同济大学结构力学第三章-4(拱)
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(整理)同济结构力学3-6章习题.
题3-32图
题3-33图
3-34～3-36试求三铰拱式体系中支座反力及指定杆轴力。
题3-34图
题3-36图
3-37～3-38利用结构的对称性，求解指定杆轴力。
题3-37图题3-38图
3-39～3-43试选定求解杆件轴力的合适步骤。
题3-39图
题3-40图题3-41图
题3-42图题3-43图
3-44分别指出桁架各弦杆、各腹杆中受拉、受压的最大值发生在何处。
(c) (d)
(e) (f)
题4-5图
4-6试用机动法作图示结构中指定量值的影响线。
(a)
(b)
(c)
(d)
题4-6图
4-7试绘制图示结构主梁指定量值的影响线，并加以比较。
(a) (b)
题4-7图
4-8试绘制图示刚架指定量值的影响线。
(a) (b)
题4-8图
4-9试绘制图示桁架指定杆的内力影响线，分别考虑荷载为上承和下承两种情况。
(a)
(b)
题4-9图
4-10试绘制图示组合结构FN1、FN2、FN3、MK和FQK的影响线。
题4-10图
4-11试利用影响线计算图示荷载作用下MK和FQK的值。
(a)
(b)
题4-11图
4-12试回答：对于三角形或多边形影响线，为什么移动集中荷载组的最不利位置必定发生在有集中荷载位于影响线的某一顶点时？上述情况下临界荷载应如何判定？
3-21～3-22求合理拱轴。
题3-21图题3-22图
3-23试指出桁架中的零杆。
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
题3-23图
3-24～3-29用图解法求指定各杆轴力。
题3-33图
3-34～3-36试求三铰拱式体系中支座反力及指定杆轴力。
题3-34图
题3-36图
3-37～3-38利用结构的对称性，求解指定杆轴力。
题3-37图题3-38图
3-39～3-43试选定求解杆件轴力的合适步骤。
题3-39图
题3-40图题3-41图
题3-42图题3-43图
3-44分别指出桁架各弦杆、各腹杆中受拉、受压的最大值发生在何处。
(c) (d)
(e) (f)
题4-5图
4-6试用机动法作图示结构中指定量值的影响线。
(a)
(b)
(c)
(d)
题4-6图
4-7试绘制图示结构主梁指定量值的影响线，并加以比较。
(a) (b)
题4-7图
4-8试绘制图示刚架指定量值的影响线。
(a) (b)
题4-8图
4-9试绘制图示桁架指定杆的内力影响线，分别考虑荷载为上承和下承两种情况。
(a)
(b)
题4-9图
4-10试绘制图示组合结构FN1、FN2、FN3、MK和FQK的影响线。
题4-10图
4-11试利用影响线计算图示荷载作用下MK和FQK的值。
(a)
(b)
题4-11图
4-12试回答：对于三角形或多边形影响线，为什么移动集中荷载组的最不利位置必定发生在有集中荷载位于影响线的某一顶点时？上述情况下临界荷载应如何判定？
3-21～3-22求合理拱轴。
题3-21图题3-22图
3-23试指出桁架中的零杆。
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
题3-23图
3-24～3-29用图解法求指定各杆轴力。
结构力学(拱结构)
14
三铰拱的内力计算
表4-1：三铰拱各截面内力计算表
内力计算时，常通过 公式、列表完成
15
合理拱轴
五、 合理拱轴的概念
1、合理拱轴的概念
定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力， 而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。
?
2、合理拱轴的确定
写出任一截面的弯矩表达式，令其等于零即可确 定合理拱轴。
q
可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
B
A x ql/2 l
ql/2
1 qx(l x) M 4f 2 y 2 (l x)x ql 2 H l 8f
0
17
合理拱轴
解法2：
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
q
解：研究整体
y x A l/2 l/2 C f B
M
q= 1kN/m
y
4f (l x)x 2 l
P=4kN 3 4 5 C 4m
x
2
6
1
H =6kN A 0
7
B H =6kN
8
VA =7kN
8×2=16m VB =5kN
解： 1、计算支座反力
0 VA VA
1 8 12 4 4 7kN 16 1 8 4 4 12 0 VB VB 5kN 16
4.1
概述
1、拱结构的定义 拱结构：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载 作用下，支座产生水平推力的结构。
2
拱结构的组成
2、拱结构的组成
3
拱结构的种类
3、拱结构的种类 静定拱
超静定拱
三铰拱
两铰拱 超静定拱
静定拱
无铰拱
三铰拱的内力计算
表4-1：三铰拱各截面内力计算表
内力计算时，常通过 公式、列表完成
15
合理拱轴
五、 合理拱轴的概念
1、合理拱轴的概念
定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力， 而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。
?
2、合理拱轴的确定
写出任一截面的弯矩表达式，令其等于零即可确 定合理拱轴。
q
可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
B
A x ql/2 l
ql/2
1 qx(l x) M 4f 2 y 2 (l x)x ql 2 H l 8f
0
17
合理拱轴
解法2：
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
q
解：研究整体
y x A l/2 l/2 C f B
M
q= 1kN/m
y
4f (l x)x 2 l
P=4kN 3 4 5 C 4m
x
2
6
1
H =6kN A 0
7
B H =6kN
8
VA =7kN
8×2=16m VB =5kN
解： 1、计算支座反力
0 VA VA
1 8 12 4 4 7kN 16 1 8 4 4 12 0 VB VB 5kN 16
4.1
概述
1、拱结构的定义 拱结构：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载 作用下，支座产生水平推力的结构。
2
拱结构的组成
2、拱结构的组成
3
拱结构的种类
3、拱结构的种类 静定拱
超静定拱
三铰拱
两铰拱 超静定拱
静定拱
无铰拱
结构力学第三章静定结构组合结构及拱课件
结构力学第三章静定结构组合 结构及拱课件
目
ENCT
录
• 静定结构 • 组合结构 • 拱结构 • 静定结构、组合结构及拱结构的比
较
01
静定结构
静定结构的定义与特性
总结词
静定结构的定义、特性
详细描述
静定结构是指无多余约束的几何不变体系，即在受到一定外力作用后，通过满 足平衡条件的自由度数为零。其特性包括结构内力与变形一致、无多余约束等。
组合结构
设计时需要考虑不同材料的特 性、连接方式以及整体稳定性 等因素，计算相对复杂。
拱结构
设计时需要考虑拱轴线的形状 、支座反力以及材料等因素， 计算相对复杂。
THANK YOU
感谢聆听
静定结构的分类
总结词
静定结构的分类
详细描述
静定结构可以根据不同的分类标准进行划分，如根据结构形式可分为梁、拱、刚 架等；根据结构承载方式可分为简支、固定、连续等。
静定结构的内力计算
总结词
静定结构的内力计算方法
详细描述
静定结构的内力计算主要采用截面法，即通过截取结构的一部分，分析其平衡条件，从而确定各部分的内力。此 外，还可以采用对称性、弯矩分配法等简化计算。
组合结构的分类
按照组合方式的不同，组合结 构可分为叠合组合结构和混合 组合结构。
叠合组合结构是指同一种材料 通过叠合的方式形成的结构， 其优点是连接简单、承载能力 高，但整体刚度相对较低。
混合组合结构是指不同材料通 过连接形成的结构，其优点是 整体刚度大、承载能力强，但 连接设计和施工难度较大。
组合结构的分析方法
拱结构的分类
总结词
根据不同的分类标准，可以将拱结构分为多种类型。常见的分类方式包括按照材料、形状、施工方式 等分类。
目
ENCT
录
• 静定结构 • 组合结构 • 拱结构 • 静定结构、组合结构及拱结构的比
较
01
静定结构
静定结构的定义与特性
总结词
静定结构的定义、特性
详细描述
静定结构是指无多余约束的几何不变体系，即在受到一定外力作用后，通过满 足平衡条件的自由度数为零。其特性包括结构内力与变形一致、无多余约束等。
组合结构
设计时需要考虑不同材料的特 性、连接方式以及整体稳定性 等因素，计算相对复杂。
拱结构
设计时需要考虑拱轴线的形状 、支座反力以及材料等因素， 计算相对复杂。
THANK YOU
感谢聆听
静定结构的分类
总结词
静定结构的分类
详细描述
静定结构可以根据不同的分类标准进行划分，如根据结构形式可分为梁、拱、刚 架等；根据结构承载方式可分为简支、固定、连续等。
静定结构的内力计算
总结词
静定结构的内力计算方法
详细描述
静定结构的内力计算主要采用截面法，即通过截取结构的一部分，分析其平衡条件，从而确定各部分的内力。此 外，还可以采用对称性、弯矩分配法等简化计算。
组合结构的分类
按照组合方式的不同，组合结 构可分为叠合组合结构和混合 组合结构。
叠合组合结构是指同一种材料 通过叠合的方式形成的结构， 其优点是连接简单、承载能力 高，但整体刚度相对较低。
混合组合结构是指不同材料通 过连接形成的结构，其优点是 整体刚度大、承载能力强，但 连接设计和施工难度较大。
组合结构的分析方法
拱结构的分类
总结词
根据不同的分类标准，可以将拱结构分为多种类型。常见的分类方式包括按照材料、形状、施工方式 等分类。
结构力学第3章
M图(kNm)
12
3-3 静定平面刚架
例
2kN/m
解
（1）求支反力
x xB yA
C
D
3m
F 0， F F 0， F M 0， M
y A
0 12 kN
A
12 kNm
A 12kNm 4m
B
1m
FxB=0
（2）作内力图
2m
FyA=12kN
3-3 静定平面刚架
8
4 12 12 4 16
例
l q
解
FP=ql
l ql
l/2
l/2 ql FN图 ql2/2 ql2/8
ql
ql
0
ql FQ图
ql2/2
M图
3-3 静定平面刚架
例 M M/2l M/2l l l 0 M/2 M/2l FN图 l l M/2l 解 M/2l
FQ图
M图
M/2
3-3 静定平面刚架
例 FP l FP l 0 Pl FP FPl FN图 解 FP
FP 2 FP FP 2
xB yA
FyA=FP /2
FP /2
（2）作内力图
FPa
FP /2
FN图
FP FQ图
M图
3-3 静定平面刚架
例
2FP A FyA=3FP/4 B FxB=2FP l C FP
解 （1）求支反力
l
（2）作内力图
l/2
FyC=7FP/4 FP
l/2
3FPa/4 F a/2 P FPa/4 FQ图 M图
R NC
FQ图
5kN
5kN
FN图
★取隔离体时： a：约束必须全部断开，用相应的约束反力来代替。 b：正确选择隔离体，标上全部荷载。
同济大学 结构力学课后习题及答案解析(完整版)
R=2m
4m
A O
M ( ) 1 (R sin )2 1 2 R(1 cos ) 2
M ( ) 1
B
1 EI
2 1 [1 (R sin )2 1 2 R(1 cos )]Rd 02
= (8-3 ) -1.42 (逆时针)
EI
EI
(d) A q
R EI=常数
O
B
5-7 试用图乘法计算图示梁和刚架的位移：（a） ΔyC ；（b） ΔyD ；（c） ΔxC ；（d） ΔxE ；（e） D ；（f） ΔyE 。 (a)
5-5 已知桁架各杆的 EA 相同，求 AB、BC 两杆之间的相对转角 ΔB 。 5-6 试用积分法计算图示结构的位移：（a） ΔyB ；（b） ΔyC ；（c） B ；（d） ΔxB 。
(a)
q2 q1
A
EI
B
l
以B点为原点，向左为正方向建立坐标。
q( x)
q2
l
q1
x
q1
M
p(x)
1 2
52.17
M
248.49
104.37 52.14
6-6 试用力法求解图示超静定桁架，并计算 1、2 杆的内力。设各杆的 EA 均相同。
(a)
(b)
1
1
2
FP
FP
a
a
a
2m
题 6-6 图
6-7 试用力法计算图示组合结构，求出链杆轴力并绘出 M 图。
2
30kN 2m
(a)
a 1.5m
l
A
kθ=
12EI l
2 3
2 3
6 1 20 62 8
3 2
1 6180 3 2
3-3三铰拱(结构力学第3章)
证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。
恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。
qRd cos 竖向分力： dFy qRd sin
水平分力： dFx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
Fx 0, FxA FxB FH
0 FyA FyA 0 FyB FyB
0 MC 0, MC FH f 0
0 MC (推力计算公式 ) FH f
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。 ⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比) 愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。 0 MC FH f
3-3-3 合理拱轴线 在给定的荷载作用下，能使拱体所有截面上弯矩为零的拱轴 线称为合理拱轴线。 0 弯矩： MK MK FH yK 令：
M M 0 FH y 0 M0 y 得： FH
例3-7 求图示三铰拱的合理拱轴线。 解：相应简支梁的弯矩方程为：
MC ql 2 1 水平推力： FH f 8 f M0 4 f x l x 合理拱轴线： y 2 FH l
6 2634 x6 12m 4f y6 2 x 6 ( l x 6 ) 3 m l
dy tan 6 dx
x x6
②求截面6的内力：
4f 2 (l 2 x6 ) 0.5 l
0 M6 M6 FH y6 8kN m L FQ6 (FP FyB )cos6 FH sin6 7.15kN R FQ6 FyB cos6 FH sin6 7.15kN L FN 6 (FP FyB )sin6 FH cos 6 23.24kN R FN 6 FyB sin6 FH cos6 30.40kN
恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。
qRd cos 竖向分力： dFy qRd sin
水平分力： dFx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
Fx 0, FxA FxB FH
0 FyA FyA 0 FyB FyB
0 MC 0, MC FH f 0
0 MC (推力计算公式 ) FH f
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。 ⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比) 愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。 0 MC FH f
3-3-3 合理拱轴线 在给定的荷载作用下，能使拱体所有截面上弯矩为零的拱轴 线称为合理拱轴线。 0 弯矩： MK MK FH yK 令：
M M 0 FH y 0 M0 y 得： FH
例3-7 求图示三铰拱的合理拱轴线。 解：相应简支梁的弯矩方程为：
MC ql 2 1 水平推力： FH f 8 f M0 4 f x l x 合理拱轴线： y 2 FH l
6 2634 x6 12m 4f y6 2 x 6 ( l x 6 ) 3 m l
dy tan 6 dx
x x6
②求截面6的内力：
4f 2 (l 2 x6 ) 0.5 l
0 M6 M6 FH y6 8kN m L FQ6 (FP FyB )cos6 FH sin6 7.15kN R FQ6 FyB cos6 FH sin6 7.15kN L FN 6 (FP FyB )sin6 FH cos 6 23.24kN R FN 6 FyB sin6 FH cos6 30.40kN
结构力学.同济大学_朱慈勉
３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性 物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折 杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的 几何不变体系也可视为刚片。
刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中 任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点 的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。
精品课件
精品课件
第一部分 静定结构内力计算
静定结构的特性： １、几何组成特性 ２、静力特性
静定结构的内力计算依据静力平衡原理。
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单 跨 静 定 梁
单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁 一、截面法求某一指定截面的内力
精品课件
１、内力概念
内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理 解为在各种外因用下结构内部材料的一种响应。内 力是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生 变形（变形体）体现。
１）复链杆：若一个复链杆上连接了Ｎ个结点，则 该复链杆具有(2N-3)个约束，等于(2N-3)个链杆的 作用。 ２）复铰：若一个复铰上连接了Ｎ个刚片，则该复 铰具有2(N-1)个约束，等于(N-1)个单铰的作用。
精品课件
三、多余约束 在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的
自由度数，则该约束就是多余约束。
拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无 多余约束的几何不变体系，则去掉的约束数即是体 系的多余约束数。
１、切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去 掉一个约束；
２、切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当 去掉两个约束；
３、切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当 去掉三个约束；
４、在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去 掉一个约束。
§1-2 结构计算简图
结构力学 第三章桁架讲解
上弦杆
腹杆
下弦杆
理想与实际的偏差：并非理想铰接， 并非理想直杆， 并非为二力杆。
主内力:按计算简图计算出的内力，次内力:实际内力与主内力的差值
2.桁架的分类
按几何组成分类：
简单桁架—在基础或一个铰结三角形上依次加二元体构成 联合桁架—由简单桁架按基本组成规则构成 复杂桁架—非上述两种方式组成的静定桁架
第三章 静定结构受力分析
§3-4 静定桁架受力分析
(Statically determinate trusses)
1. 桁架的特点
（1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点； 理想桁架：
（2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；
结论：理想桁 架中的杆件均
（3）荷载和支座反力都作用在结点上。
是“二力杆”
对称,方向反对称的荷载
Fp
Fp
Fp
Fp
对称荷载
反对称荷载
对称结构的受力特点:在对称荷载作用下内力是对称的, 在反对称荷载作用下内力是反对称的。
Fp
Fp
Fp
Fp
E
D
0
A
B
C
Fp
Fp
E
D
A
B
C
既对称 又平衡 NCE NCD 0
E
D
既反对称
E
D
NED 0
又平衡
例:试求图示桁架A支座反力.
B
F
0, NDF
N DA
Fp
其它杆件轴力求 法类似.
求出所有轴力后, 2 / 2 应2把2F轴p 力标在杆件旁.
F
0, N DE
2Fp / 2
对于简单桁架,若与组成顺序相反依 次截取结点,可确保求解过程中一个方程 只包含一个未知力。
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§3-2拱 (arch)
一、简介 杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。 FP --杆轴线为曲 拱--杆轴线为曲 线，在竖向荷载 作用下会产生水 作用下会产生水 的结构。 平推力的结构 平推力的结构。
曲梁
三铰拱
拱的有关名称
平拱 拱肋 拱趾铰 顶铰 拱肋 拱趾铰 矢高
跨度
斜拱
拉杆拱
结论：合理拱轴为圆弧线。 结论：合理拱轴为圆弧线。
拱的有关名称
三铰拱
静定拱
两铰拱
超静定拱
超静定拱
无铰拱
二、三铰拱的数解法
FP1 A FAx FAy
等代梁 F P1
FBy=FBy0 FAy=FAy0 FH= MC0 / f
C f l1 l C l2
FP2 B FBy FP2 B
b2 FBy0 b1
FBx
三铰拱的反力只 请大家想： 请大家想： 与荷载及三个铰 由上述公式可 的位置有关， 的位置有关，与 得哪些结论？ 得哪些结论？ 拱轴线形状无关 荷载与跨度一定 时，水平推力与 矢高成反比
由于推力的存在，拱的弯矩 由于推力的存在， 比相应简支梁的弯矩要小。 比相应简支梁的弯矩要小。
三铰拱在竖向荷载作用下 轴向受压。 轴向受压。
试作图示三铰拱的内力图。拱轴为抛物线， 试作图示三铰拱的内力图。拱轴为抛物线， 4 f 方程为 y = x (l x ) 2
l
q=14 kN/m FP=50 kN C f=4 m B 10 m l=12 m
请大家对上述 公式进行分析
弯矩M
由平衡条件ΣMK=0,可得 可得: 由平衡条件 可得 M =[FAyxk- FP1(xk-a1)]- FHy 而：FAy=FAy0 M0= [FAyxk- FP1(xk-a1)] 则:M= M0 – FHy
剪力FQ
由平衡条件ΣY'=0 由平衡条件 FQ=(FAy- FP1)cosφ- FHsin φ 而：FAy=FAy0 F 0Q= FAy- FP1 则: FQ= F 0Q cosφ- FHsin φ
A
斜拱如 何求解？ 何求解？
FBH FAH
FBy
FAy
三、三铰拱的合理拱轴线
(reasonable axis of arch) 使拱在给定荷载下只 0 M = M FH y = 0 产生轴力的拱轴线，被 产生轴力的拱轴线， 称为与该荷载对应的合 称为与该荷载对应的合 0 M 理拱轴 y=
FH
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
A
a1
FAy0
a2
y F P1 A FAx FAy
等代梁 F P1
y f x
x l1 l K C
b1 a2
K C
FP2 B l2 FBy FP2 B
b2 FBy0
FBx
A
a1
FAy0
M = M FH y
0
F =F cosF sin Q H
0 Q
F =F sin+F cos N H
0 Q
Y' X'
试求三铰拱在垂直于拱轴线的均 布荷载作用下的合理拱轴线。 布荷载作用下的合理拱轴线。
FN +dFN园源自FNR返 章
由微段的平衡条件ΣMO=0,可得 可得: 由微段的平衡条件 可得 FNR=（FN+ dFN )R （ R为微段的曲率半径，且R不等于零。 为微段的曲率半径， 不等于零。 为微段的曲率半径 不等于零 这表示F 则: dFN = 0 这表示 N是常数 。 由微段的平衡条件ΣS=0 由微段的平衡条件 FNsin(dφ/2)+ （FN+ dFN ) sin(dφ/2) -qRd φ=0 而： sin(dφ/2) = dφ/2 则: R= FN/q=常数 常数
在竖向荷载作用下，三 在竖向荷载作用下， 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线 MC0=ql2/8 FH=ql2/8f /8f M0=qlx/2-qx2 /2 qlx/2=qx(l-x)/2 qx( y=4fx(l-x)/l2 =4fx( )/l 抛物线
轴力FN
由平衡条件ΣX'=0 由平衡条件 FN=(FAy- FP1)sinφ+ FHcos φ 而：FAy=FAy0 F 0Q= FAy- FP1 则: FQ= F 0Q sinφ+ FHcos φ
三铰拱的内力不但与荷载 及三个铰的位置有关， 及三个铰的位置有关，而且与 拱轴线的形状有关。 拱轴线的形状有关。
一、简介 杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。 FP --杆轴线为曲 拱--杆轴线为曲 线，在竖向荷载 作用下会产生水 作用下会产生水 的结构。 平推力的结构 平推力的结构。
曲梁
三铰拱
拱的有关名称
平拱 拱肋 拱趾铰 顶铰 拱肋 拱趾铰 矢高
跨度
斜拱
拉杆拱
结论：合理拱轴为圆弧线。 结论：合理拱轴为圆弧线。
拱的有关名称
三铰拱
静定拱
两铰拱
超静定拱
超静定拱
无铰拱
二、三铰拱的数解法
FP1 A FAx FAy
等代梁 F P1
FBy=FBy0 FAy=FAy0 FH= MC0 / f
C f l1 l C l2
FP2 B FBy FP2 B
b2 FBy0 b1
FBx
三铰拱的反力只 请大家想： 请大家想： 与荷载及三个铰 由上述公式可 的位置有关， 的位置有关，与 得哪些结论？ 得哪些结论？ 拱轴线形状无关 荷载与跨度一定 时，水平推力与 矢高成反比
由于推力的存在，拱的弯矩 由于推力的存在， 比相应简支梁的弯矩要小。 比相应简支梁的弯矩要小。
三铰拱在竖向荷载作用下 轴向受压。 轴向受压。
试作图示三铰拱的内力图。拱轴为抛物线， 试作图示三铰拱的内力图。拱轴为抛物线， 4 f 方程为 y = x (l x ) 2
l
q=14 kN/m FP=50 kN C f=4 m B 10 m l=12 m
请大家对上述 公式进行分析
弯矩M
由平衡条件ΣMK=0,可得 可得: 由平衡条件 可得 M =[FAyxk- FP1(xk-a1)]- FHy 而：FAy=FAy0 M0= [FAyxk- FP1(xk-a1)] 则:M= M0 – FHy
剪力FQ
由平衡条件ΣY'=0 由平衡条件 FQ=(FAy- FP1)cosφ- FHsin φ 而：FAy=FAy0 F 0Q= FAy- FP1 则: FQ= F 0Q cosφ- FHsin φ
A
斜拱如 何求解？ 何求解？
FBH FAH
FBy
FAy
三、三铰拱的合理拱轴线
(reasonable axis of arch) 使拱在给定荷载下只 0 M = M FH y = 0 产生轴力的拱轴线，被 产生轴力的拱轴线， 称为与该荷载对应的合 称为与该荷载对应的合 0 M 理拱轴 y=
FH
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
A
a1
FAy0
a2
y F P1 A FAx FAy
等代梁 F P1
y f x
x l1 l K C
b1 a2
K C
FP2 B l2 FBy FP2 B
b2 FBy0
FBx
A
a1
FAy0
M = M FH y
0
F =F cosF sin Q H
0 Q
F =F sin+F cos N H
0 Q
Y' X'
试求三铰拱在垂直于拱轴线的均 布荷载作用下的合理拱轴线。 布荷载作用下的合理拱轴线。
FN +dFN园源自FNR返 章
由微段的平衡条件ΣMO=0,可得 可得: 由微段的平衡条件 可得 FNR=（FN+ dFN )R （ R为微段的曲率半径，且R不等于零。 为微段的曲率半径， 不等于零。 为微段的曲率半径 不等于零 这表示F 则: dFN = 0 这表示 N是常数 。 由微段的平衡条件ΣS=0 由微段的平衡条件 FNsin(dφ/2)+ （FN+ dFN ) sin(dφ/2) -qRd φ=0 而： sin(dφ/2) = dφ/2 则: R= FN/q=常数 常数
在竖向荷载作用下，三 在竖向荷载作用下， 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线 MC0=ql2/8 FH=ql2/8f /8f M0=qlx/2-qx2 /2 qlx/2=qx(l-x)/2 qx( y=4fx(l-x)/l2 =4fx( )/l 抛物线
轴力FN
由平衡条件ΣX'=0 由平衡条件 FN=(FAy- FP1)sinφ+ FHcos φ 而：FAy=FAy0 F 0Q= FAy- FP1 则: FQ= F 0Q sinφ+ FHcos φ
三铰拱的内力不但与荷载 及三个铰的位置有关， 及三个铰的位置有关，而且与 拱轴线的形状有关。 拱轴线的形状有关。