最小二乘原理
最小二乘法定义
最小二乘法定义最小二乘法（Least Squares Method，简称LS）是指在数学中一种最常见的数据拟合方法，它是一种统计学意义上的估计方法，用来找出未知变量和已知变量之间的关系，其中模型参数是通过最小化数据集误差的平方和来估计的。
一、定义：最小二乘法（Least Squares Method）是指在数学中最常见的数据拟合方法，它是一种统计学意义上的估计方法，用来确定未知变量与已知变量之间的关系，其中模型参数是通过最小化数据集误差的平方和来估计的。
二、基本原理：最小二乘法的基本原理是利用数据点与一个被称为“模型函数”的预设函数之间的差异，来从中估计出模型函数的参数。
具体来说，这一差异可以以误差的平方和来衡量，最小二乘法就是最小这一平方和的方法。
三、步骤：1. 构造未知变量的模型函数，其中当需要拟合的参数数目大于等于给定数据点的个数时，就会导致一定的形式多项式模型函数有正解；2. 求解模型函数的最小平方误差的最优解，即求解参数的数值；3. 根据最优解找出最小平方误差的值；4. 对模型函数进行评价，判断是否尽可能地满足数据点；5. 若满足，则用找出的模型函数来预报未来的参数变化情况。
四、应用：1. 拟合统计图形：通过最小二乘法，可以得到曲线拟合的参数，绘制出统计图形的曲线，用来剖析统计数据；2. 回归分析：可以用最小二乘法预测变量和另一变量之间的关系，如：股票收益与股价价格之间的关系，从而得到有用的分析结果；3. 模型拟合：最小二乘法可以估计精确数据模型参数，这些模型参数可与实验数据相同；4. 图像分析：最小二乘法可用于分析图像特征，如：平面图像的特征提取与比较，目标图像分类，等；5. 信号处理：最小二乘法的应用也可扩展到信号处理领域，用该方法对信号和噪声之间的关系进行拟合，来消除信号中的噪声。
最小二乘法原理
最小二乘法原理1. 概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m 个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。
2. 原理给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m 。
求近似曲线y= φ(x)。
并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。
近似曲线在点pi 处的偏差δi= φ(xi)-yi ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法：1. 是偏差绝对值最小11min (x )y m mi i i i i φδφ===-∑∑ 2. 是最大的偏差绝对值最小min max (x )y i i i iφδϕ=- 3. 是偏差平方和最小2211min ((x )y )m mii i i i φδϕ===-∑∑ 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：01...k k y a a x a x =+++2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：22011(...)m k i i k i i R y a a x a x =⎡⎤=-+++⎣⎦∑ 3. 为了求得符合条件的a 值，对等式右边求ak 偏导数，因而我们得到了：0112(...)0m k i k i i y a a x a x =⎡⎤--+++=⎣⎦∑0112(...)0m k ik i i y a a x a x x =⎡⎤--+++=⎣⎦∑……..0112( 0k k i k i i y a a x a x x =⎡⎤--+++=⎣⎦∑4. 将等式简化一下，得到下面的式子01111...n n nki k ii i i i a n a x a x y ===+++=∑∑∑ 21011111...n n n nk i ik i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ ……12011111...n n n nkk k k ii k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ 5. 把这些等式表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵：11102111111121111.........n n n k i i i i i i n n n n k i i i i i i i i i n n n n k k k k k i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y ===+====+====⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 6. 将这个范德蒙矩阵化简后得到：011112221...1...1...k k k k n n n a y x x a y x x a y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
最小二乘法原理
最小二乘法原理：等精度测量的有限测量系列，寻求一个真值， 最小二乘法原理 使得误差的平方和达到最小。
xi 现在来证明 证明，只有按公式（1－16） x = ∑ n = x0 计算得到 证明 i =1 的最佳估计值，才具有最小的残差（或偏差）平方和。
n
设有一独立等精度的测量列xi(i=1,2,…,n)，其残差为 vi = xi − x 残差的平方和为：
2 2 i =1 i =1
n
2
n
2
= n x + n x − 2n • x • x = n( x − + x − 2 • x • x) = n( x − x) 2 > 0
所以
n n
2
由此证明了: 算术平均值具有残差平 方和最小值的特性
∑ d <∑ v
2 i =1 i i =1
2
n
i
即
∑ vi 为最小值。
8
d i = x i − x ，则残差的平方和为
n
∑d
i =1
2 i
= ∑ ( xi − x ) = ∑ ( xi − 2xi x + x )
2 2 i =1
n
n
n
2
i =1
= ∑ xi − 2 x ∑ xi + n x
2 i =1 n i =1
2
n
2
2 1 n = ∑ xi − 2n • x • ∑ xi + n x n i =1 i =1
= ∑ xi − 2n • x • x + n x
2 i =1
n
2
（1： i =1 m
m
xi ∑ n+k i =1
最小二乘法基本原理
最小二乘法基本原理
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计数据中的未知参数。
其基本原理是通过最小化实际观测值与估计值之间的残差平方和，来找到一个最佳拟合曲线或者平面。
在进行最小二乘法拟合时，通常会假设观测误差服从正态分布。
具体而言，最小二乘法寻找到的估计值是使得实际观测值与拟合值之间的差的平方和最小的参数值。
也就是说，最小二乘法通过调整参数的取值，使得拟合曲线与实际观测值之间的误差最小化。
在回归分析中，通常会假设数据服从一个特定的函数形式，例如线性函数、多项式函数等。
根据这个假设，最小二乘法将找到最合适的函数参数，使得这个函数能够最好地拟合数据。
最小二乘法的步骤包括以下几个方面：
1. 根据数据和所假设的函数形式建立回归模型；
2. 计算模型的预测值；
3. 计算实际观测值与预测值之间的残差；
4. 将残差平方和最小化，求解最佳参数值；
5. 利用最佳参数值建立最优拟合曲线。
最小二乘法的优点是简单易用，并且在经济学、统计学和工程学等领域都有广泛应用。
但需要注意的是，最小二乘法所得到的估计值并不一定是真实参数的最优估计，它只是使得残差平方和最小的一组参数估计。
因此，在使用最小二乘法时，需要对模型的合理性进行评估，并考虑其他可能的回归分析方法。
最小二乘法原理
最小二乘法最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。
最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法公式：设拟合直线的公式为,其中：拟合直线的斜率为：；计算出斜率后，根据和已经确定的斜率k，利用待定系数法求出截距b。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。
令: φ= ∑(Yi - Y计)² (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)亦即m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
最小二乘估计原理
最小二乘估计原理最小二乘估计原理是一种常用的参数估计方法，它在统计学和经济学等领域有着广泛的应用。
最小二乘估计原理的核心思想是通过最小化观测值与估计值之间的残差平方和来确定参数的估计值，从而使得模型拟合数据的效果最佳。
在本文中，我们将详细介绍最小二乘估计原理的基本概念、应用场景以及具体的计算方法。
最小二乘估计原理的基本概念。
最小二乘估计原理的基本思想是通过最小化残差平方和来确定参数的估计值。
在线性回归模型中，我们通常假设因变量与自变量之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。
最小二乘估计原理要求通过最小化观测值与估计值之间的残差平方和来确定参数的估计值，即使得残差平方和达到最小值时，参数的估计值即为最小二乘估计值。
最小二乘估计原理的应用场景。
最小二乘估计原理广泛应用于线性回归模型的参数估计中。
在实际应用中，我们经常需要根据样本数据来估计模型的参数，从而进行预测或者推断。
最小二乘估计原理可以帮助我们确定最优的参数估计值，使得模型能够最好地拟合观测数据。
除了线性回归模型，最小二乘估计原理还可以应用于其他类型的模型参数估计中，例如非线性模型、多元回归模型等。
最小二乘估计的具体计算方法。
在实际应用中，最小二乘估计的具体计算方法通常包括以下几个步骤，首先，建立模型，确定自变量和因变量之间的关系；其次，利用样本数据来估计模型的参数，即通过最小化残差平方和来确定参数的估计值；最后，进行参数估计的检验，判断参数的估计结果是否显著。
在具体计算过程中，通常需要利用计量经济学中的相关工具和方法，例如OLS（Ordinary Least Squares）估计方法、假设检验、置信区间估计等。
最小二乘估计原理的优缺点。
最小二乘估计原理作为一种常用的参数估计方法，具有以下优点，首先，计算简单，易于理解和应用；其次，具有较好的数学性质和统计性质，例如无偏性、有效性等；最后，适用范围广泛，可以应用于各种类型的模型参数估计中。
最小二乘估计的基本原理
最小二乘估计的基本原理最小二乘估计，这个名字听上去很高深，对吧？但其实它背后的原理并不复杂，只要你能抓住几个核心点，就会发现它其实挺简单的。
今天，我们就来聊聊这个话题，把它讲得清楚明白，希望你听了之后能对它有个直观的理解。
1. 最小二乘估计是什么？最小二乘估计，顾名思义，主要是为了找到一个估计值，使得预测值和实际观测值之间的差距最小。
这就像你在玩一个精准的投篮游戏，目标是把球投得尽可能靠近篮筐。
这里的“最小”就是让误差最小化。
听起来是不是很简单？那就让我们一步步看下去。
1.1 误差的定义首先，我们得搞明白什么是误差。
在最小二乘估计里，误差就是我们预测的值和实际观测值之间的差距。
假设你有一个线性模型来预测某个结果，比如说你根据一个人的年龄预测他们的收入。
你预测的收入可能和实际收入有些出入，这个出入就是误差。
1.2 最小化误差那么，怎么才能让误差最小呢？这就涉及到最小二乘估计的核心：我们希望通过调整模型的参数，使得所有数据点的误差平方和最小。
说白了，就是我们要让所有预测值和真实值之间的距离加起来尽可能小。
把所有误差平方加在一起，找到那个最小的和，这就是我们要做的工作。
2. 为什么使用平方？也许你会问，为什么要用平方？为什么不直接用误差的绝对值呢？平方有几个好处。
首先，平方可以消除正负误差的相互抵消。
比如说，某个点的误差是+2，另一个点的误差是2，如果直接用这些误差的和，那么它们就会相互抵消掉。
但用平方的话，+2和2的平方都是4，这样就可以真实地反映出误差的大小。
其次，平方能更强烈地惩罚大的误差。
想象一下，如果你用一个不合适的模型预测结果，误差可能会很大。
平方后，这些大的误差会被放大，这样就能让模型更注重减少这些大的误差。
2.1 平方和的计算举个例子，假设你有几个数据点，每个点的实际值和预测值分别是（10, 8）、（15, 14）和（20, 25）。
误差分别是2、1和5。
计算这些误差的平方和，就是2² + 1² + (5)² = 4 + 1 + 25 = 30。
最小二乘拟合原理
最小二乘拟合原理
最小二乘拟合（Least squares fitting）是一种常用的数据拟合方法，它通过将观测数据点与拟合函数的最小垂直距离的平方和最小化来确定最佳拟合曲线或平面。
最小二乘法的核心原理是寻找最小化误差的最优解，即使得拟合曲线与原始数据的离散程度最小。
最小二乘拟合是基于以下假设：
1. 假设数据之间的噪声是服从高斯分布的，也就是正态分布。
2. 假设数据点之间是独立的。
最小二乘法的目标是找到一个函数的参数，使得该函数与给定的一组数据点的误差最小。
这里的误差是指拟合函数与真实数据点之间的差异。
通过最小二乘法，我们可以找到最佳拟合函数的参数，使得拟合函数与观测数据的残差平方和最小化。
具体而言，最小二乘法可以应用于各种拟合问题，例如线性回归、多项式拟合和非线性拟合。
对于线性回归问题，最小二乘法可以通过解析解或数值优化方法（如梯度下降）来求解最佳拟合直线的参数。
需要注意的是，最小二乘法在某些情况下可能会受到极值点的影响，导致过拟合或欠拟合的问题。
因此，在使用最小二乘法进行数据拟合时，需要合理选择拟合函数的形式，并对拟合结果进行评估和验证。
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用最小二乘原理，来确定全部系数a0、a1 、… 、 ak
[ ] N
(a0 , a1 , ... , ak ) i 1
a0 a1 x 1i ... ak x ki yi
2
0 , j 0, ... , k
a j
§3 非线性曲线的数据拟合
20 16 120 100.4
已知N个点(xi, yi)( i=1,…,N )
x x1
x2
求拟合直线 y* a0 a1 x
y y1
y2
的算法过程
分析:因为用最小二乘原理，得正规方程组：
… xN …. yN
N
N
i 1
xi
N
i1
N
i1
xi
x
2
i
a0 a1
N
yi
使用最小二乘原理拟合数据时，拟合曲线的选择是很 重要的，通常拟合曲线y*是由数据分布情况或经验确定的， 不一定都是线性模型，但有的经过变换可化为线性模型
例： y
(xi , yi) , i = 1, 2, …, N
x
根据数据分布情况，可以选用双曲线作为拟合曲线
1 ab 1
y
x
1 ab 1
y
x
线性化： 令y' 1 ,
[ ] N
(a0 , a1 , ... , an ) i1
a0
a1 xi
...
an
x
n i
yi
2
要使 达到最小，可以用数学中求极值的方法
即：
0 , k 0, ..., n ak
这种方法称为数据拟合的最小二乘法；P(x)为拟合曲线
线性拟合（拟合曲线为直线）
已知N个点(xi , yi)( i=1,…,N )
xi yi
i 1
i 1
i 1
正规方程组的系数列表如下：
4a0 20a1 16 20a0 120a1 100.4
解得 a0 1.1
a1 1.02
xi
yi
xi2 xiyi
2 1.1 4
2.2
4 2.8 16 11.2
所以拟合曲线为 y*=-1.1+1.02x
6 4.9 36 29.4
8 7.2 64 57.6
y
x' 1 x
y' a bx' 将( xi , yi ) 化为( x’i , yi’ )后易解 a 和b。
如：根据经验公式 y a e b x ( a, b 为常数 ) 线性化：由 ln y ln a b x 可做变换
y’ ln y , x’ x , A ln a , B b y’ A Bx' 就是个线性问题
a1 xi ) xi
0
N
N
N
a0 a1 xi yi
i 1
i 1
i 1
N
N
N
a0
xi a1
x2 i
xi yi
i 1
i 1
i 1
N
N
i 1
xi
N
i1
N
i1
xi
x
2
i
a0 a1
N
yi
i 1 N
xi
i 1
yi
正规方程组
例 已知一组实验数据如表所示.
N
c2 xi yi i 1
a0 (c1* u22 c2* u12) /(u11* u22 u12* u21)
a1 (u11* c2 u21* c1) /(u11* u22 u12* u21)
4、输出拟合直线 y*=a0+a1x
注：一般地，用一个n次多项式 y=a0+a1x+ a2x2+…+ anxn
N
c1 yi i 1
N
c2 xi yi i 1
u11 u21
u12 u22
a0
a1
c1 c2
a0
c1 c2
u12 u22
u11 u12 u21 u22
a1
u11 u21
c1 c2
u11 u12 u21 u22
a0 (c1* u22 c2* u12) /(u11* u22 u12* u21) a1 (u11* c2 u21* c1) /(u11* u22 u12* u21)
i 1 N
xi yi
i 1
u11 N
u21 u12
N
u12 xi i 1
N
u22 xi2 i 1
N
c1 yi i 1
N
c2 xi yi i 1
u11 u21
u12 u22
a0 a1
c1 c2
u11 N
u21 u12
N
u12 xi i 1
N
u22 xi2 i 1
例：求一个形如y=aebx 的经验函数公式，使它能 够和下列数据相拟合
x
12
34
56
7
8
y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
线性化：由 ln y ln a b x 可做变换
用最小二乘原理，得正规方程组：
N
N
i 1
xi
N
i1
N
i1
xi
x
2
i
ln a b
N
ln yi
i 1 N
xi ln yi
i 1
谢谢观看！ 2020
N
➢ 使 | P(xi ) yi |2最小 i 1
§1 最小二乘原理
如确定多项式P( x) aa00 aa11x ... an xn ，对于一组数 N
据(xi, yi) (i = 1, 2, …, N) 使得 [P(xi ) yi ]2 达到极小， i 1
这里 n << N。
实际上是 a0, a1, …, an 的多元函数，即
第3章 曲线拟合的最小二乘法
仍然是已知 x1 … xN ; y1 … yN, 求一个简单易 算的近似函数 P(x) f(x)。
但是 ① N很大； ② yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi)
这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。
最常见做法：
用直线 y*=a0+a1x拟合给定数据 ( xi, yi ) (i= 1,… , N )的 算法描述：
1、输入点的个数N,以 及N个点( xi, yi )；
2、计算正规方程组中各个系数：
u11 N
N
u12 xi i 1
N
u21 u12
u22
x
2 i
i 1
3、解正规方程组
N
c1 yi i 1
x x1 y y1
x2 … xN y2 …. yN
求拟合直线 y* a0 a1 x 用最小二乘原理求a0，a1
N
令 (a0 , a1 ) ( yi a0 a1 xi )2 i 1
0
a0
a0
N
2 ( yi
i 1
a0 a1 xi ) 0
0
a1
a1
N
2 ( yi
i 1
a0
xi
2
4
6
8
yi 1.1 2.8 4.9 7.2
试求最小二乘拟合曲线.
8 7 6 5 4 3 2 1
01 2 3 4 5 6 7 8
解: 可设拟合曲线为 y*=a0+a1x
x
用最小二乘原理，得正规方程组：
N
N
N
a0 a1 xi yi
i 1
i 1
i 1
N
N
N
a0
xi a1
x2 i
做数据拟合，可通过变化成多变量的数据拟合问题。
y=a0+a1z1+ a2z2+…+ anzn
§2 多变量的数据拟合
已知影响变量y 有多个因素x1, x2,…, xk
x1
x2 … xk
y
1 x11
x21 … xk1
y1
2 x12
x22 … xk2
y2
……
N x1N
x2N … xkN
yN
一般地，N>k，如果拟合曲线为