高一数学 三角函数的概念

【例 2】(2011 年福建厦门模拟)已知点 P(sin 34π，cos 34π)落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)，
则 θ 的值为( )
π3
5π 7
(A)4 (B)4π (C) 4 (D)4π
解析：由于点 P 可化为( 22，－ 22)，所以 P 点在第四象限， ∴θ＝74π，故选 D.
错源：忽视对参数的讨论
三角函数的定义
【例 3】 (2010 年哈尔滨市五校联考)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为(－ 3，y)(y≠0)，
且 sin α＝12y，则 cos α－tan1 α等于(
)
(A)
23或－
3 2
3 (B) 2
(C)－
3 2
(D) 23或－3 23
思路点拨：先根据任意角三角函数的定义求出 y，再求 cos α，tan α，进而求 cos α－tan1 α 的值．
第1节 三角函数的概念
1．角的有关概念
(1)角：角可以看成平面内一条射线绕着端 点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形．旋转开始时的射线叫做角的始边，旋 转终止时的射线叫做角的终边，射线的端 点叫做角的顶点．按逆时针方向旋转所形 成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形 成的角叫做负角，若一射线没作任何旋转，
(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． (2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 R 的不等式或利用二次函数求最值的 方法确定相应最值． (3)记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)扇形的周长等于它所在圆的周长，则该扇形的圆心角为________，若 半径为 2，则该扇形的面积为________．
解析：设该扇形的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 α，面积为 S，则 2r＋l＝2πr， ∴l＝(2π－2)r， ∴α＝rl＝2π－2. 若 r＝ 2，则 l＝(2π－2) 2， ∴S＝12lr＝2π－2. 答案：2π－2 2π－2
正解：∵x＝3a，y＝4a，
∴r＝ 3a2＋4a2＝ 25a2＝5|a|. (1)当 a>0 时，r＝5a， sin θ＝yr＝45，cos θ＝xr＝35，tan θ＝yx＝43； (2)当 a<0 时，r＝－5a， sin θ＝yr＝－45，cos θ＝xr＝－35，tan θ＝yx＝43.
π (A)3
π (B) 6
(C)－π3
(D)－π6
解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．
∴A、B 不正确，又因为拨快 10 分钟，
∴应转过的角为圆周的16.
即－16×2π＝－π3.故选 C.
5．若 θ 为第一象限角，则能确定为正值的是( C )
θ
θ
(A)sin 2 (B)cos 2
θ (C)tan 2 (D)cos 2θ
α＝－－13＝
33，
∴cos α－tan1 α＝－ 23－
3＝－3
2
3 .
所以选 D.
变式探究 31：求函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定义域．
解：由21s－in2xc－os1x＞≥00
得
sin x＞12 cos x≤12
，
利用单位圆中的三角函数线可知函数 f(x)的定义域是：{x|π3＋2kπ≤x＜56π＋2kπ，k∈Z}．
(4)弧度与角度的换算：1°＝1π80 rad,1 rad＝(18π0)°. (5)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S 扇形＝12l·r＝12|α|·r2.
续 表
质疑探究 2：设 α 是一个任意角，点 P(x，y)是 α 的终边上的任意一点，如何求角 α 的 各个三角函数值？
提示：三角函数的值是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关， 对于确定的角 α，其终边的位置确定了，因此三角函数值也确定了，利用相似三角形的性质 可得：
2．若 α 是第二象限角，P(x， 5)是其终边上一点，且 cos α＝ 42x，则 x 的值为( D ) (A) 3 (B)2 2 (C)－2 2 (D)－ 3
解析：∵α 是第二象限角，
∴x<0，r＝ x2＋5，
∴cos α＝
x＝ x2＋5
42x，解得
x＝－
3，故选 D.
3 ． ( 教 材 改 编 题 ) 弧 长 为 3π ， 圆 心 角 为 135° 的 扇 形 半 径 为 ________ ， 面 积 为 ________．
解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝34π， 由弧长公式 l＝|α|·r 得 r＝αl ＝334ππ＝4， 面积 S＝12lr＝6π. 答案：4 6π
4．已知函数 y＝|ssiinn xx|＋|ccooss xx|＋|ttaann xx|，则函数的值域是________．
解析：显然角 x 的终边不在坐标轴上，当 x 是第一象限角时，y＝3；当 x 是第二象限角 时，y＝1－1－1＝－1；当 x 是第三象限角时，y＝－1＋(－1)＋1＝－1；当 x 是第四象限角 时，y＝－1＋1－1＝－1，∴函数的值域为{3，－1}．
sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，其中 r＝|OP|＝ x2＋y2.
质疑探究 3：设 α 是一个任意角，点 P(x，y)是 α 的终边上的任意一点，如何求角 α 的 各个三角函数值？
提示：三角函数的值是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关， 对于确定的角 α，其终边的位置确定了，因此三角函数值也确定了，利用相似三角形的性质 可得：
故csoinsscions2θθ<0.
(1)判断三角函数值的符号就是判断角 所在的象限．熟记各个三角函数在每个 象限内的符号是解决此类问题的关键．
(2)对于角所在象限的判断，关键是熟记 终边相同角的表示及变形形式．
变式探究11：已知点P(tan α，cos α)在 第三象限，则角α的终边在第________ 象限．( )
3．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( C )
(A)2 (B)4
(C)6 (D)8
解析：设扇形的半径为 R，
则12R2|α|＝2，
∴R2＝1，∴R＝1，
∴扇形的周长为 2R＋|α|·R＝2＋4＝6，
故选 C.
4．(2010 年山东临沂模拟)将表的分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是( C )
思路点拨：(1)可直接使用弧长公式计算，但注意角须用弧度制． (2)可用弧长或半径来表达出扇形的面积，然后确定其最大值．
解：(1)α＝60°＝π3 rad， ∴l＝|α|·R＝π3×10＝130π cm.
(2)由题意得 l＋2R＝20， ∴l＝20－2R(0<R<10)． ∴S 扇＝12l·R＝12(20－2R)·R ＝(10－R)·R＝－R2＋10R. ∴当且仅当 R＝5 时，S 有最大值 25. 此时 l＝20－2×5＝10，α＝Rl ＝150＝2 rad. ∴当 α＝2 rad 时，扇形面积取最大值．
(A()A第) 55一(B)象255限 (B)第二象限 (C()C第)－ 5三5 (象D)－限255 (D)第四象限
解析：由 r＝|OP|＝ －12＋22＝ 5，
解析得 sin：α＝因25＝为255s，in θcos θ>0，所以角θ在第一 或第∴选三B. 象限，又tan θcos θ<0，则角θ在 第三或第四象限，故角θ的终边落在第三
【例 1】 (2010 年江苏“金太阳”百校大联考)若 A，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点 P(cos B－sin A，sin B－cos A)在第________象限．
解析：由 A＋B>π2知，A>π2－B， ∴sin A>cos B，同理 sin B>cos A， ∴点 P 在第二象限． 答案：二
(2)由 θ 是第二象限角，可求 cos θ，sin 2θ 的范围，进而把 cos θ，sin 2θ 看作一个用弧度 制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而 sin(cos θ)，cos(sin 2θ)的符号可定．
解：(1)因为点 P 在第三象限， ∴sin θ·cos θ<0 且 2cos θ<0， 因此必有 sin θ>0，cos θ<0，故 θ 的终边在第二象限． (2)因为 θ 是第二象限角， 所以 cos θ<0，且－1<cos θ<0， 即 cos θ 是第四象限角， 因此 sin(cos θ)<0； 又 sin 2θ＝2sin θ·cos θ<0， 所以－1≤sin 2θ<0， 即 sin 2θ 也是第四象限角， 因此 cos(sin 2θ)>0.
【例题】 已知角θ的终边上一点 P错(3解a：,∵4xa＝)3a(，ay≠＝40a，) ， 求 θ 角 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切值． ∴r＝ 3a2＋4a2＝5a，
于是 sin θ＝yr＝45，cos θ＝xr＝35， tan θ＝yx＝43. 错解分析：本题的错误在于求 r 时，没有考虑参数 a 的取值情况，默认为 a>0，从而导 致出错．
答案：{3，－1}
象限角、三角函数值符号的判断
【例 1】 (1)如果点 P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角 θ 的终边所在的象限．
(2)若
θ
是第二象限角，则 sincos θ 的符号是什么？ cossin 2θ
思路点拨：(1)由点 P 所在的象限，知道 sin θ·cos θ，2cos θ 的符号，从而可求 sin θ 与 cos θ 的符号．
解析：∵|PO|＝ 3＋y2，根据正弦函数的定义知 3＋y y2＝12y，
∵y≠0，解得 y＝±1，
∴|PO|＝2，P(－ 3，±1)．