第十三章 函数项级数
函数列与函数项级数
法
2021/6/21
n=2y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
2021/6/21
19
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1 2.
0 ，
2021/6/21
7
所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 {xn}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对定义在区间 I 上的函数列{ fn (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { fn (x0 ) } 收 敛，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 收敛， x0 称为函数列{ fn (x) }收敛点；若数列 { fn (x0 ) }发散，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 发散。
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
13第十三章 级数
数 1） 的 n项 之 记 级 （ ） 前 项 和 为Sn ， 即
Sn = u1 + u2 +L+ un +L．
称Sn 为 数 1） 前 n 项 分 ． n 依 取 ， ， ， 级 （） 的 部 和． 和 当 次 1， 3， 2， … ， 得 一 新 数 时 就 到 个 的 列
S1 = u1, S2 = u1 + u2 , L, Sn = u1 + u2 +L+ un , L，
a − aqn a aq − = ， 1− q 1− q 1− q
n
0， 当 q <1时， lim qn = 0，从而 lim Sn =
n→∞ n→∞
a 所以级数（ ） ，所以级数（2） 1− q
a 收敛，其和为 收敛， ； 1− q
没有极限，所以级数（ ） 当 q >1时，lim qn = ∞，从而 lim S 没有极限，所以级数（2）
u1, u2 , L, un , L，
则式子
u + u + L+ u + L
1 2 n
称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数. 称为常数项无穷级数，简称数项级数或级数. 记为 ∑un ，即
∞
∑u =
n=1 n
∞
n=1
u1 + u2 + L+ un +L，
（1）
称为级数的一般项或通项. 其中un 称为级数的一般项或通项.
第13章 13章
13.1 13.2
级数
数项级数及其敛散性 幂级数
13.1
13.1.1 13.1.2 13.1.3 13.1.4 13.1.5
函数列与函数项级数一致收敛性解析
第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。
3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。
(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。
使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。
若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。
高数下册第13章傅里叶级数
1 x sin nx cos nx 0 1 cos nπ 2 n2 π π n n π
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, n 2k 1 1 cos n π an 2 ( k 1 , 2 , ) n π 0, n 2k 1 π 1 0 (1) n1 bn f ( x) sin nx d x x sin nxdx π π π π n ( n 1, 2, ) 1 2 π cos x sin x sin 2 x 2 π 4 1 1 2 2 cos 3x sin 3x sin 4 x 3 3 π 4 1 2 2 cos 5 x sin 5 x 5 π 5 ( x , x (2k 1) π , k 0 , 1 , 2 , ) 0 ( π ) π 说明: 当 x (2k 1) π 时, 级数收敛于 2 2
O
x
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结束
2. 定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
奇延拓
f ( x), x [0, π ]
偶延拓
y
O
y
x
O
x
周期延拓 F (x)
周期延拓 F (x) f (x) 在 [0, ]上展成 余弦级数
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f (x) 在 [0, ] 上展成 正弦级数
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a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1 1 π an f ( x) cos nx d x (n 0 , 1, ) π π 1 π bn f ( x) sin nx d x (n 1, 2 , ) π π
函数项级数知识点总结
函数项级数知识点总结
函数项级数是高等数学中的重要概念，它在微积分、数学分析以及其他数学领域中起着关键作用。
本文将对函数项级数的基本概念、性质以及应用进行总结和介绍。
函数项级数是由一列函数项组成的数列，通常表示为∑₀^∞(an·f_n(x))，其中an是实数或复数，f_n(x)是定义在某个区间上的函数。
在级数中，每一项都是函数项，通过求和操作得到级数的值。
函数项级数的收敛性是其中最重要的性质之一。
对于给定的函数项级数，我们可以通过求部分和序列Sn(x)来讨论其是否收敛。
如果序列Sn(x)收敛于某个函数
S(x)，我们称函数项级数收敛于S(x)。
否则，级数发散。
在函数项级数的收敛性上，我们有一些重要的判别法。
比如，比较判别法可以通过比较级数和已知的收敛级数或发散级数之间的大小关系来判断级数的收敛性。
如果级数的每一项都大于已知的发散级数，那么该级数也发散；如果级数的每一项都小于已知的收敛级数，那么该级数也收敛。
此外，还有比值判别法、积分判别法等常用的判别法。
函数项级数在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们常常利用函数项级数来表示波动现象；在工程学中，函数项级数可以用于电路分析、信号处理等领域。
总结起来，函数项级数是高等数学中的重要概念，包括了收敛性判断和应用等多个方面。
对于学习和应用函数项级数的人来说，熟悉其基本概念和性质是非常重要的。
通过掌握相关的判别法和应用技巧，我们可以更好地理解和解决实际问题。
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
函数项级数的应用
函数项级数的应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将介绍函数项级数的定义及其应用领域，并通过具体例子展示其解决问题的能力。
一、函数项级数的定义函数项级数是指由一系列函数项按特定规律排列而成的级数。
形式上，函数项级数可以表示为：S(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + ...其中，f1(x)，f2(x)，f3(x)等为函数项，x为自变量，S(x)为级数的和。
函数项级数的求和可以通过数列的部分和逐渐逼近的方式进行。
二、函数项级数的应用函数项级数在数学的各个分支以及其他领域中都有着广泛的应用。
以下是函数项级数在实际问题中的几个应用领域。
1. 近似计算函数项级数可以用来近似计算某些复杂函数的值。
例如，我们可以利用泰勒级数来近似计算指数函数、三角函数等。
通过截取级数的前几项，可以得到函数在某个点附近的近似值，从而简化计算过程。
2. 物理问题的建模与求解函数项级数在物理问题的建模与求解中有着广泛的应用。
例如，某个物理问题可以通过级数展开的形式进行描述，进而通过求和得到问题的解析解。
函数项级数的求和性质可以帮助我们解决各种物理问题，如天体力学、电磁场分布等。
3. 信号处理函数项级数在信号处理领域也有着重要的应用。
例如，傅里叶级数是一种将周期信号拆解为基本频率的级数展开形式，通过傅里叶级数可以实现信号的频域分析、滤波和合成等操作。
4. 统计学函数项级数在统计学中也有一定的应用。
例如，通过泊松级数可以描述在给定时间间隔中某个事件发生的概率。
通过控制级数的求和次数，我们可以得到不同精度的概率估计，用于解决统计学问题。
5. 金融学在金融学中，函数项级数常常用于建立金融模型，对金融市场进行预测和分析。
例如，布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于波动率的函数项级数展开，用于计算期权的价格。
三、函数项级数的实例下面通过几个具体的例子来展示函数项级数的应用。
1. 求解三角函数可以将三角函数利用泰勒级数展开，从而实现对三角函数的近似求解。
函数项级数的收敛域与和函数
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(3) 定义3 若{ f n ( x )}在D上收敛,则可确定一个新的 函数f ( x ),x D. 则称f ( x )为函数列{ f n ( x )}的极限函数. 记为: lim f n ( x ) f ( x ), x D或x D, f n ( x ) f ( x ), n n
0,| x | 1 从而 f n ( x ) f ( x) , x (1,1] 1, x 1 fn ( x) f ( x ),(n ), x D 0 0,N N, n0 N , x0 D,有 fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0
1. 函数列的定义: (1) 定义1 设函数f1 ( x ), f 2 ( x ),, f n ( x ),是定义在同 一个数集E上,则称其为E上的函数列. 记为: { f n ( x )}或f n ( x ), n 1,2, 特别地取定x x0 ,则函数列{ f n ( x )}为一个数列 { f n ( x0 )}.
k 1 k 1 1 n n 1
1 un ( x )dx 0[lim u ( x ) ] dx 0 n s k 0[lim n ( x )]dx n k 1 1 n
1
1
n
uk ( x )dx lim [0 uk ( x )dx] [0 un ( x )dx] lim 0 n n n1
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第十三章 函数项级数
选择题
1．设a
x n n =∞∑1()在(a,b)内任何区间（a 1,b 1)(a<a 1<b 1<b)内一致收敛，则在(a,b)内下面哪个
结论是错误的( )
(A)可逐项求导 (B)可逐项求积 (C)极限与求和可交换顺序 (D)级数收敛
2．下列函数列在所示区间D 上不一致收敛的是( ) (A)f x x n
n ()=
+221 D=(-1,1) (B) f x x n x n ()=+122 D=(-∞,+∞) (C)f x n x n ()= D=[0,+∞) (D) f x n x
n ()= D=[0,10] 填空题 1．f x x n n ()= n=1,2,… {f x n ()}在[0,1]上的极限函数是__________
2．⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<-≤≤=110121222102)(22x n n x n x
n n n x x n x f n 的极限函数是________________________ 计算题
1．设S(x)=ne nx -∑ x>0，计算积分⎰3
ln 2ln )(dt t S 2．.判断级数()-+∑11n n
n n x x
(x>0)的敛散性. 证明题
1．证明:函数f(x)=sin nx n
3∑在(-∞,∞)有连续的导函数. (10分) 2．设f 0(x)在[a , b]上连续,定义函数序列f n+1(x)=
f t dt n n a x (),,,,,=⎰012 证明f n (x)在[a , b]上一致收敛. (10分)
3．设f(x)在[121,]上的连续函数,那么当f(x)在[12
1,]有界且 f(1)=0时,{x f x n ()}在[12
,1]上一致收敛. (10 分)
4．设f x nx n x n ()=+122
求证 1)对任给的0<α<1,f x n () 在[α,1] 上一致收敛.
2) f x n ()在(0,1]上不一致收敛 (12分)
5．若在区间I 上,对任何自然数n,|),(|)(x v x u n n ≤证明:当
∑∞=1)(n n x v 在I 上一收敛时级数∑∞=1)(n n
x u 在I 上也一致收敛,且绝对收敛. (11分)
选择题答案
1．C 2．C
填空题答案
1．f x x x ()=≤<=⎧⎨
⎩0011
1 2．f ≡0 计算题答案
1． ne nx -在上连续且一致收敛[ln ,ln ]23
∴它在可逐积分[ln ,ln ]23 (得4分) ∴=⎰⎰∑-=∞s t dt ne dx nx n ()ln ln ln ln 23
23
1 (得6分) =[()()]121311211312
1n n n =∞∑-=-+-= (得8分)
2． 对交错级数()-∑1n
n
由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分) 而x x n
n
1+ 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)
故由阿贝尔判别法知()-∑1n n x x n
n
1+收敛 (得8分) 证明题答案
1．证: (
sin )cos nx n nx n 32'= 而cos nx n n 221≤ (得2分)
由
12n ∑收敛知 ∑'(sin )nx n 3在(-∞+∞,)上一致收敛 (得2分)
而由
sin nx n n 331≤及13n ∑收敛知∑sin nx n 3收敛 (得6分)
∴(
s i n )∑'nx n 3= ∑cos nx n
2 (得8分) 又
cos nx n 2
在(-∞+∞,)上连续 且∑cos nx n 2在(-∞+∞,)上一致收敛 ∴∑cos nx n 2在(-∞+∞,)上连续. (得10分) 2．证: f x 0()在[a , b]上连续. f x m 0()≤ (得3分) 从而 f x m x a m b a 1()()()≤-≤- (得5分) f x m t a dt m b a a x
222()()!
()≤-≤-⎰ (得6分) ∴≤-f x m b a n n n
()()!
(得8分) 又 ()!b a n n
n -=∞
∑1 收敛 . ∴-→→∞lim ()!n n m b a n 0 (得9分) 从而
{}f x n ()一致收敛. (得10分)
3．证明: f x M x f x x f x n n ()lim (),(),≤=≠=⎧⎨⎩→∞
且0111 (得3分) 而f(1)=0,故lim ()n n x f x →∞
=0 (得5分) 又由于f(x)在x=1处连续,故∀>∃>εδ00,.
当1-δε<≤-=<x f x f f x 11时,()()() (得7分)
从而 当x ∈-[,),121δ时x f x M n n ()()-≤-→010δ (得8分)
当 x ∈-[,],11δ时x f x f x n ()()-≤<0ε (得9分)
因此,{}
x f x n ()一致收敛 . (得10分) 4．证明:先求极限函数f(x) ∀∈x (,]01易知lim
n nx n x →∞+=1022 即f(x)=0 (得2分) (1)因为|)()(x f x f n -|=nx n x n n n n n 1112222222+≤+<=ααα (得4分) 对∀>x 0 取 N=[1
2εα] 则当n>N 时
对∀∈x [,]α1 必有| f n (x)-f(x)|≤<1
2n αε
按定义有f n (x) 在[α,1]上一致收敛 (得6分)
(2)因为df x dx n n x n x n ()()()
=-+1122222对每个自然数n,x n =1n 是f n (x) 的唯一极大值点. 因而必是连续函数
)(x f n 在[0,1]的最大值点 (得9分)
显然也是它在(0,1] 的最大值点，所以sup ()()01<≤-x n f x f x =2
1)1()()1(m ax 2210===+≤<n f x f x n nx n n n x 故f n (x)在(0,1]不一致收敛 (得12分)
5．证 先证一致收敛性,对∀ε>0,由
v x n ()∑在I 上一致收敛,存在N(ε),当n>N 时, 对∀自然数p 和x ∈I
v x v x v x n n n p ++++++<12()()() ε (得5分) 于是 u x u x u x u x n n p n n p ++++++≤++11()()()()
≤++<++v x v x n n P 1()() ε (得8分) 对∀自然数p 和x ∈I 成立
即u x I n
()在上一致收敛∑ (得10分) 又u x v x n n ()()∑∑≤<+∞ ∀x ∈I
故
u x I n ∑()在上绝对收敛 (得11分)。