《信号与系统》第三章

式中 ai i 1,2,, n、bj j 1,2,, m 都是常数。
它的解： y(k ) y h k y p k
齐次解 特解
齐次解：齐次差分方程
y(k) an1 y(k 1) a0 y(k n) 0
的解，称为齐次解。
例y(k ) ay(k 1)
0
yk yk 1
当a是特征单根
a p k ak p 1k 1ak p1kak p0ak 当 是 重特征根。
cosk P cosk Q sink
当所有的特征根均不等于 e j
sin k Acosk , Ae j P jQ
全解：n阶线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。 如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为：
F k, yk,yk,,n yk 0
n 阶差分方程。
由于各阶差分均可写成 yk及其各移位序列的线
性组合，故通常所说的差分方程是指如下的形式：
Gk, yk, yk 1,, yk n 0
n 阶差分方程。
例如 yk 3yk 1 2 yk 2 f k
5、线性常系数差分方程
如果 yk及其各移位序列 yk 1,, yk n 均为
·主要内容 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应
一、差分与差分方程(书上这部分符号有错误，请改正） 1、一阶差分的定义及序列求和运算（85页）
设有序列 f k，则称 f k 1, f k 1, f k 2
等为 f k的移位序列。
仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。
a1f1k a2f2k 因此差分具有线性性质。
3、二阶及更高阶差分定义
2 f k f k f k f k 1
f k f k 1
f k 2 f k 1 f k 2
类似地，可定义三阶、四阶等高阶差分.
4、差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的未知序列 yk 及其
各阶差分的方程式，它的一般形式可写为：
第三章 离散系统的时域分析
离散系统分析与连续系统分析在许多方面是相互平行 的,它们有许多类似之处。
连续系统：微分方程描述；卷积积分；f t, yt 离散系统：差分方程描述；卷积和； f k, yk
·主要内容 第一节 LTI离散系统的响应 第二节 单位序列和单位序列响应 第三节 卷积和
§ 3.1 LTI离散系统的响应
n
y(k) yhk yp k
C

j
k j
yp k
j 1
各系数由给定的n个初始条件 y0, y1,, yn 1 确定。
例3.1-2 若描述某系统的差分方程为
yk 4yk 1 4yk 2 f k
已知初始条件 y0 0, y1 1; 激励 f k 2k , k 0.
求方程的全解。
解：首先求齐次解。特征方程为： 2 4 4 0
因此，可定义：
一阶前向差分定义为： f k f k 1 f k 一阶后向差分定义为： f k f k f k 1
一阶前、后向差分的关系： f k f k 1
k
序列 f k求和运算为： f i i
2、差分的线性性质：
由差分的定义，若有序列 f1k、f2k 和常数 a1 , a2
则： a1 f1k a2 f2k a1 f1k a2 f2k a1 f1k 1 a2 f2k 1 a1 f1k f1k 1 a2 f2k f2k 1
a
yk C ak 公比为（-a）的等比级数。
齐次解由形式为 Ck 的序列组合而成。 为特征方
程
n
a n1 n1
a1
a0
0 的根，称为差分方
程的特征根。不同特征根所对应的齐次解形式不同。
见下页表3-1。
表3-1不同特征根所对应的齐次解（书87页）
特征根 齐次解 yhk
单实根
重实根
一对共轭复根
d f (t)
f (t )
f (t t ) f (t )
f (t ) f (t t )
lim
lim
lim
dt
t0 t
t 0
t
t 0
t
离散信号的变化率有两种表示形式：
f (k) f (k 1) f (k)
k
(k 1) k
f (k) f (k) f (k 1)
k
k (k 1)
一次式，就称其为线性的。
如果 yk及其各移位序列的系数均为常数，就称
其为常系数差分方程。
例如 yk 3yk 1 2yk 2 f k
**描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程。
差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。
例 3.1-1 若描述某离散系统的差分方程为
1 2 2 yhk C1k 2k C2 2k
yk 3yk 1 2yk 2 f k
已知初始条件y0 0, y1 2，激励 f k 2k k ，
求yk 。
解： yk 3 yk 1 2 yk 2 2k k yk 3 yk 1 2 yk 2 2k k
对于 k 2 将初始条件 y0 0 y1 2代入，得
y2 3 y1 2 y0 f 2 2
类似地，依次迭代可得
y3 3 y2 2 y1 f 3 10 y4 3 y3 2 y2 f 4 10
便于计算机求解，但无法写出闭合表达式。
二、差分方程的经典解 差分方程的一般形式：
y(k) an1 y(k 1) a0 y(k n) bm f (k) bm1 f (k 1) b0 f (k m)
1、2 a jb e j
Ck
C 1k 1 k C 2k 2 k C1kk C0k
k C cosk Dsink 或
A k cosk , Ae j C jD
重共轭复根
A 1k 1 k cos k 1 A 2k 2 k cos k 2
A0 k cosk 0
特解：特解的形式与激励的函数形式有关，表3-2列出
了几种不同激励所对应的特解。 表3-2 不同激励所对应的特解（书87页）
激励 f k 特解 y p k
km
pmk m pm1k m1 p1k p0
所有特征根均不为1
k pmk m pm1k m1 p1k p0 有 重为1的特征根
pa k
当a不等于特征根
ak
p1kak p0ak