大学物理-二阶线性常微分方程例题
大学物理-二阶线性常微分方程的一般性质
设方程 (7-1-6) 的正则解为：
(7-1-7)
(7-1-8)
将 (7-1-7)、(7-1-8) 代入 (7-1-6) 式中，得到
消去因子 z ，有
(7-1-9)
要使上式在 |z| < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的 系数必须等于零。
由 z 的最低次幂的系数为零，得到
(a0,b0为已知)
(7-1-11) 一般可以得到两组系数。
(7-1-1)
(7-1-2)
或
(7-1-3)
其中：
是常数
可以看到，在 z0 是方程的奇点的情形下，如果 1 或 者 2 不是整数，或者 g ≠ 0，方程都有多值函数解。
显然，把解 (7-1-1), (7-1-2) 或 (7-1-3) 代入方程中去确
定 1, 2 , g, Ck , Dk 时会发现所得到的是一组无穷多个未
性、单值性等) 由方程的系数 p(z) 和 q(z) 的解析性确定。
设 p(z) 和 q(z) 在一定的区域中，除若干个孤立奇点外， 是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：
1. 方程的常点：如果 p(z) 和 q(z) 都在点 z0 的邻域解析， 则 z0 称为方程的常点。
2. 常点邻域的级数解
以 z2 乘方程
(7-1-5)
得到
(7-1-6)
其中
p1(z) zp(z) q1(z) ห้องสมุดไป่ตู้2q(z)
(7-1-6)
由条件 (7-1-4) 可知：p1(z) , q1(z) 在 z = 0 点及其邻域内是解 析的，将它们分别作泰勒展开，有
q1(z) bs zs s0
p1(z) as zs s0
(z – z0) p(z) 和 (z – z0)2 q(z) 在 0 < |z – z0| < R 中解析。(7-1-4)
二阶偏微分方程的常规解与特殊解
株洲师范高等专科学校2010届毕业论文材料系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称:讲师专业：物理教育班级：07 物理教育2010年5月目录1、毕业论文课题任务书 (2)2、毕业论文开题报告 (4)3、指导教师评阅表 (8)4、评阅教师评阅表 (9)5、答辩及最终成绩评定表 (10)6、毕业论文 (11)2010届毕业论文课题任务书系：物理与电子工程系专业：物理教育株洲师范高等专科学校毕业论文开题报告系部_______物理与电子工程系____ 专业物理教育题目二阶偏微分方程的常规解与特殊解学生姓名__刘进萍学号04107103_指导教师周昕___职称__ 讲师_____2010年5月20日说明：开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在导师指导下，由学生填写，将作为毕业论文（设计）成绩考查的重要依据，经导师签署意见及系审查后生效。
株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。
关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。
中北大学数学物理方程典型例题与解法范例
例1下列各方程是线性的, 还是非线性的? 如果是线性的, 指出是齐次的,还是非齐次的, 并确定它的阶数. (1) 22sin sin 0xx xy yy u xu xu ++=， (2) 12=+y x u u u (3) 320xxxx xxyy yyyy u u u ++=(4)0ln =++u u u xyy xxx ， (5) 5352sin xxx xy yy y u u xu u u x -+++=解：(1) 原方程为二阶齐次线性方程(2) 由于2,x y u uu 都为非线性项，因此原方程为一阶非线性方程(3) 原方程为四阶齐次线性方程(4) 由于ln u 为非线性项，因此原方程为三阶非线性方程 (5) 原方程为三阶非齐次线性方程（非齐次项2sin x ） 例2 验证函数 (3)u f x y =+ 是方程: 30x y u u -=的解, 其中f 为任意连续可微函数.证：左(3)3(3)f x y f x y x y ∂∂=+-+∂∂()(3)3()(3)f x y f x y x y ξξ∂∂''=+-+∂∂ 3()3()0f f ξξ''=-==右 (3)x y ξ=+例3 验证函数 22ln()u x y =+是方程: 0xx yy u u +=的一个解证： 222222,x y x y u u x y x y ==++，2222222222222(02)24,()()xx yy x x y u u x y x y x y x y -=+=-++++ 左22222222222224240()()x y x y x y x y x y =-+-==++++右 例4 （1） 长为l 的弦, 两端点固定, 且在初始时刻0=t 处于水平状态, 初始速度为23sinxlπ, 作微小横振动, 试写出此定解问题.（2） 设有一长度为l 的杆, 它的表面是绝热的, 在0=x 的一端温度为5C ,另一端l x=处外界媒介的温度为5C ,且初始温度分布为)(x ϕ, 试写出此定解问题.解：(1) 定解问题为 0(0,)(,)02(,0)0,3s i n t t x x t u u u t u l t u x u x t lπ==⎧⎪==⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩(2) 定解问题为 (0,)5,[(,)]5(,0)()t x x x lu u u u t u x t x u x x κϕ==⎧⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪=⎩例5 将下列二阶线性偏微分方程化为标准型（1）22222320u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂，解：（1）特征方程2320y y ''-+=，特征线12,2x y C x y C -=-=，作变量代换2x yx yξη=-⎧⎨=-⎩2,x y u u u u u u ξηξη=+=-- ， 22444xx u u u u u u u u ξξξηηξηηξξξηηη=+++=++ 32xy u u u u ξξξηηη=---，2yy u u u u ξξξηηη=++代入原方程，化为0u ξη-=， 所以原方程的标准型为 0u ξη=（2） 22222u u a t x∂∂=∂∂ 解 ：特征方程22()dx a dt =，特征线12,x at C x at C +=-=， 作变量代换x at x atξη=+⎧⎨=-⎩， 原方程化为 2222a u a u ξηξη-=，所以原方程的标准型为 0u ξη=（3）22222320u u u u u x x y y x y∂∂∂∂∂++++=∂∂∂∂∂∂解：特征方程2320y y ''-+=，特征线12,2x y C x y C -=-=，作变量代换2x y x y ξη=-⎧⎨=-⎩原方程化为0u u ξηη-+=， 所以原方程的标准型为 0u u ξηη-=例6.证明直角坐标系下的拉普拉斯方程: 22220u ux y∂∂+=∂∂在极坐标系下为01122222=∂∂+∂∂+∂∂θu r r u r ru证：cos ,sin tan r x r y y r x θθθ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩=⎪⎩2()x r x y u u u r r θ=+- ， 2y r y xu u u r rθ=+222234412[]xx rr r x x x xyu u u u u r r r r r θθθ=+-++222234412[]yy rr r y y y xyu u u u u r r r r rθθθ=+-+-2222222342[]xx yy rr r x y x y x y u u u u u r r r rθθ++++=+-+222()r x y =+2221111[]rr r rr r u u u u u u r r r r rθθθθ=+-+==++，所以拉普拉斯方程:22220u ux y ∂∂+=∂∂在极坐标系下为 01122222=∂∂+∂∂+∂∂θu r r u r r u。
大学物理-常微分方程的本征值问题
类型
定解问题中的 边界条件
分离变量后的 边界条件
本征函数系
(1)
(2) (3) (4)
利克莱条件：(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只 有有限个极值点，则 f (x) 在 [–l, l ] 上可展开为傅里叶级数
利用三角函数的正交关系，可得
量子力学中的正交完备矢量组： 设 F 为厄米算符，则 F 对应于不同本征值的本征矢
相互正交，这些本征矢构成正交完备矢量组。记正交完 备矢量组为 { | i > (i =1, 2, …)}，有
数集的正交性只是这里的特殊例子。
等本征函
4. 完备性定理 若函数 f (x) 在区间 [a,b] 有连续的一阶导数和分段连
续的二阶导数，且满足本征值问题的边界条件，则可利用 本征函数系{yn(x)} 将它展开为绝对且一致收敛的广义傅 里叶级数，即
其中展开式的系数为
备忘：傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数 f (x)，若在区间 [–l, l ] 满足狄
二阶线性常微分方程的普遍形式为 (6-4-1)
其中：A(x), B(x), C(x)——已知函数
—— 分离变量过程中引入的常数
方程 (6-4-1) 化为以下施图姆—刘维尔方程 (施—刘型方程)
(6-4-2)
其中：
核函数
已知函数
权函数
参数 勒让德方程、连带勒让德方程、贝塞尔方程均可化 为施—刘型方程：
(1) 存在无穷多个实的、分立的本征值 = n (n = 1,2,…)，
且对应着无穷多个本征函数 yn (x) (n = 1,2,…)； (2) 当同一本征值对应的本征函数不止一个时，称为简并。
证明：本征值 是实的。 若 为复数，施—刘型方程及其复共轭为
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。
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课程总成绩=形成性考核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。
(整理)微分方程详解
第二章 微分方程本章学习目的：本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。
1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法；2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；3．熟练掌握使用MATLAB 软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。
§2.1 引例 在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222=+x dtx d ω，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。
这里我们讨论“倒葫芦形状容 器壁上的刻度问题”。
对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：4/2H D V π=，其中容器的直径D 为常数，体积V 与相对于容器底部的任意高度H 成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。
而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：dx x D dV 2)(41π=，其中x 表示高度，直径是高度的函数，记为D （x ）。
可得微分方程：0)0()(412==V x D dx dV π如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？h=0.2;d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17];x(1)=0;v(1)=0;for k=1:5x(k+1)=x(k)+h;v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);endx=x(1:6),v=v(1:6),plot(x,v)x =Columns 1 through 50 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 61.0000v =Columns 1 through 50 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 60.3393§2.2 微分方程模型的建立在工程实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，关键词“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到导数。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
试题一-数学物理方法-西北师范大学
西北师范大学物理与电子工程学院2006-2007学年度第一学期《数学物理方法》期末试卷(A 卷)系别:专业：级别：班级：学号：姓名：任课教师：题号一二三四五六七八总分得分一、(10分)在经典数学物理方程中,以二阶线性偏微分方程为主要研究对象.请问二阶线性偏微分方程从数学上分为哪几类?在物理上分别对应于什么过程?并写出各类方程的标准形式.二、(10分)数学物理方程有两大基本任务:导出定解问题和求解相应的定解问题.请问什么是定解问题?定解问题包括哪些要素?我们学习了哪些定解问题?以及求解这些定解问题的主要方法有哪些?三、(10分)定解问题的适定性对于导出定解问题和求解定解问题具有重要的指导意义.请问什么是定解问题的适定性?适定性包括哪些方面?并从物理角度分析如下定解问题是不适定的(提示:可以从温度场或静电场出发,解可能不存在).∆u =f (f =0)(在区域D 内)∂u ∂n S =0(S 为区域D 的边界,n 为边界S 的外法线方向)四、(5分)一根长为l 的均匀细杆,其温度分布满足如下定解问题：u t −a 2u xx =0(0<x <l,t >0)u (0,t )=0,u x (l,t )=0(t ≥0)u (x,0)=200(0≤x ≤l )《数学物理方法》试卷(A 卷)第1页(共3页)不求解定解问题,从物理角度直观分析细杆上温度随时间的变化情况,并考察t →+∞时细杆上的温度.五、(30分)分离变量法是求解定解问题的重要方法之一.请问分离变量法对定解问题有什么要求？分离变量法有哪些基本步骤？关键的步骤是什么？请用分离变量法求解如下弦振动方程的混合问题(要求写出完整的求解过程),并分析解的物理意义.u tt =a 2u xx (0<x <l,t >0)u (0,t )=0,u (l,t )=0(t ≥0)u (x,0)=sin 2πx l ,u t (x,0)=0(0≤x ≥l )六、(15分)一根无限长的均匀细杆,其振动满足如下定解问题:u tt =a 2(u xx +2x u x )(−∞<x <∞,t >0)u (x,0)=ϕ(x )(−∞<x <∞)u t (x,0)=ψ(x )(−∞<x <∞)其中ϕ(x ),ψ(x )为充分光滑的已知函数.请求解该定解问题,并说明解的物理意义(提示:令v (x,t )=xu (x,t )).七、(10分)格林函数又称点源影响函数,请用镜像法求出Laplace 方程上半空间Dirichlet 问题的格林函数,并说明其物理意义.同时请写出Laplace 方程上半空间Dirichlet 问题∆u =0(z >0,−∞<x <∞,−∞<y <∞)u (x,y,0)=f (x,y )(−∞<x <∞,−∞<y <∞)解的积分公式.八、(10分)求解常微分方程的本征值问题时,会得到各种各样的特殊函数,诸如Legendre(勒让德)多项式、Bessel(贝塞耳)函数、Hermite(厄密)多项式《数学物理方法》试卷(A 卷)第2页(共3页)和Laguerre(拉盖尔)多项式等.对连带Legendre多项式,请填空(每空2分)：l阶连带Legendre微分方程的一般形式为,其中有两个本征值l(l+1)和m.l的取值范围为,相应m的取值范围为.l阶连带Legendre微分方程的解为l阶连带Legendre多项式,连带Legendre多项式的性、性和完备性是使它成为一个坐标函数系的三个重要性质.《数学物理方法》试卷(A卷)第3页(共3页)西北师范大学物理与电子工程学院2006-2007学年度第一学期《数学物理方法》期末试卷(A卷)参考答案一、(10分)二阶线性偏微分方程从数学上分为双曲型、抛物型、椭圆型三类,在物理上,双曲型方程对应于波动过程,抛物型方程对应于传输和扩散过程,椭圆型方程对应于稳定场过程.双曲型方程的标准形式为u tt−a2∆u=f,抛物型方程的标准形式为u t−a2∆u=f,椭圆型方程的标准形式为∆u=f.二、(10分)物理问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下,求解数学物理方程.数学物理方程加上相应的定解条件就构成定解问题.定解问题包括泛定方程和定解条件.物理规律用偏微分方程表达出来,叫作数学物理方程.数学物理方程,作为同一类物理现象的共性,反映的是矛盾的普遍性,与具体条件无关,是解决问题的依据,所以又称为泛定方程.定解条件包括边界条件和初始条件,有时还需要衔接条件.边界条件和初始条件反映了具体问题特定的环境和历史,即矛盾的特殊性.泛定方程提供解决问题的依据,定解条件提出具体的物理问题,泛定方程和定解条件作为一个整体,合称为定解问题.学习的定解问题有:对波动过程:针对有界弦,提出了弦振动方程的混合问题;针对无界弦,提出了弦振动方程的初值问题(或Cauchy问题).对传输和扩散过程:针对有界杆,提出了热传导方程的混合问题;针对无界杆,提出了热传导方程的初值问题;针对一端有界的杆,提出了热传导方程的半无限问题.对稳定场过程:提出了Laplace方程圆、球、半空间、半平面的Dirichlet问题.求解这些定解问题的主要方法有:分离变量法(有界空间、无界空间、极坐标系、球坐标系)、Fourier级数法(齐次泛定方程、非齐次泛定方程)、行《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第1页(共4页)波解法(或D’Alembert解法)、冲量定理法、格林函数法(波动、热传导、镜像法)等.三、(10分)定解问题是对真实的物理问题经过一定的近似后得到的,近似就涉及到是否合理的问题,即定解问题是否提的正确,这一问题称为定解问题的适定性.定解问题的适定性包括解的存在性、解的唯一性和解的稳定性三个方面.该定解问题如果从温度场来考虑,反映的是这样一种温度场：区域D内存在热源,而边界上是绝热的.热源不停的放出热量,而热量又不能经由边界散发出去,D内的温度必然要不停的升高,其温度分布不可能是稳定的,故该问题不能由Possion方程来描述,因此该定解问题的解是不存在的.从而该定解问题是不适定的.(注:从静电场分析类似,只不过内部有电荷分布,而电场的法向分量为零.)四、(5分)从该定解问题可以看出：杆的左端温度为0,右端绝热,杆内部没有热源,杆上初始时刻各处温度均为常数200.根据热传导规律,杆上的温度将随时间降低,越靠近左端,温度降得越快,最后当t→+∞时细杆的温度将和左端的温度相等,即杆上各处的温度均为0.五、(30分)分离变量法要求定解问题的泛定方程与边界条件必须是齐次的.分离变量法其基本步骤为：1、变量分离;2、求解本征值问题;3、求解另外的常微分方程;4、特解的叠加;5、利用定解条件确定叠加系数.分离变量法关键的步骤是求解本征值问题.1.变量分离设u(x,t)=X(x)T(t),代入泛定方程得X +λX=0T +λa2T=0,其中λ为分离常数.将u(x,t)=X(x)T(t)代入边界条件得X(0)=0,X(l)=0.《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第2页(共4页)2.求解本征值问题X +λX =0X (0)=0,X (l )=0本征值λn =n 2π2l 2,本征函数X n (x )=sin nπxl ,n =1,2,···.3.求解常微分方程T+n 2π2a 2l 2T =0,n =1,2,···T n (t )=C n cos nπa l t +D n sin nπalt ,n =1,2,···.其中C n ,D n 为任意常数.得一系列特解u n (x,t )=X n (x )T n (t )=C n cos nπa l t +D n sin nπa l t sin nπxl,n =1,2,···.4.特解的叠加u (x,t )=∞ n =1u n (x,t )=∞ n =1C n cos nπal t +D n sin nπa l t sin nπx l.5.利用初始条件确定叠加系数C n ,D nu (x,0)=∞ n =1C n sinnπx l =sin 2πxl =⇒C 2=1C n =0,n =2.u t (x,0)=∞ n =1D n nπa l sin nπxl=0=⇒D n =0,n =1,2,···.所以该定解问题的解为u (x,t )=cos2πa l t sin 2πxl.解的物理意义：该Fourier 级数解在物理上表示驻波.六、(15分)令v (x,t )=xu (x,t ).化原定解问题为：v tt =a 2v xx (−∞<x <∞,t >0)v (x,0)=xϕ(x )(−∞<x <∞)v t (x,0)=xψ(x )(−∞<x <∞)利用D’Alembert 公式,有《数学物理方法》试卷(A 卷)参考答案第3页(共4页)v(x,t)=(x−at)ϕ(x−at)+(x+at)ϕ(x+at)2+12ax+atx−atαψ(α)dα.所以,u(x,t)=1xv(x,t)=12x(x−at)ϕ(x−at)+(x+at)ϕ(x+at)+1ax+atx−atαψ(α)dα.解的物理意义：f(x−at)表示右行波(或右传播波、正行波),f(x+at)表示左行波(或左传播波、逆行波),u(x,t)表示沿x轴正、负方向传播的行波,其中前一项来源于初始位移ϕ(x),后一项来源于初始速度ψ(x).七、(10分)Laplace方程上半空间Dirichlet问题的格林函数为：G(M,M0)=1r MM−g(M,M0)=1r MM−1r MM1=1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2,其中1r MM=1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2在静电学上表示M0(x0,y0,z0)处单位正电荷在M(x,y,z)处产生的电势,−g(M,M0)表示接地导体平面z=0上感应负电荷在M(x,y,z)处产生的电势,其可以用镜像点M1(x0,y0,−z0)处单位负电荷产生的电势−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2来代替.Laplace方程上半空间Dirichlet问题解的积分公式为：u(x0,y0,z0)=−14πf∂G(M,M0)∂ndS=14π∞−∞∞−∞f(x,y)·∂∂z1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2−1(x−x0)2+(y−y0)2+(z+z0)2z=0dx dy=z02π∞−∞∞−∞f(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2+z203/2dxdy八、(10分)(1−x2)d2ydx2−2xdydx+l(l+1)−m21−x2y=0.l=0,1,2,3,···,m=0,1,2,···,l.正交、归一.《数学物理方法》试卷(A卷)参考答案第4页(共4页)。
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7.1二阶线性常微分方程解的一般性质及常点邻域内的级数解
例1：求厄米特方程 w '' – 2zw ' + λw = 0 在 z = 0 邻域内的解。 解：(1) 级数 λ 在 z0= 0 解析，则 z0 是方程的常点，且 p 与 q 已经是在 z0 = 0 的幂级数形式，故只用展开 w (z)。 级数解具有以下形式：
同理：
(3) 线性无关的解
w0 (z), w1 (z) 都是方程的解，但线性无关。方程的通解 是 w0 (z) 与 w1 (z) 的线性组合。
(2) 将级数解代入方程，求待定系数。
为了比较同次幂的系数，对上式作变换，有
令 k = k' + 2，则上式右边为
于是，有
由于上式在 z0 的邻域内成立，即上式为 z 的一个恒等式， 故 z 的同次幂的系数为 0，则
因而，有
——待定系数的递推关系
由上式可见，偶次幂项与奇次幂项彼此独立，可分别 用 C0 与 C1 表示，即