江苏省无锡市2017-2018学年高一(上)期末数学试题(含精品解析)
在
上是增函数．
，解得
．
时，
；
又
时，y 是 x 的一次函数，设
，
由题意可得：
，解得
．
时，
．
∴y 关于 x 的函数解析式为
；
（2）当
时，不合题意；
当
时，
．
，解得
．
当 时， ．
，解得 ，
综上，
．
所以该营销人员年终奖金高于 2 万元但低于 4 万元，其年销售额的取值范围是大于 32 万元且小于 72 万
元．
（2）利用同角三角函数的基本关系，求得
和
的值．
的值，再利用两角和的正弦公式求得
【详解】（1）由题意可得
，
，或
．
，
，即
，
．
（2）
，
，
，
，
，
． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角 和的正弦公式的应用，属于中档题． 18.某公司对营销人员有如下规定： （i）年销售额 x（万元）不大于 8 时，没有年终奖金； （ⅱ）年销售额 x（万元）大于 8 时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额 x（万元）不大于 64 时，年终奖金 y（万元）按关系式 y＝logax+b，（a＞0，且 a≠1）发放；当年销售额 x（万元）不小于 64 时，年终奖金 y（万元）为年销售额 x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为 16 万元，64 万元， 80 万元时，年终奖金依次为 1 万元，3 万元，5 万元． （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）某营销人员年终奖金高于 2 万元但低于 4 万元，求该营销人员年销售额 x（万元）的取值范围．
9.将函数 ______．
向右平移
个单位所得函数记为
，当 时 取得最大值，则
【答案】 【解析】 【分析】 利用函数 【详解】将函数
的图象变换规律求得 的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得 的值．
向右平移
个单位，所得函数记为
，
当 时 取得最大值，则
故答案为： ． 【点睛】本题主要考查函数
，
，令 ，可得 ，
20.已知向量 周期为 ．
，，
，
（1）求 的单调增区间；
，函数
， 的最小正
（2）方程
；在
上有且只有一个解，求实数 n 的取值范围；
（3）是否存在实数 m 满足对任意 x1∈[-1，1]，都存在 x2∈R，使得 + 立．若存在，求 m 的取值范围；若不存在，说明理由．
+m（ -
）+1＞f（x2）成
【答案】（1） 【解析】 【分析】 （1）函数
【答案】 【解析】
【分析】
利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．
【详解】设扇形的弧长为 l，圆心角大小为
，半径为 r，扇形的面积为 S，
则：
．解得 ，
可得：扇形的弧长为
cm．
故答案为： ． 【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.已知函数 是周期为 2 的奇函数，且
解．
2.
______．
【答案】 【解析】 【分析】 直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】
．
故答案为： 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．
3.若幂函数
的图象过点 ，则
______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据已知求出函数的解析式，将 代入可得答案．
【详解】设幂函数
使得
m（
）+1＞f（x2）成立．
即
m（
）+1＞﹣2 成立
令y
m（
）+1
设
t，那么
∵x1∈[﹣1，1]，
（
）2+2＝t2+2
∴t∈[ ， ]，
可得 t2+mt+5＞0 在 t∈[ ， ]上成立． 令 g（t）＝t2+mt+5＞0，
其对称轴 t
∵t∈[ ， ]上，
∴①当
时，即 m≥3 时，g（t）min＝g（ ）
则有
，
解可得：
，
即 m 的取值范围为 ；
故答案为：
【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．
二、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）
15.设集合
，
全集 ．
（1）若 （2）若
，求
；
，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）
，或
；（2）
【解析】
【分析】
（1）求定义域得集合 A，求出 时集合 B，再根据集合的定义计算即可；
故函数
的单调增区间是
；
故答案为：
．
【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．
6.计算：
=______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质即可得出．
【详解】原式=3+4+ =7+4 =11． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
7.已知圆心角是 的扇形的面积是 ，则该圆心角所对的弧长为______cm．
cos（2ωx）﹣1
＝2sin（2ωx ） ∵f（x）的最小正周期为 π．ω＞0
∴， ∴ω＝1．
那么 f（x）的解析式 f（x）＝2sin（2x ）
令
2x
，k∈Z
得：
x
∴f（x）的单调增区间为[
，
]，k∈Z．
（2）方程 f（x）﹣2n+1＝0；在[0， ]上有且只有一个解， 转化为函数 y＝f（x）+1 与函数 y＝2n 只有一个交点．
在[0，1]单调递增，
证明：设 x1，x2 是[0，1]上任意两个值，且 x1＜x2，
f（x2）﹣f（x1） （
）•
，
由 x1，x2∈[0，1]，且 x1＜x2，
可得 x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
即有 f（x2）﹣f（x1）＞0，即 f（x2）＞f（x1），
可得 f（x）在[0，1]递增；
， （2）
或 （3）存在，且 m 取值范围为
， 的最小正周期为 ．可得 ，即可求解 的单调增区间．
（2）根据 x 在
上求解 的值域，即可求解实数 n 的取值范围；
（3）由题意，求解 的范围．
的最小值，利用换元法求解
的最小值，即可求解 m
【详解】（1）函数 f（x） • 1＝2sin2（ωx ） ＝sin（2ωx） cos（2ωx）
【解析】
【分析】
作出 的图象，求得 ，m 的范围及 的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．
【详解】作出函数
的图象，
可得
，
，
则
在 递增，可得
的范围是
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．
14.函数 【答案】 【解析】 【分析】
【答案】（1） 【解析】 【分析】
（2）
（1）由已知可得
在
上是增函数，再结合已知列关于 a，b 的方程组，求解可得函数解析
式；又 时，y 是 x 的一次函数，设
，再由已知可得关于 m，k 的方程组求解可得
时， （2）当
，则函数解析式可求； 时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．
【详解】（1）
，年销售额越大，奖金越多，
的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．
10.若
，
【答案】 【解析】
______．
【分析】 由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得
【详解】
，
，两边平方得答案．
，即
，
，两边平方得：
，
．
故答案为： ． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．
11.若
，且
，则实数 的取值范围是______．
17.如图，在平面直角坐标系中，角 的始边均为 x 轴正半轴，终边分别与圆 O 交于 A，B 两点，若
， ，且点 A 的坐标为
．
（1）若
，求实数 m 的值；
（2）若
，若 的值．
【答案】（1） 【解析】
（2）
【分析】
（1）由题意利用二倍角的正切公式求得 的值，再利用任意角的三角函数的定义求得 m 的值．
（1）若
，求 m 的值；
（2）若
，且
，求
的值．
【答案】（1） 【解析】
（2）
【分析】
（1）由题意可知
，结合向量的数量积的性质即可求解 m
（2）由
，结合向量数量积的性质可求 m，然后结合
，及向量夹角公式
即可求.
【详解】（1）若
，则
，
，
，
．
（2）
，
， ， ，
，
，
，
而
，
，
． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．
12.在
中，已知
，
，点 M 在边 BC 上，
，
，则
______．
【答案】 【解析】
【分析】
由向量加法及减法的三角形法则可得，
【详解】
，
，结合已知即可求解
．
，
， ，
江苏省无锡市2017-2018学年高一(上)期末数学试卷(含答案)
2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{}{0}112A B ==，，，，则A B ⋃=______．2.176cos π=______．3. 若幂函数y f x =（）的图象过点42（，），则16f =（）______．4. 若向量12a =（，），3b m =（，），且a b ，则|||a b +=______．5. 函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是______．6.计算：2ln33(0.125)e-++=______．7. 已知圆心角是3π的扇形的面积是223cmπ，则该圆心角所对的弧长为______cm ．8. 已知函数x （）是周期为2的奇函数，且1[]0x ∈-，时，f x x =（），则212f =（）______．9. 将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位所得函数记为y f x =（），当23x π=时f x （）取得最大值，则ϕ=______． 10.若cos 23sin(a )4a π=+，sin cos a a =______．11. 若2(x 1)1,1(x)1,1x f x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，且23f a f a -（）＜（），则实数a 的取值范围是______． 12. 在ABC 中，已知|AB |2=，|||1AC =，点M 在边BC 上，4||BC BM =，2AM CB ⋅=，则A B A C ⋅=______． 13. 函数221,04(x)1log ,4x x f x x +≤≤⎧=⎨+<⎩，若0m n ≤<，且(m)f(n)f =，则mf(n)的取值范围是______．14. 函数2f(x)m |31|4|31|1(m 0)x x =---+>在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 设集合2{|3}2A x y log x =-（），2{}2|x B y y a x a a R ==≤≤+∈，，全集U R =．16. （1）若2a =，求U A C ⋂（B ）；17. （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．在ABC 中，已知12AB =（，），40AC m m =（，）（＞）． 18.19. 在△ABC 中，已知=（1，2）， =（4，m ）（m ＞0） （1）若90ABC ∠=︒，求m 的值； （2）若32||BC =2BD DC =，求cos ADC ∠的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1Am -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若2sin α的值．20. 某公司对营销人员有如下规定：21. i （）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；22. （ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式ay log x b =+，0a （＞，且1a ≠）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． 23. （1）求y 关于x 的函数解析式；24. （2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．25. 已知奇函数23(x)22x b f x +=+，函数221g t sin t cost =+-（），]3[t m π∈，，m ，b R ∈． 26. （1）求b 的值；（2）判断函数f x （）在[0]1，上的单调性，并证明；（3）当]1[0x ∈，时，函数g t （）的最小值恰为f x （）的最大值，求m 的取值范围．已知向量24a sin x πω=+（（），，4b sin x πω=+（（），20cos x ωω（））（＞），函数•1x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．（1）求f x （）的单调增区间； （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得 + +m （ - ）+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{012}，，【解析】 解：集合{}{0}112A B ==，，，， 则012{}A B ⋃=，，． 故答案为：{012}，，．根据交集的定义写出A B ⋃即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 2.【答案】2-【解析】解：1773)62cos 66cos cos ππππ-=-=-=（． 故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题． 3.【答案】4【解析】解：设幂函数a y f x x ==（）， 幂函数y f x =（）的图象过点42（，）， 42a ∴=， 解得：12a =，12y f x x ∴==（）164f ∴=（），故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将16x =代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题． 4.【答案】45解：||a b ，60m ∴-=，解得6m =． |48a b ∴+=（，）． 则2|4|a b +=+=故答案为：利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[2-+∞，） 【解析】解：根据题意，ln(x 3)x 23ln(x 33x ||),2f x ln x +≥-⎧=+=⎨-+-<<-⎩（）（）， 即当2x ≥-时，3f x ln x =+（）（）， 令3t x y lnt =+=，，在[2-+∞，）上，1t ≥，此时3t x =+为增函数，y lnt =也为增函数，则函数f x （）为增函数； 当32x --＜＜时，3f x ln x =-+（）（）， 令3t x y lnt =+=-，，在32--（，）上，01t ＜＜，此时3t x =+为增函数，y lnt =-为减函数，则函数f x （）为减函数； 故函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是[2-+∞，）； 故答案为：[2-+∞，）． 根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6.【答案】11【解析】解：原式233134[()]2-=++ 7411=+=．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7.【答案】23π【解析】解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为rad α（），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：2322234Sr ππα⨯===．解得2r =，可得：扇形的弧长为2233l r ππα==⨯=cm ．故答案为：23π．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8.【答案】【解析】解：根据题意，函数x （）是周期为2的函数，则211110222f f f =+=（）（）（），又由f x （）为奇函数，则11112222f f =-=-（）（）（-）=，则21122f =（）；故答案为：12根据题意，由函数的周期性可得211110222f f f =+=（）（）（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得11112222f f =-（）（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题． 9.【答案】512π【解析】解：将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位，所得函数记为22y f x sin x ϕ==-（）（）， 当23x π=时f x （）取得最大值，则42232k ππϕπ-=+，5226k Z k πϕπ∈∴=-+．，令0k =，可得512πϕ=， 故答案为：512π．利用函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律求得f x （）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得ϕ的值．本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题． 10.【答案】49【解析】解：cos 2sin )4a a π=+（，2232=，即3=，13cos sin αα∴-=，两边平方得：112sin cos 9a a -=，49sin cos αα∴=．故答案为：49．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得1cos sin 3αα-=，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11.【答案】12-∞（，）【解析】解：2(x 1)1,11,1x f x x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩（），可得1x ＞时，f x （）递减； 1x ≤时，f x （）递减， 且11f =（），可得f x （）在R 上递减， 23f a f a -（）＜（），可得23a a -＞， 解得12a ＜，故答案为：12-∞（，）．讨论f x （）在1x ＞和1x ≤的单调性，可得f x （）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】32【解析】解：4BM BC ==， 11()44BM BC AC AB ∴==-， 1344AB BM AC AB+=+， 21||||AB AC ==，，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，13•44AC AB AC AB =+-（）（）， 22113424AC AB AC AB =+⋅-， 13142442AB AC =-⨯+=-， 32AB AC ∴=⋅=， 故答案为：32．由向量加法及减法的三角形法则可得，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，结合已知即可求解AB AC ⋅．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题． 13.【答案】36]3（，【解析】 解：作出函数221,041log ,4X x f x x x +≤<⎧=⎨+<⎩（）的图象，可得12f n f m m ==+（）（），14m ≤＜，则2122mf n m m m m =+=+（）（）在14]（，递增，可得 mf n （）的范围是36]3（，． 故答案为：36]3（，．作出f x （）的图象，求得f n （），m 的范围及mf n （）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】34（，）【解析】 解：根据题意，对于函数2||31|431|1x x f x m =---+（），设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，|1|3x t =-的图象如图：若函数23143||11||0x x f x m m =---+（）（＞）在R 上有4个零点， 则方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根， 则有164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得：34m ＜＜，即m 的取值范围为34（，）； 故答案为：34（，）根据题意，设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，作出|1|3x t =-的草图，据此分析可得方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根，结合一元二次函数的性质可得164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题． 15.【答案】解：（1）集合220{|}{|}322{|32032}x A x y log x x x x x -≥⎧⎨-==-==≤>⎩（）＜，2a =时，{|2x B y y ==，{}|2416}4x y y ≤≤=≤≤，又全集U R =，{4|UC B x x ∴=＜或6}1x ＞， 2{|4U C A x x ∴⋂=≤（B ）＜，或1632}x ＜＜；（2）A B A B A ⋃=∴⊆，，又{}222|a a B y y +=≤≤，232{|}A x x =≤＜，222232aa +⎧≥⎪∴⎨<⎪⎩，解得实数a 的取值范围是13a ≤＜． 【解析】（1）求定义域得集合A ，求出2a =时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A B A ⋃=得出B A ⊆，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16.【答案】解：（1）若90ABC ∠=︒，则0AB BC ⋅=，32BC AC AB m =-=-（，）， 3240m ∴+-=，12m ∴=． （2）||32BC =，9(m +-=， 0m ＞，5m ∴=，2BD DC =，1113DC BC ∴==（，），2223BD BC ==（，）， 而34ADAD AB BD =+=（，）， 34DA ∴=--（，）， 31417210||||52DA DC cos ADC DA DC ⋅-⨯-⨯∴∠===-．【解析】（1）由题意可知0AB BC ⋅=，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由32||BC =，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合2BD DC =，及向量夹角公式||||DA DC cos ADC DA DC ⋅∠=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用． 17.【答案】解：（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=． 712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin()312124cos()12tan AOB tan tan παπαβαπα-∠=-=-==--（）（），2211()()1,[,]121212212sin cos ππππαπαα--∈-+=，34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos πππααα∴-=--=-（）（）（），2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），22226666[6]6sin sin sin cos cos sin ππππππαααα∴=-+=-+-=（）（）（）．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值． （2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sin πα-（）和12cos πα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得[6]226sin sin ππαα=-+（）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）864x ≤＜，年销售额越大，奖金越多，a y log xb ∴=+在84]6（，上是增函数． log 161log 643a a b b +=⎧∴⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩．864x ∴≤＜时，23y log x =-+；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（）， 由题意可得：643805k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得185k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 64x ∴≥时，158y x =-．∴y 关于x 的函数解析式为20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩；（2）当08x ≤≤时，不合题意；当864x ≤＜时，2234log x -+＜＜，解得32128x ＜＜．3264x ∴≤＜．当64x ＞时，1548x -<，解得72x ＜，6472x ∴＜＜．综上，3272x ＜＜．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得ay log x b =+在84]6（，上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得64x ≥时，158y x =-，则函数解析式可求； （2）当08x ≤≤时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数23()22x b f x x +=+，可得00f =（）， 即0b =；（2）23(x)22x f x =+在[0]1，单调递增， 证明：设12x x ，是[0]1，上任意两个值，且12x x ＜，2121122122222121()(1)33(x )f(x )()2112(1)(1)x x x x x x f x x x x ---=-=⋅++++，由121]0[x x ∈，，，且12x x ＜， 可得210x x -＞，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，即有210f x f x -（）（）＞，即21f x f x （）＞（）， 可得f x （）在[0]1，递增；（3）由（2）可得f x （）在[0]1，递增，可得314max f x f ==（）（）， 可得g t （）的最小值为34， 令s cost =，所以22s s s =-+的最小值为34， 所以1322s ≤≤，即112cost ≤≤，]3[t m π∈，， 由y cost =的图象可得33m ππ-≤＜．【解析】（1）由奇函数的性质可得00f =（），解方程即可得到b ；（2）2322x f x x =+（）在[0]1，单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f x （）的最大值，即可得到g t （）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数2•b 12214f x a sin x x πωω=-=+--（）（）（）22sin x x ωω=（）（） 223sin x πω=-（）f x （）的最小正周期为π．0ω＞ 22ππω∴=， 1ω∴=．那么f x （）的解析式223f x sin x π=-（）（） 令222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈ 得：51212k x k ππππ-≤≤+ f x ∴（）的单调增区间为[k k 5]1212ππππ-+，，k Z ∈． （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解， 转化为函数1y f x =+（）与函数2y n =只有一个交点． x 在[0]712π，上， 52336x πππ∴-≤-≤（） 那么函数12213y f x sin x π=+=--（）（）的值域为]，结合图象可知函数1y f x =-（）与函数2y n =只有一个交点． 那么1122n ≤<或21n =， 可得1122n -≤<或12n =．（3）由（1）可知223f x sin x π=-（）（）22min f x ∴=-（）． 实数m 满足对任意11[]1x ∈-，，都存在2x R ∈，使得11114()()?4?2?2?12x x x x m f x --++-+>成立．即1111?44?2?2?(>12x x x x m --++-+-）成立令1111?44221x x x x y m --=++-+（？）？？设1122x x t --=？？，那么111122442222x x x x t --+=-+=+？？）？？（11]1[x ∈-，，332[2]t ∴∈-，， 可得250t mt ++＞在3322[]t ∈-，上成立． 令250g t t mt =++（）＞， 其对称轴m 2t =- 332[]2t ∈-，上， ∴①当322m -≤-时，即3m ≥时，32930242min m g t g ==>--（）（），解得2936m ≤<； ②当33222m -<-<，即33m -＜＜时，2(>(t))5024m m g min g =-=-，解得33m -＜＜； ③当322m ≤-，即3m ≤-时，329300242min m g t g ==>（）（）+＞，解得2936m -≤-＜； 综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是292966（-，）． 【解析】（1）函数•1f x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f x （）的单调增区间．（2）根据x 在[0]712π，上求解f x （）的值域，即可求解实数n 的取值范围； （3）由题意，求解2f x （）的最小值，利用换元法求解111144221x x x x y m --=++-+（）的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。
江苏省无锡市2018届高三上学期期末检测数学试卷 Word版含解析
无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.）1. 已知集合，，若，则实数__________．【答案】3【解析】 ,故2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数__________．【答案】6【解析】为纯虚数，故3. 某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________．【答案】47【解析】由已知，高二年级人数为，采用分层抽样的方法，则抽取高二的人数为 .4. 已知，直线，，则直线的概率为_________．【答案】【解析】由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的，故直线的概率5. 根据如图所示的伪代码，当输入的值为3时，最后输出的的值为__________．【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算：，;①是，,，;②是，,，;③是，,，;④否，输出。
6. 直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，；，，；故该球的表面积为7. 已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为__________．【答案】5【解析】如图为满足条件的可行域，由得，当直线过点时有最小值5，此时，解得坐标为，代入得 .【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.8. 函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则__________．【答案】【解析】平移后的函数的解析式为，此时图像与函数的图像重合，故, 即 .9. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为__________．【答案】1024【解析】由已知得；当或时得最大值 . 【点睛】本题有以下几个关键之处：1.利用方程思想求得首项和公比，进而求得通项；2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题；3.本题易错点是忽视的取值是整数，而误取 .10. 过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为__________．【答案】19【解析】根据题意画出上图，连接，过作，，为的中点，为的中点，又，，∴四边形为正方形，由圆的方程得到圆心，半径，【点睛】本题的关键点有以下：1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；2.利用勾股定理求解.11. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为__________．【答案】8【解析】由已知，，；又双曲线与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，，则双曲线；在右支上，根据双曲线的定义有，，故的最小值为 .【点睛】解答本题有3个关键步骤：1、利用双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数求出曲线方程；2、利用双曲线定义求出；3、将代入整理后再利用基本不等式求出最小值.12. 在平行四边形中，，，，为的中点，为平面内一点，若，则__________．【答案】6【解析】13. 已知函数，.若存在，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】当时，在恒成立在为减函数，当时；当时，.综上，欲使成立需：.【点睛】本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数，再利用图像的对称原原理将问题转化为，从而求得正解.14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由已知可得，当时，要使得原命题成立需：；当时，要使得原命题成立需：.综上 .二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，是菱形，平面，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析...............................试题解析：（1）证明：因为平面，所以.因为是菱形，所以，因为所以平面.（2）证明：设，取中点，连结，所以，且.因为，，所以且，从而四边形是平行四边形，.因为平面，平面，所以平面，即平面.16. 在中，角的对边分别为，，. （1）求的值；（2）若，求的周长.【答案】（1）.（2）15.【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系结合两角和与差公式有，所以根据已知条件求出即可求出 . （2）根据正弦定理结合，即可求出的值，再利用余弦定理，求出的值.试题解析：（1）因为，所以.在中，因为，所以，因为，所以，所以.（2）根据正弦定理，所以，又，所以，.，.所以的周长为15.17. 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出，利用直角三角形边角关系求出，则总长为，求出为减函数，命题得证.（2）设单位成本为，则总成本为，，求出，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，，，令，得，因为，所以，当时，，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.18. 已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）若三角形的面积等于四边形的面积，求直线的方程；（3）求过点的圆方程（结果用表示）.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）由离心率为，得，，利用两点坐标可得的方程为，由圆心到时直线的距离公式求得，则.（2）设，，由两点的坐标可得直线的方程，与椭圆的方程联立可得的坐标（的横、纵坐标分别是的高），代入三角形的面积公式结合面积相等的条件即得关于的方程求出，最后再将代入PA方程即可得所求. （3）所求圆的圆心为的垂直平分线的交点，利用三点的坐标即可得的垂直平分线的方程，两个方程联立即可求得圆心的坐标，再代入圆的标准方程即可得所求.试题解析：（1）因为椭圆的，所以，，所以直线的方程为，又到直线的距离为，所以，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，直线的方程为，由，整理得，解得：，则点的坐标是，因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，，，则，解得.所以直线的方程为.（3）因为，，，所以的垂直平分线，的垂直平分线为，所以过三点的圆的圆心为，则过三点的圆方程为，即所求圆方程为.19. 已知数列满足，，是数列的前项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.【解析】试题分析：（1）当时，，，当时，由列是首项为2，公差为1的等差数列.（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上，.（3）假设存在正整数，使得，，或，，，（舍去）或14.试题解析：（1）因为，，所以当时，，，当时，由和，两式相除可得，，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，，解得，当时，，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，，则，所以，或，或，解得：，或，，或，（舍去），综上所述，或14.20. 已知函数，，其中.（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）先设切点为，切线斜率为，再建立切线方程为，将代入方程可得，即，进而求得切线方程为：或.（2）将问题转化为对任意有恒成立，①当时，，利用导数工具求得，故此时；②当时，恒成立，故此时；③当时，，利用导数工具求得，故此时.综上：.（3）因为，由（2）知，当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得.综上：.试题解析：（1）设切点为，，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，化简得，解得.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，①当时，，令，则，令得，，故此时.②当时，恒成立，故此时.③当时，，令，，故此时.综上：.（3）因为，即，由（2）知，令，则当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.数学（加试题）说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】.【解析】试题分析：先由和求得和求得，从而求得，可得.试题解析：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，，即；得，由矩阵属于特征值的一个特征向量为，可得，即；得，解得.即，22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆的极坐标方程是，且直线与圆相交，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由，得的方程为，求出圆心半径；由的参数方程得；与圆相交,则圆心到直线的距离，即可得.试题解析：由，得，所以，即圆的方程为，又由，消，得，由直线与圆相交，所以，即.【点睛】已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离与半径的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.23. 某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）.（2）见解析.试题解析：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.∴.答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4；；；；..答：的数学期望为.【点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥人事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题词的第（1）题采用的是法二.24. 在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.（1）求二面角的正弦值；（2）试在平面上找一点，使得平面.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到各点的坐标及平面的法向量为，并求得，进而求出平面的法向量为，即可求出，最后求出.（2）设，根据平面法向量定义得，即， ,再利用建立方程求得，，进而求得点的坐标.试题解析：（1）因为底面，过作，则，以为坐标原点，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，，解得，又平面的法向量为，所以，所以.（2）设点的坐标为，因为平面，所以，即，也即，，又，，，所以，所以得，，即，，，所以，所以点的坐标为.。
市级联考江苏省无锡市20172018学年高一上期末数学试题.docx
绝密★启用前【市级联考】江苏省无锡市2017-2018学年高一（上)期末数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明外…………○…※内…………○…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合A ={0，1}，B ={1,2}，则A ∪B =______． 2．cos17π6=______．3．若幂函数y =f （x ）的图象过点（4，2），则f （16）=______． 4．若向量a ⃗=（1，2），b ⃗⃗=（3，m ），且a ⃗∥b ⃗⃗，则||a ⃗+b ⃗⃗|=______． 5．函数f （x ）=|ln （x +3）|的单调增区间是______． 6．计算：e ln3+log √525+(0.125)−23=______．7．已知圆心角是π3的扇形的面积是2π3cm 2，则该圆心角所对的弧长为______cm ． 8．已知函数f （x ）是周期为2的奇函数，且x ∈[−1，0]时，f （x ）=x ，则f （212）=______．9．将函数y =sin2x 向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y =f （x ），当x =2π3时f （x ）取得最大值，则φ=______． 10．若cos2asin(a+π4)=√23，sinacosa =______．11．若f (x )={(x −1)2+1,x ≤11x,x >1 ，且f （2−a ）＜f （3a ），则实数a 的取值范围是______．12．在△ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，点M 在边BC 上，4|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．13．函数f(x)={2x +1,0≤x ≤41+log 2x,x >4，若0≤m <n ，且f(m)=f(n)，则mf(n)的取值范围是______．14．函数f(x)=m|3x −1|2−4|3x −1|+1(m >0)在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______．……○…………订…______班级：___________考号：……○…………订…二、解答题 15．设集合A ={x|y =√x −2+log 2（32−x ）}，B ={y|y =2x ，a ≤x ≤a +2，a ∈R}，全集U =R ． （1）若a =2，求（C U B ）∩A ；（2）若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．16．在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（1，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（4，m ）（m ＞0） （1）若∠ABC =90°，求m 的值；（2）若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求cos∠ADC 的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若α∈（7π12，π），β=π12，且点A 的坐标为A （−1，m ）．（1）若tan2α=−43，求实数m 的值； （2）若tan∠AOB =−34，若sin2α的值． 18．某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y ＝log a x +b ，（a ＞0，且a ≠1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．19．已知奇函数f(x)=3x+b2x 2+2，函数g （t ）=sin 2t +2cost −1，t ∈[m ，π3]，m ，b ∈R ．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x∈[0，1]时，函数g（t）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．20．已知向量a=（2sin（ωx+π4），−√3），b⃗=（sin（ωx+π4），cos（2ωx））（ω＞0），函数（x）=a•b⃗−1，f（x）的最小正周期为π．（1）求f（x）的单调增区间；（2）方程f（x）−2n+1=0；在[0，7π12]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4x1+4−x1+m（2x1-2−x1）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．{0,1,2}【解析】∵A={0，1}，B={1,2}∴A∪B={0,1,2}点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．−√32【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】cos17π6=cos（3π−π6)=−cosπ6=−√32．故答案为：−√32【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3．4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．【详解】设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=12，∴y=f（x）=x12，∴f（16）=4，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4．4√5【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】∵a ||b⃗，∴m−6=0，解得m=6．∴a+b⃗=（4，8）．则|a+b⃗|=√42+82=4√5．故答案为：4√5．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．[−2，+∞）【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，f（x）=|ln（x+3）|={ln(x+3)x≥−2−ln(x+3),−3<x<−2，即当x≥−2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[−2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当−3＜x＜−2时，f（x）=−ln（x+3），令t=x+3，y=−lnt，在（−3，−2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=−lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[−2，+∞）；故答案为：[−2，+∞）． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6．11 【解析】 【分析】利用对数的运算性质即可得出． 【详解】原式=3+4+[(12)3]−23=7+4 =11．故答案为：11． 【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7．2π3【解析】 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 【详解】设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：r 2=2S α=2×2π3π3=4．解得r =2，可得：扇形的弧长为l =rα=2×π3=2π3cm ．故答案为：2π3．【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8．12 【解析】 【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（212）=f（12+10）=f（12），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（12）=−f（−12）=−（−12）=12，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）是周期为2的函数，则f（212）=f（12+10）=f（12），又由f（x）为奇函数，则f（12）=−f（12）=−（−12）=12，则f（212）=12；故答案为：12【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9．5π12【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．【详解】将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x−2φ），∵当x=2π3时f（x）取得最大值，则4π3−2φ=2kπ+π2，k∈Z．∴2φ=−2kπ+5π6，令k=0，可得φ=5π12，故答案为：5π12．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10．49【解析】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cosα−sinα=13，两边平方得答案．∵cos2asin （a+π4)=√23， ∴22√22(sina+cosa)=√23，即√23(sina+cosa)=√23， ∴cosα−sinα=13，两边平方得：1−2sinacosa =19， ∴sinαcosα=49． 故答案为：49．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11．（−∞，12） 【解析】 【分析】讨论f （x ）在x ＞1和x ≤1的单调性，可得f （x ）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】f (x )={(x −1)2+1,x ≤11x ,x >1 ， 可得x ＞1时，f （x ）递减； x ≤1时，f （x ）递减， 且f （1）=1，可得f （x ）在R 上递减，f （2−a ）＜f （3a ），可得2−a ＞3a ， 解得a ＜12，故答案为：（−∞，12）． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12．32 【解析】由向量加法及减法的三角形法则可得，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合已知即可求解AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【详解】 ∵4=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， =（14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）， =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， =14−34×4+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32， 故答案为：32．【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题． 13．(3,36] 【解析】 【分析】作出f （x ）的图象，求得f （n ），m 的范围及mf （n ）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围． 【详解】作出函数f （x ）={2X +1,0≤x <41+log 2x,x >4的图象，可得f （n ）=f （m ）=1+2m ，1＜m ≤4，则mf （n ）=m （1+2m ）=2m 2+m 在（1，4]递增，可得 mf （n ）的范围是（3，36]． 故答案为：（3，36]． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题． 14．(3,4) 【解析】 【分析】根据题意，设t =|3x −1|，则y =mt 2−4t +1，作出t =|3x −1|的草图，据此分析可得方程mt 2−4t +1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得{16−4m >00<2m <1m −3>0 ，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于函数f （x ）=m|3x −1|2−4|3x −1|+1，设t =|3x −1|， 则y =mt 2−4t +1， t =|3x −1|的图象如图：若函数f （x ）=m|3x −1|2−4|3x −1|+1（m ＞0）在R 上有4个零点， 则方程mt 2−4t +1=0在区间（0，1）有2个不同的根， 则有{16−4m >00<2m <1m −3>0，解可得：3＜m ＜4，即m 的取值范围为（3，4）； 故答案为：（3，4） 【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15．（1）（C U B ）∩A ={x|2≤x ＜4，或16＜x ＜32}；（2）1≤a ＜3 【解析】 【分析】（1）求定义域得集合A ，求出a =2时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A ∪B =A 得出B ⊆A ，由此列不等式求出实数a 的取值范围． 【详解】（1）集合A ={x|y =√x −2+log 2（32−x ）}={x|{x −2≥032−x >0 }={x|2≤x ＜32}，a =2时，B ={y|y =2x ，2≤x ≤4}={y|4≤y ≤16}， 又全集U =R ，∴C U B ={x|x ＜4或x ＞16}， ∴（C U B ）∩A ={x|2≤x ＜4，或16＜x ＜32}； （2）∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，又B ={y|2a ≤y ≤2a +2}，A ={x|2≤x ＜32}， ∴{2a ≥22a+2<32，解得实数a 的取值范围是1≤a ＜3． 【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16．（1）m =12（2）−7√210【解析】 【分析】（1）由题意可知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，及向量夹角公式cos∠ADC =DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求. 【详解】（1）若∠ABC =90°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，m −2）， ∴3+2m −4=0， ∴m =12．（2）∵|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2， ∵√9+(m −2)2=3√2， ∵m ＞0， ∴m =5， ∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1），BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2）， 而AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，4）， ∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（−3，−4）， ∴cos∠ADC =DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√2=−7√210．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17．（1）m =12（2）7−24√350【解析】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin （α−π12）和cos （α−π12）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α−π6）+π6]的值． 【详解】（1）由题意可得tan2α=2tanα1−tan 2α=−43，∴tanα=−12，或tanα=2．∵α∈（7π12，π），∴tanα=−12，即m−1=−12，∴m =12． （2）∵tan∠AOB =tan （α−β）=tan （α−π12）=sin(α−π12)cos(α−π12)=−34，sin 2(α−π12)+cos 2(α−π12)=1,α−π12∈[π2,11π12]，∴sin （α−π12）=35，cos （α−π12）=−45， ∴sin （2α−π6）=2sin （α−π12）cos （α−π12）=−2425，cos （2α−π6）=2cos 2（α−π12）−1=725， ∴sin2α=sin[（2α−π6）+π6]=sin （2α−π6）cos π6+cos （2α−π6）sin π6=7−24√350． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18．（1）y ={0,0≤x ≤8log 2x −3,8<x ≤6418x −5,x >64（2）32＜x ＜72【解析】 【分析】（1）由已知可得y =log a x +b 在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得x ≥64时，y =18x −5，则函数解析式可求； （2）当0≤x ≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案． 【详解】（1）∵8＜x ≤64，年销售额越大，奖金越多， ∴y =log a x +b 在（8，64]上是增函数． ∴{log a 16+b =1log a 64+b =3 ，解得{a =2b =−3 ． ∴8＜x ≤64时，y =−3+log 2x ；又∵x ≥64时，y 是x 的一次函数，设y =kx +m （k ≠0）， 由题意可得：{64k +m =380k +m =5 ，解得{k =18m =−5 ．∴x ≥64时，y =18x −5．∴y 关于x 的函数解析式为y ={0,0≤x ≤8log 2x −3,8<x ≤6418x −5,x >64；（2）当0≤x ≤8时，不合题意；当8＜x ≤64时，2＜−3+log 2x ＜4，解得32＜x ＜128． ∴32＜x ≤64．当x ＞64时，18x −5<4，解得x ＜72， ∴64＜x ＜72． 综上，32＜x ＜72．所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元． 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19．（1）0（2）f （x ）在[0，1]递增（3）−π3≤m ＜π3 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得f （0）=0，解方程即可得到b ；（2）f （x ）=3x2x 2+2在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f （x ）的最大值，即可得到g （t ）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．【详解】（1）奇函数f （x ）=3x+b 2x 2+2，可得f （0）＝0，即b ＝0； （2）f （x ）=3x 2x 2+2在[0，1]单调递增，证明：设x 1，x 2是[0，1]上任意两个值，且x 1＜x 2， f （x 2）﹣f （x 1）=32（x 2x 22+1−x 1x 12+1）=32•(x 2−x 1)(1−x 1x 2)(1+x 22)(1+x 12)，由x 1，x 2∈[0，1]，且x 1＜x 2，可得x 2﹣x 1＞0，1﹣x 1x 2＞0，1+x 12＞0，1+x 22＞0， 即有f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1）， 可得f （x ）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f （x ）在[0，1]递增，可得f （x ）max ＝f （1）=34，可得g （t ）的最小值为34，令s ＝cos t ，所以s ＝﹣s 2+2s 的最小值为34，所以12≤s ≤32，即12≤cos t ≤1，t ∈[m ，π3]，由y ＝cos t 的图象可得−π3≤m ＜π3． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（1）[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z （2）1−√32≤n <12或n =12（3）存在，且m 取值范围为(−296，296)【解析】 【分析】（1）函数f （x ）=a •b ⃗ −1，f （x ）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f （x ）的单调增区间．（2）根据x 在[0，7π12]上求解f （x ）的值域，即可求解实数n 的取值范围；（3）由题意，求解f （x 2）的最小值，利用换元法求解y =4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1的最小值，即可求解m 的范围． 【详解】（1）函数f （x ）=a →•b →−1＝2sin 2（ωx +π4）−√3cos （2ωx ）﹣1＝sin （2ωx ）−√3cos （2ωx ） ＝2sin （2ωx −π3）∵f （x ）的最小正周期为π．ω＞0 ∴2π2ω=π，∴ω＝1．那么f （x ）的解析式f （x ）＝2sin （2x −π3）令2kπ−π2≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z 得：kπ−π12≤x ≤kπ+5π12∴f （x ）的单调增区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ．（2）方程f （x ）﹣2n +1＝0；在[0，7π12]上有且只有一个解， 转化为函数y ＝f （x ）+1与函数y ＝2n 只有一个交点． ∵x 在[0，7π12]上， ∴−π3≤（2x −π3）≤5π6那么函数y ＝f （x ）+1＝2sin （2x −π3）+1的值域为[1−√3，2]，结合图象可知 函数y ＝f （x ）+1与函数y ＝2n 只有一个交点． 那么1−√3≤2n ＜1或2n ＝2， 可得1−√32≤n ＜12或n ＝1．（3）由（1）可知f （x ）＝2sin （2x −π3） ∴f （x 2）min ＝﹣2．实数m 满足对任意x 1∈[﹣1，1]，都存在x 2∈R ， 使得4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1＞f （x 2）成立． 即4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1＞﹣2成立令y =4x 1+4−x 1+m （2x 1−2−x 1）+1设2x 1−2−x 1=t ，那么4x 1+4−x 1=（2x 1−2−x 1）2+2＝t 2+2 ∵x 1∈[﹣1，1]， ∴t ∈[−32，32]，可得t 2+mt +5＞0在t ∈[−32，32]上成立． 令g （t ）＝t 2+mt +5＞0， 其对称轴t =−m2∵t ∈[−32，32]上， ∴①当−m 2≤−32时，即m ≥3时，g （t ）min ＝g （−32）=294−3m 2＞0，解得3≤m ＜296；②当−32＜−m 2＜32，即﹣3＜m ＜3时，g （t ）min ＝g （−m2）=5−m 24＞0，解得﹣3＜m ＜3；③当32≤−m 2，即m ≤﹣3时，g （t ）min ＝g （32）=294+3m 2＞0＞0，解得−296＜m ≤﹣3；综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是（−296，296）． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。
【江苏省无锡市】2017届高三上学期期末数学试卷-答案
∵ ABCD 为矩形，∴ O 点为中点，
∵ E 为 PC 中点，
∴ OE∥PA ，
∵ OE 平面 PAD ， PA 平面 PAD ，
∴ OE∥平面 PAD ，…8 分
同理可得： OF∥平面 PAD ，…10 分
∵ OE OF O ，
∴平面 OEF / / 平面 PAD ，…12 分
∵ EF 平面 OEF ，
∴ EF∥ PAD …14 分
17．解：（1）∵ EM BM ， B MEN ，
∴ △BMN≌△EMN ，
∴ BNM MNE ，
∵ AME 2 ，
∴ BNM MNE ，
设 MN x ，
在 △BMN 中， BM xsin ，∴ EM BM xsin ，
∵ r 1 4e 8 0 ，
∴ ex 5 x 4 x 1 ，
从而有
-
1 4
1
m
5 4
2m e1m
，
即当 x 1,1 m ， G x1 H x2 恒成立．
21．解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 8sin ，即 2 8 sin ．
1，
n1
∴ n 2 时， Ti 1 3T2 2T1 4T3 3T2 n 1Tn nTn1 i 1
n 1Tn 2T1 n 1Tn 1．
n1
∴存在关于 n 的整式 g n n 1，使得 Tn 1 Tn g n 1 对一切 n 2 ， nN* 都成立． i 1
n
1
2
2n
3n 4
22n 3n
2
0
江苏省无锡市高级中学2018年高一数学理上学期期末试卷含解析
江苏省无锡市高级中学2018年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,+∞)参考答案：C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.2. 求值sin164°sin224°+sin254°sin314°=( )A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式化简已知函数，再由两角和的余弦公式可得．解答：解：∵sin164°=sin（180°﹣16°）=sin16°，sin224°=sin（180°+44°）=﹣sin44°sin254°=sin（270°﹣16°）=﹣cos16°sin314°=sin（270°+44°）=﹣cos44°，∴sin164°sin224°+sin254°sin314°=﹣sin16°sin44°+cos16°cos44°=cos（16°+44°）=cos60°=故选：D点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及诱导公式的应用，属基础题．3. 图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．4. （5分）已知二次函数f（x）=x2+2x+a，若﹣3＜a＜0，f（m）＜0，则f（m+3）的值为（）A．正数B．负数C．0 D．符号与a有关参考答案：D考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：分类讨论当a=0时，f（x）=x2+2x，f（m+3）＞0，f（m+3）＞0，f（m+3）有正有负，判断即可．解答：解：∵二次函数f（x）=x2+2x+a，∴①当a=0时，f（x）=x2+2x，∵f（m）＜0，∴﹣2＜m＜0，m+3＞1，∴f（m+3）＞0，②当a=﹣3时，f（x）=x2+2x﹣3，∵f（m）＜0，∴﹣3＜m＜1，即0＜m+3＜4，∴f（m+3）有正有负，故选：D点评：本题考查了函数的性质，分类讨论求解问题属于中档题，结合图象求解．5. 下列各组函数中和相同的是A. B.C、 D.参考答案：B6. 已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（）A．B．C．D．参考答案：A∵函数是增函数，令，必有，为增函数．∴a＞1，∴，∵当x=0时，，∴．又∵=，∴，∴．故选A．7. 在下列结论中,正确的结论为（）(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件A、(1)(3)B、(2)(4)C、(3)(4)D、(1)(3)(4)参考答案：D8. 设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数有，则的值为A.1B.2C.4D.5参考答案：D9. 函数的值域是( )A.[0,1]B.[-1,1]C.[0, ]D.[ ,1]参考答案：A10. 函数在R上的部分图象如图所示，则的值为（）．A. 5B.C.D.参考答案：C【分析】由图象的最值和周期可求得A和，代入(2,5)可求得，从而得到函数解析式，代入可求得结果.【详解】由图象可得：，代入(2,5)可得：本题正确选项：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则的弧度数大小为▲ .参考答案：设正方形的边长为，由已知可得.12. 满足条件{1，3}∪M＝{1，3，5}的一个可能的集合M是▲。
2017-2018学年第一学期期末考高一数学参考答案 精品
2017-2018学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中一年数学科试卷参考答案13.3114. （1,2,3） 15. 422=+y x 16. π8 三、解答题（17）（本题满分10分） 解：（1）三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，因为11//CC AA 所以C BC 1∠为异面直线1AA 与1BC 所成的角………………2分 因为四边形BB 1C 1C 为正方形 所以︒=∠451C BC ，即异面直线1AA 与1BC 所成角的大小为︒45…………………4分 （2）因为1CC ⊥底面ABC ，ABC AC 平面⊂所以AC CC ⊥1，…………………………………………………………………………5分 又因为AC⊥BC ，C CC BC =1所以C C BB AC 11平面⊥，………………………………………………………………7分 所以1BC AC ⊥，又因为四边形BB 1C 1C 为正方形，所以11BC C B ⊥，又1BC AC ⊥，C AC C B = 1…………………………………9分 所以BC 1⊥平面AB 1C………………………………………………………………………10分 （18）（本题满分12分） 解：（1）因为△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，AB CE ⊥所以E 为AB 的中点，所以)3,2(E ……………………2分 因为1-=AB k ，所以1=CE k …………………………4分 所以直线CE ：23-=-x y ，即01=+-y x所以AB 边上的高CE 所在直线的方程为01=+-y x ；…6分（2）⎩⎨⎧=+-=+-06201y x y x ，解得⎩⎨⎧==54y x 是，所以)5,4(C …7分所以直线AC ：141454--=--x y ，即0113=+-y x …………………………………9分 又因为)3,0(D ，所以点D 到直线AC 的距离510102==d ………………………10分 又10=AC ………………………11分所以110*510*2121==*=∆d AC S ACD ………………………12分 19.（本题满分12分）解：（1）当O 为AD 中点时，有POB CD 平面//，理由如下：………1分 因为O 为AD 中点时，BC AD AD BC 2,//=，所以CD OD CD OD =且,//，所以四边形OBCD 为平行四边形，………………3分 所以CD BO //，又PBO CD PBO BO 平面平面⊄⊂, 所以POB CD 平面//………………………………5分 （2）证明：因为在PAD ∆中，2,2===AD PD PA ，所以222AD PD PA =+，所以PD PA ⊥………………………………6分因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， AD ABCD PAD =平面平面 ，AD AB ⊥， 所以PAD A 平面⊥B ，………………………………8分 又PAD PD 平面⊂所以D A P B ⊥，又PD PA ⊥，A PA AB = 所以PAB PD 平面⊥………………………………10分 又因为PCD PD 平面⊂所以PCD PAB 平面平面⊥………………………………12分20.（本题满分12分） 解：(1) 2522)1(=+=a f ，∴a=1 ………………………………2分 (2) 任取120x x <<，则11121()()(2)2x x f x f x -=+221(2)2x x -+21121222(22)22x x x x x x -=-+⋅121212(21)(22)2x x x x x x ++-=- . ………………………………5分120,x x << 12122x x ∴<<,1221x x +> ,∴ 12()()0f x f x -< ∴ 12()()f x f x <，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数. ………………………………8分(3) 17(0)2,(2)4f f ==，5(1)2f -= ,()f x 在[-1,0]为减函数,在[0，2]为增函数， ∴()f x 的值域为[2，174] ………………………………12分 21.（本题满分12分） (Ⅰ)法一:连接AC ,设,ACBD O =四边形ABCD 为矩形,则O 为AC 的中点. …………2分在ASC ∆中，E 为AS 的中点，,//OE SC ∴………………………………4分又⊂OE 平面BDE ,⊄SC 平面BDE ,//SC ∴平面BDE .………………………………6分法二：如图，将三菱锥ABCD S -补形为三菱柱DCP ABS - 取DP 的中点F ，连接,,,FS FE FC∴ES DF // 四边形DESF 为平行四边形，.//DE FS ∴.//BE CF ∴又DE ⊂平面,BDE FS ⊄平面,BDE//FS ∴平面.BDE ………………………………2分//EF BC ,∴四边形BCFE 为平行四边形，//CF BE ∴ ,又因为BE ⊂平面,BDE CF ⊄平面BDE ,//CF ∴平面BDE , ………………………………4分⊂=FS F CF FS , 平面⊂CF SCF ,平面,SCF∴平面//BDE 平面.SCF又⊂SC 平面,SCF//SC ∴平面.BDE ………………………………6分（Ⅱ）法一：AB BC ⊥ 且,,B SB AB SB BC =⊥⊥∴BC 平面SAB ，又⊥∴AD AD BC ,//平面.SAB ………………………………8分//SC 平面BDE ，∴点C 与点S 到平面BDE 的距离相等.SBE D BD E S BD E C V V V ---==∴在ABC ∆中,,32,2===AB SB SA.313221=⨯⨯=∴∆ABS S E 为AS 中点,.2321==∴∆∆ABS BES S S ………………………………10分 又点D 到平面BES 的距离为.AD11333D BES BES V S AD -∆∴=⋅==,23=∴-BDE C V 即三菱锥BDE C -的体积为.23………………………………12分法二:过E 作,AB EH ⊥垂足为.H,,,BC AB BC SB AB SB B ⊥⊥=⊥∴BC 平面,ABS⊂EH 平面,ABS,BC EH ⊥∴又,,B BC AB AB EH =⊥⊥∴EH 平面.ABCD ………………………………9分在SAB ∆中，取AB 中点M ，连接SM ，则AB SM ⊥，1=∴SM,2121,21//==∴SM EH SM EH ,3332321=⨯⨯=∆BCD S.2321333131=⨯⨯=⋅==∴∆--EH S V V BCD BCD E BDE C所以三棱锥BCE C -的体积为.23………………………………12分 22（本题满分12分） 解：（1）圆C 的标准方程为3)2(22=-+y x ………………………………1分 ⅰ当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1-=x ，此时22=AB 满足题意；………………………………2分ⅱ当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)1(1+=+x k y ，即01=-+-k y kx 因为22=AB ，所以圆心C 到直线l 的距离123=-=d ………………………3分所以，1132=+-=k k d ，解得34=k ，………………………………4分 则直线l 的方程为0134=+-y x所以所求直线l 的方程为1-=x 或0134=+-y x ………………………………5分（2）设),(00y x P ，32-=PC PT ，因为PM PT =，所以20202020)1()1(3)2(+++=--+y x y x ………………………………6分化简得016200=++y x ，所以点),(00y x P 在直线0162=++y x ………………………………7分 当PT 取得最小值时，即PM 取得最小值，即为点)1,1(--M 到直线0162=++y x 的距离，………………………8分 此时直线PM 垂直于直线0162=++y x ，所以直线PM 的方程为0426=+-y x ,即023=+-y x ………………………10分由⎩⎨⎧=+-=++0230162y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2012013y x ， 所以点P 的坐标为)201,2013(-………………………………12分。
江苏省无锡市第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(含精品解析)
无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高一数学第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 某校有老师人，男学生人，女学生人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为人的样本进行某项调查，则应抽取的男学生人数为．【答案】60【解析】分析：直接利用分层抽样的定义求解.详解：由题得应抽取的男学生人数为.故答案为：60.点睛：(1)本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2) 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样.2. 等比数列中，若，，则．【答案】32【解析】分析：利用已知求出首项和公比q,再求.详解：由题得所以.故答案为：32.点睛：（1）本题主要考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)等比数列的通项公式：.3. 在中，，，，则．【答案】【解析】分析：直接利用正弦定理求∠C.详解：由正弦定理得因为AB＜BC，所以∠C＜∠A=,所以.故答案为：.点睛：（1）本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2) 解三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验.4. 如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒.若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为．【答案】【解析】分析：直接利用古典概型求解.详解：由古典概型得两人选到同一根木棒的概率为.故答案为：.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.5. 已知某人连续次射击的环数分别是，，，，，若这组数据的平均数是，则这组数据的方差为．【答案】【解析】分析：先根据平均数求x的值，再求数据的方差.详解：由题得所以数据的方差为.故答案为：.点睛：（1）本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)方差公式为.6. 如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是．【答案】3【解析】根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环，因为s=0<15，所以得到新的S=0+6=6，n=5；然后经过第二次循环，因为s=6<15，所以得到新的S=6+5=11，n=4；然后经过第三次循环，因为s=11<15，所以得到新的S=11+4=15，n=3；接下来判断：因为s=15，不满足s<15，所以结束循环体并输出最后的n，综上所述，可得最后输出的结果是3故答案为：37. 已知实数，满足则的最大值是．【答案】27【解析】分析:先化简=，再作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到z的最大值.详解:由题得=.不等式组对应的可行域如图所示的△OAB，设u=2x+y,则y=-2x+u,当直线y=-2x+u经过点A(1,1)时，直线的纵截距最大，u最大=2×1+1=3，所以.故答案为：27.点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.8. 在等差数列中，，，则的最小值为．【答案】【解析】分析：先求出再利用基本不等式求的最小值.详解：由题得所以=故的最小值为.故答案为：.点睛：（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和转化能力.(2)本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值.9. 设，且，则．【答案】10【解析】分析：先化简，再根据求n的值.详解：由题得.因为，所以点睛：（1）本题主要考查裂项相消求和，意在考查学生第该知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和. 10. 如图所示，墙上挂有一块边长为的正六边形木板，它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心，半径为的扇形面，某人向此板投镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是．【答案】【解析】分析：先计算出正六边形的面积，再求出阴影部分的面积，最后利用几何概型求击中阴影部分的概率.详解：由题得正六边形的面积为由题得阴影部分的面积为由几何概型得.故答案为：.点睛：（1）本题主要考查几何概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.11. 在中，已知，，，且，是方程的两根，则的长度为．【答案】7【解析】分析：先根据已知求出a+b,ab的值，再利用余弦定理求AB的值.详解：因为，是方程的两根，所以由余弦定理得所以AB=7.故答案为：7.点睛：（1）本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题可以求出a,b的值，也可以整体代入求值,本题的解法就是整体代入求值.12. 在上定义运算※，若存在，使不等式※成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】分析：先利用定义运算化简得到存在，使不等式×成立，再化简得到存在，使不等式成立，最后得到，解不等式即得m的取值范围.详解：因为存在，使不等式※成立，所以存在，使不等式×成立，所以存在，使不等式成立，因为x∈[1,2],所以函数的最大值为.所以故答案为：（-3,2）.点睛：（1）本题主要考查新定义和存在性问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题利用到了分离参数法，其中转化为存在，使不等式成立是关键.处理参数的问题常用的有分离参数法和分类讨论法.13. 设数列的前项和为，，若对任意实数，总存在自然数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值是．【答案】5【解析】分析：先根据求出再把代入不等式化简得对任意实数，恒成立，再利用数形结合分析得到k的最小值.详解：因为，所以n≥2时，所以适合n=1.所以因为对任意实数，不等式恒成立，所以对任意实数，恒成立，所以对任意实数，恒成立，令，所以所以k的最小值为5.故答案为：5.点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和不等式恒成立问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是把原命题转化为对任意实数，恒成立，其二是通过数形结合分析得到.14. 已知，，则的最大值是．【答案】【解析】分析：先化简原式为，再换元设得原式，再换元设得原式，再利用函数单调性得到函数的最大值.详解：由题得原式=，设，所以原式=，令所以原式=.(函数在上单调递减).故答案为：.点睛：(1)本题主要考查基本不等式，考查函数y=x+的图像和性质，考查换元法的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力及数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是两次换元，第一次是设，第二次是设换元一定要注意新元的范围.第Ⅱ卷（共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 某校有名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出名学生的成绩作为样本，制成如图频率分布表：分组频数频率0.0250.0500.200120.3000.27540.050合计1（1）求的值，并根据题中信息估计总体平均数是多少？（2）若成绩不低于分的同学能参加“数学竞赛集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”？【答案】（1）见解析；（2）75人.【解析】分析：（1）根据求出n的值，再根据频率分布直方图平均数公式求总体的平均数.(2)先求成绩不低于分的同学的概率，再求该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”.详解：（1）由第四行数据可知，所以.数据的频率为，则利用组中值估计平均数为.（2）成绩不低于分的同学的概率为，∴该校能参加集训队的人数大约为人.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中概率和平均数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析解决实际问题的能力.(2) …… 为的均值或数学期望，简称期望．16. 在中，角，，的对边分别是，，，若.（1）求角的值；（2）若的面积，，求的值.【答案】(1);(2) .【解析】分析：（1）利用正弦定理边化角化简得到B的值.(2)先求c的值，再利用余弦定理求b的值.详解：（1）由及正弦定理得：，①又，②由①②得，在中，∵，∴，∴，而，∴.（2）由，得.又，所以.由余弦定理，得，故.点睛：（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理的能力.(2)化简三角等式时，一般利用正弦定理和余弦定理实行角化边或边化角，本题的解答就是利用正弦定理边化角，也可以角化边.17. 已知数列是首项为，公比为的等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求满足不等式的最大正整数的值.【答案】(1);(2) 正整数的最大值为.【解析】分析：（1）根据，，成等差数列求出q，即得数列的通项公式.(2)先利用错位相减法求出数列的前项和，再把代入不等式化简即得最大正整数n的值.详解：（1）由题意得，∴，即，解得或.又，于是，∴.（2），，.两式相减得：，，∴.∴转化为，∴.∴正整数的最大值为.点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法，考查错位相减法求数列的和，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理转化的能力.(2) 若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.18. 如图所示，是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰米，.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸，上分别取点，（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道（宽度不计），使得三角形和四边形的周长相等.（1）若水上观光通道的端点为线段的三等分点（靠近点），求此时水上观光通道的长度；（2）当为多长时，观光通道的长度最短？并求出其最短长度.【答案】(1)水上观光通道的长度为米;(2) 当米时，水上观光通道的长度取得最小值，最小值为米.【解析】分析：（1）在等腰中，过点作于，先计算出，，再利用余弦定理求出EF的长度.(2) 设，，先求出EF的表达式，再利用基本不等式求其最短长度.详解：（1）在等腰中，过点作于，在中，由，即，∴，，∴三角形和四边形的周长相等.∴，即，∴.∵为线段的三等分点（靠近点），∴，，在中，，∴米.即水上观光通道的长度为米.（2）由（1）知，，设，，在中，由余弦定理，得.∵，∴.∴，当且仅当取得等号，所以，当米时，水上观光通道的长度取得最小值，最小值为米.点睛：（1）本题主要考查利用余弦定理解三角形，考查利用基本不等式求函数的最小值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)基本不等式有三种形式，本题利用的是（当且仅当a=b时取等）.19. 已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为;(2) 的取值范围是.【解析】分析：（1）对m分类讨论，利用一元二次不等式的解法解不等式.(2)对m 分类讨论，求的最大值，再令的最大值小于等于4m，即得m的取值范围.详解：（1）由题意，得即①当时，得，解得；②当时，得，∵，∴解得或；③当时，得，∵.当时，，解得；当时，，，解集为空集；当时，，解得；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.（2）的图像是一条开口向上的抛物线，关于对称.由题意：.①若，则在上是增函数，从而在上的最小值是，最大值是.由得于是有解得，∴.又∵，∴.②若，此时.则当时，不恒成立.综上：使恒成立的的取值范围是.点睛：（1）本题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力,考查分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是求求的最大值，这里利用了二次函数的图像和性质，利用了数形结合的思想方法.20. 已知等差数列的前项的和为，公差，若，，成等比数列，；数列满足：对于任意的，等式都成立.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等比数列；（3）若数列满足，试问是否存在正整数，（其中），使，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2)见解析；（3）见解析.【解析】分析：（1）根据已知解方程组得，即得数列的通项公式.（2）利用作差法化简即得，即证明数列是等比数列.(3)先化简,再化简，，成等比数列,对s分类讨论得解.详解：（1）设数列公差为，由题设得即解得∴数列的通项公式为：.（2）∵∴，①∴，②由②-①得，③∴，④由④-③得，由①知，，∴.又，∴数列是等比数列.（3）假设存在正整数，（其中），使，，成等比数列，则，，成等差数列.由（2）可知：，∴.于是，.由于，所以因为当时，，即单调递减，所以当时，，不符合条件，所以或，又，所以，所以当时，得，无解，当时，得，所以，综上：存在唯一正整数数组，使，，成等比数列.点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，考查数列性质的证明，考查数列的探究性问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力转化能力.(2)解答本题的难点在第3问，其解答关键是对s 的分类讨论和分析.。
[精品]无锡市高一上册期末数学试卷含解析强化班
2016-2017学年江苏省无锡市中学高一（上）期末数学试卷（强化班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．M）∩N= ．1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁R2．（5分）设x，y∈R，向量，，且，，则x+y= ．3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．4．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）= ．5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m= ．6．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= ．7．（5分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是．8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为．9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为．10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ．11．（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；（Ⅰ）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为，求ω的值．16．（14分）已知△ABC中．（1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；（2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（﹣B）的值．17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．19．（16分）如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．（1）求PQ的最小值；（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．高一（上）期末数学试卷（强化班）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．M）∩N= {x|x＜﹣2} ．1．（5分）已知M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁R【解答】解：∵M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，M={x|x＜﹣2或x＞2}，∴∁RM）∩N={x|x＜﹣2}．则（∁R故答案为：{x|x＜﹣2}2．（5分）设x，y∈R，向量，，且，，则x+y= 0 ．【解答】解：∵，，∴=2x﹣4=0，2y+4=0，则x=2，y=﹣2．∴x+y=0．故答案为：0．3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：34．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）= ﹣．【解答】解：∵cosα=，且α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（π﹣α）=sinα=﹣．故答案为：﹣5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m= ．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填6．（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y= sin（4x+）．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x+）故答案为：sin（4x+）．7．（5分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：作出函数的图象如图，由图象可知0＜g（x）≤1，则m＜g（x）+m≤1+m，即m＜f（x）≤1+m，要使函数的图象与x轴有公共点，则，解得﹣1≤m＜0．故答案为：[﹣1，0）．8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（﹣4，﹣2）．【解答】解：设=（x，y），∵与的方向相反，∴=（2λ，λ），（λ＜0）．又∵，∴=2，解得λ=﹣2，∴=（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为．【解答】解：∵θ是△ABC的一个内角，且，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ====，故答案为．10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ﹣．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=，∵ω＞0∴ω=3∵角φ的终边经过点P（1，﹣2），∴sinφ=，cosφ=∴=sin（3•+φ）=sin（+φ）=（sinφ+cosφ）=•（）=﹣故答案为：﹣11．（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得：，故答案为：12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m 的取值范围是 ；x 1+x 2+x 3的取值范围是 ．【解答】解：∵，∴f （x ）=（2x ﹣1）*（x ﹣1）=，则当x=0时，函数取得极小值0，当x=时，函数取得极大值故关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3时， 实数m 的取值范围是令f （x ）=，则x=，或x=不妨令x 1＜x 2＜x 3时 则＜x 1＜0，x 2+x 3=1∴x 1+x 2+x 3的取值范围是故答案为：，14．（5分）已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f （x ）的零点，x=为y=f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（，）单调，则ω的最大值为 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f （x ）的零点，x=为y=f （x ）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n ∈，且ω•+φ=n′π+，n′∈，∴相减可得ω•=（n′﹣n ）π+=kπ+，k ∈，即ω=2k +1，即ω为奇数．∵f （x ）在（，）单调，（1）若f（x）在（，）单调递增，则ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，不满足题意；故此时ω无解．（2）若f（x）在（，）单调递减，则ω•+φ≥2kπ+，且ω•+φ≤2kπ+，k∈，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ﹣③，且ω•+φ≤2kπ+，k∈④，把③④可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9．故答案为：9．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；（Ⅰ）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象的一条对称轴为，求ω的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2ωx+…（2分）=sin（2ωx+）+．…（3分）∵T=π，ω＞0，∴，∴ω=1．…（4分）令，…（5分）得，…（6分）所以f（x）的单调增区间为：．…（7分）（Ⅱ）∵的一条对称轴方程为，∴．…（9分）∴．…（11分）又0＜ω＜2，∴．∴k=0，∴．…（13分）16．（14分）已知△ABC中．（1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；（2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（﹣B）的值．【解答】（1）证明：∵•=•，∴，∴，即．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，则∴，则，得，∴sin2C=0，∵C∈（0，π），∴．∵，，∴，．∴．17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．（1）以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则【解答】解：设D（t，0）（0≤t≤1），则，所以，当时，．（2）由题意，设C（co sθ，sinθ），所以=．因为，则，所以．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．【解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通风窗EMN的通风面积为（2）当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积；当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积综上可得；（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间上单调递减，则f（x）＜f（0）=；当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时，因此当（米）时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．19．（16分）如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．（1）求PQ的最小值；（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．【解答】解：设∠CPQ=θ，则CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ（1）（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ=α，∠PAB=β∴，即xy+（x+y）=1又tanα=x，tanβ=y∴，∴∴20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）在R上是增函数，则即﹣2≤a≤2，则a范围为﹣2≤a≤2；（4分）（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x﹣a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可，（6分）而当x∈[1，2]时，，为增函数，；当x∈[1，2]时，，为增函数，，所以；（10分）（3）当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；（11分）则当a∈（2，4]时，由得x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x对称轴，则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a 时，f（x）=﹣x2+（2+a）x对称轴，则f（x）在为增函数，此时f（x）的值域为，f（x）在为减函数，此时f（x）的值域为；由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，即存在a∈（2，4]，使得即可，令，即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，，只要使t＜（g（a））max故实数t的取值范围为；（15分）同理可求当a∈[﹣4，﹣2）时，t的取值范围为；综上所述，实数t的取值范围为．（16分）。
苏教版2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精品Word版,含答案解析) (5)
2017-2018学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁U（A∪B）=（）A. B. C. 3，4， D. 2，4，2.已知=（3，x），=（-1，1），若 ⊥，则实数x的值为（）A. 1B. 2C. 3D.3.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则x=（）A. 2B.C.D.4.函数f（x）=ax3+2bx+a-b是奇函数，且其定义域为[3a-4，a]，则f（a）=（）A. 4B. 3C. 2D. 15.已知，则tanα=（）A. 2B. 3C.D.6.在函数y=sin|x|、y=sin（x+）、y=cos（2x+）、y=|sin2-cos2|中，最小正周期为π的函数的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.设tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A. B. C. 1 D. 38.设偶函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则f（）的值为（）A. B. C. D.9.点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）．则点O依次为△ABC的（）A. 内心、外心、重心、垂心B. 重心、外心、内心、垂心C. 重心、垂心、内心、外心D. 外心、内心、垂心、重心10.当0<x≤时,4x<log a x,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知为单位向量，+=（3，4）．则|1+•|的最大值为（）A. 6B. 5C. 4D. 312.定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）成中心对称，若当1≤s≤4时，s，t满足不等式-f（）≥f（t）≥f（s），则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.函数y=tan（+），x∈（0，]的值域是______．14.已知向量=（2，6），=（-1，λ），若，则λ=______．15.已知函数f（x）=＜＞的图象上关于y轴对称的点恰好有4对，则实数a=______．16.不超过实数x的最大整数称为x整数部分，记作[x]．已知f（x）=cos（[x]-x），给出下列结论：①f（x）是偶函数；②f（x）是周期函数，且最小正周期为π；③f（x）的单调递减区间为[k，k+1）（k∈Z）；④f（x）的值域为（cos1，1]．其中正确命题的序号是______（填上所以正确答案的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知全集U=R，集合A={-1≤x＜3}，B={x|2x+2≥x+4}，（1）求A∩B；（2）若C={x|2x-a＞0}，且B∪C=B，求实数a的取值范围．18.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，-2）．（1）求f（x）的解析式及x0的值；（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．19.已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值．（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．20.已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中∈，．（1）若，求角α的值；（2）若，求的值．21.已知非零向量，满足（2-）⊥，集合A={x|x2+（||+||）x+||||=0}中有且仅有唯一一个元素．（1）求向量，的夹角θ；（2）若关于t的不等式|-t|＜|-m|的解集为空集，求实数m的值．22.已知函数f（x）=log a（a＞0且a≠1）是奇函数，（1）求实数m的值；（2）若a=，并且对区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（）x+t恒成立，求实数t的取值范围．（3）当x∈（r，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与r的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则A∪B={1，3，4，5}．∁U（A∪B）={2，6}．故选：A．求出A与B的并集，然后求解补集即可．本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力．2.【答案】C【解析】解：∵=（3，x），=（-1，1），⊥，∴=-3+x=0，解得x=3．∴实数x的值为3．故选：C．由向量垂直的性质能求出实数x的值．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】C【解析】解：在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，∴=+，=+，=+，∵=x+y，∴解得：x=故选：C．由已知可得：=+，=+，=+，结合=x+y，可得，解得答案．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，难度中档．4.【答案】B【解析】解：∵奇函数的定义域为[3a-4，a]，∴3a-4+a=0，得4a=4，a=1，则f（x）=x3+2bx+1-b，又f（0）=0，得f（0）=1-b=0，则b=1，即f（x）=x3+2x，则f（a）=f（1）=1+2=3，故选：B．根据奇函数的性质和定义建立方程进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据奇函数的定义和性质建立方程关系是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵，可得：===，∴解得：tanα=2．故选：A．由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，即可计算得解．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由y=sin|x|的图象知，它是非周期函数；y=sin（x+）是周期函数，周期是2π；y=cos（2x+）是周期函数周期是π；y=|sin2-cos2|=|cosx|，y=cosx的周期为2π，将其图象沿x轴对折后得到y=|cosx|的图象，但周期变为原来的一半，故T=π；最小正周期为π的函数的个数为：2．故选：B．分别判断四个函数是否是周期函数，求出函数的周期，然后判断即可．本题是基础题，考查三角函数的周期性，周期的判断，周期的求法，牢记三角函数的图象，解题方便快捷．7.【答案】A【解析】解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===-3．故选：A．由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，即可求解．本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以．故选：C．9.【答案】C【解析】解：由三角形“五心”的定义，我们可得：（1）时，O为△ABC的重心；（2）时，O为△ABC的垂心；（3）时，O为△ABC的内心；（4）时，O为△ABC的外心；故选：C．根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出O点在△ABC中的特殊位置，即可得到答案．本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置“特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握．10.【答案】B【解析】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选：B．由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题11.【答案】B【解析】解：设，由+=（3，4），得，∴=（cosθ，sinθ）•（3-cosθ，4-sinθ）=3cosθ-cos2θ+4sinθ-sin2θ=4sinθ+3cosθ-1，∴1+•=4sinθ+3cosθ=5sin（θ+φ）（tanφ=），则|1+•|的最大值为5．故选：B．由题意设，再由+=（3，4）求得，得到，进一步得到1+•=4sinθ+3cosθ，运用辅助角公式化积后得答案．本题考查平面向量的数量积运算，训练了三角函数最值的求法，借助于辅助角公式化积是关键，是中档题．12.【答案】D【解析】解：由函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）成中心对称，可得y=f（x）的图象关于原点O中心对称，即函数f（x）为奇函数，又对任意x1，x2（x1≠x2）都有＜0，可知f（x）在R上单调递减，由-f（）≥f（t）≥f（s），得f（-）≥f（t）≥f（s），即，∴约束条件为，画出可行域如图：=．由图可知，，则，∴，则∈[-3，0]．故选：D．由已知可得函数的奇偶性与单调性，再由1≤s≤4，且s，t满足不等式-f（）≥f（t）≥f（s），得到约束条件，作出可行域，由线性规划知识求解．本题考查函数的性质及其应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13.【答案】（1，]【解析】解：由x∈（0，]，∴+∈（，]结合正切函数的性质可得：1＜y．故答案为：（1，]．根据x∈（0，]，求解+的范围，结合正切函数的性质可得值域；本题考查了与正切函数有关的值域求法，是基础题．14.【答案】-3【解析】解：∵，∴-6-2λ=0，解得λ=-3．故答案为：-3．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：若x＞0，则-x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（x）-1，∴f（-x）=sin（-x）-1=-sin（x）-1，则若f（x）=sin（x）-1（x＜0）的图象关于y轴对称，则f（-x）=-sin（x）-1=f（x），即y=-sin（x）-1，x＞0．设g（x）=-sin（x）-1，x＞0，作出函数g（x）的图象，要使y=-sin（x）-1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象恰好有4个交点，则0＜a＜1且满足f（9）=-2，即log a9=-2，解得a=，故答案为：．求出函数f（x）=sin x-1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键，属于中档题．16.【答案】③④【解析】解：对于①，∵f（π）=cos（3-π）=cos（π-3），f（-π）=cos（-4+π）=cos（4-π），显然f（π）≠f（-π），∴f（x）不是偶函数，故①错误；对于②，f（0）=cos（0-0）=cos0=1，而f（π）=cos（π-3）≠1，∴f（0）≠f（π），即f（x）不是周期为π的函数，故②错误；对于③，当x∈[k，k+1）时，[x]=k，令t（x）=x-[x]，则t（x）在区间[k，k+1）单调递增，且0≤t（x）＜1，又y=cosx在[0，1）上单调递减，∴f（x）=cos（[x]-x）=cos（x-[x]）在[k，k+1）单调递减，故③正确；对于④，∵-1＜[x]-x≤0，∴f（x）取不到值cos1，且f（x）的最大值为1．故f（x）的值域为（cos1，1]．即④正确．故答案为：③④通过计算特殊值验证判断①，②；利用符合函数的单调性判断③，根据[x]-x的范围和余弦函数的性质判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的图象和性质，是中档题17.【答案】解：（1）∵A={-1≤x＜3}，B={x|2x+2≥x+4}={x|x≥2}，∴A∩B=[2，3）；（2）C={x|2x-a＞0}={x|x＞}，∵B∪C=B，∴C⊆B，则，即a≥4．∴实数a的取值范围是[4，+∞）．【解析】（1）求解一元一次不等式化简B，再由交集运算得答案；（2）由B∪C=B得C⊆B，再由两集合端点值间的关系求解．本题考交、并、补集的混合运算，是基础题．18.【答案】解：（1）由题意可得：，，即∴，，f（0）=2sinφ=1，由＜，∴．（3分），所以，∈，又∵x0是最小的正数，∴；（2），∵∈，，，∴，∴，，∴．【解析】（1）根据图象求出A，T，求出ω，图象经过（0，1），求出φ，然后求f（x）的解析式，根据（x0，2）求x0的值；（2）锐角θ满足，求出sinθ，sin2θ，cos2θ，化简f（4θ），然后求f（4θ）的值．本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，二倍角的余弦，考查计算能力，视图能力，是基础题．19.【答案】解：（1）由题设知f（x）=[1+cos（2x+）]，∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，∴2x0+=kπ，即2x0=kπ-（k∈Z），∴g（x0）=1+sin2x0=1+sin（kπ-），当k为偶数时，g（x0）=1+sin（-）=；当k为奇数时，g（x0）=1+sin=．…（6分）（2h（x）=f（x）+g（x）=[1+cos（2x+）]+1+sin2x=[cos（2x+）+sin2x]+=（cos2x+sin2x）+=sin（2x+）+．当2kπ-≤2x+≤2kπ-，即kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z），…（12分）【解析】（1）利用二倍角的余弦可求得f（x）=[1+cos（2x+）]，x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴⇒2x0+=kπ⇒g（x0）=1+sin（kπ-），对k分k为偶数与k为奇数讨论即可求得g（2x0）的值；（2）利用三角函数间的恒等变换可求得h（x）=sin（2x+）+，再利用正弦函数的单调性，可得结论．本题考查二倍角的余弦、三角函数间的恒等变换、正弦函数的对称性、单调性，考查分析与运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵，，，，∴，．由得sinα=cosα．又∈，，∴ ．（2）由，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，∴，∴＞．又由＜＜，∴＜＜，∴．故=．【解析】先由A、B、C三点的坐标，求出的坐标，再根据，列出一个关于α的方程，可将问题转化为简单的三角函数化简求值问题．解决此题的关键是：熟练掌握向量数量积公式以及三角函数的变换方法．已知某三角函数值、求其它三角函数的值．一般先化简，再求值．化简三角函数的基本方法：统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简．21.【答案】解：（1）∵方程x2+（||+||）x+||||=0 有且仅有唯一一个实根，∴△=-4||•||==0，∴||=||．∵（2-）⊥，∴（2-）•=0，即2=，求得cos＜，＞=，∴＜，＞=60°．（2）关于t的不等式|-t|＜|-m|的解集为空集，即+t2-2t＜+m2•-2m•的解集为空集，即t2-t-m2+m＜0无解，∴△=12-4（-m2+m）≤0，即（2m-1）2≤0，∴m=．【解析】（1）由题意利用二次函数的性质、两个向量垂直的性质，可得2=，求得cos＜，＞的值，可得＜，＞的值．（2）根据题意，方程t2-t-m2+m＜0无解，故△=12-4（-m2+m）≤0，由此求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，二次函数的性质，属于中档题．22.【答案】解：（1）由f（x）=log a（a＞0且a≠1）是奇函数，得f（-x）+f（x）=log a+log a==0对于定义域内的任意x恒成立，即，得m2=1，即m=±1．当m=-1时，原函数化为f（x）=，定义域为{x|x≠1}（舍去），∴m=1；（2）a=时，f（x）＞（）x+t等价于f（x）-（）x＞t，令g（x）=f（x）-（）x，则g（x）在区间[3，4]上递增，，故t＜；（3）设u=1+，则y=log a u，①当a＞1时，∵函数f（x）的值域是（1，+∞），即y＞1，∴u=1+（r＜x＜a-2）的值域为（a，+∞），作出函数u=1+（r＜x＜a-2）的图象，得r=1，且a=1+，解得：a=2+；②当0＜a＜1时，∵函数f（x）的值域是（1，+∞），即y＞1，∴u=1+（r＜x＜a-2）的值域为（0，a），作出函数u=1+（r＜x＜a-2）的图象，得a-2=-1，解得：a=1，矛盾．综上，r=1，a=2+．【解析】（1）由已知可得f（-x）+f（x）=0恒成立，求出m后验证定义域得答案；（2）a=时，f（x）＞（）x+t等价于f（x）-（）x＞t，令g（x）=f（x）-（）x，利用单调性求出g（x）在区间[3，4]上的最小值可得t的范围；（3）设u=1+，则y=log a u，然后分a＞1和0＜a＜1两类求解得答案．本题考查函数奇偶性与单调性性质的应用，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．。
江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(有答案)
江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷2018.01 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70)1,已知集合A={1,3},B={1,2,m},若AUB=B,则实数m=____________ 2.若复数ii213a -+(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a=__________ 3某高中共有学生2800人,其中高一年级900人,高三年级900，用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为__________ 4.已知a,b ∈{1,2,3,4.5,6},直线1l :012=+-y x :2l 01=+-by ax ,则1l ⊥2l 的概率为__________5根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为_______ 6.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC,AB=3，BC=4，AA 1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________7.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥c y x y x 242x ,目标函数=3x+y 的最小值为5,则c 的值为______8.函数y=cos(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的图像向右平移2π个单位后,与函数y=sin(2x −3π)的图像重合,则ϕ=__________9.已知等比数列{a n }满足a 2a 5=2a3,且a 4,45,2a 7成等差数列,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________ 10过圆x 2+y 2=16内一点P(−2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD,且AB=CD,则四边形ACBD 的面积为__________11.已知双曲线C ：22a x −22by =1(a>0,b>0)与椭圆162x +12y 2=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F 1,F 2分别为双曲线C 的左,右焦点,P 为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为__________12.在平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=2,∠A=3π,M 为DC 的中点,N 为平面ABCD 内一点,若 |−|=|AM −|,则·=___________13.已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-≤-+21),21(log 21,122122x x x x x x .g(x)= −x 2−2x −2,若存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b 的取值范围是_______________14.若函数fx)=(x+1)2|x −a|在区间[−1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是___________ 二、解答题;{本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,)15.如图,ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE=2AF.(1)求证：AC ⊥平面BDE (2)求证：AC ∥平面BEF16.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,cosA=43,C=2A (1)求cosB 的值;(2)若ac=24,求△ABC 的周长17.如图,点C 为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD 为海岸线,∠CAB=3,AB ⊥BD,是以A 为圆心,半径为1km 的圆弧型小路,该市拟修建一条从C 通往海岸的现光专线,其中P 为上异于B,C 的一点,PQ 与AB 平行,设∠PAB=θ(1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由,18已知椭圆E:22a x +22by =1(a>0,b>0)的离心率为22,F 1，F 2分别为左,右焦点,A,B 分别为左,右顶点,原点O 到直线BD 的距离为36,设点P 在第一象限,且PB ⊥x 轴,连接PA 交椭圆于点C.(1)求椭圆E 的方程(2)若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积,求直线PA 的方程; (3)求过点B,C,P 的圆方程(结果用t 表示)19.已知数列{a n |满足(1−11a )(1−21a )…-(1−n a 1)=n a 1,n ∈N*,S n 是数列{a n }的前n 项的和 (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若p a ,30,S q 成等差数列,p a ,18, S q 成等比数列,求正整数P,q 的值;(3)是否存在k ∈N*,使得161++k k a a 为数列{a n }中的项?若存在,求出所有满足条件的k 的值;若不存在,请说明理由20.已知函数f(x)=xe (3x −2),g(x)=a(x −2),其中a,x ∈R (1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图像相切的直线方程(2)若对任意x ∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a 的取值范围 (3)若存在唯一的整数0x ,使得f(0x )<g(0x ),求a 的取值范围无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试卷数学(加试题)注意事项及说明;本卷考试时间30分钟,企卷满分为40分说明:鲜答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤21.(本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 43,若矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,属于特征值2λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,求矩阵A22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==m t y t x 2321(t 是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C 的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l 与圆C 相交,求实数m 的取值范围23.(本小题满分10分)某公司有A,B,C,D 四辆汽车,其中A 车的车牌尾号为0,B,C 两辆车的车牌尾号为6,D 车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车,已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为43,B,C 两辆汽车每天出车的概率为21,且四辆汽车是否出车是相互独立的,该公司(1)求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率(2)设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ζ的分布列和数学期望24.(本小题满分10分)在四棱锥P −ABCD 中,△ABP 是等边三角形,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB=90°,AD ∥BC,E 是线段AB 的中点,PE ⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2(1)求二面角P-CD-AB 的正弦值;(2)试在平面PCD 上找一点M,使得EM ⊥平面PCD。