第1讲：数与式-义
第一讲数与式
第一讲数与式作者：王宗俊来源：《初中生·考试》2012年第05期数与式的内容包括：实数的有关概念及其运算、代数式、整式、分式以及二次根式?郾在中考数学试卷中，一般有4~6道题，分值所占比例在10%~15%?郾现以2011年中考题为例，对这部分内容作归类解析?郾考点1 正数、负数及其应用例1 （2011年贵阳卷）如果“盈利10%”记为+10%，那么“亏损6%”记为（）?郾A?郾 -16%?摇?摇 B?郾 -6%?摇?摇 C?郾 +6%?摇?摇 D?郾 +4%分析：正数和负数可以表示一对相反意义的量，“盈利”和“亏损”是一对相反意义的量，既然盈利用正数表示，那么亏损就用负数来表示，后面的百分比的值不变，即-6%?郾选B?郾温馨小提示：用正数和负数表示相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯上把“前进、上升、收入、零上温度等”规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度等”规定为负?郾考点2 实数的分类例2 （2011年滨州卷）在实数π、■、■、sin30°中，无理数的个数为（）.A?郾 1?摇 B?郾 2?摇 C?郾 3 D?郾 4解：sin30°=■，所以只有π和■是无理数?郾选B?郾温馨小提示：一个实数不是有理数，就是无理数?郾而初中阶段常见的无理数有以下三种类型：（1）带根号且开方开不尽的方根，如■、■等；（2）像循环但是不循环的无限小数，如0?郾30300300030000…（两个3之间依次多一个0）；（3）含有π的数，如2π，π+3，5π-1等?郾考点3 相反数、倒数、绝对值例3 （2011年益阳卷）-2的相反数是（）?郾A?郾 2?摇?摇 B?郾 -2?摇?摇 C?郾■?摇?摇 D?郾-■解：只有符号不同的两个数叫做互为相反数?郾选A?郾例4 （2011年长沙卷）|-2|等于（）.A?郾 2?摇?摇 B?郾 -2?摇?摇 C?郾■?摇?摇 D?郾 -■解：选A?郾例5 （2011年泰州卷）-3的倒数为（）?郾A?郾 -3?摇?摇 B?郾■?摇?摇 C?郾 3?摇?摇 D?郾 -■解：选D.温馨小提示：相反数、倒数、绝对值是中考常见题.考点4 近似数、有效数字与科学记数法例6 （2011年北京卷）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人?郾将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）?郾A?郾 66?郾6×107?摇?摇 B?郾 0?郾666×108?摇?摇 C?郾 6?郾66×108?摇?摇 D?郾 6?郾66×107解：665 575 306=6?郾655 753 06×108≈6?郾66×108?郾选C?郾温馨小提示：科学记数法与近似数（有效数字的确定）是历年中考的热点，在确定a×10n 中n的值时，不要数错了整数位和0的个数?郾近年来将带单位（万、亿）的数改写成科学记数法的题比较常见. 当近似数所要保留的数位较大时，一般先写成科学记数法的形式，然后再按要求取近似值?郾考点5 数轴及实数大小的比较例7 （2011年贵阳卷）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）?郾A?郾 2?郾5?摇?摇 B?郾2■?摇?摇C?郾■?摇?摇 D?郾■解：由勾股定理可知，OB=■=■. ∴选D?郾温馨小提示：实数和数轴是一一对应的关系，比较实数大小的方法有两种：（1）利用数轴比较实数的大小时，在数轴上右边的数总比左边的数大；（2）根据数的性质比较大小时，正数都大于0，负数都小于0，两个正数比较，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小?郾考点6 平方根、算术平方根、立方根例8 （2011年毕节卷）■的算术平方根是（）?郾A?郾 4?摇?摇 B?郾 ±4?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 ±2解：∵ ■=4，4的算术平方根是2?郾选C?郾例9 （2011年河南卷）27的立方根是 ?郾解：∵ 33=27，∴ 27的立方根是3?郾温馨小提示：熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的概念是解这类题的关键. 在例8中，谨防出现选A或B的错误.考点7 实数的混合运算与估算例10 （2011年桂林卷）计算：（■+1）0-2-1-■tan45°+ |-■|?郾解：原式=1-■-■×1+■=■?郾例11 （2011年徐州卷）估计■的值（）?郾A?郾在2到3之间?摇?摇 B?郾在3到4之间C?郾在4到5之间?摇?摇 D?郾在5到6之间解：因为9＜（■）2＜16，故3＜■＜4?郾选B?郾温馨小提示：实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 实数运算往往考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值?郾零指数幂：a0=1（a≠0），负整数指数幂：a-p=■（a≠0，p为正整数）?郾估算常常要利用完全平方数?郾考点8 列代数式例12 （2011年岳阳卷）将边长分别为■，2■，3■，4■，…的正方形的面积记作S1，S2，S3，S4，…，计算S2-S1，S3-S2，S4-S3，…，若边长为n■（n为正整数）的正方形面积记作S■，根据你的计算结果，猜想Sn+1-Sn=?摇 ?郾解：第n项的边长为n■，第n+1项的边长为（n+1）■，则Sn+1=2（n+1）2，Sn=2n2，则Sn+1-Sn=2（n+1）2-2n2=4n+2?郾温馨小提示：解这类题，需要观察、归纳、验证才能得出结果?郾考点9 整式的运算例13 （2011年桂林卷）下列运算正确的是（）?郾A?郾 3x2-2x2=x2?摇?摇 B?郾（-2a）2=-2a2C?郾（a+b）2=a2+b2?摇?摇 D?郾 -2（a-1）=-2a-1解：选A?郾温馨小提示：灵活运用平方差公式、完全平方公式和整式的运算法则是解这类题的关键.考点10 因式分解例14 （2011年随州卷）分解因式8a2-2= ?郾解：原式=8a2-2=2（4a2-1）=2（2a＋1）（2a-1）?郾温馨小提示：分解因式的步骤是“一提二套”，若有公因式，先提取公因式，再套用公式分解，要分解到不能再分解为止?郾考点11 分式的值为零与分式无意义例15 （2011年杭州卷）已知分式■，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个?郾解：当x=2时，分式可化为■，当a-6=0，即a=6时，分式无意义；当x2-5x+a=0时，分式无意义，由于该方程?驻=25-4a，当a＜6时，?驻=25-4a＞0，所以可以取到两个x的值，使得x2-5x+a=0?郾答案：6，2?郾温馨小提示：分式有意义，则分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为0，则分子为0且分母不等于0?郾考点12 非负数的性质例16 （2011年达州卷）若■+b2+2b+1=0，则a2+■-|b|= ?郾解：∵ ■+b2+2b+1=0，即■+（b+1）2=0，∴ a2-3a+1=0，b+1=0.∴ a+■=3，即a2+■=7，b=-1?郾∴ a2+■-|b|=7-1=6?郾温馨小提示：几个非负数的和为零，这几个数都为零?郾考点13 分式的化简求值例17 （2011年娄底卷）先化简：（■+■）÷■?郾再从1，2，3中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值?郾解：原式=■·■=■·■=■?郾∵ a≠1，a≠-1，a≠0，∴在1，2，3中，a只能取2或3?郾当a=2时，原式=■?郾当a=3时，原式=■?郾注：在a=2，a=3中任选一个算对即可?郾温馨小提示：化简分式，再选取合适的值代入时一定要注意分式有意义，不能取使分母等于0的值?郾■。
初中数学基础知识2第1章《数与式第1节》
方、负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值
第3页
实数的相关概念
1.(2019 山西)-3 的绝对值是
A.-3 B.3
C.-1
3
2.(2016 山西)-1的相反数是
6
A.1 B.-6 C.6
6
3.(2011 山西)|-6|的值是
A.-6
B.-1 C.1
6
6
D.1
3
D.-1
6
D.6
第一章
( C)
A.6.06×104 立方米/时
B.3.136×106 立方米/时
C.3.636×106 立方米/时
D.36.36×105 立方米/时
答案
第5页
第一章
第一节
5.(2017 西)2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可 燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计, 仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国 陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为 ( C)
a.186×108吨
b.18.6×109吨
c.1.86×1010 吨
d.0.186×1011 吨
答案
第6页
第一章
第一节
6.(2014 西)pm2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm=0.000001 m)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有毒、有害物质, 对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5 μm用科学记数法可表示 为( C )
A.3830×104千瓦
B.383×105千瓦
C.0.383×108千瓦
D.3.83×107千瓦
答案
第 29 页
初中数学中考一轮复习专题1数与式重点、考点知识、方法总结及真题练习
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）仸何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0； （2）仸何一个实数 a 的平方是非负数，即 a2 ≥0； （3）仸何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 ( a 0 ).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数乊和仍是非负数； （3）几个非负数乊和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算
a a (a 0, b 0) bb
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数丌变，
即合并同类二次根式.
【典例】
1.计算：5 +
﹣×+ ÷．
【答案】 【解析】解：原式= + ﹣
+3 ÷
=2 ﹣1+3
=2 +2．
x xy xy y
2.若 x 0 ，化简
注：单独一个字母戒一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则： （1）数字不字母相乘戒字母不字母相乘，通常把乘号写作“ ”戒省略丌写，字母乊间的
顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母乊前.如： 3b 丌要写成 b3 （2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如： 2a b 写成 2a
x
2
0
即
x
1 且x 2
2
.
【难度】易
【结束】
2.若
，则 ( )
A. b＞3B. b＜3C. b≥3D. b≤3
【答案】D.
【解析】
3 b = 3 b ,所以 3 b ≥0,即 b 3 .
1 初三升高一数学暑假 第一讲—数与式(简单,也有必要复习的)
【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：nn a a 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．m 2C ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是()A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5 先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．第7题【课后作业】 一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A.a 2·a=3aB.a 6÷a 2=a 4C.a+a=a 2D.(a 2)3=a 5 2．计算：()23ab=（ ）A ．22a b B ．23a b C ．26a b D ．6ab 3．下列计算正确的是（ ）A ．623a a a ÷= B ．()122--=C ．()236326x x x -=-· D ．()0π31-=4．下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+5.若的值为则2y-x 2,54,32==yxA.53 B. -2 C. 553 D. 56 6.下列命题是假．命题的是（ ） A. 若x y <，则x +2008<y +2008 B. 单项式2347x y -的系数是-4C. 若21(3)0,x y -+-=则1,3x y ==D. 平移不改变图形的形状和大小7.一个正方体的表面展开图如图所示，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么（ ）A ．a=1，b=5B ．a=5，b=1C ．a=11，b=5D ．a=5，b=118. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．2222)(b ab a b a ++=+ B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．))((22b a b a b a -+=-aa bab图甲第8题D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+二.填空题.9．分解因式：328m m -= ．33416m n mn -＝3214x x x +-= ____．33222ax y axy ax y +-= _______． =++22363b ab a ． 2232ab a b a -+= ___．10.计算：31(2)(1)4a a -⋅- = ．11.计算： ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅23913x x =________；()=÷523y y ________． 三.解答题： 12.先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．。
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
中考第一轮复习--第一章数与式
第一章 数与式第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。
如：2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。
2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。
其中a 的取值范围是 。
2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算
【例 8】计算：
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解： 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解： 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
3/7
解：（ ）原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
（ ）原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
（ ）原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
（ ）原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
4/7
第一讲 数与式
初中数学暑假复习讲义第一讲 数与式一、学习指引1.知识要点（1）运算与运用（2）数的规律探究（3）新背景下的数的运算 （4）整式、分式、二次根式（5）代数式的值 2.方法指导（1）巧算要注意算式的特点，运用运算律适当更换次序，使计算简便，平时要不断归纳拆、拼、凑整、交换等运算技巧. （2）数的规律探究主要是解题的过程中去找出内在的规律（3）解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算.（4）对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：①因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；②运算律，适当运用运算律，也有助于化简； ③换元、配方、待定系数法、倒数法等；④有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.二、典型例题例1. 计算 （1）99163135115131++++（2）（21＋31＋……＋20021）（1＋21＋31＋……＋20011）－ （1＋21＋31＋……＋20021）（21＋31＋……＋20011）（3）设22211148()34441004A =⨯++---，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18 B.20 C.24 D.25例2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆.例3.（1） 一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形…根据这个数列的一个规律，写出其中的第19个数是 ．（2）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ） A.（11，3） B.（3，11） C.（11，9） D.（9，11）例4. 已知123112113114,,,...,1232323438345415a a a =+==+==+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯依据上述规律，则99a = .例5.（1）y ＝︱x ＋1︱＋︱x －2︱＋︱x －３︱的最小值 .（2）试求︱x －１︱＋︱x －２︱＋︱x －３︱＋……＋︱x －1999︱的最小值.例6.（1）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b -1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m ，-2m ）放入其中，得到实数2，则m = ． （2）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，， ()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，． 按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--，B ．()53，C ．()53-，D ．()53-，(3) 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为kn2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n ＝49，则第449次“F 运算”的结果是_____________．26134411第一次F ② 第二次F ① 第三次F ② …例7.（1）化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ ； (2) 若x 2－2y ＋6x ＋10＋y 2=0,则223442xy y x x yx +--=__________；(3)设512a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. (4)已知b a x -=c b y -=ac z -,那么x+y+z= .例8.（1）如果式子aa ---11)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1(2) 已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则yxy x y xy x 4353-++-的值为 ( )A ．31 B ．21 C ．32D ．43例9.(1)设Ｎ＝２３x ＋９２y 为完全平方数，且Ｎ不超过２３９２，则满足上述条件的一切正整数对（x ，y ）共有多少对？(2)一个一次函数的图象与直线y ＝45x ＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为Ａ、Ｂ，并且过点（－１，－２５），则在线段ＡＢ上（包括点Ａ、Ｂ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？(3) 如图，菱形ABCD 的对角线长分别为a b 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形1111A B C D ，然后再以矩形1111A B C D 各边的中点为顶点作菱形2222A B C D ，……，如此下去．则得到四边形2009200920092009A B C D 的面积用含a b 、的代数式表示为__________.4=1+3 9=3+616=6+10…第一讲 实数同步练习活动基地 班级 姓名【基础巩固】一、选择题1. 若的值为则2y-x 2,54,32==yx( )A.53 B.-2 C.553 D.562. 已知a －b=b －c=52，a 2＋b 2＋c 2=1则ab ＋bc ＋ca 的值等于 （ ） Ａ.2513 Ｂ.2512 Ｃ.53 Ｄ.523．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10… 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21D ．49 = 18+314．观察以下数组：（1），（3、5），（7、9、11），（13、15、17、19），…问2009在第（ ）组．Ａ．44 Ｂ． 45 Ｃ．46 Ｄ．47 5．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++； ③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③6．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当k ≥2时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0.按此方案，第2009棵树种植点的坐标为A.（5，2009）B.（6，2010）C.（3，401）D.（4，402）7．下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是 （ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数二、填空题8.观察下表，回答问题：第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍9．已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C .10．已知21(123...)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式nb ＝_______．11．已知25350x x --=，则22152525x x x x --=-- ． 12. 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则B n 的坐标是______________．三、解答题13.１21＋2221＋3321＋4421＋ (101021)序号1 2 3 …图形… y xOC 1B 2A 2 C 3B 1 A 3B 3 A 1C 2（第5题图）14. 若４x －３y －６z=0, x+2y －7z=0 (xyz ≠0),求代数式222222103225z y x z y x ---+的值.【能力拓展】15．如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记112233BD E BD E BD E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）.16.如图所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=x9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n ……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n = .（第2题）17.对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值．18.如图所示，在矩形ABCD 中，AB =12，AC =20，两条对角线相交于点O . 以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1；再以A 1B 1、A 1C 为邻边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1……依次类推. （1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积.OA BCD A 1O 1 BC A E 1 E 2 E 3D 4 D 1 D 2D 3 （第15题）第一讲数与式（典型例题）例1.（1）115（2）20021 提示：设1＋21＋31＋……＋20011＝a ，21＋31＋……＋20011＝b ，则a －b ＝1 (3) D例2.（1）46 例3.（1）114（2）A 例4.9999100例5.（1）4（2）用几何意义做比较方便，只有x 取1，2，……，1999的中间位置时最小，所以x=1000，原式= 999000 例6.（1）3或-1（2）B （3）98 例7.（1）y x y -2（2）151（3）-2 （4）0 例8.（1）C （2）D 例9.（1）27（2）5（3）（21）3000第一讲 数与式（同步练习）【基础巩固】 一．选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.D7.A 二．填空题 7.208.512，45 9.12++n n 10.528 11.（2n -1,2n-1） 三．解答题 12.102410235513.-13 【能力拓展】 14.（11+n ）215.3n 16. 17.1*2=a+2b+2c=3 ① 2*3=2a+3b+6c=4 ②x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③ 由③得 a+cd=1 bd=0 因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4，从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4 17.(1)192，（2）96，48，3第二讲 方程与方程组一、学习指引1．知识要点（1）一元一次方程 （2）二元一次方程组 （3）一元二次方程 （4）分式方程 （5）方程的整数根 （6）方程应用问题2．方法指导（1）一元一次方程经变形总可以化成ax=b 的形式，此时需注意对字母系数的讨论．（2）二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元．（3）方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)称为一元二次方程：①一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．②对于方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)， b 2-4ac 称为该方程的根的判别式． （4）解分式方程的基本方法：①去分母；②求出整式方程未知数的值；③验根.（5）列方程（组）解应用题其具体步骤是： ①审－－理解题意,弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么；②设－－即找出题中和未知量，选择其中一个设为未知数；③列－－找出题中和等量关系，列出方程；④解－－解出所列的方程；⑤答－－检验作答.其中列是关键，特别是找等量关系。