最新“时代杯”年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题资料
初一创新杯数学邀请赛模拟试题集锦(5套)
初一数学“创新杯”邀请赛赛前训练题-1一、选择题1．如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 是AM 的中点，则MN:PQ=（ ）QP M N A CBA.1B.2C.3D.4 2．若0<a ，0>b ，0<+b a ，则下列关系中正确的是（ ）A.a b b a ->->>B.b b a a ->>->C.a b a b ->->>D.a b b a >->>-3．若a ，b ，c 是非零有理数，且0=++c b a ，则abc abcc c b b a a +++所有可能值为（ ）A.0B.1或-1C.-1D.14．计算：)514131)(615141311()61514131)(5141311(++++++-++++++=（ ）A.21B.31C.41D.61 5．已知实数a ，b 满足ab =1且b a M +++=1111，bba a N +++=11，则（ ） A.N M > B.N M < C.N M = D.M 、N 的大小不能确定 6．观察以下数组：（1），（3,5），（7,9,11），（13,15,17,19），……2011在（ ）A.第44组B.第45组C.第46组 D 无法确定 7．已知：523=-++x x ，54+-=x y ，则y 的最大值是（ ）A.12B.15C.17D.无法确定 8．有一块试验地形状为等边三角形（设其为△ABC ）,为了解情况，管理员甲从顶点A 出发，沿AB —BC —CA 的方向走了一圈回到顶点A 处。
管理员乙从BC 边上的一点D 出发，沿DC —CA —AB —BD 的方向走了一圈回到出发点D 处，则甲、乙两位管理员从出发到回到原处，在途中身体（ ）A.甲、乙都转过︒180B.甲转过︒120，乙转过︒180C.甲、乙都转过︒360D.甲转过︒240，乙转过︒3609．在九张卡片上分别写着数字1，2，3，……9，现将卡片顺序打乱，让空白面朝上，再写出1，2，3……,9，然后将每张卡片上的两个数字作差，则九个差的积（ ） A.一定是奇数 B.可能是奇数也可能是偶数 C.一定是偶数 D.一定是负数 10．一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰好是4的倍数，这样的四位数中最大的一个的末位数字是（ ）A.6B.4C.3D.2二、填空题11．已知两个不相等的质数的和是一个质数，则较小的质数的倒数是 。
江苏省初中数学竞赛题（含答案）
第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试一、选择题(每小题7分，共56分.以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内)1.在-I一3|3,-(-3)3,(-3)3,-33中，最大的是(B).(A)-|・3|3(B)-(-3)3(C)(-3)3(D)-332.“a的2倍与b的一半之和的平方，减去a、b两数平方和的4倍”用代数式表示应为()(A)2a+(—b2)-4(a+b)2(B)(2a+—b)2-a+4b22 2(c)(2a+b)2-4(a2+b2)(D)(2a+-^-b)2-4(a2+b2)23.若a是负数，则a+|-a|(C),(A)是负数(B)是正数(C)是零(D)可能是正数，也可能是负数4.如果n是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是().(A)2n+1(B)2n-1(C)-2n+l(D)-2n-l5.已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、1、-1,那么|a+l|表示().(A)A、B两点的距离(B)A、C两点的距离(C)A、B两点到原点的距离之和(D)A、C两点到燎点的距离之和6.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是().(A)A点(B)B点(C)C点(D)D点b a7.已知a+b=O,a#b»则化简一(a+1)—0+1)得().a b(A)2a(B)2b(C)+2(D)-28.已知m<0»-l<n<0,则m,mn»mn?由小到大排列的顺序是().(A)m,mn.mn2(B)mn,mn2,m(C)mn2,mn,m(D)m,mn2,mn二、填空题(每小题?分，共84分)9.计算：—a—(ia—4b—6c)+3(—2c+2b)=_______324 35I10.计算：0.7xl—+2—x(—15)+0.7x-+-x(-i5)=______9 4 94IL某班有男生a(a>20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是12.在数-5,-3,-1,2,4,6中任取三个相乘，所得的积中最大的是13.下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量,则表中问号表示的数是__________梨梨苹果苹果30梨型梨梨28荔枝香蕉苹果梨20香蕉香蕉荔枝苹果1920253014.某学生将某数乘以-1.25时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0.25,则正确结果应是_________.15.在数轴上，点A、B分别表示和!，则线段AB的中点所表示的数是.16.已知2a'bn-i与-3a2b2m(m是正整数)是同类项，那么(2m-n)x=17.王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5,把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250,最后得到2088,则王恒出生在年月.18.银行整存整取一年期的定期存款年利率是2.25%,某人1999年12月3日存入1000元，2000年12月3日支取时本息和是元，国家利息税税率是20%,交纳利息税后还有元.19.有一列数a”a?,a,,…，a n»其中ai=6x2+l：32=6x3+2：a3=6x4+3：a4=6x5+4：则第n个数an=:当an=2001时，n=.20.已知三角形的三个内角的和是180。
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题（初中组）注意事项：1．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．2．用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题6分，共36分）1．计算12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002的值是（）．A．5050 B．－5050 C．100 D．－100 2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，停下来睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，……. 用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）．A． B． C． D．3．同时抛掷两枚均匀的骰子1次，两枚骰子面朝上的点数之和大于8的概率是（）．A．12B．13C．518D．4114．观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x＋y的值为（）．A．45 B．46 C．48 D．49表一表二表三5．如图，△DEF的边长分别为1，3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比ABDE=k，那么k的不同的值共有（）．A．1个 B．2个C．3个 D．4个密封线姓名学校考号D EF（（6．将 BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝5，则BC 的长是（ ）．A ． 37B ．8C ．65D ．215二、填空题（每题6分，共24分） 7．若不等式组 ⎩⎨⎧x －a ＞2，b －2x ＞0的解集是－1＜x ＜1，则 (a ＋b )2009的值是 ．8．如图，在一条笔直的公路上有三个小镇A 、B 、C ，甲车从A 出发匀速开往C ，乙车从B出发匀速开往A ．若两车同时出发，当甲车到达B 时，乙车离A 还有40km ；当乙车到达A 时，甲车正好到达C .已知BC ＝50km ，则A 、B 两镇相距 km.9．已知p ，q 都是正整数，方程7x 2－px ＋2009q ＝0的两个根都是质数，则p ＋q ＝_______．10．长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆交BC 于点E ．在AE 上找一点P ，使过点P 的⊙B 的切线平分长方形的面积．设此切线交AD 于点S ，交BC 于点T ，则ST 的长为_______． 三、解答题（每题18分，共90分）11．已知二次函数y ＝x 2＋2ax ＋b 2和y ＝x 2＋2bx ＋c 2的图象与x 轴都有两个不同的交点，问函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴是否相交？为什么？． A B C ． ．CADBC AD E12．一个长40cm 、宽25cm 、高50cm 的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为a cm(a ≤50)的水．现在容器里放入棱长为10cm 的立方体铁块（铁块的底面落在容器的底面上）后，水深是多少?13．设a ，b ，c 是整数，使得a 2＋bb 2＋c是一个有理数．求证：a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c是一个整数．14．设n 为自然数，在△ABC 内给定n 个点．用一些除端点外没有公共点的线段连结这些点及A 、B 、C ，将△ABC 分成 t 个小的三角形． （1）用含n 的代数式表示t ；（2）证明t 为定值，与线段的连法无关．15．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足． 求证：DP=DQ ．C AD B EFO PQ2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题参考答案一、选择题（每题6分，共36分）1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．C ．6．A ． 二、填空题（每题6分，共24分）7．－1．8．200．9．337．10．233．三、解答题（每题18分，共90分）11．解：不相交． ……………… 3分由题设，得a 2－b 2＞0，b 2－c 2＞0． ………………9分则a 2＞b 2＞c 2，所以c 2－a 2＜0． ………………15分从而知函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴不相交． ………………18分12．解：由题设，知水箱底面积S ＝40×25＝1000(cm 2)．水箱体积V 水箱=1000×50＝50000（cm 3），铁块体积V 铁=10×10×10＝1000（cm 3）. ……………3分 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm 时，1000a ＋1000＝50000, 得 a ＝49（cm ）．所以，当49≤a ≤50时，水深为50cm （多余的水溢出）． ………………6分 （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm 时，1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9（cm ）． ………………9分所以，当9≤a ＜49时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25= (a +1) cm.． (12)分（3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x cm ，则1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109a （cm ）． ………………17分答：当0＜a ＜9时，水深为109a cm ；当9≤a ＜49时，水深为（a +1）cm ；当49≤a ≤50时，水深为50 cm ． ………………18分 13．证法一：令a 2＋bb 2＋c＝k ，k 为有理数, 得(a －kb )3+(b －kc )＝0. (3)分因为a ，b ，c 是整数，k 为有理数，所以a －kb=0，b －kc =0，从而a=k 2c , b=kc ． (6)分于是a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c =k 4＋k 2＋1k 2＋k ＋1·c .………………9分 又 k 4+k 2+1= (k 4+k 2+1)-k 2= (k 2+k +1) (k 2-k +1)，………………15分则 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝ (k 2－k ＋1)c ＝k 2c －kc ＋c ＝a ＋c －b .因为a +c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c为整数.…………18分证法二：a 2＋b b 2＋c＝（a 2＋b ）(b 2－c )2b 2－c 2＝（2ab －bc ）＋（b 2－ac ）22b 2－c2. ……………6分因为a 2＋b b 2＋c是有理数，所以b 2－ac ＝0，即b 2＝ac .……………9分所以 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋ca ）a ＋b ＋c……………12分＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋b 2）a ＋b ＋c……………15分＝a ＋c －b .因为a ＋c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c为整数. ……………18分14．解：（1）t =2n +1． ……………6分 （2）由题设得，t 个三角形的内角和t π，△ABC 的内角和π， ……………9分 以给定的n 个点的每个点所构成的周角之和n ·2π． ……………12分 由于t 个三角形的内角和等于△ABC 的内角和与以n 个点的每个点所构成的周角之和，所以 t π=π+n ·2π，得 t =2n +1．故结论成立． ……………18分 15．证法一：如图1，取OB 中点M ，OC 中点N .因为D 为BC 的中点，所以DM ∥OC ，DM ＝12OC ，DN ∥OB ， DN ＝12OB .在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中，QM ＝12OB ，PN ＝12OC ．所以DM ＝PN ，QM ＝DN ． ……………6分∠QMD ＝∠QMO ＋∠OMD ＝2∠ABO ＋∠FOB ， ∠PND ＝∠PNO ＋∠OND ＝2∠ACO ＋∠EOC ． 因为∠ABO ＝∠ACO ，∠FOB ＝∠EOC ，所以∠QMD ＝∠PND ． ……………15分 于是△QMD ≌△DNP ，从而DQ=DP ． ……………18分A E F O P Q MNAE F O PQ N M证法二：如图2，在直线BF 上取点M ，使QM=BQ ，在直线CA 上取点N ，使PN=CP ．连接CM ，BN ，OM ，ON ．所以DQ=12CM ，DQ ∥CM ，DP=12BN ，DP ∥BN ．……………6分因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以OM ＝OB ，ON ＝OC ． ……………9分 ∠BOM ＝1800－2∠ABO ，∠CON ＝1800－2∠ACO ，因为∠ABO ＝∠ACO ，所以∠BOM ＝∠CON ． ……………15分 从而∠BON=∠BOM ＋∠MON ＝∠CON ＋∠MON ＝∠COM ．所以△OMC ≌△ONB ，所以CM=BN ，从而DQ ＝DP ． ……………18分图1图2。
“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题(含答案)
“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题（初中组）注意事项：1． 本试卷有22题共4页．满分150分．考试时间100分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目及考号填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每小题5分，共50分） 1．已知m ≠0，下列计算正确的是（ ）．A ．m 2＋m 3＝m 5B ．m 2·m 3＝m 6C ．m 3÷m 2＝mD ．(m 2)3＝m 52．已知四个数：2，－3，－4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是（ ）．A ．20B ．12C ．10D ．－6 3．设a ＋1与2 (a －1)的值互为相反数，则a 的值是（ ）．A ．3B ．1C ．0D ．134．（n ＋1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）．A ．360°B ．180°C ．90°D ．60°5．现有二○○八年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同．若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（ ）．A ．15B ．14C ．25D ．456．There is a piece of work ．It takes Mr. A alone 20 days to finish ，and Mr. B 30 alone days to finish ．It takes them （ ）days to work together to finish the work ． A ．10 B ．12 C ．15 D ．507．如图，已知⊙O 的半径为5，直线l 与⊙O 相交，点O 到直线l 的距离为2，则⊙O 上到直线l 的距离为3的点的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．已知方程x 2－2│x │－15＝0，则此方程的所有实数根的和为（ ）． A ．0 B ．－2 C ．2 D ．89．已知实数a ，b 同时满足a 2＋b 2－11＝0，a 2－5b －5＝0，则b 的值是（ ）．A ．1B ．1，－6C ．－1D ．－6 10．如图，在△ABC 中， D 、E 分别是BC 、AC 的中点． 已知∠ACB ＝90°，BE ＝4，AD ＝7，则AB 的长为（）．A ．10B ．5 3C ．213D ．215二、填空题（每小题5分，共40分）11．某人使用计算器计算全班50名学生的一次数学测验的平均分时，如果错将其中的一个成绩115分输入为15分，那么由此求出的平均分比实际平均分低 分． 密封线姓名 学校考号（第7题）A B EC（第10题）D12．已知函数y 1与y 2分别由下表给出，那么满足y 1＞y 2的x 的值是 ．13．设a 1415．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上， AF ∥EC ，△AFD 与四边形AECF 的面积相等．已知 AB ＝6cm ，BC ＝3cm ，则AF 与CE 之间的距离是 cm ．16．设直线l 1是函数y ＝2x －4的图象，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2与两条坐标轴所围成的三角形的面积是 ．17．如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，过 点D 作DE ⊥AC ，与CB 的延长线交于点E ，以BA 、BE 为邻边作长方形BAFE ，连接FD ．若∠C ＝60°，DF ＝3cm ， 则BC 的长为 cm ．18．在△ABC 中，已知∠ACB =90º，∠A ＝40º．若以点C 为中心，将△ABC 旋转θ角到△DEC 的位置，使B 点恰好落在 边DE 上（如图所示）．则θ＝ º． 三、解答题（第19—21题每题14分，第22题18分，共60分） 19．已知关于x 的方程（a －1）x 2－4x －1＋2a ＝0的一个根为x ＝3．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．F A B DE C （第15题）EA DC FB （第17题）θ ACDB E （第18题） （第14题）20．（1）已知恒等式x 3－x 2－x ＋1＝（x －1）（x 2＋kx －1），求k 的值； （2）若x 是整数，求证：x 3－x 2－x ＋1x 2－2x ＋1是整数．21．甲、乙两个水池同时放水，其水面高度（水面离池底的距离）h （米）与时间t （小时）之间的关系如图所示（甲、乙两个水池底面相同）．（1）在哪一段时间内，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？ （2）求点P 的坐标，由此得到什么结论？（3）当一个池中的水先放完时，另一个池中水面的高度是 多少米？小时)22．某人用一张面积为S 的三角形纸片ABC ，剪出一个平行四边形DEFG ．记□DEFG 的面积为T ,（1）如图1，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，D 、G 分别是AB 、AC 的中点．求T （用S 表示）；（2）如图2，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，求证：T ≤12S ；（3）对任意剪得的□DEFG ，T ≤12S 还成立吗？请说明理由．图1AB CDEF GAF EDG图22008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．C ． 二、填空题（每小题5分，共40分）11．2 12．2 13．1，4，5 14．10，或11 15．1.2 16．4 17．1 18．80． (说明：第13题答对1个给1分，对2个给2分；第14题答对1个给2分） 三、解答题（第19题～第21题每题14分，第22题18分.共60分） 19．解：（1）由题设，得9（a －1）－4×3－1＋2a ＝0．解得a ＝2． …………… 3分所以原方程为x 2－4x ＋3＝0．它的另一个根是1． …………………………… 7分 （2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形： ①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．那么三角形的周长是3或9； ……………………… 11分 ②仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1． 那么三角形的周长是7．由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9． ……………………… 14分 20．解：（1）由题设知，232(1)(1)(1)(1)1x x kx x k x k x -+-=+--++， ……………… 3分所以32321(1)(1)1x x x x k x k x --+=+--++，从而有11,1 1.k k -=-⎧⎨--=-⎩解得k ＝0． ………………………………7分（2）322221(1)(1)121(1)x x x x x x x x x --+--==+-+-． 因为x 是整数，所以x ＋1是整数．故322121x x x x x --+-+是整数． ……………… 14分21．解：（1）由图知，甲池的放水速度为824=（米/小时）． 当0≤t ≤3时，乙池的放水速度为13（米/小时）； 当3＜t ≤5时，乙池的放水速度为52（米/小时）．因为13＜2，2＜52，所以3＜t ≤5时，乙池的放水速度快于甲池的放水速度． …………………… 4分（2）甲池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为h ＝－2t ＋8．当0≤t ≤3时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为631+-=t h ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=.631,82t h t h 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.528,56h t 所以628(,)55P ，即(1.2,5.6)P ． 由此说明，当t ＝1.2小时时，两池中水面的高度相等． …………………10分（3）由图知，甲池中的水4小时放完． 当3＜t ≤5时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为22525+-=t h ．当t ＝4时，25=h ，即h ＝2.5．所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是2.5米． ……………………14分 注：（1）中，答3＜t ≤4，不扣分．22．解：（1）因为D 、G 分别是AB 、AC 的中点，所以DG ∥BC ，且DG ＝12BC ．分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ．则∠DNB ＝∠AMB ．因为∠B ＝∠B ，所以△DNB ∽△AMB ．又因为DB ＝12AB ，所以DN ＝12AM ．故T ＝12S ． ………………………6分（2）过点G 作GH ∥AB ，交BC 于点H ．则∠B ＝∠GHF ．因为DE ＝GF ，DE ∥GF ，所以∠DEB ＝∠GFH ．从而有△DBE ≌△GHF ． 因为DG ∥BC ，所以∠ADG ＝∠B ，从而有△ADG ∽△ABC ． 同理，△GHC ∽△ABC ．设AD ＝kAB （0＜k ＜1），则S △ADG ＝k 2S ． 同理，S △GHC ＝（1－k ）2S ．T ＝S －S △ADG －S △GHC ＝[1－k 2－（1－k ）2] S＝（－2 k 2＋2 k ）S ＝－2[（k －12）2－14] S＝－2（k －12）2 S ＋12S ≤12S ．…………………12分（3）分以下四种情形讨论：第一种情形：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形 的边上，第四个顶点不在三角形的边上．① 当其中有两个顶点在同一边时，如图3-1所示，延长DG 交AC 于点G ′，过点G ′作G ′F ′∥GF ，交BC 于点F ′， 易知四边形DEF ′G ′是平行四边形，则T ≤S □DEF ′G ′ ． 由（2）知，S □DEF ′G ′ ≤12S ．所以T ≤12S ．② 当三点分别在三角形的三边时，如图3-2，过A 点作 AH ∥DE 交EF 、DG 于F ′、G ′,问题转化为（2）和图3-1两 种情形，则图3-1ABDEF GG ′F ′ A 图3-2BCDEFGH F ’G ’T = S □DEF ′G ’’+ S □F ′G ′GF≤12 S △ABH + 12S △AHC =S ．第二种情形：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形的边上，另两个顶点不在三角形的边上．①当这两个顶点在同一边上时，如图3-3，延长DG 与三角 形的两边AB 、AC 分别交于点L 、K ，作平行四边形MNKL ． 问题转化为（2）．则 T =S □DEFG ≤S □MNKL ≤12S ．②当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图3-4．延长DE 、 GF 交BC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交G M 于点N ．易 得四边形DKNG 是平行四边形，从而问题转化为图3-2的情形， 则T =S □DEFG ≤S □DKN ′G ≤12S ．第三种情形：如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的的边上，另三个顶点不在三角形的边上．如图3-5，延长ED 、 FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于 点N ．易得四边形EFNK 是平行四边形，从而问题转化为图3-4 的情形，则T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S第四种情形：如果剪得的平行四边形没有顶点在三角形的边上时，如图3-6，延长ED 、FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于点N ．易得四边形EFNK是平行四边形，从而问题转化为图3-5的情形，则 T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S ．综上，对任意剪得的□DEFG ，T ≤12S 成立．…………………18分图3-3ABDEF G KL 图3-4AB D EF GKM N图3-5 ADEF GK MN ABCDE FG 图3-6K MN。
2022年江苏省中考数学竞赛试题附解析
2022年江苏省中考数学竞赛试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图所示的盘中随机抛掷一枚骰子，落在阴影区域的概率（盘底被等分成12份，不考虑骰子落在线上情形）是（ ）A ．61B ．41C ．31D ．212．己半径分别为 1 和 5 的两个圆相交，则圆心距d 的取值范围是（ ）A ．d<6B ．4<d<6C ．4≤d ≤6D ．1<d<53．如图，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向行走．按照这种方式，小华第四次走到场地边缘E 处时，∠AOE ＝56º，则α的度数是（ ）A ．52ºB ．60ºC ．72ºD ．76º4．已知反比例函数2y x=-过两点 （x 1,y 1）、（x 2,y 2），当120x x <<时，y, 与 y 2 大小关 系为（ ）A ．12y y =B ．12y y >C ．12y y <D ． y 1与 y 2 大小不确定5．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A ．S 1 > S 2B ．S 1 = S 2C ．S 1<S 2D ．S 1、S 2 的大小关系不确定6．面积为 2 的△ABC ，一边长为 x ，这边上的高为 y ，则 y 关于x 的变化规律用图象表示 大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为 .（ ）8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）9．把方程2460x x --=配方，化为2()x m n +=的形式应为（ ）A ．2(4)6x -=B ．2(2)4x -=C ．2(2)0x -=D ．2(2)10x -= 10．一组数据共40个，分为6组，第一组到第四组的频数分别为l0，5，7，6，第五组的频 率为0．1，则第六组的频数为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．1011．下列几何体中，是直棱柱的是（ ）12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小李通过多次摸球试验后发现摸到红色、黑色球的频率分别为 15%和 45%，则口袋中白色球的数目很可能是（ ）A ．6个B ． 16个C ．18个D ．24个 13． 已知0x y +=，6xy =-, 则33x y xy +的值是（ ）A ．72B ．16C ．0D ．-72二、填空题14．如图，在ΔABC 中，∠A=90°，AB=AC=2cm ，⊙A 与BC 相切于点D ，则⊙A 的半径长 为 cm.15． 用长为6米的铝合金制成如图窗框，窗户的最大透光面积为 .1.5m 216．小王去参军，需要一张身份证复印件，则身份证复印件和原身份证 相似形 ( 填“是”或“不是”).17．菱形两对角线长分别为24 cm 和10 cm ，则菱形的高为 cm ．18．如图，在ABC △中，M N ，分别是AB AC ，的中点，且120A B ∠+∠=，则______ANM ∠=．19．已知菱形的一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为4 cm ，则这个菱形的面积为 ．20．点P 1(5，-2)关于y 轴对称点是P 2，则P 1P 2的长为 ． BMN A21．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD⊥AC，垂足为A，交BC于D，若AB=4，则CD ．22．自钝角的顶点引角的一边的垂线，把这个钝角分成两个角的度数之比是3∶1，则这个钝角的度数是_________．23．把线段AB延长到C，使BC=12AB，再把线段AB反向延长到E，使AE=34AB，D为线段EC的中点，若AB=2，则BD的长是．24．如图AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，那么有△ABE≌，理由是．25．12-= ，12-的相反数是 .三、解答题26．如图所示，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽 6m，坝高 lOm ，斜坡AB 的坡度为1：2，现要加高 2m，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50m的大坝，需要多少土？27．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC•交⊙O于点F．①请问AB与AC的大小有什么关系？为什么？②按角的大小分类，请你判断△ABC是哪一类的三角形，请说明理由．28．下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形，使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图．(1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；(2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；(3）既是中心对称图形，又是轴对称图形．29．画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图．30．阅读下列解法，并回答问题：如图，∠1 = 75°，∠2 = 105°，说明 AB∥CD，以下几种说明方法正确吗？如果正确，请说出利用了平行线的哪一种判定方法，如果不正确，请给予纠正．解法1：∵∠1 +∠3 = 180°，∠1 = 75°，∴∠3= l05°，又∵∠2=105°，∴∠2 =∠3，∴.AB∥CD．解法2：∵∠2+∠4 = 180°，∠2 = 105°，∴∠4= 75°，又∵∠1= 75°，∴∠1 = ∠4，∴AB∥CD.解法 3：∵∠ 2 =∠5，∠2= 105°，∴∠5 =105°，又∵∠1 = 75°，∴∠1 +∠5 =180°，∴.AB∥CD．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．B3．A4．C5．A6．C7．48．B9．D10．D11．D12．B13．D二、填空题14．215．16．是17．12018．1360°19．220．10，21．822．120°23．1．2524．△ACD，SAS25．11三、解答题26．据题意作出加固后的坝体横断面(如图中等腰梯形 CFEP)，过A 点作AH⊥BC 于 H，过E 点作 EM⊥BC 于M，则BH=2AH=20m.∴BC=2BH+AD=46m,1(646)102602AECDS=⨯+⨯=梯形(m2),∵EF=AD= 6 m,EM= 12 m, PM=24m.∴PC=54m,∴1(654)123602PCEFS=⨯+⨯=梯形(m2),∴加的面积为 360—260=100(m2),∴应增加100×50= 5000(m3)土．27．①AB=AC，连AD；②锐角三角形，连BF，证∠ABC<90°，∠ACB<90°，∠BAC<90°28．（1）可添在右下方；（2）可添在左下方或添在左边；（3）可添在右上角，图略29．30．解法都是正确的，解法l利用了同位角相等来判定两直线平行，解法2得用了内错角相等来判定两直线平行，解法3利用了同旁内角互补来证明两直线平行。
江苏省历年初中数学竞赛试题及解答(23份)
第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试 (1)第十五届江苏省初中数学竞赛试卷初一年级 第二试 (3)江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题 (6)江苏省第十五届初中数学竞赛初二年级 第二试 (8)江苏省第十五届初中数学竞赛初三年级 (14)2001年第十六届江苏省初中数学竞赛A 卷 (19)2001年第十六届江苏省初中数学竞赛B 卷 (24)第十六届江苏省初中数学竞赛试题(C 卷)初三年级 (29)江苏省第十七届初中数学竞赛 初一年级 第l 试 (33)江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初一年级(第2试) (35)江苏省第十七届初中数学竞赛 初二年级 第l 试 (38)江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初二年级(第2试) (40)江苏省第十七届初中数学竞赛试卷 初三年级 (43)江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试 (46)2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中一年级 第2试 (48)2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中二年级 第2试 (52)2003年江苏省第十八届初中数学竞赛初中三年级 (57)江苏省第十九届初中数学竞赛初一年级 第1试 (60)江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第1试 (62)江苏省第十九届初中数学竞赛试卷初二年级第2试 (65)江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级(第1试) (71)江苏省第十九届初中数学竞赛(保留)初三年级第l 试 (73)江苏省第十九届初中数学竞赛试题与答案初三年级(第2试) (80)第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内)1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( )．(A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-332. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( )(A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+21b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+21b)2-4(a 2＋b 2)2 3．若a 是负数，则a+|-a|( )，(A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )．(A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )．(A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离(C)A 、B 两点到原点的距离之和(D)A 、C 两点到原点的距离之和6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )．(A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点7.已知a+b ＝0，a≠b ，则化简a b (a+1)＋ba (b+1)得( )． (A)2a (B)2b (C)+2 (D)-28．已知m<0，-l<n<0，则m ，mn ，mn 2由小到大排列的顺序是 ( )．(A)m ，mn ，mn 2 (B)mn ，mn 2，m (C)mn 2，mn ，m (D)m ，mn 2，mn二、填空题(每小题?分，共84分)9．计算：31a －(21a －4b －6c)+3(－2c+2b)= 10．计算：0．7×194+243×(－15)+0．7×95+41×(-15)= ll.某班有男生a(a>20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是12．在数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是13．下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量，0．25，则正确结果应是 .15．在数轴上，点A 、B 分别表示-31和51，则线段AB 的中点所表示的数是 . 16．已知2a x b n-1与-3a 2b 2m (m 是正整数)是同类项，那么(2m-n)x =17．王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5，把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250，最后得到2 088，则王恒出生在 年 月．18．银行整存整取一年期的定期存款年利率是2．25％，某人1999年12月3日存入1 000元，2000年12月3日支取时本息和是 元，国家利息税税率是20％，交纳利息税后还有 元．19．有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，其中a 1＝6×2+l ；a 2＝6×3+2；a 3＝6×4+3；a 4＝6×5＋4；则第n 个数a n ＝ ；当a n ＝2001时，n ＝ .20．已知三角形的三个内角的和是180°，如果一个三角形的三个内角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个内角的度数分别是第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初一年级第一试一、1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．D二、9.一6a +1 06． 10．一43．6． 11．男生比女生多的人数．1 2．90． 1 3．1 6． 1 4．0．1 2 5． 1 5．-151 1 6．1． 1 7．1988；1．18．1022．5；101 8．1 9．7n+6；2 8 5．2 O ．2，8 9，8 9或2，7 1，1 07(每填错一组另扣2分)．第十五届江苏省初中数学竞赛试卷初一年级 第二试一、选择题1．已知x=2是关于x 的方程3x-2m=4的根，则m 的值是( )(A)5 (B)-5 (C)1 (D)-12．已知a+2=b-2=2c =2001，且a+b+c=2001k ，那么k 的值为( )。
初中竞赛数学第四届“创新杯”数学邀请赛(复试)初中一年级试题(含答案)
第四届“创新杯”数学邀请赛（复试）初中一年级试题一、选择题（每小题5分，共40分）1．若有理数a，b，c满足abc=-2005，a+b+c=1，则a，b，c中负数的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）32．根据图1中骰子的三种不同状态显示的数字，推出x处的数字是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）6（1）（2）3．如图2，∠1=65°，∠2=85°，∠3=60°，∠4=40°，则∠5=（）（A）45°（B）50°（C）55°（D）60°4．n个连续自然数按规律排成下表：0 3→4 7→8 11 …↓↑↓↑↓↑1→2 5→6 9→10这样，从2003到2005，箭头的方向应为（）（A）↑→（B）→↑（C）↓→（D）→↓5．甲、乙两人连续7年调查某县养鸡业的情况，分别提供的信息如下图所示：可得到的正确判断是（）（A）该县第2个养鸡场产鸡的数量为1．3万只（B）该县第2个养鸡场产鸡的数量低于第一年养鸡场产鸡的数量（C）该县这7年养鸡场产鸡的数量逐年增长（D）这7年中，第5年该县养鸡场产鸡的数量最多6．平面上六条直线两两相交，其中仅有3条直线经过同一点，•则它们彼此截得不重叠线段有（）条．（A）36 （B）33 （C）24 （D）217．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（1，1），C（4，1），将△ABC•向右平移4个单位，得△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点A′逆时针旋转90°，得到△A″B•″C″，则点C″的坐标是（）（A）（9，4）（B）（8，5）（C）（5，2）（D）（4，9）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A•～F•共16个计数符号．这些符号与十进制的对应关系如下表：例如，用十六制表示：E+D=1B．则A×B（）（A）6E （B）72 （C）5F （D）B0二、填空题（每小题5分，共40分）9．设p，q均为质数，且p+q=99，则p、q的积pq=________．×（x+1）=1的解是x=______．10．定义运算：○×：x○×y=x·（y-x），则方程（x-1）○11．现有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参加测试，每位参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这10种不同分值中的一种，测试结果A 班如表，B 班如图3所示，•若两班合计共有60人合格，则合格的分数线是________分．12．如图4，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE ，垂足为E ，ED ∥AC ，∠BAE=36°，•那么∠BED=_________度．（3） （4） 13．计算：[（11+14+17）-（12+23+29）]÷[（11-34-37）-（12-23-29）]=________． 14．某文具店只有8元一支和9元一支两种规律的钢笔，甲、乙两人到该店购买钢笔，已知两人购买的支数相同，且一共花费了172元，则每人在该店购买了______支钢笔． 15．一只蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，向右爬行12个单位长度后，向左爬行22个单位长度；再向右爬行32个单位长度后，向左爬行42个单位长度．这样一直爬下去，最后向右爬行92个单位长度后，向左爬行102个单位长度，到达A 点则A 点表示的数是____． 16．假设a ，b ，c ，d 都是不等于0的数，对于四个数ac ，-bd ，-cd ，-ab ，考察下述说法： ①这4个数全是正数； ②这4个数全是负数；③这4个数中至少有一个为正数； ④这4个数中至少有一个为负数； ⑤这4个数的和必不为0其中正确说法的序号是______．（把你认为正确说法的序号都填上） 三、解答题（第17、18题各20分，第19题30分，共70分）17．如图是德国1998年发行的纪念在柏林召开的国际数学家大会的邮票，它的图案是一个长方形，这个长方形被分割成大小各不相同的11个正方形．如果这个分割图中所有的正方形的边长都是整数，•那么这个长方形的周长最小是多少？18．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A ，B 的坐标分别为（0，a ）和（9，a ），•点E 在AB 上，且AE=13AB ，点F 在OC 上，且OF=13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为20，△GFB•的面积为16，试求a 的值．19．某租赁公司拥有100辆汽车．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．•当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月公司需要维护费150元，未租出的车每辆每月公司需要维护费50元．（1）已知1月份每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？（2）已知2月份的维护费开支为12900元，问该月租出了多少辆车？（3）比较1、2两月的月收益，哪个月的月收益多？多多少？（4）试推测，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？（第4问只要求写出结果，不要求写出推算过程）．（注：月收益等于该月的租金与维护费之差）．参考答案一、1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．D 7．A 8．A 二、9．194 10．32 11．4 12．126 13．142514．10 15．-55 16．③，④三、17．设最小、次小和中间小正方形的边长依次为x ，y ，z （如图，正方形边长均写成正方形内），则其它正方形的边长如图所示，从而，最大正方形的边长为x+3y+2z=3y+8x-z ， 化简得：7x=3z ． ① 又考虑长方形的宽，可得 6x+5y+2z=3x+8y+z ， 化简得：3x-3y+z=0 ② 由①，②得：73,169.x z x y =⎧⎨=⎩由于x ，y ，z 都是正整数，则x 的最小值为9，从而y 和z 的最小值依次为16，21，•此时长方形的邻边长分别为： 9x+6y=177， 6x+5y+2z=176．因此所求最小周长为（177+176）×2=706．18．设G 之坐标为（0，b ），b>0，∵S 长方形OABC -S △GEC =S △OGC +S △AGE +S △BEC ． ∴9a-20=12·9b+12·3（a-b ）+12·6a ． 解得b=32a-203． 同理，∵S 长方形OABC -S △GFB =S △ABG +S △OGF +S △BFC ． ∴9a-16=12·9（a-b ）+12·3b+12·6a ， 化简得3a=32-6b ． 将b=32a-203代入上式得 3a=72-9a ，解得a=6．19．（1）月租金为3600元时，未租出的车辆数为（3600-3000）÷50=•12，•故租出了100-12=88辆．（2）设2月份租出了x 辆，则 150x+50（100-x ）=12900，解得x=79，因此2月份租出了79辆车．（3）1月份的收益为（3600-150）×88-50×12=303000元，2•月份的月收益为3000+50×21=4050元，所以2月份的月收益为4050×79-12900=307050元， 故2月份收益多，多4050元．（4）月租金为4050元时，收益最大．。
“时代杯”2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛答案
“时代杯”2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组）（2013年12月18日下午15∶30 ~ 17∶00）注意事项：1． 本试卷共4页．满分150分．考试时间90分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分） 1．设a 为负数，化简，结果是 （ ） A ．- C ．-2．如图，AB 是圆O 的直径，PB ，PC 分别切圆O 于点B ，C ． 若∠ACE ＝25°，则∠P 等于 （ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x |x |－4x ＋1的图像与x 轴交点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，点D 在边AB 上，且AD :DB = 3:2，AC ⊥CD ， 则tan A 等于 （ ） A ．25B ．35C ．235D ．3355．设a ，b 为实数，c 为整数，代数式ax 3＋bx ＋c 在x ＝1时的值为M ，在x ＝－1时的值为N ，则M 和N 一定不可能是 （ ）A ．M ＝1且N ＝2B ．M ＝3且N ＝1密封线姓名学校考号（第2题）DC BA（第4题）C ．M ＝2且N ＝4D ．M ＝4且N ＝66．如图所示的几何体是由11个相同的小正方体摆放而成，在不改变它的三视图的情况下，最多可以取走小正方体的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（每题7分，共28分）7．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，所取出两个数满足其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．8．如图，圆A 的半径为2cm ，圆B 的半径为4cm ．当点B 在圆A 的圆周上运动一周后，圆B 的圆周扫出的图形的面积为__________cm 2．9．设k 是正整数，记k !＝1×2×3×…×k ，S ＝1!·(12＋1＋1)＋2!·(22＋2＋1)＋3!·(32＋3＋1)＋…＋100!·(1002＋100＋1) ，则!1011S ＝ ． 10．在△ABC 中，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点．已知CE ＝6，BF ＝9，则△ABC 面积的最大值为 ．三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分） 11．（本题满分18分）甲桶中有纯酒精5千克，乙桶中只有纯水10千克．第一次从甲桶中取出x 千克的酒精，从乙桶中取出x 千克的水，倒入对方桶内搅拌均匀．第二次再从甲桶中取出x 千克的混合液，从乙桶中取出x 千克的混合液，倒入对方桶内搅拌均匀． （1）用含x 的式子分别表示第一次倒入对方桶内搅拌后甲、乙两桶的酒精浓度； （2）若第二次倒入对方桶内搅拌后，甲、乙两桶的酒精浓度相等，求x 的值．（第8题）（第6题）正前方12．（本题满分18分）设n为正整数，a为非零实数，已知3252345nn na aa a a+++-++＝3，求1na-的值．13．（本题满分22分）如图，M是△ABC的边AB的中点，D是MC延长线上一点，满足∠ACM＝∠BDM．（1）求证：AC＝BD；（2）若∠CMB＝60°，求ABCD的值．A BCDM(第13题)14．（本题满分22分）（1）若一个整数m 可以表示为形如a 2＋kb 2（a ，b ，k 均为整数），则称m 为“k 型数”．如13是“3型数”，因为13＝12＋3·22．又如－26是“-3型数”，因为－26＝12＋(－3)·32． （i ）证明：若两个整数m ，n 都是“1型数”，则这两数的积mn 也是“1型数”； （ii ）已知两个整数m ，n 都是“k 型数”，试判断mn 是否是“k 型数”，并说明理由． （2）试求满足⎩⎨⎧xy ＋2zw ＝7，xz －yw ＝3的整数数组(x ，y ，z ，w )的个数．“时代杯”2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题参考解答一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分） 1． D ． 2． A ． 3． C ． 4． C ． 5． A ． 6． B ．二、填空题（每题7分，共28分） 7． 13．8． 32π． 9． 101． 10．36．三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分） 11．（本题满分18分）解：（1）第一次倒入对方桶内搅拌后甲桶的酒精浓度为55x-， 乙桶的酒精浓度为10x． …………… 6分 （2）第二次倒入对方桶内搅拌后甲桶的酒精浓度为5(5)5105x xx x-⨯-+⨯， 乙桶的酒精浓度为5(10)51010x xx x -⨯+⨯-． …………… 12分 由5(5)5105x x x x -⨯-+⨯＝5(10)51010x xx x -⨯+⨯-， …………… 15分 得29601000x x -+=，解之得103x =． 故符合题意的x 的值为103． …………… 18分密封线姓名 学校考号12．（本题满分18分）解：因为3252345n n n a a a a a+++-++ 3322111n n n a a a ----=++ ………… 6分 1221221(1)(1)1n n n n n a a a a a ------++=++ 11n a -=-， ………… 16分 而3252345n n n a a a a a+++-++＝3，所以11n a --＝3 故1n a-＝4． ………… 18分13．（本题满分22分）证明：（1）如图(1)，延长CM 到F ，使得MF ＝CM ，连接AF ，BF ． 因为M 是AB 的中点，所以四边形AFBC 是平行四边形．……… 5分 从而AC ＝FB ，且∠ACM ＝∠BFM ． 又因为∠ACM ＝∠BDM ， 所以∠BFM ＝∠BDM ， 从而BD ＝BF ．因此AC ＝BD ． ……… 10分 （2）如图（2），延长CM 到点E ，使得EM ＝CD ，则MD ＝EC ． ……… 14分 因为AC ＝BD ，∠ACE ＝∠BDM ，所以△ACE ≌△BDM ． ……… 18分 从而AE ＝BM ＝AM ． 又因为∠CMB ＝60°，所以EM ＝AM ，从而有AB ＝2AM ＝2EM ＝2CD ． 于是AB CD的值为2． ……… 22分ABCDFM(第12题(1))ABCDEM (第12题(2))14．（本题满分22分）解：（1）（i ）由题设，可令22m a b =+，22n c d =+，其中a ，b ，c ，d 均为整数，则 2222()()mn a b c d =++=22()1()ac bd ad bc ++⋅-，而ac ＋bd 和ad －bc 均为整数，所以mn 也是“1型数”． ………… 5分 （ii ） 由题设可令22m a kb =+，22n c kd =+，其中a ，b ，c ，d ，k 均为整数，则 2222()()mn a kb c kd =++=22()()ac kbd k ad bc ++⋅-，而ac ＋kbd 和ad －bc 均为整数，所以mn 也是“k 型数”． …………… 10分 （2）因为2222(2)2()72367xy zw xz yw ++-=+⋅=． 利用（1）中（ii ）的结论知222222(2)2()(2)(2)xy zw xz yw x w y z ++-=++． ……………… 14分所以2222(2)(2)67x w y z ++=．因为67为质数，所以⎩⎨⎧x 2＋2w 2＝1，y 2＋2z 2＝67或⎩⎨⎧x 2＋2w 2＝67，y 2＋2z 2＝1．从而解得⎩⎨⎧x 2＝1，y 2＝49，z 2＝9，w 2＝0，或⎩⎨⎧x 2＝49，y 2＝1，z 2＝0，w 2＝9．……………… 18分经检验，符合原方程组的数组(x ，y ，z ，w )＝(1，7，3，0)，(－1，－7，－3，0)，(7，1，0，－3)，(－7，－1，0，3)． 故所求数组(x ，y ，z ，w )的个数为4． ……………… 22分。