高中数学人教A版选修2-2学案：第二章 2.1 2.1.1 合情推理含解析

合集下载

2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.1.1 合情推理 Word版含解析

2．1.1合情推理[目标] 1.结合实例，能说出合情推理的含义.2.能利用归纳和类比进行简单的推理.3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用．[重点] 合情推理及归纳推理的定义．[难点] 归纳推理的基本方法．知识点一归纳推理[填一填]1．归纳推理的含义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．[答一答]1．为什么归纳推理所得的结论不一定正确？什么情况下得出的结论一定正确？提示：在归纳推理中，由于前提一般是部分的，因此根据同一个前提不同的人可能得出不同的结论，即结论不唯一．这就说明归纳推理所得的结论不一定正确．在归纳过程中，穷尽了全部归纳对象，如果归纳的前提是真的，那么归纳所得的结论也一定是真的．这种归纳推理是一种必然性的推理，可以用来作为严格证明的工具．知识点二类比推理[填一填]1．类比推理的含义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．2．类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理．[答一答]2．类比推理适合在什么情况下使用？它得出的结论一定正确吗？提示：当给出的是两类不同的对象，且它们具有一些类似的特征时，可以使用类比推理．它得出的结论也是猜测性的，不一定正确．3．数学中常见的类比有哪些？提示：数学中常见的类比：直线与平面、平面与空间、方程与不等式、一元与多元、等差数列与等比数列等．知识点三合情推理及其推理过程[填一填]1．合情推理的含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，它们统称为合情推理．2．合情推理的思维过程[答一答]4．合情推理是指“合乎情理”的推理，那么由合情推理得到的结论就一定正确，对吗？提示：不一定．合情推理包括归纳推理与类比推理，而由归纳推理与类比推理得到的结论不一定正确，所以合情推理得到的结论就不一定正确．5．合情推理的作用是什么？提示：合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理与类比推理的异同点类型一数式中的归纳推理【例1】已知：1>12；1＋12＋13>1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32；1＋12＋13＋…＋115>2；….根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．【思路分析】观察不等式左边最后一项的分母特点为2n －1，不等式右边为n2，由此可得一般性结论．【解】 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n －1，而不等式右端依次分别为：12，22，32，42，…，n 2. 归纳得一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)．根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；(2)提炼出数、式的变化规律； (3)运用归纳推理写出一般结论.(1)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 解析：该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5……那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.(2)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为x1＋2 014x.解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f(f2(x))＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，故可猜想f2 014(x)＝x1＋2 014x.类型二几何图形中的归纳推理【例2】(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是________．【解析】(1)法1：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法2：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(题中图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.【答案】(1)B(2)28解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．如下图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为(B)A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)C．n2D．n解析：第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点．类型三类比推理的应用【例3】找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质．(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的两弦长相等；(3)圆的周长C＝πd(d是直径)；(4)圆的面积S＝πr2.【思路分析】先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面类比体．【解】圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、比较、联想进行归纳、类比、提出猜想，在进行类比推理时，注意比较两个对象的相似之处，从而找到可以类比的两个量，然后加以猜想，而类比结论的正确与否需证明.类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于对应底边的一半； (3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的截面面积等于第四个面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有( C ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)D ．都不对解析：以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．类比推理的结论作为推理依据致误【例4】已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1<0，a 2x 2＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为M ，N ，则“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种)．【错解】由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2知两个不等式同解，即“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的充要条件．【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中，忽略了不等式与等式的本质区别．【正解】当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝b 2＝c 2＝－1，则M ＝∅，N ＝R ，故a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒M ＝N ；当M ＝N ＝∅时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，则a 1a 2≠b 1b2≠c 1c 2，即M ＝N ⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.综上知“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的既不充分又不必要条件．【答案】既不充分又不必要【解后反思】类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．解析：等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(B)A．28 B．32C．33 D．27解析：由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9,3、6、9均是3的倍数，所以可猜测x－20＝12，即x＝32.验证47－32＝15符合上述规律．2．下列推理正确的是(D)A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c解析：选项A、B、C没有从本质上类比，是简单类比，从而出现错误．对选项D，a(b＋c)＝ab＋ac，故类比a·(b＋c)＝a·b＋a·c是正确的．3．观察下列不等式：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.解析：由前几个不等式可知1＋122＋132＋142＋…＋1(n＋1)2<2n＋1n＋1.所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.4．若S n是等差数列{a n}的前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)a n，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝b 2n －1n. 解析：T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝b 2n －1n. 5．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋a n(n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝1n .莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

人教A版选修2-2 第二章第一节 2.1.1合情推理第1课时归纳推理教案

§2.1.1合情推理第1课时归纳推理教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳进行一些简单的推理；2．通过本节内容的学习，包括欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会并认识如何利用归纳推理去猜测和发现一些新事实，得出新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

教学重点：归纳推理及方法的总结；教学难点：归纳推理的含义及其具体应用．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 =3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。

有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。

人教A版选修2-2 2.1.1合情推理学案

第二章第1节合情推理与演绎推理一、合情推理课前预习学案一，预习目标：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。

二，预习内容：（1）从______________推出___________的结论，这样的推理通常称为归纳推理. 归纳推理的思维过程大致是试验、观察 —— 概括、推广 —— 猜测一般结论（2）已知数列{}a n的每一项均为正数，a 1=1，1221+=+a an n （n=1，2，……），试归纳数列{}a n的一个通项公式。

（3）根据两个对象之间在某些方面的____________,推演出它们在其他方面也______________,这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程大致为观察、比较 —— 联想、类推 —— 猜测新的结论（4）类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。

三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。

二、学习过程：例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个交点；… …；从中归纳一般结论，n 条直线相交，最多有几个交点？例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？小结归纳推理的特点：例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。

练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。

小结类比推理的特点：当堂检测：1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______2、在等差数列{}a n中，na aa c n n +•••++=21也成等差数列，在等比数列{}b n中，dn=____________________ 也成等比数列课后练习与提高1、右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 82、下列推理正确的是(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+． (B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+． (C) 把()nab 与 ()na b + 类比，则有：nnn()x y x y +=+．(D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号44、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数（1）1，5，9，13，17，（）；（2（）．5、从222576543,3432,11=++++=++=中，得出的一般性结论是．第三次第二次第一次开始合情推理一、教材分析数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。

学年高中数学教案 2.1.1合情推理新人教A版选修2-2

2.1.1合情推理教学建议1.教材分析本节主要内容是合情推理的两种常用思维方法:归纳推理和类比推理.前者是由部分到整体、由个别到一般的推理,后者是由特殊到特殊的推理.合情推理可以为发现、探索新的结论提供思路,但其结论未必正确.本节重点是了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,难点是用归纳和类比进行推理,作出猜想.2.主要问题及教学建议(1)关于合情推理的含义归纳推理和类比推理在学生以前的学习过程中已有渗透,对其含义的教学,建议教师多以学生熟悉的例子为载体,引导他们提炼、概括归纳和类比的含义及推理方法,培养他们应用这种思维方法的意识,不必在字面上深究.(2)关于合情推理的方法及结论教学中建议教师从具体的例子出发,多分析能够进行归纳的共性和进行类比的特性,指导学生如何进行归纳和类比,通过归纳和类比能够得出什么样的结论.至于结论的正确性,可以向学生说明,由合情推理的过程可以看出,合情推理的结论往往超过了前提所涵盖的范围,因此推理所得的结论未必正确.备选习题1.已知=2=3=4,…,若=6(a,b∈R),则a+b=.解析:根据题意,由于=2=3=4,…,那么可知=6,a=6,b=6×6-1=35,所以a+b=41.答案:412.根据所给数列前几项的值,…,猜想数列{a n}的通项公式.思路分析:根据数列中前几项的值给出数列的一个通项公式,主要是对数列各项的特征进行认真观察,结合常见数列的通项公式,对已知数列进行分解、组合,从而发现其中的规律,猜想出通项公式.解:;…;于是猜想数列{a n}的通项公式a n=.3.在平面上,设h a,h b,h c分别是△ABC三条边上的高,P为△ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为p a,p b,p c,可以得到结论=1.证明此结论,并通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明.思路分析:此题可用类比的方法,将四面体类比三角形,体积类比面积等.证明:如图所示,连接PA,PB,PC,则,同理,.∵S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,∴=1.类比上述结论得出以下结论:如图所示,在四面体ABCD中,设h a,h b,h c,h d分别是四面体ABCD的四个顶点到对面的距离,P为四面体ABCD内任意一点,P到相应四个面的距离分别为p a,p b,p c,p d,可以得到结论=1.证明如下:,同理,,.∵V四面体PBCD+V四面体PACD+V四面体PABD+V四面体PABC=V四面体ABCD,∴==1.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

(完整word版)人教版高中数学选修2-2教学案2.1合情推理与演绎推理(教师版)

合情推理与演绎推理1推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理•推理一般分为合情推理与演绎推理两类•2•合情推理3•演绎推理(1) 定义：从一般性的原理岀发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理:(2) 特点：演绎推理是由一般到特殊的推理:(3) 模式：三段论•“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1例1设f(x)= 屛书，先分别求f(0) + f(1), f(—1) + f(2), f(-2)+ f(3)，然后归纳猜想一般性结论, 并给出证明•思维启迪解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明•1 * 1 1+ .3 3+ ；3同理可得：f( — 1) + f(2)=f,f(— 2) + f(3) = £，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于归纳猜想得：当X 1 + X 2= 1时，均为f(X 1)+ f(X 2) =3* 3 4.1.证明：设X 1+ X 2= 1 ,T f(X 1)+ f(X 2) = 1 1------------ + --------------- X 1. X23+ 3 3+ '3X 1X 23 + ,3 + 3+ 3X1X23+ 3 + 2 . 3X 1X 23+ ,'3 3+ '3X13X 2为 X 23 3 + 3 + 3X 1X 23+ 3 + 2 3X 1X 23+ 3 + 2 3；3 3X1 + 3X2f(0)+ f(1)=_1_ 31 + ■：..n n + 2*⑵f(2n )> 厂(n >2, n € N)解析 (1)由于 1 = 12,2+ 3 + 4= 9= 323+ 4 + 5 + 6+ 7 = 25= 524+ 5+ 6 + 7+ 8+ 9 + 10= 49= 72,所以第五个等式为 5+ 6 + 7 + 8+ 9+ 10+ 11+ 12+ 13= 92= 81. ⑵由题意得 f(22)>|, f(23)>|, f(24)>|, f(25)>2, n + 2所以当n 》2时，有f(2n )> — n + 2故填 f(2n )> —(n >2, n € N *).题型二类比推理差数列{a n }的上述结论，对于等比数列 {b n }( b n >0, n € N *),若b m = c , b n = d(n — m 》2, m , n € N *), 则可以得到b m + n =.思维启迪等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运解析设数列｛ a n ｝的公差为d ,数列｛b n ｝的公比为q.nb — ma因为 a n = a 1 + (n — 1)d , b n = b 1q n — 1, a m + n =n — mn —所以类比得b m + n =思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2) 类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等(3) 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找例2已知数列｛a n ｝为等差数列，若 a m = a , a n = b(n — m 》1, m ,* nb — ma _n * N)，则am + n=二—7 .类比等两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等跟氐训练2 (1)给出下列三个类比结论：①(ab)n= a n b n与(a+ b)n类比，则有(a+ b)n= a n+ b n；②log a(xy)= log a x+ log a y 与sin( a+ ® 类比，则有sin( a+ 3 = sin a sin 3；③(a+ b)2= a2+ 2ab+ b2与(a+ b)2类比，则有(a + b)2= a2+ 2a b+ b2.其中结论正确的个数是()A. OB.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r = 叮"(其中a, b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a, b, c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R= _________ .a2+ b2+ c2答案(1)B ⑵亠解析⑴①②错误，③正确•(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径题型三演绎推理例 3 已知函数f(x) = - aX^a a(a>0，且1).(1) 证明：函数y= f(x)的图象关于点g, - 1)对称；(2) 求f( —2)+ f( —1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3)的值.思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y= f(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上•小前提是f(x) = —^a(a>0且1)的图象关于点&, —2)对称.(1) 证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x, y),1 1 它关于点(2，—刁对称的点的坐标为(1 —x,—1 —y).由已知得y=—-—，则一1 —y=— 1 + -4 = ——a x+诵a x W a a x+V af(1 —)__ v a =_ v a =_ v a a x=_ a xa1-x+诵-0- +百a+T^a X a x^/a，a v••• — 1 —y= f(1 —x),即函数y= f(x)的图象关于点(1，—》对称.(2) 解由(1)知一1 —f(x)= f(1 —x)，即f(x) + f(1 —x) = —1.••• f(—2)+ f(3) = - 1 , f( —1) + f(2) = - 1 , f(0) + f(1) = - 1.则f(- 2) + f(- 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = - 3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提•跟腺训练3已知函数y= f(x),满足：对任意a, b€ R, a工b，都有af(a) + bf(b)>af(b)+ bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数.证明设X1, X2€ R，取X1<X2,则由题意得X1f(X1)+ X2f(X2)>X1f(X2) + X2f(X1),•- X1[f(X1) - f(X2)] + X2[f(X2)- f(X1)]>0 ,[f(X2) —f(X1)](X2 —X1)>0 ,T X1<X2, •. f(X2) —f(X1)>0 , f(X2)>f(X1 ).所以y= f(x)为R上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…，第n个n n +1 1 1三角形数为一2 =尹2+ 2n，记第n个k边形数为N(n, k)(k> 3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：1 1三角形数N( n,3) = ?n2+尹,正方形数N( n,4) = n2,3 1五边形数N(n ,5) = ?n2-刃,六边形数N(n,6) = 2n2- n可以推测N(n, k)的表达式，由此计算N(10,24) = ____________ .思维启迪从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n, k)，然后求N(10,24).k—2 4—k 解析由N(n,4)= n2, N(n,6) = 2n2-n,可以推测：当k为偶数时，N(n, k)=一^n2+一^n,24 —2 4 —24• N(10,24) = X 100 + X 10=1 100- 100= 1 000.答案 1 0002 2(2)(5分)若P o(x o, y o)在椭圆拿+ b2= 1(a>b>0)外，过P o作椭圆的两条切线的切点为P i, P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是X0X+翠=1,那么对于双曲线则有如下命题：若P o(x o, y o)在双曲线£—b2= 1(a>0, b>0)外，过P o作双曲线的两条切线，切点为P i, P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是思维启迪直接类比可得• 解析设P1(x1, y1), P2(x2, y2),则P1 , P2的切线方程分别是X1X y1y X2X y2y尹—b2 = 1,歹—b2 = 1.因为P o(x o, y o)在这两条切线上,故有警-章=1,a bX2x o y2y o苜—b2 = 1, 这说明P1(X1, y1), P2(X2, y2)在直线X"2X—yoy= 1 上,a b故切点弦P1P2所在的直线方程是X^—yb y= 1.答案xo x—y°y= 1a b⑶(5分)在计算“ 1X 2+ 2X 3+-+ n(n+1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项:1k(k+ 1) = 3【k(k+ 1)(k+ 2)—(k —1)k(k+ 1)],由此得11 x 2= 3(1 x2 x 3—o x 1 x 2),12 x 3= 3(2 x3 x 4—1 x 2x 3),1n(n + 1)=破n(n + 1)(n + 2) —(n —1)n(n+ 1)].1相加，得 1 x 2+ 2x 3 + …+ n(n + 1) = §n(n+ 1) (n + 2).类比上述方法，请你计算“ 1 x 2x 3+ 2 x 3x 4+-+ n(n+ 1) (n + 2)”，其结果为_______________ .思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证1解析类比已知条件得k(k+ 1)(k + 2) = yk(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) —(k—1)k(k+ 1)(k+ 2)],1 由此得1 x 2x 3= 4(1 x 2x 3x 4 —o x 1 x 2x 3),n(n + 1)(n + 2) = f[n(n + 1)(n + 2)(n + 3)- (n - 1)n(n + 1)(n + 2)]. 以上几个式子相加得： 1X 2X 3 + 2 X 3X 4+ - + n(n + 1)(n + 2)1=4"(n + 1)(n + 2)(n + 3). 答案 *n(n + 1)(n + 2)( n + 3)1•判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确 ( X ) (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理 ( V ) (3) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(X )(4) “所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理,但其结论是错误的• ( V )2. 数列2,5,11,20,x,47,…中的x 等于 ()A.28B.32C.33D.27答案 B解析 5- 2= 3,11-5 = 6,20- 11 = 9, 推出 x - 20= 12,所以 x = 32. 3.观察下列各式：55=3 125,56= 15 625,57 = 78 125,…，则52 011的后四位数字为 ( )解析 55= 3 125,56= 15 625,57= 78 125,58= 390 625,59= 1 953 125，可得 59与 55 的后四位数字相同，…，由此可归纳出5叫4k 与5m (k € N *, m = 5,6,7,8)的后四位数字相同，又 2 011 = 4X 501 + 7,所以52 011与57后四位数字相同为 8125,故选D. 4.观察下列等式2 X 3X 4= 4(2X 3X 4X 5- 1 X 2X 3X 4), 3X 4X 5= X 4X 5X 6- 2X 3X 4X 5),A.3 125 答案 DB.5 625C.0 625D.8 1251 ⑸一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n = n(n € N +).( X ) 数)，则可以推测a = 35, b = 6. (V )12= 112-22=- 312— 22+ 32= 612— 22+ 32 — 42 = — 10照此规律，第n 个等式可为 _________ .答案 12— 22 + 32— 42+…+ (— 1)n +1n 2= (— 1)n +1 n n j 1解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第 n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(一1)n + 1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21,….设此数列为｛a n ｝，贝U a 2 — a 1= 2, a 3 — a 2= 3, a 4 — a 3= 4, a 5 — a 4= 5,…，a n — a nn n + 1—1= n ,各式相加得 a n — a 1 = 2+ 3 + 4 +…+ n ,即a n = 1 + 2 + 3+…+ n =2•所以第n 个等式5. 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,贝yS 4, S 8 — S 4, S 12—S 8, S 16 — S 12成等差数列.类比以上结论有设解析对于等比数列，通过类比，有等比数列｛b n ｝的前n 项积为T n ,贝U T 4 = a 1a 2a 3a 4, T 8 = a£2…a 8, T 12= a 1a 2…a 12,T 16= a£2 …a 16,因此T 4, Ti T 2,筈成等比数列基础巩固A 组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题12 — 22 + 32 — 42+ …+ (— 1)n +1 n 2= (— 1)n +1n n + 12等比数列｛b n ｝的前n 项积为T n ,则T 4, ,芸成等比数列.答案 T 8 T 4 T 12 T? 因此 T 8T 4 =a 5a 6a 7a 8T 12 T 8 =a 9a 1o ana 12,T^兀=a 13a 14a 15a 16,而T 4 ,T 8 T 12 T 16T 4‘ T 8 , T 12的公比为q 16,1.观察下列各式：a+ b= 1, a2+ b2= 3, a3+ b3= 4, a4+ b4= 7, a5+ b5= 11,…，贝V a10+ b10等于解析观察规律，归纳推理•从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10+b 10= 123.2•定义一种运算“ * ” ：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1*1=1 , (2) (n +1) *1= n*1+1，贝U n*1 等于 ( )A.nB.n +1C. n — 1D.n 2答案 A解析由(n + 1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 = (n — 1)*1 + 1 = (n — 2)*1 + 2=…=1*1+ (n — 1). 又•/ 1*1=1 ,••• n*1 = n 3. 下列推理是归纳推理的是( )A. A , B 为定点，动点 P 满足|PA|+ |PB|= 2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B. 由a 1= 1, a n = 3n — 1，求出S, S 2, S 3,猜想出数列的前 n 项和S n 的表达式C. 由圆x 2 + y 2= r 2的面积n 2,猜想出椭圆冬+占=1的面积S = jaba b D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析从S 1, S 2, S 3猜想出数列的前n 项和S n ,是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳推理，故应选B.4. 已知△ ABC 中，/ A = 30° / B = 60° 求证：a<b. 证明：•••/ A = 30° / B = 60° , A< / B.• a<b ，其中，画线部分是演绎推理的 ( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提A.28B.76 答案 CC.123D.199数列｛C n ｝是等比数列，且｛d n ｝也是等比数列，则 d n 的表达式应为()5.若数列｛a n ｝是等差数列, 则数列{b n }( b n = a 1+ a 2+…+n也)也为等差数列.类比这一性质可知,若正项A.d n =C 1+ C 2+・・・+CB. d n =C 1 C 2 …C n二 f2(X )= f(x x + 2)=x + 2x + 2x 3x + 4n — 1 d d2 d = ^n + a 1 — 2，即｛b n ｝为等差数列;若｛C n ｝是等比数列，则C i C 2…C n = c i q 1 + 2+ + (n -°=岀二d n =守C 1 C 2…C n = C 1 q~^~，即｛d n ｝为等比数列，故选 D. 二、填空题6.仔细观察下面O 和•的排列规律：o• oo • ooo • oooo • OOOOO •OOOOOO •……若依此规律继续下去，得到一系列的o 和•，那么在前120个o 和•中，•的个数是 ________ . 答案 14解析进行分组O ・|OO ・ |OOO ・ |OOOO ・ |OOOOO ・ |OOOOOO ・|……,n n + 3则前n 组两种圈的总数是 f(n)= 2 + 3+ 4+ •+ (n + 1) = 2—，易知 f(14) = 119, f(15) = 135,故 n = 14.7.若函数 f(x)= ------- (x>0)，且 f 1(x) = f(x)= ---- ，当 n € N *且 n > 2 时,f n (x)= f[f n - 1(x)]，则 f 3(x) = ____x ~H 2 x ~H 2 猜想f n (x)(n € N *)的表达式为 _________ . XX7x + 82n — 1 x + 2nxT f 1(x)=, f n (x)= f[f n — 1(x)]( n > 2),x + 2C.d n = n n nnc i + C 2 +…+ c nD.d n =址1 C 2 …C n答案解析若｛a n ｝是等差数列，则a i + a 2+••• + a n = na i +n n — 1 2 d ,--b n = a i +答案解析在三棱锥A — BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A — CD — B 且与AB 相交于点E ,则类比得到的结论是 _________解析易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等, 故 V E -BCD = BE = 0BCD 故 V E —ACD = EA = & ACD . 三、解答题9•已知等差数列｛a n ｝的公差d = 2，首项a i = 5. (1) 求数列｛a n ｝的前n 项和S n ；(2) 设 T n = n(2a n — 5)，求 S 1, S 2, S 3, S 4, S; T 1, T 2, T a , T 4, T 5，并归纳出 3 与 T n 的大小规律故 f n (x)=2n— 1 x + 28•在平面几何中，△ ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE ACEB = BC 把这个结论类比到空间:答案 BE = S ^ BCDEA S ^ ACD解(1)由于 a 1 = 5, d = 2,(2) T T n = n(2a n — 5) = n[2(2 n + 3) — 5] = 4n 2+ n. --T 1 = 5, T 2= 4 x 2?+ 2 = 18, T 3= 4x 32+ 3 = 39, T 4= 4X 42+ 4 = 68, T 5= 4X 52+ 5= 105. S 1= 5, S 2= 2 x (2 + 4) = 12, S 3= 3X (3 + 4)= 21, S 4= 4 x (4 + 4) = 32 , S 5= 5X (5 + 4) = 45. 由此可知S 1= T 1,当n > 2时，3<T n .归纳猜想：当n = 1时，S n = T n ；当n 》2, n € N 时，S n <T n .11110.在Rt △ ABC 中，AB 丄AC , AD 丄BC 于D ，求证：2= 2+ 2,那么在四面体 ABCD 中，类AD AB AC 比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解如图所示，由射影定理 AD 2= BD DC , AB 2= BD BC , AC 2= BC DC ,Si = 5n +n n — 12~x 2= n(n + 4).丄- 1AD 2=BD DCBC 2 _______ BC 2BD BC DC BC = AB 2 AC 2.B 组专项能力提升（时间：30分钟）1•给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：① “若 a , b € R ，贝U a — b = 0? a = b ” 类比推出“若 a , b € C ,贝U a — b = 0? a = b ”； ② “若 a , b , c , d € R ，则复数 a + bi = c + di? a = c , b = d ” 类比推出“若 a , b , c , d € Q ,贝U a + b 眨=c + d '2? a = c , b = d ”；③ 若“ a , b € R ，贝U a — b>0? a>b ”类比推出“若 a , b € C ,贝U a — b>0? a>b ” .其中类比结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3答案 C解析 ①②正确，③错误•因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小2•设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集若对于任意a , b € A ,有a b € A ,则称A 对运算封闭下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）又 BC 2= AB 2 + AC 2,1AB 2 + AC 2A^= AB 2 AC 21 1 A^+A^.猜想，四面体 ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE 丄平面BCD ,1111则走=届+ A^+时证明：如图，连接 BE 并延长交CD 于F ，连接AF. •/ AB 丄 AC ，AB 丄 AD , ••• AB 丄平面ACD. ••• AB 丄 AF.在 Rt A ABF 中，AE 丄 BF , • 1 _ 1 丄 1 …AE 2= AB2+AF 2.1 1 1在Rt A ACD 中，AF 丄CD , •洁=応+荷, 1 _ 1 1A E 2= A?+ A?*1 A D ^-C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭 3•平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为答案n 2 + n + 22解析 1条直线将平面分成1 + 1个区域；2条直线最多可将平面分成 1 + (1 + 2) = 4个区域；3条直线最多可将平面分成1 + (1 + 2+ 3) = 7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1+ (1 + 2+ 3n n + 1 n 2+ n + 2+ …+ n) = 1 + 一2一 = 一2 ------ 个区域•n + 2 * 4•数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,已知a 1= 1, a n +1= J$(n € N ).证明： (1) 数列｛半｝是等比数列； (2) S n + 1 = 4a n .、n + 2证明 ⑴-a n + 1 = S n + 1 — S n , a n + 1 = ~n~S n , ••• (n + 2)S n = n(S n +1 — S n ), 即 nS n +1= 2(n + 1)S n .故 =2总，(小前提)n +1 n故為是以2为公比，1为首项的等比数列• (结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了 )S n + 1 S n — 1 ⑵由(1)可知 =4厂 (n > 2),n + 1 n — 1S n — 1 n — 1 + 2••• S n +1 = 4(n + 1) • = 4 - S n — 1 = 4a n (n 》2).(小前提)n — 1 n — 1 又■/a 2= 3S 1= 3, S 2= a 1 + a 2= 1 + 3 = 4= 4a 1, •••对于任意正整数n ,都有S n +1 = 4a n . (除数不等于零)四则(小前提) (结论)第13页第22页的导数，若方程f " (x)= 0有实数解x o ,则称点(x o , f(x o ))为函数y = f(x)的"拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f(x) = 3y 3 4 — 2x 5 + 3x — 12，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)= 3x 3 — *x 2+ 3x —12的对称中心;1 2 3 4 2 012⑵计算 fq 013)+ f(2 013) + f(2 013) + f(2 013)+^+ f(2 013).解 (1)f ' (x) = x 2 — x + 3, f " (x)= 2x — 1,1 由 f " (x) = 0,即 2x —1= 0,解得 x = ^.3 2 010 _f(2 013)+ f(2 013) = 2,4 2 3 4 2 012所以 f(2 013) + f(2 2 0131111£)= 3 x (夕3 -孑 1 2(2)2+3第23页11 5 1 由题中给出的结论，可知函数 f(x) = §x 3 — qx 2+ 3x —12的对称中心为(㊁,1).11 51 ⑵由(1)，知函数f(x) = §x 3— ^x2 + 3x —12的对称中心为(-,1),1 1所以 f(，+ x) + f (2 — x) = 2, 即 f(x) + f(1 — x)= 2. ,,1 2 012故 f(2 013)+ f(2 013)= 2, 2 2 011 _f(2 013)+ f(2 013) = 2,为 X 2 + 2X 3 .'3 3 + 3 + 2 .'3思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围•(2) 归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的(3) 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用跟麻训练(1)观察下列等式1= 12+ 3+ 4= 93 + 4+ 5+ 6 + 7= 254 + 5+ 6+ 7+ 8 + 9+ 10 = 49.2 012上 f(2 013)+ f( 1 2 013) = 2.-X 2 X 2 012= 2 012.2照此规律，第五个等式应为___________________________ .11 1 5 7⑵已知f(n)= 1 + 2+ 3+…+N*)，经计算得f(4)>2 ,f(8)>2，f(16)>3 , f(32)>?,则有答案(1)5 + 6+ 7+ 8 + 9 + 10+ 11+ 12+ 13= 81第24页。

人教版高中数学选修2-2学案2.1.1合情推理(二)

2.1.1合情推理(二)【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【新知自学】知识回顾：1.归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.2.归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.新知梳理：问题1：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；问题2：地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.2.类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到的推理.3. 和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 对点练习：）. A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n na ab +=+n （b ）:22n a +++也是等差数列4．三角形的面积为()2S a b c r =++⋅，,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，得到四面体的体积为_____ _________.【合作探究】典例精析：.变式练习：.例2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式练习：规律总结：1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.【课堂小结】【当堂达标】1.若数列{a n }是等差数列，对于)(121n n a a a nb +++= ，则数列{}n b 也是等差数列. 类比上述性质，若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列，对于0>n d ，则n d = 时，数列{}n d 也是等比数列.2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？3.如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=∙.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？【课时作业】1.线段AB 两端点的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则线段AB 的中点坐标为1212(,)22x x y y G ++,类比得：三角形ABC 三顶点坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心G 的坐标为 .2.在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈且成立。

人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.1.1 合情推理(含答案)

选修2-2第二章 2.1 2.1.1第1课时1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大[答案] A[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]归纳得，四个小动物在换座过程中，每换座四次与原来的一样，即以4为周期，因此在2011次换座后，四个小动物的位置应该和第三次换座后的位置一样，即小兔的座位对应的编号为4，故选D.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是()①a5＝15；②数列{a n}是一个等差数列；③数列{a n}是一个等比数列；④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[答案] D[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出b n 的计算公式．[解析] b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎝⎛⎭⎫45r ＋15p ，b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫452r ＋15p ＋452p . b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫453r ＋15p ＋452p ＋4253p ， ∴归纳得b n ＝1100⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫45n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p .5．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．。

人教版高中数学选修2-2学案：第二章2.12.1.1合情推理

合情推理与演绎推理2．1.1合情推理预习课本P70～ 77，思虑并达成以下问题(1)概括推理的含义是什么？有如何的特色？(2)类比推理的含义是什么？有如何的特色？(3)合情推理的含义是什么？[新知初探 ]1．概括推理和类比推理[点睛 ](1) 概括推理与类比推理的共同点：都是从详细事实出发，推测猜想新的结论．(2)概括推理的前提和结论之间的联系不是必定的，结论不必定正确；而类比推理的结果拥有猜想性，不必定靠谱，所以不必定正确．2．合情推理[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从整体中抽取样本，而后用样本预计整体，这类预计属于概括推理． ()(2)类比推理获得的结论能够作为定理应用．()(3) 由个到一般的推理推理．()答案： (1) √ (2) × (3) √2．由“若 a＞ b， a＋ c＞ b＋ c”获得“若 a＞ b， ac＞ bc”采纳的是 ()A．推理B．演推理C．比推理D．数学明答案：C3．数列 5,9,17,33， x，⋯中的 x 等于 ________．答案： 65推理在数、式中的用[典例 ] (1) 察以下各式：a＋ b＝ 1， a2＋ b2＝ 3， a3＋ b3＝ 4， a4＋ b4＝ 7， a5＋ b5＝ 11，⋯， a10＋ b10＝ () A． 28B． 76C． 123D． 199(2)已知 f(x)＝x， f1(x)＝ f( x)， f n(x)＝ f n－1 (f n－1(x))(n＞ 1，且 n∈ N* )， f 3(x)的表1－x达式 ________，猜想 f n(x)(n∈ N* )的表达式 ________．[分析 ] (1) 利用法： a＋ b＝ 1，a2＋ b2＝ 3，a3＋ b3＝ 3＋ 1＝ 4，a4＋ b4＝ 4＋ 3＝ 7，a5＋b5＝ 7＋ 4＝ 11， a6＋ b6＝ 11＋ 7＝ 18， a7＋ b7＝ 18＋ 11＝ 29， a8＋ b8＝ 29＋ 18＝ 47， a9＋ b9＝ 47＋ 29＝ 76， a10＋ b10＝76＋ 47＝ 123，律从第三开始，其果前两果的和．(2) ∵ f(x)＝x，∴ f1( x)＝x.1－ x1－ x又∵ f n(x)＝ f n－1(f n－1(x))，x∴ f2 (x)＝ f1(f1(x)) ＝1－ x＝x，x1－ 2x1－1－ xxf3(x)＝ f2(f2(x)) ＝1－ 2x＝x，x－1－2×14x1－ 2xxf4(x)＝ f3(f3(x)) ＝1－ 4x＝x，x－1－4×18x1－ 4xxf 5(x)＝ f 4(f 4(x)) ＝1－ 8x＝ x，x1－ 16x1－8×1－ 8xx∴ 依据前几能够猜想f n ( x)＝n － 1 .1－2x[答案 ] (1)C(2)f 3(x)＝x f n (x)＝x1－ 4x n －1x1－ 21．已知等式或不等式行推理的方法(1) 要特注意所几个等式 (或不等式 )中数和次数等方面的化律； (2) 要特注意所几个等式 (或不等式 )中构形式的特色； (3) 提出等式 (或不等式 )的合特色；(4) 运用推理得出一般．2．数列中的推理在数列中，经常用到推理猜数列的通公式或前n 和．(1) 通已知条件求出数列的前几或前n 和；(2) 依据数列中的前几或前 n 和与序号之的关系求解；(3) 运用推理写出数列的通公式或前n 和公式．[活学活用 ]1．察以下等式：sinπ － 2 2π －2 43＋ sin3 ＝ ××；31 2sinπ － 2＋ sin2π－2＋ sin3π－2＋ sin4π－2＝4×2×3；5 55 53sinπ － 2 2π －2＋ sin 3π－ 2＋ ⋯＋ sin 6π－ 2 47 ＋ sin7 7 7 ＝ ×3×4；3 sinπ － 2 2π －2 ＋ sin 3π－ 2＋ ⋯＋ sin 8π－ 2 49＋ sin9 9 9＝ ××；3 4 5⋯⋯照此律，sinπ－2＋ sin2π － 2＋ sin 3π －2＋ ⋯ ＋ sin 2n π－2＝ ________.2n ＋ 12n ＋ 12n ＋ 1 2n ＋ 1分析：通察已出等式的特色，可知等式右的4是个固定数， 4后边第一个数是33等式左最后一个数括号内角度分子中π的系数的一半，4后边第二个数是第一个数的下3一个自然数，所以，所求果443×n ×(n ＋1)，即 3n(n ＋ 1)．4答案： 3n( n ＋ 1)2．已知数列 {a n }的前 n 和 S n ，a 1＝ 3，足 S n ＝ 6－ 2a n ＋ 1(n ∈ N * )．(1) 求 a 2，a 3， a 4 的．(2) 猜想 a n 的表达式．解： (1)因 a 1＝ 3，且 S n ＝ 6－2a n ＋1 (n ∈ N * )，3所以 S 1＝ 6－ 2a 2＝ a 1＝ 3，解得 a 2＝ 2，又 S 2＝ 6－ 2a 3 ＝a 1＋ a 2＝ 3＋ 3，解得 a 3＝ 3，2 43 3又 S 3＝ 6－ 2a 4 ＝a 1＋ a 2＋ a 3＝ 3＋ 2＋ 4，3解得 a 4＝ 8.(2) 由 (1)知 a 133 33 3，＝ 3＝ 0， a 2＝＝ 1， a 3＝＝ 22 2 2 4 23 33 *a 4＝＝3＝ n － 1(n ∈ N ).82 ， ⋯ ，猜想 a n2推理在几何中的用[典例 ] 有两栽花色的正六形地面，按下的律拼成若干个案，第六个案中有菱形的正六形的个数是( )A ． 26B ．31C ． 32D ． 36[分析 ] 有菱形的正六形个数以下表：案1 2 3 ⋯个数61116⋯由表能够看出有菱形的正六形的个数挨次成一个以差数列，所以第六个案中有菱形的正六形的个数是[] B6 首，以 5 公差的等6＋ 5×(6－ 1)＝ 31.故 B.利用推理解决几何的两个策略(1) 通公式法：数清所形中研究象的个数，列成数列，察所得数列的前几，商讨其变化规律，概括猜想通项公式．(2)递推公式法：研究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数当作数列，列出递推公式，再求通项公式．[活学活用 ]1．用火柴棒摆“金鱼”，以下图：依据上边的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A． 6n－ 2B． 8n－2C． 6n＋ 2D． 8n＋ 2分析：选 C概括“金鱼”图形的构成规律知，后边“金鱼”都比它前方的“金鱼”多了去掉尾巴后 6 根火柴构成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是 6 的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n＝ 6n＋ 2.2． (陕西高考)察看剖析下表中的数据：多面体面数 (F)三棱柱5极点数6(V )棱数9(E )五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中 F ， V， E 所知足的等式是________．分析：三棱柱中 5＋ 6－ 9＝ 2；五棱锥中 6＋ 6－ 10＝ 2；立方体中 6＋ 8－ 12＝ 2，由此概括可得 F＋V－E＝2.答案： F＋V－E＝2类比推理的应用[典例 ] 以下图，在△ ABC 中，射影定理可表示为 a=b·cos C+c·cos B，此中 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四周体性质的猜想．[解 ] 以下图，在四周体 P- ABC 中， S1，S2， S3， S 分别表示△ PAB，△ PBC，△ PCA ，△ ABC 的面积，α，β ，γ 挨次表示平面 PAB，平面PBC ，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．我猜想射影定理比推理到三空，其表形式S=S1· cos α +S2· cos β+S3· cos γ .1．比推理的步(1)找出两象之能够切实表述的相像性(或一致性 )．(2)用一象的性去推另一象的性，进而得出一个猜想．(3)个猜想．2．平面形与空形比方下平面形空形点面球三角形四周体角二面角面周表面面体⋯⋯[活学活用 ]11．在△ ABC 中， D BC 的中点，AD ＝2( AB +AC)，将命比到四周体中去，获得一个命：______________________________________.分析：平面中段的中点比到空四周体中面的重心，点与中点的比点和重心的．答案：在四周体 A-BCD 中， G 是△ BCD 的重心，AG―→＝13( AB + AC + AD )2．在 Rt △ ABC 中，若∠ C＝ 90°， cos2A＋ cos2B＝ 1，在空中，出四周体性的猜想．解：如，在Rt △ABC 中，22b 2 a 2＝a2＋ b2＋c2＝ 1.cosA＋ cos B＝c c于是把结论类比到四周体P-A′B′C′中，我们猜想，三棱锥 P-A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，222PB′C′， PC′A′两两相互垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cosα＋ cos β＋ cos γ＝1.层级一学业水平达标1．察看图形规律，在其右下角的空格内画上适合的图形为()A. C.B．△D．○分析：选A察看可发现规律：① 每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，② 每行、每列有两暗影一空白，即得结果．2．下边几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，概括出全部三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的全部椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是 540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n－ 2) ·180°(n∈N *，且n≥3)．A．①②B．①③④C．①②④D．②④分析：选 C① 是类比推理；②④ 是概括推理，∴①②④ 都是合情推理．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶ 2，则它们的面积比为1∶ 4，近似地，在空间内，若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积比为() A． 1∶2B．1∶ 4C． 1∶8D． 1∶ 16分析：选 C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比建立方关系，故若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积之比为 1∶ 8.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可推出以下空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一平面的两个平面相互平行，则其中正确的结论是()A．①②B．②③C．③④D．①④分析：选B依据立体几何中线面之间的地点关系及有关定理知，②③ 是正确的结论．5．察看以下各等式：2 ＋ 6＝2，5＋3＝2，7＋1＝2，10＋－ 2－2－4 2－4 6－ 45－4 3－ 47－ 4 1－410－ 4＝ 2，依据以上各式建立的律，获得一般性的等式()A.n＋8－n＝ 2 n－4 (8－ n)－ 4B.n＋1＋(n＋1)＋5＝2 (n＋1)－ 4(n＋ 1)－ 4C.n＋n＋4＝ 2 n－4 (n＋ 4)－ 4n＋ 1n＋ 5＋＝ 2D.(n＋1)－ 4(n＋ 5)－ 4分析： A察：每个等式的右均2，左是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子同样，减数都是4，所以只有 A 正确．6．察以下等式1＝ 12＋3＋4＝93＋4＋ 5＋ 6＋ 7＝ 254＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49照此律，第n 个等式 ________．分析：察所等式，等式左第一个加数与行数同样，加数的个数2n－ 1，故第 n 行等式左的数挨次是n， n＋ 1， n＋ 2，⋯， (3n－2) ；每一个等式右的数等式左加数个数的平方，进而第n 个等式 n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)2.答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)27．我知道：周必定的全部矩形中，正方形的面最大；周必定的全部矩形与中，的面最大，将些比到空，能够获得的是 _______________________ ．分析：平面形与立体形的比：周→ 表面，正方形→ 正方体，面→ 体，矩形→ 方体，→ 球．答案：表面必定的全部方体中，正方体的体最大；表面必定的全部方体和球中，球的体最大8．如 (甲 )是第七届国数学教育大会(称 ICME － 7)的会徽案，会徽的主体案是由如 (乙 )的一串直角三角形演化而成的，此中OA1＝A1A2＝ A2 A3＝⋯＝ A7 A8＝ 1，如果把 (乙 )中的直角三角形依此律作下去，OA1，OA2，⋯， OA n，⋯的度构成数列 {a n}，此数列 {a n}的通公式a n＝ __________.分析：依据 OA 1＝ A 1A 2＝ A 2A 3＝ ⋯ ＝ A 7 A 8＝ 1 和 (乙 )中的各直角三角形，由勾股定理，可得 a 1＝ OA 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ OA 2 ＝ OA 21＋ A 1A 22 ＝12＋ 12 ＝2 ， a 3＝ OA3 ＝ OA 22＋A 2A 23 ＝22a n ＝ n.( 2)＋ 1 ＝ 3， ⋯ ，故可推出答案：n9．在平面内察：凸四形有2 条角，凸五形有5 条角，凸六形有9 条角， ⋯ ，由此猜想凸n 形有几条角？解：因凸四形有2 条角，凸五形有 5条角，比凸四形多3 条；凸六形有9 条角，比凸五形多4 条， ⋯ ，于是猜想凸 n 形的角条数比凸(n － 1)形多 (n － 2)条角，由此凸 n 形的角条数2＋ 3＋ 4＋ 5＋ ⋯＋ (n － 2)，由等差数1*列乞降公式可得 2n(n － 3)(n ≥4， n ∈ N )．所以凸 n 形的角条数 1 *2n(n － 3)(n ≥4， n ∈ N )．10．已知 f(x)＝1，分求f(0)＋ f(1) ，f( － 1)＋ f(2) ， f(－ 2)＋ f(3) ，而后猜想3x＋ 3一般性，并明你的．1解： f( x)＝ x，3 ＋ 3所以 f(0)＋ f(1) ＝ 01＋ 1 1 ＝ 3，3 ＋33＋3 3 f(－ 1)＋ f(2)＝－ 11＋ 2 1 ＝ 3 ，3 ＋3 3 ＋ 3 3 f(－ 2)＋ f(3)＝－ 21＋ 3 1 ＝ 3 . 3 ＋3 3 ＋ 3 33猜想一般性；f(－ x)＋ f(x ＋ 1)＝ 3 .明以下： f (－ x)＋ f(x ＋ 1)＝113－x＋3＋3x ＋1＋ 3x1x 133·3＝1＋ 3·3x ＋ 3x ＋ 1＋ 3＝3＋ 3x ＋1＋3x ＋1＋ 3x＋ 1x＋ 1＝3. ＝ 3·3x ＋ 1＝3·3 x3＋ 33(1＋ 3·3 )3二能力达1．由代数式的乘法法比获得向量的数目的运算法：① “mn ＝ nm ” 比获得 “a ·b ＝ b ·a ”；② “(m ＋ n)t ＝ mt ＋ nt ” 比获得 “(a ＋ b) ·c ＝ a ·c ＋ b ·c ”；③ “(m ·n)t ＝ m(n ·t) ” 比获得 “(a ·b) ·c ＝ a ·(b ·c) ”；④ “t ≠0， mt ＝ xt ? m ＝ x ” 比获得 “p ≠0，a ·p ＝ x ·p ? a ＝ x ”；⑤ “|m ·n|＝ |m| ·|n| ” 比获得 “|a ·b|＝ |a| ·|b| ”；ac aa ·c a⑥“ ＝ ” 比获得 “ ＝ ”．bc b b ·c b此中比正确的个数是 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：B由向量的有关运算法知①② 正确， ③④⑤⑥ 都不正确，故 B.2．比三角形中的性：(1) 两之和大于第三； (2) 中位等于底的一半；(3) 三内角均分交于一点．可得四周体的性：(1) 随意三个面的面之和大于第四个面的面；(2) 四周体的交于同一点的三条棱的中点的平面面等于点所的面面的(3) 四周体的六个二面角的均分面交于一点．此中比推理方法正确的有()A ． (1)B ． (1)(2)C ． (1)(2)(3)D ．都不分析：C以上比推理方法都正确，需注意的是比推理获得的能否正确与1； 4比推理方法能否正确其实不等价，方法正确也不必定正确．1 31 15 1 1 173．察以下式子：22，1＋ 2 2 ， 1＋ 2 22， ⋯，依据以上式子可1＋2 ＜2 ＋3 ＜ 32 ＋3 ＋4 ＜ 4以猜想：1＋ 1 1122＋32＋⋯ ＋ 2 0172＜ ()4 0314 032A. 2 017B.2 0174 0334 034 C. 2 017D.2 017分析：C察能够，第 n(n ≥2)个不等式左端有n ＋ 1 ，分子 1，分母挨次2, 2,22n ＋ 1，分子成等差数列，首 3，公差2，所以1 23 ， ⋯， (n ＋ 1)；右端分母1112n ＋ 11 1第 n 个不等式1＋ 22＋ 32＋ ⋯＋ (n ＋ 1)2＜ n ＋ 1 ，所以当 n ＝ 2 016 不等式： 1＋ 22＋ 32＋⋯ ＋14 0332 0172＜2 017.2Sa ，b ，c ，△ ABC 的面 S ，内切半径 r ， r ＝；a ＋ b ＋ c类比这个结论可知：四周体P-ABC 的四个面的面积分别为S1， S2， S3， S4，内切球的半径为 r，四周体 P-ABC 的体积为 V，则 r＝ ()A.VB.2VS1＋S ＋S ＋S＋S ＋S ＋S234S12343V4VC.S1＋S2＋ S3＋ S4D.S1＋ S2＋ S3＋ S4分析：选 C将△ ABC 的三条边长 a，b，c 类比到四周体 P-ABC 的四个面面积S1，S2，S3， S4，将三角形面积公式中系数1，类比到三棱锥体积公式中系数1，进而可知选 C.证明23以下：以四周体各面为底，内切球心O 为极点的各三棱锥体积的和为11 V，∴ V＝S1r＋ S2r33113V＋3S3r＋3S4r，∴ r＝S1＋S2＋S3＋S4.5．察看以下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥ 2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S 与n 的关系式为____________．分析：每条边上有 2 个圆圈时共有 S＝ 4 个；每条边上有 3 个圆圈时，共有S＝8 个；每条边上有 4 个圆圈时，共有 S＝ 12 个．可见每条边上增添一个点，则S 增添 4，∴ S 与 n 的关系为 S＝ 4(n－ 1)(n≥2)．答案： S＝ 4(n－ 1)(n≥2)6．能够运用下边的原理解决一些有关图形的面积问题：假如与一固定直线平行的直线被甲、乙两个关闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中领会这个原理．此刻图③中的两个曲线的方程分别是x2y2a2＋b2＝1(a＞ b＞ 0)与 x2＋ y2＝ a2，运用上边的原理，图③中椭圆的面积为______________．y 轴所得线段之比为b分析：因为椭圆与圆截a，b2b即 k＝，∴ 椭圆面积S＝πa·＝πab.a a答案：πab7．察看以下两个等式：223① sin10°＋ cos 40°＋ sin 10 cos ° 40 ＝° ①；4223② sin 6°＋ cos 36°＋ sin 6 cos ° 36 ＝° ② .4由上边两个等式的构造特色，你可否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由 ①② 知若两角差为 30°，则它们的有关形式的函数运算式的值均为3 4.猜想：若 β－ α＝30°，则 β＝ 30°＋ α， sin 2α＋ cos 2(α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)＝34.下边进行证明：左侧＝ sin 2α＋ cos(α＋ 30°)[cos(α＋ 30°)＋ sin α]23 1 3 1＝ sin α＋2 cos α－2sin α 2 cos α＋ 2sin α ＝ sin 2 α＋ 34cos 2α－ 14sin 2α＝ 34＝右侧．所以，猜想是正确的．故 sin 2α＋ cos 2(α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)＝ 3. 41118．已知在Rt △ ABC中， AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC于点 D ，有 AD 2＝AB 2＋ AC 2建立．那么在四周体 A-BCD 中，类比上述结论，你能获得如何的猜想，并说明猜想能否正确及原因．解：猜想：类比 AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC ，能够猜想四周体 A-BCD 中， AB ，AC ，AD两两垂直，AE ⊥ 平面BCD .则1AE1 2＝ AB1 2＋ AC1 2＋ AD2.下边证明上述猜想建立以下图，连结BE ，并延伸交 CD 于点 F ，连结 AF .∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ，AC ∩ AD =A ，∴ AB ⊥平面 ACD.而 AF ? 平面 ACD ，∴ AB ⊥ AF.在 Rt △ ABF 中， AE ⊥ BF ，11∴ AE 2＝ AB 2＋ AD 2.1在 Rt△ ACD 中， AF ⊥ CD，111∴AF2＝AC2＋AD2.∴12121212AE ＝AB＋AC＋AD，故猜想正确．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

合情推理与演绎推理2．1.1合情推理预习课本P70～77，思考并完成下列问题(1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？(2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？(3)合情推理的含义是什么？[新知初探]1．归纳推理和类比推理[点睛](1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．(2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因此不一定正确．2．合情推理[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)由个别到一般的推理为归纳推理．()答案：(1)√(2)×(3)√2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是() A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．数学证明答案：C3．数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．答案：65归纳推理在数、式中的应用[典例](1)a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝() A．28B．76C．123 D．199(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n＞1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．[解析](1)利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．(2)∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x.又∵f n(x)＝f n－1(f n－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，f4(x)＝f3(f3(x))＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，f5(x)＝f4(f4(x))＝x 1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，∴根据前几项可以猜想f n(x)＝x1－2n－1x.[答案](1)C(2)f3(x)＝x1－4x f n(x)＝x1－2n－1x1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．[活学活用]1．观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sinπ3－2＋⎝⎛⎭⎫sin2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sinπ5－2＋⎝⎛⎭⎫sin2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin4π5－2＝43×2×3；⎝⎛⎭⎫sinπ7－2＋⎝⎛⎭⎫sin2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin6π7－2＝43×3×4；⎝⎛⎭⎫sinπ9－2＋⎝⎛⎭⎫sin2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin8π9－2＝43×4×5；……照此规律，⎝⎛⎭⎫sinπ2n＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin2π2n＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin3π2n＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin2nπ2n＋1－2＝________.解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n×(n＋1)，即43n(n＋1)．答案：43n (n ＋1)2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值． (2)猜想a n 的表达式．解：(1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)，所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *).归纳推理在几何中的应用[典例] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.[答案] B利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式．[活学活用]1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n＝6n＋2.2．(陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝2类比推理的应用[典例]如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a=b·cos C+c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．[解]如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S=S1·cos α+S2·cos β+S3·cos γ.1．类比推理的步骤(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想． (3)检验这个猜想．2．平面图形与空间图形类比如下平面图形空间图形点线线面圆球三角形四面体线线角二面角边长面积周长表面积面积体积 ……[活学活用]1．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ＝12(AB +AC )，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13(AB +AC +AD )2．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2 B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P A ′B ′C ′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.层级一学业水平达标1．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.B．△C.D．○解析：选A观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)．A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：选C①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为()A．1∶2 B．1∶4C．1∶8 D．1∶16解析：选C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选B根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．5．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.nn－4＋8－n(8－n)－4＝2B.n＋1(n＋1)－4＋(n＋1)＋5 (n＋1)－4＝2C.nn－4＋n＋4(n＋4)－4＝2D.n＋1(n＋1)－4＋n＋5(n＋5)－4＝2解析：选A观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．6．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n个等式为________．解析：观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n 行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)27．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_______________________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大8．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列{a n}的通项公式为a n＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n9．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．10．已知f (x )＝13x ＋3，分别求f (0)＋f (1) ，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．解：f (x )＝13x ＋3，所以f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝33，f (－1)＋f (2)＝13－1＋3＋132＋3＝33，f (－2)＋f (3)＝13－2＋3＋133＋3＝33. 归纳猜想一般性结论；f (－x )＋f (x ＋1)＝33. 证明如下：f (－x )＋f (x ＋1)＝13－x＋3＋13x ＋1＋3＝3x 1＋3·3x ＋13x ＋1＋3＝3·3x 3＋3x ＋1＋13x ＋1＋3 ＝3·3x ＋13＋3x ＋1＝3·3x ＋13(1＋3·3x )＝33. 层级二应试能力达标1．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝ab ”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 2．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于底边长的一半； (3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．3．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0172＜( )A.4 0312 017 B.4 0322 017 C.4 0332 017D.4 0342 017解析：选C 观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋1，所以当n ＝2 016时不等式为：1＋122＋132＋…＋12 0172＜4 0332 017. 4．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 将△ABC 的三条边长a ，b ，c 类比到四面体P ABC 的四个面面积S 1，S 2，S 3，S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 5．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为____________．解析：每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．答案：S ＝4(n －1)(n ≥2)6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为ba ，即k ＝b a ，∴椭圆面积S ＝πa 2·ba ＝πab . 答案：πab7．观察下列两个等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34①；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34②.由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.下面进行证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.8．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC2成立．那么在四面体A BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解：猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.下面证明上述猜想成立如图所示，连接BE ，并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， AC ∩AD =A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE2＝1AB2＋1AD2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。