中学数学研究(几何)共65页文档
初中几何结论及常用方法总结.doc
初中几何结论总结及常用方法一．基本概念。
1． 直线的基本性质：（1）两条直线的位置关系（在同一平面内）：相交与平行；（2）两直线相交，只有一个交点；（3）直线公理：经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。
2．线段的有关内容：（1）线段中点：点M 在线段上，且把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，点M 就是线段AB 的中点。
AM ＝BM ＝21AB. （2）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
3．角（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形。
公共端点是角的顶点。
（2）角的表示：①三个大写字母及符号“∠”表示②.用一个数字或阿拉伯字母表示角也看成是有由一条射线绕着它的端点旋转而成。
平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时所成的角。
周角：终边继续旋转，当它又和始边重合时所成的角.(3)角的分类：锐角、直角、钝角。
（4）角的单位换算：1周角＝2平角＝4直角＝360 1平角＝2直角＝1801直角＝90 1＝60＝3600 1＝60（5）余角、补角及其性质：互余：如果两个角和是直角，这两个角叫做互为余角，简称互余。
互补：如果两个角的和是平角，这两个角叫做互为补角，简称互补。
性质： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
（6）对顶角：、两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边（或是一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线）的两个角叫做对顶角。
对顶角性质：对顶角相等。
4．平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线。
（1）性质1：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）性质2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行（即平行于听一条直线的两条直线平行。
）（3）平行线判别方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
（4）平行线性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
《中学几何研究》第2讲--度量几何学
例见P20页
2015/12/21
三、解三角形到研究任意角的三角学，衍生三角函 数，是一个数学认识上的飞跃。 三角学的发展有两个明显的阶段。静态的解三角形 阶段，处理任意角的三角函数阶段。 解三角形是静态的、角度不超过180度的、纯粹计 算的数学内容。 三角函数阶段，则是动态的、处理任意角的、思辩 性的数学科目。
2015/12/21
二、分形的例子
1、 (康托尔集) 将闭区间[0,1]三等分,去掉中间的开区间(1/3,2/3), 剩下两个闭区间[0,1/3],[2/3,1]。
0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1
又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间
(1/9,2/9)，(7/9,8/9)。 一般地，当进行到第n次时，
e
i
德国数学家克莱因认为：这是整个数学中最卓越 最漂亮的公式之一。
2015/12/21
二、三角学是欧氏几何的数量化 三角学起先的目标是解三角形，即研究三角形的 各种边角关系。 欧氏几何主要是用定性的方法研究三角形，三角 学就是定量地研究三角形的边角关系。 从这个意义上讲，三角学是代数和几何学之间的 桥梁。 三角学也是数形结合一个重要方面。
这两者的差异非常巨大，不能期望学生能够自然而 然地迁移过去。
2015/12/21
通常的作法是引入单位圆，充分显示三角函数的变 量特征。 三角函数的恒等变换是一项基本技能，需要熟练掌 握。
余弦函数的和角公式，证明没有普遍意义，可以不记 但是，这些公式需要操练，形成技能，不可忽略。
在三角函数的教学中要充分体现三角函数的以下几 个特征： 周期性 和谐性 相位性 原始性
任何线段可以用尺规作图的方法，分成若干等分。
这样，可以衡量出某些长度为有理数的线段。
中学数学研究(几何)第一讲
第三章 欧氏几何的公理化方法 2010年8月
直观性公理化时期——《几何原本》 《几何原本》 直观性公理化时期
第七、八、九三卷是数论。 第十卷讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有 关的几何运算，共117个命题。 第十一、十二、十三卷讨论立体几何。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
2010年8月
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第三章 欧氏几何的公理化方法
2010年8月
思辨性的公理化时期——非欧几何 非欧几何 思辨性的公理化时期
把17-19世纪人们对公理化方法的研究称为“思辨性” 的时期，这是因为这是的公理化虽然仍旧保持了一定 的直观成分，还使用点、线、面这样的几何形象，但 是已经进入到理性思辨的领域，罗氏几何中的点、线， 以及它们之间的关系，需要通过思辨才能理解。
公理化思想方法的内涵和价值 公理化思想方法的内涵和作用
后来欧多克斯还用穷竭法处理具有无限性的推理过程， 把比值为有理数的结论都推广到无理数。 近代则采取更加严密的数理逻辑方法。因此，演绎推 理的规则在不断发展，与时俱进。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
2010年8月
公理化思想方法的内涵和价值 公理化思想方法的内涵和作用
近代的公理化方法，要求公理的选取必须符合以下的三 条要求： ⑴相容性（或称为协调性，无矛盾性）； ⑵独立性； ⑶完备性。
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第三章 欧氏几何的公理化方法
2010年8月
公理化思想方法的内涵和价值 公理化思想方法的内涵和作用
公理化思想方法的作用： ⑴这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 ⑵公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就 有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动 新理论的创立。 ⑶数学公理化方法在科学方法学上有示范作用。 ⑷公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的 和谐性确实符合美学的要求，因而为数学活动中贯彻 审美原则提供了范例。
中学数学研究(几何)第四讲
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中学数学课程中平面解析几何部分的 内容要求
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2. 中学平面解析几何典型例题 2.1. 数学知识类
【例1】七年级下册 第六章 平面直角坐标系
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③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
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中学数学课程中平面解析几何部分的 内容要求
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直 线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）， 体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。 ⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距
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中学数学课程中平面解析几何部分的 内容要求
选修2-1 圆锥曲线与方程 圆锥曲线与方程（约16课时） （1）圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻
画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的
过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及 简单性质。
【例7】选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程
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25 3. 平面解析几何例题考点分析
（2）曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与
方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思 想。
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选修4-4 坐标系与参数方程 ⒈坐标系
⑴回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐 标系的作用。
初等几何专题研究(1～7)
一、线段与角的相等 1． ⊙O1、⊙O2 相交于 A、B，⊙O1 的弦 BC 交⊙O2 于 E，⊙O2 的弦 BD 交⊙O1 于 F， 求证: （1）若∠DBA=∠CBA，则 DF=CE； (2) 若 DF=CE，则∠DBA=∠CBA． 证明:(1)连接 AC、AE、AF、AD 在⊙O1 中，由∠CBA=∠DBA 得 AC=AF 在⊙O2 中，由∠CBA=∠DBA 得 AE=AD 由 A、C、B、E 四点共圆得∠1=∠2 由 A、D、B、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AF ∴DF=CE ∵DF=CE
D
3
E
O
I B
F
G H C
CD OC OD BC OB OC OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG
2DC 2BC
2DF 2CF 2BH 2CH
DC BC
∴四边形为菱形
9.
凸四边形被对角线分成 4 个三角形，皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形 ．
F H G r O J D C L E K r A
1 1 1 1 1 1 即: BF×r+ FO×r+ BO×r= CE×r+ OE×r+ OC×r 2 2 2 2 2 2
I B
1 1 (BF+FO+BO)×r= (CE+OE+OC)×r 2 2
BF+FO+BO=CCE+OE+OC ∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ 又 F、E 分别为 AB、AC 之中点 ∴AB=AC
(2)由（1）得∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△ACE≌△AFD ∴AD=AE
中学数学研究(几何)第三讲.
第三讲 立体几何研究与解题
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第三讲 立体几何研究与解题
2010年8月
1.中小学数学课程中立体几何部分 的内容要求 1.1. 第三学段
《全日制义务教育阶段数学课程标准》第三部分 内容标准：第 三学段（7～9年级）
⒈图形的认识 （8）视图与投影
①会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主 视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据
三视图描述基本几何体或实物原型。 ②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作
立体模型。 ③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；
通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的 包装）。
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第三讲 立体几何研究与解题
2010年8月
1.中小学数学课程中立体几何部分 的内容要求 1.1. 第三学段
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平 面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交 线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 ◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。 ③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
2010年8月
2. 中学立体几何典型例题 2.1. 数学知识类
【例1】九年级下册 第二十九章 投影 与视图
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第三讲 立体几何研究与解题
2010年8月
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第三讲 立体几何研究与解题
2010年8月
【例2】必修2 第一章 空间几何体
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第三讲 立体几何研究与解题
2010年8月
④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算 问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
初中数学几何定理大全[1]
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初中数学几何定理大全(word版可编辑修改)的全部内容。
初中数学公理和定理（2)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3)勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(6）三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形.五、四边形27、多边形中的有关公理、定理：(1）四边形的内角和为360°（2）N边形的内角和：( n－2）×180°. （3)任意多边形的外角和都为360°28、平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。
29、平行四边形的判定：（1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形; （4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
30、矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质(2）矩形的四个角都是直角;（3）矩形的对角线相等且互相平分.31、矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2)有三个角是直角的四边形是矩形.（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
中考数学第二轮复习专题六几何应用问题的研究
放羊问题
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大
进
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想一想
如图，某种牙膏上部的圆的直径为3cm，下部底边的 长度为4.8cm,现要制作长方体的牙膏盒，牙膏盒的上 面是正方形。以下列数据作为正方形边长制作牙膏盒，
既节省材料又方便取放的是 ( 取1.4) ( C)
(A) 2.4cm (B)3cm (C) 3.6cm (D)4.8cm
3cm
4.8cm
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大
进
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我来试试
小明同学测量一个光盘的直径,他只有一把直 尺和一块三角板,他将直尺、光盘和三角板如图放
置于桌面上,并量出AB=3.5cm,则此光盘的直径是
_7__cm.
o
60°
AA BB
反思 已知切线常添辅线：
①连结圆心与切点，
学贵有疑，小疑则小②进，连大疑结则大圆心与圆外一点
答：应将绳子拴在 B 处
仔细审题, 学会探究
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 进
池塘 D
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一个啤酒瓶高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将 瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm ，则瓶中水 的体积和瓶子的容积之比为（ C ）．（圆柱体的体积 等于底面积乘以高，瓶底厚度不计）
A)5:11 B)1:2 C)6:11 D)5:6
弧长公式 L=
π取3.14,精确到0.1km)
C
解:依题意AB为最小楼高,AC切圆0于C
相当于珠穆朗玛峰高∵度L的= 2倍多！ 5000层楼O 高呀，是目前世界上最高楼 ----马来西亚的双叶∴大∠厦O的= 50倍！=
≈4.5°
在Rt⊿ACO中 AO=OC/ cos4.5° =6400÷ 0.997