高中数学课件二阶导数的应用

)2内为凸
的,
当x∈( , 3 )时,f”(x)＞0,曲线在(
22
是凹的,
, 3)内
22
当x∈( 3 ,2π )时,f”(x)＜0,曲线在( 3,2π )
2
2
内为凸的。
2. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点,但是使f"(x)＝0
的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤]
2!
n!
一般地,函数f(x)在x＝x0点附近泰勒展开式为：
f (x)
f
(x0)
f
'(x0)(x x0)
f
"(x0 2!
)
(
x

x0
)2

f
(n) (x0 n!
)
(
x

x0
)n
O(x x0)n
4.9 几个初等函数的泰勒公式
例4.19 求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式
4.6 函数的凹凸性和拐点 1. 曲线的凹凸性
设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导,如果对应的曲 线段位于其每一点的切线的上方,则称曲线在(a,b) 内是凹的,
如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方,则 称曲线在(a,b)内是凸的。
从图象上来看,曲线段向上弯曲是凹的,曲线段向 下弯曲是凸的。
例4.11 求下列函数的极值
⑵ f(x)＝sinx＋cosx,x∈[0,2π ]
解:⑵ f'(x)＝cosx－sinx,令cosx－sinx＝0,
得驻点为x1＝ ,x2＝ ,又5f"(x)＝－sinx－cosx,
4
4
f "( ) sin cos 2 0 f "(5 ) sin 5 cos5 2 0
解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝ex
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质,我们可以较准
确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为：
⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性,求出函 数图象和两坐标轴的交点;
⑵ 计算f’(x),令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极值 点和增减区间;
⑶ 计算f“(x),令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹凸 区间;
⑷ 计算驻点、拐点处的函数值; ⑸ 列表,描绘函数的图象。
三、高阶导数的应用
4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示
一个比较复杂的函数,这样将会带来很大的方便。 一般地说,多项式函数是最简单的函数。那么
我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
[定理4.8]
二、二阶导数的应用
4.5 函数极值的判定 [定理4.6]
如 果 函 数 f(x) 在 x0 附 近 有 连 续 的 二 阶 导 数 f"(x),且f'(x0)＝0,f"(x)≠0,那么 ⑴若f"(x0)＜0,则函数f(x)在点x0处取得极大值 ⑵若f"(x0)＞0,则函数f(x)在点x0处取得极小值
例4.11 求下列函数的极值 ⑴ f(x)＝2x3－3x2 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx,x∈[0,2π ]
解：⑴f'(x)＝6x2－6x,f"(x)＝12x－6 令6x2－6x＝0,得驻点为x1＝1,x2＝0 ∵f"(1)＝6＞0,f"(0)＝－6＜0 把x1＝1,x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、 f(0)＝0 ∴当x＝1时,y极小＝－1,x＝0时,y极大＝0
4 把x1＝4 ,x42＝ 5代入原函数4 计算得4
4
4
4
f( )＝
、f( )＝－
5
。所以当x＝ 时,y

极大4 ＝ 2,x＝ 4 5时 ,y极小＝2 －
4
[注意]
如果2 f'(x0)＝4 0,f"(x0)＝0或不2 存在,本定
理无效,则需要考察点x0两边f'(x)的符号来判定是
否为函数的极值点。
⑴ 求二阶导数f"(x); ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根;
⑶ 对于每一个实根x0,检查f”(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)在x0左右两侧的 符号,如果x0两侧f"(x)的符号不同,则点(x0,f(x0)) 是曲线的拐点;如果x0两侧f”(x)的符号相同,则点
(x0,f(x0))不是曲线的拐点。
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4,y"＝2x,令2x＝0,得x＝0
设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导 数,那么
f (x)
f (0)
f '(0)x
f "(0) x2 2!
f
(n) (0) xn n!
Rn (x)
其中Rn(x)＝
f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
(ξ 在0与x之间)
上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展
开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。
当x→0时,拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无 穷小量,可表示为Rn(x)＝O(xn)。
O(xn)称为皮亚诺余项。
这样,函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表
示为：
f (x) f (0) f '(0)x f "(0) x2 f (n) (0) xn O(xn )
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时,f”(x)＜0,曲线在(－∞,0)内为凸的,
当x＞0时,f"(x)＞0,曲线在(0,＋∞)内是凹的。
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π )的凹凸性
解：∵y'＝－sinx,y"＝－cosx,
令y"＝0,得x1＝

2,x2＝
3
2
∴当x∈(0, 2 )时,f”(x)＜0,曲线在(0,
当x＜0时,y”＜0,曲线在(－∞,0)内为凸的, 当x＞0时,y"＞0,曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧,y”由正变负,所以(0,4)为曲 线上的拐点。
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2
∴当x≠0时,f"(x)＞0,而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的, 点(0,－1)不是拐点。
[定理4.7]
设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数,如果在(a,b) 内f"(x)＞0,那么对应的曲线在(a,b)内是凹的,如 果在(a,b)内f"(x)＜0,那么对应的曲线在(a,b)内 是凸的。
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
x
解：∵y＝ 1 ∴f'(x)＝－ 1 ,f"(x)＝ 1 ,