中考数学-圆知识点归纳
中考数学-圆讲义及练习
第3讲圆知识点1 圆周角定理1. 圆的有关概念（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．2. 圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．3. 圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．典例剖析例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．跟踪训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．3．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．过关精练1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°8．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是．9．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．（第9题图）（第10题图）10．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝度．知识点2 垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．典例剖析例（1）如图⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．跟踪训练1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1（第1题图）（第2题图）2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．3．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6D．83．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为cm．6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．知识点3 切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线性质的运用见切点，连半径，见垂直．例（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2B．C．D．跟踪训练1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）A．70°B．60°C．55°D．35°（第1题图）（第2题图）2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则P A的长为（）A．4B．2C．3D．2.5过关精练1．如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB 的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°6．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26cm，P A＝24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm（第6题图）（第7题图）7．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（）A．B．C．5D．8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．410．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝．12．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为．13．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC ＝．（第13题图）（第14题图）（第15题图）14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝度．15．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B＝26°，则∠OCA＝度．16．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．（第16题图）（第17题图）17．已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．知识点4 扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．例（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．跟踪训练1．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A．B．（2﹣）πC．πD．π3．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+3．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4B．C．π﹣2D．8．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣8C．2π﹣8D．4π﹣4（第8题图）（第8 题图）（第10题图）9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．（第11题图）（第12题图）（第13题图）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为第 11 页 共 12 页半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）（第14题图） （第15题图）16．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．（第16题图） （第17题图） （第18题图）17．如图在正方形ABCD 中，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为 ．18．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为 ．（第19题图） （第20题图）20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点E ，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为 ．21．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝，以点A为圆心，AB．为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是第12 页共12 页。
中考数学圆的知识点总结
圆知识点总结几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2.（4）扇形面积S 扇形=LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧=2πrh；(r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧=LR 21.（L=2πr，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交⇔d＜r；直线与圆相切⇔d=r；直线与圆相离⇔d＞r.5．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.6．关于圆的常见辅助线：FED BAC OGH圆的外切四边形对边和相等.A B OC D若AD ∥BC 都是切线，连结OA 、OB 可证∠AOB=180°，即A、O、B 三点一线.EACBOD等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.EFCD BAO RtΔABC 的内切圆半径：r=2cb a -+.AC D PO BPC 过圆心，PA 是切线，构造双垂、RtΔ.BCD OAPO 是圆心，等弧出平行和相似.DE MABCFN G作AN⊥BC，可证出:ANAMBC GF =.模型：圆内接等腰三角形模型构成部分：如图1、1—1、2，⊙O、等腰△ABC（AB=AC）本质：角度一：位置关系等腰△ABC 的三个顶点在⊙O 上角度二：圆心O1、如图1、1—1、2，过A 作AD⊥BC 于D 过A 作AD⊥BC 于D，交⊙O 于E，设⊙O 的半径为R，AD=h，底边BC=a，则（1）△ABC 为锐角△⇔圆心O 在三角形的内部（如图1、1）△ABC 为钝角△⇔圆心O 在三角形的外部（如图1、2）（2）圆和它的内接等腰三角形组成的图形是轴对称图形，对称轴是底边的中垂线（1条）→圆心O 在直线AD 上（垂径定理模型）⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-===→2222a R h R BE CE AC ，AB 弧弧弧弧（3）∠BOD=∠BAC=ACB ∠-︒2180（如图1、1）∠BOD=2∠ACB（如图1、2）2、延长BO 交⊙O 于F，连结CF →FC OD BCF OD 21平行且等于的中位线为→∆3、连结OC，若∠BAC=为菱形四边形ABOC →︒120模型：圆内接三角形内角平分线模型构成部分：如图1，⊙O，△ABC，∠BAC 的角平分线AE，本质：角度一：位置关系（如图1）1、△ABC 的三个顶点在⊙O 上→点O 为△ABC 的外心→外心到三个顶点的距离相等→外心是三角形三边垂直平分线的交点2、∠BAC 的角平分线与BC 交于点D，与⊙O 交于点E，角度二：角平分线与⊙O 的交点E 1、如图1，连结BE、CE，则（1）⎪⎩⎪⎨⎧=→→DC BDAC AB EC =BE EC 弧=BE 弧（2）母子相似三角形模型和相交弦模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∙-∙=→∙=∙∙=→∆∆∆∙=→∆∆∆→CD BD AC AB AD AE AD AC AB EA ED EC EDC ECA BDA EA ED EB EDB EBA CDA 222相似于相似于相似于相似于2、如图2，过E 作直线GF，交直线AB 于G，交直线AC 于F，则（1）BC∥GF ⇔GF 与⊙O 切于点E说明：在①AE 平分∠BAC，②BC∥GF，③GF 与⊙O 切于点E 中，任取两个可以推出第三个（2）BC∥GF 或GF 与⊙O 切于点E⎩⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆→EABEBD CAD FAE FEC EACECD BAD GAE GEB 相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于（3）如图6，EM 为切线，AB 为直径→AF⊥EF ()⎪⎩⎪⎨⎧∙=→∆∆→AFAB AE ABE Rt AEF Rt A EF BC 2相似于字模型平行平行于说明：在①AE 平分∠BAC ②EM 为切线③AF⊥EF 中，任意两个成立可以推出第三个（4）如图5，过B 作切线BK 交AE 的延长线于点K⎩⎨⎧←∙∙∠→AKB∽BKE △ BE AK =BK AB CBKBE 平分3、如图3，过E 作EN⊥AB 于N，作EM⊥AC 于M，→△BNE≌△CME ⇒BN=CM →AB+AC=2AM=2AN角度三：△ABC 的内心如图4，I 为内心，AI 交BC 于D，交⊙O 于E，则⎪⎩⎪⎨⎧∙===→DEAE IE CE IE BE 2四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
中考圆的知识点总结总结
中考圆的知识点总结总结一、圆的定义和性质1. 圆的定义圆是一个平面上和一个确定点的距离都相等的点的集合。
这个确定点就是圆心，而圆心到圆上的任意点的距离就是半径。
2. 圆的性质（1）圆心角圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是圆周上的两条弦。
圆心角的度数等于对应的弧所对的圆周的度数。
如果圆心角的度数为360度，那么这个角就是周角。
（2）弧圆上的一段弧是圆周的一部分。
圆的周长就是圆周的长度，可以用角度和弧度来表示。
（3）切线和切点切线是一个直线，它与圆相切于一个点。
在圆上，切线与半径的夹角为90度。
（4）同位角同位角是两条平行线被一条截线所切割而形成的一对内角和一对外角。
同位角的性质也可以应用到圆上。
（5）相似两个或者更多的圆是相似的，如果它们有着相同的形状但是不同的尺寸。
相似的圆的半径之比等于它们的直径之比。
二、圆的相关定理1. 圆周角定理圆周角等于圆心角的一半。
2. 圆的面积和周长圆的面积等于πr^2，圆的周长等于2πr，其中r是圆的半径，π是一个无理数，约等于3.14159。
3. 弦长定理在同一个圆上，相交弦的两个切点到圆心的距离相等。
4. 弧长定理同样的圆上，相对的圆周弧长相等。
5. 切线定理切线和半径的夹角为90度。
6. 弧上的角定理同样的圆上，一个圆周弧所对的圆心角等于这个弧上的其他角的和。
7. 线段对定理在一个圆上，两条相交的弧所对的线段互为比例。
三、圆的应用1. 圆的周长和面积的应用圆的周长和面积是经常在实际生活中用到的数学概念。
比如在工程测量中，需要计算环形的周长和面积。
2. 圆的图形补充圆的图形补充，包括扇形、环形等概念，也是圆的知识点之一。
3. 圆的运动学应用在运动学中，圆的运动规律和路径也是一个重要的应用。
四、典型例题下面列举一些典型的中考圆的例题，帮助大家更好地复习和巩固知识。
1. 如果一条切线和一条半径分割了一个角为30度的圆心角，那么这条切线和半径的夹角是多少度？A. 60度B. 45度C. 30度D. 15度答案：A. 60度2. 已知圆的半径为8cm，求圆的面积和周长。
初中数学中考圆的知识点总结归纳(中考必备)
中考数学圆的知识点总结归纳一、圆的定义（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
二、圆心（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
三、周长计算公式1.、已知直径：C=πd2、已知半径：C=2πr3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径四、面积计算公式1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方五、点、直线、圆和圆的位置关系1、点和圆的位置关系①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
中考数学圆的复习
中考数学圆的复习人生处处是考场，本日各为中考忙。
斗智斗勇齐亮相，得失成败走一场。
考场潇洒不虚枉，多年以后话沧桑!下面是作者给大家带来的中考数学圆的考点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学圆的考点总结一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d r点p在⊙o内; p=d=r点P在⊙O上;d r点P在⊙O外。
考点二、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点肯定一个圆。
2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。
考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体以下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2)相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d p=直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就可以推出最后一个。
考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。
考点六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
2023年中考数学复习---圆综合知识点总结与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学复习---圆综合知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂径定理的推论：推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
3.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
4.圆周角定理：5.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
6.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质：I：圆内接四边形的对角互补。
II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
7.三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
8.切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。
9. 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
九年级数学中考一轮复习 微专题二讲义：圆的基本性质
微专题二：圆的基本性质【知识点扫描】1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.6. 半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.7.圆内接四边形的对角．8.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .9.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .10.圆锥的侧面积公式：S=rlπ.（其中为的半径，为的长）；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【难点突破】重难点1垂径定理及其应用一．选择题：1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD =3:7，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=3，给出下列结论：⊙FG=2；⊙5 tanE；⊙495DEFS=；其中正确的是( )A. ⊙⊙B. ⊙⊙C. ⊙⊙D.⊙⊙⊙二、填空题：1.在半径为1的⊙O中，两条弦AB，AC的长分别为3和2，则弧BC的长度为．三、解答题：1.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊙CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：⊙ADG⊙⊙AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求⊙ADG得面积与⊙AFD的面积比．重难点2圆周角定理及其推论一、选择题1. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设⊙BCD=α，则的值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．tan﹣2α2.如图，点C为⊙ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且⊙ACB=⊙ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5B．5C．4D．二、填空题1.如图，⊙O是⊙AB C的外接圆，AD⊙B C于D，CE⊙AB于E，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊙B C于M，BF为⊙O的直径，下列结论：⊙四边形AH CF为平行四边形；⊙AH＝2OM，⊙BF＝2F C；⊙DN＝DH；其中正确的有______(第1题) （第2题）2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2）、B（0，2+m）、C（0，2-m）（m＞0），点P 在以D（4，6）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足⊙BPC=90°，则m的最大值是3.如图，AB，BC是⊙O的弦，⊙B=60°，点O在⊙B内，点D为上的动点，点M，N，P 分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是三．解答题1.请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．2.如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是⊙ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：⊙APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．3.如图1，已知四边形ABCD 内接于圆0，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF（1）若圆0的半径为3，⊙DAB=120°，求劣弧BD 的长； （2）如图2，连接BD ，求证：BF=21BD ； （3）如图3，G 是BD 的中点，过B 作AE 的垂线交圆0于点P ，连接PG ，PF ，求证：PG=PF图1 图2 图34.如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为⊙α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数30.2°40.4°50.0°61.6°的度数55.7°60.4°80.2°100.3°⊙α的度数43.0°50.2°65.0°81.0°猜想：、、⊙α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若⊙α=60°，AB=2，CD=1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D 重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒⊙求弦CG的长；⊙求圆O的半径．重难点3 三角形的外接圆及圆内接四边形 一、选择题1.如图，点A 的坐标为A （8，0），点B 在y 轴正半轴上，且AB=10，点P 是⊙AOB 外接圆上一点，且⊙BOP=45°，则点P 的坐标为（ ）A ．（7，7）B ．（7，7）C ．（5，5）D ．（5，5）2.如图所示，四边形ABCD 中，DC⊙AB ，BC=2，AB=AC=AD=3．则BD 的长为( ) A.13 B.5 C.23 D.243.如图，⊙ABC 内接于圆O ，延长AO 交BC 于点P ，交圆O 于点D ，连结OB ，OC ，BD ，DC （ ）A ．若AB=AC ，则BC 平分ODB ．若OCBD ，则CD ：AB=：3C ．若⊙ABO=30°，则OC BDD ．若BC 平分OD ，则AB=AC二．填空题1.在⊙ABC 中，45AB =5AC =，11BC =，则⊙ABC 的外接圆半径为____________2、如图，⊙ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊙AC于M，下列结论中正确的是．⊙DB=DC；⊙AC+AB=2CM；⊙AC﹣AB=2AM；⊙S⊙ABD=S⊙ABC．重难点4弧长及扇形面积的有关计算一．选择题1．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣2二．填空题1、如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β．（1）线段AA'的长为．（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为（两小题均用含a，α，β的代数式表示）2、如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为_ __3、如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊙AB交半圆与点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=4cm，则图中阴影部分面积为cm2．三、简答题1、在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角⊙BAC与圆心角⊙BOC互补．（1）求⊙BOC的度数．（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．。
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中考数学
圆知识点
一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：
➢平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
➢平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心
距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O。
7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到
三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）
8、直线与圆的位置关系。
d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；
直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。
则AB=221221)()(y y x x -+-
d = r 直线与圆相切。
d < r （r > d 直线与圆相交。
d > r （r <d 直线与圆相离。
d = r 点P 在⊙O 上
d < r （r > d 点P 在⊙O 内 d > r （r <d 点P 在⊙O 外
10、圆的切线判定。
（1）d=r 时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确：连半径，证垂直。
11、圆的切线的性质（补充）。
（1）经过切点的直径一定垂直于切线。
（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
12、切线长定理。
（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这
（2）切线长定理。
∵ PA 、PB 切⊙
O 于点 A 、B ∴ PA=PB ，∠1=∠2。
13、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）如图，△
ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O 切△ABC 三边于点D 、E 、F 。
求：AD 、BE 、CF 的长。
分析：设AD=x ，则AD=AF=x ，BD=BE=5－x ，CE=CF=7－x. 可得方程：5－x ＋7－x=6，解得x=3 （3）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c 。
求内切圆的半径r 。
分析：先证得正方形ODCE ，
12（2）图
P
13(2)图
6
得CD=CE=r
AD=AF=b －r ，BE=BF=a －r b －r ＋a －r=c 得r=
2
c
b a -+ （4）S △ABC =)(2
1
c b a r ++
14、（补充）
（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。
（2）相交弦定理。
圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ，则PA ·PB=PC ·PD 。
（3）切割线定理。
如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，则PA 2=PB ·PC 。
（4）推论：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，则PA ·PB=PC ·PD 。
15、圆与圆的位置关系。
（1）外离：d >r 1＋r 2， 交点有0个；
外切：d=r 1＋r 2， 交点有1个； 相交：r 1－r 2<d <r 1＋r 2，交点有2个；
（1）图
（2）图
（3）图
（4）图
相切 相离
内切：d=r 1－r 2， 交点有1个； 内含：0≤d <r 1－r 2， 交点有0个。
（2）性质。
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
（1）弧长有L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。
L=
=⨯R n
π2360
180R n π
（2）扇形的面积用S 表示。
S=36036022
R n R n ππ=⨯ S=lR R R n 2
12180=⨯π （3）圆锥的侧面展开图是扇形。
r 为底面圆的半径，a 为母线长。
✧ 扇形的圆心角α=0360⨯a
r
✧ S 侧=πar S 全=πar ＋πr 2。