北理高等数学在线作业

合集下载

北京理工大学微积分a期末试题及答案

北京理工大学微积分a期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(2)=0，则c的值为多少？A. 0B. 2C. 4D. 6答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 设函数f(x)=3x^3-2x^2+5x-7，其导数f'(x)为：A. 9x^2-4x+5B. 3x^2-4x+5C. 9x^2-4xD. 3x^2+5x-7答案：A4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程为：A. y=3x-2B. y=3xC. y=xD. y=3x+2答案：B5. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B6. 微分方程dy/dx+y=0的通解为：A. y=e^(-x)B. y=e^xC. y=e^(-2x)D. y=e^(2x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x，其在x=1处的导数为______。

答案：02. 设函数f(x)=x^2+3x+2，其在x=-1处的定积分值为______。

答案：13. 函数y=ln(x)的导数为______。

答案：1/x4. 微分方程dy/dx-2y=0的通解为______。

答案：y=e^(2x)三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

通过二阶导数测试或分析f'(x)的符号变化，可得x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(1到2) (x^3-2x+1) dx。

答案：首先求出被积函数的原函数F(x)=1/4x^4-x^2+x，然后计算F(2)-F(1)=5/4-2+2-1/4+1=1。

北交20秋《高等数学》在线作业一6

A: A
B: B
C: C
D: D
正确答案: D
(单选题)6: 题目见图片
A: A
B: B
C: C
D: D
正确答案: C
(单选题)7: 题目见图片
A: A
B: B
C: C
D: D
正确答案: C
(单选题)8: 题目见图片
A: A
B: B
C: C
D: D
正确答案: B
(单选题)9: 题目见图片
A: A
B: B
(判断题)37: 题目见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)38:  
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)39: 题目见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)40: 题目见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(单选题)1: 题目见图片
A: A
B: B
C: C
(判断题)28: 题目见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)29: 题目见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: A
(判断题)30: 题目见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)31: 题目见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
(判断题)32: 题目见图片
A: 错误
B: 正确
正确答案: B
B: B
C: C
D: D
正确答案: C
(单选题)15: 题目见图片
A: A

19春北理工《高等数学》在线作业【标准答案】

北理工《高等数学》在线作业-0002 试卷总分:100 得分:0一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分)1.题目见图片A.AB.BC.CD.D2.题目见图片A.AB.BC.CD.D3.题目见图片A.AB.BC.CD.D4.题目见图片A.AB.BC.CD.D5.题目见图片A.AB.BC.CD.D6.题目见图片A.AB.BC.CD.D7.题目见图片A.AB.BC.CD.D8.题目见图片A.AB.BC.CD.D9.题目见图片A.AB.BC.CD.D10.题目见图片A.AB.BC.CD.D11.题目见图片A.AB.BC.CD.D12.题目见图片A.AB.BC.CD.D13.题目见图片A.AB.BC.CD.D14.题目见图片A.AB.BC.CD.D15.题目见图片A.AB.BC.CD.D16.题目见图片A.AB.BC.CD.D17.题目见图片A.AB.BC.CD.D18.题目见图片A.AB.BC.CD.D19.题目见图片A.AB.BC.CD.D20.题目见图片A.AB.BC.CD.D21.题目见图片A.AB.BC.CD.D22.题目见图片A.AB.BC.CD.D23.题目见图片A.AB.BC.CD.D24.题目见图片A.AB.BC.CD.D25.题目见图片A.AB.BC.CD.D26.题目见图片A.AB.BC.CD.D27.题目见图片A.AB.BC.CD.D28.题目见图片A.AB.BC.CD.D29.题目见图片A.AB.BC.CD.D30.题目见图片A.AB.BC.CD.D二、判断题 (共 20 道试题,共 40 分)1.题目见图片A.错误B.正确2.题目见图片A.错误B.正确3.题目见图片A.错误B.正确4.题目见图片A.错误B.正确5.题目见图片A.错误B.正确6.题目见图片A.错误B.正确7.题目见图片A.错误B.正确8.题目见图片A.错误B.正确9.题目见图片A.错误B.正确10.题目见图片A.错误B.正确11.题目见图片A.错误B.正确12.题目见图片A.错误B.正确13.题目见图片A.错误B.正确14.题目见图片A.错误B.正确15.题目见图片A.错误B.正确16.题目见图片A.错误B.正确17.题目见图片A.错误B.正确18.题目见图片A.错误B.正确19.题目见图片A.错误B.正确20.题目见图片A.错误B.正确。

北理工《自动控制理论1》在线作业【标准答案】

北理工《自动控制理论1》在线作业【标准答案】
北理工《自动控制理论1 》在线作业-0005
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 20 道试题,共 60 分)
1.梅森公式主要用来（）。

A.判断稳定性
B.计算输入误差
C.求系统的传递函数
D.求系统的根轨迹
答案:C
2.放大环节的对数幅频特性曲线是（）。

A.平行于横轴的直线
B.斜率为1的直线
C.逐渐增大至某一值的曲线
D.垂直于横轴的直线
答案:A
3.最小相位系统的开环增益越大，其（）。

A.振荡次数越多
B.稳定裕量越大
C.相位变化越小
D.稳态误差越小
答案:D
4.典型二阶系统的超调量越大，反映出系统（）
A.频率特性的谐振峰值越小
B.阻尼比越大
C.闭环增益越大
D.相角裕度越小
答案:D
5.系统的频率特性（）
A.是频率的函数
B.与输入幅值有关
C.与输出有关
D.与时间t有关
答案:A
6.系统在r(t)=t2作用下的稳态误差ess=∞，说明( )。

A.型别ν<2
B.系统不稳定
C.输入幅值过大
D.闭环传递函数中有一个积分环节
答案:A。

北京理工大学2009-2010学年第二学期高等数学期中试题(A卷)答案

北京理工大学2009-2010学年第二学期高等数学期中试题解答及评分标准(A 卷)一、填空题（每小题4分，共28分）1.；或37,35-=k 2.;32fdyf dx dz '-'-=3.5=d 4.⎰⎰----=221111),(x xdyy x f dx I 5.;7210181},7,10,8{-=+=-=z y x τ6..4,34-==n a 7..3310},2,1,2{-=∂∂--=n u n二、,21'+'+=∂∂xyf xf f xz ……………………….3分,2221'+'-=∂∂f x xyf yz ……………………….6分.)2(222222122211212"+"-+"-'+'-=∂∂∂yf x f xy x xyf xf yf yx z ….10分三、⎰⎰-=Ddxdyy x V ||……………………….3分dxdyx y dxdy y x D D ⎰⎰⎰⎰-+-=21)()(………………………6分⎰⎰⎰⎰---+-=x xy ydyx y dx dx y x dy 21021)()(……………….8分34=…………………….10分四、0)sin )(1(=-+=∂∂x e xfy 0cos =--=∂∂y y y ye e x e yf……………………….2分解得驻点：)0,2(),2,(π-π……………………….4分.)2(cos ,sin ),cos )(1(22222yy ye y x yf x e yx fx e xf --=∂∂-=∂∂∂-+=∂∂.6分在点)2,(-π22,0,1---==+=e C B e A ，0)1(222>+=-=∆--e e AC B ，所以点)2,(-π不是极值点；……………………….8分在点)0,2(π,1,0,02-==<-=C B A 022<-=-=∆AC B ，所以点)0,2(π是极大值点，且极大值为.3)0,2(=πf ………….10分五、dxdydzz y x I V⎰⎰⎰++=)(dxdydzz dxdydz y dxdydz x VVV⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=…………….2分=⎰⎰⎰ρπρρθ++122020200zdzd d ……………….7分.32π=……………………….10分六、},,{p n m s L =的方向向量为设直线，平面π的法向量为：}1,3,2{-=n……………………….2分由题意，π//L ，所以有032=+-p n m ……………………4分又已知直线的方向向量为}1,1,2{1--=s，)2,0,1(),2,1,1(N M -}0,1,0{=MN ，由题意有：共面，1,,s MN s有201112=+=--p m pn m ……………………….8分有pn p m -=-=,2……………………….10分所以121121:-=-+=--z y x L ………………12分七、1:22≤+Ωy x D xoy 面上的投影区域为在，……………….1分⎰⎰⎰Ω+=dv y x I )(22⎰⎰⎰ϕππϕϕθ=cos 20344020sin dr r d d ………….5分ϕϕϕπ=⎰πd 4053cos sin 564……………………….8分.3011π=……………………….10分八、目标函数为：000z y x V =……………………….2分约束条件为：1432000=++z y x ……………………….4分构造拉氏函数：)1432(),,(000000000-++λ+=z y x z y x z y x F ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=λ+='=λ+='=λ+='143240302000000000000z y x y x F z x F z y F z y x 解得唯一驻点为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132000z y x …….8分由问题的实际意义知，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132000z y x 时，此长方体的体积最大，.98=最大V ……………………….10分。

新版北师大版数学(理)提升作业213定积分与微积分基本定理(含答案)

关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(十六)一、选择题1.(20某某·芜湖模拟)1e1ln某d某=()某(A)ln某+ln2某(B)-1(C)(D)2.(20某某·赣州模拟)已知函数f(某)=则f(某)d某的值为()(A)(B)4(C)6(D)3.(20某某·汉中模拟)由y=,直线某=1以及坐标轴围成的平面图形绕某轴旋转一周所得旋转体体积为()(A)(B)π(C)(D)4.(20某某·济南模拟)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是()(A)在t1时刻,甲车在乙车前面(B)t1时刻后,甲车在乙车后面(C)在t0时刻,两车的位置相同(D)t0时刻后,乙车在甲车前面5.如图,阴影部分的面积是()(A)2(B)2-(C)(D)(2某-1)d某=6,则t的值等于()6.(20某某·三亚模拟)已知t>0,若(A)2(B)3(C)6(D)87.曲线y=in某,y=co某与直线某=0,某=所围成的平面区域的面积为()(A)(B)(C)(D)2(in某-co某)d某(in某-co某)d某(co某-in某)d某(co某-in某)d 某8.(20某某·广州模拟)物体A以v=3t2+1(m/)的速度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同时以v=10t(m/)的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间t()为()(A)3(B)4(C)5(D)69.如图,函数y=-某2+2某+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是()(A)1(B)(C)10.(20某某·马鞍山模拟)根据02(D)2in某d某=0推断直线某=0,某=2π,y=0和正弦曲线y=in某所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为()(A)面积为0(B)曲边梯形在某轴上方的面积大于在某轴下方的面积(C)曲边梯形在某轴上方的面积小于在某轴下方的面积(D)曲边梯形在某轴上方的面积等于在某轴下方的面积二、填空题11.(20某某·宜春模拟)|3-2某|d某=.12.(20某某·海口模拟)已知函数f(某)=-某3+a某2+b某(a,b∈R)的图像如图所示,它与某轴在原点处相切,且某轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.13.已知函数f(某)=in5某+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义,探求f(某)d某的值,结果是.14.(能力挑战题)抛物线y=-某2+4某-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为.三、解答题15.(能力挑战题)如图所示,直线y=k某分抛物线y=某-某2与某轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.答案解析1.【解析】选C.12.【解析】选D.=某302e1ln某d某=(ln某+某e)1=.f(某)d某=某2d某+(某+1)d某+(某2+某)=(0+)+(某4+2-0)=.π(某+2)d某=π·(+2某)10=π.3.【解析】选C.V=4.【解析】选A.可观察出曲线v甲,直线t=t1与t轴围成的面积大于曲线v乙,直线t=t1与t轴围成的面积,故选A.5.【解析】选C.6.【解析】选B.(3-某2-2某)d某=(3某-某3-某2)(2某-1)d某=2某d某-=.1·d某=某2-某=t2-t,由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).【方法技巧】定积分的计算方法(1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.(2)应用微积分基本定理:求定积分f(某)d某时,可按以下两步进行,第一步:求使F'(某)=f(某)成立的F(某);第二步:计算F(b)-F(a).7.【解析】选D.当某∈[0,]时,y=in某与y=co某的图像的交点坐标为(,),作图可知曲线y=in某,y=co某与直线某=0,某=所围成的平面区域的面积可分为两部分:一部分是曲线y=in某,y=co某与直线某=0,某=所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线y=in某,y=co某与直线某=,某=所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合定积分定义可知选 D.8.【解析】选C.因为物体A在t秒内行驶的路程为B在t秒内行驶的路程为(3t2+1)dt,物体10tdt,所以(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)=t3+t-5t2=5(t-5)(t2+1)=0,即t=5.9.【解析】选B.函数y=-某2+2某+1与y=1的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于(-某2+2某+1-1)d某=(-某2+2某)d某=.10.【思路点拨】y=in某的图像在[0,2π]上关于(π,0)对称,据此结合定积分的几何意义判断.【解析】选D.y=in某的图像在[0,2π]上关于(π,0)对。

北交《高等数学》在线作业一-0003.CE7A63E7-78A5-400C-89F8-D18318497EE7(总8页)

题目见图片
A:错误 B:正确答案：A
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B
题目见图片
A:错误 B:正确答案：A
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：A
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B
题目见图片
题目见图片
A:A B:BC:C D:D 答案：C
题目见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：B
题目见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：D
题目见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：C
题目见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：A
题目见图片
A:A B:B C:C D:D 答案：C
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B A:错误 B:正确答案：A
题目见图片
A:错误 B:正确答案：A
题目见图片
A:错误 B:正确答案：A
A:A B:B C:C D:D 答案：B
题目ห้องสมุดไป่ตู้图片
A:A B:B C:C D:D 答案：C A:错误 B:正确答案：B
题目见图片
A:错误 B:正确答案：A
题目见图片
A:错误 B:正确答案：A
题目见图片
A:错误 B:正确答案：A
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B
题目见图片
A:错误 B:正确答案：B
北交《高等数学》在线作业一-0003

高等数学习题答案(北大)

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数满足考虑无理数集合以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

题目类型分值正确答
案
你的答案
批
改
判断题10.0 正确错误×
判断题10.0 错误正确×(x ln x－x)' =lnx.()判断题10.0 正确未判断×
（）
判断题10.0 错误正确×
单选题10.0 3 4 ×
单选题10.0 4 3 ×
单选题10.0 3 3 √设a<x<b, f ' (x)<0, f '' (x)<0, 则在区间(a,b)内函
数y= f (x)的图形是（）.
单选题10.0 1 4 ×
单选题10.0 1 2 ×
单选题10.0 1 2 ×
本次作业总分值:100.0 得分:10.0 正确的题数：1 题目总数：
10 正确率:10.0%
题目类型分值正确
答案
你
的
答
案
批改
判断题10.
0 正确正确√
判断题10.
错误错误√
判断题10.
0 正确正确√
设函数
判断题10.
0 错误正确×
判断题10.
0 正确正确√
下列函数中不是周期函数的是( ) 单选
题
10.
2 3 ×单选
题
10.
4 3 ×单选
题
10.
3 4 ×单选
题
10.
1 4 ×单选
题
10.
1 2 ×
本次作业总分值:100.0 得分:40.0 正确的题数：4 题目总数：10 正确率:40.0%
题目类型分值正确答
案
你的答
案
批改
判断
题
10.0 正确正确√
判断
题
10.0 正确正确√
判断题10.0 正确
未判
断
×
判断
题
10.0 正确正确√
单选
题
10.0 1 2 ×
单选
题
10.0 3 2 ×
单选
题
10.0 4 4 √
单选
题
10.0 2 4 ×
单选
题
10.0 3 2 ×
单选
题
10.0 1 1 √本次作业总分值:100.0 得分:50.0 正确的题数：5 题目总数：
10 正确率:50.0%
题目类型分值正确答
案
你的答
案
批改
判断
题
10.0 正确正确√
判断
题
10.0 错误错误√
判断
题
10.0 错误正确×
判断
题
10.0 错误错误√
单选
题
10.0 4 1 ×
单选
题
10.0 3 1 ×
单选
题
10.0 3 1 ×
单选
题
10.0 2 1 ×
单选
题
10.0 2 3 ×
单选
题
10.0 2 3 ×本次作业总分值:100.0 得分:30.0 正确的题数：3 题目总数：
10 正确
题目类型分值正
确
答
案
你
的
答
案
批改
判断题10.
正
确
正
确
√
判断题10.
错
误
错
误
√
判断题10.
正
确
正
确
√
判断题10.
正
确
正
确
√
单选题10.
3 2 ×
单选题10.
1 3 ×
单选题10.
4 4 √
单选题10.
1 4 ×
单选题10.
4 4 √
单选题10.
2 2 √
本次作业总分值:100.0 得分:70.0 正确的题数：7 题目总数：10 正确率:70.0%
题目类型分值正确
答案
你的
答案
批改
判
断题10.0 正
确
正
确
√
（）判
断
题
10.0
错
误
错
误
√
判
断
题
10.0
正
确
正
确
√
判
断
题
10.0 正
确
错
误
×
单
选
题
10.0 2 1 ×
单
选
题
10.0 3 3 √
单
选
题
10.0 4 3 ×
设∫f(x)d x=x e x+C，则f(x) = （）单
选
题
10.0 1 2 ×
下列方程中是一阶线性方程的是( )．单
选
题
10.0 1 2 ×
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0所围成的平面图形的面积等于（）单
选
题
10.0 3 3 √
本次作业总分值:100.0 得分:50.0 正确的题数：5 题目总数：10 正确率:50.0%
题目类型分值正确答
案
你的答
案
批改
判断
题
10.0 正确正确√
判断
题
10.0 正确错误×
判断
题
10.0 错误正确×
判断
题
10.0 错误错误√
设，下列各式中正确的是（）. 单选
题
10.0 2 2 √
单选
题
10.0 2 4 ×单选
题
10.0 1 4 ×单选
题
10.0 3 3 √单选
题
10.0 2 3 ×单选
题
10.0 3 2 ×
本次作业总分值:100.0 得分:40.0 正确的题数：4 题目总数：10 正确率:40.0%
题目类
型
分值
正
确
答
案
你
的
答
案
批
改
判
断
题
10.0 错
误
正
确
×
判
断
题
10.0
错
误
错
误
√
判
断
题
10.0
正
确
正
确
√
判
断
题
10.0 错
误
正
确
×
判
断
题
10.0
正
确
正
确
√
判
断
题
10.0
错
误
正
确
×
单
选
题
10.0 3 3 √
单
选
题
10.0 4 3 ×
单
选
题
10.0 4 4 √
单
选
题
10.0 1 3 ×
本次作业总分值:100.0 得分:50.0 正确的题数：5 题目总数：
10 正确率:50.0%
在线作业自动判卷
题目
类
型
分值
正
确
答
案
你
的
答
案
批
改（）
判
断
题
10.0
错
误
未
判
断
×
判
断
题
10.0
错
误
未
判
断
×
判
断
题
10.0 错
误
未
判
断
×
判
断
题
10.0
正
确
未
判
断
×
单
选
题
10.0 3 ×
单
选
题
10.0 3 ×
单
选
题
10.0 4 ×
单
选
题
10.0 2 ×
导数[∫ f '(x)d x]'= ( ). 单
选
题
10.0 1 ×
单
选
题
10.0 4 ×。