初等代数研究(绪言第一章数)完整
初等代数研究完整
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初等代数是数学的一个分支，主要研究数的性质以及数之间的关系。
它是数学中最基本的内容，也是很多其他学科的基础。
在数学史上，人们对初等代数的研究可以追溯到古希腊时代。
当时的
数学家主要关注整数、有理数和二次方程等基本概念和技巧。
随着时间的
推移，初等代数逐渐发展成为一门独立的学科，具有自己的研究方法和理
论体系。
在初等代数中，最基本的概念是数和运算。
数可以分为自然数、整数、有理数和实数等不同的类型。
运算包括加法、减法、乘法和除法等基本操作，可以通过运算规则和性质进行计算和推理。
在初等代数中，我们经常遇到的问题是求解方程。
方程是两个数或者
代数式之间的等式，我们需要找到使得等式成立的未知数的值。
求解方程
是初等代数的关键问题之一，它涉及到方程的解集和解的性质等内容。
初等代数中的另一个重要主题是数列和级数。
数列是按一定规律排列
的数的序列，级数是所有数列中的项的和。
数列和级数的研究可以帮助我
们理解数的增长和变化规律，以及推导一些重要的数学结果。
初等代数还涉及到多项式和多项式函数等概念。
多项式是一个有限项
的代数式，它由项之间的加法和乘法构成。
多项式函数是将多项式作为自
变量的函数，它在数学和自然科学中都有广泛的应用。
总之，初等代数是数学中最基本的内容之一，它研究数的性质和数之
间的关系，涉及到方程、数列、级数、多项式和多项式函数等概念。
通过
学习初等代数，学生可以培养数学思维和问题解决能力，为进一步学习数
学和其他学科打下坚实基础。
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案教程文件
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'⊃；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'⊃，所以)(C A ⋃)(D B ⋃⊃所以集合C A ⋃的基数c a +大于集合D B ⋃的基数d b +，所以d b c a +>+.5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 1555555155155)25(2535''=++=++⋅=+⋅=+⋅=⋅=⋅ （2）解：按照自然数序数理论乘法定义87)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）()()()()()()()01121,1111111,111101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(212122121212121212122221212122111112111212222121≥++-+⇒≥++-++≥+-+-≥++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a ka a ka a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n ka a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。
初等代数研究
绪言一、“代数学”的起源及几种历史观点⒈“代数学”的起源公元820年前后时，花剌子模数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子模的著作《Kitab al jabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。
到14世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。
其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法”（Algorithm）即源于此。
代数的基础就是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察的关于算术的学说。
代数的课题首要就是字母表示的式的变换和解方程的规则和方法。
所以，代数这个名称的起源完全符合这门科学本身的内容。
算术→初等代数→高等代数→近世代数。
⒉历史观点⑴Ⅰ16世纪后期，视为普遍化的算术；Ⅱ17世纪60年代，各种量的计算理论；⑵18世纪末至19世纪初，代数方程的解法；⑶19世纪至今，研究各种代数结构。
二、“代数学”的定义“代数学”的定义——初等代数学（或称古典代数学）是更古来的算术的推广和发展；抽象代数学（曾称近世代数学）则是在初等代数学的基础上发生、发展，而于20世纪形成的。
“初等代数学”——研究数字和文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法；更确切点说，研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。
三、为什么数应专业学生要学习本门课程中学数学教师的历史使命第一章自然数一、数系的历史发展⑴数学思维对象与实体的分离数的概念的产生和发展人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。
在人类开始数数之前，人类是根据物体样子的差别来判断物体是多还是少。
从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。
原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别，逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。
数：一定物群所共有的抽象性质。
【7A版】《初等代数研究》教学大纲
《初等代数研究》教学大纲课程名称：初等代数研究课程编码：0702032100适用专业及层次：数学教育专业（三年制专科）课程总学时：72学时课程总学分：一、课程的性质、目的与任务1、本课程的性质：本课程是数学教育专业一门重要的专业基础课。
它是在学生掌握了一定的数学专业理论知识的基础上开设的。
本课程根据中学数学的教学目的及现行的中学代数教材，以传统内容为主，适当渗透近代数学的思想，课程内容具有广泛性和多样性，除固定意义的代数基本内容外，还安排一些其他数学分支的知识。
2、课程目的与任务：通过《初等代数研究》课程的教学使学生掌握初中数学教学所需的初等数学的基础理论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好初中数学打下较坚实的基础。
另外，同过该课程的学习，可以加深学生对初中代数内容的理解，可以提高学生的初中数学解题能力及从事初中数学教学工作的能力。
二、教学内容、教学要求及教学重难点第一章数【教学内容】：本章主要讨论数的概念的形成与扩展，数的运算与性质，数的近似计算等内容。
【教学要求】：了解数系概念的发展简史；熟悉用代数结构的观点和用严格的公理体系来处理数的概念的扩展；能正确分析处理初中数学教材的有关内容。
【教学重难点】：第一节数系的扩展1.1数的发展简史1.2正整数理论1.3有理数集及其性质1.4实数集及其性质1.5复数集及其性质第二节整数的整除性2.1整除的意义及其性质2.2素数与合数2.3最大公约数与最小公倍数2.4同余第三节近似计算初步3.1近似值的截取方法3.2绝对误差与相对误差3.3有效数字与可靠数字第四节初中数的教学4.1内容分析4.2教学目标4.3教学建议本章重点：数及其运算性质、同余理论本章难点：利用同余理论研究整数的性质第二章式【教学内容】：式是数的概念的发展，也是研究函数、方程和不等式的基础。
本章着重讨论代数式和简单超越式的概念、性质和恒等变形。
初等代数研究(_绪言_第一章_数_)完整
8
§1 数系的扩展
四、复数集及其性质 集及其性质
• 性质 性质1：复数集是一个数域。 • 性质2：复数集不是有序域。 性质 • 性质 性质3：复数集内，开n次方运算总是可实施的， 任何非零复数有n个不相等的n次方根。 • 性质 性质4：复数集具有稠密性。复平面上任一区域 里，都有无限多个复数。 • 性质 性质5： 复数在复平面上的分布是连续的。
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A
B'
B
A
A'
B
A ～B ′⊂ B 则 a＜b
A ⊃ A ′～ B 则 a＞b
13
作 业
习题一、 3.（1）、（2） 4.（1）
14
§2 整数的整除性
整数的整除性的概念、 一．整数的整除性的概念、性质
1. 整除的定义：对于两个整数a、b(b≠0）， 整除的定义： 若存在一个整数q，使得 a=bq ① 成立，则称b整除a，或a被b整除，记作b|a。a叫 做b的倍数，b叫做a的约数（因数）。 若满足①的整数q不存在，就称a不能被b整除， 或b不能整除a，记作b ∤a， 如2|6，4 ∤ 6。
6
§1 数系的扩展
三、有理数集及其性质 集及其性质
• 性质 性质4（阿基米德性质）：对于两个正有理数a， b，存在一个正整数n，使得 na>b。 • 性质 性质5（有理数的稠密性）：在任意两个相异的 有理数之间，总存在无限多个有理数。 • 性质 性质6： 有理数集是一个可数集. • 可数集——可与正整数列“1，2，3，…”建立 一一对应的集合。
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§2 整数的整除性
六、同余
今天是星期四， 天后是星期几？ 例.今天是星期四，则101000天后是星期几？ 今天是星期四 习题 :P73 44. 求证：5353-3333能被 整除。 求证： 能被10整除 整除。
初等代数研究__第1章_数与数系
初等代数研究__第1章_数与数系第1章数与数系数学是一门研究数与数的运算规律的科学，而数与数系是数学研究的基础。
本章将讨论数与数系的基本概念和性质。
1.1自然数与整数自然数是最基本的数，用来表示物体的个数。
自然数的集合记作N={1,2,3,…}，其中1为最小的自然数。
整数是自然数的扩充，包括正整数、负整数和零。
整数的集合记作Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}。
整数的加法运算满足交换律、结合律和闭合性，即对于任意的整数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)和a+b=b+a。
整数的减法运算也满足这些性质。
1.2有理数有理数是可以表示为两个整数的比，其中分母不为零。
有理数的集合记作Q={p/q，p∈Z，q∈Z，q≠0}。
有理数的加法、减法、乘法和除法运算都满足交换律、结合律和闭合性。
有理数的大小可以用数轴来表示，其中0位于原点。
正有理数位于0的右边，负有理数位于0的左边。
有理数可以根据大小进行比较，例如两个有理数a和b，若a>b，则称a大于b，若a<b，则称a小于b。
1.3无理数无理数是不能表示为两个整数的比的数。
无理数的集合记作I=Q'。
无理数是无限不循环小数或无限循环小数。
例如，根号2是一个无理数，其小数表示是无限不循环的。
在数轴上，无理数位于有理数之间，填补了有理数之间的空隙。
无理数与有理数一起构成了实数的集合R，即R=Q∪I。
1.4实数实数是有理数和无理数的集合，记作R=Q∪I。
实数的加法、减法、乘法和除法运算都满足交换律、结合律和闭合性。
实数的大小可以通过大小关系进行比较。
1.5数系的运算实数系具有加法和乘法运算两种基本运算。
实数的加法运算满足交换律、结合律和闭合性。
实数的乘法运算也满足这些性质。
加法运算满足零元素和负元素的存在性。
实数的运算有一些基本性质。
其中有加法的逆元素和乘法的逆元素，满足a+(-a)=0和a*1/a=1，其中a≠0。
此外，实数的运算还有分配律等性质。
初等代数 第一章 自然数
a b
5
§1.2 自然数的序数理论
序数理论是完全采用公理化的方法，由两个原始概念： “集合” 、 “0 是自然数” ，一个基本关系： “后继” （实质是一种对应关系）与 五条公理为基础建立起来的.在数的理论研究中它具有非常重要的意 义，它与自然数的基数理论相比较，要抽象得多.
一、自然数的概念
0∈M. 可得
假 设 c ∈ M, 即
a+c=b+c ， 则 (a+c)
=(b+c) ,
a+c =b+c .由归纳公理知 M=N. 所以对所有自然数 c 命题成立. 根据例 3，利用反证法可知加法消去律是显然成立的.
2. 自然数的性质
自然数具有以下主要性质： （1） 离散性 定理 11 任意两个相邻的自然数 a 与 a 之间不存在自然数
利用自然数的“后继”概念，在 N 中定义两个代数运算，给出加 法与乘法的归纳定义. 定义 2 自然数的加法是一种对应关系 “+” ， 对于任意的 a, b N，
存在唯一确定的 a b N ，且有 （1） （2）
a 0 a;
a b = ( a b) .
其中 a、b 叫做加数，而 a+b 叫做它们的和。 例 1 证明 2+3=5.
1
例如，下面几类彼此等价的集合的基数相等： （1）{张三}～{王五}～{a}～{ }； （2）{甲，乙}～{天，地}～{a,b}～{ ,{} }; (3){ 甲 ， 乙 ， 丙 } ～ { 张 三 ， 李 四 ， 王 五 } ～ {a,b,c} ～ { ,{ },{ ,{} }}. 这时，我们就很方便的得到了自然数的定义， 定义 1 有限集的基数叫做自然数. 特别地， 空集的基数叫做 0.
初等数学研究第一章到第十三章全部答案
习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈' 又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。
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（1）集合等价
如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应的关系，
就称集合A和B等价，记作A～B．
集合的等价具有性质：
① A～A（反身性）
（小学如何教：认识“2”）
② A～B，则B～A（对称性）
③ A～B，B～C，A～C（传递性）
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§1 数系的扩展
1、正整数的基数理论
幼儿园的小朋友如何认 识“1”和“2”？老师其 实就是这样教的．
1、数的形成和发展 以下是按时间顺序列举的世界上几种古 老文明的早期记数系统：
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世界上几种古老文明的早期记数系统：
12
世界上几种古老文明的早期记数系统：
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§1 数系的扩展
一、数的发展简史
2、数的扩展方法与扩展原则
数系（number system）——通常是指对加法和 乘法运算封闭的数集。主要有自然数系、整数系、 有理数系、实数系和复数系。
5
绪言
§1 关于代数学发展的几个历史观点 二、代数学是研究方程理论的科学
（18世纪后期~19世纪后期）
代数学以研究方程理论为中心，包括矩阵、行列式、 二次型在内的高等代数内容。
三、代数学是研究各种代数结构的科学
（19世纪~ ）
19世纪，在伽罗瓦群以后，代数的研究内容从原来 以研究代数方程的理论为中心，转变到研究定义在 任意性质的元素集上的代数运算规律和性质。
不同于历史上人们认识数的过程中数集扩充的顺 序，“数系”的逻辑扩展应该如下所示的顺序:
N* 1, 2,3,L
Z
Q
R
C
14
§1 数系的扩展
一、数的发展简史
1、数的形成和发展
• 数系（集）扩充一般有两种方法：
• 一是添加元素法。
• 二是构造法。
•
所谓构造法指的是先用旧数集A中的数为材
料构成一个新数集B，然后指出新数集B中某一真
子集与A相等（严格讲，是B的某个真子集与A同
构），复数系的建立就是采用这一种方法.
15
§1 数系的扩展 一、数的发展简史
1、数的形成和发展
• 数集扩充应遵循的原则：
• 从数集A扩充为数集B，必须遵循下列原则：
• （1）A⊂B，即A是B的真子集；
• （2）A中已定义的元素之间的基本关系和运算，在B中也有相 应的定义，并且B中的定义，对于B的子集A中的元素来说，与 原来A中的定义一致；
《中学数学研究》
第一部分：初等代数研究
赣南师范学院数计学院 曾建国 2010年8月
绪言
• 问题： • 1.自然数是如何产生的？ • 2.为什么1+1=2？ • 3.为什么“负负得正”？ • 4.什么是解析式、代数式？二者有无差别？ • 5.两直线平行，则同位角相等。为什么？ • …… • 作为未来的中学数学教师，我们必须掌握中学课本以外的
日本琉球群岛的结绳。
台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）
9
中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。
§1 数系的扩展
一、数的发展简史
1、数的形成和发展
从历史上看，人类对于数的认识，大体上是按照如 下顺序进行的:
添正分数
添零
正整数
正有理数
非负有理数
添负数
有理数
添无理数
实数
添虚数
复数
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§1 数系的扩展 一、数的发展简史
• （3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行 • （在A中无解的某类方程，在集B中有解）； • （4）B是满足上述三个原则的A的所有扩充中的最小扩充. 16
§1 数系的扩展 二、正整数理论
尽管早在30万年以前，人们可能已经开始 形成了数的概念，但自然数理论的完善、即把 自然数作为严格的逻辑系统，采用公理化的方 法来研究，却直到19世纪末才得以实现。
近世代数 研究各种代数结构 19世纪~至今
4
绪言
• §1 关于代数学发展的几个历史观点
一、代数学是研究字母运算的科学 （~18世纪后期）
认为代数学是研究字母运算的科学，这是 代数学的原始观点，这种观点一直延续到18 世纪后期。
韦达是第一个系统使用字母，从而使符号化 代数实现的数学家。
1768年，欧拉发表《对代数的完整的介 绍》，系统地论述了方程理论和其它代数知 识，表明初等代数已经完全形成。
1859年 清代数学家李善兰译algebra为“代数学”。
3
绪言
• §1 关于代数学发展的几个历史观点
0、代数学简史
用字母代替数、方程的出现
《九章算术》中正负数的使用（公元1世纪）
丢番图采用符号（公元250年）
初等代数的形成
~16世纪 方程理论的形成
（矩阵、行列式）
高等代数的创建 16~18世纪
抽象代数的产生和深化
一些知识,如： • ①数学知识的历史背景 • ②对有关知识的更深层次的理解
• 教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！
2
绪言
• §1 关于代数学发展的几个历史观点
0、代数学简史
代数学起源可以追溯到公元前1800年左右，代数学奠 基于16世纪和17世纪初。
公元820年前后时，花剌子模（穆罕默德·伊本·穆斯·阿 里·花剌子模-数学家和天文学家）的著作《Kitab al jabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。到14 世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。 其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法” （Algorithm）即源于此。
（2）集合的基数（势）
彼此等价的所有集Biblioteka 的共同特征的标志叫做基数．（3）正整数的定义
定义1.非空有限集合的基数叫做正整数。
空集的基数叫做0，集合的A的基数记作|A|。
一切正整数组成的集合，叫做正整数集，记为N* 。
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§1 数系的扩展
1、正整数的基数理论
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§1 数系的扩展 二、正整数理论
建立自然数（正整数）理论的几种方案
①康托尔的集合论为基础建立自然数基数理论 ②皮亚诺以公理法为基础建立自然数序数理论 ③罗素等人试图用纯逻辑学建立自然数理论
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§1 数系的扩展
二、正整数理论
1、正整数的基数理论
1874年康托尔创立了集合论，在此基础上，建 立起自然数（正整数）的基数理论：
6
第一章 数 §1 数系的扩展 §2 整数的整除性
7
§1 数系的扩展
1、数的形成和发展
数的概念的形成大约是在30万年以前 Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此 Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存 信息 Ⅲ结绳计数、刻痕计数
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§1 数系的扩展
1、数的形成和发展
1937年，捷克出土的幼狼胫骨上 边有55道刻痕。距今约3万年。