2017年辽宁省本溪市中考数学试卷

2017年辽宁省本溪市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的），1，0，−3中，最大的数是（）1. 在−13A.−1B.1C.0D.−33【答案】B【考点】有理数大小比较【解析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案．【解答】，1，0，−3中，最大是1，因为在−132. 下列运算正确的是（）A.a4÷a3=aB.(a2)4=a6C.2a2−a2=1D.3a3⋅2a2=6a6【答案】A【考点】合并同类项幂的乘方与积的乘方同底数幂的除法单项式乘单项式【解析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则分别运算得出答案．【解答】A、a4÷a3=a，正确；B、(a2)4=a8，故此选项错误；C、2a2−a2=a2，故此选项错误；D、3a3⋅2a2=6a5，故此选项错误；3. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】轴对称图形中心对称图形【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．4. 关于x的一元二次方程x2−3x−a=0有一个实数根为−1，则a的值（）A.2B.−2C.4D.−4【答案】C【考点】一元二次方程的解【解析】把x=−1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．【解答】∵关于x的一元二次方程x2−3x−a=0有一个根是−1，∴(−1)2−3×(−1)−a=0，解得：a=4，5. 小明同学中考前为了给自己加油，课余时间制作了一个六个面分别写有“17”“中”“考”“必”“胜”“！”的正方体模型，这个模型的表面展开图如图所示，与“胜”相对的一面写的（）A.17B.！C.中D.考【答案】D【考点】正方体相对两个面上的文字【解析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“胜”相对的面上的字．【解答】结合展开图可知，与“胜”相对的面上的字是“考”．6. 已知一组数据1，2，4，3，x的众数是2，则这组数据的中位数是（）A.2B.2.5C.3D.4【答案】A【考点】中位数众数【解析】一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数；把数从小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数，正中间如果是两个数，那中位数是这两个数的平均数．先根据众数定义求出x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数．【解答】∵数据1，2，4，3，x的众数是2，∴2出现的次数是2次，∴x=2，数据重新排列是：1、2、2、3、4，由于5个数中2在正中间，所以中位数是2．7. 下列事件为确定事件的是（）A.一个不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的3个红球和1个白球，均匀混合后，从中任意摸出1个球是红球B.长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形C.本钢篮球队运动员韩德君投篮一次命中D.掷1枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上【答案】B【考点】随机事件【解析】确定事件包括必然事件和不可能事件，即一定发生或一定不会发生的事件．【解答】A．一个不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的3个红球和1个白球，均匀混合后，从中任意摸出1个球是红球，是随机事件；B．长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形，是必然事件；C．本钢篮球队运动员韩德君投篮一次命中，是随机事件；D．掷1枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上，是随机事件；8. 四月是辽宁省“全面阅读月”，学校阅览室将对学生的开放时间由每天的4.5ℎ延长到每天6ℎ，这样每天可以多安排2个班级阅读．如果每个班级每天阅读时间相同，且每个时间段只能安排一个班级阅读．设原来每天可以安排x个班级阅读，根据题意列出的方程正确的为（）A.4.5x =6x−2B.4.5x−2=6xC.4.5x=6x+2D.4.5x+2=6x【答案】C【考点】由实际问题抽象为分式方程【解析】设原来每天可以安排x个班级阅读，那么现在每天可以安排(x+2)个班级阅读，根据“每个班级每天阅读时间相同，且每个时间段只能安排一个班级阅读”，列出方程即可．【解答】设原来每天可以安排x个班级阅读，那么现在每天可以安排(x+2)个班级阅读，根据题意，得4.5x =6x+2．9. 如图，点A在第二象限，点B在x轴的负半轴上，AB=AO=13，线段OA的垂直平分线交线段AB于点C，连接OC，△BOC的周长为23，若反比例函数y=kx的图象经过点A，则k的值为（）A.30B.−30C.60D.−60【答案】D【考点】反比例函数的性质反比例函数图象上点的坐标特征线段垂直平分线的性质【解析】作AC⊥x轴于D，如图，利用垂直平分线的性质得CA=CO，再利用等腰三角形的性质和线段的等量代换可得到OB=10，接着利用等腰三角形的性质得BD=OD=5，则利用勾股定理可计算出AD=12，所以A(−5, 12)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．【解答】作AC⊥x轴于D，如图，∵线段OA的垂直平分线交线段AB于点C，∴CA=CO，∵△BOC的周长为23，∴OB+BC+OC=23，∴OB+BC+CA=23，即OB+BA=23，∴OB=23−13=10，∵AB=AO，AD⊥OB，∴BD=OD=5，在Rt△AOD中，AD=√132−52=12，∴A(−5, 12)，∴k=−5×12=−60．10. 如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90∘，AB=AC=4，以点A为中心的正方形EFGH边长为x(x>0)，EF // AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】动点问题的解决方法【解析】分三个时间段求出函数解析式即可判断；【解答】①当0<x≤4时，y=14x2，②当4<x≤8时，y=12×4×4−2×12×(4−12x)2=−14x2+4x−8，③当x>8时，y=8，二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）3月18日，本溪市首条地下综合管理廊项目在咸宁大街开建，工程总投资560000000元．将数据560000000用科学记数法表示为________．【答案】5.6×108【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】将数据560000000用科学记数法表示为5.6×108．如图，两张矩形纸条交叉重叠在一起，若∠1=50∘，则∠2的度数为________．【答案】130∘【考点】平行线的判定与性质【解析】依据平行线的性质，即可得到∠ABC以及∠2的度数．【解答】∵AD // BC，AB // CD，∴∠1=∠ABC=50∘，∴∠2=180∘−∠ABC=180∘−50∘=130∘，分解因式：m3n−4mn3=________．【答案】mn(m+2n)(m−2n)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．【解答】原式=mn(m 2−4n 2)=mn(m +2n)(m −2n)，有甲、乙两段高度相等的山坡，分别修建了阶数相同的两段台阶．甲段台阶各级台阶高度的方差s 甲2=4.6，乙段台阶各级台阶高度的方差s 乙2=2.2，当每级台阶高度接近时走起来比较舒适，则甲、乙两段台阶走起来更舒适的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 乙【考点】 方差 【解析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解． 【解答】因为S 甲2=4.6>S 乙2=2.2，方差较小的为乙，所以甲、乙两段台阶走起来更舒适的是乙．电影《速度与激情8》上映，小亮同学准备买票观看，在选择座位时，他发现理想的位置只剩下了第九排的3个座位和第十排的4个座位．他从这7个座位中随机选了1个座位是第九排座位的概率为________． 【答案】37【考点】 概率公式 【解析】先求出总座位数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】∵ 第九排有3个座位，第十排有4个座位，共有7个座位， ∴ 从这7个座位中随机选了1个座位是第九排座位的概率为37；直线y =kx +b 是由直线y =−2x 平移得到的，且经过点P(2, 0)，则k +b 的值为________． 【答案】 2【考点】一次函数图象上点的坐标特点 一次函数图象与几何变换 【解析】两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，可确定k 的值；把(2, 0)代入即可求出b 的值即可求出答案． 【解答】∵ 直线y =kx +b 是由直线y =−2x 平移得到的， ∴ y =kx +b 中k =−2，∵ 直线y =kx +b 经过点P(2, 0)，∴当x=2时，y=0，将其代入y=−2x+b，解得：b=4．则k+b=−2+4=2．菱形ABCD中，AB=5，AE是BC边上的高，AE=4，则对角线BD的长为________．【答案】2√5或4√5【考点】菱形的性质【解析】分∠B为钝角和锐角两种情况，在Rt△ABE中求得BE，则可求得EC，在Rt△AEC中利用勾股定理可求得AC，再利用等积法可求得BD的长．【解答】当∠B为钝角时，如图1，∵AB=5，AE=4，且AE⊥BC，∴BE=3，∴CE=BC+BE=5+3=8，在Rt△ACE中，由勾股定理可得AC=√AE2+CE2=√42+82=4√5，∵S菱形ABCD =BC⋅AE=12BD⋅AC，∴5×4=12×4√5BD，解得BD=2√5；当∠B为锐角时，如图2，同理可求得BE=3，则CE=5−3=2，在Rt△ACE中，可求得AC=√42+22=2√5，同理可求得BD=4√5，综上可知BD的长为2√5或4√5，如图，∠AOB=60∘，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1=2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为点A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为点A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为点A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…按这样的方法继续下去，则△A n B n O n的面积为________（用含正整数n的代数式表示）．【答案】9n−14n√3或(√3)4n−322n【考点】规律型：图形的变化类 规律型：点的坐标 规律型：数字的变化类 等边三角形的判定方法 【解析】先根据勾股定理和直角三角形30度角的性质求A 1O 1=B 1O 1=12OO 1=1，OA 1=OB 1=√3，证明△A 1OB 1是等边三角形，则A 1B 1=√3，求△A 1B 1O 1的面积=√34，易证得△A 1B 1O 1∽△A 2B 2O 2，可得O 2B 2O 1B 1=OO 2OO 1=32，根据面积比等于相似比的平方得：S △A 2B 2O 2S △A 1B 1O 1=(O 2B2O 1B 1)2=94，计算S △A 2B 2O 2=94S △A 1B 1O 1=94×√34， 同理可得：S △A 3B 3O 3=94S △A 2B 2O 2=(94)2×√34，…，可得结论． 【解答】如图，由题意得：∠A 1OC 1=∠B 1OO 1=30∘，OO 1=2， ∠OA 1O 1=∠OB 1O 1=90∘， ∴ A 1O 1=B 1O 1=12OO 1=1， ∴ OA 1=OB 1=√3， ∵ ∠AOB =60∘，∴ △A 1OB 1是等边三角形，∴ A 1B 1=√3，设OO 4分别与A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3的交点为C 1，C 2，C 3， ∴ 高OC 1=32，O 1C 1=2−32=12， ∴ △A 1B 1O 1的面积为12A 1B 1×O 1C 1=√34， 易证得△A 1B 1O 1∽△A 2B 2O 2， ∴ O 2B 2O 1B 1=OO 2OO 1=32，∴ S △A 2B 2O 2S△A 1B 1O 1=(O 2B 2O 1B 1)2=94，∴ S △A 2B 2O 2=94S △A 1B 1O 1=94×√34， 同理可得：S △A 3B 3O 3=94S △A 2B 2O 2=(94)2×√34，…，S △A n B n O n =94S △A n−1B n−1O n−1=(94)n−1×√34=9n−14n√3（或(√3)4n−322n）． 三、解答题（本大题共2小题，共22分）先化简，再求值：(x −2−5x+2)⋅2x+4x 2−3x，其中x =(1−π)0−|−12|．【答案】 原式=(x−2)(x+2)−5x+2⋅2(x+2)x(x−3)=(x +3)(x −3)x +2⋅2(x +2)x(x −3)=2x+6x．∵ x =(1−π)0−|−12|=1−12=12， ∴ 原式=2x+6x=2×12+612=14【考点】 绝对值分式的化简求值零指数幂、负整数指数幂 分式的混合运算 实数的运算 【解析】先化简，再求出x 的值，代入即可得出结论． 【解答】 原式=(x−2)(x+2)−5x+2⋅2(x+2)x(x−3)=(x +3)(x −3)x +2⋅2(x +2)x(x −3)=2x+6x．∵ x =(1−π)0−|−12|=1−12=12， ∴ 原式=2x+6x=2×12+612=14随着中央电视台《朗读者》节目的播出，“朗读”为越来越多的同学所喜爱，本溪市某中学计划在全校开展“朗读”活动，为了了解同学们对这项活动的参与态度，随机对部分学生进行了一次调查．调查结果整理后，将这部分同学的态度划分为四个类别：A ．积极参与；B ．一定参与；C ．可以参与；D ．不参与．根据调查结果制作了如下不完整的统计表和统计图． 学生参与“朗读”的态度统计表请你根据以上信息，解答下列问题：（1）a=________，b=________．（2）请求出m的值并将条形统计图补充完整．（3）该校有1500名学生，如果“不参与”的人数不超过150人时，“朗读”活动可以顺利开展，通过计算分析这次活动能否顺利开展？（4）“朗读”活动中，七年一班比较优秀的四名同学恰好是两男两女，从中随机选取两人在班级进行朗读示范，试用画树状图法或列表法求所选两人都是女生的概率．【答案】36%,50m=50×16%=8，条形统计图为：1500×8%=120（人），因为120<150，所以这次活动能顺利开展；画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所选两人都是女生的结果数为2，所以所选两人都是女生的概率=212=16．【考点】统计表条形统计图列表法与树状图法【解析】（1）用100%分别减去B、C、D的频率可得到a的值；用18除以a得到b的值；（2）用b的值乘以16%得到m的值，然后补全条形统计图；（3）用1500乘以D类的百分比，然后把计算的结果与150进行大小比较，则可判断这次活动能否顺利开展；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选两人都是女生的结果数为2，然后根据概率公式计算．【解答】a =100%−8%−16%−40%=36%，b =18÷36%=50；故答案为36%，50；m =50×16%=8，条形统计图为：1500×8%=120（人），因为120<150，所以这次活动能顺利开展；画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所选两人都是女生的结果数为2，所以所选两人都是女生的概率=212=16．四、解答题（本大题共2小题，共24分）某校九年级有三个班，其中九年一班和九年二班共有105名学生，在期末体育测试中，这两个班级共有79名学生满分，其中九年一班的满分率为70%，九年二班的满分率为80%．（1）求九年一班和九年二班各有多少名学生．（2）该校九年三班有45名学生，若九年级体育成绩的总满分率超过75%，求九年三班至少有多少名学生体育成绩是满分．【答案】九年一班有50名学生，九年二班有55名学生九年三班至少有34名学生体育成绩是满分【考点】二元一次方程组的应用——行程问题一元一次不等式的运用【解析】（1）设九年一班有x 名学生，九年二班有y 名学生，根据“九年一班和九年二班共有105名学生、两个班级共有79名学生满分”列方程组求解可得；（2）设九年三班有m 名学生体育成绩满分，根据“九年级体育成绩的总满分率超过75%”列不等式求解可得．【解答】设九年一班有x 名学生，九年二班有y 名学生，根据题意，得：{x +y =10570%x +80%y =79， 解得：{x =50y =55 ；答：九年一班有50名学生，九年二班有55名学生．设九年三班有m名学生体育成绩满分，根据题意，得：79+m>(105+45)×75%，解得：m>33.5，∵m为整数，∴m的最小值为34，答：九年三班至少有34名学生体育成绩是满分．如图，△PAB内接于⊙O，▱ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C=∠APB，连接BD．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若BC=2，∠PBD=60∘，求AP̂与弦AP围成的阴影部分的面积．【答案】连结OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠BAD，AD // BC，∵∠APB=∠ADB，∠C=∠APB，∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD，∵OA=OD，∴OB⊥AD，∴∠AOB=90∘，∵AD // BC，∴∠OBC=∠AOB=90∘，∴OB⊥BC，∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线．连结OP，作OE⊥AP于E，∵∠PAD=∠PBD=60∘，OA=OP，∴PA=OA=OP，∠AOP=60∘，在▱ABCD中，AD=BC=2，∴AP=OA=1，在Rt△OAE中，OE=OA⋅sin60∘=√32，AP̂与弦AP围成的阴影部分的面积为：60π×12360−12×1×√32=π6−√34．【考点】平行四边形的性质圆周角定理切线的判定与性质扇形面积的计算【解析】(1)连接OB，利用平行四边形的性质，切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；(2)连结OP，作OE⊥AP于E，在Rt△OAE中中，利用三角函数得到OE，然后根据扇形面积公式进行计算即可．【解答】连结OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠BAD，AD // BC，∵∠APB=∠ADB，∠C=∠APB，∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD，∵OA=OD，∴OB⊥AD，∴∠AOB=90∘，∵AD // BC，∴∠OBC=∠AOB=90∘，∴OB⊥BC，∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线．连结OP，作OE⊥AP于E，∵∠PAD=∠PBD=60∘，OA=OP，∴PA=OA=OP，∠AOP=60∘，在▱ABCD中，AD=BC=2，∴AP=OA=1，在Rt△OAE中，OE=OA⋅sin60∘=√32，AP̂与弦AP围成的阴影部分的面积为：60π×12360−12×1×√32=π6−√34．五、解答题（本大题共1小题，共12分）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y（辆）与每辆车每天的租金x（元）满足关系式y=−150x+36（500≤x≤1800，且x为50的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元．（1）求w与x的函数关系式．（利润=租金-支出）（2）公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？【答案】由题意得：w=(x−200)y=(x−200)(−150x+36)=−150x2+40x−7200；w=−150x2+40x−7200=−150(x−1000)2+12800．∵−150<0，w有最大值，∴当x=1000时，w的最大值为12800，由题可得，后4天时500≤x≤800，∵当x<1000时，w随着x的增大而增大，∴当x=800时，w的最大值为12000，∴3×12800+4×12000=86400，答：这7天公司获得的总利润最多为86400元．【考点】二次函数的应用【解析】（1）根据公司每天的总利润=每辆车的利润×车辆数列出即可；（2）根据二次函数的性质，求得“十一黄金周”的前3天的利润以及后4天的利润，即可得到这7天公司获得的总利润．【解答】由题意得：w=(x−200)y=(x−200)(−150x+36)=−150x2+40x−7200；w=−150x2+40x−7200=−150(x−1000)2+12800．∵−150<0，w有最大值，∴当x=1000时，w的最大值为12800，由题可得，后4天时500≤x≤800，∵当x<1000时，w随着x的增大而增大，∴当x=800时，w的最大值为12000，∴3×12800+4×12000=86400，答：这7天公司获得的总利润最多为86400元．六、解答题（本大题共1小题，共12分）如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形ABCD，其中AD // BC，AB⊥BC，CD=15mm，∠C=53∘，刀鞘的边缘MN // PQ，刀刃BC与刀鞘边缘PQ相交于点O，点A恰好落在刀鞘另一边缘MN上时，∠COP=37∘，OC=50mm，（1）求刀片宽度ℎ．（2）若刀鞘宽度为14mm ，求刀刃BC 的长度．（结果精确到0.1mm ）（参考数据：sin 37∘≈35，cos 37∘≈45，tan 37∘≈34）【答案】作DE ⊥BC 于E ，在Rt △DEC 中，∠CDE =90∘−53∘=37∘，∴ DE =DC ⋅cos 37∘=15×45=12，即：刀片的宽度ℎ为12mm ；作AF ⊥PQ 于F ，延长AB 交PQ 于G ，∵ ∠COP =37∘，∴ ∠BOG =∠FAG =37∘，在Rt △AFG 中，AF =14，∴ AG =AFcos 37∘=352，BG =AG −AB =112，AB ⊥BC ，∴ ∠OBG =90∘，在Rt △BOG 中，BO =BGtan 37∘=223，∴ BC =OC +OB =50+223≈57.3．【考点】翻折变换（折叠问题）解直角三角形的应用【解析】（1）利用锐角三角函数即可得出结论；（2）先求出AG ，进而求出BG ，用三角函数求出BO 即可得出结论．【解答】作DE ⊥BC 于E ，在Rt △DEC 中，∠CDE =90∘−53∘=37∘，∴ DE =DC ⋅cos 37∘=15×45=12，即：刀片的宽度ℎ为12mm ；作AF⊥PQ于F，延长AB交PQ于G，∵∠COP=37∘，∴∠BOG=∠FAG=37∘，在Rt△AFG中，AF=14，∴AG=AFcos37∘=352，BG=AG−AB=112，AB⊥BC，∴∠OBG=90∘，在Rt△BOG中，BO=BGtan37∘=223，∴BC=OC+OB=50+223≈57.3．七、解答题（本大题共1小题，共12分）△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，过点A作直线MN，使MN // BC，点D在直线MN上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E．（1）如图①，当α＝60∘，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．（2）如图②，当α＝45∘，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关系，并说明理由．（3）当α＝30∘时，若点D在射线AM上，∠ABE＝15∘，AD=√3−1，请直接写出线段AE的长度．【答案】∵当α＝60∘时，∠ABC＝∠DBE＝60∘，∴∠ABD＝∠CBE，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ACB＝60∘，∴∠BCE＝120∘，∵MN // BC，∴∠BAD＝180∘−∠ABC＝120∘，∴∠BAD＝∠BCE，∴△BAD≅△BCE，∴AD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+AD；AE＝AB+√2AD．理由：当α＝45∘时，∠ABC＝∠DBE＝45∘，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45∘，∠BAC＝90∘，∴△ABC是等腰直角三角形，∴ BC =√2AB ，∵ MN // BC ，∴ ∠BAD ＝180∘−∠ABC ＝135∘，∵ ∠BCE ＝180∘−∠ACB ＝135∘，∴ ∠BAD ＝∠BCE ，∴ △BAD ∽△BCE ，∴ AD CE =AB BC =√2，∴ CE =√2AD ，∴ AE ＝AC +CE ＝AB +√2AD ； 线段AE 的长度为√3−1或2−√3．由题可得，∠ABC ＝∠DBE ＝∠BAD ＝30∘，分两种情况：①如图所示，当点E 在线段AC 上时，∵ ∠ABE ＝15∘=12∠ABC =12∠DBE ，∴ ∠ABD ＝∠ABE ＝15∘，在BE 上截取BF ＝BD ，易得△ABD ≅△ABF ，∴ AD ＝AF =√3−1，∠ABC ＝∠BAD ＝∠BAF ＝30∘，∴ ∠AFE ＝∠ABF +∠BAF ＝15∘+30∘＝45∘，又∵ ∠AEF ＝∠CBE +∠C ＝15∘+30∘＝45∘，∴ ∠AFE ＝∠AEF ，∴ AE ＝AF =√3−1；②如图所示，当点E 在CA 的延长线上时，过D 作DF ⊥AB 于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，∵ AD =√3−1，∠DAF ＝30∘，∴ DF =√3−12，AF =3−√32，∵ ∠DBF ＝15∘+30∘＝45∘，∴ ∠DBF ＝∠BDF ，∴ BF ＝DF =√3−12，AB =√3−12+3−√32=1＝AC ，易得△ABC 中，BC =√3，∵ ∠EBG ＝15∘+30∘＝45∘，∴ ∠BEG ＝∠EBG ，设BG ＝EG ＝x ，则CG =√3−x ，∵ Rt △CEG 中，tan C =EGCG ，即x √3−x=√33，∴x=3−√32=EG，∴CE＝2EG＝3−√3，∴AE＝CE−AC＝3−√3−1＝2−√3综上所述所，线段AE的长度为√3−1或2−√3．【考点】三角形综合题【解析】（1）当α＝60∘时，可得△ABC是等边三角形，判定△BAD≅△BCE，即可得到AD＝CE，进而得到AE＝AC+CE＝AB+AD；（2）当α＝45∘时，可得△ABC是等腰直角三角形，判定△BAD∽△BCE，可得CE=√2AD，进而得出AE＝AC+CE＝AB+√2AD；（3）分两种情况：点E在线段AC上，点E在CA的延长线上，分别画出图形，依据∠ABE＝15∘，AD=√3−1，即可得到线段AE的长度．【解答】∵当α＝60∘时，∠ABC＝∠DBE＝60∘，∴∠ABD＝∠CBE，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ACB＝60∘，∴∠BCE＝120∘，∵MN // BC，∴∠BAD＝180∘−∠ABC＝120∘，∴∠BAD＝∠BCE，∴△BAD≅△BCE，∴AD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+AD；AE＝AB+√2AD．理由：当α＝45∘时，∠ABC＝∠DBE＝45∘，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45∘，∠BAC＝90∘，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC=√2AB，∵MN // BC，∴∠BAD＝180∘−∠ABC＝135∘，∵∠BCE＝180∘−∠ACB＝135∘，∴∠BAD＝∠BCE，∴△BAD∽△BCE，∴ADCE =ABBC=√2，∴CE=√2AD，∴AE＝AC+CE＝AB+√2AD；线段AE的长度为√3−1或2−√3．由题可得，∠ABC＝∠DBE＝∠BAD＝30∘，分两种情况：①如图所示，当点E在线段AC上时，∵ ∠ABE ＝15∘=12∠ABC =12∠DBE ， ∴ ∠ABD ＝∠ABE ＝15∘， 在BE 上截取BF ＝BD ，易得△ABD ≅△ABF ，∴ AD ＝AF =√3−1，∠ABC ＝∠BAD ＝∠BAF ＝30∘，∴ ∠AFE ＝∠ABF +∠BAF ＝15∘+30∘＝45∘，又∵ ∠AEF ＝∠CBE +∠C ＝15∘+30∘＝45∘，∴ ∠AFE ＝∠AEF ，∴ AE ＝AF =√3−1；②如图所示，当点E 在CA 的延长线上时，过D 作DF ⊥AB 于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，∵ AD =√3−1，∠DAF ＝30∘，∴ DF =√3−12，AF =3−√32，∵ ∠DBF ＝15∘+30∘＝45∘，∴ ∠DBF ＝∠BDF ，∴ BF ＝DF =√3−12，AB =√3−12+3−√32=1＝AC ，易得△ABC 中，BC =√3，∵ ∠EBG ＝15∘+30∘＝45∘，∴ ∠BEG ＝∠EBG ，设BG ＝EG ＝x ，则CG =√3−x ，∵ Rt △CEG 中，tan C =EG CG ，即√3−x =√33， ∴ x =3−√32=EG ，∴ CE ＝2EG ＝3−√3，∴ AE ＝CE −AC ＝3−√3−1＝2−√3综上所述所，线段AE 的长度为√3−1或2−√3．八、解答题（本大题共1小题，共14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点B(3, 0)，经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为C(4, 52)，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A ，C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）过点P 作PE ⊥AC ，垂足为点E ，作PF // y 轴交直线AC 于点F ，设点P 的横坐标为t ，线段EF 的长度为m ，求m 与t 的函数关系式．（3）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．【答案】∵ 抛物线y =12x 2+bx +c 经过点B(3, 0)，C(4, 52)， ∴ {92+3b +c =08+4b +c =52 ，解得：{b =−1c =−32 ，…2分 ∴ 该抛物线的解析式为：y =12x 2−x −32；…4分当y =0时，12x 2−x −32=0，解得：x 1=−1，x 2=3，∴ A(−1, 0)，设直线AC 的解析式为：y =kx +b ，∵ 直线AC 经过点A(−1, 0)，C(4, 52)， 则{−k +b =04k +b =52 ，解得：{b =12k =12 ， ∴ 直线AC 的解析式为：y =12x +12；…6分∴ D(0, 12)，OD =12， 由勾股定理得：AD =√12+(12)2=√52， 设P(t, 12t 2−t −32)，则F(t, 12t +12)，∴ PF =(12t +12)−(12t 2−t −32)=−12t 2+3t 2+2，…8分 ∵ DF // y 轴，∴ ∠ADO =∠PFE ，∵ PE ⊥AC ，∴ ∠PEF =∠AOD =90∘，∴ △AOD ∽△PEF ，∴ EF PF =OD AD =√5∴ PF =√5EF ，∴√5m=−12t2+3t2+2，m=√55(−12t2+3t2+2)=−√510x2+3√5t10+2√55(−1<t<4)；…10分y=12x2−x−32=12(x−1)2−2，则抛物线的对称轴是x=1，分4种情况：①当以PQ为斜边，在x轴下方，如图1和图2，过P作PH⊥x轴于H，∵△POQ是等腰直角三角形，∠POQ=90∘，∴OQ=OP，易得△OQG≅△OPH，∴PH=OG=1，当y=−1时，12x2−x−32=−1，解得：x1=1+√2，x2=1−√2，∴P(1+√2, −1)或(1−√2, −1)；②当以PQ为斜边，在x轴上方，如图3和图4，过P作PH⊥x轴于H，∵△POQ是等腰直角三角形，∠POQ=90∘，∴OQ=OP，易得△OQG≅△OPH，∴PH=OG=1，当y=1时，12x2−x−32=1，解得：x1=1+√6，x2=1−√6（此时点P在直线AC的上方，不符合题意，舍），∴P(1+√6, 1)；③如图5，以OQ为斜边，当P在对称轴的左侧时，设P(t, 12t2−t−32)，过P作PH⊥x轴于H，PG⊥对称轴于G，同理得：PG=PH，∴1−t=−12t2+t+32，解得：t1=2−√5，t2=2+√5（舍），∴P(2−√5, 1−√5)，④如图6，以OQ为斜边，当P在对称轴的右侧时，设P(t, 12t2−t−32)，过P作PH⊥x轴，过Q作QH⊥PH，同理得：PG=QH，∴t−1=−12t2+t+32，解得：t1=−√5（舍），t2=√5，∴P(√5, 1−√5)，综上所述，点P的坐标为P(1+√2, −1)或(1−√2, −1)或(1+√6, 1)或(2−√5, 1−√5)或(√5, 1−√5)…14分【考点】二次函数综合题【解析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）先求AC 的解析式，表示P 和F 的坐标，表示线段PF 的长，证明△AOD ∽△PEF ，则EF PF =OD AD =√5，列方程可得m 与t 的函数关系式；（3）先利用配方法计算对称轴，再分4种情况讨论：①当以PQ 为斜边，在x 轴下方，如图1和图2，过P 作PH ⊥x 轴于H ，②当以PQ 为斜边，在x 轴上方，如图3和图4，过P 作PH ⊥x 轴于H ，③如图5，以OQ 为斜边，当P 在对称轴的左侧时，设P(t, 12t 2−t −32)，④如图6，以OQ 为斜边，当P 在对称轴的右侧时，设P(t, 12t 2−t −32)，分别作辅助线，构建全等三角形，利用一组对应边相等列方程可得P 的横坐标，从而得P 的坐标．【解答】∵ 抛物线y =12x 2+bx +c 经过点B(3, 0)，C(4, 52)，∴ {92+3b +c =08+4b +c =52 ，解得：{b =−1c =−32 ，…2分 ∴ 该抛物线的解析式为：y =12x 2−x −32；…4分 当y =0时，12x 2−x −32=0，解得：x 1=−1，x 2=3，∴ A(−1, 0)，设直线AC 的解析式为：y =kx +b ，∵ 直线AC 经过点A(−1, 0)，C(4, 52)，则{−k +b =04k +b =52 ，解得：{b =12k =12 ， ∴ 直线AC 的解析式为：y =12x +12；…6分∴ D(0, 12)，OD =12，由勾股定理得：AD =√12+(12)2=√52， 设P(t, 12t 2−t −32)，则F(t, 12t +12)，∴ PF =(12t +12)−(12t 2−t −32)=−12t 2+3t 2+2，…8分 ∵ DF // y 轴，∴ ∠ADO =∠PFE ，∵ PE ⊥AC ，∴ ∠PEF =∠AOD =90∘，∴ △AOD ∽△PEF ，∴ EF PF =OD AD =√5∴ PF =√5EF ， ∴ √5m =−12t 2+3t 2+2， m =√55(−12t 2+3t 2+2)=−√510x 2+3√5t10+2√55(−1<t <4)；…10分 y =12x 2−x −32=12(x −1)2−2，则抛物线的对称轴是x =1，分4种情况：①当以PQ 为斜边，在x 轴下方，如图1和图2，过P 作PH ⊥x 轴于H ， ∵ △POQ 是等腰直角三角形，∠POQ =90∘，∴ OQ =OP ，易得△OQG ≅△OPH ，∴ PH =OG =1，当y =−1时，12x 2−x −32=−1， 解得：x 1=1+√2，x 2=1−√2，∴ P(1+√2, −1)或(1−√2, −1)；②当以PQ 为斜边，在x 轴上方，如图3和图4，过P 作PH ⊥x 轴于H ， ∵ △POQ 是等腰直角三角形，∠POQ =90∘，∴ OQ =OP ，易得△OQG ≅△OPH ，∴ PH =OG =1，当y =1时，12x 2−x −32=1， 解得：x 1=1+√6，x 2=1−√6（此时点P 在直线AC 的上方，不符合题意，舍）， ∴ P(1+√6, 1)；③如图5，以OQ 为斜边，当P 在对称轴的左侧时，设P(t, 12t 2−t −32)， 过P 作PH ⊥x 轴于H ，PG ⊥对称轴于G ，同理得：PG =PH ，∴ 1−t =−12t 2+t +32，解得：t 1=2−√5，t 2=2+√5（舍），∴P(2−√5, 1−√5)，④如图6，以OQ为斜边，当P在对称轴的右侧时，设P(t, 12t2−t−32)，过P作PH⊥x轴，过Q作QH⊥PH，同理得：PG=QH，∴t−1=−12t2+t+32，解得：t1=−√5（舍），t2=√5，∴P(√5, 1−√5)，综上所述，点P的坐标为P(1+√2, −1)或(1−√2, −1)或(1+√6, 1)或(2−√5, 1−√5)或(√5, 1−√5)…14分。