可化为一元一次方程的分式方程(1)
可化为一元一次方程的分式方程(教案)
可化为一元一次方程的分式方程教材分析1本章是学生已掌握了整式的四则运算，多项式的因式分解的基础上，通过对比分数的知识来学习的，包括分式的概念，分式的基本性质，分式的四则运算，这一章的内容对于以后的公式变形以及可化为一元二次方程的分式方程、函数等内容的学习都是一本章为基础的。
所以学好本节内容能为以后的进一步学习奠定良好基础。
2可化为一元一次方程的分式方程是在学生已熟练地掌握了一元一次方程的解法,分式四则运算等有关知识的基础进行学习的.它既可看着是分式有关知识在解方程中的应用;也可看着是进一步学习研究其它分式方程的基础(可化为一元二次方程的分式方程).同时学习了分式方程后也为解决实际问题拓宽了路子,打破了列方程解应用题时代数式必须是整式这一限制.教学重点、难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2教学难点：理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法，明确分式方程验根的必要性。
教学目标知识目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．能力目标1培养学生将实际问题转化为数学问题的能力2培养学生观察、比较、抽象、概括的能力3训练学生思维的灵活性德育目标1激发学生的内在动机2养成良好的学习习惯教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主教学过程设计：教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的（二）问题情境导入问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
青岛版八年级上册数学《可化为一元一次方程的分式方程》PPT教学课件(第1课时)
可化为一元一次方程的分式方程 第2课时
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多 做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的 时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
请审题分 析题意设元
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x－6）个零件，
依题意得：
90 60 , x x6
这个方程有何特点？ 特点：方程两边的代数式是分式. 或者说未知数在分母上的方程.
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特点： （1）含有分式 ； （2）分母中含有未知数； （3）是等式.
判断下列说法是否正确：
(1) 2x 3 5是分式方程 2
(2)
3 4 是分式方程
44x x 3
(3) x2 1是分式方程 x
(4) 1 1 是分式方程 x1 y1
（× ） （√ ） （× ） （√ ）
分式方程的解法
80 60 x3 x3
分式方程
两边都乘以最简公分母 (x+3)(x-3) 得方程
两边乘以 最简公分
母
80(x 3) 60(x 3).
解这个整式方程得 x 21.
验x=5是所列分式方程的根，故x=5.
答案：5
2.（江西·中考）解方程：
x x
2 2
4 x2
4
1
【解析】方程两边同乘以 x2 4 ，得 (x 2)2 4 x2 4
解得x=3
检验：x=3时，x2 4 ≠0 所以，x=3是原分式方程的解.
3.当m为何值时，去分母解方程
x
2
2
mx x2 4
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出等量关系.
八年级数学上册《可化为一元一次方程的分式方程》教案、教学设计
（1）已知两个数的和为15，它们的比值为3：4，求这两个数。
（2）小华和小明去书店买书，小华花费了40元，小明花费的钱数是小华的1.2倍。问：两人一共花费了多少钱？
要求：写出详细的解题步骤，并注明关键点。
3.拓展题：探讨以下问题，将实际问题抽象为分式方程模型，并求解。
3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，可能在遇到困难时产生挫败感，需要教师的关心和鼓励。
4.学生在解决实际问题时，可能难以将问题转化为分式方程模型，需要培养建模能力。
针对以上学情，教师在教学过程中应关注以下几点：
1.通过生动有趣的实例，帮助学生理解分式方程的概念，降低学习难度。
2.设计具有层次性的练习题，让学生在巩固基础知识的同时，逐步提高解题能力。
二、学情分析
八年级学生在数学学习上已经具备了一定的基础，对一元一次方程的解法有了较为熟练的掌握。在此基础上，学生对分式方程的学习将面临以下挑战：
1.分式方程的概念与一元一次方程有所不同，学生需要适应这一变化，理解分母不为零的条件。
2.在解分式方程的过程中，学生容易在去分母、合并同类项等步骤上出现错误，需要加强练习和指导。
2.教学过程：
a.让学生独立思考，列出实际问题中的等量关系。
b.引导学生将等量关系转化为分式方程，为新课的学习做好铺垫。
c.通过这个实例，让学生感受到分式方程在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.教学内容：分式方程的概念、解法步骤，以及与一元一次方程的联系。
2.教学过程：
a.介绍分式方程的定义，强调分母不为零的条件。
八年级数学上册《可化为一元一次方程的分式方程》教案、教学设计
一、教学目标
青岛版数学八年级上册3.7《可化为一元一次方程的分式方程》教学设计1
青岛版数学八年级上册3.7《可化为一元一次方程的分式方程》教学设计1一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程》是青岛版数学八年级上册3.7的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了分式的概念、分式的运算、分式方程的解法等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是引导学生理解并掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过生活中的实际问题引出分式方程，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，对于分式的相关知识也有一定的掌握。
但是，学生在解决实际问题时，往往不能很好地将实际问题转化为数学问题，对于分式方程的解法也有一定的局限性。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握分式方程的解法。
三. 教学目标1.理解可化为一元一次方程的分式方程的概念，掌握其解法。
2.能够将实际问题转化为数学问题，并运用所学的知识解决实际问题。
3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
4.培养学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：理解可化为一元一次方程的分式方程的概念，掌握其解法。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，并运用所学的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引导学生理解并掌握分式方程的解法。
2.案例教学法：通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握分式方程的解法。
3.问题驱动法：引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用所学的知识解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实际问题和相关的例题。
2.教学案例：准备一些生活中的实际问题和相关的例题，用于讲解和练习。
3.教学素材：准备一些与本节课相关的学习素材，以便学生在课后进行自主学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，引导学生思考并提出问题。
可化为一元一次方程的分式方程教案
沪教版七年级第一学期《可化为一元一次方程的分式方程》教案数学与应用数学（师范）世承班徐张帆 1一、教学目标1.知识与技能：了解分式方程的定义，掌握将分式方程化为一元一次方程求解的方法，理解增根的产生原因，掌握验根方法。
2.过程与方法：通过先自己寻找解分式方程的方法，再总结一般步骤，体会从特殊到一般的思想方法，了解化归思想，通过学习验根的过程，体会数学的严谨性。
3.情感态度价值观：通过自己探究解决方法，再概括一般方法的过程，提高探究意识和概括能力，通过解决实际应用问题，体会数学源于生活用于生活，提高学习兴趣。
二、教学重难点1. 重点：将分式方程转化为整式方程的思想和方法（即去分母）。
由于学生要用化归的思想方法解方程，所以这样的思想方法是课堂上要着重说明的，在步骤中就体现为去分母这一步为什么要去怎么去去分母之后方程会化为什么形式2. 难点：分式方程增根产生的原因及验根过程。
难点在于学生第一次接触到增根这个概念，学生的思维还不够严谨，所以难以理解增根，也容易忘记验根。
为攻破难点，课堂上一方面应该讲清楚增根是如何产生的，以及验根的必要性；另一方面应该在讲解习题时要不断强调验根的过程和方法。
三、教学用具PPT（展示例题）、黑板四、教学过程（一）情景引入，感受新知【例】小白和小绿一起雕刻水仙花，小绿每天比小白少雕刻1个水仙花，小白雕刻4个水仙花的时间，与小绿雕刻3个水仙花的时间相同，问小白和小绿每天分别能雕刻几个水仙花【复习】列方程解应用题步骤：① 找等量关系：小白雕刻4个水仙花的时间=小绿雕刻3个水仙花的时间② 写设句：设小白每天雕刻x 个水仙花，小绿每天雕刻(x-1)个水仙花。
③ 列方程：④ 解方程⑤ 写答句 （二）自主探究，理解概念1. 分式方程的概念【提问】这个方程是我们之前学过的一元一次方程吗哪里不一样（预设回答：分母中有未知数）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程。
1可化为一元一次方程的分式方程第一课时
17.3 可化为一元一次方程的分式方程教学目标1、知识与技能掌握分式方程的意义以及它与整式方程的区别；学生知道解分式方程的方法．理解并掌握验根的基本方法．2、过程与方法通过师生共议互探，与学生练习，得出解分式方程的一般步骤．3、情感、态度与价值观使学生领会“转化”的思想方法．培养学生自主探究的意识，提高学生自主学习的能力。
重点难点1.重点：解分式方程的基本思想．2.难点：对分式方程的解必需检验的原因．教学方法可以通过学生自学，掌握分式方程的意义以及它与整式方程的区别．再通过师生共 议互探，让学生知道解分式方程的关键，从中渗透转化思想，理解并掌握验根的基本方 法．最后通过学生练习，掌握解分式方程的一般步骤．其中如何去掉分式方程中的分母 是教学关键．第一课时分式方程及其解法教学过程一、复习引入教师讲解：上两节课我们介绍了什么是分式，这节课我们要介绍什么是分式方程， 怎样解分式方程．我们先着下面这样一个例子：轮般在顺水中航行80千米所需的时间 和逆水航行60千米所需的时间相同．已知水流的速度是3千米／时，求轮船在．水中的 速度．教师边提问边与学生一起列方程并板书：设轮船在静水中的速度为x 千米／时，则轮船在顺水中航行时间应怎样表示？在逆 水中船行时间应怎样表示？学生回答后教师列方程．根据题意，得360380-=+x x . （1）这里借助一个行程问题，引入分式的方程的概念.二、探究新知（一） 分式方程的定义教师讲解：方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程，教师强调分式方程的特征：1、含有分式；2、分母中含有未知数.（二） 分式方程的解法教师提问，怎样解分式方怪呢？我们解一元一次分式方程，有没有办法去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？如果可以，我们就可以解分式方程．方程（1）可以这样解方程两边同乘以方程两边同乘以（x +3）(x -3)，约去分母，得80（x -3）=60(x +3). （2）解这个整式方程，得x =21.所以轮船在静水中的速度为21千米/时.三、解法总结教师对解法进行总结：通过解方程(1），我们可以总结出解分式方程的方法，即将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母．将分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通 常取方程中出现的各分式的最简公分母。
青岛版八年级上册数学教学设计《3-7可化为一元一次方程的分式方程(第1课时)》
青岛版八年级上册数学教学设计《3-7可化为一元一次方程的分式方程（第1课时）》一. 教材分析《3-7可化为一元一次方程的分式方程（第1课时）》这一课时内容，主要让学生掌握分式方程的概念，以及如何将分式方程化为一元一次方程。
这是初中数学中非常重要的一部分，也是学生进一步学习高中数学的基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了分式的基本知识，对分式的加减乘除有一定的了解。
但是，对于分式方程的化简和求解，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解分式方程的实质，以及如何将其化简为一元一次方程。
三. 教学目标1.让学生理解分式方程的概念，掌握分式方程的化简方法。
2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3.通过对分式方程的学习，培养学生对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的概念，分式方程的化简方法。
2.难点：分式方程的化简过程，以及如何将其应用于实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，探索分式方程的化简方法。
同时，通过实例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，内容包括分式方程的定义、化简方法及实例分析。
2.准备一些实际问题，用于巩固学生对分式方程的应用。
3.准备黑板，用于板书解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出分式方程的概念。
例如：某商品的原价是100元，打八折后的价格是多少？2.呈现（15分钟）讲解分式方程的定义，以及如何将分式方程化简为一元一次方程。
通过PPT展示相关的理论知识，让学生了解分式方程的化简方法。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试将一些分式方程化简为一元一次方程。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）出示一些分式方程，让学生独立求解。
教师选取部分答案进行讲解，指出解题的关键步骤。
5.拓展（10分钟）让学生运用所学知识，解决一些实际问题。
巧解可化为一元一次方程的分式方程
条矮胖的银橙色板尺样的舌头显得极为狂野同时还隐现着几丝浪漫。他活似白杏仁色海参一样的身材感觉空前华丽震撼，精悍的金橙色细小路灯模样的
胡须确实相当阴森却又透着一丝琢磨不透。那一双歪斜的土灰色细竹般的眉毛，仿佛特别潇洒但又露出一种隐约的风趣。再看娜哥瓜乌保镖的身形，他
有着柔软的活似小号形态的肩膀，肩膀下面是丰盈的活似扫帚形态的手臂，他短小的金红色柠檬形态的手掌似乎有点温柔同时还隐现着几丝强硬，轻灵
的烟妖云舞围腰，脚穿破旧的暗橙色怪石一样的狗毛微宫鞋。整个形象好像绝无仅有的飘忽不定但又带着几分小巧……娜哥瓜乌保镖长着弯曲的深灰色
悬胆模样的脑袋和瘦长的深黑色陀螺一样的脖子，最出奇的是一张不大的亮红色果冻似的脸，配着一只肥壮的暗黑色帆船形态的鼻子。鼻子上面是一对
胖胖的白杏仁色璇网样的眼睛，两边是短小的水红色鱼刺耳朵，鼻子下面是矮小的亮灰色萝卜一般的嘴唇，说话时露出破烂的锅底色狼精似的牙齿，一
多公斤。此人最善使用的兵器是『紫风摇精牛肝矛』，有一身奇特的武功『蓝雨蚌圣剃须刀爪』，看家的魔法是『黄影缸魔钢筋语录』，另外身上还带
着一件奇异的法宝『红金疯圣雨丝囊』。他有着瘦弱的白象牙色土豆形态的身材和远古的浅黑色萝卜模样的皮肤，似乎有点滑稽和漂亮，他头上是神气
的淡黄色谷堆般的头发，戴着一顶破落的墨灰色谷堆似的车窗雪影盔，他上穿狼狈的暗红色熊猫一样的鱼尾枫翠灵冰衫，下穿丰盈的的亮白色犀牛一样
的纯黄色樱桃形态的手指好像十分愚笨但又带着几分滑稽。他瘦瘦的活似卧蚕形态的腿
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引申1： 引申2： 引申3：
例2.解关于x的方程 （1） 解：
4x+1=－6
检验：
当
时，(2x+3)(2x－3) ≠0
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鹤壁市第四中学
王永传
一 、复习提问
1、什么叫做方程？什么是一元一次方程？ 什么是方程的解？ 2、解一元一次方程的基本方法和步骤 是什么？ 3、分式有意义的条件是什么？
4、分式的基本性质是怎样的？
引入问题
轮船在顺水中航行80千米所需的时 间和逆水航行60千米所需的时间相同.已 知水流的速度是3千米/时，求轮船在静 水中的速度. 分析：设轮船在静水中的速度为x千米/ 时，根据题意，得 80 60 x 3 x3
方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得 x+1=2. 解得 x=1.
解
事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分 母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分 式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应 当舍去.所以原分式方程无解.
探究分式方程的增根原因
在将分式方程变形为整式方程时，方程 两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了 分母，有时可能产生不适合原分式方程的解 （或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
(2)
x2 16 x2 2 x2 x 4 x2
注意：解 分式方程 时可能产 生增根， 所以解分 式方程一 定要验根！
解：方程两边同乘以 ( x 2)(x 2), 约去分母，得
( x 2) 16 ( x 2) ,
2 2
解得，x 2.
检验：当x 2时， 2)(x 2) 0, (x x 2是原方程的增根，舍去 ， 原方程无解。源自方程.•分式方程的主要特征：
（1）含有分式 ；（2）分母中含有 未知数。
你还能举出一个 分式方程的吗？
三、例题讲解与练习
例1、判断下列各式哪个是分式方程．
(1) x y 5 x 2 2y z ( 2) 5 3 1 (3) x y ( 4) 0 x5 1 (5) 2 x 5 x
有了上面的经验，我们再来完整地解二 个分式方程.
三、例题讲解与练习
例2
解方程：
x5 1 (1)1 , 4 x x4
解： 方程两边同乘以( x 4),约去分母
得，x 4 ( x 5) 1
解得，x 5
检验：当 x 5时，x 4 0 ∴x=5是原方程的解.
那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
探究分式方程的增根原因
对于原分式方程的解来说，必须要求使 方程中各分式的分母的值均不为零，但变形 后得到的整式方程则没有这个要求.如果所 得整式方程的某个根，使原分式方程中至少 有一个分式的分母的值为零，也就是说使变 形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的 值为零，它就不适合原方程，即是原分式方 程的增根.
探究分式方程的解法
1、思 考 ： 怎样解分式方程呢？ 请同学们先思考并回答以下问题： 1）、回顾一下一元一次方程时是怎么去分母 的，从中能否得到一点启发？ 2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它 转化为整式方程呢？
探究分式方程的解法
80 60 试动手解一解方程（1）. x 3 x3 方程（1）可以解答如下： 解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)， 约去分母，得 80（x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得 x=21. 所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
x x 21 2 x 1 x 1
2、解下列分式方程：
3 2 6 4 2 2 2 x x x x x 1
1 1 5 ( x 2)(x 3) ( x 4)(x 5)
分析：根据定义 可得：(1)、(2) 是整式方程，(3) 是分式，(4)(5) 是分式方程．
例2、下列方程哪些是分式方程：
x 3 3x 4 x 3 (1) 0 (4) 2 x 4 9 x 14 x 1 x 3 x2 x 1 (2) 4x (5) 2 1 x 2 x (3) 2 3 0 (6) 1 x 1 y
课堂小结
验根的方法有：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. (1)代入原方程检验，看方程左，右两边的值 是否相等，如果值相等，则未知数的值是原方 程的解，否则就是原方程的增根。 (2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的 值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方 程的增根，否则就是原方程的根。
探究分式方程的解法
2、概 括 上述解分式方程的过程，实质上是将 方程的两边乘以同一个整式，约去分母， 把分式方程转化为整式方程来解.所乘的 整式通常取方程中出现的各分式的最简公 分母.
请你动手做一做：
1 2 2 解方程： x 1 x 1
三、例题讲解与练习
例1
.
1 2 2 解方程： x 1 x 1
这个方程有何特点？
想一想
概 括： 方程（1）有何特点？ 观察分析后，发表意见，达成共识：
80 60 x 3 x3
特征：方程的两边的代数式是分式。
或者说分母中含有末知数的方程。
提问：你还能举出一个类似的例子吗？
分式方程的概念
分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式
80 60 中含有分式，并且 方程 x 3 x3
探究分式方程的验根方法
验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整 式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母 为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的 整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如 果为零，即为增根. 2 如例1中的x=1，代入 x 1 0 ，可知 x=1是原分式方程的增根.
课堂小结
解分式方程的注意点：
（1）去分母时，先确定最简公分母；若分母是 多项式，要进行因式分解； （2）去分母时，不要漏乘不含分母的项； （3）最后不要忘记验根。
作业
课本第14页 习题17.3第1题
做一做
1、解下列分式方程：
4 1 1 0 x x 1
2 x 5 5x 4 1 3 3x 6 2 x 4 2
2、课本14页练习1、2。
1、你学到了哪些知识？
要注意什么问题？
2、在学习的过程 中
你有什么体会？
课堂小结
1、什么是分式方程？举例说明 2、解分式方程的一般步骤： a、在方程的两边都乘以最简公 分母，约去分母，化为整式方程． b、解这个整式方程． c.验根，即把整式方程的根代入最 简公分母，看结果是不是零，若结果不是0， 说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此 根是原方程的增根，必须舍去． 3、解分式方程为什么要进行验根？怎样 进行验根？
1、判断： x 1 2 1方程 2 1的解是x 2；
x x x 1 2方程 的解是x 1 ； x 1 x 1 x 1 3把分式方程 2 化为整式方程得 2 1 x ； x2 2 x 1 x 1 4把分式方程 2 化为整式方程时， x 1 2 x 1 4 x 1 （ ） （ ） 两边应同时乘以 x 2 1 8 （ ）（x 1 ）（x 1 ）。