第一讲数与数系
数与数系的发展课件
数学发展的未来趋势
更加复杂的应用
01 随着科技的发展，数学的应用将更加复杂和广泛，涉
及的领域将更加多样化。
高性能计算
02 随着计算机技术的发展，高性能计算将更加普及，为
数学研究和应用提供更加强大的计算能力。
数据分析与机器学习
03
随着大数据和人工智能技术的发展，数学将更加注重
数据分析与机器学习等方面的研究与应用。
科学研究和工程
随着科学技术的不断发展， 数在科学研究、工程和技 术等领域的应用也越来越 广泛。
02
数的进制与表示法
十进制
1 2 3
十进制的优点 十进制是一种广泛使用的计数系统，其优点在于 使用十个基本符号（0-9）和一个进位符号，能 够方便地表示大范围的数值。
十进制的普遍性 十进制在日常生活中非常普遍，如时间、重量、 长度等计量单位都是基于十进制进行计算的。
其他进制的应用场景 其他进制数在特定领域和场景中有应用，如十六进制在计算机科学领域应用广泛，八进制则在某些特定 计算中有所应用。
03
数的性质与分类
质数与合数
质数
只有1和它本身两个正因数的自然数，如 2、3、5、7等。
VS
合数
除了1和它本身以外还有其他正因数的自 然数，如4、6、8等。
有理数与无理数
数与数系的发展
CONTENTS
• 数的起源 • 数的进制与表示法 • 数的性质与分类 • 数的运算与性质 • 复数与复平面 • 数的发展对科技的影响
01
数的起源
数的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ念
数的概念的产生
人类在生产和生活实践中逐渐形 成了数的概念，用来描述数量和 大小。
数的定义的演变
数的定义经历了从实物计数到抽 象数学概念的演变，逐渐形成了 现代数学的基石。
第一章 数系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 定理3自然数的加法满足交换律和结合律。 对任意a、b、c∈N，有 • （1）a+b=b+a • （2）a+（b+c）=（a+b）+c • 定理4自然数的乘法满足以下运算律；对于 任意a,b,c∈N. • ab＝ba（交换律）; • (a＋b)c＝ac＋bc（乘法对加法的分配律）； • a(bc)＝(ab)c（结合律）
定义12，具有n个有效（或可靠）数位的近似 数，其相对误差界不受小数点所在位置的 影响
三．近似数四则运算的经验法则 法则1 近似数相加减，计算结果所保留的小数位数，应先四 舍五入到比 的结果应保留的多一位，在行计算 例1求近似数2.478，53.6，34.6342的和 法则2 近似数相乘除，计算结果所保留的有效数位个数， 应和已知数中有效数位最少的一个相同。其它已知数中 过多的有效数数字，可先四舍五入到比 的结果应保留的 多一位，在行计算 3 例如2计算(2.58x 10 ) 4.27952
第一章数系
• 1.1数的概念的扩展
一、数的概念发展小史 从整体上看，数的概念的发展的历史过程大致按以下顺序： 自然数集（添加正分数）正有理数集(添加分数和零）有理数集（添加无 理数）实数集（添加虚数）复数集 在中小学数学教科书里，数的概念的扩展（或扩张）的步骤 同历史过程的大致接近的，只是将零的引入提前了，即 自然数集（添零）扩大自然数集(添加正分数）有算术数集（添加负 数） 有理数集（添加无理数） 实数集（添加虚数）复数集
第1章 数与数系
第一章数与数系第一节数系的历史发展第二节自然数按现代数学的观点，整个数学建立在自然数和集合基础上，只要自然数和集合是严格的，那么整个数学就是严格的。
本章将讨论如何用公理化的体系来建立严格的自然数。
从小学一年级开始，你已经接触自然数，你已经与数打了十多年的交道，而且你知道如何按照代数法则来化简数的表达式，但是我们要处理一个更基本的事情，那就是：为什么这些代数法则总有效力？例如，为什么对于任何三个数a,b,c,表达式a(b+c)等于ab+ac总是真确的？这不是一个任意选择的法则，它可以由数系更为原始的也更为基本的性质来证明。
用更简单的性质来证明复杂的性质是数学的基本思想。
你会发现，即使一个命题可能是“明显的”，它却可能不是易于证明的。
我们首先碰到的问题是：如何定义自然数？（这与怎么样使用自然数是非常不同的问题。
使用自然数当然你十分了解，这就象知道如何使用一台计算机与知道如何建造这台计算机是完全不同的两回事）。
回答这个问题比问题本身看上去要困难得多。
基本的问题是你使用自然数已经太久了，以致这些数都已深深地嵌入你的数学思维之中，使得你甚至不必思考你在做什么就能作出关于这些数的各种不明显的假设（例如a+b总是等于b+a）,很难让你像第一次见到它那样去考察这个数系。
所以你不得不执行一个相当艰巨的任务：暂时把你知道的关于自然数的一切放到一边：忘记怎么样记数，忘记加法，忘记乘法，忘记代数律等等。
我们将逐步引入这些概念，在这一过程中，明确哪些是我们的假定，哪些是从假定开始演绎出来的。
这个过程也是树立你的数学知识的牢固根基的一个极好的方式。
此处你实行的证明和抽象思考，对于你理解数学，进一步学习数学将会有无法估量的益处。
1 自然数按照已有的数学知识，大家都知道，自然数是指集合：N= {0,1,2,3,…}的元素。
于是我们可以定义定义（不正式）自然数是指集合N= {0,1,2,3,…}的元素，此集合是由从0开始无休止地往前数所得到的一切数的集。
1 数系与数学归纳法
1.3 错例辨析
1.证明：所有人的年龄都是一样的。
辨析：递推步对n=1不成立。从而，由n=1成立，得不到n=2成立，递推中
断。
2. 证明：任何两个正整数均相等。
下证An对于任意自然数n都成立。
因为
所以 利用归纳假设知，a-1=b-1, 从而a=b. 即Ak+1成立。
辨析：a-1与b-1不一定是正整数，它们有可能是0，从而不能够利用归纳假
1 数系与数学归纳法
1.1 内容概述
数系，是数的系统的简称。数系内容是中小学数 学的基础.从小学一年级学习自然数开始，到高 中学习复数，数系的学习始终贯穿在整个数学课 程之中． 数系由于概念比较抽象，学起来比较枯燥。中小 学由于学生理解力有限，不可避免出现不严格的 现象，只能做到“适度形式化”，“模糊”处理， “混而不错”．数系学习在中小学的主要任务是 打好基础，学会运算，提高实际运算能力。
复数的定义也可以从形式上避开对i的解释。
定义1(复数的序偶定义)将有序的实数对(a,b) 称为复数，并定义它们的运算法则如下：
定义2(复数的矩阵定义) 将二阶实数矩阵 称为复数．
7、复数不能比较大小的含义 “有序域”的概念
为什么这样就叫“有序域”? 因为根据有序域F上的正性关系可等价定义 “序关系”：对a,b∈F,定义a>b(或b<a) 当且仅当a-b>0.并且，该序对运算协调(保 序)。
第1题解法（第二数学归纳法）
第2题解法（跳跃式数学归纳法）
第3题解法（逆向数学归纳法[Cauchy]）
逆向数学归纳法可形象称为“留空回填”,其中“有 无穷多个自然数使P(n)真”常取P(2k),P(2k),P(2k1)．
第4题解法
第5题解法
初等代数研究__第1章_数与数系
初等代数研究__第1章_数与数系第1章数与数系数学是一门研究数与数的运算规律的科学，而数与数系是数学研究的基础。
本章将讨论数与数系的基本概念和性质。
1.1自然数与整数自然数是最基本的数，用来表示物体的个数。
自然数的集合记作N={1,2,3,…}，其中1为最小的自然数。
整数是自然数的扩充，包括正整数、负整数和零。
整数的集合记作Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}。
整数的加法运算满足交换律、结合律和闭合性，即对于任意的整数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)和a+b=b+a。
整数的减法运算也满足这些性质。
1.2有理数有理数是可以表示为两个整数的比，其中分母不为零。
有理数的集合记作Q={p/q，p∈Z，q∈Z，q≠0}。
有理数的加法、减法、乘法和除法运算都满足交换律、结合律和闭合性。
有理数的大小可以用数轴来表示，其中0位于原点。
正有理数位于0的右边，负有理数位于0的左边。
有理数可以根据大小进行比较，例如两个有理数a和b，若a>b，则称a大于b，若a<b，则称a小于b。
1.3无理数无理数是不能表示为两个整数的比的数。
无理数的集合记作I=Q'。
无理数是无限不循环小数或无限循环小数。
例如，根号2是一个无理数，其小数表示是无限不循环的。
在数轴上，无理数位于有理数之间，填补了有理数之间的空隙。
无理数与有理数一起构成了实数的集合R，即R=Q∪I。
1.4实数实数是有理数和无理数的集合，记作R=Q∪I。
实数的加法、减法、乘法和除法运算都满足交换律、结合律和闭合性。
实数的大小可以通过大小关系进行比较。
1.5数系的运算实数系具有加法和乘法运算两种基本运算。
实数的加法运算满足交换律、结合律和闭合性。
实数的乘法运算也满足这些性质。
加法运算满足零元素和负元素的存在性。
实数的运算有一些基本性质。
其中有加法的逆元素和乘法的逆元素，满足a+(-a)=0和a*1/a=1，其中a≠0。
此外，实数的运算还有分配律等性质。
1 数与数系
: 3.1,3.14,3.1413.1416, ,
定义2(柯西基本序列 设数列 an }满足条件: 0, 自然 ) { 数N ,只要n, m N , 就有 | an am | , 则数列 an }称为基本序列 { .
两个基本序列 an 与bn , 如果 0, 自然数N ,只要n N ,
例5 已知f (m, n)对任何自然数m, n满足 f (1, n) n 1, f (m 1,1) f (m, 2), f (m 1, n 1) f m, f (m 1, n) , 求证f (m, n) n 1.
证：对m作数学归纳法. 1当m 1时,由(1)知命题成立.
(3)戴德金分割说
§1.6 复数系
复数的三种定义方法 :
运算定义为: (1)(a bi) (c di) (a c) (b d )i; (2)(a bi) (c di) (ac bd ) (ad bc)i.
定义2 将有序的实数对(a, b)称为复数, 并定义它们的运算 法则如下 : (1)(a, b) (c, d ) (( a c), (b d )); (2)(a, b) (c, d ) ((ac bd ), (ad bc)).
CH1 数与数系
§1.1 数系的历史发 展
数系：具有特定结构的数的全体.
一般说来, 设S 是一个非空集合, 如果存在一个法则*,使对 S中任意两个元素有S中惟一确定的元素与它们对应, 就说*是 S的代数运算, S 对*构成代数系统, 记为( S ,*).
数系的扩充过程是在原有的数系上添加新的元,规定新的 运算,形成新的结构,最终扩充为新的数系.
定理2 设P(n)是关于自然数n的命题, 若 1 (奠基) P(n)在n 1时成立; 2 (归纳) 在P(n)(1 n k , k 是任意自然数)成立的假定下 可以推出P(k 1)成立, 则P(n)对一切自然数n都成立. 定理3 设P( n)是关于自然数n的命题, 若 1 P(n)对无限多个自然数n成立; 2 在P(k )(k 是大于1的自然数)成立的假定下可以推出 P(k 1)成立, 则P(n)对一切自然数n都成立.
第1章 数系
它有两个代数运算加法与乘法 , 且加法的逆运算永远可 以进行。
Z 2、上面构造的Z有一个真子集 , 它与N是同构的。
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结束
因为在N中对 a, b N, 差 a b 未必存在， 即
b x a 的自然数 x 未必存在。
但在设想的Z中应该存在， 因为x与 a，b有关， 所以暂时我们把 x 记为（a，b），把Z暂时写作
定理12 （阿基米德性质） 对 a，b N, 必有 n N, 使 na b。 定理13 （最小数定理） N的任何一个非空子集A中 必有最小数。
定理14 最小数原理与归纳公理是等价命题。
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自然数的减法与除法 定义5 设 a，b N, 若 x N , 使 b x a, 则称 x为a减去b的差，记作a b, 这里 a 叫做被减数， b叫做减数。求两数差的运算叫做减法。
我们可以规定：
1 n, 1 n 1, 1 0
a, b 为正整数，当 a < b时， 从而可知当 a > b时， a, b 为负整数。当 a = b时， a, b
为零。
1, 1 n n 对 a, b Z 总可表示成上述左边三种形式。
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对 a，b N, 总有
定理7 自然数的乘法满足结合律。 定义4 设 a，b N, 若存在 k N, 使得 a b k , 则称 a大于 b, 记为 a > b, 也说 b 小于a, 记为 b < a。 （1）对逆性：对a，b N, 当且仅当 a < b时， b > a 。 （2）传递性：对 a，b，c N, 若a < b， b < c, 则a < c 。 （3）全序性：对 a，b N, 在 a < b， a = b， a > b中， 有且只有一个成立。
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第一章数与数系数系的历史发展自然数系和0从自然数系到整数环有理数系实数系戴德金分割与实数系的连续性复数系关于数系教学的建议一些例题第一节数系的历史发展数学思维对象与实体的分离算术到代数的演进加速了数系的形成算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因与实体不能直接对应的“理想数”用结构主义方法构造数系这样太不方便了！一.数学思维对象与实体的分离后来聪明的人们发明了一些记数符号，这就是数字。
自然数集→正有理数集→有理理数集→实数集→复数集。
当人们还普遍怀疑负整数是一种数时，人们就已经在研究正的有理数和无理数，甚至已经开始使用复数了。
人们可以接受正有理数和正无理数，因为它们是在实体测量中产生的抽象物。
不能实际测量，正是一些数学家不愿意承认负数的理由。
二.算术到代数的演进加速了数系的形成毕达哥拉斯学派发现无理数《几何原本》关于复杂无理数和欧多克斯利用穷解法把相似比扩展到无理数情形的记载。
字母表示数和方程求解的运算过程促进了人们对无理数的接受。
对毕达歌拉斯而言，当时的数学知识只能认识到整数，虽然分数总可以用正数表达。
数学之美在于有理数能解释一切自然现象。
这种起指导作用的哲学观使毕氏对无理数的存在视而不见，甚至导致他一个学生被处死。
三.算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因大量研究表明，最早使用负数的是中国人。
约公元前200年的《九章算术》有记载。
负数受到数学家的普遍承认主要是依赖于算法的无矛盾性。
两个例子：解方程和比例的内项之积等于外向之积。
中国的“开方术”算法使中国人很自然地接受了无理数。
复数幂的欧拉公式的逻辑相容性促使人们承认虚数。
四.与实体不能直接对应的“理想数”希尔伯特用“理想元”概括数学中的“虚数”和“无限”这类并不直接与实体对应的数学概念。
如引入理想元，即无限远点和无限远直线之后，两条直线总在一点而且只在一点相交这条定理普遍为真。
鲁宾逊证明了通常的实数系R可以扩充为一种包括“无穷小”和“无穷大”在内的非标准实数系R*,在R*定义的各种运算和R中的运算不会发生矛盾。
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自然数的序数理论 顺序
2009年8月
中学数学研究（代数）
22
第一讲 数与数系
运算定义
自然数的序数理论 运算
2009年8月
中学数学研究（代数）
23
第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
例1 证明2＋3＝5
证 2 1 2＝3，2 2 2 1 (2 1) 3 4,
2 3 2 2 (2 2) 4 5
④在A的具有上述三个性质的所有扩展中，在同构 意义下，B是唯一最小扩展。
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5
第一讲 数与数系
同构
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6
第一讲 数与数系
扩展
2009年8月
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7
第一讲 数与数系
自然数系和0 自然数的基数理论和序数理论
建立自然数理论的几种方案 ⑴19世纪中叶，康托尔以集合论为基础，建立自然
2009年8月
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
2009年8月
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
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中学数学研究（代数）
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
自然数的乘法对加法满足分配律。
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
自然数的乘法满足交换律、结合律。
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
2009年8月
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第一讲 数与数系
数学归纳法 作业
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64
第一讲 数与数系
2009年8月
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环 性质
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环 顺序
顺序定义
, Z,则
－ Z
Z
0
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环 顺序
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 运算
例2 证明2×3＝6
证 2 1 2，2 2 2 1 2 1 2 4,
23 22 22 2 4 2 6
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第一讲 数与数明。
我国数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把 0作为自然数。1993年《中华人民共和国国家标 准》中《量和单位》311页规定自然数包括0。
从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。
,,,,,,,,
将这一系列集合所对应的基数看成自然数列。
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32
第一讲 数与数系
从自然数系到整数环 定义
⑴第一数学归纳法
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
第一数学归纳法证明：
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
⑵第一数学归纳法的一种边形（移动起点）
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第一讲 数与数系
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第一讲 数与数系
顺序定义
自然数的序数理论 顺序
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第一讲 数与数系
顺序性质
自然数的序数理论 顺序
相等。反身性、对称性、传递性（Th1） a与b大小。全序性三传 对歧递 逆性性 性（Th2）
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第一讲 数与数系
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 顺序
Th2⑴a,b N,当且仅当a b时，b a ⑵a,b, c N,若a b,b c,则a c ⑶a,b N,在a b, a b, a b中有且只有一个成立。
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第一讲 数与数系
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第一讲 数与数系
自然数和0
“自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。 数学史家把0比作“哥伦布的鸡蛋”： ①零是一个概念，表示“一无所有”； ②在位值制计数法中，零表示“空位”； ③零本身是一个数； ④零是标度的起点或分界。
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第一讲 数与数系
自然数和0
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第一讲 数与数系
从自然数系到整数环
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第一讲 数与数系
作业
参照“从自然数系到整数环”的数系扩展方式，就： 有理数系； 实数系； 复数系； 四元数简介。 任选其一书写一份学习报告。
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41
第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
数：一定物群所共有的抽象性质。
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第一讲 数与数系
数系的历史发展 历史途径扩展
零与负有理数
正有理数 复数
简单的代数无理数 严格的实数系
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第一讲 数与数系
数系的历史发展 逻辑扩展
自然数 增加负数和零整数系作分数域有理数系 作柯西序列等价类实数系作2次代数扩展复数系
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 提出原因
自然数的基数理论虽然反映了自然数在数量上的意 义，但是没有很好揭露自然数在顺序上的意义， 也没有给出自然数加法、乘法运算的具体方法。
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第一讲 数与数系
自然数的序数理论 定义
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第一讲 数与数系
关于自然数系的几点说明
⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为算 术系统。
⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻辑 上的相容性，也就是说必须保证从公理出发不会 推导出两个矛盾的命题。
⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。
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中学数学研究（代数）
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第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
⑹反向归纳法
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48
第一讲 数与数系
数学归纳法 数学归纳法的几种形式
⑺螺旋归纳法
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第一讲 数与数系
数学归纳法 教学注意事项
⑴要使学生弄清数学归纳法与普通形式逻辑中的归 纳法的区别。
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第一讲 数与数系
顺序性质
自然数基数理论 顺序
相等。反身性、对称性、传递性（Th1） a与b大小。全序性三传 对歧递 逆性性 性（Th2）
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 顺序
Th1⑴a N,有a a ⑵a,b N,若a b,则b a ⑶a,b, c N,若a b,b c,则a c
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第一讲 数与数系
数学归纳法 教学注意事项
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第一讲 数与数系
数学归纳法 教学注意事项
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第一讲 数与数系
数学归纳法 教学注意事项
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中学数学研究（代数）
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第一讲 数与数系
数学归纳法 例题
运算定义
自然数基数理论 运算
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 运算
运算性质 Th3 自然数的加法满足交换律和结合律。
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 运算
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 运算
数基数理论； ⑵1889年，皮亚诺以公理法为基础，建立自然数序
数理论；
⑶罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自然数理 论。
2009年8月
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第一讲 数与数系
自然数基数理论 定义
自然数：有限集的基数。
2009年8月
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第一讲 数与数系
顺序定义
自然数基数理论 顺序
归纳法是“观察——归纳——证明”三个环节之一， 是通过观察、试验、推理或猜测，得出一个关于 全体对象的判断，属于归纳。