中学数学研究(几何部分)习题库
中考数学总复习专题十与几何图形有关的探究题试题新人教版【含解析】
专题十与几何图形相关的研究题图形变化问题【例 1】( 2016·沈阳 ) 在△ ABC中， AB＝ 6， AC＝ BC＝ 5，将△ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转，获得△ ADE，旋转角为α (0°＜α ＜180° )，点B的对应点为点D，点 C 的对应点为点 E，连结 BD， BE.(1)如图，当α＝ 60°时，延长 BE交 AD于点 F.①求证：△ ABD 是等边三角形；②求证： BF⊥AD， AF＝ DF；③请直接写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点 D作 DG垂直于直线 AB，垂足为点 G，连结 CE，当∠ DAG＝∠ACB，且线段 DG与线段 AE无公共点时，请直接写出 BE＋ CE的值．剖析： (1) ①由旋转性质知 AB＝ AD，∠ BAD＝ 60°即可得证；②由 BA＝ BD，EA＝ ED依据垂直均分线的性质即可得证；③分别求出BF，EF的长即可得答案；(2) 由等量代换可证∠BAE＝∠ BAC，依据三线合一可得 CE⊥ AB，进而可得 CE＝ 2CH＝ 8， BE＝ 5，即可得答案．解： (1) ①∵△ ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°获得△ ADE，∴ AB＝ AD，∠ BAD＝ 60°，∴△ ABD是等边三角形②由①得△ ABD 是等边三角形，∴ AB＝ BD，∵△ ABC绕点 A 顺时针方向旋转 60°获得△ADE，∴ AC＝ AE， BC＝ DE，又∵ AC＝ BC，∴ EA＝ ED，∴点 B， E 在 AD的垂直均分线上，∴ BE是 AD的垂直均分线，∵点 F 在 BE的延长线上，∴ BF⊥AD， AF＝DF③由②知 BF⊥AD， AF＝ DF，∴ AF＝DF＝ 3，∵ AE＝ AC＝ 5，∴ EF＝4，∵在等边三角形ABD3＝ 3 3，∴BE＝BF－EF＝ 3 3－4中， BF＝ AB·sin∠ BAF＝6×2(2)如图，∵∠ DAG＝∠ ACB，∠ DAE＝∠ BAC，∴∠ ACB＋∠ BAC＋∠ AB C＝∠ DAG＋∠ DAE ＋∠ ABC＝ 180°，又∵∠ DAG＋∠ DAE＋∠ BAE＝ 180°，∴∠ BAE＝∠ ABC，∵ AC＝ BC＝AE，∴11∠BAC＝∠ ABC，∴∠ BAE＝∠ BAC，∴ AB⊥ CE，且CH＝HE＝2CE，∵ AC＝ BC，∴ AH＝ BH＝2AB＝3，则 CE＝ 2CH＝ 8， BE＝ AE＝5，∴ BE＋ CE＝ 13几何图形中的动点问题【例 2】( 2016·达州 ) △ABC中，∠ BAC＝ 90°， AB＝ AC，点 D为直线 BC上一动点 ( 点D 不与 B， C重合 ) ，以 AD为边在 AD右边作正方形 ADEF，连结 CF.1(1)察看猜想如图 1，当点 D在线段 BC上时，① BC与 CF 的地点关系为 __垂直 __；② BC， CD， CF 之间的数目关系为 __BC＝ CD＋ CF__；(2)数学思虑如图 2，当点 D 在线段 CB的延长线上时，结论①，②能否仍旧建立？若建立，请赐予证明；若不建立，请你写出正确结论再赐予证明．(3)拓展延长如图 3，当点 D 在线段 BC的延长线上时，延长 BA交 CF于点 G，连结 GE.若已知 AB＝22，1CD＝ BC，恳求出GE的长．4剖析： (2) 依据正方形的性质获得∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△ DAB≌△ FAC，依据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可获得结论；(3) 过 A 作 AH⊥BC于点 H，过 E 作 EM⊥BD 于点 M， EN⊥ CF 于点 N，先求出 AH， DH，证△ ADH≌△ DEM( AAS) 获得 EM＝DH， DM ＝AH，由等量代换获得 CN＝ EM，EN＝ CM，依据等腰直角三角形的性质获得 CG＝ BC＝4，依据勾股定理即可获得结论．解：(2)CF ⊥BC 建立；BC＝CD＋CF不建立，CD＝CF＋BC.证明：∵正方形ADEF，∴AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，可证△DAB≌△FAC( SAS) ，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝ AC，∴∠ ACB＝∠ ABC＝ 45° . ∴∠ ABD＝180°－ 45°＝ 135°，∴∠ BCF ＝∠ ACF－∠ ACB ＝ 135°－ 45°＝ 90°，∴ CF⊥BC.∵ CD＝DB＋ BC， DB＝ CF，∴ CD＝ CF＋ BC(3) 过 A 作 AH⊥BC 于点 H，过 E 作 EM⊥BD 于点 M，EN⊥ CF 于点 N，∵∠ BAC＝ 90°， AB111＝AC，∴ BC＝ 2AB＝ 4，AH＝2BC＝ 2，∴CD＝4BC＝1，CH＝2BC＝ 2，∴ DH＝ 3，由 (2) 证得 BC⊥CF，CF＝ BD＝ 5，∵四边形 ADEF是正方形，∴ AD＝ DE，∠ ADE＝ 90°，∵ BC⊥ CF， EM⊥ BD， EN⊥ CF，∴四边形 CMEN是矩形，∴ NE＝ CM， EM＝ CN，∵∠ AHD＝∠ ADC＝∠ EMD＝ 90°，∴∠ ADH ＋∠ EDM＝∠EDM＋∠ DEM＝ 90°，∴∠ ADH＝∠ DEM，可证△ ADH≌△ DEM(AAS) ，∴ EM＝DH＝ 3，DM＝ AH＝ 2，∴CN＝ EM＝3， EN＝ CM＝ 3，∵∠ ABC＝ 45°，∴∠ BGC＝ 45°，∴△ BCG是等腰直角三角形，∴ CG＝BC＝ 4，∴ GN＝ 1，∴ EG＝22GN＋ EN＝ 10几何图形中的动线问题【例 3】( 2016·广东 ) 如图， BD是正方形ABCD的对角线， BC＝ 2，边 BC在其所在的直线上平移，将经过平移获得的线段记为 PQ，连结 PA，QD，并过点 Q作 QO⊥ BD，垂足为 O，连结 OA， OP.(1)请直接写出线段 BC在平移过程中，四边形 APQD是什么四边形？(2)请判断 OA，OP之间的数目关系和地点关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设 y＝S△OPB， BP＝x(0 ≤ x≤ 2) ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 y 的最大值．剖析： (2) 证△ AOB≌△ POQ，可得 AO与 OP的数目与地点关系； (3) 依据等腰直角三角形2的性质可得 OE 的长，依据三角形的面积公式可得二次函数， 依据二次函数的性质可得答案．解： (1) 四边形 APQD 为平行四边形(2)OA ＝ OP ， OA ⊥ OP.证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝ BC ＝ PQ ，∠ ABO ＝∠ OBQ＝ 45 °，∵ OQ ⊥ BD ，∴∠ PQO ＝ 45°，∴∠ ABO ＝∠ OBQ ＝∠ PQO ＝ 45 °，∴ OB ＝ OQ ，可证 △AOB ≌△ POQ( ) ，∴ OA ＝OP ，∠ AOB ＝∠ POQ ，∴∠ AOP ＝∠ BOQ ＝ 90°，∴ OA ⊥ OPSASx ＋ 2(3) 过点 O 作 OE ⊥BC 于点 E. ①如图1，当 P 点在 B 点右边时，则 BQ ＝x ＋ 2， OE ＝ 2 ，1 x ＋2 121∴y ＝ 2×2 ·x ，即 y ＝4(x ＋ 1) － 4，又∵ 0≤x ≤2，∴当 x ＝ 2 时， y 有最大值为2；②如2－ x 1 2－ x1 2图 2，当 P 点在 B 点左边时，则 BQ ＝ 2－x ，OE ＝ 2 ，∴ y ＝ 2×2 ·x ，即 y ＝－ 4(x － 1)1 1＋ ，又∵ 0≤x ≤2，∴当 x ＝ 1 时， y 有最大值为. 综上所述，平移过程中△ OPB 的面积的最44大值为 21． ( 导学号 59042307)( 2016· 福州 ) 如图，矩形 ABCD 中， AB ＝ 4， AD ＝ 3， M 是边 CD 上一点，将△ ADM 沿直线 AM 对折，获得△ ANM.(1) 当 AN 均分∠ MAB 时，求 DM 的长；(2) 连结 BN ，当 DM ＝ 1 时，求△ ABN 的面积；(3) 当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值．解： (1) 由折叠知△ ANM ≌△ ADM ，∴∠ MAN ＝∠ DAM ，∵ AN 均分∠ MAB ，∴∠ MAN ＝∠ NAB ，∴∠ DAM ＝∠ MAN ＝∠ NAB ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ DAB ＝90°，∴∠ DAM ＝ 30°，∴ DM＝AD · tan ∠ DAM ＝3× tan 30°＝ 3× 3＝ 33(2) 如图 1，延长 MN 交 AB 延长线于点 Q ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ∥ DC ，∴∠ DMA＝∠ MAQ ，由折叠知△ ANM ≌△ ADM ， ∴∠ DMA ＝∠ AMQ ，AN ＝ AD ＝ 3，MN ＝ MD ＝ 1，∴∠ MAQ ＝∠ AMQ ，∴MQ ＝ AQ ，设 NQ ＝ x ，则 AQ ＝MQ ＝ 1＋x ，∵∠ ANM ＝ 90°，∴∠ ANQ ＝ 90°，在 Rt △ ANQ 中，由勾股定理得2 2 2 2 2 2AQ ＝ AN ＋NQ ，∴ (x ＋1) ＝ 3 ＋ x ，解得 x ＝4，∴ NQ ＝4， AQ ＝5，∵ AB ＝4，4 4 1 4 1 24 AQ ＝ 5，∴ S △ NAB ＝ 5S △NAQ ＝ 5× 2AN ·NQ ＝ 5×2×3×4＝ 5(3) 如图 2，过点 A 作 AH ⊥BF 于点 H ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ∥ DC ，∴∠ HBA ＝∠ BFC ，∵∠ AHB ＝∠ BCF ＝ 90°，∴△ ABH ∽△ BFC ，∴ BH CFN ， H＝ ，∵ AH ≤ AN ＝3， AB ＝ 4，∴当点 AH BC3重合 ( 即 AH ＝AN)时， AH 最大， BH 最小， CF 最小， DF 最大，此时点 M ， F 重合， B ， N ， M 三点共线，如图 3，由折叠知 AD ＝ AH ，∵ AD ＝ BC ，∴ AH ＝ BC ，可证△ ABH ≌△ BFC( AAS )，∴ CF＝BH ，由勾股定理得 BH ＝ 2 2 2 27，∴ CF ＝ 7，∴ DF 的最大值＝ DC －CF＝ AB － AH ＝ 4 － 3 ＝ 4－ 72．( 导学号 59042308 )( 2016· 黑龙江 ) 如图，在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 的极点 O 是坐标原点， 点 A 在第一象限， 点 C 在第四象限， 点 B 在 x 轴的正半轴上， ∠ OAB ＝90°且 OA ＝ AB ， OB ， OC 的长分别是一元二次方程 x 2－ 11x ＋ 30＝0 的两个根 (OB ＞ OC)．(1) 求点 A 和点 B 的坐标；(2) 点 P 是线段 OB 上的一个动点 ( 点 P 不与点 O ，B 重合 ) ，过点 P 的直线 l 与 y 轴平行，直线 l 交边 OA 或边 AB 于点 Q ，交边 OC 或边 BC 于点 R. 设点 P 的横坐标为 t ，线段 QR 的长度为 m ，已知 t ＝ 4 时，直线 l 恰巧过点 C ，当 0＜ t ＜ 3 时，求 m 对于 t 的函数关系式；(3) 当 m ＝ 3.5 时，请直接写出点 P 的坐标．解： (1) ∵方程 x 2－11x ＋ 30＝ 0 的解为 x 1＝ 5， x 2＝6，∴ OB ＝ 6， OC ＝5，∴ B 点坐标为(6 ， 0) ，作 AM ⊥x 轴于点 M ，∵∠ OAB ＝ 90°且 OA ＝ AB ，∴△ AOB 为等腰直角三角形，∴ OM1 ＝BM ＝ AM ＝ 2OB ＝ 3，∴ A 点坐标为 (3 ，3)(2) 作 CN ⊥ x 轴于点 N ，∵ t ＝4 时，直线 l 恰巧过点 C ，∴ ON ＝ 4，在 Rt △ OCN 中， CN ＝2 2 2 23 OC － ON ＝ 5 －4 ＝ 3，∴ C 点坐标为 (4 ，－ 3) ，可求直线 OC 的分析式为 y ＝－ 4x ，直线3 3 7 OA 的分析式为 y ＝ x ，∵ P(t ，0)(0 ＜ t ＜3) ，∴ Q(t ，t) ，R(t ，－ 4t) ，∴ QR ＝t － ( － 4t) ＝ 47 t ，即 m ＝4t(0 ＜ t ＜ 3)3 (3) 可求直线 AB 的分析式为 y ＝－ x ＋ 6，直线 BC 的分析式为 y ＝ x －9，当 0＜ t ＜ 3 时，277m ＝ 4t ，若 m ＝ 3.5 ，则 4t ＝ 3.5 ，解得 t ＝ 2，此时 P 点坐标为 (2 ， 0) ；当 3≤t ＜ 4 时， Q(t ，3 3 1 1－t ＋ 6) ，R(t ，－ t) ，∴ m ＝－ t ＋6－ ( － t) ＝－t ＋6，若 m ＝ 3.5 ，则－t ＋ 6＝3.5 ，解444433得 t ＝ 10( 不合题意舍去 ) ；当 4≤t ＜ 6 时， Q(t ，－ t ＋6) ，R(t ， t － 9) ，∴ m ＝－ t＋6－ (22552323t － 9) ＝－ 2t ＋ 15，若 m ＝ 3.5 ，则－ 2t ＋ 15＝ 3.5 ，解得 t ＝ 5 ，此时 P 点坐标为 ( 5 ，0) ．综 上所述，知足条件的P 点坐标为 (2 ， 0) 或(23， 0)543．( 导学号 59042309)( 2016·扬州 ) 已知正方形 ABCD的边长为 4，一个以点 A 为极点的 45°角绕点 A 旋转，角的两边分别与边 BC，DC的延长线交于点 E，F，连结 EF. 设 CE＝ a，CF＝ b.(1)如图 1，当∠ EAF 被对角线 AC均分时，求 a， b 的值；(2)当△ AEF 是直角三角形时，求 a， b 的值；(3)如图 3，研究∠ EAF 绕点 A 旋转的过程中 a， b 知足的关系式，并说明原因．解： (1) ∵四边形 ABCD是正方形，∴∠ BCD＝ 90°，∵ AC是正方形 ABCD的对角线，∴∠ACB＝∠ ACD＝ 45°，∴∠ ACF＝∠ ACE，∵∠ EAF 被对角线 AC 均分，∴∠ CAF＝∠ CAE，可证△ ACF≌△ ACE( ASA)，∴ AF＝CE，CF＝CE，∵ CE＝ a， CF＝ b，∴ a＝ b，∵ AF＝ CE，∴∠ AEF ＝∠ AFE，∵∠ EAF＝ 45°，∴∠ AEF＝∠ AFE＝ 67.5 °，∵ CE＝ CF，∠ ECF＝90°，∴∠ CEF ＝∠ CFE＝ 45°，∴∠ AEC＝∠ AFC＝ 22.5 °，∵∠ CAF＝∠ CAE＝ 22.5 °，∴∠ CAE＝∠ CEA，∴CE＝ AC＝4 2，即 a＝ b＝4 2(2)当△ AEF 是直角三角形时，①若∠ AEF＝ 90°，∵∠EAF＝ 45°，∴∠ AFE＝ 45°，∴△ AEF是等腰直角三角形， AE＝ EF，∵∠ AEB＋∠ BEF＝90°，∠ AEB＋∠ BAE＝90°，∴∠ BEF＝∠ BAE，可证△ ABE≌△ ECF(AAS) ，∴ AB＝EC， BE＝CF，即 a＝ AB＝ 4， b＝ BE＝BC＋ CE＝8；②若∠ AFE＝90°，同①的方法知CF＝ 4， CE＝ 8，∴a＝ 8， b＝ 4(3)ab ＝ 32. 原因：如图，∵ AC是正方形ABCD的对角线，∠ EAF＝45°，∴∠ ACD＝45°，∠ACF＝135°，∠ ACE＝135°，又∵∠ ACD＝∠ CAF＋∠ AFC，∠ EAF＝∠ EAC＋∠ FAC，∴∠ AFCAC CF22＝∠ EAC，又∵∠ ACF＝∠ ACE＝135°，∴△ ACF∽△ ECA，∴EC＝AC，∴ EC× CF＝ AC＝ 2AB＝32，∴ ab＝ 321． ( 导学号59042310)( 2016·随州 ) 喜好思虑的小茜在研究两条直线的地点关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图 2，图 3 中， AM，BN是△ ABC的中线， AM⊥BN于点 P，像△ ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝ a， AC＝b， AB＝ c.【特例研究】(1) 如图 1，当tan∠ PAB＝ 1， c＝4 2时， a＝ __4 5__， b＝ __4 5__；如图 2，当∠ PAB＝ 30°， c＝ 2 时， a＝ __ 7__， b＝__ 13__；5【概括证明】(2)请你察看 (1) 中的计算结果，猜想 a2，b2， c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你的结论．【拓展证明】(3)如图 4， ?ABCD中， E， F 分别是 AD， BC 的三均分点，且 AD＝ 3AE，BC＝ 3BF，连结AF， BE， CE，且 BE⊥CE于点 E， AF 与 BE 订交点 G， AD＝35， AB＝ 3，求 AF 的长．解： (2)a 2＋ b2＝ 5c2.证明：连结MN.∵AM， BN是中线，1∴ MN∥AB， MN＝2AB，∴△ MPN∽△ APB，MPPN1∴＝＝，AP PB2设 MP＝ x， NP＝y，则 AP＝ 2x， BP＝ 2y ，2222222∴ a＝ BC＝4BM＝ 4(MP＋ BP ) ＝4x ＋ 16y，22222＝ 4y2＋ 16x2b ＝ AC＝ 4AN＝ 4(PN＋AP )，222222c ＝ AB＝ AP＋ BP＝ 4x＋ 4y，∴a2＋ b2＝20x 2＋ 20y 2＝5(4x 2＋ 4y2) ＝ 5c2(3)由 AAS可证△AGE≌△FGB，∴BG＝FG，取 AB中点 H，连结 FH 并延长交 DA的延长线于点 P，同理可证△ APH≌△ BFH，∴ AP＝BF， PE＝CF＝ 2BF，即 PE∥CF， PE＝ CF，∴四边形 CEPF是平行四边形，∴FP∥ CE，∵BE⊥CE，∴ FP⊥ BE，即 FH⊥BG，∴△ ABF是中垂三角形，由 (2) 可知 AB2＋ AF2＝5BF2，1∵AB＝3， BF＝ AD＝ 5，3∴9＋ AF2＝5×( 5) 2，∴ AF＝ 42． ( 导学号 59042311)( 2016·河南 )(1) 发现：如图 1，点 A 为线段 BC外一动点，且BC＝a， AB＝ b.填空：当点 A 位于 __CB的延长线上 __时，线段 AC 的长获得最大值，且最大值为 __a＋b__． ( 用含 a， b 的式子表示 )(2)应用：如图 2，点 A 为线段 BC外一动点，且 BC＝ 3， AB＝ 1，分别以 AB，AC为边，作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE，连结 CD， BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明原因；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (2 ， 0) ，点 B 的坐标为 (5 ，0) ，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA＝2， PM＝PB，∠ BPM＝90°，请直接写出线段 AM长的最大值及此时点 P 的坐标．6解： (2) ①CD＝ BE，原因：∵△＝∠CAE＝60 °，∴ ∠BAD＋△CAD≌△ EAB( SAS)，∴ CD＝BE ABD 与△ ACE是等边三角形，∴AD＝ AB，AC＝ AE，∠BAD ∠BAC＝∠CAE ＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，可证②∵线段 BE 长的最大值＝线段 CD长的最大值，由 (1) 知，当线段 CD的长获得最大值时，点D 在 CB的延长线上，∴最大值为 BD＋ BC＝ AB＋ BC＝ 4(3)如图 1，连结 BM，将△ APM绕着点 P 顺时针旋转 90°获得△ PBN，连结 AN，则△ APN是等腰直角三角形，∴ PN＝ PA＝2， BN＝ AM，∵ A 的坐标为 (2 ， 0) ，点 B 的坐标为 (5 ， 0) ，∴OA＝ 2， OB＝ 5，∴ AB＝ 3，∴线段 AM长的最大值＝线段 BN长的最大值，∴当点 N 在线段 BA的延长线上时，线段 BN获得最大值，最大值＝ AB＋ AN，∵ AN＝2AP＝2 2，∴最大值为 2 2＋ 3. 如图 2，过 P 作 PE⊥x轴于 E，∵△ APN是等腰直角三角形，1∴PE＝ AE＝2AN＝2，∴ OE＝OA－ AE＝ 2－2，∴ P(2 －2，2)3． ( 导学号59042312)( 2016·葫芦岛 ) 如图①，在△ ABC 中，∠ BAC＝90°， AB＝ AC，点 E 在 AC上 ( 且不与点 A，C 重合 ) ，在△ ABC 的外面作△ CED，使∠ CED＝ 90°， DE＝CE，连结 AD，分别以 AB， AD为邻边作平行四边形 ABFD，连结 AF.(1)请直接写出线段 AF，AE的数目关系 __AF＝ 2AE__；(2)将△ CED绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC上时，如图②，连结 AE，请判断线段AF， AE的数目关系，并证明你的结论；(3) 在图②的基础上，将△ CED 绕点 C 持续逆时针旋转，请判断 (2) 问中的结论能否发生变化？若不变，联合图③写出证明过程；若变化，请说明原因．7解： (2)AF ＝ 2AE.原因：连结 EF，DF 交 BC于点 K. ∵四边形 ABFD是平行四边形，∴ AB∥DF，∴∠ DKE＝∠ ABC＝ 45°，∴∠ EKF＝ 180°－∠ DKE＝ 135°，∵∠ ADE＝ 180°－∠ EDC＝180°－ 45°＝ 135°，∴∠ EKF＝∠ ADE，∵∠ DKC＝∠ C，∴ DK＝ DC，∵ DF＝ AB＝ AC，∴ KF ＝AD，可证△ EKF≌△ EDA( SAS) ，∴ EF＝ EA，∠ KEF＝∠ AED，∴∠ FEA＝∠ BED＝ 90°，∴△ AEF是等腰直角三角形，∴ AF＝ 2AE(3)结论不变， AF＝ 2AE.原因：连结 EF，延长 FD 交 AC于点 K. ∵∠ EDF＝ 180°－∠ KDC－∠EDC＝ 135°－∠ KDC，∠ ACE＝ (90 °－∠ KDC)＋∠ DCE＝ 135°－∠ KDC，∴∠ EDF＝∠ ACE，∵DF＝AB， AB＝ AC，∴ DF＝ AC，可证△ EDF≌△ ECA( SAS) ，∴ EF＝ EA，∠ FED＝∠ AEC，∴∠FEA＝∠ DEC＝ 90°，∴△ AEF是等腰直角三角形，∴ AF＝2AE8。
中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二 平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ， 此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一 动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大， 而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ， 由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538， 因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ， 在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ， 在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ， 又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2， 解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去． 综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2， 解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3， 则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二 平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ， 在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ， 在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10， 又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3， 由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82， 解得x ＝10， 故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ， 在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ， 在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ， 由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ， 同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形， 又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013， 解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5， 解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2， 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47， 设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43， 解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ， 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12， 即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12， 又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)， 当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°， 在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ， 设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ， 又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三 图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ， 在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下： 由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°， 即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下： 如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ， 又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2， 由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ， 又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6， 解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF， 由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)， 解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°， 过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ， 类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。
中考数学复习《几何探究题》
中考数学复习专题——几何探究型问题1.(2019•北京)在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果 DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称 DE为△ABC的中内弧.例如，图1中 DE是△ABC的一条中内弧.(1)如图2，在Rt△ABC中，AB=AC22=，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧 DE，并直接写出此时 DE的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(0，0)，C(4t，0)(t>0)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.①若t12=，求△ABC的中内弧 DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧 DE，使得 DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围.2.(2019•天津)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0)，点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°.矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2. (Ⅰ)如图①，求点E的坐标；(Ⅱ)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′.设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S.①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB 相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当3 S≤53时，求t的取值范围(直接写出结果即可).3.(2019•陕西)问题提出：(1)如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：(3)如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由.(塔A的占地面积忽略不计)4.(2019•海南)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证：△PDE≌△QCE；(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由.5.(2019•江西)在图1，2，3中，已知 ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.(1)如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；(2)如图2，连接AF.①填空：∠FAD__________∠EAB(填“>”“<”“=”)；②求证：点F在∠ABC的平分线上.(3)如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求BCAB的值.6.(2019•宁夏)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点(点M不与A，B重合)，且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x.(1)试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；(2)是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；(3)当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值.7.(2019•安徽)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证：△PAB∽△PBC；(2)求证：PA=2PC；(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3.8.(2019•重庆A卷)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP.(1)若DP=2AP=4，CP17=，CD=5，求△ACD的面积.(2)若AE=BN，AN=CE，求证：AD2=CM+2CE.9.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135，点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动，点Q 从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E，点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间是t秒(t>0)(1)当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；(2)当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC?(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD，DA上时，S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)10.如图，在平面直角坐标系中，点A (3，0)，B (33，2)，C (0，2)，动点D 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连结OA 、OF ，设运动时间为t 秒.(1)求∠ABC 的度数；(2)当t 为何值时，AB ∥DF ；(3)设四边形AEFD 的面积为S ，①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线y =x 2+mx 经过动点E ，当S <23时，求m 的取值范围.11.ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2cm AC =.长为1cm 的线段MN 在ABC ∆的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动(运动前点M 与点A 重合).过M N ，分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts.(1)若AMP∆的面积为y，写出y与t的函数关系式(写出自变量t的取值范围)；(2)线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；(3)t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？QPBAC12.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=x cm(x≠0)，AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm.⑴当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形⑵当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；⑶以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.A BDC PQ MN参考答案1.【解析】(1)如图2，以DE为直径的半圆弧 DE，就是△ABC的最长的中内弧 DE，连接DE，∵∠A=90°，AB=AC22=，D，E分别是AB，AC的中点，∴BC22sin sin45ACB===︒4，DE12=BC12=⨯4=2，∴弧 12DE=⨯2π=π.(2)如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t12=时，C(2，0)，∴D(0，1)，E(1，1)，F(12，1)，设P(12，m)由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠ACO=45°，∵DE∥OC，∴∠AED=∠ACO=45°，作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF1 2 =，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点G)直线FP上时也符合要求，∴m1 2≤，综上所述，m12≤或m≥1.②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM3 2 =，∴P(t，32 )，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠AOB=90°，∴AE===∵PD=PE，∴∠AED=∠PDE，∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，∴∠DAE=∠ADP，∴AP =PD =PE 12=AE ，由三角形中内弧定义知，PD ≤PM ，∴12AE 32≤，AE ≤3≤3，解得：t ≤，∵t >0，∴0<t ≤2.【解析】(Ⅰ)∵点A (6，0)，∴OA =6，∵OD =2，∴AD =OA -OD =6-2=4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED =∠ABO =30°，在Rt △AED 中，AE =2AD =8，ED ===，∵OD =2，∴点E 的坐标为(2，(Ⅱ)①由平移的性质得：O ′D ′=2，E ′D ME ′=OO ′=t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM =∠ABO =30°，∴在Rt △MFE ′中，MF =2ME ′=2t ，FE ′===，∴S △MFE ′12=ME ′·FE ′12=⨯t t 22=，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′=O ′D ′·E ′D =，∴S =S 矩形C ′O ′D ′E ′-S △MFE ′232-，∴S32=-t2+83，其中t的取值范围是：0<t<2；②当S3=时，如图③所示：O'A=OA-OO'=6-t，∵∠AO'F=90°，∠AFO'=∠ABO=30°，∴O'F3=O'A3=(6-t)，∴S12=(6-t)⨯3(6-t)=3，解得：t=6-2，或t=6+2(舍去)，∴t=6-2；当S=53时，如图④所示：O'A=6-t，D'A=6-t-2=4-t，∴O'G3=t)，D'F3=t)，∴S12=3(6-t)3+t3解得：t5 2 =，∴3≤S3时，t的取值范围为52≤t≤62-.3.【解析】(1)如图记为点D所在的位置.(2)如图，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB.∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8.(3)可以，如图所示，连接BD，∵A为 BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧 BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形.连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，∵E′A⊥BD，∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，∴S△BDE12=·BD·EF12≤·BD·E′A=S△E′BD，∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=10022)，所以符合要求的 BCDE的最大面积为2.4.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E是CD的中点，∴DE=CE，又∵∠DEP=∠CEQ，∴△PDE≌△QCE.(2)①∵PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE=QE，∵EF∥BQ，∴PF=BF，∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠P AF，∴∠PAF=∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x，由(1)可得△PDE≌△QCE，∴CQ=PD=x，∴BQ=BC+CQ=1+x，∵点E、F分别是PQ、PB的中点，∴EF是△PBQ的中位线，∴EF12=BQ12x+=，由①知AP=EF，即1-x12x+ =，解得x1 3 =，∴PD13=，AP23=，在Rt△PDE中，DE1 2 =，∴PE136==，∴AP≠PE，∴四边形AFEP不是菱形.5.【解析】(1)∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=60°，故答案为：60°.(2)①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=180°-∠ABC=60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠FAE=60°，∴∠FAD=∠EAB，故答案为：=.②如图，作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB=∠FMB=90°，∴∠NFM=60°，又∠AFE=60°，∴∠AFN=∠EFM，∵EF=EA，∠FAE=60°，∴△AEF为等边三角形，∴FA=FE，在△AFN和△EFM中，AFN EFM FNA FME FA FE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFN≌△EFM(AAS)∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上.(3)如图，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠AGF=60°，∴∠FGE=∠AGE=30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°，∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，∴GN=2AN，∵∠DAB=60°，∠H=30°，∴∠ADH=30°，∴AD=AH=GE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD，∴BC=GE，∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°，∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB=AN=NE，∴GE=3AB，∴BC AB=3.6.【解析】(1)∵MQ⊥BC，∴∠MQB=90°，∴∠MQB=∠CAB，又∠QBM=∠ABC，∴△QBM∽△ABC.(2)当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ=MN，∴四边形BMNQ为平行四边形.(3)∵∠A=90°，AB=3，AC=4，∴BC==5，∵△QBM∽△ABC，∴QB QM BMAB AC BC==，即345x=QM=BM，解得，QM43=x，BM53=x，∵MN∥BC，∴MN AMBC AB=，即53353xMN-=，解得，MN=5259-x，则四边形BMNQ 的面积12=⨯(5259-x +x )43⨯x 3227=-(x 4532-)27532+，∴当x 4532=时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为7532.7.【解析】(1)∵∠ACB =90°，AB =BC ，∴∠ABC =45°=∠PBA +∠PBC ，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°，∴∠PBC =∠PAB ，又∵∠APB =∠BPC =135°，∴△PAB ∽△PBC .(2)∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB AB PB PC BC==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴2AB BC=，∴PB =2PC ，PA =2PB ，∴PA =2PC .(3)如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3，∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°，∴∠APC =90°，∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°，∴∠EAP =∠PCD ，∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，∴2PE AP DP PC ==，即322h h =，∴h 3=2h 2，∵△PAB ∽△PBC ，∴122h AB h =BC=，∴h 1=2h 2，∴h 12=2h 22=2h 2⋅h 2=h 2h 3.即：h 12=h 2·h 3.8.【解析】(1)作CG ⊥AD 于G ，如图1所示：设PG =x ，则DG =4-x ，在Rt △PGC 中，GC 2=CP 2-PG 2=17-x 2，在Rt △DGC 中，GC 2=CD 2-GD 2=52-(4-x )2=9+8x -x 2，∴17-x 2=9+8x -x 2，解得：x=1，即PG=1，∴GC=4，∵DP=2AP=4，∴AD=6，∴S△ACD12=⨯AD×CG12=⨯6×4=12.(2)连接NE，如图2所示：∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，在△NBF和△EAF中，NBF EAF BFN EFA AE BN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBF≌△EAF，∴BF=AF，NF=EF，∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，在△ANE和△ECM中，MEC EAF AN EC ANE ECM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ANE≌△ECM，∴CM =NE ，又∵NF 22=NE 22=MC ，∴AF 22=MC +EC ，∴AD =+2EC .9.【解析】⑴507550355t ++==()s 时，点P 到达终点C ，此时，353105QC =⨯=，所以BQ 的长为13510530-=.⑵如图1，若PQ DC ∥，又AD BC ∥，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD QC =,由35QC t BA AP t=+=，得507553t t +-=，解得1258t =，经检验：当1258t =时，有PQ DC ∥.⑶①当点E 在CD 上运动时，如图2，分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH =AD =75，于是BF =CH =30，∴DH =AF =40.又QC =3t ，从而QE QC tan C 3t DH 4t CH=⋅=⋅=(注：用相似三角形求解亦可)∴2162QCE S S QE QC t ==⋅=△.②当点E 在DA 上运动时，如图1，过点D 作DH BC ⊥于点H ，由①知4030DH CH ==，，又3QC t =，从而330ED QH QC CH t ==-=-∴()11206002QCDE S S ED QC DH t ==+=-梯形.10.【解析】(1)过点B 作BM x ⊥轴于点M∵()()022C B ，，，∴BC OA ∥，∴ABC BAM ∠=∠，∵2BM AM ==，，∴3tan 303BAM ABC BAM ∠=∠=∠=︒，.(2)∵AB DF ∥，∴30CFD CBA ∠=∠=︒，在直角三角形DCF 中，230CD t CFD =-∠=︒，，∴)2CF t =-，∵4AB =，∴4230BE t FBE =-∠=︒，，∴242BF -=，)2422t --+=，∴57t =.(3)①解法一：过点E 作EG x ⊥轴于点G ，则EG t =，OG =，∴)E t +，，∴DE x ∥轴，1112222DEF DEA S S S DE CD DE OD =+=⨯+⨯=⨯=△△.解法二：∵242BF -=，∴242CF -==，∴ODA BFE CDFOABC S S S S S =---△△△梯形)())233324142266t t t t =--+--=+，②当S <+<，∴1t <，因为0t >，所以01t <<，m <<11.【解析】⑴当点P 在AC 上时，∵AM t =，∴tg60PM AM =⋅︒=.∴()2130122y t t ==≤≤.当点P 在BC上时，)tan 304PM BM t =⋅︒=-.)()214132363y t t t t =⋅-=+≤≤.⑵∵2AC =，∴4AB =.∴413BN AB AM MN t t =--=--=-.∴()3tan 3033QN BN t =⋅︒=-.由条件知，若四边形MNQP 为矩形，需PM QN =)3t =-，∴34t =.∴当34t s =时，四边形MNQP 为矩形.⑶由⑵知，当34t s =时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ AB ∥，∴PQC ABC ∆∆∽.除此之外，当30CPQ B ∠=∠=︒时，QPC ABC ∆∆∽，此时tan 303CQ CP =︒=.∵1cos602AM AP=︒=，∴22AP AM t ==.∴22CP t =-.∵cos30BN BQ =︒=∴)3BQ t ==-.又∵BC =，∴)333CQ =-t =.∵33223t =-，12t =.∴当12t s =或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似.12.【解析】⑴当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形.当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x=1，x2=1(舍去)1∵BQ+CM=x+3x=4-1)<20，∴此时点Q与点M不重合，∴x-1符合题意.当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5，此时DN=x2=25>20不符合题意，故点Q与点M不能重合，∴x1.⑵由⑴知，点Q只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由20-(x+3x)=20-(2x+x2)得x1=0，x2=2，舍去x1，当x=2时，四边形PQMN是平行四边形；当点P在点N的右侧时，由20-(x+3x)=(2x+x2)-20得x1=-10，x2=4，舍去x1，当x=4时，四边形NQMP是平行四边形.∴当x=2或者x=4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形⑶过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F.由于2x>x，∴点E一定在点P的左侧，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x，∴x=0，x2=4，可知当x=0时不成立.1由于当x=4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴以P、Q、M、N为顶点的四边形不能是等腰梯形.。
中考数学专题复习几何探究练习(三)
中考数学专题复习几何探究练习（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．【感知】如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，由三角形全等的判定方法“SAS”易证△P AC≌△PBC，得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”【探究】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=-13x+1分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连结BD，求BD的长【应用】如图①（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图①网格中画出线段AB;（2）若存在一点P，使得P A=PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为______．2．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，①FDM的大小为度．【探究】如图①，过点A作AM1①DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM①①ADM1．【拓展】如图①，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为．3．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图①，在四边形ABCD中，AB AD BC=+，DAB∠的平分线和ABC∠的平分线交于CD边上点P．求证：PC PD=；（2）在（1）的条件下，如图①，若10AB=，1tan2PAB∠=．当PBC有一个内角是45︒时，PAD△的面积是．4．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容．结合图①，补全证明过程．【应用】如图①，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD 沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为．【拓展】如图①，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝22，BC＝4，①C＝45°，则EF的长为．5．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，10,AB=点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．()1如图①，连接,CD则CD的长为；()2如图①，'B E与AC交于点,//F DB BC'．①求证:四边形'BDB E为菱形；①连接',B C则'B FC的形状为；()3如图①，则CEF∆的周长为；6．【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作①AOB的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．①分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．①作射线OP，则OP为①AOB的平分线．（1）请写出小明作法的完整证明过程．（2）当tan①AOB＝43时，量得MN＝4cm，直接写出MON△的面积．7．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图①，点F在边CB上，连结EF．若13BFCF，则EF与AC的关系为．（2）如图①，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．8．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图①，B'E与AC交于点F，DB'①BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；①连接B'C，则①B'FC的形状为；（3）如图①，则①CEF的周长为．9．如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当四边形DEFG的形状为矩形时，ABC为______三角形；（3）连接OA，当OA BC时，四边形DEFG的形状为______．10．如图1，正方形ABCD的边长为8cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不与点A重合）．设点E，F同时出发移动t秒．(1)基础探究：如图1，在点E、F移动过程中，连接CE、CF、EF，判断CE与CF的数量与位置关系，并说明理由．(2)应用拓展：如图2，点G、H分别在边AD、BC上，且217cmGH=，连接EF，当EF与GH交于点P，且45GPE∠=︒，若点P为EF的中点，则CF的长度为________，AP的长度为________．参考答案：1．探究：BD 的长为53；应用：(1)见解析；(2)5.【解析】 【分析】探究：根据直线解析式，求出点A 、B 坐标，得到BO 、AO 的长，设BD 的长为a ，根据勾股定理列方程可求出BD ；应用：（1）根据旋转的性质作图即可；（2）根据题意可知P 点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B ∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5. 【详解】 解：探究： 由题意得：当x 0=时，y 1=；当y 0=时，x 3=；()A 3,0∴，()B 0,1. AO 3∴=，BO 1=．设BD 的长为a ．①点C 是AB 中点，CD AB ⊥交OA 于点D ，DA DB a ∴==，OD 3a =-．在Rt BOD 中，BOD 90∠=︒，222BD BO DO ∴=+，()22213a a +-=，5a 3∴=，5BD 3=． BD ∴的长为53．应用：(1)如图，线段'AB 即为所求．(2)根据题意可知P点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.2．（1）45°；（2）证明见解析；（3）22﹣2．【解析】【分析】（1）证明①CDE=①C1DE和①ADF=①C1DF，可得①FDM=12①ADC=45°；（2）先判断出①DAM1=①BAM，由（1）可知：①FDM=45°，进而判断出①AMD=45°，得出AM=AM1，即可得出结论；（3）先作高线C1G，确定①ACC1的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C1在BD上时，C1G最大，其①AC1C的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C1D，①CDE＝①C1DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，①ADC＝90°，①AD＝C1D，①F是AC1的中点，①DF①AC1，①ADF＝①C1DF，①①FDM＝①FDC1+①EDC1＝12①ADC＝45°；故答案为：45；（2）①DF①AC1，①①DFM＝90°，①①MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，①BAD＝90°，①①DAM1＝①BAM，由（1）可知：①FDM＝45°①①DFM＝90°①①AMD＝45°，①①M1＝45°，①AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，①11BA DABAM DAMAH AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABM①①ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G①AC于G，则1AC CS＝12AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，①AC＝2222+＝22，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，①CD＝C1D＝2，OD＝12AC＝2，①C1G＝C1D﹣OD＝2﹣2，①1AC CS＝12AC•C1G＝12×22（2﹣2）＝22﹣2，故答案为：22﹣2．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是①AMD=45°．3．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【解析】【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：①OC 平分AOB ∠，①AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中，OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，①AP 平分DAB ∠，①DAP BAP ∠=∠，①AP AP =，①ADP AEP △≌△．①PE PD=．①AB AD BC=+，①BE BC=，①BP平分ABC∠，①ABP CBP ∠=∠．①BP BP=．①PBE PBC△≌△．①PE PC=．①PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠P AB＝PBPA＝12，∴P A＝2PB，∵P A2+PB2＝AB2，∴PB＝25，P A＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DP A＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝12×BP×PH＝12×BP×CN+12×PH×CM，∴CM＝CN＝453，∴S△PCH＝12×45×453＝403＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠P AB＝∠H，∴tan H＝tan∠P AB＝12，∴12 PFFH，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝12×4×4＝8，故答案为：8或403．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【教材呈现】证明见解析；【应用】434；【拓展】2103；【解析】【分析】教材呈现：由“ASA”可证①AOE①①COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；应用：过点F作FH①AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，①AFE＝①EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，拓展：过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝103，再利用勾股定理可求EF的长．【详解】解：【教材呈现】①四边形ABCD是矩形，①AE①CF，①①EAO＝①FCO，①EF垂直平分AC，①AO＝CO，①AOE＝①COF＝90°，①①AOE①①COF（ASA）①OE＝OF，又①AO＝CO，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形；【应用】如图，过点F作FH①AD于H，①将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AF2＝BF2+AB2，①（4﹣BF）2＝BF2+9，①BF＝78，①AF＝CF＝258，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF＝258，①①B＝①BAD＝①AHF＝90°，①四边形ABFH是矩形，①AB＝FH＝3，AH＝BF＝78，①EH＝94，①EF＝22EH FH+＝81916+＝154，①四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+78+258+154＝434，故答案为：434．【拓展】如图，过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，①四边形ABCD是平行四边形，①C＝45°，①①ABC＝135°，①①ABN＝45°，①AN①BC，①①ABN＝①BAN＝45°，①AN＝BN＝22AB＝2，①将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF，①AF2＝AN2+NF2，①AF2＝4+（6﹣AF）2，①AF＝103，①AE＝AF＝103，①AN①MF，AD①BC，①四边形ANFM是平行四边形，①AN①BC，①四边形ANFM是矩形，①AN ＝MF ＝2，①AM ＝22AF MF -＝10049-＝83， ①ME ＝AE ﹣AM ＝23，①EF ＝22MF ME +＝449+＝2103， 故答案为：2103． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 5．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）①由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒，进而证得'//,B E AB 则有∴四边形'BDB E 为平行四边形，由',BD B D =即可得证；①连接CD,易证得','45DB DC DB E DCA =∠=∠=︒进而证得''FB C FCB ∠=∠，则有'FB FC =，即可得出结论；（3）由'FB FC =和'B E BE =得CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，由等腰直角三角形的性质可求得BC ，即可求得CEF ∆的周长．【详解】解:（1）①①ABC 是等腰直角三角形，D 为斜边AB 的中点，AB=10，①152CD AB ==， 故答案为：5；()2①证明:由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒'DB ①BC''45,B EC B ∴∠=∠=︒①'45,B EC B ∠=∠=︒①'EB ①BD∴四边形'BDB E 为平行四边形．又',BD B D =∴四边形'BDB E 为菱形；②如图2，连接CD ，则有CD=BD=AD,由翻折可知','45DB DB DB E B =∠=∠=︒①','45DB DC DB E DCA A =∠=∠=∠=︒,①''DB C DCB ∠=∠①DB E CB F DCA FCB ∠+∠=∠+∠'''①''CB F FCB ∠=∠①'FB FC =,①'B FC 的形状为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）如图3，由（2）知'FB FC =，'B E BE =，①CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，①①ABC 是等腰直角三角形，AB=10，①222100BC AB ==,解得：52BC =，①CEF ∆的周长为52，故答案为：52．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、折叠性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，解得的关键是认真审题，从图形中分析相关联信息，借助辅助线，利用基本图形的性质进行推理、计算．6．【问题1】SSS ；【问题2】（1）见解析；（2）8．【解析】【分析】问题1：根据SSS证明三角形全等即可．问题2：（1）根据HL证明三角形全等即可解决问题．（2）作MH①OB于H，连接MN．想办法求出ON，MH即可解决问题．【详解】解：问题1：由作图可知：OE＝OD，EC＝DC，OC＝OC，①EOC DOC≌△△（SSS），故答案为SSS．问题2：（1）证明：由作图可知：OM＝ON，①①ONP＝①OMP＝90°，OP＝OP，①Rt ONP≌Rt OMP△（HL），①①PON＝①POM，即OP平分①AOB．（2）解：作MH①OB于H，连接MN．①tan①AOB＝4,3MHOH=①可以假设MH＝4k，OH＝3k，则OM＝ON＝5k，①HN＝2k，在Rt MNH△中，①222,MN HN MH=+①()()222442,k k=+①255k=（负根已经舍弃），①ON＝5k＝25，MH＝4k＝855，①1185258.225MNO S ON MH ==⨯⨯= 【点睛】本题考查的是角平分线的作图与作图原理，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．定理证明：见解析；定理应用：（1）EF ∥AC ，EF ＝14AC ；（2）5﹣32≤BH ≤5+32 【解析】【分析】定理证明：延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，易证①ADE ①①CFE ，再根据全等三角形的性质，进一步可得出CF ①AB ，从而可证明四边形BCFD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；定理应用：（1）取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ．再根据题目中的线段关系，可得出AM ＝BM ，CN ＝BN ，ME ＝EB ，FN ＝FB ，根据三角形的中位线定理即可得出答案； （2）如图①中，延长CB 到T ，连接AT ，TE ′．根据题意得出BH ＝12TE ′，再根据矩形的性质可求得AT 的值，结合题意求得AE 的值，最后根据三角形三边关系即可得出答案．【详解】 解：定理证明：如图①中，延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，在△ADE 和△CFE 中，AE EC AED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CFE （SAS ），∴∠A ＝∠ECF ，AD ＝CF ，∴CF ∥AB ，又∵AD ＝BD ，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝12BC．定理应用：（1）如图①中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝12AC，EF∥MN，EF＝12MN，∴EF∥AC，EF＝14AC．故答案为：EF∥AC，EF＝14AC．（2）如图①中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝12TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝22224225AB BT+=+=，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴25﹣3≤TE′≤25+3，∴5﹣32≤BH≤5+32．故答案为：5﹣32≤BH≤5+32．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形三边关系、平行四边形的判定及性质、三角形中位线性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，综合性比较强，添加合适的辅助线，是解题的关键．8．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52．【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）①由折叠的性质得B'D=BD，B'E=BE，①B'DE=①BDE，证出B'D=BE，得四边形BDB'E是平行四边形，进而得出结论；①证出CD=B'D，得①DCB'=①DB'C，证出DB'①AC，则①ACB'=90°-①DB'C，证出CD①B'E，则①EB'C=90°-①DCB'，得①ACB'=①EB'C，即可得出结论；（3）连接B'C，由等腰直角三角形的性质得BC=22AB=52，①B=45°，CD=12AB=BD，①ACD=12①ACB=45°，证出CF=B'F，进而得出答案．【详解】（1）解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝10，①CD＝12AB＝5，故答案为：5；（2）①证明：由折叠的性质得：B'D＝BD，B'E＝BE，①B'DE＝①BDE，①DB'①BC，①①B'DE＝①BED，①①BDE＝①BED，①BD＝BE，①B'D＝BE，①四边形BDB'E是平行四边形，又①B'D＝BD，①四边形BDB'E为菱形；①解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝BD，①CD＝12由折叠的性质得：B'D＝BD，①CD＝B'D，①①DCB'＝①DB'C，①①ACB＝90°，①AC①BC，①DB'①BC，①DB'①AC，①①ACB'＝90°﹣①DB'C，由①得：四边形BDB'E为菱形，①AB①B'E，①CD①AB，①CD①B'E，①①EB'C＝90°﹣①DCB'，①①ACB'＝①EB'C，①FB'＝FC，即①B'FC为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）解：连接B'C，如图①所示：①①ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，①BC ＝22AB ＝52，①B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，①ACD ＝12①ACB ＝45°， 由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，①B '＝①B ＝45°，①CD ＝B 'D ，①①DCB '＝①DB 'C ，①①FCB '＝①FB 'C ，①CF ＝B 'F ，①①CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝52；故答案为：52．【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9．（1）见解析；（2）等腰；（3）菱形．【解析】【分析】（1）由中线BD ，CE 相交于点O ，可得DE 是ABC 的中位线，可得//DE BC ，12DE BC =，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得FG 是OBC 的中位线，可得//FG BC ，12FG BC =，可推出//DE FG ，DE FG =即可； （2）由四边形DEFG 的形状为矩形，可得FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得BO=CO ，，由中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，可得EF①OA ，可推出OA①ED ，由等腰三角形性质可得OA 平分①EOD ，可证△AOB①①AOC （SAS ），可得AB=AC 即可；（3）连接OA ，由（1）知四边EFGD 为平行四边形，由中位线性质可得AO=2EF ，2BC FG =，由OA BC =，可得EF=FG 即可．【详解】证明：（1）①中线BD ，CE 相交于点O ，①E 、D 分别为AB 、AC 中点，①DE 是ABC 的中位线，①//DE BC ，12DE BC =， 又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①//FG BC ，12FG BC =， ①//DE FG ，DE FG =，①四边形DEFG 是平行四边形；（2）连接OA ，如图①四边形DEFG 的形状为矩形，①FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ， ①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①BO=CO ，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF①OA ，①OA①ED ，①OA 平分①EOD ，①①EOA=①DOA ，①①BOA=①EOF+①EOA=①DOG+①DOA=①COA ，①AO=AO ，①①AOB①①AOC （SAS ），①AB=AC ，①①ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰；（3）当OA BC =时，四边形DEFG 的形状为菱形．由（1）知四边EFGD 为平行四边形，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF 为①ABO 的中位线，①AO=2EF ，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①2BC FG =，①OA BC =，①2EF=2FG ，①EF=FG ，①四边形DEFG 是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定定理，细心观察图形，利用数形结合从图形中分析线段之间和角之间关系是解题关键．10．(1)CE CF =，CE CF ⊥，理由见解析；(2)217，34；【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质和运动的距离可证明()EDC FBC SAS ≌△△，可得CE CF =，再利用角之间的关系可证CE CF ⊥；（2）连接EC ，证明四边形GECH 是平行四边形，即可求出CF ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AP ．(1)解：①四边形ABCD为正方形,①CD CB=，90EDC ABC BCD∠=∠=∠=︒，①90FBC EDC∠=∠=︒，①ED FB t==，在EDC△和FBC中，90CD CBFBC EDCED FB=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()EDC FBC SAS≌△△，①CE CF=，ECD BCF=∠∠，①90ECD BCE∠+∠=︒，①90BCF BCE∠+∠=︒，即：90ECF∠=︒，①CE CF=，CE CF⊥，(2)解：连接CE，如图①CE CF=，CE CF⊥，①45CEF∠=︒，①45GPE∠=︒，①CEF GPE∠=∠，①CE GH∥，①GE CH∥，①四边形GECH是平行四边形，①217CE GH==，①CE CF =，①217CF =，①2234EF CF ==，①P 是EF 的中点，AFE △是直角三角形，①1342AP EF ==． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）的关键是证明()EDC FBC SAS ≌△△，（2）的关键是证明四边形GECH 是平行四边形．。
吉林2019届九年级数学中考复习考试试题研究：几何图形探究题
几何图形探究题1．(1)问题发现如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点D 为BC 的中点，过点D 作射线DE ⊥DF ，分别交AB ，AC 于点E ，F ，当DE ⊥AB ，DF ⊥AC 时，DEDF ＝________；(2)类比探究若∠EDF 绕着点D 旋转到图②的位置，(1)中其他条件不变，DE DF＝________；若改变点D 的位置，当CD BD ＝a b 时，求DEDF 的值，请就图③的情形写出解答过程；图① 图②第1题图(3)问题解决如图③，AB ＝2，AC ＝4，连接EF ，当CD ＝____时，△DEF 为等腰直角三角形；当CD ＝____时，△DEF 与△ABC 相似．图③ 第1题图解：(1)2；【解法提示】∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∠BAC ＝90°，∴DF ∥AE ，DE ∥AC ，∴△BED ∽△BAC ，△CDF ∽△CBA ，∴DE AC ＝BD BC ，DF AB ＝CDBC ，∵点D 为BC 的中点，AB ＝2，AC ＝4，∴DE 4＝12，DF 2＝12，∴DE ＝2，DF ＝1，∴DEDF ＝2.(2)2；【解法提示】如解图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，∵∠A ＝∠DMA ＝∠DNA ＝90°，∴∠MDN ＝90°，∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ，∴∠MDE ＝∠NDF ，又∵∠DME ＝∠DNF ，∴△DEM ∽△DFN ，∴DE DF ＝DM DN ，由(1)可得DM DN ＝2，∴DEDF＝2.第1题解图①如解图②，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，作DH ⊥AC 于点H ， ∴∠GDH ＝90°，∴∠EDG ＋∠GDF ＝∠FDH ＋∠GDF ＝90°， ∴∠EDG ＝∠FDH ， 又∵∠DGE ＝∠DHF ＝90°，第1题解图②∴△DGE ∽△DHF ，∴DE DF ＝DG DH ， ∵∠BAC ＝90°， ∴DG ∥AC ，DH ∥AB ，∴△BDG ∽△BCA ，△CDH ∽△CBA ， ∴DG AC ＝BD BC ，CD BC ＝DH AB ， ∵CD BD ＝a b， ∴BD BC ＝BD BD ＋CD ＝b a ＋b ，CD BC ＝CD BD ＋CD ＝a a ＋b ， ∴DG 4＝b a ＋b ，DH 2＝a a ＋b ， ∴DE DF ＝DG DH ＝2b a ； (3)453；855或 5. 【解法提示】∵∠EDF ＝90°，∴当△DEF 为等腰直角三角形时，DE ＝DF ，由(2)中的结论可知，DE DF ＝2ba ＝1，∴a ＝2b ，∴BC ＝3b ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，AC ＝4，由勾股定理得BC ＝22＋42＝25，∴CD ＝23BC ＝453.∵∠EDF ＝∠A ＝90°，∴△DEF 与△ABC 相似有两种情况：①当△DEF ∽△ABC 时，DE AB ＝DF AC ，即DE DF ＝AB AC ＝12，∴2b a ＝12，∴a ＝4b ，∴CD＝45BC ＝855；②当△DEF ∽△ACB 时，DE AC ＝DF AB ，即DE DF ＝AC AB ＝2，∴2ba＝2，∴a ＝b ，∴CD ＝12BC ＝ 5.综上所述，当CD ＝855或5时，△DEF 与△ABC 相似．2．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AC 上一点，小亮以BE 为边向BE 的右侧作等边三角形BEF ，连接CF .(1)如图①，当点E 在线段AC 上时，EF 、BC 相交于点D ，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；(2)当点E 在线段AC 上运动时，点F 也随着运动，若四边形ABFC 的面积为734，求AE 的长；(3)如图②，当点E 在AC 的延长线上运动时， CF 、BE 相交于点D ，请你探求△ECD 的面积S 1与△DBF 的面积S 2之间的数量关系，并说明理由；(4)如图②，当△ECD 的面积S 1＝36时，求AE 的长．图① 图②第2题图解：(1)△ABE ≌△CBF .理由如下： ∵△ABC 与△EBF 都是等边三角形， ∴AB ＝CB ，BE ＝BF ，∠ABC ＝∠EBF ＝60°，∴△ABE ≌△CBF (SAS)；(2)由(1)知点E 在运动过程中始终有△ABE ≌△CBF . ∵S 四边形BECF ＝S △BCF ＋S △BCE ， ∴S 四边形BECF ＝S △ABC ，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34×22＝3，∴S 四边形BECF ＝3， 又∵S 四边形ABFC ＝734，∴S △ABE ＝S 四边形ABFC －S 四边形BECF ＝334，在△ABE 中，∵∠A ＝60°，∴AB 边上的高为AE ·sin60°，则S △ABE ＝12AB ·AE ·sin60°＝12×2×32AE ＝334，∴AE ＝32；(3)S 2－S 1＝3.理由如下：∵△ABC 与△EBF 都是等边三角形，∴AB ＝CB ，BE ＝BF ，∠ABC ＝∠EBF ＝60°，∴∠CBF ＝∠ABE ＝60°＋∠CBE ，∴△ABE ≌△CBF ， ∴S △ABE ＝S △CBF ，∴S △FDB ＝S △ECD ＋S △ABC ， ∴S △FDB －S △ECD ＝S △ABC ＝3，即S 2－S 1＝3； (4)由(3)知S 2－S 1＝3，即S △FDB －S △ECD ＝3， 由S △ECD ＝36得S △BDF ＝736，∵△ABE ≌△CBF ，又∵∠BAE ＝∠ABC ＝60°，得∠ABC ＝∠BCF ，∴CF ∥AB ，则在△BDF 中，DF 边上的高是AC ·sin60°＝3，∴12DF ×3＝736，解得DF ＝73，设CE ＝x ，则2＋x ＝CD ＋DF ＝CD ＋73， ∴CD ＝x －13，在△ABE 中，由CD ∥AB 得，CD AB ＝CE AE ，即x －132＝xx ＋2，化简得3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23(舍)，即CE ＝1，∴AE ＝3.3．如图①，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若点E 在AB 的延长线上，EF ∥AD ，EF ＝BE ，点P 是DE 的中点，连接FP 并延长交AD 于点G ，连接FB .(1)过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，若DH ＝23，BE ＝14AB ，求DG的长；(2)连接CP ，求证：CP ⊥FP ；(3)如图②，若点E 在CB 的延长线上运动，点F 在AB 的延长线上运动，且BE ＝BF ，连接DE ，点P 为DE 的中点，连接FP ，CP ，那么第(2)问的结论成立吗？若成立，求出PFCP的值；若不成立，请说明理由．图①图②第3题图(1)解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴DA∥BC，CD＝CB，∠CDG＝∠CBA＝60°，∴∠DAH＝∠ABC＝60°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，在Rt△ADH中，sin∠DAH＝DHAD，∴AD＝DHsin∠DAH＝2332＝4，又∵AB＝AD，∴BE＝14AB＝14×4＝1，∵EF∥AD，∴∠PDG＝∠PEF，∵P为DE的中点，∴PD＝PE，又∵∠DPG＝∠EPF，∴△PDG≌△PEF(ASA)，∴DG＝EF，又∵EF ＝BE ， ∴DG ＝EF ＝1；(2)证明：如解图①，连接CG ，CF ，第3题解图①由(1)知△PDG ≌△PEF ， ∴PG ＝PF ， ∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥BC ，∴∠FEB ＝∠CBA ＝60°， ∵EF ＝BE ，∴△BEF 为等边三角形， ∴BF ＝EF ＝BE ，∠EBF ＝60°， ∵DG ＝EF ，∠ABC ＝60°，∴BF ＝DG ，∠CBF ＝∠ABC ＝∠CDG ＝60°， 在△CDG 与△CBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CB ∠CDG ＝∠CBF DG ＝BF， ∴△CDG ≌△CBF (SAS)， ∴CG ＝CF ，∵PG ＝PF ， ∴CP ⊥FP ；(3)解：CP ⊥FP 仍成立．如解图②，过D 作EF 的平行线，交FP 的延长线于点G ，连接CG ，CF ，第3题解图②易证△PEF ≌△PDG ， ∴DG ＝EF ＝BF ， ∵DG ∥EF ， ∴∠GDP ＝∠FEP ， ∵DA ∥BC ， ∴∠ADP ＝∠PEC ，∴∠GDP －∠ADP ＝∠FEP －∠PEC ， ∴∠GDA ＝∠BEF ＝60°，∴∠CDG ＝∠ADC ＋∠GDA ＝120°， ∵∠CBF ＝180°－∠ABC ＝120°， 在△CDG 和△CBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CB ∠CDG ＝∠CBF ，DG ＝BF∴△CDG≌△CBF(SAS)，∴CG＝CF，∠DCG＝∠FCB，∵PG＝PF，∴CP⊥PF，∠GCP＝∠FCP，∵∠DCB＝180°－∠ABC＝120°，∴∠DCG＋∠GCE＝120°，∴∠FCE＋∠GCE＝120°，即∠GCF＝120°，∴∠FCP＝12∠GCF＝60°，＝ 3.在Rt△CPF中，tan∠FCP＝tan60°＝PFCP∴PF＝ 3.CP4．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE ＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，再连接EF.(1)如图①，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF＝3BC；(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请说明理由；(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，且AB＝AC＝kBC，求EF与BC 之间的数量关系．图①图②图③第4题图(1)证明：①如解图①，连接AH，第4题解图①∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，AH⊥BC，又∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC；②由①得AH⊥BC，AH＝12EF，∵在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2，∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∴32BC ＝12EF ， ∴EF ＝3BC ；(2)解：EF ⊥BC 仍然成立，EF ＝BC ； 【解法提示】如解图②，连接AH ，第4题解图②∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，又∵△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， ∴AH ⊥BC ，AH ＝BH ＝12BC ，又∵OA ＝AE ，OH ＝HF ， ∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC ，EF ＝2AH ＝BC ，∴(1)中的结论①EF ⊥BC 仍成立，但结论②不成立，EF 与BC 的关系应为EF ＝BC ；(3)解：如解图③，连接AH ，第4题解图③∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，又∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12BC)2＝(k2－14)BC2，∴AH＝4k2－12BC，又∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，∴4k2－12BC＝12EF，∴EF＝4k2－1 BC.5．如图①，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH 上，且DH＝CH，连接BD.(1)求证：BD＝AC；(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.①如图②，当点F落在AC上(F不与C重合)时，若BC＝4，tan C＝3，求AE的长；②如图③，△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到的，设射线CF与AE相交于点G，连接GH.试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．图①图②图③第5题图(1)证明：∵∠ABC＝45°，AH⊥BC，∴△ABH是等腰直角三角形，∴BH＝AH，在△BHD和△AHC中，⎩⎪⎨⎪⎧BH＝AH∠BHD＝∠AHCDH＝CH，∴△BHD≌△AHC(SAS)，∴BD＝AC；(2)解：①如解图①，过点H作HM⊥AE交AE于点M，第5题解图①在Rt△AHC中，tan C＝3，＝3，∴AHHC∴BH＝AH＝3CH，又∵BC＝4，∴BC＝BH＋HC＝4CH＝4，∴CH＝1，BH＝3，由旋转的性质可以得到，HE＝BH＝3，HF＝DH＝HC＝1，∠EHF＝∠AHB＝∠AHC＝90°，∴∠EHA＝∠FHC，∴∠EAH＝∠C＝∠AEH，∴AM＝EM，∴tan∠EAH＝tan C＝3，设AM＝x，则HM＝AM·tan∠EAH＝3x，在Rt△AHM中，由AH2＝AM2＋HM2，得32＝x2＋(3x)2，∴x＝310，10；∴AE＝2AM＝2x＝3105理由：设AH 交CG 于点N ，如解图②，由旋转的性质可得，HE ＝HB ＝HA ，HF ＝HD ＝HC ， ∵旋转角度为30°，∴∠FHD ＝∠BHE ＝30°，∴∠EHA ＝∠FHC ＝120°，第5题解图②∴∠FCH ＝∠GAH ＝30°， 又∵∠ANG ＝∠HNC ， ∴△ANG ∽△CNH ， ∴∠AGN ＝∠CHN ＝90°， GN AN ＝HN CN， 又∵∠GNH ＝∠ANC ， ∴△GNH ∽△ANC ， ∴GH AC ＝GN AN ＝12， ∵由(1)可知，△BHD ≌△AHC . ∴△EHF ≌△AHC ， ∴EF ＝AC ， ∴EF GH ＝ACGH＝2，6．我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知(1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC 的“旋补中线”．①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；②如图③，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为________；猜想论证(2)在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明；拓展应用(3)如图④，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD ＝23，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．图① 图②图③ 图④第6题图解：(1)① 12；② 4；【解法提示】①由旋转可得到AB ＝AB ′＝AC ＝AC ′， ∵∠BAC ＝60°，∴∠B ′AC ′＝120°，∴∠AB ′C ′＝30°，又∵AD 为B ′C ′上的中线，∴AD ⊥B ′C ′，∴AD ＝12AB ′＝12AB ＝12BC ；②由“旋补三角形”定义可得：∠B ′AC ′＝90°，易证△AB ′C ′≌△ABC ，∴B ′C ′＝BC ，∵点D 为B ′C ′的中点，∴AD ＝12BC ＝4.(2)AD ＝12BC .证明：如解图①，延长AD 至E ，使DE ＝AD .第6题解图①∵AD 是△ABC 的“旋补中线”，∴B ′D ＝C ′D .∴四边形AB ′EC ′是平行四边形， ∴EC ′∥B ′A ，EC ′＝B ′A ， ∴∠AC ′E ＋∠B ′AC ′＝180°.由定义可知∠B ′AC ′＋∠BAC ＝180°，B ′A ＝BA ，AC ＝AC ′， ∴∠AC ′E ＝∠BAC ，EC ′＝BA ， ∴△AC ′E ≌△CAB ， ∴AE ＝BC ， ∵AD ＝12AE ，∴AD ＝12BC ；(3)存在；证明：如解图②，作PE 垂直平分BC ，且使PE ＝CD ，连接PA ，PB ，PC ，PD ，可得PC ＝PB ，∵∠DCE ＝∠CEP ＝90°， ∴PE ∥CD ；∴四边形PECD 为矩形；∴PE ＝CD ＝23，PD ＝CE ＝AD ＝6，∠PDC ＝90°； ∴tan ∠PCE ＝PE CE ＝33，∴∠PCE ＝∠PBE ＝30°，即∠BPC ＝120°， 又由∠ADC ＝150°，可得∠ADP ＝60°， ∴△PAD 为等边三角形，第6题解图②∴PD ＝PA ，∠APD ＝60°.∵∠BPC ＋∠DPA ＝120°＋60°＝180°， ∴△PCD 是△PAB 的“旋补三角形”； 取CD 的中点M ，连接PM ， 可得DM ＝3，PD ＝6.由勾股定理得PM ＝DM 2＋PD 2＝（3）2＋62＝39， ∴△PAB 的“旋补中线”长为39.7．如图，在△ABC 中，矩形EFGH 的一边EF 在AB 上，顶点G 、H 分别在BC 、AC 上，CD 是边AB 上的高，CD 交GH 于点I ，若CI ＝4，HI ＝3，AD ＝92，矩形DFGI 恰好为正方形．(1)求正方形DFGI 的边长；(2)如图，延长AB 至P ，使得AC ＝CP ，将矩形EFGH 沿BP 的方向向右平移，当点G 刚好落在CP 上时，试判断移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？第7题图解：(1)∵四边形EFGH 为矩形，∴HI AD ＝CI CD ，即392＝4CD，解得CD ＝6， ∴ID ＝CD －CI ＝2，即正方形DFGI 的边长为2； (2)移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形． 理由如下：如解图，设在移动过程中，当点G 刚好落在CP 上时，矩形EFGH 移动到矩形E ′F ′G ′H ′， ∵AC ＝PC ，CD ⊥AB ， ∴∠A ＝∠P ，AD ＝PD ， 在△AEH 和△PF ′G ′中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠P ∠AEH ＝∠PF ′G ′EH ＝F ′G ′，第7题解图∴△AEH ≌△PF ′G ′(AAS)， ∴AE ＝PF ′， ∵AD ＝PD ，∴AD －AE ＝PD －PF ′， 即DE ＝DF ′＝3，∴△CHG ∽△CAB ，∴HG AB ＝CI CD ，即3＋2AB ＝44＋2， 解得AB ＝152，∴DB ＝AB －AD ＝3， ∴DB ＝DF ′，即点F ′与点B 重合，也就是说在移动过程中，当点G 刚好落在CP 上时，矩形EFGH 的F 点刚好运动到点B ，∴移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形． 8．如图①，在▱ABCD 中，DH ⊥AB 于点H ，CD 的垂直平分线交CD 于点E ，交AB 于点F ，AB ＝6，DH ＝4，BF ∶FA ＝1∶5. (1)如图②，作FG ⊥AD 于点G ，交DH 于点M ，将△DGM 沿DC 方向平移，得到△CG ′M ′，连接M ′B . ①求四边形BHMM ′的面积；②直线EF 上有一动点N ，求△DNM 周长的最小值．(2)如图③，延长CB 交EF 于点Q ，过点Q 作QK ∥AB ，过CD 边上的动点P 作PK ∥EF ，并与QK 交于点K ，将△PKQ 沿直线PQ 翻折，使点K 的对应点K ′恰好落在直线AB 上，求线段CP 的长．图① 图②图③ 备用图第8题图解：(1)①在▱ABCD 中，AB ＝6，∵直线EF 垂直平分CD ， ∴EF ⊥CD ， ∵CD ∥AB ， ∴EF ⊥BH ， 又∵DH ⊥AB ，∴四边形EFHD 为矩形， ∴DE ＝FH ＝3， 又∵BF ∶FA ＝1∶5， ∴AH ＝2，第8题解图①∵Rt △AHD ∽Rt △MHF ， ∴HM FH ＝AH DH，即HM 3＝24，∴HM ＝1.5， 根据平移的性质， MM '＝CD ＝6， 如解图①，连接BM ，∴四边形BHMM ′的面积为12×(6＋4)×1.5＝7.5；②如解图②，连接CM 交直线EF 于点N ，连接DN ，第8题解图②∵直线EF 垂直平分CD ， ∴CN ＝DN ， ∵MH ＝1.5， ∴DM ＝2.5，在Rt △CDM 中，MC 2＝DC 2＋DM 2， ∴MC 2＝62＋(2.5)2， 解得MC ＝6.5，∴MN ＋DN ＝MN ＋CN ＝MC ，∴△DNM 周长的最小值为DM ＋MC ＝9； (2)∵BF ∥CE ， ∴QF QF ＋4＝BF CE ＝13，∴QF ＝2， ∴PK ＝PK ′＝6，如解图③，过点K ′作E ′F ′∥EF ，分别交CD 于点E '，交QK 于点F '，第8题解图③当点P 在线段CE 上时， 在Rt △PK ′E ′中， PE ′2＝PK ′2－E ′K ′2， ∴PE ′＝25，∵Rt △PE ′K ′∽Rt △K ′F ′Q ， ∴PE ′K ′F ′＝E ′K ′QF ′， 即252＝4QF ′，解得QF ′＝455，第8题解图④∴PE ＝PE ′－EE ′＝25－455＝655，∴CP ＝15－655，同理可得，如解图④，当点P 在线段DE 上时， CP ′＝15＋655，综上所述，CP 的长为15－655或15＋655.9．问题发现(1)如图①，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M .填空： ①ACBD的值为________； ②∠AMB 的度数为________． 类比探究(2)如图②，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M .请判断AC BD 的值及∠AMB的度数，并说明理由； 拓展延伸(3)在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M .若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．图① 图② 备用图第9题图解：(1)①1； ②40°； (2)ACBD＝3，∠AMB ＝90°； 理由如下：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°， ∴CO DO ＝AOBO＝3， ∠COD ＋∠AOD ＝∠AOB ＋∠AOD ， 即∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△BOD ，∴AC BD ＝CODO ＝3，∠CAO ＝∠DBO . ∵∠AOB ＝90°，∴∠DBO ＋∠ABD ＋∠BAO ＝90°. ∴∠CAO ＋∠ABD ＋∠BAO ＝90°， ∴∠AMB ＝90°；(3)①点C 与点M 重合时，如解图①，同理得：△AOC ∽△BOD ， ∴∠AMB ＝90°，设BD ＝x ，则AC ＝3x ，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x－2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝7，∴AB＝2OB＝27，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，(3x)2＋(x－2)2＝(27)2，解得x1＝3，x2＝－2(舍去)，∴AC＝33；②点C与点M重合时，如解图②，同理可得：∠AMB＝90°，AC＝3，BD设BD＝x，则AC＝3x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，(3x)2＋(x＋2)2＝(27)2解得x1＝－3(舍去)，x2＝2，∴AC＝23，综上所述，AC的长为33或23.图①图②第9题解图10．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点，过点E作EN∥AD交AM的延长线于点N.(1)当A，B，C三点在同一条直线上时(如图①)，直接写出线段AD与NE的数量关系为________．(2)将图①中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图②)，判断△ACN是什么特殊三角形并说明理由．(3)将图①中△BCE绕点B旋转到图③位置，此时A，B，M三点在同一直线上．求证：若AC＝32，AD＝1，则四边形ACEN的面积为212.图①图②图③第10题图(1)解：AD＝NE.【解法提示】∵EN∥AD，∴∠MAD＝∠MNE，∠ADM＝∠NEM.∵点M 为DE的中点，∴DM＝EM.∴△ADM≌△NEM(AAS)．∴AD＝NE；(2)解：△ACN为等腰直角三角形．理由如下：∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB＝AD，CB＝CE，∠CBE＝∠CEB＝45°.∵AD∥NE，∴∠DAE＋∠NEA＝180°.∵∠DAE＝90°，∴∠NEA＝90°.∴∠NEC＝135°.∵A，B，E三点在同一条直线上，∴∠ABC＝180°－∠CBE＝135°.∴∠ABC＝∠NEC.∵△ADM≌△NEM，∴AD＝NE.∵AD＝AB，∴AB＝NE，∴△ABC≌△NEC.∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE.∴∠ACN＝∠BCE＝90°.∴△ACN为等腰直角三角形；(3)证明：如解图，连接CM.第10题解图∵AD∥NE，M为DE的中点，∴易得△ADM≌△NEM，∴AD＝NE.∵AD＝AB，∴AB＝NE，∵AD∥NE，∴AN⊥NE，在四边形BCEN中，∵∠BCE＝∠BNE＝90°，∴∠NBC＋∠NEC＝360°－180°＝180°，∵∠NBC＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠NEC，∴△ABC≌△NEC.∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE.∴∠ACN＝∠BCE＝90°.∴△ACN为等腰直角三角形，由(1)可知，△AMD≌△NME，∴AM＝MN，AD＝NE＝1，∴CM⊥AN，AM＝CM＝MN，∵AC＝32，∴AM＝CM＝MN＝3，∴S四边形ACEN＝S△AMC＋S直角梯形MNEC＝12×3×3＋12×(3＋1)×3＝212.。
初中几何习题集(绝对经典不做后悔)
初中几何经典习题集（不做后悔）1.如图3，在Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ，连接AD 与内切圆相交于另一点P ，连接PC 、PE 、PF 、FD ，且PC ⊥PF ． 求证：(1)△PFD ∽△PDC ； （2）EP PDDE DC=2.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是⋂AC 上一点，弦DE ⊥AB 交AC 于F ，交AB 于H ，交⊙O 于E ，P 是ED（1）若PC ＝PF ，判断PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⋂⋂=CD DA ，31sin =∠BAC，求ADE ∠sin 的值.3．如图，BC 是半圆O 的直径，EC 是切线，C 是切点，割线EDB 交半圆O 于D ，A 是半圆O 上一点，AD=DC ，EC=3，BD=2.5（1）求tan ∠DCE 的值；（2）求AB 的长．4．如图，P 是⊙O 外一点，割线PA 、PB 分别与⊙O 相交于A 、C 、B 、D 四点，PT•切⊙O 于点T ，点E 、F 分别在PB 、PA 上，且PE=PT ，∠PFE=∠ABP ． （1）求证：PD ·PF=PC ·PE ； （2）若PD=4，PC=5，AF=2120，求PT 的长．5.已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，F 是DC 延长线上的一点，FA 、FB 与⊙O 分别交于M 、G ，GE 与⊙O 交于点N 。
(1）求证：AB 平分∠MAN ；（2） 若⊙O 的半径为5，FE=2CE=6，求线段AN 的长。
ABO PBAEA6.已知：如图，∠ACB =60°，CE 为∠ACB 的角平分线，O 为射线CE 上的一点，⊙O 切AC 于点D ．（1）求证：BC 与⊙O 相切； （2）若⊙O 的半径为6，P 为⊙O 上一点，且使得∠DPC =90°，求DP 的长7.如图，点P 为△ABC 的内心，延长AP 交△ABC 的外接圆于D ，在AC 延长线上有一点E ，满足AD 2＝AB ·AE ，求证：DE 是⊙O 的切线.1.已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心， 90=∠CAB ，直线m 过点O ,过C B A 、、三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点F ED 、、.(1)当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段CF BE 、和AD 三者之间的数量关系并证明；(2) 当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段CF BE AD 、、三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．2.如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°， ∠B=30°，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一动点，设DE=nEA ，连结CE 并延长交AB 于点F ，过点F 作FG ∥AC 交AD （或延长线）于点G 。
初中数学几何图形题库
初中数学几何图形题库一、直线和角度1. 在平面直角坐标系中，过点A(3，-2)和点B(4，5)的直线AB的斜率是多少？2. 已知直线l1的方程为y = 2x + 3，直线l2的斜率为-1/2，问直线l2与直线l1的夹角是多少度？3. 若两条互相垂直的直线l1和l2的斜率分别为2和-1/2，求直线l1和l2的夹角是多少度？二、三角形的性质4. 已知三角形ABC中，AB = 5 cm，BC = 8 cm，AC = 7 cm，求三角形ABC的周长和面积。
5. 三角形ABC的三边长分别为6 cm，8 cm和10 cm，问三角形ABC是什么类型的三角形，为什么？6. 在直角三角形ABC中，角A = 90°，BC = 3 cm，AC = 4 cm，求角B和角C的大小。
三、四边形的性质7. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD = 110°，求∠ABC的度数。
8. 长方形的周长为30 cm，长为6 cm，求它的宽和面积分别是多少？9. 正方形的周长为16 cm，求它的边长和面积分别是多少？四、圆和圆的位置关系10. 已知圆O1半径为4 cm，圆O2的半径为6 cm，且圆心之间的距离为10 cm，问圆O1和圆O2的位置关系是什么？11. 圆O的半径为5 cm，圆心到一点P的距离为12 cm，求点P到圆O切线的长度。
五、平移、旋转和对称12. 图形A经过向右平移p个单位得到图形B，若图形B的中心坐标为(3，5)，问图形A的中心坐标是多少？13. 三角形ABC绕顶点A逆时针旋转90°得到的图形为A'B'C'，若A'的坐标为(-2,3)，求A的坐标。
14. 以原点为对称中心，图形A关于x轴的对称图形为A'，若A的坐标为(4,6)，求A'的坐标。
六、相似和全等15. 三角形ABC和三角形DEF相似，已知AB = 12 cm，BC = 9 cm，AC = 15 cm，求DE的长度。
初中数学解析几何练习题(含答案)
解析几何热点一 定点定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.教材探源 本题第(1)问源于教材选修1－1P34例1，主要考查利用待定系数法及方程思想求曲线方程.本题第(2)问源于教材选修1－1P35例3，主要考查利用坐标法研究几何问题，充分考查学生解决综合问题的能力.满分解答 (1)解 由于点P 3，P 4关于y 轴对称，由题设知C 必过P 3，P 4.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上.1分 (得分点1)因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.3分 (得分点2)故C 的方程为x 24＋y 2＝1.5分 (得分点3)(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果直线l 的斜率不存在，l 垂直于x 轴. 设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，k 1＋k 2＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2m ＝－1，得m ＝2， 此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.6分 (得分点4)从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1).将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.7分 (得分点5)由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.8分 (得分点6)则k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. ∴(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.10分 (得分点7)解之得m ＝－2k －1，此时Δ＝32(m ＋1)>0，方程有解， ∴当且仅当m >－1时，Δ>0，11分 (得分点8)∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1，即y ＋1＝k (x －2). 当x ＝2时，y ＝－1，所以l 过定点(2，－1).12分 (得分点9)得分要点❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，分析隐含信息，列出方程组，求出方程.在第(2)问中，分类讨论设出直线方程→联立方程→写出根与系数的关系→利用公式化简求解.❷得关键分：(1)列出方程组.(2)直线方程.(3)韦达定理.(4)斜率公式.都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点3)，(得分点5)，(得分点7). 【类题通法】解答圆锥曲线中的定点问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点. 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论. 【对点训练】已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形.(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM .点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点. (1)解 设坐标原点为O ，∵四边形ABPQ 是平行四边形，∴|AB →|＝|PQ →|， ∵|PQ →|＝2|OB →|，∴|AB →|＝2|OB →|，则点B 的横坐标为a 3， ∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，43，代入椭圆C 的方程得b 2＝2，又c 2＝2，∴a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y22＝1.(2)证明 设直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，N (x 0，y 0)，DA ⊥AM ，∴D (2，4k ).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），消去y 得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 则－2x 0＝8k 2－41＋2k 2，即x 0＝2－4k 21＋2k 2，∴y 0＝k (x 0＋2)＝4k1＋2k 2，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， 设G (t ，0)，则t ≠－2，若以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，则DG ⊥AN ，∴GD →·AN →＝0恒成立.∵GD →＝(2－t ，4k )，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，∴GD →·AN →＝(2－t )·－8k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝0恒成立，即8k 2t1＋2k 2＝0恒成立， ∴t ＝0，∴点G 是定点(0，0).【例2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由(1)知A (2，0)，B (0，1).设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2). 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4. 当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值. 【类题通法】1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的. 【对点训练】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆上，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值. (1)解 ∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2，①又点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆C 上，∴b 2a 2＋a 2b 4＝1，②联立①、②得a 2＝8，且b 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为x ＝2或x ＝－2，从而有|PN |＝23，所以S ＝12|PN |·|OM |＝12×23×22＝26； 当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将PN 的方程代入椭圆C 的方程， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k 2，由OM →＝OP →＋ON →，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2，2m 1＋2k 2. 将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2. 又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k 2， |PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，所以S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝48k 2＋242k 2＋1＝2 6.综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6. 热点二 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例3】已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C . (1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ·QF 的取值范围．解析 (1)由x 2＋y 2＋2x －15＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝16， 所以圆心为H (－1,0)，半径为4.连接MA ，由l 是线段AB 的中垂线，得|MA |＝|MB |， 所以|MA |＋|MH |＝|MB |＋|MH |＝|BH |＝4， 又|AH |＝2<4.根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以a 2＝4，c 2＝1，b 2＝3，所求曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP ·AE ＝AQ ·AF ＝0，于是PE ·QF ＝(AE －AP )·(AF －AQ )＝AE ·AF ＋AP ·AQ .①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)， 所以PE ·QF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32＝－3－94＝－214.②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE ·QF ＝－214. ③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，AP ＝(x P －1，y P )，AQ ＝(x Q －1，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线PQ 的方程代入曲线C 的方程，并整理得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x P ＋x Q ＝8k 23＋4k 2，x P ·x Q ＝4k 2－123＋4k 2.于是AP ·AQ ＝(x P －1)(x Q －1)＋y P ·y Q ＝(1＋k 2)[x P x Q －(x P ＋x Q )＋1]＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝－9(1＋k 2)3＋4k 2.将上面的k 换成－1k ，可得AE ·AF ＝－9(1＋k 2)4＋3k 2，所以PE ·QF ＝AE ·AF ＋AP ·AQ ＝－9(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4k 2＋14＋3k 2.令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得，PE ·QF ＝－9t ⎝ ⎛⎭⎪⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t 212t 2＋t －1＝－63494－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122. 由t >1，得0<1t <1，所以－214<PE ·QF ≤－367.综合①②③可知，PE ·QF 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，－367. 【类题通法】圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【对点训练】设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且1PF ·2PF 的最大值为1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝ky －1与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．解析 (1)易知a ＝2，c ＝4－b 2，b 2<4， 所以F 1(－4－b 2，0)，F 2(4－b 2，0)，设P (x ，y )，则1PF ·2PF ＝(－4－b 2－x ，－y )·(4－b 2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＋b 2＝x 2＋b 2－b 2x 24－4＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24x 2＋2b 2－4.因为x ∈[－2,2]，故当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，1PF ·2PF 有最大值1， 即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝(－2k )2＋12(4＋k 2)＝16k 2＋48>0， 故y 1＋y 2＝2kk 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4.又∠AOB 为锐角，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0， 又x 1x 2＝(ky 1－1)(ky 2－1)＝k 2y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1＝(1＋k 2)·－34＋k 2－2k 24＋k 2＋1＝－3－3k 2－2k 2＋4＋k 24＋k 2＝1－4k 24＋k 2>0，所以k 2<14，解得－12<k <12，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.热点三 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等.【例4】如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3. (1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .解析 (1)设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r )． ∵|MN |＝3，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22，解得r 2＝254.∴r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.(2)证明：把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0,1)，N (0,4)．①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0. 设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. ∴k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)x 1x 2. 若k AN ＋k BN ＝0，则∠ANM ＝∠BNM .∵2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－12k 1＋2k 2＋12k 1＋2k 2＝0， ∴∠ANM ＝∠BNM .【类题通法】解决圆锥曲线证明问题，注意依据直线，圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系等，通过代数恒等变形和化简计算进行证明，常见的证明方法有：（1）证明三点共线，可以证明其中两段线段的斜率相等，也可以证明其中两个向量互相平行（共线）；（2）证明两直线垂直，可以证明这两条直线的斜率之积等于1-，也可以证明这两直线所在的平面向量的数量积等于零；（3）证明两共点点段相等，可以利用弦长公式证明这两线段长度相等，也可以证明公共点在线段的垂直平分线上．【对点训练】设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB ⊥BC ，AD ∥OC ，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .解析 (1)由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ，因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a＋2c＝4＋23，所以a＝2，c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C1的方程为：x24＋y2＝1.(2)证明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为AB⊥BC，所以可设C(2，y1)，所以AD＝(x0＋2，y0)，OC＝(2，y1)，由AD∥OC可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝2y0 x0＋2.所以直线AC的方程为：y2y0x0＋2＝x＋24.整理得：y＝y02(x0＋2)(x＋2)．又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得：y＝y02，即点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x0，y02，所以P为DE的中点，所以PD＝PE.。
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习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。
已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。
证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。
∵A D ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B =90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′,则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F , ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥A D ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥A D ∥BC ∴E ′F 与 E F 共线 ∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F ∴E ′与 E 重合。
证 毕 。
习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。
知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。
解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。
∴BF 21AC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE∴△EBC ≌△FBC （SAS ）∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。
习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。
已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。
D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作D F ⊥ AC 延长线于F 。
求证：D E －DF 为常量。
21证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。
∵∠3+∠B=90°，∠4+∠2=90°，∠B=∠ACB=∠2 ∴∠3=∠4又CD 为公共边。
∴Rt △DGC ≌Rt △DFC ∴DF=DG 。
∴D E －DF=DE －DG=EG=CH 。
（常量）证毕习题4.在△ABC 中，∠B=2∠C ，A D ⊥BC 于D 。
M 是BC 的中点。
求证：DM=21AB 。
证明：（Ⅰ）当∠B 为锐角时，作M E ∥AC 交AB 于E ，连结DE 。
则E 为AB 的中点 ∴∠DME=∠C ，∠BEM=∠BAC在Rt △ABD 中，有DE=21AB=BE=AE∴∠B=∠EDB=∠DEM+∠DME=2∠C∠DME=∠C∠DEM=2∠C －∠C=∠C ∠DEM=∠DME DE=DM DE=21AB（Ⅱ）当∠B 为钝角时，作ME ∥AC 交AB 于E 。
连结DE ，则E 为AB 的中点 在Rt △ADB 中DE=21AB=BE=AE ，E 和M 分别是AB 和BC 的中点∴ME 是△ABC 的中位线 ∴∠C=∠BME ，∠BAC=∠BEM ∵∠BAC=180°-（∠B+∠C ） ∴∠BEM=180°-（∠B+∠C ） 又∵BE=DE在△BDE 中∠ABD=∠EDB=180°-∠B ∴∠BED=180°-∠ABD-∠EDB =2∠B-180°∴∠DEM=∠B-∠C ，又∠B=2∠C ∴∠DEM=∠BME∴DM=21AB（Ⅲ）当∠B 为直角时，易证DM=21AB（Ⅳ）当∠A 为直角时，易证DM=21AB习题5.AB 是圆的直径，引弦AC 使∠BAC=30°，过点C 引切线交AB 的延长线于D ，求证：AC=CD证明：如图，连结CB ∵AB 是⊙的直径 ∴∠ACB=90°∵CD 为⊙O 的切线，∠BAC=30° ∴∠BCD=∠BAC=30°又∵∠CBD=∠BAC+∠ACB=30°+90°=120° ∴在△BCD 中∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD ）=30° ∴∠BAC=∠BDC 即AC=CD习题6.两圆相交于两点A 和B ，在每一个圆中各作弦AC 和AD ，使切于另一圆。
求证：∠ABC=∠ABD证明：如图，AC 和AD 分别是⊙ ，⊙ 的切线，交⊙ ，⊙ 于C 和D∴∠CAB=∠ADB ，∠DAB=∠ACB 在△ABC 和△ABD 中∠ABC=180°-（∠CAB+∠ACB ） =180°-（∠ADB+∠DAB ） =∠ABD 即∠ABC=∠ABD习题7.四边形ABCD 中，设AD=BC ，且M 和N 是对角线AC 和BD 的中点。
证明：直线AD 和BD 与MN 成等角 证明：如图，四边形ABCD 中AD=BCM 和N 点分别为对角线AC 和BD 的中点,MN 交AD 、BC 分别于G 和F. 下证：∠AGF=∠BFG连结BM 并延长至E , BM=ME 。
连结AE 和CE 显然：ABCD 为平行四边形。
连结DE ∴∠BFG=∠AHG ∵AD=BC ，AD=AE而M 和N 分别是BD 和BE 的中点，∴MN ∥DE ∴AG=AH∴∠AGF=∠AHG=∠BFG习题8.设延长△ABC 的边BA 至D ，使AD=AC ，则∠BCD=90°+21（∠C-∠B ）证明：∵2∠BCD=2∠BCA+2∠1 ①AD=AC ，∠1=∠D∴∠BAC = ∠1+∠D=2∠1 ∠B+∠BCA+2∠1=180°即：2∠1=180°-∠B-∠BCA ② 将②代入①得：2∠BCD=2∠BCA+180°-∠B-∠BCA∴∠BCD=90°+21（∠C-∠B ）习题9.设O 为△ABC 内部任一点，则OA+OB ＜CA+CB证明：连AO 延长交BC 于D△ADC 中AC+CD ＞AD ① △OBD 中，OD+DB ＞OB ②由①②有：CB+AC=AC+CD+DB ＞AD+DB=AO+OD+DB ＞AO+BO习题10.三角形的一中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线求证：21（AB+AC ）-21BC ＜AD ＜21（AB+AC ）证明：作DE 平行于AB 交AC 于E则DE=21AB ，AE=21AC在△ADE 中，则AD ＜AE+DE=21（AB+AC ）延长AD 至F ，使DF=AD ，则有AD+BD ＞AB ，AD+DC ＞AC ∴AF+BC ＞AB+AC∴2AD ＞AB+AC-BC 即AD ＞21（AB+AC ）-21BC综上得：21（AB+AC ）-21BC ＜AD ＜21（AB+AC ）习题11.证明：梯形两条对角线中点的连线平行于底边已知：如图所示，梯形ABCD 中，AD//BC,E,F 分别是BD,AC 中点。
求证：EF//AD 证明：过点A 做AG//BD ，并与CB 延长线相交于点G.又因为AD//BC所以四边形AGBD 是平行四边形 取AG 的中点H ，连结EH 由于E 是BD 的中点所以EH//AD又连结HF所以HF//BC//AD从而 H ，E ，F 三点共线 于是EF//AD习题12.二圆外切于点P. AB 是一条外公切线（A ，B 为切点）. 则PA ⊥PB证明：如图ΘO 1 ΘO 2外切于点P ，过点P 作ΘO 1 ΘO 2 的内公切线交AB 于C.CP CA =∴ CPA CAP ∠=∠又 CP CB =∴CPB CBP ∠=∠∴APB CPB CPA CBP CAP ∠=∠+∠=∠+∠而0180=∠+∠=∠APB CBP CPA∴090=∠APB ∴AB PC ⊥习题13.证明：三角形的三条外角平分线和对边相交所得三点共线。
已知：如图，AD ，BE ，CF 分别是∆ABC 三个外角的平分线且分别交CB ，CA ，BA 于D ，E ，F 三点.求证：D ，E ，F 三点共线.证明： AD 是∠BAE 的角平分线 ∴ACAB DC BD =同理：BA BC EA CE =，CBCAFB AF =从而：=FB AF EA CE DC BD ..1..-=CBCABA BC AC AB ∴D ，E ，F 三点共线.习题14.两圆有两条内公切线，证明这两线与连心线共点.已知：如图所示ΘO 1与ΘO 2 外离，AB ，CD 是ΘO 1与ΘO 2 的两条内公切线且A ，B ，C ，D 分别为切点，O 1O 2 为连心线. 求证：AB ，CD ，O 1O 2 三点共线.证明： AB ，CD 是ΘO 1与ΘO 2 两条内公切线，则AB ，CD 必有交点.设AB ，CD 的交点为P. 下证 点P 在O 1O 2 上即可.连结O 1 P ，O 2P. 此时PA ，PC 即为从ΘO 1外一点引ΘO 1的两条切线.则有P O 1平分APC ∠.即APC APO ∠=∠211 同理可得 D P B D P O ∠=∠212 从而 =∠21PO O 21DPO APD APO ∠+∠+∠ =DPB APD APC ∠+∠+∠2121=APC APD APC ∠+∠+∠21=APD APC ∠+∠=1800所以P ，O 1 ，O 2 三点共线 即P 在O 1O 2 所以AB ，CD ，O 1O 2三点共线.习题15.利用锡瓦定理证明三角形下列三线共点 （1.） 三中线已知：如图.AD ，BE ，CF 分别∆ABC 边BC ，CA ，AB 上的中线.求证：AD ，BE ，CF 三线共点证明： D ，E ，F 分别是中点∴1===FBAF EA CE DC BD从而1..=FBAFEA CE DC BD 所以AD ，BE ，CF 三点共线.（2.）三内角平分线.已知：如图，AD ，BE ，CF 分别是∆ABC 三内角平分线.求证：AD ，BE ，CF 三点共线.证明：由AD ，BE ，CF 分别是∆ABC 三内角平分线.∴AC AB DC BD = ，BA BC EA CE = ，CB CA FB AF =. ∴1....==CB CABA BC AC AB FB AF EA CE DC BD 故：AD ，BE ，CF 三点共线.习题16.已知： C 是Rt ∆ABC 的直角顶点，以AB 为边作正方形ABCD ，以AC 边作正方形ACFG ，它们都包含∆ABC 求证：CE ⊥BG证明： 四边形ABDE ，ACFG 为正方形.∴090=∠=∠BAE GAC以A 为旋转中心，有：G C A R −−−→−)90,(0，B E A R −−−→−)90,(0则：CE=BG ，GE ⊥BG .习题17.已知：圆内接四边形中BC=CD.求证：AB ∙AD+ 2BC =2AC证明：连接BD 交AC 于E由于BC=CD ，则 21∠=∠ 在∆ABC 和∆AED 中−−→−−−→−∠=∠∠=∠4321⇒∆ABC ~~∆AEDAC AE AD AB ADACAE AB ∙=∙⇒=⇒……..①15∠=∠ , 21∠=∠∴ 25∠=∠.在∆CDE 和∆CAD 中−−−−→−−−→−∠=∠∠=∠DCAECD 21⇒∆CDE ~~∆CAD⇒CD CEAC CD = ⇒CDBC CEAC CD =∙=2CE AC BC ∙=⇒2 ………②∴由①和②有CE AC AC AE BC AD AB ∙+∙=+∙22)(AC CE AE AC =+∙=∴ AB ∙AD+ 2BC=2AC习题18.平行四边形ABCD 的底边BC 固定,另一边AB 长为a ,则其对角线交E 的轨迹为一圆,圆心是BC 中点,半径是2a. ( 假设: 平行四边形ABCD 底边BC 的中点O ,AB 边长为a ,P 为对角线AB,BD 的交点,BC 为固定.)求证:点P 的轨迹是ΘO(2a ) 证明: 10 若P 是平行四边形ABCD 对角线AC,BD 的交点,连接OP,由P,O 分别是BD,BC 的中点,故OP=CD 21=2a . 故P ∈ΘO(2a), (完备性得证)20.社P 为ΘO(2a)上任意一点,连接OP,分别过B,C 作OP 的平行线21,l l .连接CP 并延长交1l 于A,连接BP 并延长交2l 于D,连接AD则OP 是∆CAB 和∆BCD 的中位线,于是AB=a ,OD=a .且AD//CD, 从而P 点是平行四边形ABCD 对角线AC,BD 的交点 (纯粹性得证)∴点P 的轨迹是ΘO(2a ).习题19.设定圆中互相垂直的两弦的平方和是常数，则此两弦所在直线交点的轨迹是圆。