金融工程第11章二叉树模型介绍

二叉树模型介绍

5）偏离均衡价格时的套利：如果期权的价值超过了$0.633，构造该组合的成本就有可能低于$4.367，并将获得超过无风险利率的额外收益；如果期权的价值低于$0.633，那么卖空该证券组合将获得低于无风险利率的资金。
2、一般结论
1）条件：考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况。

看跌期权的价值是$4.1923。利用每个单步二步二叉树向回倒推算，也可以得到这个结果。
四、美式期权

1、方法：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。

在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两者之中较大者： 1）．由公式f=e-rT[pfu+(1-p)fd] 求出的值。 2）．提前执行所得的收益。
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性

衍生证券定价公式没有用到股票上升和下降的概率。人们感觉：假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期权价值也增加，看跌期权的价值则减少。

3、风险中性估值(risk-neutralvaluation)：把金融资产放在风险中性的世界去估值即为期权和其它衍生证券估值时，世界是风险中性的。在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。

二叉树模型-资料

Cu

pC u
2
(1 1 r
p)Cud
=
(.6)56.25+(.4)0.0 1.07

31.54
Cd

pCdu
(1 p)Cd2 1 r

(.6)0.0 (.4)0.0 1.07

0.0
因而，期权现在的价值为：
C pCu (1 p)Cd 1 r
(.6)31.54 (.4)0.0 17.69 1.07
Cu2 Max[0, Su 2 X] Max[0,156. 25 100] 56.25 Cud Max[0, Sud X] Max[0,100 100] 0.0 Cd2 Max[0, Sd 2 X] Max[0,64 100] 0.0
一步之后，期权的价值为：
这时无风险利率变成 (1 + r)T/n 上涨和下降的比率变成：
u e T/n
d 1/u
其中是波动率。
计算时，从后往前逐步计算每个节点的价值。
在美式期权的情况下，要在每一步比较提前执行和不提前执行时的价值，取大的价值用于计算。
练习题
12.1 12.4 12.5 12.6
注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
h Cu Cd Su Sd
4.46%，低于无风险利率。
两步二叉树模型

二叉树定价模型知识讲解

二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。

本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。

8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。

例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。

在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。

由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。

这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。

经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。

构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。

根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。

在这种情况下，该组合是无风险的。

以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。

《二叉树模型》课件

二叉树的分类
01 满二叉树
如果一个二叉树的每个节点都有两个子节点，则该二叉树称为满二叉树。
02 完全二叉树
如果一个二叉树的最后一层是满的，且除了最后一层外，其他各层的节点数达到最大，则该二叉树称为完全二叉树。
03 平衡二叉树
平衡二叉树是一种特殊的完全二叉树，它的左右子树的高度差不超过1。
二叉树的应用场景
详细描述
在n叉树模型中，每个节点可以拥有任意数量的子节点，而不仅仅是两个。这种模型在处理具有多个分支的数据结构时非常有用，例如决策树和知识图谱。n叉树模型在搜索、排序和数据压缩等领域有广泛应用。
B树模型
要点一
总结词
B树模型是一种自平衡的多路搜索树，用于数据库和文件系统的索引。
要点二
详细描述
详细描述
二叉树的插入操作包括节点的添加和位置调整两个步骤。在添加节点时，需要找到合适的位置将其插入到二叉树中，并保持二叉树的平衡性。位置调整是为了维护二叉树的性
质，确保每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。
插入操作的时间复杂度
总结词
插入操作的时间复杂度取决于具体的实现方式和数据结构。
详细描述
在平衡二叉树中，插入操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉树中节点的数量。而在一般的二叉树中，插入操作的时间复杂度可能达到O(n)，因为可能需要遍历整棵树才能找到合适的位置插入新节点。因此，选择合适的二叉树数据结构和算法对于提高插入操作的效率至关重要。
05
二叉树算法的应用
堆排序算法
平衡二叉树的性质：平衡二叉树具有以下性质：1）它的左右子树的高度差不超过1；2）它的左子树和右子树都是平衡二叉树；3）它的左子树和右子树的节点数相差不超过1。

二叉树定价模型知识讲解

二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。

本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。

8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。

例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。

在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。

由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。

这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。

经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。

构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。

根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。

在这种情况下，该组合是无风险的。

以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。

金融工程二叉树模型概念

金融工程二叉树模型概念一、引言金融工程是指将数学、统计学、计算机科学等方面的知识应用于金融领域，以解决金融市场中的问题。

而二叉树模型则是其中的一个重要工具，在金融工程领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍金融工程中二叉树模型的概念及其应用。

二、二叉树模型概述1. 什么是二叉树？二叉树是一种数据结构，由节点和连接它们的边组成。

每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，一个称为右子节点。

如果一个节点没有子节点，则称该节点为叶子节点。

2. 什么是二叉树模型？在金融工程中，我们可以利用二叉树来建立模型，以便对金融市场进行分析和预测。

这种利用二叉树建立模型的方法就被称为“二叉树模型”。

三、基本原理1. 二叉树模型的构建在构建二叉树模型时，我们需要确定以下几个参数：（1）时间步数：即我们需要将时间划分成多少个步骤；（2）上涨幅度：即在每个时间步骤中，股票价格上涨的幅度；（3）下跌幅度：即在每个时间步骤中，股票价格下跌的幅度；（4）无风险利率：即在每个时间步骤中，我们所假设的无风险利率。

2. 二叉树模型的计算在确定了以上参数后，我们可以利用二叉树模型来计算股票价格在未来某个时刻的可能取值。

具体方法如下：（1）将当前时刻的股票价格作为二叉树模型的根节点；（2）对于每个节点，分别计算其左子节点和右子节点所对应的股票价格；（3）不断重复上述步骤，直到达到所设定的时间步数为止。

四、应用案例1. 期权定价期权是一种金融衍生品，其价值取决于标的资产价格变化。

利用二叉树模型可以对期权进行定价，并且可以通过调整各种参数来预测未来期权价格。

2. 风险管理利用二叉树模型可以对投资组合进行风险管理。

我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下投资组合可能出现的收益和风险，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的风险收益比。

3. 股票价格预测利用二叉树模型可以对股票价格进行预测。

我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下股票价格可能出现的变化，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的投资策略。

期权定价的二叉树模型

03
二叉树模型在期权定价中的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的价格路径，计算期权的预期收益，并使用无风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市场行为和风险。
05

期权定价的二叉树模型介绍

险利率。
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数，例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义