的方程为，设，，CD 12y x t =-+(2)t <()11,D x y 22(,)C x y 联立直线与椭圆的方程，整理得，CD 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩222280x tx t -+-= 由，解得2244(28)0t t ∆=-->t -<<又由，所以，且，，2t <2t -<<122x x t +=21228x xt =-直线方程为，所以 AB 240x y +-=||AB =因为，直线的方程为， //CD ABCD 220x y t +-=所以直线与之间的距离为ABCD d所以四边形的面积，ABCD (()1222St ⎡=-⎣令，，则，t θ=ππ4θ<<4cos )8sin cos S θθθθ=+--令，则，πsin cos 4m θθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22442S m m ⎛=+=-⎝(0m <≤故当时，四边形面积最大值为，m 2t =-ABCD 16又因为，，122x x t +=21228x x t =-所以 2212211212*********11442222(2)222(4)4442AD BCt t x t x t x t t x t y y k kx x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+--++-+-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭====----，21214122844t x t x --==--故直线与的斜率之积是定值，且定值为． AD BC 14【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到k k 0(),F x y =关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；k ,x y 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22．已知函数.()()1ln f x ax x x =--()a ∈R (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 3a =()y f x =()()1,1f (2)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. ()()()122g x f x x ax =+-a 【答案】(1) 220x y --=(2) (2,)+∞【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义求得切线的斜率，即可写出3a =()163f x x x '=--直线的方程；（2）由已知可得.根据的取值范围，分类讨论得出的单调性，研()()211ln 2x g ax a x x =---a ()g x 究函数的极值与0的关系，即可得出答案.【详解】（1）当时，，所以，3a =2()33ln f x x x x =--()163f x x x'=--根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率，又，所()y f x =()()1,1f ()12k f '==(1)0f =以所求切线方程为，即． 2(1)y x =-220x y --=（2）由已知可得，定义域()()()22112ln 22g x f x x ax ax ax x x ax =+-=--+-()211ln 2ax a x x =---为，()0,∞+且. ()()()()()2111111ax a x ax x g x ax a x x x---+-'=---==当时，0a >由，得，所以在上单调递减； ()0g x '<(0,1)x ∈()g x ()0,1由，得，所以在上单调递增.()0g x '>(1,)x ∈+∞()g x ()1,+∞所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.()g x 1x =()1112a g =-+要使有两个不同的零点，则必有，即，所以.()g x ()10g <1102a -+<2a >因为，()()2221ln 22ln 20g a a =---=->根据零点存在定理可知，，使得，且在上没有零点. ()11,2x ∃∈()10g x =()g x [)2,+∞因为， ()()212ln 2g x a x x x x =-+-当时，有，所以.(0,1)x ∈()222110x x x -+=->221x x ->-又，所以，()2220x x x x -=-<2120x x -<-<所以， ()1ln 2g x a x x >-+-所以. 111122221e e ln e e 02a a a a g a ----⎛⎫⎛⎫-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞因为，所以有，0a >1020<e e 1a -<=根据零点存在定理可知，，使得，且在上没有零点. 122e ,1x -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()20g x =()g x 120,e a -⎛⎤ ⎥⎝⎦综上所述，在区间以及内各有一个零点，在以及上没有零点，所()g x 12e ,1a -⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2120,e a -⎛⎤ ⎥⎝⎦[)2,+∞以有两个零点，故满足题意；()g x 2a >当时，，. 0a =()ln g x x x =-()111x g x x x-'=-=当时，，所以在上单调递减；01x <<()0g x '<()g x ()0,1当时，，所以在上单调递增.1x >()0g x '>()g x ()1,+∞所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，()g x 1x =()110g =>所以，此时无零点；()()11g x g ≥=()g x 当时，因为恒成立，1a =-()()210x g x x -'=-≤所以在区间内单调递减，()g x (0,)+∞所以至多有一个零点，不符合题意；()g x 当时，有， 10a -<<11a->因为当时，， ()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ ()()101a a g x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭+-='<所以在区间内单调递减，在区间内单调递减； ()g x ()0,11,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，，所以在区间内单调递增. 11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以在处取得唯一极小值，， ()g x 1x =()11102g a =->所以在上无零点. ()g x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为在内单调递减，所以在上至多有一个零点. ()g x 1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()g x 1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，至多有一个零点，不符合题意；()g x 当时，因为当时，， 1a <-()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ ()0g x '<所以在区间内单调递减，在区间内单调递减； ()g x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x ()1,+∞当时，，所以在区间内单调递增. 1,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以在处取得唯一极小值，， ()g x 1x a =-()()111111ln 1ln 022g a a a a a a a ⎛⎫⎛-=+---=-+⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝>⎭所以在上无零点.()g x ()0,1又在区间内单调递减，所以在区间内至多有一个零点. ()g x ()1,+∞()g x ()1,+∞所以至多有一个零点，不符合题意．()g x 综上所述，的取值范围是． a (2,)+∞。
武汉理工大学高起本高等数学(下)阶段作业一标准答案
1-10英语写法The English language is a rich and diverse means of communication that has evolved over centuries. From the simple counting of one to ten, the English language offers a wide range of numerical expressions that convey meaning and nuance. Understanding the written form of these numbers is an essential building block for any student of the language.The number one is expressed as "one" in English. This simple monosyllabic word is derived from the Old English "an" and the Proto-Germanic "*ainaz," ultimately tracing back to the Proto-Indo-European root "*oinos." The word "one" conveys the concept of a single, individual unit, and is a fundamental building block of numerical systems.Moving to the number two, the English word is "two." This too is a monosyllabic word, derived from the Old English "twā" and the Proto-Germanic "*twai." The Proto-Indo-European root is "*dwo," reflecting the binary nature of this number. "Two" represents the idea of a pair, of duality, and is a crucial component of counting andquantifying.The number three is expressed as "three" in English. This word derives from the Old English "thrēo" and the Proto-Germanic "*þrīz," with the Proto-Indo-European root being "*tréyes." The word "three" conveys the concept of a triad, a trinity, or a set of three elements. It is a pivotal number in many cultural and religious traditions.The number four is written as "four" in English. This word originates from the Old English "fēower" and the Proto-Germanic "*fedwōr," with the Proto-Indo-European root being "*kwetwóres." The word "four" represents the idea of a quadrant, a set of four elements, and is a fundamental building block of many mathematical and spatial concepts.Moving to the number five, the English word is "five." This word derives from the Old English "fīf" and the Proto-Germanic "*fimf," with the Proto-Indo-European root being "*pénkwe." The word "five" conveys the concept of a quintuple, a set of five elements, and is a significant number in many cultural and numerical systems.The number six is expressed as "six" in English. This word originates from the Old English "siex" and the Proto-Germanic "*sehss," with the Proto-Indo-European root being "*swéḱs." The word "six" represents the idea of a hexad, a set of six elements, and is animportant number in various mathematical and geometric contexts.The number seven is written as "seven" in English. This word derives from the Old English "seofon" and the Proto-Germanic "*sebun," with the Proto-Indo-European root being "*septḿ." The word "seven" conveys the concept of a heptad, a set of seven elements, and is a significant number in numerous cultural, religious, and mythological traditions.The number eight is expressed as "eight" in English. This word originates from the Old English "eahta" and the Proto-Germanic "*ahtau," with the Proto-Indo-European root being "*oḱtṓ." The word "eight" represents the idea of an octad, a set of eight elements, and is an important number in various mathematical and scientific contexts.The number nine is written as "nine" in English. This word derives from the Old English "nīgan" and the Proto-Germanic "*newn," with the Proto-Indo-European root being "*newṃ." The word "nine" conveys the concept of a ennead, a set of nine elements, and is a significant number in numerous cultural and numerical systems.Finally, the number ten is expressed as "ten" in English. This word originates from the Old English "tēn" and the Proto-Germanic"*tehun," with the Proto-Indo-European root being "*déḱm̥." Theword "ten" represents the idea of a decad, a set of ten elements, and is a fundamental building block of the decimal numerical system that is widely used throughout the world.Understanding the written forms of these numbers from one to ten is crucial for any student of the English language. These basic numerical expressions not only serve as the foundation for counting and quantifying, but also hold deeper cultural and symbolic significance in various contexts. Mastering the written forms of these numbers is an essential step in developing proficiency in the English language.。
2023-2024学年湖北省武汉高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省武汉高二下学期期中数学模拟试题一、单选题1．若f ′(x 0)＝2-，则0lim x ∆→00()()f x f x x x-+∆∆等于（）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【正确答案】D【分析】利用导数的定义求解,【详解】解：因为f ′(x 0)＝2-，所以0lim x ∆→00()()f x f x x x-+∆∆Δ0limx →=-000()()()2f x x f x f x x+∆-'=-=∆，故选：D2．()412x -的展开式中二项式系数和为（）A ．24-B ．24C ．16-D ．16【正确答案】D【分析】由二项式系数的性质求解.【详解】()412x -的展开式中二项式系数和为01234444444C C C C C 216++++==.故选：D3．在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4913f x x x x =++-的极值点，则5a =A ．4-B ．3-C ．3D ．4【正确答案】B 【详解】∵()3214913f x x x x =++-，∴由()2890f x x x =++='可知379a a ⋅=，378a a +=-∵等比数列中3527a a a =⋅且30a <∴53a =-，故选B.4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【正确答案】C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.5．已知随机变量X 的分布列如下表，若()1E X =，()212D X +=，则p =（）X0a2P12p -12pA ．13B ．14C ．15D ．16【正确答案】B【分析】根据期望和方差运算公式得到方程组，求出p 的值.【详解】由题意得，()1102122E X p a p ⎛⎫=⨯-+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，∴212ap +=，①由方差的性质知，()()214D X D X +=，又()212D X +=，∴()12D X =，∴()()()()22211101121222D X p a p ⎛⎫=-⨯-+-⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，即2210a a -+=，所以1a =．将1a =代入①式，得14p =．故选：B ．6．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得ln y x =在1x =处的切线方程为1y x =-，再把 1.01x =代入切线方程，即得ln1.010.01≈，类比上述方式，则≈（）．A ．1.00025B ．1.00005C ．1.0025D ．10005【正确答案】A【分析】根据题意，设()x f x e =，求出切线，以直代曲计算即可.【详解】设()x f x e =，可得()e x f x '=，(0)1,(0)1f f '==，曲线e x y =在点(0,1)处的切线对应的函数为()1y g x x ==+，因为14000与0之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计算，14000111e1 1.00025400040004000f g ⎛⎫⎛⎫==≈=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A ．60种B ．78种C ．84种D ．144种【正确答案】B【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C C A 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种，故选：B.8．π和e 是数学上两个神奇的无理数．π产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行π的计算．而当涉及到增长时，e 就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e ．已知π3e a -=，ln(eπ2e)b =-，2π5π2c -=-，π2d =-，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．c b d a <<<B ．c d b a<<<C ．d c a b<<<D ．b c a d<<<【正确答案】A【分析】根据给定条件，构造函数11()e ,()ln 1,()ln 1,1x f x x g x x x h x x x x-=-=-+=+->，利用导数探讨单调性，赋值比较大小作答.【详解】依题意，π3(π2)1e e a ---==，ln(π2)1b =-+，12π2c =--，令函数1()e ,1x f x x x -=->，求导得1()e 10x f x -'=->，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0f x f >=，即1e x x ->，而π21->，因此π3e π2->-，即a d >；令函数()ln 1,1g x x x x =-+>，求导得1()10g x x'=-<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，则当1x >时，()(1)0g x g <=，即ln 1x x +<，因此2ln(e ln(π2e)π2)1π-=-+<-，即d b >；令函数1()ln 1,1h x x x x =+->，求导得22111()0x h x x x x-=-=>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0h x h >=，即11ln 1ln 12x x x x>-⇔+>-，因此2l 1n(12π5π2e ln(2e)π2)2ππ--=-+>-=--，即b c >，所以c b d a <<<.故选：A 二、多选题9．已知首项为1-的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且7889,S S S S ><，则（）A ．1187d <<B ．105S S >C ．()8min n S S =D ．150S >【正确答案】AC【分析】由8879980,0a S S a S S =-<=->得出d 的范围，判断A ；作差结合等差数列的性质判断B ；根据数列{}n a 的单调性，判断C ；由求和公式结合性质判断D.【详解】对于A ：因为7889,S S S S ><，所以8879980,0a S S a S S =-<=->，则89170180a d a d =-+<⎧⎨=-+>⎩，解得1187d <<，故A 正确；对于B ：105678910850S S a a a a a a -=++++=<，则105S S <，故B 错误；对于C ：因为0d >，所以数列{}n a 为递增数列，因为10a <，890,0,a a <>，即数列{}n a 的前8项为负数，从第9项开始，都为正数，则()8min n S S =，故C 正确；对于D ：()115158151502a a S a +==<，故D 错误；故选：AC10．若()102100121021,R x a a x a x a x x -=++++∈ ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a +++= C ．100210132a a a -+++=D ．31012231012222a a a a ++++=- 【正确答案】ABD【分析】根据二项式展开式的系数特点，结合通项公式，采用赋值法，一一求解各个选项，即得答案.【详解】由题意1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，所以8282310C (2)(1)180T x x =-=，所以2180a =，故A 正确．令=1x -，则1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，即为1021001210(21)||||||||x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，得1001210||||||||3a a a a ++++= ，故B 正确；对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得012101a a a a ++++= ，令=1x -，得：10012103a a a a -+-+= ，两式相加再除以2可得100210132a a a ++++= ，故C 错误.对于1021001210(21)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =，得01a =，令12x =，得310120231002222a a a a a +++++= ，故31012231012222a a a a ++++=- ，故D 正确，故选：ABD11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A ．()25P B =B ．()1511P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥【正确答案】BD【分析】A 选项，利用独立事件和互斥事件概率公式计算出()P B ；B 选项，根据条件概率计算公式计算出()1511P B A =；C 选项，根据()()()11B P P A B P A ≠⋅得到C 错误；D 选项，由互斥事件的概念进行判断.【详解】A 选项，()154151010122P A B +=⨯=+，()22441010155P A B =⨯=+，()33461010155P A B =⨯=+，故()()()()123546922555522P B P A B P A B P A B =++=++=，A 错误；B 选项，()151102P A ==，故()()()11155221112P A B P B A P A ===，B 正确；C 选项，因为()()119922244P A P B =⨯=⋅，故()()()11B P P A B P A ≠⋅，所以事件B 与事件1A 不相互独立，C 错误；D 选项，因为()()()1213230A A A A P P A P A === ，故1A 、2A 、3A 两两互斥，D 正确.故选：BD12．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为()01p p ≤≤，实际比赛局数的期望值记为()f p ，则下列说法中正确的是（）A ．三局就结束比赛的概率为()331p p +-B ．()f p 的常数项为3C ．函数()f p 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．13328f ⎛⎫=⎪⎝⎭【正确答案】ABD【分析】设实际比赛局数为X ，先计算出X 可能取值的概率，即可判断A 选项；进而求出期望值()f p ，即可判断BCD 选项.【详解】设实际比赛局数为X ，则X 的可能取值为3,4,5，所以()()3331P X p p ==+-，()()()3131334C 1C 1P X p p p p ==-+-，()()22245C 1P X p p ==-，因此三局就结束比赛的概率为()331p p +-，则A 正确；故()()()()()332313122334314C 1C 15C 1f p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦432612333p p p p =-+++，由()03f =知常数项为3，故B 正确；由111133361232168428f ⎛⎫=⨯-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确；由()()()322243663321441f p p p p p p p =-++=---'，01p ≤≤ ，所以22441(21)20p p p --=--<，∴令()0f p '>，则102p ≤<；令()0f p '<，则112p <≤，则函数()f p 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则C 不正确.故选：ABD.三、填空题13．5555除以8，所得余数为_______.【正确答案】7【分析】由55561=-，运用二项式定理，结合整除的性质，即可求解.【详解】依题意，()()()()()()5512545555055154253541550555555555555561C 561C 561C 561C 561C 561=-=-+-+-++-+-因为56能被8整除，所以5555除以8，所得的余数为.187-+=故7.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为_________．【正确答案】3【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式及性质计算，再结合等比数列的前n 项和公式计算作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则19959()9182a a S a +===-，即有552b a ==-，11313713()13522a a S a +===-，即有774b a ==-，令等比数列{}n b 的公比为q ，则2752b q b ==，所以414242212(1)1113(1)11b q T q qq b q T qq---===+=---.故315．如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A ，B ，C ，D ，E 染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有______________种不同的染色方法．【正确答案】420【分析】根据分类分步计数原理，分用3，4，5种颜色染色的方法分步计算，再求和即可.【详解】选择3种颜色，则B ，D 同色，且C ，E 同色，共35A 60=种情况；选择4种颜色，则B ，D 同色，或C ，E 同色，共452A 240⨯=种情况；选择5种颜色，共55A 120=种情况；故共有60240120420++=种情况.故42016．已知函数()ln ,()ln(1)x f x a a g x a x ==-，其中0a >且1a ≠．若函数()()()h x f x g x =-为单调函数，则实数a 的取值范围为_______________．【正确答案】)ee ,1-⎡⎣【分析】若()h x 单调递增，则()0h x '≥，即()2110ln mma m x a≥=->，0m y ma =→，不满足；若()h x 单调递减，则()0h x '≤，进而可得()2max1ln mma a≤，对m y ma =求导分析单调性，求出最大值，即可得出答案.【详解】由题意()()ln ln 1x h x a a a x =--，()2ln 1x a h x a a x =--'.若函数()h x 单调递增，则()0h x '≥，所以2ln 1x a a a x ≥-，即()1211ln x x a a--≥，所以()()2min110ln mmam x a≥=->，又0m →时，0m y ma =→，不满足；若函数()h x 单调递减，则()0h x '≤，所以2ln 1x a a a x ≤-，即()1211ln x x a a--≤，所以()()2max110ln mmam x a≤=->，考查m y ma =，()10m x =->.当1a >时，m ma ∞→+，不满足()()2max110ln mma m x a≤=->；当1a <时，ln 0a <，令()1ln 0my m a a ='+=有1ln m a =-，当10,ln m a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时0'>y ，my ma =单调递增；当1,ln m a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时0'<y ，m y ma =单调递减.故()1ln max 1ln ma ma a a -=-，则1ln 211ln ln a a a a --≤，即1ln 1ln a a a -≤-，即1ln 1ln ln ln a a a -⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则11ln ln ln ln a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11ln ln a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，即11ln e a -≥，解得e e a -≥.综上有)ee ,1a -⎡∈⎣.故)ee ,1-⎡⎣四、解答题17．某新闻部门共有A 、B 、C 、D 、E 、F 六人．(1)由于两会召开，部门准备在接下来的六天每天安排1人加班，每人只被安排1次，若A 不能安排在第一天，B 不能安排在最后一天，则不同的安排方法共有多少种？(2)该部门被评为优秀宣传组，六人合影留念，分前后两排每排3人对齐站立，要求后排的3个人每人都比自己前面的人身高要高，则不同的站法共有多少种？（六人身高均不相同）【正确答案】(1)504(2)90【分析】（1）按照A 安排在最后一天和不在最后一天进行分类，利用排列组合、计数原理求解；（2）将前后2人看成一组，可看成3个不同位置，分别取出2人排在3个位置，利用组合知识求解.【详解】（1）分两类完成，第一类A 安排在最后一天，则有55A 种.第二类，除,A B 外选一人安排在最后一天，再从除A 外剩余的4人选一人排在第一天，剩余的4人排在剩余的4个位置上，故有114444C C A ⋅⋅种.根据分类加法计数原理可得，不同的安排方法共有45511444A 4C C A 50⋅⋅+=种.（2）将前后2人看成一组，可看成3个不同位置，分别取出2人排在3个位置，两人顺序确定（高在后，矮在前），所以不同的站法共有222642C C C 90⋅⋅=种.18．在n⎫⎪⎭的展开式中，前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中的所有有理项．【正确答案】(1)6561256(2)4x ，358x ，21256x -【分析】（1）先根据展开式中，前三项系数成等差数列计算n ，再代入1x =可得展开式中所有项的系数之和.（2）因通项为1634181C 2kk k k T x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，故k 取0、4、8时为有理项.【详解】（1）由题意，通项为23411CC 2kkn kn kkk k nn T x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭，由题意121021112C C C 222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得8n =或1n =（舍去）令1x =，得86561256=，故展开式中所有项的系数之和为6561256（2）由（1）知，1634181C 2kk k k T x-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当k 取0、4、8时为有理项，当0k =时，0044181C 2T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当4k =时，4458135C 28T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当8k =时，88229811C 2256T x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，故展开式中的所有有理项为4x ，358x 和21256x -.19．设函数()ln 1,()2,f x x g x ax a =+=+∈R ，记()()()F x f x g x =-．(1)求函数()F x 的单调区间；(2)若函数()ln 1f x x =+的图象恒在函数()2g x ax =+的图象的下方，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)当0a ≤时，则()F x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，则()F x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a +∞.(2)21(,)e+∞【分析】（1）求出()F x 的导数，讨论参数a 的范围，根据()F x '的符号，写出单调区间；（2）将函数图象的位置关系转化为函数的最值问题，根据（1）中的单调区间，求函数的最值即可.【详解】（1）()()()ln 1F x f x g x x ax =-=--，1()F x a x '=-，当0a ≤时，1()0F x a x '=->，则()F x 在(0,)+∞上为增函数；当0a >时，1()0F x a x '=-=，即1x a=，()0F x '>，则10x a <<；()0F x '<，则1x a >.则()F x 在1(0,a 上为增函数，1(,)a +∞上为减函数.综上所述，当0a ≤时，则()F x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，则()F x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a +∞.（2）函数()ln 1f x x =+的图象恒在()2g x ax =+的图象的下方，即()()()ln 10F x f x g x x ax =-=--<恒成立；由（1）知，当0a ≤时，则()F x 在(0,)+∞上为增函数，此时()F x 无最大值，并且(e)e 0F a =-≥，不合题意；当0a >时，()F x 在1(0,)a 上为增函数，1(,)a +∞上为减函数.所以max 1()()ln 20F x F a a ==--<，故21ea >；即实数a 的取值范围是21(,)e +∞关键点睛：解决问题（2）时，关键在于将不等式的恒成立问题，转化为最值问题，利用导数得出实数a 的取值范围.20．学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积2-分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢的概率为35，乙赢的概率为25，比赛共进行两轮，在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值．【正确答案】(1)109198(2)分布列见解析，均值为0【分析】（1）设1A =“抽到第一袋”，2A =“抽到第二袋”，B ＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；（2）（i ）X 的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii ）Y 的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值；【详解】（1）设1A =“抽到第一袋”，2A =“抽到第二袋”，B ＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”()()1212P A P A ==()1154129C C 205C 369P B A ===()11652211C C 6C 11P B A ==由全概率公式得()()()()()1122151610929211198P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=（2）设在一轮比赛中得分为X ，则X 的可能取值为－2，0，2，则()3262115525P X ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭()323213011555525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()32625525P X ==⨯=设在二轮比赛中得分为Y ，则Y 的可能取值为－4，－2，0，2，4，则()663642525625P Y =-=⨯=()613136156225252525625Y P =-=⨯+⨯=()661313662410252525252525625P Y ==⨯+⨯+⨯=()613136156252525252625Y P ==⨯+⨯=()663642525625P Y ==⨯=得分为Y 的分布列用表格表示为Y －4－2024P 3662515662524162515662536625()()()3615624115636420240625625625625625E Y =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n c 满足()111*1n n c n a n n ⎛⎫=--∈ ⎪+⎝⎭N ，若对任意*n ∈N ，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()120n c c c f x a +++≤-L 成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()2,N *n n a n =∈(2)91,80⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）由n S 与n a 的关系结合累乘法得出数列{}n a 的通项公式；（2）令n M 为数列{}n c 的前n 项和，由裂项相消法以及公式法得出1112n n M n =-+，由4n M M ≤以及()22f x a x a -=--的最大值得出实数a 的取值范围．【详解】（1）点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上，可得22n n S a =-.当1n =时，111122,2a S a a ==-=.当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，整理得12n n a a -=，即112123322112n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------⋅⋅==⋅⋅⋅ ，2n n a =，对1n =也成立.即()2,N *n n a n =∈.（2）由11121n n c n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，可令n M 为数列{}n c 的前n 项和.可得1111111112422231n n M n n ⎛⎫⎛⎫=++⋯+--+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 111111*********n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=- ⎪++⎝⎭-.由12340,0,0,0c c c c =>>>，当5n ≥时，2(1)n n n >+，下面用数学归纳法证明：当5n =时，525(51)>+成立.①假设n k =时，2(1)k k k >+成立.那么1n k =+时，122(1)k k k +>+，2(1)(1)(2)(1)(22)0k k k k k k +-++=+->则()12(1)(1)1k k k +>+++，即1n k =+时也成立.②由①②可得，当5n ≥时，2(1)n n n >+，即有0n c <.可得4111151680n M M ≤=-=，又11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()22f x a x a -=--的最大值为1a --，对任意*n ∈N ，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，使得()120n c c c f x a +++≤-L 成立，则11180a --≥，解得9180a ≤-.即实数a 的取值范围是91,80⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.关键点睛：解决问题（2）时，关键是利用裂项相消求和法得出1112n n M n =-+，再结合不等式的能成立问题，得出实数a 的取值范围.22．已知函数()()()2212ln R f x x a x a x a =-++∈.(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有极大值，试确定a 的取值范围；(3)若存在0x 使得()()222000033111ln 224245f x x a x a x a ⎛⎫+-≤-+++ ⎪⎝⎭成立，求a 的值.【正确答案】(1)50y +=(2)()()0,11,+∞ (3)15a =【分析】（1）利用导数的几何意义，求曲线的切线方程；（2）首先求函数的导数，()()()21x x a f x x--='，再讨论a ，判断函数的单调性，讨论函数的极值；（3）不等式转化为()()220042ln 25x a x a -+-≤，利用两点间的距离的几何意义，转化为点到直线的距离，求a 的值.【详解】（1）当2a =时，()264ln f x x x x =-+，依题意，()426f x x x=-+'，可得()12640f =-+='，又()15f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为50y +=.（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+()()()()212221x x a a f x x a x x--=-++='，①当1a =时，()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，此时()f x 无极大值；②当1a >时，令()0f x ¢>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<，所以()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减，此时()f x 在1x =处取得极大值，符合题意；③当01a <<时，令()0f x ¢>，解得0x a <<或1x >，令()0f x '<，解得1<<a x ，所以()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减，此时()f x 在x a =处取得极大值，符合题意；④当0a ≤时，令()0f x ¢>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，此时()f x 无极大值；综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞ .（3）()()222000033111ln 224245f x x a a x a ⎛⎫+-≤-+++ ⎪⎝⎭()()220042ln 2.5x a x a ⇔-+-≤22()(2ln 2)x a x a -+-可以看作是动点(),2ln P x x 与动点(),2Q a a 之间距离的平方，动点P 在函数2ln y x =的图象上，Q 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2ln y x =得，22y x'==，解得1x =，所以曲线上点()1,0P 到直线2y x =的距离最小，最小距离d =则224()(2ln 2)5x a x a -+-≥，根据题意，要使()()220042ln 25x a x a -+-≤，则()()220042ln 25x a x a -+-=，此时Q 恰好为垂足，由()2112y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩,可得12,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以15a =.本题考查利用导数研究函数的性质的综合应用的问题，本题的关键是第三问，不等式变形转化为()()220042ln 25x a x a -+-≤，再转化为直线2y x =和函数2ln y x =的图象上点的距离问题.。
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满分
得分
得分
一、选择题（本题共5小题，每小题3分）
1、设 在点 处的偏导数存在，且 ， ，则下面结论正确的是（ ）
（A） 存在（B） 在 处连续
（C） （D） 与 都存在且相等
2、直线 与平面 的关系为( )
(A) 在 上(B) 平行于平面 但不在平面 上
(C) (D) 与 斜交
设 是在 内的可微函数，且 其中 ，任取实数 ，定义
证明：级数 绝对收敛.
1、微分方程 满足条件 的特解为.
2、曲面 上与平面 平行的切平面方程为.
3、若函数 由方程 确定，则 .
4、设有球面 ，则 .
5、已知级数 ， 则 .
得分
三、计算题（本题共6小题，每小题8分）
1、求通过直线 的两个相互垂直的平面 和 ，使其中一个平面
通过点 .
2、设函数 ，其中 有二阶连续偏导数，求 .
…………试卷装订线 ……………… 装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线 …………
得分
四、应用题（本题共2小题，每小题8分）
1.求旋转椭球面 上距离平面 的最远的点和最近的点，并求出最远距离和最近距离.
2.求由曲面 及平面 所围成的质量分布均匀的物体的质心坐标。
得分
五、证明题（本题满分6分）
3、计算二重积分 ，其中 为 ， .
4、计算曲线积分： ，其中 为椭圆 上从点 到点 的弧段.
5、计算曲面积分 ，其中 为 平面上的曲线 绕 轴旋转一周而成，其上法向量与 轴的夹角为锐角。
6、求幂级数 的收敛区间及其和函数 .
…………试卷装订线 ……………… 装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线 …………
…………试卷装订线 ……………… 装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线 …………
姓 名
学 号
专业班级
学院
武汉理工大学考试试卷（A卷）
2014~2015学年2学期高等数学A（下）课程任课教师
80学时，5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%，2015年07月7日
题号
一
二
三
四
五
六
3、曲线 ， ， 在点 处的法平面方程为( )
(A) (B) (C) (D)
4、设 ，其中 是圆域 位于第 象限的部分，则有（C）
(A) (B) (C) (D)
5、设 ，且 ，则级数 ()
(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性根据所给条件不能确定
得分
二、填空题（本题共5小题，每小题3分）