南昌市2017高三理科二模数学试卷及详解答案

— 高三理科数学(模拟二)—DC B A z yox2017届江西省南昌市高三年级第二次模拟高考数学（理）试题卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{lg(32)}A x y x ==-,2{4}B x x =≤, 则A B =U （ ）A. 3{2}2x x -≤<B. {2}<x xC. 3{2}2x x -<< D. {2}≤x x2．若ii 12ia t +=+（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t a +等于（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 23．已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(2)(6)P P ξξ<=>0.15=，则(24)P ξ≤<等于（ ）A. 0.3B. 0.35C. 0.5D. 0.7 4．已知函数()f x 在R 上可导，则“0'()0f x =”是“0()f x 为 函数()f x 的极值”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 5．执行如右图程序框图，输出的S 为（ ）A.17 B. 27 C. 47 D. 676．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为（ ）A. 110B. 55C. 50D. 不能确定7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是1(0,0,0),(1,0,1,(0,1,1),(,1,0)2），绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）12348．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（）A. 5立方丈B. 6立方丈C.7立方丈 D. 9立方丈9．已知抛物线2:4C y x=,过焦点F的直线与C相交于,P Q两点,且,P Q两点在准线上的投影分别为,M N两点,则MFNS∆=（）A.83B.3C.163D.310．函数22sin33([,0)(0,])1441xy xxππ=∈-+U的图像大致是（）A. B. C. D.11．若对圆22(1)(1)1x y-+-=上任意一点(,)P x y，|34||349|x y a x y-++--的取值与,x y 无关，则实数a的取值范围是（）A. 4a≤- B. 46a-≤≤ C. 4a≤-或6a≥ D. 6a≥12．已知递增数列{}n a对任意*n N∈均满足*,3nn aa N a n∈=，记123(*)nnb a n N-⋅=∈，则数列{}nb的前n项和等于（）A. 2n n+ B.121n+- C.1332n n+-D.1332n+-第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知向量(3,4)a=r，(,1)b x=r，若()a b a-⊥r r r，则实数x等于．14．设2521001210(32)x x a a x a x a x-+=++++L，则1a等于．15．已知等腰梯形ABCD中AB//CD，24,60AB CD BAD==∠=︒，双曲线以,A B为焦点，且与线段CD(包括端点C、D)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．—高三理科数学(模拟二)—— 高三理科数学(模拟二)—16．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足231x t =-+函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是 万元．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2sin sin(+)3f x x x π=⋅．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）锐角ABC ∆的角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x A = 是函数()f x图像的一条对称轴，2AD ==，求边a ．18．（本小题满分12分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展,国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和（Ⅰ）根据调查的数据，是否有以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x ；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y，求x y <的概率． （参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）.— 高三理科数学(模拟二)—F E D CBAS19．（本小题满分12分）已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，SA SD SB ===E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SF SC λ=u u u r u u u r，SA //平面BEF ．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求二面角S BE F --的余弦值．20．（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点1F （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于,M N 两点 （||||PM PN >），若:PAM PBN S S λ∆∆=，求实数λ21．（本小题满分12分）已知函数2()ln(1)f x x x ax bx =--+(,,,a b R a b ∈为常数，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）当1a =-时，讨论函数()f x 在区间1(1,1)ee++上极值点的个数； （Ⅱ）当1a =，2b e =+时，对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x ke <成立，求正实数k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为24cos sin 40ρρθθ--+=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||OA OB ⋅．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|23||21|f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()2f x <的解集；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()|32|f x a >-成立，求实数a 的取值范围．2017届江西省南昌市高三年级第二次模拟高考数学（理）参考答案1、D【解析】因为3{lg(32)}{320}{}2A x y x x x x x==-=->=<，{22}B x x=-≤≤．所以{2}A B x x=≤U，故答案选D．2．A【解析】因为ii i i(12i)=i-2t12iat a t t+=⇒+=⋅++，则122taa t=⎧⇒=-⎨=-⎩．所以1t a+=-，故答案选A．3．B【解析】由题意可得10.152(24)0.352Pξ-⨯≤<==，故答案选B．4．C【解析】由“'()0f x=”不可以推出“()f x为函数()f x的极值”，同时由“()f x为函数()f x的极值”可以推出“'()0f x=”，所以“'()0f x=”是“()f x为函数()f x的极值”的必要不充分条件．故答案选C．5、A【解析】考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当1i=时，有27S=；当2i=时，有47S=；当3i=时，有17S=；当4i=时，有27S=；当5i=时，有47S=；当6i=时，有17S=；所以可知其循环的周期为3T=，当退出循环结构时632i==⨯，所以输出的17S=，故答案选A．6．B【解析】78111622(6)(7)5a a a d a d a d a-=+-+=+=，1111161111552a aS a+=⨯==．故答案选B．7．B【解析】满足条件的四面体如左图，依题意投影到yOz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故答案选B．8．A【解析】将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，即113122131523V=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故答案选A．9．B【解析】由题意可得直线:3(1)PQ y x=-与抛物线24y x=联解得：231030x x-+=，所以点(3,3)P，123(,33Q-，则23832333MN==MNF∆中，MN边上的—高三理科数学(模拟二)—— 高三理科数学(模拟二)—高2h =，则12233MNF S ∆=⨯⨯=，故答案选B ． 方法二:不防设交点P 在x 轴上方,由抛物线焦点弦性质得||||PF PM =,||||QF QN =且1121||||PF QF p +==, ||||||||1||||||||2PM QN PF QF PM QN PF QF --==++，故||4PF =，4||3QF =，所以114||(4)2223MNF S MN p ∆=⨯⨯=⨯+=B ． 10．A 【解析】因为函数22sin ()11xy f x x==+可化简为222sin ()1x x f x x =+可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C ；同时有42224sin 2cos 2cos ''()(1)x x x x x xy f x x ++==+ 3222(2sin cos cos )(1)x x x x x x x ++=+，则当(0,)2x π∈ '()0f x >,可知函数在2x π=处附近单调递增，排除答案B 和D ，故答案选A ．11．D 【解析】要使符合题意，则圆上所有点在直线12:340,:3490l x y a l x y -+=--=之间， 因为圆心到直线2l的距离21d ==>且314190⨯-⨯-<，则所有圆心到直线1l的距离11d =≥，且31410a ⨯-⨯+≥，解得6a ≥，故答案选D ．12．D 【解析】法一：1133a a a =⇒≤,讨论：若11111a a a a =⇒==，不合；若1223a a =⇒=；若11333a a a a =⇒==，不合；即122,3a a ==，2366a a a =⇒=，所以3699a a a =⇒=，所以6918a a a == ，91827a a a ==，182754a a a ==，275481a a a ==，猜测3nn b =，所以数列{}n b 的前n 项和等于113333132n n ++--=-．故答案选D ． 法二：*3,n a n a n a N =⇒∈，结合数列的单调性分析得122,3a a ==，13b =，而3,n a a n =3a na n a a ⇒=，同时3a na n a a =，故33n n a a =，又1221233232333n n n n nb a a a b ----⋅⨯⋅⋅====，数列{}n b 为等比数列，即其前n 项和等于113333132n n ++--=-．故答案选D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．7【解析】因为(3,3)a b x -=-r r ，所以()a b a -⊥⇒r r r(3)33407x x -⨯+⨯=⇒=，故答 案为7．14．240-【解析】250514255(32)(23)(23)x x C x C x x -+=-+-+L ，所以01411552(3)a C C =-240=-，故答案为240-．15．1,)+∞【解析】双曲线过点C时，212c ABe a CA CB===-，开口越大，离心率越— 高三理科数学(模拟二)—大，故答案为1,)+∞． 16．37.5【解析】由题知213t x =--,(13)x <<，所以月利润：(48)3232ty x x t x=+--- 11163163232t x x x =--=-+--145.5[16(3)]3x x=--+-45.537.5≤-=，当且仅当114x =时取等号，即月最大利润为37.5万元．另解：利润1632t y x =--（利润=12⨯进价- 12⨯安装费-开支），也可留t 作为变量求最值．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解析】（Ⅰ）因为21()2sin (sin )cos sin 2f x x x x x x x ==+1112cos 2sin(2)2262x x x π=-+=-+， 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k z ππππ-≤≤+∈，所以递增区间是[,]()63k k k Z ππππ-+∈； （Ⅱ）直线x A =是函数()f x 图像的一条对称轴，则2,6223k A k A k z πππππ-=+⇒=+∈，由02A π<<得到3A π=，所以角6BAD π∠=,由正弦定理得sin sin sin 2BD AD B BAD B =⇒=∠，所以4B π=，53412C ππππ=--=，5561212CDA ππππ∠=--=， 所以2AC AD ==，52cos 12DC AD π=⋅=所以a BD AD =+=．18．【解析】（Ⅰ）222()100(20204020)()()()()60406040n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯ 4004001002.778 2.7065760000⨯⨯=≈>所以有90% 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”（Ⅱ）“x y <”包含：“0,1x y ==”、 “0,2x y ==”、 “0,3x y ==”、 “1,2x y ==”、 “1,3x y ==”、 “2,3x y ==”六个互斥事件且0312334233664(0,1)400C C C C P x y C C ===⨯=，03213342336612(0,2)400C C C C P x y C C ===⨯= 0330334233664(0,3)400C C C C P x y C C ===⨯=，122133423366108(1,2)400C C C C P x y C C ===⨯=— 高三理科数学(模拟二)—12303342336636(1,3)400C C C C P x y C C ===⨯=，21303342336636(2,3)400C C C C P x y C C ===⨯= 所以：412410836362001()4004002P x y +++++<=== ．19．【解析】（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G =I ，则平面SAC I 平面EFB FG =， //SA Q 平面EFB ，//SA FG ∴， GEA GBC ∆∆Q :，12AG AE GC BC ∴==， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13λ∴=；（Ⅱ）,2SA SD SE AD SE ==∴⊥=Q ，又2,60AB AD BAD ==∠=︒Q，BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，SE ∴⊥平面ABCD ，以,,EA EB ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,0,2)A B S ，平面SEB 的法向量(1,0,0)m EA ==u r u u u r，设平面EFB 的法向量(,,)n x y z =r，则(,,)00n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=r， (,,)(1,0,2)02n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=r u u u r r u u u r，令1z =，得(2,0,1)n =r，cos ,5||||m n m n m n ⋅∴<>==⋅u r ru r r ur r． 20．【解析】（Ⅰ）因为1BF x ⊥轴，得到点2(,)b B c a--，所以2222221()21a a bb a ac c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩，所以椭圆C 的方程是22143x y +=． （Ⅱ）因为1sin 22(2)112sin 2PAM PBN PA PM APMS PM PM S PN PN PB PN BPN λλλ∆∆⋅⋅∠⋅===⇒=>⋅⋅⋅∠，所以2PM PN λ=-u u u u r u u ur ．由（Ⅰ）可知(0,1)P -，设MN 方程:1y kx =-，1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程221143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)880k x kx +--=．即得122122843843k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩（*）— 高三理科数学(模拟二)—又1122(,1),(,1)PM x y PN x y =+=+u u u u r u u u r ，有122x x λ=-，将122x x λ=-代入（*）可得：222(2)1643k k λλ-=+． 因为12k >，有2221616(1,4)3434k k k =∈++， 则2(2)14λλ-<<且2λ>44λ⇒<<+ 综上所述，实数λ的取值范围为(4,4+． 21．【解析】（Ⅰ）1a =-时，'()ln(1)2+1xf x x x b x =-++-，记('()g x f x b =-）， 则2232()112'()21(1)(1)x x g x x x x ⋅-=-+=---，3'()02g x x =⇒=， 当13(1,)2x e ∈+时，'()0g x <，3(,1)2x e ∈+时，'()g x 0>，所以当32x =时，()g x 取得极小值6ln 2-，又12(1)2g e e e +=++，1(1)24g e e e+=++，'()0()f x g x b =⇔=-，所以（ⅰ）当6ln 2b -≤-,即ln 26b ≥-时，'()0f x ≥，函数()f x 在区间1(1,1)e e++上无极值点；（ⅱ）当26ln 22b e e -<-<++即22ln 26e b e---<<-时，'()0f x =有两不同解， 函数()f x 在区间1(1,1)e e++上有两个极值点；（ⅲ）当21224e b e e e ++≤-<++即12242e b e e e---<≤---时，'()0f x =有一解， 函数()f x 在区间1(1,1)e e ++上有一个极值点；（ⅳ）当124b e e -≥++即124b e e ≤---时，'()0f x ≤，函数()f x 在区间1(1,1)e e++上无极值点；（Ⅱ）当1,2a b e ==+时，对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x k e <⋅，即22ln(1)(2)xx x x e x ke --++<，即2ln(1)2x e x x e k x--++<⋅— 高三理科数学(模拟二)—记()ln(1)2h x x x e =--++，2()x e x k xφ=⋅， 由12'()111xh x x x -=-=--，当12x <<时'()0h x >，2x >时，'()0h x <， 所以当2x =时，()h x 取得最大值(2)h e =，又222221(2)22'()x x xk e x e e x x k x x φ--==，当12x <<时'()0x φ<，2x >时，'()0x φ>，所以当2x =时，()x φ取得最小值2ke，所以只需要2ke e <2k ⇒>，即正实数k 的取值范围是(2,)+∞．【解2】（Ⅱ）当1,2a b e ==+时，对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x k e<⋅，即22ln(1)(2)x x x x e x ke --++< 令2x =，得2k >下证2k >时命题成立.一方面11222x x ke e > …………①另一方面由ln 1x x <-（常见对数不等式）知ln(1)2x x -<-，注意1x >22ln(1)(2)(2)(2)x x x e x x x x e x ex ∴--++<--++=…………②记12()2x h x eex =-，12'()x h x ee =-()1,2,'()0,()x h x h x ∴∈<递减，()2,,'()0,()x h x h x ∈+∞>递增 ()(2)0h x h ∴≥=即122x eex ≥∴由①②可知对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x k e <⋅， ∴正实数k 的取值范围是(2,)+∞．22．【解析】（Ⅰ）直线l的普通方程是1)y x =-即y =，曲线C的直角坐标方程是22440x y x +--+=即22(2)(3x y -+=；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是3πθ=，代入曲线C 的极坐标方程得：2540ρρ-+=，所以||||||4A B OA OB ρρ⋅==．23．【解析】（Ⅰ）不等式()2f x <等价于32(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或3122(23)(21)2x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩ ，解得32x <-或302x -≤<，— 高三理科数学(模拟二)— 所以不等式()2f x <的解集是(,0)-∞； （Ⅱ）()|(23)(21)|4f x x x ≤+--=Q ，max ()4f x ∴=，|32|4a ∴-<，解得实数a 的取值范围是2(,2)3-．。