人教版高中数学选修1-1导学案第三章 再练一课(范围：§3.1～§3.2)
数学选修1-1人教版导学案3.1.3导数的几何意义(可编辑修改word版)
0 导数的几何意义预习目标：导数的几何意义是什么？（预习教材 P 78~ P 80，找出疑惑之处） 课前预习学案复习 1：曲线上向上 P (x , y ), P (x + ∆x , y + ∆y ) 的连线称为曲线的割线，斜率 k =∆y =1 1 1 1 1 ∆x复习 2：设函数 y = f (x ) 在 x 0 附近有定义当自变量在 x = x 0 附近改变 ∆x 时，函数值也相应地改变 ∆y = ，如果当 ∆x 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数 f (x ) 在点 x 0 的瞬时变化率.记作：当 ∆x 时， → l上 课 学 案学习目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 学习重难点： 导数的几何意义学习过程：学习探究探究任务：导数的几何意义问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时， 割线的变化趋是什么？新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是： k n =当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率k ， 即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 典型例题∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲 线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.例 2 如图,它表示人体血管中药物浓度c = f (t ) (单位: mg / mL )随时间t (单位: m i n )变化的函数图象.根据图象, 估计t =0.2,0.4,0.6,0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到 0.1)( , 2) 0有效训练 练 1. 求双曲线 y = 1 在点 1 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2练 2. 求 y = x 2 在点 x = 1 处的导数.反思总结函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率. 即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 ∆x →0 ∆x 其切线方程为当堂检测 1. 已知曲线 y = 2x 2 上一点,则点 A (2,8) 处的切线斜率为（） A . 4 B . 16 C . 8 D . 22. 曲线 y = 2x 2 + 1 在点 P (-1, 3) 处的切线方程为（） A ． y = -4x - 1 C ． y = 4x - 1 B ． y = -4x - 7D ． y = 4x + 73. f (x ) 在 x = x 可导，则lim f (x 0 + h ) - f (x 0 ) （ ）0 h →0 hA ．与 x 0 、 h 都有关B ．仅与 x 0 有关而与 h 无关C ．仅与 h 有关而与 x 0 无关D ．与 x 0 、 h 都无关4. 若函数 f (x ) 在 x 0 处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x 0 , f (x 0 )) 的切线方程为5. 已知函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数为 11，则lim ∆x →0 f (x 0 - ∆x ) - f (x 0 ) = ∆x课后练习与提高1. 如图,试描述函数 f (x ) 在 x = -5, -4, -2, 0,1 附近的变化情况.2. 已知函数 f (x ) 的图象,试画出其导函数 f '(x ) 图象的大致形状.学校： 一中 学科：数学 编写人：由召栋 审稿人：张林3.教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义教学过程：情景导入：如图,曲线 C 是函数 y =f (x )的图象,P ( x 0,y 0)是曲线 C 上的任意一点,Q (x 0+Δx ,y 0+Δy )为 P 邻近一点,P Q 为 C 的割线,P M //x 轴,Q M //y 轴,β为 P Q 的倾斜角.0 则 : MP x , M Q y , y tan . x ∆y 请问： 是割线P Q 的什么? ∆x展示目标：见学案检查预习：见学案合作探究：探究任务：导数的几何意义 问题 1：当点 P n (x n , f (x n ))(n = 1, 2, 3, 4) ，沿着曲线 f (x ) 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线的变化趋是什么？ 新知：当割线 P P n 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT ，叫做曲线 C 在点 P 处的切线割线的斜率是： k n =当点 P n 无限趋近于点P 时， k n 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 处的导数就是切线PT 的斜率k ， 即 k = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = f '(x )新知： ∆x →0 ∆x 0 函数 y = f (x ) 在 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y = f (x ) 在 P (x 0 , f (x )) 处切线的斜率.即 k = f '(x ) = lim f (x + ∆x ) - f (x 0 )0 精讲精练：∆x →0 ∆x 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h (t ) = -4.9t 2 + 6.5t + 10 的图象.根据图象,请描述、比较曲( , 2) 0线 h (t ) 在t 0 , t 1 , t 2 附近的变化情况.解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当 t = t 0 时, 曲线 h (t ) 在 t 0 处的切线 l 0 平行于 x 轴.故在 t = t 0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t 1 时, 曲线 h (t ) 在 t 1 处的切线 l 1 的斜率 h ’(t 1) <0 .故在 t = t 1 附近曲线下降,即函数 h (t )在 t = t 1 附近单调递减. (3)当 t = t 2 时, 曲线 h (t ) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h ’(t 2) <0 .故在 t = t 2附近曲线下降,即函数 h (t ) 在 t = t 2 附近也单调递减. 从图可以看出，直线 l 1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度，这说明 h (t ) 曲线在 l 1 附近比在 l 2 附近下降得缓慢。
人教版高中数学选修1-1导学案第三章 §3.1 3.1.3 导数的几何意义
3．1.3导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的几何意义1．切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．2．导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．3．切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点二导函数的概念1．定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．2．记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(×) 2．求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(×) 3．f′(x0)<f(x0)．(×)4．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √)一、求切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)． y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0 ⎣⎡⎦⎤4＋2Δx ＋13(Δx )2＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ． 答案 －3 解析 y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 二、求切点坐标及切线的倾斜角例2 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， ∴切点坐标为(2,9)． 延伸探究抛物线y ＝2x 2＋1在点⎝⎛⎭⎫－14，98处的切线的倾斜角是 ．(用弧度表示) 答案 34π解析 1=4|x y'-＝lim Δx →0 2⎝⎛⎭⎫－14＋Δx 2＋1－⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫－142＋1Δx ＝－1，设倾斜角为α，α∈[0，π)，tan α＝－1，∴α＝34π.反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0. (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将x 0代入求y 0，得切点坐标．跟踪训练2 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5. ∴当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； 当a ＝－5时，切点为(2,3)． 三、导数几何意义的应用例3 (1)函数g (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<g ′(2)<g ′(3)<g (3)－g (2)B ．0<g ′(3)<g (3)－g (2)<g ′(2)C ．0<g ′(2)<g (3)－g (2)<g ′(3)D ．0<g (3)－g (2)<g ′(2)<g ′(3) 答案 C解析 由函数g (x )的图象知，当x ≥0时，g ′(x )>0且曲线的切线的斜率逐渐增大， ∴g ′(x )单调递增，∴g ′(2)<g ′(3)，∵g (x )上升的越来越快，∴g ′(2)<g (3)－g (2)<g ′(3)， ∴0<g ′(2)<g (3)－g (2)<g ′(3)，故选C.(2)已知曲线f (x )＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为 ． 答案 －7解析 设点P (x 0,2x 20＋a )． 由导数的几何意义可得f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2＋a －(2x 20＋a )Δx ＝4x 0＝8，∴x 0＝2，∴P (2,8＋a )．将x ＝2，y ＝8＋a 代入到8x －y －15＝0中， 得a ＝－7.反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f (2)－f (1)2－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2) 答案 B解析 由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵f (2)－f (1)2－1＝a ，∴易知f ′(1)<a <f ′(2)．(2)曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴及直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a＝ . 答案 ±1解析 由题意知切线的斜率为3a 2， 由点斜式得切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )． 令y ＝0，得x ＝23a ，令x ＝a ，得y ＝a 3，则12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝16， 解得a ＝±1.1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．直线 答案 D解析 由题意，函数是常数函数y ＝c (c 为常数)．2．已知曲线y ＝12x 2＋2x 的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 D解析 Δy ＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋2Δx ，所以Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋2，所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝x ＋2.设切点坐标为(x 0，y 0)，则0=|x x y'＝x 0＋2. 由题意，得x 0＋2＝4，所以x 0＝2，故选D. 3．曲线y ＝－1x 在点⎝⎛⎭⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4(x ＋1) D ．y ＝2x ＋4答案 B解析 Δy ＝2Δx Δx ＋12，Δy Δx ＝2Δx ＋12，lim Δx →0 2Δx ＋12＝4，所以切线的斜率为4，所以切线方程为y ＝4⎝⎛⎭⎫x －12－2＝4x －4. 4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为 ． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则0=|x x y'＝lim Δx →0 [2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )]－(2x 20＋4x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．5．曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ．答案 34解析 联立两曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)，曲线y ＝1x在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝lim Δx →0 11＋Δx －11Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1， 所以在点(1,1)处切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.同理，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线斜率为 y ′|x ＝1＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－12Δx ＝lim Δx →0 2Δx ＋(Δx )2Δx ＝2， 所以在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.所以两条切线方程分别为 y ＝－x ＋2和y ＝2x －1， 所围成的图形如图所示，所以S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.1．知识清单： (1)导数的几何意义． (2)求切线的方程． (3)导函数的概念． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：f ′(x 0)与f ′(x )的区别；在某点处的切线与过某点的切线的区别．1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)＝0 C ．f ′(x 0)<0 D ．f ′(x 0)不存在答案 C解析 由导数的几何意义，可得f ′(x 0)＝－2<0. 2．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x ＋4D ．y ＝2x －4 答案 D解析 Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以切线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4，故选D. 3．曲线y ＝x 3的斜率为12的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 答案 B解析 ∵lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2＝12， ∴x ＝±2，∴斜率为12的切线有2条．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线的倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，14 答案 D解析 ∵lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， 又切线的倾斜角为π4，∴切线的斜率为tan π4＝1，即2x ＝1，∴x ＝12，y ＝14，则切点为⎝⎛⎭⎫12，14. 5．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )A.12 B．1 C.32 D ．2 答案 D解析 因为(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上， 所以1－2f (1)＋1＝0，所以f (1)＝1.又f ′(1)＝12，所以f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.故选D.6．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝ .答案 2解析 ∵函数过点(1,3)，∴a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx ＝2a ＝2， ∴a ＝1，b ＝2，故b a＝2.7.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线为l ，则f (2)＋f ′(2)＝ .答案 1解析 由题干中的图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线l 与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴代入可得f (2)＋f ′(2)＝1. 8．曲线f (x )＝12x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为 ．答案 2x －2y －1＝0解析 f ′(x )＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2－12x 2Δx ＝x . 因为直线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以x ＝1， 所以f (1)＝12×12＝12，切点为⎝⎛⎭⎫1，12. 故切线方程为y －12＝1·(x －1)，即2x －2y －1＝0.9．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上，直线l 为曲线在P 点处的切线，求直线l 的倾斜角的取值范围．解 设P (x 0，y 0)，函数在点P 处的导数为y ′＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )＋23－⎝⎛⎭⎫x 30－x 0＋23Δx＝3x 20－1≥－1，设直线l 的倾斜角为α(0≤α<π)，∴tan α≥－1，画出y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π 的图象如图．通过观察图象，α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 10．求过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程．解 Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋1－x 3－1Δx＝3x (Δx )2＋3x 2·Δx ＋(Δx )3Δx＝3x ·Δx ＋3x 2＋(Δx )2，所以lim Δx →0 Δy Δx＝3x 2，即y ′＝3x 2. 设过(1,1)点的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，根据导数的几何意义，曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 20，①过(1,1)点的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1，② 由①②得3x 20＝x 30x 0－1，解得x 0＝0或x 0＝32， 所以k ＝0或k ＝274，切点坐标为(0,1)或⎝⎛⎭⎫32，358. 因此曲线y ＝x 3＋1过点M (1,1)的切线方程有两个，分别为y －358＝274⎝⎛⎭⎫x －32和y ＝1， 即27x －4y －23＝0和y ＝1.11．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1 答案 A解析 ∵y ′＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，即a ＝1.12．函数y ＝f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)答案 B解析 设x ＝2，x ＝3时曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(2)＝k AT ，因为切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，故k BQ <k AB <k AT .故选B.13．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A 解析 曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1，故选A. 14．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为 ．答案 4解析 设抛物线在P 点处切线的斜率为k ，k ＝y ′|x ＝－2＝lim Δx →0 (－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx＝－5， ∴切线方程为y ＝－5x ，∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，将点P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4.15．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 设点P 的横坐标为x 0，∵y ＝x 2＋2x ＋3，∴0=|x x y'＝2x 0＋2，利用导数的几何意义，得2x 0＋2＝tan α(α为曲线在点P 处切线的倾斜角)，又∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴0≤2x 0＋2≤1， ∴x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，－12. 16．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝0=|x x y'＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。
人教版高中数学选修1-1习题课件第三章 再练一课(范围：§3.1～§3.2)
综合运用
11.已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，下面的不等式在
R上恒成立的是
√A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)>x
D.f(x)<x
解析 当x＝0时，2f(x)＋xf′(x)>x2为2f(0)＋0f′(0)>02，即f(0)>0，排除B，D项； 当 f(x)＝x2＋18时，f′(x)＝2x，满足 2f(x)＋xf′(x)>x2 在 R 上恒成立， 而 f(x)－x＝x2－x＋18＝(x－21)2－81≥－18，不满足 f(x)>x 在 R 上恒成立，排除 C. 综上可知，应选A.
x·2xln
2
＝－sin
x＋ln 2x
2·cos
x .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若曲线 y＝ x在点 Pபைடு நூலகம்a， a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，则
实数 a 的值是
A.1
B.2
√C.4
D.8
解析
∵y′＝2
1
， x
∴切线方程为 y－ a＝21a(x－a).
Δx
＝2，则实数 a 的值为_1__.
解析
∵ lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝2，∴f′(1)＝2.
∵f(x)＝ax2＋3，∴f′(x)＝2ax，
∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.如图，函数g(x)＝f(x)＋ 1 x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5) 5
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线 方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
人教版高中数学选修(1-1)-3.1《导数的概念》导学案
3.1.2 导数的概念课前预习学案预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。
怎样求瞬时变化率。
预习内容：1：气球的体积V与半径r之间的关系是()r V=V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t的关系为：2=-++. 求在12h t t t() 4.9 6.510t≤≤这段时间里，运动员的平均速度.3：求2中当t=1时的瞬时速度.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．学习重难点：1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用二、学习过程合作探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是新知：1．瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求ts ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t s ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
人教版高二数学选修1-1第三章《导数及其应用》章末复习提升学案
人教版高二数学选修1-1第三章《导数及其应用》章末复习提升学案知识网络知识归纳1.对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，导数是函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比Δy Δx 的极限，即lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率. 2.曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： (1)判断P 点是否在曲线上；(2)如果曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可得方程为x ＝x 0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为f ′(x 0).3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.4.判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是函数f (x )在该区间上为增(或减)函数的充分条件. 5.利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.(2)连续函数f (x )在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号. 6.求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值，例如：f (x )＝x 3，x ∈(－1,1). (2)求函数最值的步骤一般地，求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.7.应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x 0，使f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数的最值.题型一 导数几何意义的应用导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1).① 又已知y 1＝f (x 1)②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程.切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.例1 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值.解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0),∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0.①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由y0－y1 x0－x1＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一类类型.跟踪训练1已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m∶y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由.解(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程.设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0).将点(0,9)代入，得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，所以3x20－3＝0，得x0＝±1.当x0＝1时，g′(1)＝12，g(x)＝21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，所以y＝9是公切线.综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.题型二应用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.例2已知函数f(x)＝x－2x＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性.解由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ＜0即0＜a＜22时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.②当Δ＝0即a＝22时，仅对x＝2，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.③当Δ＞0即a＞22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，0＜x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：此时f (x )在在⎝⎛⎭⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增. 反思与感悟 求解函数y ＝f (x )单调区间的步骤： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为减区间.特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝1－x 1＋x 2e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0. (1)解 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2(e x)′. ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－2x －1(1＋x 2)2＋1－x 1＋x 2e x ＝－x [](x －1)2＋2(1＋x 2)2e x. 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞). (2)证明 当x ＜1时，由于1－x 1＋x2＞0，e x ＞0，故f (x )＞0.同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2，由(1)，知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1).下面证明∀x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，即证1－x1＋x2e x＜1＋x1＋x2e－x.此不等式等价于(1－x)e x－1＋xe x＜0.令g(x)＝(1－x)e x－1＋xe x，则g′(x)＝－x e－x(e2x－1).当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，从而g(x)＜g(0)＝0，即(1－x)e x－1＋xe x＜0.所以∀x∈(0,1)，f(x)＜f(－x).又因为x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)，从而f(x1)＜f(－x2).因为x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1＜－x2，即x1＋x2＜0.题型三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值. 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).例3已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值.(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时对应的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值. 解(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，又因为当x＝－1，x＝23时，函数分别取得极小值、极大值，所以－1，23为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根.所以23a＝－1＋23，－b3＝(－1)×23.于是a＝－12，b＝2，则f(x)＝－x3－12x2＋2x.当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2,2).又因为切线斜率k＝f′(－2)＝－8，所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，即8x＋y＋14＝0.(2)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此，f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－3 2.跟踪训练3已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)，(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.(1)解f′(x)＝x－ax，因为x＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－4x＝(x＋2)(x－2)x，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞).当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a ).(3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ，因为当x ＞1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.题型四 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强. 例4 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1).(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a ). 令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴f (x )在(－∞，a )和(3a ，＋∞)上是减函数，在(a,3a )上是增函数. 当x ＝a 时，f (x )取得极小值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b . (2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a .因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数.当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1； 当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.于是有⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1， 所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，23上是减函数， 在⎝⎛⎭⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数. 要使f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根， 即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)>0，f (3)≤0，即⎩⎨⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪训练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163. 证明 令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0， 即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减.故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163， 最小值为f (1)＝－113. 所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163，即－113≤13x3－4x≤163成立.1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围.这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围.2.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.。
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再练一课(范围：§3.1～§3.2)1．某物体的运动方程为s ＝3＋t 2，则在t ∈[2,2.1]内，该物体的平均速度为( ) A ．4.11 B ．4.01 C ．4.0 D ．4.1 答案 D解析 根据题意可得平均速度v ＝Δs Δt ＝3＋2.12－(3＋22)0.1＝4.1.2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 答案 C解析 Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2－4＋2Δx＝2(Δx )2＋4Δx Δx＝2Δx ＋4.3．已知函数f (x )＝cos x2x ，则f ′(x )等于( )A.sin x －cos x 2xB ．－sin x ＋(ln 2)·cos x 2xC.sin x －(ln 2)·cos x 2xD ．－sin x ＋cos x 4x答案 B解析 f ′(x )＝(cos x )′2x －cos x ·(2x )′(2x )2＝－sin x ·2x －cos x ·2x ln 24x＝－sin x ＋(ln 2)·cos x 2x.4．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 ∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )． 令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.5．点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上一个定点，且曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．－4 答案 A解析 y ′＝3x ＋1，令3x 0＋1＝4，得x 0＝1，代入切线方程得y 0＝3，代入y ＝3ln x ＋x ＋k ，得k ＝2.6．已知f (x )＝tan x ，则f ′⎝⎛⎭⎫4π3＝________. 答案 4解析 ∵f (x )＝tan x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －(cos x )′sin x cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫4π3＝1cos 24π3＝1cos 2π3＝4. 7．已知函数f (x )＝ax 2＋3，若lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2，则实数a 的值为________．答案 1解析 ∵lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2，∴f ′(1)＝2. ∵f (x )＝ax 2＋3，∴f ′(x )＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ＝2，∴a ＝1.8.如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.答案 －5解析 因为g (5)＝f (5)＋5＝3，所以f (5)＝－2. 因为g ′(x )＝f ′(x )＋25x ，所以g ′(5)＝f ′(5)＋25×5＝－1，f ′(5)＝－3，所以f (5)＋f ′(5)＝－5.9．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，求在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程． 解 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3 ＝－2(x －a )2＋3＋2a 2， ∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5， 又a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3， f ′(1)＝－2＋4＋3＝5， 又f (1)＝－23＋2＋3＝133，∴所求切线方程为y －133＝5(x －1)．即15x －3y －2＝0.10．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0. (1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解 (1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数为f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1， 由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.11．已知函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，下面的不等式在R 上恒成立的是( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )>x D ．f (x )<x答案 A解析 当x ＝0时，2f (x )＋xf ′(x )>x 2为2f (0)＋0f ′(0)>02，即f (0)>0，排除B ，D 项；当f (x )＝x 2＋18时，f ′(x )＝2x ，满足2f (x )＋xf ′(x )>x 2在R 上恒成立，而f (x )－x ＝x 2－x ＋18＝(x －12)2－18≥－18，不满足f (x )>x 在R 上恒成立，排除C.综上可知，应选A. 12．如图，有一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，且a ≠0)的导函数的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 答案 B解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝[x ＋(a ＋1)][x ＋(a －1)]，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y 轴，此时a ＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f (x )的导函数的图象．由图(3)知f ′(0)＝0，由根与系数的关系，得－(a ＋1)－(a －1)>0，则a <0，又⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)(a －1)＝0，a <0，解得a ＝－1.故f (x )＝13x 3－x 2＋1，所以f (－1)＝－13.13．设a >0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，1a B.⎣⎡⎦⎤0，12a C.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b 2a D.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b －12a答案 B解析 因为在点P (x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4，且a >0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b 2a 的距离d ＝x 0－⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝x 0＋b 2a . 又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0,1]，所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a ，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b2a ∈⎣⎡⎦⎤0，12a . 14．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是__________________． 答案 2x ＋y ＋1＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.15．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x答案 A解析 A 选项中，令y ＝f (x )，y ′＝f ′(x )＝32x 2－x －1，f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3.曲线在(0,0)和(2,0)处分别与直线y ＝－x ，y ＝3x －6相切，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋73上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，2上单调递增，符合题意．对B ，C ，D 选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线y ＝－x ，y ＝3x －6相切．故选A.16．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝g (x )＝x 2＋a 都相切，求实数a 的值．解 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，得f ′(0)＝2， 即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意知，Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则f (x 0)＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝f (x 0)x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意知，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a＝1或a＝164.。