树和二叉树
第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念
第一层
树的特 点？
第二层 第三层 第四层
复习：二、树的基本术语
1.结点A、D的度？树的度？ 2;3;3; 2.根结点？分支结点？叶子结点？ A;BCDE;GHIJF;
在二叉链中，空指针的个数？
b A
B∧
C
∧D
∧E∧
∧F∧
∧G∧
n个结点 2n个指针域 分支数为n-1 非空指针域有n-1个 空指针域个数 = 2n-(n-1) = n+1
n=7 空指针域个数=8
39/10
40/10
二叉树
当n=3，结果为ห้องสมุดไป่ตู้。
第n个Catalan数
41/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多少？ 该二叉树：有n层，每层一个结点，该结点可以
43/23
结点个数为n，树形可以唯一确定 叶子结点个数为n0，树形不能唯一确定 n为奇数时，n1=0； n为偶数时，n1=1。 n0=n2+1 高度h= log2(n+1)，是n个结点高度最小的二叉树
44/23
含有60个叶子结点的二叉树的最小高度是多少？
在该二叉树中，n0=60，n2=n0-1=59，n=n0+n1+n2=119+n1。 当n1=0且为完全二叉树时高度最小。 此时高度h=log2(n+1)= log2120=7。
作为双亲结点的左孩子，也可以作为右孩子 这样的二叉树的个数=1×2×…×2=2n-1。
例如，当n=3时有22=4个这样的二叉树。
说明树与二叉树的主要区别
说明树与二叉树的主要区别摘要：一、引言二、树与二叉树的定义及基本概念1.树的定义及特点2.二叉树的定义及特点三、树与二叉树的主要区别1.节点数量的限定2.节点连接方式的差异3.遍历方式的差异四、实例分析1.满二叉树与满树的对比2.完全二叉树与完全树的对比五、总结与展望正文：一、引言在计算机科学中，树和二叉树是广泛应用于数据结构和组织的重要概念。
尽管它们在某些方面具有相似之处，但它们之间仍存在显著差异。
本文将详细介绍树与二叉树的主要区别，以帮助读者更好地理解这两种数据结构。
二、树与二叉树的定义及基本概念1.树的定义及特点树（Tree）是一种非线性的数据结构，它由若干个节点组成，这些节点通过边连接在一起。
树中最顶层的节点称为根节点，最底层的节点称为叶节点，中间层节点称为内部节点。
树具有以下特点：（1）只有一个根节点。
（2）每个节点最多有若干个子节点，最少有一个子节点（除了根节点）。
（3）节点之间的连接顺序呈层次结构。
2.二叉树的定义及特点二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树结构，其中每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。
根据这个定义，二叉树可以进一步细分为满二叉树、完全二叉树和不完全二叉树等。
二叉树具有以下特点：（1）每个节点最多有两个子节点。
（2）节点之间的连接呈二叉树结构。
三、树与二叉树的主要区别1.节点数量的限定树中每个节点可以有任意数量的子节点，而二叉树中每个节点最多有两个子节点。
这是树与二叉树最明显的区别。
2.节点连接方式的差异树中节点之间的连接顺序呈层次结构，呈放射状分布。
而二叉树中节点之间的连接呈二叉树结构，呈线性分布。
3.遍历方式的差异树的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
不过，二叉树的遍历方式通常与树的遍历方式有所不同。
四、实例分析1.满二叉树与满树的对比满二叉树是一种特殊的二叉树，其每个节点都有两个子节点，且所有叶子节点都在同一层。
树与二叉树h
SBNode nodes[MAXSIZE]; } SBTree;
举例
结点 左子
右子
1
26 34
1
2
6
2
3
4
3
0
4
4
0
0
4
4
0
0
特点:
6
0
0
找子方便,找父 结点不便.
三、二叉链表存储结构
第一层 第二层
( A ( B ( E (K,L),F),C(G),D( H (M),I,J )))
第四层 第三层
二、基本术语
结点：包括一个数据元素及若干个指向其它子树 的分支；例如，A，B，C，D等。
叶结点：无后件结点为叶结点；如K，L，M。 根结点：无前件的结点为根；例如，A结点。
子结点：某结点后件为该结点的子结点；例如，
方法描述： 从根结点a开始访问， 接着访问左子结点b， 最后访问右子结点c。
即：
根
A 访问根结点 B 先序遍历左子树 C 先序遍历右子树
a
左子 右子
bc
二、中序法（InOrder）
方法描述：
从左子结点b开始访问，
接着访问根结点a，
最后访问右子结点c。
即：
根
A 中序遍历左子树 B 访问根结点 C 中序遍历右子树
计算机学院
自动化学院
各种社会组织机构；
在计算机领域中，用树表示源
程序的语法结构；
2101 2102
2103
在OS中，文件系统、目录等组
织结构也是用树来表示的。
第6章树和二叉树
9
6.1.4 树的存储结构
3.孩子兄弟表示法 孩子兄弟表示法 在结点中设置两个指针域， 在结点中设置两个指针域，一个指针域指向该结 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。
2
6.1.1树的定义 树的定义
结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 子树 称为结点的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 最大值称为树的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点 终端结点或 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点或叶 子 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 孩子结点和双亲结点： 孩子结点和双亲结点：树中一个结点的子树的根结点称 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点， 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点，称 为结点的祖先。 为结点的祖先。
17
6.2.2 二叉树的性质
性质4 具有n（ 性质 具有 （n>0）个结点的完全二叉树的深度 ）个结点的完全二叉树的深度h= log 2 n + 1 证明： 证明： 根据完全二叉树的定义可知深度为h-1层及以上的结点构成 根据完全二叉树的定义可知深度为 层及以上的结点构成 满二叉树，因此由性质2得深度为 得深度为h的完全二叉树满足 满二叉树，因此由性质 得深度为 的完全二叉树满足 n>2h-1-1和n≤2h-1 和 整理后得到 2h-1≤n<2h 不等式两边取对数， 不等式两边取对数，得 h-1≤log2n<h 由于h为正整数 为正整数， 由于 为正整数，因此 h= log 2 n + 1
树与二叉树的关系
将一棵树转换为二叉树的方法： ⑴ 树中所有相邻兄弟之间加一条连线。 ⑵ 对树中的每个结点，只保留其与第一个 孩子结点之间的连线，删去其与其它孩子结 点之间的连线。 ⑶ 以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针 旋转一定的角度，使之结构层次分明。
树转换为二叉树示意图
A
A
B
E
CF G
DH
I
A
B
E
CF G
DH
I
J
J
A
BC D EG FH I J
用递归的方法描述其转换
若B是一棵二叉树，T是B的根结点，L是B的 左子树，R为B的右子树，设B对应的森林F（B） 中含有的n棵树为T1,T2, …,Tn，则有： （1）B为空，则：F（B）为空的森林（n＝0）。
（2）B非空，则：
树
森林
二叉树
先根遍历 先序遍历 先序遍历
后根遍历 中序遍历 中序遍历
3、森林的后序遍历*
若森林非空，则遍历方法为：
（1）后序遍历森林中第一棵树的根结点的子 树森林。 （2）后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构 成的森林。 （3）访问第一棵树的根结点。
6.5 哈夫曼树及其应用
6.5.1 哈夫曼树
哈夫曼树最典型、最广泛的应用是在 编码技术上，利用哈夫曼树，可以得到 平均长度最短的编码。这在通讯领域是 极其有价值的。
权值 双亲序号 左孩子序号 右孩子序号
静态三叉链表结构定义
#define N 20 #define M 2*N-1 typedef struct { int weight ;
int parent，Lchild，Rchild ; }HTNode, HuffmanTree[M+1];
树和二叉树知识考点整理
树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。
●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。
数据结构树和二叉树知识点总结
数据结构树和二叉树知识点总结
1.树的概念：树是一种非线性的数据结构，由节点和边构成，每个节点只能有一个父节点，但可以有多个子节点。
2. 二叉树的概念：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点，一个是左子节点，一个是右子节点。
3. 二叉树的遍历：二叉树的遍历分为前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
前序遍历是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树；中序遍历是先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树；后序遍历是先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。
4. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足左子树中所有节点的值均小于根节点的值，右子树中所有节点的值均大于根节点的值。
因此，二叉搜索树的中序遍历是一个有序序列。
5. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的插入和删除操作可以保证树的平衡性，从而提高树的查询效率。
6. 堆：堆是一种特殊的树结构，它分为最大堆和最小堆两种。
最大堆的每个节点的值都大于等于其子节点的值，最小堆的每个节点的值都小于等于其子节点的值。
堆常用于排序和优先队列。
7. Trie树：Trie树是一种特殊的树结构，它用于字符串的匹配和检索。
Trie树的每个节点代表一个字符串的前缀，从根节点到叶子节点的路径组成一个完整的字符串。
以上是数据结构树和二叉树的一些基本知识点总结，对于深入学
习数据结构和算法有很大的帮助。
自考软件基础(数据结构--树与二叉树)
B
C
D
E
F
G
H
I
J
第 5 /209页
第二节 二叉树
一、定义
南昌大学
二叉树是一种重要的树形结构，它的特点是：二叉树可以为空（节点个
数为0），任何一个节点的度都小于或等于2，并且，子树有左、右之分，
其次序不能任意颠倒。 二叉树有5种基本形态，如图10-2所示。
第 6 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
struct node
{ datatype data； struct node *Lchild,*rchild：
}；
第 15 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
例10-5 写出图10-8a所示二叉树的链式存储结构。其链式结构如图10-8b 所示。可以看出：具有n个节点的二叉树链式存储共有2n个链，其中只 有n-1个用来存放该节点的左、右孩子，其余的n +1个指针域为空。
解：第一步：由后序遍历结果确定整个二叉树根为A，由中序结果确定
A的左、右子树。 后序遍历结果： 中序遍历结果：
第 24 /209页
第三节 二叉树的遍历
第二步：确定A的左子树。 1)后序遍历结果：
南昌大学
中序遍历结果：
2）确定B的右子树： ①后序遍历结果：
第 25 /209页
第三节 二叉树的遍历
②中序遍历结果：
南昌大学
第 9 /209页
第二节 二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树。
南昌大学
(1) 满二叉树指深度为k，且有2k-1个节点的二叉树。或者说除叶子节点外，
其它节点的度都为2的二叉树。
(2) 完全二叉树一个满二叉树的最下层从右向左连续缺少n (n>=0)个节点 的二叉树。 图10-3为满二叉树和完全二叉树示例。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
算 称为S的R等价类。
法
实例四：N皇后问题
N皇后问题要求在一个NN格的棋盘上放置N个皇后，
使其互不攻击。按规则，互不攻击的约束条件为：任意两
个皇后不能处于同一行、同一列或同一对角线上，现要求
给出满足约束条件的所有棋盘布局。
3
第 6 章 树和二叉树
6.2 树的概念
定义：
数
数据对象 D：
据
D是具有相同特性的数据元素的集合。
构
与 ③树的度: 树中所有结点的度的最大值
算
法 ④叶子结点: 度为零的结点
⑤分支结点: 度大于零的结点
⑥(从根到结点的)路径：
由从根到该结点所经分支和结点构成。
12
第 6 章 树和二叉树
A
6.2 树的概念
B
C
D
E
F GH I J
基本术语
K
L
M
数 ⑦孩子结点：一个结点的直接后继
据结构与算数据结构
⑧双亲结点: 一个结点的直接前驱 ⑨兄弟结点: 同一双亲结点的孩子结点之间互称~。
法
（3）{ 先序遍历右子树。
先序Vi遍si历t(r结o果ot：->dAatBa)D; G C E F PreOrder(root ->LChild);
PreOrder(root ->RChild);
} 30
}
第 6 章 树和二叉树
A
6.4 二叉树的遍历
B
C
中（根）序遍历的递归定义：
数
D
EF
G
据
结
vo若id二叉InO树r为de空r(B树iT，re则e空ro操ot作) ；否则，
D
E
G
F}BiT∧NoDde, *Bi∧TreEe;∧ ∧ F ∧
∧ G∧
含有n个结点的二叉链表中有2n个指针域，n+1个空26域。
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
存储结构：② 链式存储结构：三叉链表
数
据
结点结构: parent lchild data rchild
结
root
构
与
算
A
∧A
法
B
C
Visit(root ->data);
} 32
}
第 6 章 树和二叉树 6.4 二叉树的遍历
练习
A
数
B
C
据
结
D
E
FG
构
与 算
H
JK
法
I
先序：ABDEHICFJGK
法
⑩堂兄弟、祖先结点、子孙结点
结点的层次: 假设根结点的层次为1，依次累加。
树的深度：树中叶子结点所在的最大层次 森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合
13
第 6 章 树和二叉树
6.2 树的概念
基本操作
①InitTree(Tree);
数 据
②DestoryTree(Tree);
结
③CreatTree(Tree);
构 与 算
{ （1）中序遍历左子树； （2）if (访ro问ot根!=结NU点L；L)
法
（3）{ 中序遍历右子树。
中序In遍O历rd结e果r(：rooDt G->LBCAhilEd);C F Visit(root ->data);
InOrder(root ->RChild);
} 31
}
第 6 章 树和二叉树
第 6 章 树和二叉树
6.1 应用实例
6.2 树的概念
数
6.3 二叉树
据
结
6.4 二叉树的遍历
构
与
6.5 线索二叉树
算
法
6.6 树和森林
6.7 哈夫曼树及其应用
6.8 实例分析与实现
6.9 算法总结
1
第 6 章 树和二叉树 6.1 应用实例
实例一：数据压缩问题
数
在信息传输、数据压缩问题中，我们总是希望找到一
得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。
存在如何遍历即按什么样的搜索路径遍历的问题
28
第 6 章 树和二叉树
6.4 二叉树的遍历
“二叉树”由三个基本单元组成：根结点、左
子树和右子树。若能依次遍历这三部分，就遍历了
数 据
整个二叉树。
结
设用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、
构 遍历右子树，对“二叉树”而言，可以有6 ？种搜索路径
算 法
Ⅱ. 假设i=k时成立，即第k层上至多有2k-1个结点；
Ⅲ. 那么第k+1层上最多有2k-1×2个，即2k个 。
结论成立，证毕。
18
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
重要性质：
数
②深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点(k≥1)。
据 结
证明：
构
与
基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为
构
④TreeEmpty(Tree);
与 算
⑤Root(Tree);
法
⑥Parent(Tree,x);
⑦FirstChild(Tree,x);
⑧NextSibling(Tree,x);
⑨InsertChild(Tree,p,Child);
⑩DeleteChild(Tree,p,i); 14
第 6 章 树和二叉树
a
法 中编号为 1 至 n 的结点一一对应。
关系：
b
c
满二叉树必为完全二叉树， d
e
f
g
而完全二叉树不一定是
满二叉树。
hi j
21
完全二叉树
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
重要性质：
数
④具有 n 个结点的完全二叉树的深度为
据 结
log2n +1 。
构
与
证明：设完全二叉树的深度为 k
算
则根据第二条性质得 2k-1 -1 < n ≤ 2k -1
与
算 最后一个元素(无后继)。
法 其它数据元素
(一个前驱、一个后继)
树型结构
根结点(无前驱)
多个叶子结点 (无后继) 其它数据元素 (一个前驱、多个后继)
11
第 6 章 树和二叉树
A
6.2 树的概念
B
C
D
E
F GH I J
基本术语
K
L
M
数 据
①结点：数据元素+若干指向子树的分支
结 ②结点的度: 分支的个数
表达式、中缀表达式、后缀表达式，并可以实现表达式的
求值运算。 2
第 6 章 树和二叉树 6.1 应用实例
实例三：等价类划分问题
等价关系是现实世界中广泛存在的一种关系，许多应
数 用问题可归结为按给定的等价关系将集合划分为等价类的
据 结 构 与
问题。问题可描述为：若R是集合S上的一个等价关系，则 由R可得到集合S的唯一划分，即可以按R将S划分为若干个 不相交的子集S1，S2，…，这些子集的并集等于S，子集Si
与 算
全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：
法 (1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，
否则，编号为 i/2 的结点为其双亲结点；
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，
否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，
否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
形态： 5种
数
据
结
构
与 算 法
空二叉树
只有根结点 的二叉树
只有左子树 的二叉树
只有右子树 的二叉树
左、右子树均 非空的二叉树
16
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
基本操作：
①Initiate(bt);
数 据
②Destory (bt);
结
③Creat (bt);
构
④Empty(bt);
与 算
⑤Root(bt);
算
法
20+21+ +2k-1 = 2k-1
19
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
重要性质：
数
③ 对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、
据 结 构
n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式： n0 = n2+1。
与 算
证明：设二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2
法
又二叉树上分支总数 b = n1+2n2
23
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
存储结构：
数 据
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
① 顺序存储结构
结 构
② 链式存储结构
与
算
法
24
第 6 章 树和二叉树
6.3 二叉树
存储结构：① 顺序存储结构 一维数组bt[n]
数
是用一组连续的存储单元来存放二叉树的数据元素 。
据
结
A
A
构 与
B
C
B
算
法
D
E
F
G
C
H I J KL
D
ABCDE F GHI J KL A B
A
6.3 二叉树的遍历与线索化
B
C
后（根）序遍历的递归定义：
数
D
EF
G
据
结
vo若id二叉Po树st为Or空de树r(，Bi则Tr空ee操ro作o；t) 否则，