第五讲 数学美学
数的艺术与美学数学在艺术中的应用与表现
数的艺术与美学数学在艺术中的应用与表现数的艺术与美学：数学在艺术中的应用与表现在人类文明的漫长历程中，数学和艺术一直密不可分。
数学作为一门科学，其严密的逻辑和抽象性质常常为人们所熟知，而艺术则以其表现性和独特的审美魅力打动人心。
然而，很少有人能够将数学和艺术完美地结合起来，将其中的美学元素融入艺术的创作和表现之中。
本文将探讨数学在艺术中的应用与表现，从而体现数的艺术与美学。
一、黄金分割：神奇比例的艺术黄金分割是一种至今仍然被广泛应用于艺术领域的比例关系。
这一比例关系源自于数学上的黄金数，即1.6180339887......黄金分割所具有的独特美学价值被广泛应用于建筑、绘画、雕塑等艺术形式之中。
众多艺术家通过黄金分割来平衡作品的结构与比例，使其更加协调、和谐、美观。
在建筑方面，古希腊建筑中的帕特农神庙即采用了黄金分割的原则，使其显得庄严肃穆、平衡稳定。
而在绘画中，众多大师也善于利用黄金分割来布局构图，创造出具有美感和吸引力的作品。
著名画家达·芬奇的《蒙娜丽莎》便是运用黄金分割创作的杰作，她的完美面部比例和表情得益于黄金分割的平衡。
黄金分割不仅在二维艺术中有广泛应用，也在雕塑和立体艺术中得到展现。
著名的古典雕塑家米开朗基罗所创作的《大卫像》充分运用了黄金分割的原则，使得雕塑的比例和身躯线条更加自然流畅，给人以美的享受。
二、对称性：和谐之美的显现对称性是数学与艺术密切相关的另一个方面。
无论是几何图形、建筑设计还是绘画艺术，对称性都能够给作品带来一种和谐、平衡和美感。
几何中的旋转对称和镜像对称等对称性质是表现对称美的常见方式。
例如，著名的亚克百利螺线和法国埃菲尔铁塔的结构都体现了旋转对称。
在绘画作品中，艺术家通过对称性的运用给观者带来一种平衡、和谐的审美体验。
荷兰画家凡·艾克等人创作的静物画常常通过镜像对称来展现物品的美感和平衡感。
此外，对称性还被广泛应用于纹理和模式的设计中。
无论是华丽的印度纹样还是中国传统的窗花花纹，对称性在其中都发挥了重要作用。
数学中的美学探索
数学中的美学探索数学是一门充满美感的学科，它不仅仅是一种工具，更是一门追求真理和美的科学。
数学与其他学科一样，具有自身的美学特征和探索方法。
在本文中，将探讨数学中的美学探索，并从几个方面展开对数学美学的研究。
一、数学的逻辑美学数学是一门严谨的学科，它以逻辑为基础，通过推理和演绎来构建数学体系。
数学中的定理和证明以其精确的逻辑结构和推理过程展现出一种美感。
比如欧几里得几何学中的五大公设以及由这些公设推出的定理，其演绎过程简洁而又精确，呈现出一种纯净而和谐的美。
二、数学的对称美学数学中的对称是一种普遍存在的美学特征。
在代数学中，对称群以及对称性质是研究的重要方向之一。
在几何学中，对称性质与变换密切相关，这些变换包括平移、旋转、镜像等。
对称性在数学中产生一种整体性和和谐感，使得数学结构更具美感。
三、数学的构造美学数学中的构造是一种重要的美学特征。
数学家通过不断的构造和创新，发现新的数学对象和结构。
在代数学中，通过构造群、环、域等代数结构，揭示了数学内在的规律和美。
在几何学中，通过构造各种形状和结构，展示了几何学的多样性和美感。
数学中的构造过程蕴含了数学家的智慧和创造力。
四、数学的博弈美学博弈论作为数学的一个分支，研究了决策和策略的问题。
博弈论中的数学模型和解答，常常涉及到最优策略、均衡点等概念。
博弈论中的数学分析不仅仅满足于解决实际问题，更关注于思维和决策背后的数学美感。
数学在博弈中的应用，扩展了数学的应用领域，同时也丰富了博弈理论的内涵。
五、数学的无穷美学数学中的无穷概念，是数学美学的一个重要方面。
从实数到无理数，再到复数，数学中的无穷概念具有很强的美感。
无穷的大小和无穷的细分，展示了数学的丰富性和无限性。
数学中的无穷概念不仅仅是一个概念，更是一种思维方式和哲学观念，拓展了人们对数学美的理解。
综上所述，数学中的美学探索体现在逻辑美学、对称美学、构造美学、博弈美学和无穷美学等方面。
数学美学既是对数学本身的追求，也是对数学美的探索与赏析。
数学美学欣赏
数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜： 钱币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二 元、五元、十元……就是以可简单的制服任何数目的款项； 简单的这样一个图形：以代表世上一切方形的物体，它给人们简 洁、大方，但它并不仅是为了简洁而简洁，还极大地给人以方便， 给人以联想； 又正如没有人愿把一亿写成l00000000，而要写成l08，把千万 分之一写成1/100000000，而是乐于写成10-7更没有多少人身 上带着几万元甚至几百万的钞票在大街上走来走去，而是带 着一张银行卡，只需记着由0，1，2，……9中几个数字组成 密码就可敲定，就这么几个数字，就这么简单。 化繁为简，化难为简，力求简洁、直观。数学不仅仅是在运算 上，论证也更是如此。数学的公式与公理就是简洁美的最佳证 据之一。
2。 抽
象
美
数学的简洁性在很大的程度上源自数学的抽象性，换句话说： 数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。而对日益 扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是 必不可少的。 “抽象”系指不能具体体验到的，这儿我们所谈的抽象有 两种含义： （1）我们不容易想象（或意想不到）的； （2）我们无法体验到（或与现实较脱节）的。 对于前者，这也是用数学去“证明”某些难以理解的事 实的最好工具；对于后者，说明数学本身具有的特征与 魅力。
符号美 简洁性 的 特 学 征 美 和谐性 数 抽象美 统一美 和谐美 对称美 形式美 奇异美 奇异性 有限美 神秘美(朦胧美) 扭曲的美 常数美
有位学者曾说过“若要把感性的人变成理性的人， 唯一的路径是使他成为审美的人”。青少年阶段， 世界观、人生观初步形成，自我约束和控制意识 不强，存在许多不稳定的因素，尤其需要用美的 规律来改造他们的主观世界。数学美的概念提出 以后，国内的相关文章层出不穷，但多数文章只 停留在对数学美的描述上，却忽视了对美学对象 的教育，导致现在有许多中学生还不知道什么是 “数学美”，因此在课堂上展现数学美是何等重 要。在教学中教师应充分利用数学中的美的内容、 形式，运用美的教学手段，培养学生的数学审美 能力，真正发挥数学美的作用，激发学生学习数 学的兴趣。
数学中的美学
数学中的美学纯数学是一门科学，同时也是一门艺术。
——法国诗人诺瓦利“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术”。
如今的数学，已成为研究自然科学和社会科学的基础学科，它已渗透到经济、历史、建筑、音乐、美术、文学等各个领域中。
本文以数学的历史为基础，多角度展现数学美的外在与内涵，提取数学中美的精彩内容和片段，从艺术和思维的角度，来欣赏数学之大真、大善、大美。
以求在美的熏陶下，感受数学别样的美丽，并得到思维的启迪与感情的共鸣，同时，期望对数学教育有所帮助。
马克思说过：“社会的进步就是人类对美的追求的结晶。
”数学，作为一门不断推动社会进步，时代发展的学科，其中当然存在着美。
数学是一种独特的逻辑，是自然科学的语言，在其内容结构方法上，都具有自身的某种美，就是数学美。
正是数学美的存在，数学这门古老的学科，才符合事物生存和发展的原则，生存于久远。
数学家、哲学家罗素赞道：“数学，如果正确地看它，则具有——至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷峻而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那样华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术，才能显示的那种完美的境地。
一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。
”[2]是的，数学是一种精神，它永远选择最简的、最美的，当然也是最好的。
数学通过人们对生活的需要而慢慢发展，它和面包一样重要。
数学是人类对生活经验和对事物的观察中得来的观念，然后对其进行抽象后产生的。
数学是思考、想象甚至可以说是幻想，数学的世界永远充满着神奇。
其思想精巧、惊人、迷人、有趣和美丽，是数学真正的精髓。
1首先数学美在简单数学简化了思维过程并使之更可靠。
——弗赖伊（T.C.Fry）华罗庚教授说过：宇宙之大、微粒之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁……无不可用数学表述。
第五章 数学中的美学你知道多少
第五章数学中的美学你知道多少?一、欣赏对称美对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连。
大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等等，对称本身就是一种和谐、一种美。
在数学中的应用也非常广泛，如：大家都非常熟悉的轴对称图形等等，其实根据对称原理在小学数学中各知识领域，均可发现这一规律的应用。
如何让学生掌握对称这一基本原理去解决一些实际问题，找到事物之间的内在统一性，用数学的思想去内化这一即简单，又蕴涵深刻哲理的原理，这需要我们深层了解隐藏在问题后面的本质特征，现根据笔者在教学中发现的一些案例，来阐述如何发现数学中的对称美。
一、从回文数中得到启发，巧解等差数列回文数有许多如：2002年就是一个回文数，下一个回文数就要等到2112年，整数乘法中最有趣的一个回文数就是：1×1=1，11×11=121，111×111=12321。
根据这一规律可以巧算出：111111111×111111111=12345678987654321，学生对于回文数这一特殊结果，大都觉得非常惊讶，对此产生浓厚的兴趣，感叹数的对称美。
对称作为一种美,在宇宙万物中成为一个永恒的定理，就象有阴就有阳，有黑就有白一样，说的更玄乎一些，像现代物理学理论中所推论的那样有正物质就有反物质，如，我们生活中所看到感受到的一切客观事物都是正物质，同样宇宙中也存在我们看不见的能量和正物质一样相等的反物质，这样宇宙才均衡，就像宇宙中有你，同样也存在着“反你”，如果有一天“你们”一握手，那么你和“反你”就顿时消失，就像5+（-5）=0一样，说来有些荒唐，可是这种设想在解答一些难题时，却显得巧妙、易懂。
数学中的美学价值
数学中的美学价值数学作为一门严谨而抽象的学科，被广泛地认为是一种追求真理、探索规律的学问。
然而，除了这种功利的角度外，数学还具有一种独特的美学价值。
在数学中，我们能够感受到一种优雅和和谐的美感，这种美感来源于数学内在的结构、对称以及逻辑的推演。
因此，本文将探讨数学中的美学价值，并通过一些数学概念和例子来强调其重要性。
首先，数学的美学价值体现在其优雅的结构之中。
数学的公理系统和推理过程构成了一种完美的逻辑结构，这种结构深深吸引了数学家和数学爱好者。
数学的符号和符号之间的关系经过严格定义，每一个数学定理都能够准确地导出。
正如数学家G.H.哈代所说：“数学是已经定型的、坚不可摧的智慧。
”这种定型和坚不可摧成就了数学独特的美学韵律，使人们在面对这种美感时感受到一种极致的满足和享受。
其次，数学的美学价值还表现在其对称性的追求上。
对称性是人们对美的一种基本评价标准，而在数学中，对称性占据了至关重要的地位。
许多数学概念和定理都与对称性密切相关，例如正多边形的对称性、函数的对称性和矩阵的对称性等。
对称性使得数学问题和结论更加优美和清晰，让我们感受到一种内在的和谐与平衡。
正如数学家埃尔德什尔德所说：“数学家喜欢对称，因为它是一个真理的标志。
”这种对称性的追求不仅在数学中起到了重要的作用，也使我们在学习数学的过程中感受到了美的存在。
此外，数学的美学价值还体现在其抽象性和普适性上。
数学的抽象性使其不受现实世界的限制，能够超越具体的事物，追求更深层次的真理和规律。
而数学的普适性则使其在不同领域和学科中都能够发挥重要的作用。
无论是自然科学、社会科学还是工程技术，都离不开数学的支持和指导。
正因如此，数学被广泛地认为是一种智力的表达工具和思维的训练方法。
而这种抽象性和普适性也赋予了数学以独特的美学意义，使人们在探究数学的世界时感受到一种超越时空的美的存在。
综上所述，数学中的美学价值体现在其优雅的结构、对称性的追求以及抽象性和普适性的体现上。
数学美学原理
数学美学原理江苏省如皋市技工学校郝学峰音乐能激发或安慰情怀，绘画令人心旷神怡，诗歌能感人心弦，哲学令人获取智慧，科学可改良物质生活，但数学能赐予以上的全部。
————克莱因内容概要：一、完满的符号语言；二、独有的抽象艺术；三、严实的逻辑系统；四、永久的创新动力。
重点词：数学美学前言从学科分类来看，数学是理论自然科学中的重要分支——素有“科学之王”之美名；从数学的发源来看，她是对客观事物的一种量的抽象——从客观存在的有限性演变成认识领域的无限性；从人文环境来看，数学有着无与伦比的美学情味——古希腊有一句名言：“哪里有数，哪里就有美”。
面对以上各种美名，人们不由要问：“数学为何这样漂亮？又该如何从美学的角度，来观察、剖析、理解、并感觉数学的魅力？”事实上，数学美的表现形式是多种多样的————从数学的外在形象上赏析：她有系统之美、观点之美、公式之美；从数学的思想方式上剖析：她有简洁之美、无穷之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上商讨：她有对称之美、和睦之美、奇怪之美等。
完满的符号语言数学有着自己独有的语言———数学语言，此中包含：1、数的语言——符号语言对于“∏”，《九章算术》如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以致于不行割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为吞没的无理数，我们向来难以忘却那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不可以表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进海洋的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。
还有sin?、∞等等，一个又一个数的语言，无不将数的完满与雅致表现得酣畅淋漓。
2、形的语言——视角语言从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相响应的缠绵故事）；比例性（漂亮的“黄金切割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和睦性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关系与配套其实是一种如何的经典的优化组合！）；鲜亮性（“最大值”、“最小值”让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何老是地灵人杰的内在风采,,）和新奇性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学以致全部自然科学的新鲜与活力）等等。
数学美学
数学美学摘要：本文讨论数学与美学的关系，介绍数学美的特点的主要表现。
关键词：数学美，特点，黄金分割爱美之心，人皆有之，人们执着地追求美。
但什么是美，哪里有美？正如英国著名数学家哈代所说“美是首要标准，不美的数学在世界上是找不到永久的容身之地的”，除了艺术的美，大自然的美外，数学中也存在着美。
古希腊学者毕达哥拉斯说：“美就是和谐，整个天体是一种和谐，宇宙的和谐是由数组成的，因而构成了整个宇宙的美。
”提出了数学美的三段论。
英国哲学家、数学家罗素认为：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。
”数学美是一种人的本质力量通过宜人的思维结构的呈现。
在多元而丰富的数学美中，它主要表现为：简洁美、和谐美、统一美和奇异美，数学的简洁美并不是指数学内容本身简单而是指数学表达形式和数学理论体系的结构简洁。
莱布尼茨用“”这一简捷的符号表达了积分概念的丰富的思想，刻画出“人类精神的最高胜利”，因此，有些数学家把微积分比作“美女”。
和谐美是数学美的最高境界。
实际上，和谐就是一个度，是一种中庸的最佳状态。
比例是关于模数与整体在测量上的协调，比例给人一种和谐，莫过于黄金分割法。
数学所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大，通常所说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了仅把3维空间作为一部分的4维空间、5维空间、……、n维空间。
数学是一座远远地超越了我们想象的华丽宫殿，站在这个无比庄严、宏伟的宫殿前的数学家们，以崇敬赞叹的目光远眺着它的壮观、它的美妙，那些能够感受到这种数学美、宇宙美的人，是可以被称之为爱因斯坦所谓的“有宇宙宗教性的人”。
数学中的统一美是指部分与部分，部分与整体之间的和谐和协调。
希尔伯特指出：“数学科学是统一的整体，其组织的活力依赖于各部分之间的广泛联系。
”数学中一些表面看来不相同的概念、定理、法则，在一定的条件下可以处在一个统一体中。
例如，平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，都可统一于圆幂定理之中；在集合论建立之后，代数中的“运算”，几何中的“变换”，分析中的“函数”这三个不同的领域中的概念，可以统一于“映射”概念之中。
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23 6 23 6 2306
a) 简洁美的发展过程: 235×4=940 罗马人的算法:
CCXXXV IV CCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVV DCCC 表示900 CMXL CXX XX 表示40
b) 十进制与二进制:
十进制:89
89= 1× 2 +0× 2 + 1 × 2 + 1 × 2 +0×2 +0×2 +1×2
e .
4 5 6
e 1 0. 数学美的象征
1: 来源于代数 i: 来源于几何
π: 来源于分析
i
1：实数单位
i：虚数单位
0：唯一中性数
3.和谐美
例2 e与π
cos i sin
乘法运算形式一致
i
e
1 2 1 4 1 6 cos x 1 x x x 2! 4! 6! 1 3 1 5 1 7 sin x x x x x 3! 5! 7! 1 2 1 3 1 4 x e 1 x x x x 2! 3! 4! 得到 eix cos x i sin x
黄金分割点体现了美与实用，沟通了人 与自然
3.和谐美
例2 e与π
3.14159265358979323846
e 2.71828182845904523536
猜测：
1.每隔10位数就会出现同样的数字; 2. π的数字中必有e的前n位数字, e的数字中必有π的前n位数字。
3.和谐美
例2 e与π
2 1 0 6 5 4 3
二进制:1011001
十进制:符号多(10),表示上简洁,方便人 工运算,但系统复杂. 二进制:符号少(2), 表示上麻烦,方便机 器运算,但系统简单. ★二进制与最简单的自然现象(信号的 两极)结合,造就了计算机！
例2.其它符号的简洁美： i)未知量：x,y,z ii)已知量：π,e, a,b,c
2.对称美
海伦公式
v) 数学公式中的对称
S s s a s b s c
其中 s a b c 2
正弦定理
a b c sin A sin B sin C
2 2 f x12 x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 对称多项式
2.对称美
c) 作为多面体的足球
亚正多面体中
的一种—— 足球多
面体，它的侧面由 正五边形和正六边 形组成。
5) 问题
---什么是“对称”的共性与本质？
（变中有不变）
---如何用数学语言描述“对称”？
（“对称即群”）
a) 平面图形的对称
K1
K2
K3
K4
K5
K6
问：正三角形与正方形谁“更”对称一些？
i)在运动中看 “对称”
可以把“平面图形的对称” —— 轴对称、 n次中心对称、平移对称中用到的 运动分为三类：
反射
旋转 平移
ii) 从不变性看“对称”
这些运动都是变换；这些变换共同的特点
是：都保持平面上任意两点间的距离不变。所
以，把反射、旋转、平移，以及它们的
相继实施，统称为
“保距变换”。
变中有不变
注意，在上述“保距变换”的定义下,“不动”也是 一种“保距变换”,它可以看成旋转0o的“保距变换”,也 可以看成平移 a=0 的“保距变换”.这样，任何平面图形 都会在某种“保距变换”下不变,因为它至少在“不动”
x1 x2 x3
y1 1 0 y2 1 y3 1
c)
平面上所有直线一般形式： ax by c 0 平面上所有二次曲线一般形式： ax 2bxy cy dx ey f 0
2 2
其性质和类型取决三个量： a b a b h a c, , b c b c d e d e f
★群的应用是十分广泛的。例如关于晶体的分
类，物理学家、化学家、晶体学家进行了很多 研究，最后用群的理论给出了结论：晶体只有 230种可能的结构。
★
统一与和谐美是数学美的又一侧面，它 比对称美具有广泛性。 几何与代数的和谐与统一的表现为:
★
解析几何（点与坐标、曲线曲面与方 程、行列式与矩阵…）
3.和谐美
享了1996年度诺贝尔化学奖。
1996年诺贝尔化学奖得主
克鲁托 (H. W. Kroto, 1939-)
斯莫利 ( R. E. Smalley,1943-2005)
1996年诺贝尔 化学奖得主
柯尔（Robert F. Curl Jr.1933-）
福勒 （R.B. Fuller 1895-1983)
2.对称美
2）文学中的对称
上联对下联： 明月 --> 清泉 （自然景物）
明-->清（形容词）
月-->泉 （名词）
明 月 松 间 照
清 泉 石 上 流
2.对称美
3）数学中的对称
i) 几何：点对称、线对称、面对称 球面被认为是最完美的曲面！ ii) 代数与函数论：共轭（共轭复数、共轭空间） iii) 运算：交换律、函数与反函数运算、 微分积分运算 iv) 命题变换：命题、逆命题、否命题、逆否命题
序言
法国艺术家罗丹说过：美无处不在，对于 我们的眼睛，不是缺少美，而是缺少发现。 数学美学一词产生于18世纪后半叶, 据 《美学史》所载:美的概念和人类的美感 起源至少得早于苏格拉底时代。 本讲让我们一起领略、探究数学之美。
数学美学
一.美学的基本内涵 二.数学美的类型 1.简洁美 2.对称美 3.和谐美 4.奇异美
例3. 代数与几何之和谐
a）平面上过点(x1, y1),(x2, y2)的直线 方程:
x x1 x2
y
1
y1 1 0 y2 1
b) 平面上过点(x1, y1),(x2, y2), (x3, y3)的圆方程: 2 2 x y x y 1
x y x y x y
2 1 2 2 2 3
2 1 2 2 2 3
S (K1 ) S (K2 )
K1 的对称性强于 K2
iii) 抽象观点与具体例子的对照
S (K1 ) S (K2 ) 8 S (K3 ) 12 S (K4 ) 6 S (K5 ) 2 S (K6 ) 1
正三角形与正方形谁更对称一些？
S ( K2 ) 8
S (K4 ) 6
3.和谐美
例2 e与π
因此 cos i sin 与ei 具有同样的结构， 我们认为它们是相等的。这种思想来源于 法国伟大的哲学家和数学家Leibniz. 这种 思想在代数、几何等领域得到了许多发展。 在同构的观点下，人们能看到不同现象的 ]同一本质（规律），并能从已有的规律去 推断其他领域或事实的类似物。这是多么 美妙的方法啊！
b)富勒烯的发现
1985，自英国的天文学家克鲁托（H. W. Kroto）， 和美国物理学家斯莫利（R. E. Smalley），柯尔（R. F. Curl）走进美国赖斯大学化学实验室，希望能探讨 宇宙中长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期 的合作过程中意外地发现：在强烈的激光脉冲辐照下产 生的碳团簇中，C60具有超常的稳定性。他们的努力是 制造了一个全碳分子的、世界上最小的、最精致的“足 球”！由此，这三位科学家因其天才式的开创性工作共
一. 美学的基本内涵
行为的基本准则——审美动机 社会进步的标准——发展需要 高级的心理活动——精神需求
--- 现实生活中美的事物，对其不同表现 形式有不同的形容：壮美、俊美、秀美、 柔美、优美； ---数学美也呈现多样性，一般地，分为：
简洁美、对称美、和谐美和奇异美。
1)简洁美是人们最欣赏的一种 美，在艺术、建筑、徽标等的 设计中最为常见。中国画更是
答：正方形比正三角形更对称一些。
b)
小结
从 “对称”的现象，到发现 “变中有不变” 的本质，
再提出“保距变换”；把保持图形K不变的“保距变换”放
到一起，构成一个集合，称之为“K 的对称集”，用它来
描述K的对称性；最后，把其中元素的个数，作为衡量平面 图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子验 证理论。
对称是数学中十分重要的一个观点 对称观点的理论表述就是“群” 群是一种代数体系 “群论”是一个重要的数学分支，有广 泛的 应用
2.对称美
1）我们身边的对称
2.对称美
对称 非对称
照镜子 照哈哈镜
夫妻 父子
比赛循环赛 比赛淘汰制
足球 非对称战争
2.对称美
阿拉伯建筑物的外墙
美国哈佛大学曾发表一份 研究报告称，伊斯兰世界对数 学有过重要贡献。研究人员认 为，中世纪伊斯兰世界的外墙 砖设计图案说明它们的设计者 掌握了西方世界500年后才掌 握的数学概念。
体现了简洁美。
---数学以简洁而著称！
2）简洁美的例子
例1.大数和小数的表示：
10
221
，2
86243
，10
-900
•数的表示：所有数均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0表 示.(称为阿拉伯数字,事实上是由印度人发明的. 由阿拉伯人传到西方.)形式上和位置上意义非凡, 绝妙非常.实际上, 0的出现大约要晚好几百年.
iii)函数关系：f(x), g(x,y)
iv)形状符号：
其它符号的简洁美：
v) vi) 函数与逻辑： 0 v c, 牛顿第一定律 F
d F ( mv ), 牛顿第二定律 dt m1m2 F k ，万有引力定律 2 r
d 运算符号：，，，，sin,cos, , dx